4oRelatorio_E-CE2

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Universidade Federal de Uberlândia 
FEELT – Faculdade de Engenharia Elétrica 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Aula 4 - Circuitos acoplados magneticamente 
Professor: Wellington Maycon Santos Bernardes
Engenharia Elétrica
Grupo: 
Aluno: Mateus Flausino Conceição		Matrícula: 11911EEL014
Aluno: Otávio Sousa Siqueira			Matrícula: 11911EEL010 
16/08/2021
Sumário 
1 Objetivos	2
2 Introdução Teórica	2
3 Preparação do experimento	10
3.1 Recursos e Materiais	10
3.2 Montagem dos circuitos	10
3.3 Cálculo das indutâncias próprias, mútua e coeficiente de acoplamento	16
4 Cálculo Teórico e Questões	18
4.1 Cálculo para as Tensões e Impedância com ligação em série aditiva	18
4.2 Cálculo para as Tensões e Impedância com ligação em série subtrativa	19
4.3 Cálculo para as Tensões e Impedância a partir de um transformador à vazio B1:B2	20
4.4 Cálculo para as Tensões e Impedância a partir de um transformador à vazio B2:B1	22
4.4 Questões do roteiro	24
5 Simulação	27
6 Produtos e Tecnologias	41
7 Conclusão	43
Referências Bibliográficas:	44
1 Objetivos 
As seguintes atividades tem como objetivo, averiguar de maneira crítica os conceitos teóricos acerca do funcionamento do diodo em diferentes aplicações eletrônicas e a obtenção das formas de saida de valores de autoindutância e indutância mútua. Para tal, será utilizado simulações computacionais às quais, posteriormente, serão comparadas aos resultados teóricos calculados.
2 Introdução Teórica
Primeiramente, dando início ao relatório faz-se necessário apresentar o que consiste um circuito magneticamente acoplado. Em suma, o que difere este tipo de circuito, dos tradicionais circuitos por acoplamento condutivo, é que, enquanto estes interagem por contato físico permitindo a condução de eletricidade, os circuitos magneticamente acoplados não necessitam de contato físico. Portanto, sua interação se dá através de formação de campos magnéticos entre dois ou mais circuitos, com ou sem contato físico, logo são descritos como acoplados “magneticamente” (conforme [1] - página 494). 
Vale ressaltar que tal fenômeno só é viabilizado devido a utilização de elementos do tipo indutivo. Isto ocorre, pois, os indutores são capazes de armazenar energia elétrica na forma de campo magnético. Deste modo, sabendo-se que o fluxo magnético é derivado da variação da corrente e de acordo com a Lei de Faraday (conforme demonstrado em [1] – páginas 494 e 495), podemos concluir a Equação da tensão induzida em uma bobina (Eq. 1): 
	(1)
Onde:
· VL é a tensão no indutor, ou bobina, expresso em Volt [V];
· N é o número de espiras da bobina;
· Φ é o fluxo magnético expresso em Weber [Wb]; 
· t é o tempo expresso em segundos [s];
· L é a indutância própria da bobina expresso em Henry [H];
· i é a corrente expressa em Ampere [A].
Isto posto, podemos abordar dois conceitos importantes dos circuitos magneticamente acoplados, a autoindutância e a indutância mútua:
Autoindutância: basicamente consiste na indutância própria de uma bobina. A mesma pode ser obtida através da multiplicação do número de espiras pela variação do fluxo magnético produzido devido à circulação de corrente no interior do indutor. Assim, segue a Equação da autoindutância (Eq. 2):
	(2)
Conforme a Figura 1 Φ1 é o somatório de Φ11 e Φ12 (Eq. 3):
		(3)
Onde:
· L1 é a indutância própria da bobina 1 expresso em Henry [H];
· N1 é o número de espiras da bobina 1;
· Φ1 é o fluxo magnético próprio da bobina 1, expresso em Weber [Wb]; 
· Φ11 é a parcela do fluxo magnético Φ1 que permeia apenas a bobina 1, expresso em Weber [Wb];
· Φ12 é a parcela do fluxo magnético Φ1 que permeia tanto a bobina 1 quanto a 2, expresso em Weber [Wb];
· i1 é a corrente que circula apenas a malha primária, expressa em Ampere [A].
