Matemática Financeira com HP12C UNIRB

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Matemática Financeira
com HP12C
Ricardo Almeida & Roberto Romeiro
OBJETIVOS
Apresentar o fundamento teórico e a metodologia necessária para efetuar cálculos financeiros;
Utiliza os conceitos da matemática financeira, como uma ferramenta aplicada nas atividades do dia-a-dia pessoal e profissional;
Exercitar, através de cálculos que nos permitam manipular valores financeiros ao longo do tempo, fazendo comparações entre alternativas de investimentos.
Módulo 01
Relação fundamental 
e 
taxas de juros
Princípio Básico
A matemática financeira...
Trata, essencialmente, do estudo do Valor de dinheiro no tempo.
Ou seja, considera-se que uma unidade monetária expressa em qualquer moeda existente não tem o mesmo valor financeiro em datas diferentes.
EXEMPLO: 
Receber R$ 100,00 hoje, vale mais do que receber R$ 100,00 daqui a um mês
Juros
Os Juros...
Remuneram a aplicação de nosso dinheiro ao longo do tempo;
É o valor (“prêmio”) que se paga ao investidor por sua aplicação – investimento – durante um determinado período de tempo – prazo.
EXEMPLO:
R$ 100,00 aplicados a uma taxa de juros de 10% ao mês, ao final de um mês de aplicação teremos R$ 110,00, ou seja, Juros: J = R$ 10,00
Assim, podemos dizer que o capital parado e não investido, perde o que poderia estar recebendo sob a forma de juros, configurando uma medida de custo de oportunidade perdido
Valor do Dinheiro no Tempo
VALOR PRESENTE (PV)...
Em princípio, estamos todos no tempo presente.
O valor de hoje, agora, neste instante, significa que este valor é o Valor Presente, que representaremos por PV.
Nas calculadoras financeiras, é comum encontrar a sigla PV – Present Value.
Também encontramos a denominação de PV como capital inicial – C, VP, Principal, ou, simplesmente, P.
Valor do Dinheiro no Tempo
VALOR FUTURO (FV)...
Quando vamos pagar, receber, ou aplicar algum valor no futuro... No ano que vem, no mês que vem... Isso significa que tal valor é um Valor Futuro, que representaremos por FV.
Nas calculadoras financeiras, é comum encontrar a sigla FV – Future Value.
Há autores que denominam o FV como Montante – S, M, VF, data futura, ou, simplesmente F. 
Relação de Equivalência de Capitais
Assim... 
Se depositarmos hoje – saída de caixa – um valor presente – PV de R$ 100,00, esperamos receber em breve – entrada de caixa – um valor futuro – FV de R$ 110,00; 
Este valor futuro, deve ser igual à soma no nosso investimento inicial – valor presente – mais os juros dessa aplicação – J de R$ 10,00
A RELAÇÃO FUNDAMENTAL DE EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS é expressa por:
FV = PV + J
Relação de Equivalência de Capitais
Da definição de taxa de juros, resulta a expressão para juros por um período: J = PV x i; 
Substituindo esta expressão na Relação Fundamental de equivalência de capital, FV = PV + J, obteremos 2 equações que permitem caracterizar a relação de equivalência de capitais para um período:
FV = PV x (1 + i)		 	PV = FV / (1 + i)
Denomina-se o fator de capitalização a expressão: (1 + i) e fator de descapitalização a expressão: 1 / (1 + i)
Relação de Equivalência de Capitais
Das relações de equivalência de capitais decorre uma relação alternativa para o conceito de taxa de juros:
i = J / PV
i = (FV – PV) / PV
i = (FV / PV) – 1, sendo i na forma unitária (decimal),
i = [(FV / PV) – 1] x 100, sendo i na forma percentual.
EXEMPLO
Um montante de R$ 4.600,00 é o resultado da aplicação de R$ 4.000,00 por 6 meses. Qual a taxa de juros no período?
Relação de Equivalência de Capitais
Um montante de R$ 4.600,00 é o resultado da aplicação de R$ 4.000,00 por 6 meses. Qual a taxa de juros no período?
i = (FV / PV) – 1
i = (4.600 / 4.000) – 1 
i = 1,15 – 1
i = 0,15
i = 15% a.s.
Taxas de Juros Efetiva e Nominal
TAXA EFETIVA
É aquela na qual a unidade de tempo de referência coincide com as unidades de tempo dos períodos de capitalização (dos juros). 
EXEMPLO
5% ao mês, capitalizados mensalmente;
10% ao ano, capitalizados anualmente.
TAXA NOMINAL
É aquela na qual a unidade de tempo de referência é diferente da unidade de tempo relativa à ocorrência da capitalização.
OBS.: A taxa nominal é quase sempre fornecida em termos anuais, enquanto a capitalização pode ser mensal, trimestral, semestral. É bastante utilizada no mercado, mas não é usada nos cálculos, pois não representa uma taxa efetiva.
Taxa de Juros Real
TAXA DE JUROS REAL...
É a taxa de juros obtida após se eliminar o efeito da inflação.
Para cálculo da taxa de juros real utilizaremos a fórmula de Fischer:
(1 + i) = (1 + p)(1 + r)
Onde...
i é a taxa nominal ou efetiva da operação;
p é a taxa de inflação;
r é a taxa de juros real.
Taxa de Juros Real
EXEMPLO
Considerando uma taxa nominal de 8% e inflação de 6%, qual a taxa de juros real no mercado?
