GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551-212-9 - 202120 ead-29780456 06

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Usuário FERNANDO DE OLIVEIRA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551-212-9 -
202120.ead-29780456.06
Teste ATIVIDADE 4 (A4)
Iniciado 26/11/21 10:14
Enviado 30/11/21 17:28
Status Completada
Resultado da
tentativa
2 em 10 pontos  
Tempo decorrido 103 horas, 13 minutos
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Pergunta 1
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Resposta Correta:
Comentário da
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma
, onde  e  são funções contínuas em um dado intervalo. A
solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela
expressão .
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência,
assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
 
 
I. A solução geral da equação  é .
II. A solução geral da equação  é .
III. A solução geral da equação  é .
IV. A solução geral da equação  é .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
I e III, apenas.
I, II e IV, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Aplicando o
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resposta: método de solução para uma equação diferencial linear, temos:
A�rmativa III: incorreta. Dividindo toda a equação por , temos 
 e , assim,
.
Pergunta 2
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em
equação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações
diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a
variável independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável
dependente  e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau
1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .
 
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as
afirmativas a seguir.
 
I. A equação diferencial  é linear.
II. A equação diferencial  é linear.
III. A equação diferencial  é linear.
IV. A equação diferencial  é linear.
 
Assinale a alternativa correta.
 
I, II e IV, apenas.
I, III e IV, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com as
condições de linearidade de uma equação diferencial, temos que apenas a
a�rmativa III está incorreta, pois nessa alternativa a variável dependente 
 apresenta grau 2 em um dos termos, não satisfazendo uma das condições de
ser linear.
Pergunta 3
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Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função
dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se
uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão
da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a
igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função  é solução da equação diferencial .
II. A função  é solução da equação diferencial .
III. A função  é solução da equação diferencial .
IV. A função  é solução da equação diferencial .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com a
de�nição de solução de uma equação diferencial, temos que estão incorretas
as a�rmativas I e III, pois:
A�rmativa I: Incorreta. Dada a função  temos
 e . Repare que
. Trocando  na equação diferencial, temos:
A�rmativa III: incorreta. Dada a função , temos .
Trocando  e  na equação diferencial, temos:
.
Pergunta 4
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a
função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade
verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como
solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma
condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
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Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial
dada.
II. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial
dada.
III. (   ) Para , temos que  é solução da equação
diferencial dada.
IV. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial
dada.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
V, F, V, F.
V, V, V, F.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Resolvendo a
equação diferencial, temos que sua solução geral é:
. Assim:
A�rmativa IV: Falsa. Para , temos que
. Portanto,  é a
solução da equação diferencial dada.
Pergunta 5
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de
primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma .
O nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma
função de  e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos
ambos os lados da igualdade.
 
Dado que  é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à
solução da equação diferencial separável .
 
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Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é
uma equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a
equação como . Integrando ambos os
lados da igualdade, temos
, onde
.
Pergunta 6
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios.
Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua
ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela
ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é
dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
 
 
A equação diferencial  é de ordem 3 e grau 2.
A equação diferencial  é de ordem 1 e grau 1.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. De acordo com
as de�nições de classi�cação por ordem e grau, temos que:
- Equação diferencial : ordem 3, pois , e grau 1,
pois .
- Equação diferencial : ordem 2, pois , e grau 3,
pois .
- Equação diferencial : ordem 1, pois , e grau 1, pois .
- Equação diferencial : ordem 2, pois , e grau 1,
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pois .
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser
expressas por meio da seguinte forma: , onde  e 
 são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos
escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau.
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda
ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para
a(s) Falsa(s).
 
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas.II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem 
 é expressa por .
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como solução a
função .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
V, V, V, F.
V, F, F, F.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Com base na teoria
das equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, temos
que: A a�rmativa I é verdadeira. A a�rmativa II é falsa, pois a equação auxiliar
de uma EDO linear de segunda ordem pode apresentar duas raízes reais
distintas, duas raízes reais iguais ou duas raízes complexas. A a�rmativa III é
falsa, pois a equação auxiliar da EDO  é expressa por
. E a a�rmativa IV é falsa, pois a expressão
 é solução de uma EDO com equação auxiliar de raízes
reais e iguais, isto é, .
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Pergunta 8
Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma
temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90
°C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo
levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C.
 
Assinale a alternativa correta.
 
 
20 minutos.
20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do
bolo pode ser descrita pela equação diferencial  onde
 e são fornecidas as seguintes informações:  e
. Nosso problema consiste em determinar o tempo , em
minutos, tal que . Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde . Das condições
 e  vamos determinar as constantes  e . De
 temos . De , temos . Portanto, a
função temperatura do bolo é . Vamos determinar
agora o tempo para o qual a temperatura é 30ºC. De , temos
.
Pergunta 9
A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o
qual pode ser descrito pela equação , onde  é uma função do tempo 
 que indica a posição da massa,  é a massa da mola e  é a constante elástica.
Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária
uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola
for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é
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Resposta Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
a posição da massa após  segundos?
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
 
 
.
.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Do problema, temos a
massa , e, da lei de Hooke, temos . Além disso, no tempo 
 a mola está esticada em 1,1 m, sendo seu comprimento natural de 0,75 m;
portanto, está deformada em 0,35 m. Temos também que a velocidade inicial
da mola é nula (a função velocidade é a derivada primeira da função posição).
Portanto, a situação descrita trata-se do PVI:  ,  e
 , cuja solução é .
Pergunta 10
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para
esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N.
Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja
liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação
diferencial: , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da
massa  e  é a constante elástica.
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke:
).
 
 
A situação descrita é um PVI dado por:  e .
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por
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Segunda-feira, 6 de Dezembro de 2021 09h29min23s BRT
Comentário
da resposta:
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Do problema, temos a
massa , e, da lei de Hooke, temos . Além disso, no tempo  a
mola está esticada em 0,8 m, sendo seu comprimento natural de 0,5 m;
portanto, está deformada em 0,3 m. Temos também que a velocidade inicial da
mola é nula (a função velocidade é a derivada primeira da função posição).
Portanto, a situação descrita se trata do PVI: ,  e
, cuja solução é .
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