Indutância mútua: sumariamente, quando dois indutores estão suficientemente próximos, uma parcela do fluxo magnético (Φ12) provocado pela circulação de corrente em uma bobina se associa com a outra bobina induzindo, assim, tensão nessa última, independentemente da presença de fontes de tensão ou corrente alternadas na mesma. Deste modo temos a Equação da indutância mútua (Eq. 4):
 	(4)
Onde:
· M é a indutância mútua entre as bobinas 1 e 2, expresso em Henry [H];
· N2 é o número de espiras da bobina 2;
· Φ1 é o fluxo magnético próprio da bobina 1, expresso em Weber [Wb]; 
· Φ12 é a parcela do fluxo magnético Φ1 que permeia tanto a bobina 1 quanto a 2, expresso em Weber [Wb];
· i1 é a corrente que circula apenas a malha primária, expressa em Ampere [A].
Figura 1: Exemplo de um circuito magneticamente acoplado com fonte de corrente alternada na malha primária.
Vale ressaltar que, as Equações 2, 3 e 4 são análogas a casos onde temos excitação por uma fonte externa na malha secundária fazendo-se apenas a substituição dos índices 1, 2, 11, 12 respectivamente por 2, 1, 22, 21, com base a Figura 2.
Figura 2: Exemplo de um circuito magneticamente acoplado com fonte de corrente alternada na malha secundária.
	
	Ainda, em associação aos conceitos de autoindutância e indutância mútua, faz-se necessário apresentar o conceito de coeficiente de acoplamento (k). Este, corresponde a fração do fluxo total que emana de uma bobina e que atravessa a outra bobina. Visto que, k é uma medida do acoplamento magnético entre as duas bobinas que varia de zero a um (0 ≤ k ≤ 1), é comum dizer que para k ≤ 0,5, diz-se que as bobinas estão livremente acopladas e, para k ≥ 0,5, diz-se que elas estão firmemente acopladas (conforme [1] – páginas 503 e 504). Deste modo temo Eq. 5:
	(5)
Onde:
· k o conceito de coeficiente de acoplamento e é adimensional
· L1 é a indutância própria da bobina 1, expresso em Henry [H];
· L2 é a indutância própria da bobina 2, expresso em Henry [H];
· M é a indutância mútua entre as bobinas 1 e 2, expresso em Henry [H];
· Φ1 é o fluxo magnético próprio da bobina 1, expresso em Weber [Wb]; 
· Φ12 é a parcela do fluxo magnético Φ1 que permeia tanto a bobina 1 quanto a 2, expresso em Weber [Wb].
		Conforme demonstrado na Figura 3, para facilitar a análise do acoplamento entre as bobinas, toma-se a relação entre corrente e fluxo magnético, comumente chamada por “Regra da mão direita”, descrita pelo matemático James Clerk Maxwell (1831-1879) segundo [1] – páginas 494 e 497. Deste modo pode-se seguir os seguintes passos:
1. Inicialmente, marcar um “ponto” no terminal do primário (bobina 1) por onde a corrente entra (i1), 
2. Em seguida, desenhar o sentido do fluxo magnético originado pela bobina 1 que atinge a bobina 2 (Φ12), seguido a “Regra da mão direita”; 
3. Verificar qual é o sentido da corrente na bobina 2 que dará origem a um fluxo (f21) que se soma com o inicial; 
4. Por fim, marcar outro “ponto” no terminal da bobina 2, por onde a corrente entra (i2).
	
Figura 3: circuito exemplificativo para marcação de polaridade em circuitos magneticamente acoplados.
	Após tal análise, torna-se mais fácil observar o efeito do acoplamento magnético em um caso de ligação física em série entre as bobinas, sendo uma conexão em série aditiva, quando uma bobina tem seu terminal negativo (sem “ponto”), ligado ao positivo (com “ponto”) de outra, ou, subtrativa quando uma bobina tem seu terminal negativo (sem “ponto”), ligado ao negativo (sem “ponto”) de outra. Isto respectivamente é descrito nas Equações 6 e 7 e nas Figuras 4 (a) e (b):
	(6)
	(7)
Onde:
· Laditiva e Lsubtrativa são indutâncias totais, expressas em Henry [H].