(1 + i) = (1 + p)(1 + r)
(1 + 0,08) = (1 + 0,06)(1 + r)
(1,08) = (1,06)(1 + r)
(1,08)/(1,06) = (1 + r)
1,02 = 1 + r
1,02 – 1 = r
r = 0,02 
r = 2%
Taxa de Juros Real
EXEMPLO
Um lojista aplicou R$ 5.000,00 por três meses. Ao final desse período, ele resgatou R$ 5.375,00. A inflação acumulada no trimestre foi de 2,5%. Qual a taxa de juros real dessa operação?
Solução:
A taxa de juros nominal do período é dada por:
i = (FV / PV) – 1
i = (5.375 / 5.000) – 1 = 0,075
A taxa real é obtida pela fórmula de Fischer: (1 + i) = (1 + p)(1 + r)
(1 + r) = (1 + 0,075)/(1 + 0,025) = 0,04878
Logo, a taxa real da operação é 4,878% ao trimestre
Regime de Capitalização
Os Juros são classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado.
Juros com capitalização simples
Juros são aqueles calculados em função do capital inicial. Ou seja, sobre os juros não pagos não incide cobrança de juros.
Juros com capitalização composta
Juros que são calculados sobre o saldo devedor de um empréstimo, que inclui o principal e os juros ainda não pagos. Ou seja, juros que incidem sobre os juros devidos e não pagos.
Módulo 02
Regime de
Juros Simples
Juros Simples
O regime de capitalização simples é utilizado basicamente:
Nas operações de empréstimo de curtíssimo prazo até mesmo por um dia, que o mercado denomina hot money, que é utilizado para atender as necessidades de capital de giro das empresas
Na cobrança de cheques especiais; 
Nos financiamentos indexados de moeda estrangeira;
E no desconto de títulos de curto prazo, tais como duplicatas e notas promissórias.
Juros Simples
O valor dos juros no regime de capitalização simples é calculado sobre o valor inicial da operação. As fórmulas utilizadas são:
FV = PV + PV x i x n
FV = PV x (1 + i x n)
Juros = PV x i x n
FV = PV + Juros
Onde:
i = taxa de juros
FV = valor futuro
n = número de períodos ou prazo da operação
PV = valor presente
Exemplo
Sr. Antônio Rocha, microempresário, quer investir R$ 20.000,00 que recebeu pelo lucro obtido numa venda de grande lote de autopeças. 
Suponha que a única aplicação disponível remunere seus investidores com capitalização simples a uma taxa de 12% ao ano.
Quanto o Sr. Rocha terá nesta aplicação após 4 anos?
Solução:
FV = PV x (1 + i x n)
FV = 20.000 x (1 + 0,12 x 4)
FV = 20.000 x (1,48)
FV = 29.600,00
Na HP12C:
20000
1 
48 
Exemplo
Regina Santos deverá pagar R$ 28.000,00 daqui a 4 anos. Suponha que a melhor aplicação disponível pague juros com capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano.
Qual deve ser a quantia que Regina pode investir, hoje, nesta aplicação, para dispor da quantia necessária daqui a 4 anos?
Solução:
FV = PV x (1 + i x n)
28.000 = PV x (1 + 0,1 x 4)
28.000 = PV x (1,4)
28.000 / 1,4 = PV
PV = 20.000,00
Na HP12C:
28000
1 
40 
Exemplo
José Carlos precisa dispor da quantia de R$ 14.000,00 para pagar sua pós graduação daqui a 4 anos. José Carlos tem hoje R$ 10.500,00 para investir. Considere que a única aplicação disponível para investimento paga juros simples
Qual deve ser a taxa mínima (% a.a.) que ele deve conseguir na sua aplicação para realizar seus pagamentos no futuro?
Solução:
FV = PV x (1 + i x n)
14.000 = 10.500 x (1 + i x 4)
14.000 = 10.500 + 42.000 x i
3.500 =42.000 x i
3.500 / 42.000 = i
i = 8,33%
Na HP12C:
14000
10500 
1 
Exemplo
Alberto Soares, engenheiro, recebeu R$ 5.000,00 pela elaboração do seu último projeto. Suponha que Alberto queira investir seus honorários em uma aplicação que pague juros simples a uma taxa de 12,5% ao ano.
Quanto tempo o Sr. Soares deverá deixar o dinheiro aplicado para dobrar seu capital?
Solução:
FV = PV x (1 + i x n)
10.000 = 5.000 x (1 + 0,125 x n)
10.000 / 5.000 = 1 + 0,125 x n
2 = 1 + 0,125 x n
2 – 1 = 0,125 x n
1 = 0,125 x n
n = 8
Na HP12C:
10000
5000 
1 
Taxas Proporcionais – Juros Simples
Duas taxas ou mais taxas serão proporcionais, quando ao serem aplicadas a um mesmo Principal (PV), durante um mesmo prazo no regime de capitalização simples, produzirem um mesmo montante acumulado.
As taxas mais utilizadas são:
Taxa diária (a.d.);
Taxa mensal (a.m.);
Taxa trimestral (a.t.);
Taxa semestral (a.s.);
Taxa anual (a.a.).
Taxas Proporcionais – Juros Simples
A fórmula de equivalência no regime de capitalização simples (taxas proporcionais):
id x 360 = im x 12 = it x 4 = is x 2 = ia x 1
Podemos verificar que quando tratamos de juros simples, podemos fazer os cálculos de taxas proporcionais utilizando regra de três.
