Trigonometria-Funcao

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Função Trigonométrica 
 
1. (Ufpr 2013) O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um 
cilindro, como ilustra a figura. 
 
 
 
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em centímetros, possa 
ser descrita pela expressão: 
 
 
2 t
h t 4sen 4.
0,05
π 
  
 
 
 
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge. 
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando durante um minuto? 
 
2. (Uespi 2012) Quantas soluções a equação sen x = 
x
10
 admite no conjunto dos números 
reais? Abaixo, estão esboçados os gráficos de sen x e x/10. 
 
 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
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3. (Ufpb 2012) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na 
vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em 
metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a 
função: 
 
A(t) 1,6 1,4 sen t
6
 
   
 
 
 
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de 
certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada 
pelo gráfico: 
a) b) c) 
d) e) 
 
4. (Ucs 2012) Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea 
por x metros, é necessário aplicar uma força de  20 10 sen x newtons sobre ele. 
Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo  0,3 , está representada a relação entre a força 
aplicada e a distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros? 
a) b) c) 
d) e) 
 
5. (Mackenzie 2012) O maior valor que o número real 
10
sen x
2
3

 pode assumir é 
a) 
20
3
 b) 
7
3
 c) 10 d) 6 e) 
20
7
 
 
 
 
 
 
 
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6. (Espcex (Aman) 2012) A função real f(x) está representada no gráfico abaixo. 
 
 
 
A expressão algébrica de f(x) é 
a)  

 

- sen x , se x < 0
f x
cos x , se x 0
 
b)  

 

cos x , se x < 0
f x
senx , se x 0
 
c)  

 

- cos x , se x < 0
f x
sen x , se x 0
 
d)  

 

senx , se x < 0
f x
cos x , se x 0
 
e)  

 

senx, se x < 0
f x
cosx, se x 0
 
 
7. (Ufpr 2012) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, 
na superfície de um lago possa ser descrita pela função F(t) 21 4cos t ,
12
π 
   
 
 sendo t o 
tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã. 
 
a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas? 
 
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23ºC? 
 
8. (Uern 2012) Um determinado inseto no período de reprodução emite sons cuja intensidade 
sonora oscila entre o valor mínimo de 20 decibéis até o máximo de 40 decibéis, sendo t a 
variável tempo em segundos. Entre as funções a seguir, aquela que melhor representa a 
variação da intensidade sonora com o tempo I(t) é 
a) 50 10 cos t .
6
π 
  
 
 
b) 30 10 cos t .
6
π 
  
 
 
c) 40 20 cos t .
6
π 
  
 
 
d) 60 20 cos t .
6
π 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. (Uepa 2012) Os desfiles de moda parecem impor implicitamente tanto o ―vestir-se bem‖ 
quanto o ―ser bela‖ definindo desse modo padrões de perfeição. Nesses desfiles de moda, a 
rotação pélvica do andar feminino é exagerada quando comparada ao marchar masculino, em 
passos de igual amplitude. Esse movimento oscilatório do andar feminino pode ser avaliado a 
partir da variação do ângulo θ conforme ilustrado na figura abaixo, ao caminhar uniformemente 
no decorrer do tempo (t). 
 
 
 
Um modelo matemático que pode representar esse movimento oscilatório do andar feminino é 
dado por:  
4
t cos t .
10 3
π π
θ
 
  
 
 Nestas condições, o valor de 
3
2
θ
 
 
 
 é: 
a) 
8
π
 b) 
10
π
 c) 
12
π
 d) 
18
π
 e) 
20
π
 
 
10. (Ufrgs 2012) O número de interseções da função f(x) = sen 5x com o eixo das abscissas 
no intervalo [ 2 ,2π π ] é 
a) 10. b) 14. c) 21. d) 24. e) 27. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
O início da década de oitenta foi marcado por um estilo que ficou conhecido como new wave. 
Um grande sucesso dessa época foi a música Safety Dance do grupo canadense Men Without 
Hats. No videoclipe da música, ambientado num cenário medieval, um casal dança ao som da 
música e, no refrão ―Oh Well the safety dance, ah yes the safety dance”, forma com os braços 
a letra S, inicial de Safety. Essa representação ficou sendo a marca registrada do sucesso 
alcançado. Alguns programas e séries da TV atual apresentaram a sua versão para o Safety 
Dance. Nas figuras a seguir, estão representadas a versão original, a versão da série animada 
Uma família da pesada e a versão da série Glee. 
 
 
 
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11. (Ufsm 2012) Considere que o programa de computador que gerou as imagens da série 
Uma família da pesada tenha utilizado o gráfico de uma senoide u(t) A sen( t)ω para o 
posicionamento dos braços do personagem como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
Afirma-se, então: 
 
I. A amplitude é A = 4. 
II. O período da função u(t) é 3. 
III. A frequência angular é .ω π 
 
Está(ão) correta(s) 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para 
colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade 
entre Engenharia e Matemática. 
 
