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Usuário FERNANDO DE OLIVEIRA Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551-212-9 - 202120.ead-29780456.06 Teste ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado 25/11/21 10:16 Enviado 25/11/21 10:49 Status Completada Resultado da tentativa 10 em 10 pontos Tempo decorrido 32 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida por meio da expressão . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação às variáveis e , sabendo que e . e e Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a derivada parcial de com relação a é: . Já a derivada parcial de com relação a é: . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA... 1 de 9 06/12/2021 09:32 Pergunta 2 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto . A taxa máxima de aumento da densidade é . A taxa máxima de aumento da densidade é . Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é , concluímos que a taxa máxima de aumento da densidade é . Pergunta 3 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função: - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): 1 em 1 pontos Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA... 2 de 9 06/12/2021 09:32 - Derivada de em relação a (a variável é vista como constante): . Calculando as derivadas parciais no ponto , temos e . Logo, o vetor gradiente é . Pergunta 4 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento. Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da temperatura e sua taxa de variação mínima. Direção e taxa mínima de . Direção e taxa mínima de . Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de temperatura é mínima em . (O sinal negativo apenas indica que a temperatura é mínima). Pergunta 5 Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA... 3 de 9 06/12/2021 09:32 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. O domínio da função é o conjunto . O domínio da função é o conjunto . Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para os valores de e : (I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é, (II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo, . Pergunta 6 O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio da função corresponde à região a seguir. 1 em 1 pontos Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA... 4 de 9 06/12/2021 09:32 II. O domínio da função corresponde à região a seguir. III. O domínio da função corresponde à região a seguir. Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA... 5 de 9 06/12/2021 09:32 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). I, apenas. I, apenas. Resposta correta. A alternativa está correta. Veri�cando as restrições para a função, temos que apenas a a�rmativa I é verdadeira, pois: A�rmativa I: Correta. A função tem as seguintes restrições e , portanto, o domínio da função é o conjunto , que corresponde à região dada na a�rmativa. Pergunta 7 Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. 1 em 1 pontos Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA... 6 de 9 06/12/2021 09:32 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: A equação é uma curva de nível para a função para . A equação é uma curva de nível para a função para . Resposta correta. A alternativa está correta. Pela de�nição de curva de nível, temos que . Assim, igualando a função ao valor de , temos que . Portanto, a curva de nível da função para é dada pela equação . Pergunta 8 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sabendo que e . Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas: , , e . Aplicando a regra da cadeia, obtemos a expressão da derivada desejada: . Trocando as expressões de e temos 1 em 1 pontos Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA...7 de 9 06/12/2021 09:32 . Pergunta 9 Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em relação a , isto é, , para quando . Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que , onde . Assim, . Dado que , temos . Pergunta 10 O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . 1 em 1 pontos 1 em 1 pontos Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA... 8 de 9 06/12/2021 09:32 Segunda-feira, 6 de Dezembro de 2021 09h31min52s BRT Resposta Selecionada: Resposta Correta: Comentário da resposta: III - O domínio da função é o conjunto . IV - O domínio da função é o conjunto . I, IV I, IV Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função, concluímos que: A�rmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto . A�rmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto . Revisar envio do teste: ATIVIDADE 2 (A2) – GRA1594 ... https://fmu.blackboard.com/webapps/late-course_engine_soap-BBLEA... 9 de 9 06/12/2021 09:32
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