Exemplo
Quais serão as taxas, diária, mensal, trimestral e semestral proporcionais a taxa de 60% a.a. ?
Solução:
ia x 1 = 60 → id = 60 : 360 = 0,167% a. d.
ia x 1 = 60 → id = 60 : 12 = 5,0% a. m.
ia x 1 = 60 → id = 60 : 4 = 15,0% a. t.
ia x 1 = 60 → id = 60 : 2 = 30% a. s.
Equivalência de Capitais – Juros Simples
Dado um conjunto de capitais que constitua compromisso original assumido, busca-se encontrar a equivalência de capitais através do estabelecimento de igualdade dos dois conjuntos que denomina-se equação (de determinação) de valor.
Para resolução da equivalência de juros simples utiliza-se a fórmula fundamental: FV = PV x (1 + i x n) e a data focal zero (referência) como a data de hoje.
Na sequência segue um exemplo...
Exemplo
Uma empresa tem as seguintes obrigações R$ 4.000,00, daqui a um mês, R$ 800,00, em seis meses e R$ 8.000,00, em um ano. Deseja substituir essas obrigações por dois pagamentos iguais, a vencer de hoje a 10 e 15 meses, respectivamente. Calcular o valor destes pagamentos, considerando a taxa de juros simples de 12% a.a. e que as obrigações equivalentes devem ter valores iguais. 
Solução:
i = 12% a.a. → 12/12 = 1% a.m. = 0,01
Obrigações:
R$ 4.000,00 – em 1 mês
R$ 800,00 – em 6 meses
R$ 8.000,00 – em 1 ano
Exemplo
Solução:
Trazendo para valores presente, data focal zero (data de hoje) temos...
O valor do primeiro conjunto:
FV = PV x (1 + i x n) → PV = FV / (1 + i x n)
PV = 4.000 / (1 + 0,01 x 1) + 800 / (1 + 0,01 x 6) + 8.000 / (1 + 0,01 x 12) 
PV = 3.960,40 + 754,12 + 7.142,86
PV = 11.857,38
O valor do primeiro conjunto:
PV = P / (1 + 0,01 x 10) + P / (1 + 0,01 x 15) = 1,7787 P
Igualando as duas equações:
1,7787 x P = 11.857,38
P = 6.666,32
Exemplo
Segue agora um exercício de cálculo de juros de cheque especial. Suponha que você realizou a seguinte movimentação em sua conta bancária. A taxa de juros cobrada pela instituição nessa linha de crédito é de 9% ao mês. No tocante ao IOF, utilizar a alíquota diária de 0,0082%. De posse desses dados, como você faria para saber o valor de juros e IOF que serão debitados em sua conta corrente no final do mês? Considere ainda a taxa de 0,38% sobre o valor do saque que gera o saldo devedor.
	EXTRATO				
	Data	Histórico	Débito	Crédito	Saldo
	01/out	Saldo	 	 	 R$ 200,00 
	02/out	Cheque 10	 R$ 500,00 	 	-R$ 300,00 
	08/out	Cheque 11	 R$ 1.000,00 	 	-R$ 1.300,00 
	15/out	Dep.em Dinheiro	 	 R$ 2.000,00 	 R$ 700,00 
	20/out	Cheque 08	 R$ 2.500,00 	 	-R$ 1.800,00 
	25/out	Cheque 12	 R$ 500,00 	 	-R$ 2.300,00 
	28/out	Cheque 09	 R$ 700,00 	 	-R$ 3.000,00 
Exemplo
Solução:
Cálculo da taxa mensal de juros em diária:
im = 9% a.m. → id = im /30 → id = 9/30 = 0,3% a.d. = 0,003 (decimal)
IOF
id = 0,0082% a.d. = 0,000082 (decimal) 
No tocante ao pagamento dos juros, o banco vai cobrar durante os dias que o saldo ficar negativo. 
A cobrança será SALDO NEGATIVO x NÚMERO DE DIAS x TAXA, fórmula:
J = Sdev x i x n
Então . . . 
Exemplo
Ainda temos o adicional de IOF de 0,38% sobre o valor do saque que gera saldo devedor. Ou seja, teríamos mais a cobrança de:
300 x 0,0038 + 1000 x 0,0038 + 1800 x 0,0038 + 500 x 0,0038 + 700 x 0,0038 = R$ 16,34
O valor total debitado será R$ 116,40 de Juros e R$ 19,54 de IOF (R$ 3,18 + R$ 16,34) 
	Juros do Saldo Devedor			TX 0,003
	 	 	 	 
	Juros	Dias	Taxa	Juros a Pagar
	J1	 6 	0,003	 R$ 5,40 
	J2	 7 	0,003	 R$ 27,30 
	 	 	 	 
	J3	 5 	0,003	 R$ 27,00 
	J4	 3 	0,003	 R$ 20,70 
	J5	 4 	0,003	 R$ 36,00 
	TOTAL			 R$ 116,40 
	IOF			0,000082
	 	 	 	 
	Juros	Dias	Taxa	Juros a Pagar
	J1	 6 	0,000082	 R$ 0,15 
	J2	 7 	0,000082	 R$ 0,75 
	 	 	 	 
	J3	 5 	0,000082	 R$ 0,74 
	J4	 3 	0,000082	 R$ 0,57 
	J5	 4 	0,000082	 R$ 0,98 
	TOTAL			 R$ 3,18 
Módulo 03
Regime de
Juros Compostos
Juros Compostos
No tópico anterior (juros simples), os juros foram calculados sempre em cima do valor do capital inicial. 