 
12. (Pucrs 2012) Os fenômenos gerados por movimentos oscilatórios são estudados nos 
cursos da Faculdade de Engenharia. Sob certas condições, a função y 10 cos(4t) descreve 
o movimento de uma mola, onde y (medido em cm) representa o deslocamento da massa a 
partir da posição de equilíbrio no instante t (em segundos). Assim, o período e a amplitude 
desse movimento valem, respectivamente, 
a) s — 10 cm
2
π
 
b) 2 s — 20 cmπ 
c) s — 10 cm
4
π
 
d) s — 20 cm
4
π
 
e) s — 20 cm
2
π
 
 
 
 
 
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13. (Ufrgs 2011) Traçando os gráficos das funções f e g definidas por  f x sen x e 
 g x cos x , com x variando no conjunto dos números reais de 2  a 2 , no mesmo 
sistema de coordenadas, o número de interseções é 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 12. 
 
14. (Fgv 2011) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de 
um produto, é dada por  
x
f x 100 0,5x 3sen
6

   , em que x = 1 corresponde a janeiro de 
2011, x = 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. 
 
A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: 
(Use a aproximação decimal 3 1,7 ) 
a) 308,55 
b) 309,05 
c) 309,55 
d) 310,05 
e) 310,55 
 
15. (Ufpr 2011) Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2  t) descreve de maneira 
aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante 
um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. 
A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de 
mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem 
um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. 
 
a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s. 
b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? 
 
16. (Ufpb 2011) Com o objetivo de aumentar a produção de alimentos em certa região, uma 
secretaria de agricultura encomendou a uma equipe de agrônomos um estudo sobre as 
potencialidades do solo dessa região. Na análise da temperaturado solo, a equipe efetuou 
medições diárias, durante quatro dias consecutivos, em intervalos de uma hora. As medições 
tiveram início às 6 horas da manhã do primeiro dia (t = 0). Os estudos indicaram que a 
temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t, representando o número de horas 
decorridas após o início das observações, relacionavam-se através da expressão 
 
 
4
T t 26 5cos t .
12 3
π π 
   
 
 
 
Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas: 
( ) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do primeiro dia, foi de 23,5 ºC. 
( ) A função T(t) é periódica e tem período igual a 24 h. 
( ) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30 ºC. 
( ) A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no primeiro dia, às 14 h. 
( ) A função T(t) é crescente no intervalo [0,8]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17. (Ufsm 2011) 
 
 
O gráfico mostra a quantidade de animais que uma certa área de pastagem pode sustentar ao 
longo de 12 meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa situação. 
De acordo com os dados, Q (0) é igual a 
a) 100. 
b) 97. 
c) 95. 
d) 92. 
e) 90. 
 
18. (Ufpr 2010) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 
2009, possa ser descrito pela função 
 
2
f(t) 18,8 1,3sen t
365
 
   
 
 
 
sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações, 
considere as seguintes afirmativas: 
 
1. O período da função acima é 2ð . 
2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo. 
3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19. (Unesp 2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e 
expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade 
de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um 
indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo. 
 
 
 
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração 
completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, 
é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura 
é: 
a)  
2 3
V t sen t .
5 5
  
  
 
 
b)  
3 5
V t sen t .
5 2
 
  
 
 
c)  
2
V t 0,6cos t .
5
 
  
 
 
d)  
2
V t 0,6sen t .
5
 
  
 
 
e)    
5
V t cos 0,6t .
2
 
 
20. (Enem 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está 
a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e 
mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, 
para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por 
 
 
 
5865
r t
1 0,15.cos 0,06t


 
 
 
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro 
da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, 
representada por S. 
 
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de 
a) 12 765 km. 
b) 12 000 km. 
c) 11 730 km. 
d) 10 965 km. 
e) 5 865 km. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 a) A altura máxima ocorre quando o valor do seno é máximo, ou seja, 
2 t
sen 1.
0,05
π 
 
 
 
hmáxima = 5 cm 
 
b) Determinando o período P da função, temos: 
 
2
P 0,05s.
2
0,05
π
π
  
 
1 ciclo se realiza em 0,05; em 60s teremos 60/0,05 = 1200 ciclos completos 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Como os gráficos das funções y senx e 
x
y
10
 apresentam 7 pontos de interseção, segue 
que a equação 
x
senx
10
 admite 7 soluções reais. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Se t = 0, temos A(0) = 1,6 – 1,4.sen0 = 1,6; 
Se t = 3, temos A(3) = 1,6 – 1,4.sen
2
π 
 
 
 = 0,2; 
Se t = 6, temos A(6) = 1,6 – 1,4.sen π = 1,6; 
Se t = 9 temos, A(9) = 1,6 – 1,4.sen
3.
2
π 
 
 
 = 3,0. 
 
Portanto, o gráfico da alternativa [A] é o correto. 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Sabemos que a lei de F é F(x) 20 10sen(x).  
Portanto, como F(0) 20 e F 20 10 30,
2
π 
   
 
 segue que a alternativa [A] apresenta o 
gráfico de F no intervalo [0, 3]. 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
O número 
10
senx
2
3

 assume o seu maior valor quando sen x for máximo, ou seja, quando 
senx 1. 
 
