CÁLCULO APLICADO, UMA VARIÁVEL - ATIVIDADE 02

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Curso GRA1569 CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL GR0550-212-9 -
202120.ead-17339.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 02/12/21 19:29
Enviado 02/12/21 20:03
Status Completada
Resultado da
tentativa
8 em 10 pontos 
Tempo decorrido 34 minutos
Resultados
exibidos
Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0.
Nesse caso, para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos
para simplificar a função. Para funções racionais polinomiais de grau 2, é
recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da regra prática em que 
 . Assim, basta encontrar as raízes do polinômio
por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o limite 
 e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o
limite.
-2.
-2.
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para fatorar o
polinômio , utiliza-se o quadrado da diferença, portanto: 
. Para fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, as
raízes são -1 e -2, portanto . Assim, 
.
Pergunta 2
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A
velocidade média em um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada
por . A derivada de uma função aplicada a um ponto pode ser
vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a
função velocidade é a derivada da função espaço em relação ao tempo 
 , enquanto que a aceleração é a derivada da função
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações,
considere a seguinte situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma
velocidade inicial de 40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada
por 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir:
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e
dura é igual a -25,6 m/s. 
 
II. A velocidade instantânea quando é igual a .
 III. O instante em que a velocidade é nula é .
 
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros.
 
 Está correto o que se afirma em:
I, II e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Sua resposta está incorreta. A afirmativa I é correta, visto que a velocidade média
para o período de tempo que começa quando e dura é igual a
-25,6 m/s. De fato: 
. A
afirmativa II é incorreta, uma vez que a velocidade instantânea quando é
igual a .
 
A velocidade instantânea é dada por:
 
A afirmativa III é correta, porque o instante em que a velocidade é nula é 
. De fato: 
Por fim, a
afirmativa IV é incorreta, dado que a altura máxima atingida pela bola é de 25
metros. De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura máxima é de 
 e . Portanto, a altura de máxima é de 
.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de
um código com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma:
1º dígito: , em que , 2º dígito: , em que ,
3º dígito: , em que , 4º dígito: , em que 
 Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas.
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do
estudante.
2, 1, 1, 4.
2, 1, 1, 4.
Resposta incorreta. De acordo com os cálculos a seguir, obteve-se o código
igual a 2114. Cálculos:
1º dígito: , em que 
 .
2º dígito: , em que
 
3º dígito: , em que 
 
1 em 1 pontos
4º dígito: , em que 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada,
respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a
condição para que a derivada de uma função exista num ponto : as derivadas
laterais a direita, , e a derivada lateral à esquerda, , existem e são
iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínua num ponto é
derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável
num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias
sentenças:
 FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
 I. ( ) A função é derivável em .
 
II. ( ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: .
 III. ( ) A função não é derivável em porque não é contínua em .
 
IV. ( ) A função é derivável em , porque é contínua em .
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
F, F, V, F.
F, F, V, F.
Resposta correta. A afirmativa I é falsa, sendo que é derivável em , logo, 
. De fato: 
.
 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de existe, pois ,
pois, . De fato: 
 
.
 
A afirmativa III é verdadeira, dado que não é derivável em , porque não é
contínua em . De fato, , portanto, f não é derivável em x=2.
 
Já a afirmativa IV é falsa, uma vez que é derivável em porque é
1 em 1 pontos
contínua em . O fato de uma função ser contínua não garante a sua
derivabilidade.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos
resultados tabelados. Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por
definição da derivada. Assim, é importante conhecer as derivadas das funções
elementares para derivar funções com maior facilidade.
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
falsa(s).
 I. ( ) Se , então .
 
II. ( ) Se , então 
 III. ( ) Se , então .
 
IV. ( ) Se então .
 
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, F, V, F.
V, F, V, F.
Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se , então 
, por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se 
, então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A
afirmativa III é verdadeira, porque se , então ,
como consta na tabela de derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é falsa, dado
que se então .
Verifique que a função é uma função composta e, portanto, através da regra
da cadeia 
Pergunta 6
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A
velocidade média em um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada
por . A derivada de uma função aplicada em um ponto pode
ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, dizemos que a
função velocidade é a derivada da função espaço em relação ao tempo 
 , enquanto que a aceleração é a derivada da função
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações,
considere a seguinte situação problema: o deslocamento (em metros) de uma
partícula, movendo-se ao longo de uma reta, é dado pela equação do
movimento , em que t é medido em segundos.
 
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir:
 
 I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 é igual a 40,0 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a .
 
III. A aceleração é sempre constante.
 IV. A aceleração quando o tempo é é igual a .
 
 Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a velocidade média para o
período de tempo que começa quando e é igual a 40,0 m/s. De
fato: . A afirmativa II é
correta, uma vez que a velocidade instantânea quando é igual a .
De fato: 
 A afirmativa III é incorreta, porque a aceleração é sempre constante. De fato: 
 Por
fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração quando o tempo é é
igual a . De fato: 
Pergunta 7
Resposta Selecionada: [Sem Resposta]
Resposta Correta: 
Comentárioda resposta:
Para derivar a função , é necessário conhecer a derivada da
função tangente e a regra da cadeia, pois essa função é uma composição da
função tangente, polinomial e potência. Assim, inicialmente, deve-se aplicar a
derivada da função potência, depois da função tangente e, por fim, a função
polinomial.
 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de 
Sua resposta está incorreta. Aplicando-se os passos evidenciados, a
derivada da função potência, depois a derivada da tangente e, em seguida,
a derivada da função polinomial, o seguinte cálculo mostra que .
Pergunta 8
As funções trigonométricas possuem características próprias, tornando-as
funções de grande complexidade. Portanto, derivar essas funções a partir da
definição de derivadas por limites, torna-se um trabalho árduo. Assim, a tabela
de derivadas inclui fórmulas para derivar, também, as funções trigonométricas.
0 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 
A respeito das derivadas de funções trigonométricas, analise as afirmativas a
seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. ( ) .
II. ( ) .
 
III. ( ) .
 IV. ( ) 
 
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, F, F, V.
V, F, F, V.
Resposta correta. A afirmativa das alternativas I e IV é verdadeira, pois as
derivadas estão de acordo com a tabela de derivadas. Já a afirmativa II é falsa,
pois a derivada da função cossecante é dada por 
 Por fim, a afirmativa III também é falsa
desde quando a derivada da cotangete é 
Pergunta 9
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Para derivar a função , é necessário conhecer a
derivada da função polinomial e regras operatórias da derivada. No entanto,
inicialmente, deve-se simplificar a função, utilizando as regras operatórias da
potência: soma, produto e quociente.
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor de 
 
 
Resposta correta. Os seguintes cálculos mostram que inicialmente foram aplicadas
as propriedades de potência para simplificar a função e depois derivou-se a função
adequadamente, obtendo o resultado de .
 
 
 
 
Pergunta 10
Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras
operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas
ou mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia,
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com
suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) 
 
( ) 
( ) 
 
( ) 
 
 A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a
sequência
 correta.
2, 3, 1, 4.
2, 3, 1, 4.
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos que 
 = Derivada do Quociente. =
Derivada da Soma. = Derivada
do Produto. = Derivada da Cadeia.