A1 - Álgebra Linear Computacional

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no 
GeoGebra 
Unidade 01 
Disciplina (s)  Álgebra Linear Computacional 
Data da última 
atualização 
21/09/2021 
Nome RA 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. 
 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D Online 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
III. Introdução 
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e 
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal 
importância surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de 
problemas típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: 
 Cálculo de ângulos, áreas e volumes. 
 Determinação do momento de uma força. 
 Trabalho realizado por uma força. 
 Fluxo de água através de uma mangueira. 
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e 
do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. 
 
 
 
 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
 
 Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois 
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. 
 Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, 
usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores 
 
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores ⃗ e . O Geogebra reconhece os vetores a partir 
de letras minúsculas. 
 
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: , e . Esses pontos 
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores ⃗ e , conforme PASSO 3 abaixo. 
 
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos   . Qual o 
ângulo apresentado? 
 
O ângulo  apresentado foi de 29.5°
 
 
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores ⃗ e e compare o resultado com o valor 
encontrado no PASSO 3. 
 ⃗ | ⃗ | | | ⃗ 
 
 
Calculando o ângulo entre os vetores u e v. 
1. Produto Escalar: 
 
 
 
 
u . v = (1,1,1) . (1,1,3) = (1*1)+(1*1)+(1*3) = 5 
 
2. Calculando a norma: 
|u| = √ = √ 
|v| = √ = √ 
 
3. Calculando o cos(ϴ): 
cos(ϴ) = 5 / √ * √  5 / √  ~0,87 
 
4. Calculando o ângulo: 
 
 
 
O Resultado obtido usando a fórmula foi o mesmo calculado pelo Geogebra. 
 
 
 
ETAPA 2: determinação do produto vetorial 
 
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores ⃗ e . 
 
O produto vetorial pode ser encontrado através da resolução da determinante: 
 
 |
 
 
 
|=|
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| ⃗ ⃗ 
 
Resultado semelhante ao encontrado no Geogebra conforme passo 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor ⃗⃗ ⃗ . Para isso, digite a função ⃗⃗ ⃗ . Compare o 
resultado com o vetor determinado no PASSO 5. 
Observação: o operador pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: 
 
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de 
vetores ⃗ ⃗⃗ e ⃗⃗ . O resultado verificado era previsível? Por quê? 
 
Os ângulos encontrados são iguais a 90°. Esse resultado é esperado visto que os produto vetorial gera um vetor 
ortogonal ao vetor de origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial 
 
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos , e para representar o 
triângulo ̂. 
 
PASSO 9: Identifique a área do polígono ̂, clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, 
no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? 
 
 
 
 
PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: 
 
 
| ⃗ |. 
 
 
W = ⃗ 
 
 
 
 
| ⃗ | = 
 
 
| | 
 
 
 
 
 
Sendo assim a área encontrada na fórmula comprova o resultado obtido pelo Geogebra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
 PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
 SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.