· L1 é a indutância própria da bobina 1, expresso em Henry [H];
· L2 é a indutância própria da bobina 2, expresso em Henry [H];
· M é a indutância mútua entre as bobinas 1 e 2, expresso em Henry [H].
Figura 4: circuitos magneticamente acoplados e ligados em série (a) aditiva (b) subtrativa ([1] – página 498).
	Um exemplo muito comum de circuito magneticamente acoplado é o transformador, descrito na Figura 5, no qual a relação entre número de espiras, tensão e corrente em cada bobina pode ser descrito através da seguinte Equação (conforme [2] – páginas 804 a 807): 
Figura 5: Exemplo de transformador ([2] – página805).
	(8)
Onde:
· V1 é a tensão na bobina 1, expressa em Volt [V];
· V2 é a tensão na bobina 2, expressa em Volt [V];
· N1 é o número de espiras da bobina 1;
· N2 é o número de espiras da bobina 2;
· i1 é a corrente que circula a bobina 1, expressa em Ampere [A];
· i2 é a corrente que circula a bobina 2, expressa em Ampere [A];
· α é relação de transformação, adimensional.
	
	Para analisarmos os efeitos dos circuitos magneticamente acoplados utilizaremos um transformador didático em laboratório. Para os cálculos utilizaremos as seguintes expressões (nota-se que todas são feitas utilizando operações fasoriais):
		 (9)
	(10)
	(11)
	(12) 
	 (13)
	(14)
	(15)
(Eq. 9): Transformação de tensão de pico em eficaz;
(Eq. 10): Expressão da impedância complexa;
(Eq. 11): Expressão da tensão em relação a impedância e a corrente do circuito;
(Eq. 12): Expressão da tensão do resistor em relação a resistência e a corrente do circuito;
(Eq. 13): Expressão da tensão do indutor em relação a reatância indutiva e a corrente do circuito;
(Eq. 14): Expressão do módulo da reatância indutiva própria (sem ponto fasorial sobre o X);
(Eq. 15): Expressão do módulo da reatância indutiva mútua (sem ponto fasorial sobre o X).
Nas Equações de 1 a 15 temos que:
· L é a indutância própria expressa em Henry [H];
· M é a indutância mútua expressa em Henry [H];
· C é a capacitância expressa em Farad [F];
· V é a tensão expressa em Volt [V];
· I é a corrente expressa em Ampère [A];
· R é a resistência expressa em ohm [Ω];
· XL é a reatância indutiva própria, expressa em ohm [Ω];
· XM é a reatância indutiva mútua, expressa em ohm [Ω];
· XC é a reatância capacitiva expressa em ohm [Ω].
Nota-se que de (Eq. 10), (Eq. 11), (Eq. 2) e (Eq. 4) temos a Equação da tensão de uma bobina magneticamente acoplada (Eq. 16):
	(16)
Subtraindo (Eq. 6) e (Eq. 7) e multiplicando todos os termos por ω temos (Eq. 17):
	(17)
Para um circuito onde temos uma ligação em série com duas bobinas com resistência interna não nula teremos a seguinte Equação do módulo da tensão do sistema (Eq. 18), obtida através da Soma das Equações 12 e 13 (esta última substituída em 14):
	(18)
 Onde Rtotal é a soma das resistência internas e Ltotal é a Eq. 6, em caso de ligação em série aditiva, ou, Eq. 7 em caso de ligação em série subtrativa 
3 Preparação do experimento
3.1 Recursos e Materiais	
	Para representação gráfica do circuito RLC utilizamos o Inkscape, na simulação foi empregado o software online Multisim Live, que permite criar os circuitos de forma fiel a presencial, gerar gráficos e comparar essas ondas senoidais de forma totalmente online. Além disso, visto que não foi possível o acesso direto ao laboratório, foram utilizadas as vídeo-aulas para determinarmos os valores de L1, L2 e k.
3.2 Montagem dos circuitos
Foram realizadas, um total de 5 montagens, sendo elas: Definição de Polaridade, Polaridade Série Aditiva, Ligação Série Subtrativa, Transformador a Vazio B1:B2 e Transformador a Vazio B2:B1. Com o sistema desenergizado utiliza-se o multímetro para verificar a resistência de cada bobina do transformador, feito a medição monta-se os circuitos apresentados abaixo, atento para que amperímetro esteja em série e os voltímetros em paralelos e atento a escala para preservação dos instrumentos. 