Ou seja, no regime de capitalização simples, sobre os juros não pagos não incide cobrança de juros.
Agora, se a cada período que dura o empréstimo ou aplicação, os juros forem calculados sobre o saldo devedor da operação – que inclui o principal e os juros ainda não recebidos, as taxas de juros serão chamadas de juros com capitalização composta. 
Em outras palavras, incidem juros sobre juros.
Juros Compostos
A fórmula que relaciona valor presente PV, taxa de juros i, prazo n e valor futuro FV, quando tratarmos de capitalização composta, é ...
FV = PV x (1 + i)n
Para facilitar os cálculos, utilizam-se calculadoras financeiras. 
As teclas utilizadas são:
	 Valor Presente
	 Valor Futuro
	 Taxa de juros em formato percentual
	 Prazo
	 Valor das prestações intermediárias (quando houver)
Exemplo
Silvio deverá pagar R$ 28.000,00 daqui a 4 anos. Suponha que a única aplicação disponível pague juros com capitalização composta a uma taxa de 10% ao ano.
Qual deve ser a quantia que Sílvio pode investir, hoje, nesta aplicação, para dispor da quantia necessária daqui a 4 anos?
Solução: 
FV = PV x (1 + i)n
28.000 = PV x (1 + 0,1)4
28.000 = PV x 1,4641
PV = 28.000 / 1,4641 = 19.124,38
R$ 19.124,38
28000
4
10
NA HP12C
Exemplo
Roberto Dias quer investir R$ 20.000,00 que recebeu pela venda de seu automóvel. Suponha que a única aplicação disponível remunere seus investidores com capitalização composta a uma taxa de 12% a.a.
Quanto o Sr. Roberto terá nesta aplicação, após 4 anos?
Solução: 
FV = PV x (1 + i)n
FV = 20.000 x (1 + 0,12)4
FV = 20.000 x 1,57352 = 31.470,3872
R$ 31.470,39
20000
4
12
NA HP12C
Exemplo
Uma agência de veículos, pretendendo dinamizar suas vendas, anuncia o seguinte: “Compre um carro usado e só pague daqui a 6 meses. Quem optar pelo pagamento a vista terá um desconto de 30%.”
Qual é a taxa de juros compostos ao mês cobrada por essa agência?
Solução: 
FV = PV x (1 + i)n
Mas PV = 0,7 X FV
Assim, teremos a seguinte expressão:
FV = 0,7 X FV (1 + i)6
(1 + i)6 = (1 / 0,7) → i = (1,428571)1/6 – 1 = 0,06125
Taxa de 6,125% a.m.
70
6
100
NA HP12C
Exemplo
João Pereira tem hoje um capital de R$ 15.000,00. Suponha que a melhor aplicação remunere com juros com capitalização composta a uma taxa de 10,45% a.a.
Quanto tempo ele deve deixar aplicado o seu capital para conseguir dobrar o seu capital?
Solução: 
FV = PV x (1 + i)n
30000 = 15000 x (1 + 0,1045)n
2 = (1 + 0,01045)n
2 = (1,1045)n
n = ln 2 / ln 1,1045
Tempo de 7 anos15000
30000
10,45
NA HP12C
Taxas Equivalentes – Juros Compostos
Duas taxas ou mais taxas serão equivalentes, quando ao serem aplicadas a um mesmo Principal (PV), durante um mesmo prazo no regime de capitalização composto, produzirem um mesmo montante acumulado.
Ao tratarmos de juros compostos, não existe proporcionalidade.
Logo, não podemos efetuar os cálculos por regra de três.
Taxas Proporcionais – Juros Simples
A fórmula de equivalência no regime de juros compostos (taxas equivalentes):
(1+ id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1 + is)2 = (1+ ia)
A seguir faremos um exemplo para fixação do conceito e exercitarmos os cálculos exponenciais.
Exemplo
Quais serão as taxas equivalentes, anual, semestral e trimestral equivalentes a uma taxa de 3% a.m..?
Solução
Tx anual → (1+ ia) = (1 + im)12 = (1 + 0,03)12 = 42,58% a.a.
Tx semestral → (1+ is) = (1 + im)6 = (1 + 0,03)6 = 19,41% a.s.
Tx semestral → (1+ it) = (1 + im)3 = (1 + 0,03)3 = 9,27% a.t.
Transformação: TAXAS NOMINAIS EM EFETIVAS
Como já vimos a Taxa efetiva é a taxa, que efetivamente, será auferida na operação realizada.
Em contraste com a Taxa nominal, também denominada taxa contratada (declarada) da operação.
Assim, caso a taxa de juros apresentada seja a nominal, deve-se primeiro encontrar a taxa efetiva relativa ao período de capitalização existente na referida taxa nominal, para então realizar a compatibilização das unidades de tempo.
Exemplo
O BNDES está oferecendo uma linha de financiamento especial a pequenas e médias empresas, a uma taxa nominal de 12% ao ano, com a capitalização mensal.
Qual a taxa efetiva anual da operação?
Solução:
Dados: in nominal = 12% a.a. = 0,12; k = mês; z = 12.
ik efetiva = (in nominal) / z = 0,12 / 12 = 0,01
in = (1 + 0,01)12 – 1 = 0,1268 = 12,68% a.a.