Por conseguinte, o resultado pedido é 
 
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10 10 10
6.
senx 1 5
2 2
3 3 3
  
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Como f 1,
2
π 
   
 
 a lei de f só pode ser a lei apresentada na alternativa [A]. 
 
Resposta da questão 7: 
 a) 
valor máximo ocorre para cos t 1 F(máx) 21 4( 1) 25
12
F(t) 21 4cos t
12
valor mínimo ocorre para cos t 1 F(máx) 21 4( 1) 17 
12
π
π
π
  
        
   
    
              
 
 
Portanto, a temperatura varia de 17°C a 25°C na superfície do lago. 
 
 
b) Para t ? temos F(t) 23  . Logo: 
F(t) 21 4cos t 21 4cos t 23 4cos t 2
12 12 12
1
cos t
12 2
Logo :
2 4
t ou t
12 3 12 3
t 8h ou t 16h
π π π
π
π π π π
     
            
     
 
   
 
 
 
 
 
Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar 
que a temperatura de 23°C foi atingida às: 
 
1
2
t 6h 8h 14h
e
t 6h 16h 22h
  
  
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Dentre as funções apresentadas nas alternativas, I(t) 30 10cos t
6
π 
   
 
 é a única cujo conjunto 
imagem é o intervalo [20, 40]. De fato, 
 
Im 30 10 [ 1,1] [30 10, 30 10] [20, 40].        
 
 
 
 
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Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
 
3 4 3
cos
2 10 3 2
3
cos 2
2 10
3
1
2 10
3
2 10
π π
θ
π
θ π
π
θ
π
θ
   
     
   
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
2
f(x) sen(5x) Período .
5
π
   
 
 
 
Total: 21 intersecções com o eixo x. 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
I. Verdadeira. (ver gráfico). 
 
II. Falsa. O período da função é 6. 
 
III. Falsa. A frequência angular é .
3
π
 
 
Portanto, a alternativa [A] é a correta. 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Como a função y 10cos(4t) é da forma y a cos(m t),   segue que seu período é dado por 
2
.
4 2
π π
 
A imagem da função é o intervalo 10 [ 1,1] [ 10,10].    Portanto, a amplitude do movimento é 
10 cm. 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Considere a figura abaixo. 
 
 
Portanto, o número de interseções é 8. 
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Queremos calcular f(1) f(2) f(3).  
1
f(1) 100 0,5 1 3 sen 100,5 3 0,5 102.
6
2
f(2) 100 0,5 2 3 sen 101 3 0,85 103,55.
6
3
f(3) 100 0,5 3 3 sen 101,5 3 1 104,5.
6
 
        
 
        
 
        
 
Portanto,
 
 
f(1) f(2) f(3) 102 103,55 104,5 310,05.      
 
Resposta da questão 15: 
 a) Para t 0 s, temos P 100 20 sen(2 0) 100mm de Hg.     
 Para t 0,75 s, vem P 100 20 sen(2 0,75) 100 20 80mm de Hg.       
 
b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando 
 
3
sen(2 t) 1 sen(2 t) sen
2
3
2 t
2
3
t 0,75 s.
4

     

  
  Resposta da questão 16: 
 V V F V V 
 
( V ) T(0) = 26 + 5.(
1
2
 ) = 23,5
o
 
( V ) P = 
2
24h
2
π
π
 
( F ) Valor máximo = 26 + 5.1 = 31 
 
( V ) 
4
.t 2 t 8,8 6 14horas
12 3
π π
π      
( V ) começa em 23,5
o
 e vai aumentando até seu valor máximo quando t = 8 
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Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
De acordo com o gráfico, temos a = 
120 20
50
2

 
D = 120 – 50 = 70 
 
2
12 c
c 6
π π
   
 
Logo, Q(t) =50. sen(b + .t
6
π
) + 70, substituindo o ponto ( 2,120) na função, temos: 
.2
120 50.sen(b ) 70 b
6 6
π π
     . 
 
Resposta da questão 18: 
 [D] 
 
1. diasP 365
365
2
2



 
2. para que f(t) seja mínimo deveremos considerar 
diast
t
tsen 25,91
4
365
2365
.2
1.
365
2





 
 (mês de abril) 
 
 
3.
365
f
4
 
 
 
 = 18,8 – 1,3.1 = 17 horas e 30 minutos 
 
Os itens 2 e 3 são verdadeiros. 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
O período da função é 
2 2
5 5

π π
. 
Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a função : 
2
y 0,6 sen .x
5
 
   
 
π
. A função não poderia ser 
2
y 0,6 cos .x
5
 
   
 
π
, pois, se x for zero, o y 
deveria ser 0,6. 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
Maior valor (cos (0,06t) = -1) 
5865
r(t) 6900
1 0,15.( 1)
 
 
 
Menor valor(cos(0,06t) = 1)  
5865
r(t) 5100
1 0,15.(1)
 

 
Somando, temos: 
6900 + 5100 = 12000