Tendo como base os procedimentos de medidas realizadas nas vídeo aulas, compararemos os resultados com a parte teórica, para fazer a validação desse experimento.
 Inicialmente, foi medido a resistência das bobinas 1 e 2, em que a cada uma tinha uma quantidade de espiras, tendo relação de 1:2 a Bobina 1( B1 = 600 espiras) e a Bobina 2 (B2 = 1200 espiras). Após medir obtivemos as seguintes respostas: R1= 3.5Ω e R2=12.5Ω, e coerente com o esperado o R1 ser menor que R2, uma vez que B2 tem mais espiras do que na B1, resultando assim em uma resistência maior. 
Por seguinte montamos um circuito como mostrado na Fig.6, nesse circuito aplicamos uma corrente de 50mA, para ser possível medir a tensão da B1 e da B2 para definirmos a polaridade de cada uma. Com o uso de um multímetro medimos os seguintes valores para as tensões: V1= 8.24V, V2= 13.67V e V´= 21.83V. Como V´ é maior que V1 vamos marcar o ponto no terminal superior da B2(onde a fem é positiva), sendo assim:
 V´=V1+V2
 Substituindo os valores medidos temos:
(próximo do medido)
Figura 6: Diagrama do circuito para definir polaridade.
Com a definição da polaridade feita, partimos para os cálculos dos valores de L1, L2, M e k usando a montagem apresentada na vídeo aula, fazendo uma ligação série aditiva das bobinas B1 e B2, aplicando as correntes da Tabela 1, foi medido a tensão como mostra a Fig.7 e obteve se como resultado os presentes na Tabela 1.
Figura 7: Diagrama circuito polaridade série aditiva.
Os valores de Zad são dados pela equação:
1º para corrente aditiva de 50mA:
2º para corrente aditiva de 75mA:
3º para corrente aditiva de 100mA:
	Iad (mA)
	V
	Zad(Ω)
	50 
	84
	1680
	75
	124
	1653
	100
	170
	1700
Tabela 1 – Resultados montagem série aditiva (Vídeo aula).
De acordo com a Fig.8 temos, a ligação série subtrativa entre as bobinas B1 e B2. De maneira semelhante a anterior. Foi aplicado às correntes mostradas na Tabela 2 e com um multímetro foi medido as tensões da mesma forma demonstrada na Fig.8.
Figura 8: Ligação série subtrativa.
Os valores de Zsub são dados pela equação:
1º para corrente subtrativa de 100mA:
2º para corrente subtrativa de 150mA:
3º para corrente subtrativa de 200mA:
	Isub (mA)
	V
	Zsub(Ω)
	100
	34 
	340 
	150
	48 
	320
	200 
	62 
	310 
Tabela 2 – Resultados montagem série subtrativa (Vídeo aula).
Conforme o roteiro foi efetuado uma terceira montagem como apresentado na Fig.9, aplicando o conceito de transformador a vazio, em que somente B1 vai estar ligado a uma fonte, enquanto a B2 vai receber a influência do fluxo magnético da B1. Foram medidos os valores de tensão da bobina 1 (V1) e da bobina 2 (V2), preenchendo assim a Tabela 3 e para cálculo de Z1. 
Figura 9: Transformador a vazio (B1:B2).
Os valores de Z1 são dados pela equação:
1º para corrente subtrativa de 100mA:
2º para corrente subtrativa de 150mA:
3º para corrente subtrativa de 200mA:
	I1 (mA)
	V1
	Z1(Ω)
	V2
	100
	20 
	200
	34 
	150
	32 
	213 
	54 
	200
	40
	200 
	70
Tabela 3 – Tensão e Impedância com transformador a vazio B1:B2 (Vídeo aula).
De maneira semelhante ao item anterior é efetuado a última montagem de acordo com a Fig.10, e aplicando o conceito de transformador a vazio, onde dessa vez somente B2 vai estar ligado a uma fonte, enquanto a B1 vai receber a influência do fluxo magnético de B2. Foram medidos os valores de tensão da bobina 1 (V1) e da bobina 2 (V2), preenchendo assim a Tabela 3 e para cálculo de Z2. 