A taxa efetiva da operação é de 12,68% a.a.
Equivalência de Capitais – Juros Compostos
Dado um conjunto de capitais que constitua compromisso original assumido, busca-se encontrar a equivalência de capitais através do estabelecimento de igualdade dos dois conjuntos que denomina-se equação (de determinação) de valor.
Para resolução da equivalência de juros compostos utiliza-se a fórmula fundamental: FV = PV x (1 + i)n e a data focal zero (referência) como a data de hoje.
Na sequência segue um exemplo...
Exemplo
Uma empresa tem as seguintes obrigações R$ 4.000,00, daqui a um mês, R$ 800,00, em seis meses e R$ 8.000,00, em um ano. Deseja substituir essas obrigações por dois pagamentos iguais, a vencer de hoje a 10 e 15 meses, respectivamente. Calcular o valor destes pagamentos, considerando a taxa de juros compostos de 1% a.m. e que as obrigações equivalentes devem ter valores iguais. 
Solução:
Obrigações:
R$ 4.000,00 – em 1 mês
R$ 800,00 – em 6 meses
R$ 8.000,00 – em 1 ano
Exemplo
Solução:
Trazendo para valores presente, data focal zero (data de hoje) temos...
O valor do primeiro conjunto:
FV = PV x (1 + i)n → PV = FV / (1 + i)n
PV = 4.000 / (1 + 0,01)1 + 800 / (1 + 0,01)6 + 8.000 / (1 + 0,01)12
PV = 3.960,40 + 753,64 + 7.099,60
PV = 11.813,64
O valor do primeiro conjunto:
PV = P / (1 + 0,01)10 + P / (1 + 0,01)15 = 1,76664 P
Igualando as duas equações:
1,76664 x P = 11.813,64
P = 6.687,07
Módulo 04
Séries Uniformes 
de pagamentos
Séries Uniformes de Pagamentos
Definição...
São fluxos de caixa idênticos e periódicos ao longo do tempo.
Por exemplo:
As prestações fixas de um crediário de uma cadeia de lojas populares;
Os valores de prestações fixas de um financiamento de um automóvel;
Os recebimentos de um aluguel mensal.
Também chamamos a série de pagamentos, como sequencia ou série de capitais
Séries Uniformes de Pagamentos
As fórmulas para cálculo do PMT (prestação constante) exigem cálculos matemáticos complexos.
As fórmulas de Matemática Financeira para pagamentos uniformes são:
PV = PMT x {[(1 + i)n – 1] / i x (1 + i)n}
FV = PMT x {[(1 + i)n – 1 ] / i}
Séries Uniformes de Pagamentos
Assim ...
Para a resolução de exercícios com séries de pagamentos uniformes, geralmente é utilizada a calculadora financeira HP12C, com as seguintes funções 
PMT – Payment (prestação, pagamento, recebimento
FV – Future value (valor futuro)
PV – Present value (valor presente)
n – number (número de prestações, parcelas...)
i – interest rate (taxa de juros)
Exemplo
Qual deverá ser o valor do depósito mensal, durante 12 meses consecutivos, para obtermos um montante de R$ 60.000,00 a uma taxa de juros de 3% a.m.?
Solução: 
0 
60000
3
12 
			R$ 4227,73
Exemplo
Você deve escolher entre pagar a vista ou financiar uma geladeira. À vista o valor é de R$ 930,00 ou em 12 R$ 89,00. Calcule a taxa mensal e anual do financiamento e suponha que a melhor taxa que você tem de remuneração de investimento é de 1,5% a.m.
Solução: 
930 
0
89 
12 
			2,196% a.m. – Melhor comprar à vista 
Exemplo
Um carro é vendido à vista por R$ 30.000,00 ou financiado em 24 parcelas iguais, sem entrada. A financeira cobra taxa de juros compostos de 4% a.m.
Qual o valor de cada parcela?
Solução: 
30000 
0
4
24 
			R$ 1.967,61
Exemplo
Sueli Souza, administradora de imóveis, tem hoje R$ 15.000,00 investidos a uma taxa de juros composta de 12,5% a.a. Suponha que ela pretenda depositar R$ 3.000,00 ao final de cada ano, durante 5 anos. 
Quanto ela terá ao final desse período?
Solução: 
15000 
3000
12,5
5
			R$ 46.279,27
Módulo 05
Sistemas de Amortização
Sistemas de Amortização
Sistemas de amortização...
Amortização é a parte de uma prestação que serve para reduzir o principal de uma dívida, já que a outra parte equivale ao juros.
Existem diversos sistemas de amortização, entre os mais usados:
Sistema PRICE – as prestações são constantes
Sistema SAC – as amortizações são constantes
Sistema Americano – o principal, será restituído no final.
Sistemas de Amortização Francês
SISTEMA PRICE...
É conhecido como sistema francês de amortização;
A característica principal é apresentar prestações constantes;
Com a HP12C é representado pelo PMT (payment);
É utilizado frequentemente nos financiamentos comerciais, no crédito direto ao consumidor – CDC, financiamentos imobiliários, etc.
Exemplo
Sr. Maurício Ramos, diretor industrial de uma empresa farmacêutica, solicitou o empréstimo de R$ 30.000,00 para compra de novas máquinas. O Banco cobra uma taxa de 10% a.a. e o empréstimo poderá ser liquidado em 3 (três) prestações de diferentes maneiras. Pelo Sistema PRICE.
	Tempo	Saldo Devedor	Juros	Amortização	Prestação
					
					
					
					
t = 0
t = 1
t = 3
t = 2
30.000,00
3.000,00
20.936,56
9.063,44
12.063,44
12.063,44
12.063,44
10.966,78
2.093,66
9.969,78
0,00
1.096,68
10.966,76
Exemplo
	Tempo	Saldo Devedor	Juros	Amortização	Prestação
					
					
					
					
t = 0
t = 1
t = 3
t = 2
30.000,00
3.000,00
20.936,56
9.063,44
12.063,44
12.063,44
12.063,44
10.966,78
2.093,66
9.969,78
0,00
1.096,68
10.966,76
Na HP12C – Para acharmos a prestação.
30000
3 
10 
Achar o valor do JUROS:
1 
Achar o valor da AMORTIZAÇÃO:
Achar o SALDO DEVEDOR:
Repetir o processo
Sistemas de Amortização Constante
SISTEMA SAC...
É o sistema em que as amortizações são constantes;
A amortização do principal é uma parte da prestação, enquanto a outra parte são os juros do período;
Para cálculo da prestação pelo sistema SAC determina-se ...
 a amortização, dividindo-se o valor do financiamento pelo nº de prestações a pagar;
 os juros devidos a cada período somando os juros do período com a amortização. Obs.: as prestações vão decrescendo ao longo do tempo.
Exemplo
Sr. Maurício Ramos, diretor industrial de uma empresa farmacêutica, solicitou o empréstimo de R$ 30.000,00 para compra de novas máquinas. O Banco cobra uma taxa de 10% a.a. e o empréstimo poderá ser liquidado em 3 (três) prestações de diferentes maneiras. Pelo Pelo Sistema SAC.
	Tempo	Saldo Devedor	Juros	Amortização	Prestação
					
					
					
					
t = 0
t = 1
t = 3
t = 2
30.000,00
3.000,0020.000,00
10.000,00
13.000,00
12.000,00
11.000,00
10.000,00
2.000,00
10.000,00
0,00
1.000,00
10.000,00
Sistemas de Amortização Americano
SISTEMA SAA...
É o em que o principal será restituído, de uma única vez, ao final da operação;
No caso normal de juros são pagos periodicamente;
É utilizado em empréstimos de moeda estrangeira;
Para evitar grande desembolso financeiro ao final do contrato, é comum o tomador do empréstimo constituir um fundo de amortização, chamado sinking fund. 
Exemplo
O Banco Federal emprestou R$ 900.000,00 a empresa Atrium, a ser pago pelo sistema de amortização americano, em 6 anos. Considerando que a taxa de juros será de 6,0% a.a., apresente a planilha completa com o valor dos juros, amortização e prestação.
	Período	Prestações	Juros (6% a.a.)	Amortização	Saldo Devedor
	0	 	 	 	 R$ 900.000,00 
	1	 R$ 54.000,00 	 R$ 54.000,00 	 R$ - 	 R$ 900.000,00 
	2	 R$ 54.000,00 	 R$ 54.000,00 	 R$ - 	 R$ 900.000,00 
	3	 R$ 54.000,00 	 R$ 54.000,00 	 R$ - 	 R$ 900.000,00 
	4	 R$ 54.000,00 	 R$ 54.000,00 	 R$ - 	 R$ 900.000,00 
	5	 R$ 54.000,00 	 R$ 54.000,00 	 R$ - 	 R$ 900.000,00 
	6	 R$ 954.000,00 	 R$ 54.000,00 	 R$ 900.000,00 	 R$ - 
	Total	 	 R$ 324.000,00 	 R$ 900.000,00 	 
Módulo 06
Métodos de análises de fluxos de caixa
Conceituação
Os dois métodos mais importantes de avaliação de fluxos de caixas não uniformes, são:
O método do valor presente (atual) líquido – VPL (ou net presente value – NPV)
O método da taxa interna de retorno – TIR (ou internal rate of return – IRR)
Iremos lidar com 2 situações:
Calcular a taxa interna de retorno ou de juros de um fluxo de caixa
Tomar uma decisão para a situação que se apresenta, a partir do valor ou das taxas internas calculados
VPL – Valor Presente Líquido
É a diferença aritmética entre o custo do investimento e o seu valor.
VPL = Valor – Custo 
Para um projeto ser considerado viável, o VPL deve ser maior que zero (VPL > 0), ou seja, o projeto vale mais do que custa, e a diferença é o nosso lucro;
Inversamente, um projeto não é considerado viável, quando o VPL é menor que zero (VPL < 0), ou seja, o projeto custa mais do que vale, e a diferença é o nosso prejuízo;
VPL – Valor Presente Líquido
Quando utilizamos a calculadora HP12C, a função que calcula o Valor Presente Líquido é:
NPV (Net Present Value)
Na HP12C, o VPL é acessado pela sequência de teclas		 , respectivamente.
As fórmulas de Matemática Financeira para o cálculo do VPL são
 
TIR – Taxa Interna de Retorno
É a taxa de retorno que um projeto fornece ao seu investidor VPL = 0 → Valor = Custo → é taxa que zera o VPL.
Para um projeto ser considerado viável, a TIR deve ser maior que a taxa de juros do capital nele alocado → TIR > Taxa Capital, ou seja, o projeto retorna uma taxa maior do que a taxa de juros do capital. A diferença para mais significa o nosso lucro;
Inversamente, um projeto é inviável, quando a TIR for menor que a taxa de juros do capital investido → TIR < Taxa Capital, ou seja, estaremos pagando mais pelo capital do que conseguimos receber desse projeto.
TIR – Taxa Interna de Retorno
Quando utilizamos a calculadora HP12C, a função que calcula A Taxa Interna de Retorno é:
IRR (Internal Rate of Return)
Na HP12C, a TIR é acessado pela sequência de teclas 		, respectivamente.
As fórmulas de Matemática Financeira para cálculo da TIR
 
TMA – Taxa Mínima de Atratividade
É a taxa mínima que o investidor está disposto a receber por aplicar seu capital em um projeto.
Exemplo: se temos recursos aplicados no Banco A, a uma taxa de 10% a.a., e recebemos uma proposta para investir num Banco B, somente mudaremos para esse Banco, se formos receber uma TMA acima de 10% a.a.
Assim, um projeto é viável se a TIR > TMA e
O projeto será inviável se a TIR < TMA.
Usando a HP12C para Cálculo do TIR e VPL
Para resolução dos exercícios que solicitem o cálculo do TUR e VPL, é geralmente utilizada a HP12C, através das funções de: 
g CFo – Cash Flow Inicial – data zero ( - )
g CFj – Cash Flow no período – j ( + )
g Nj – número de Cash Flow repetidos
f NPV – calcula o Valor Presente Líquido
f IRR – calcula a Taxa Interna de Retorno
Exemplo
Paulo deve decidir se sua empresa investe em um projeto que promete dar com retorno uma sequência de fluxos de caixa da seguinte forma:
R$ 1.800,00 em t = 1 ano, R$ 4.200,00 em t = 2 anos e R$ 5.600,00 em t = 3 anos. 
O custo necessário para implementar este projeto, hoje, é R$ 9.000,00, Considerando que o custo do capital para financiar este projeto é 12% a.a., qual a sua decisão, investe ou não? Qual é o VPL deste projeto?
Solução:
9000
1800 
4200
5600
12
Não Investiria. VPL = -R$ 58,67
Exemplo
O projeto Estrela custaria R$ 1.600.000,00 caso seja implantado hoje. Este projeto promete pagar R$ 880.000,00 em t = 1 ano, R$ 670.000,00 em t = 2 anos e R$ 950.000,00 em t = 3 anos. O custo do capital que pode financiar este projeto é 20% a.a. Devemos investir ou não neste projeto? Qual é a TIR do projeto Estrela?
Solução:
1600000
880000 
670000
950000
IRR > 20% - 25,8028%. Sim, investiria
Exemplo
Você está analisando se vale a pena investir no projeto Gold que promete pagar aos seus investidores uma sequência de fluxos de caixa R$ 1.200,00 por 4 anos (t = 1 ano até t = 4 anos). O custo necessário para implementar este projeto, hoje, é de R$ 3.500,00. Considerando que a taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto seja de 20% ao ano, qual é a sua decisão? Devemos investir ou não neste projeto? Qual é o VPL deste projeto?
Solução:
3500
1200 
4
20
VPL = - R$ 393,52. Não, investiria
Exemplo
O projeto Silver custaria R$ 1.200.000,00 para implementação hoje. Este projeto promete pagar R$ 480.000,00 em t = 2 anos, R$ 670.000,00 em t = 3 anos e R$ 820.000,00 em t = 4 anos. O custo do capital que pode financiar este projeto é 18% ao ano. Qual a sua decisão? Devemos investir ou não neste projeto? Qual é a TIR deste projeto?
Solução:
1200000
0 
480000
670000
820000
TIR = 17,21% a.a. Projeto Inviável
Exemplo
Um automóvel é vendido à vista por R$ 30.000,00 ou financiado em 5 parcelas iguais de R$ 7.500,00 cada, vencendo a primeira parcela 3 meses após a compra. Solicita-se:
A taxa de juros do financiamento
Se o comprador conseguir uma aplicação num banco à taxa de 5% a.m., qual a sua melhor opção?
Solução:
30000
0 
2
7500
5
TIR = 4,61% a.m. 
Melhor financiar o carro e aplicar o dinheiro no banco.
Módulo 07
Desconto
Desconto Simples
Um título de crédito (duplicata, nota promissória, cheque pós-datado, etc.) pode ser negociado antes de seu vencimento.
Essa operação é chamada normalmente por DESCONTO.
O sacador (dono do título) precisa do recurso, antes de seu vencimento.
Ele negocia com um banco ou outra atividade, e recebe o valor nominal (FV) do título descontado os juros, calculados à uma taxa negociada, chamada taxa de desconto.
Desconto Simples
As taxas de desconto bancário são sempre expressas em termos de juros, com capitalização simples, salvo indicação em contrário dos bancos.
A fórmula para cálculo do desconto comercial simples é:
PV = FV x (1 – i x n)
O desconto comercial, ou seja o valor dos juros simples é calculado è uma taxa de desconto sobre o valor nominal do título (VF) pelo prazo, da data da operação até o vencimento do título:
Desconto (Juros) = FV x n x i
Desconto Simples
Os títulos que sofrem operação de Desconto:
Duplicata – Título de crédito vinculado a operações de vendas de bens ou serviços. Pessoa jurídica para Pessoa física.
Nota Promissória – Título de crédito. Pessoa física para pessoa física.
Letra de Câmbio – Título de crédito. Instituição financeira para Pessoa física
Exemplo
Um cliente efetuou um desconto de nota promissória no seu Banco, no valor nominal de R$ 10.000,00com vencimento para 90 dias, à taxa de desconto simples de 4,5% a.m. Calcule:
O valor do descontado comercial
O desconto comercial
Solução: 
PV = FV x (1 – i x n) 
PV = 10000 x (1 – 0,045 x 3) 
PV = 10000 x (1 - 0,135) = 8650
b) Desconto = FV x n x i
Desc = 10000 x 3 x 0,045 = 1350
Resposta: R$ 8.650,00 e R$ 1.350,00
Exemplo
Uma empresa necessita de capital de giro e oferece duplicatas para serem descontadas em um banco comercial.
O valor total dessas duplicatas é de R$ 50.000,00, sendo . . . 
Duplicatas c/ vencimento de 30 dias	R$ 10.000,00
Duplicatas c/ vencimento de 60 dias	R$ 15.000,00
Duplicatas c/ vencimento de 90 dias	R$ 25.000,00
Qual será o valor a ser creditado na conta dessa empresa, considerando que o mês tem 30 dias e que a taxa de desconto acertada em 2,5% a.m.?
Exemplo
Solução: 
Para duplicatas com vencimento de 30 dias:
PV = 10000 x (1 – 0,025 x 1) = 9750
Para duplicatas com vencimento de 60 dias:
PV = 15000 x (1 – 0,025 x 2) = 14250
Para duplicatas com vencimento de 90 dias:
PV = 25000 x (1 – 0,025 x 3) = 23125
Resposta: 9750 + 14250 + 23125 = R$ 47.125,00 a ser creditado 
Exemplo
A fábrica de Roupas Brasil precisa cobrir o caixa de sua empresa, e assim, o encarregado financeiro procurou uma instituição financeira para descontar o borderô a seguir.
A taxa de desconto simples utilizada na operação é de 4,5% a.m.
Calcule o desconto sofrido e o valor descontado sofrido pelo borderô.
	Borderô de desconto				
	Data de hoje: 20/04/X7				
	Cedente:	Roupas Brasil	 	 	 
	Nº DP	Sacado	Praça	Vencimento	Valor R$ 
	4	Modas Avançus	SP	30/04/X7	 5.500,00 
	7	Camisaria Azul	RJ	30/04/X7	 6.500,00 
	10	Moda Clic Infantil	Recife	10/05/X7	 1.800,00 
	15	Loja Mirage	BH	10/05/X7	 3.400,00 
	18	Intinmus Moda Feminina	Belém	25/05/X7	 5.000,00 
	22	Época Moda Masculina	Cuiabá	25/05/X7	 4.800,00 
Exemplo
Solução:
Resumindo:
Dia 30 – 10 dias: R$ 12.000,00
Dia 20 – 20 dias: R$ 5.200,00
Dia 25 – 35 dias: R$ 9.800,00
Total = R$ 27.000,00
Taxa: 4,5% - 0,045/30 = 0,15% a.d.
Desc = FV x d x n
Desc10 = 12000 x 0,0015 x 10 = 180,00
Desc20 = 5200 x 0,0015 x 20 = 156,00
Desc30 = 9800 x 0,0015 x 35 = 514,50
Solução:
DescTOTAL = 180,00 + 156,00 + 514,50
DescTOTAL = 850,50
VDescTOTAL = FVTotal – DescTOTAL
VDescTOTAL = 27000 – 850,50
VDescTOTAL = 26.149,50
Resp: o desconto sofrido foi de R$ 850,50 e o valor descontado de R$ 26.149,50
Desconto Composto
É utilizado nas operações de longo prazo. Esse tipo de desconto objetiva determinar o valor presente de um fluxo de caixa futuro, considerando prazo para sua ocorrência e a taxa de juros a ser utilizada na operação.
Os cálculos dessa operação se baseiam na fórmula geral de juros compostos:
FV = PV x (1 + i)n
Assim a equação básica dos juros compostos aplicado ao desconto composto, adquire a seguinte forma:
Desconto ou PV = FV / (1 + i)n
Exemplo
Em uma operação de longo prazo, uma distribuidora de títulos e valores oferece títulos com valor de face de R$ 5.000,00. A taxa oferecida aos investidores é de 21,5% a.a.
Considerando que o vencimento dos títulos ocorrerá daqui a 4 anos, determine o investimento, hoje, por título adquirido (desconto composto).
Solução: 
Para se calcular o valor descontado composto, usando a fórmula temos: 
VDesc = FV / (1 + i)n
VDesc = 5000 / (1 + 0,215)4
VDesc = 5000 / (1,215)4
VDesc = 5000 / 2,17924 = R$ 2.294,38
Referências 
ABREU, José Carlos – Matemática Financeira – Rio de Janeiro: FGV Online, 2010
MENDONÇA, Luiz Geraldo – Matemática Financeira / Luiz G. Mendonça, George J. Boggiss, Luis A. R. Gaspar, Marcos G. Heringer – 10ª edição – Rio de Janeiro: Editora FGV, 2010. 140 p. – (Gestão empresarial (FGV Management))
Obrigado!!! 
Ricardo Almeida & Roberto Romeiro