Figura 10: Transformador a vazio (B2:B1)
Os valores de Z2 são dados pela equação:
1º para corrente subtrativa de 75mA:
2º para corrente subtrativa de 100mA:
3º para corrente subtrativa de 125mA:
	I2 (mA)
	V2
	Z2(Ω)
	V1
	75
	58
	773
	28
	100
	78
	780
	37
	125
	108
	864
	50
Tabela 4 – Tensão e Impedância com transformador a vazio B2:B1 (Vídeo aula).
3.3 Cálculo das indutâncias próprias, mútua e coeficiente de acoplamento
Com isso podemos concluir os valores de L1, L2, M e k através da médias dos valores apresentados nas Tabelas de 1 à 4 
O valor médio da impedância Zad , pode ser calculada por:
Zad(méd) =
Zad(méd) = 1677.67Ω 
 O valor médio da impedância Zsub , pode ser calculada por:
Zsub(méd) =
Zsub(méd)= 323.33Ω 
Utilizando as Eq.15 e 17, foi possível encontrar o valor de M, como 𝜔=2πƒ, assim temos:
M =
M = 0.898124606781 H
Pela Tabela 3, encontramos o seguinte valor médio de Z1 = 204.33Ω.
Pela Tabela 4, encontramos o seguinte valor médio de Z2 = 805.67Ω. 
O valor de XL1 e XL2 , pode ser obtido pela Equação do triângulo de impedância (Eq. 19):
 XL2 = Z2 - R2 
E para encontrar as indutâncias L1 e L2 , usaremos a equação:
L = 
Para L1	temos: 
XL12 = 204.332 - 3.52
L1 = 
L1 = 
Para L2 temos:
XL22 = 805.672 - 12.52 
L2 = 
L2 = 2.14H 
Como encontramosos valores de L e M, será possível achar o coeficiente de acoplamento k, entre B1 e B2 , utilizando a Eq.5, assim temos:
Como esses parâmetros L1, L2, M e k em mãos podemos calcular os valores que foram apresentados nas tabelas do roteiro sem nenhuma forma de experimento prévio.
4 Cálculo Teórico e Questões
4.1 Cálculo para as Tensões e Impedância com ligação em série aditiva
Para o cálculo da tensão na bobina primária, primeiro calcularemos os valores de Ltotal, e Rtotal
Para a indutância total temos pela Eq. 6:
 = 4.4762H
Para resistência total temos:
Rtotal = R1+ R2
Ω
Com isso utilizaremos a Eq.18, para achar a tensão:
1º para corrente aditiva 16mA: 
V = ((4.4762 * 2*π*60)+16)*16*10-3 = 27.2558 V
2º para corrente aditiva 33mA: 
V = ((4.4762 * 2*π*60)+16)*33*10-3 = 56.2151 V
3º para corrente aditiva 50mA: 
V = ((4.4762 * 2*π*60)+16)*50*10-3 = 85.1744 V
Os valores de Zad são dados pela equação:
1º para corrente aditiva de 16mA:
2º para corrente aditiva de 33mA:
3º para corrente aditiva de 50mA:
	Iad (mA)
	V(V)
	Zad(Ω)
	16
	27.2558
	1703.4875
	33
	56.2151
	1703.4878
	50
	85.1744 
	1703.4880
Tabela 5 – Resultados montagem série aditiva (Roteiro). 
4.2 Cálculo para as Tensões e Impedância com ligação em série subtrativa
Para o cálculo da tensão na bobina primária, primeiro calcularemos os valores de Ltotal, e Rtotal.
Para a indutância total temos pela Eq. 7:
 =0.8838 H
Para resistência total temos:
Rtotal = R1+ R2
Ω
Com isso utilizaremos a Eq.18, para achar a tensão:
1º para corrente subtrativo 50mA: 
V = ((0.8838 * 2*π*60)+16)*50*10-3 = 17.4592
2º para corrente aditiva 100mA: 
V = ((0.8838 * 2*π*60)+16)*100*10-3 = 34.9185
3º para corrente aditiva 150mA: 
V = ((0.8838 * 2*π*60)+16)*150*10-3 = 52.3777
Os valores de Zsub são dados pela equação:
1º para corrente subtrativa de 50mA:
2º para corrente subtrativa de 100mA:
3º para corrente subtrativa de 150mA:
	Isub (mA)
	V (V)
	Zsub(Ω)
	50
	17.4592
	349.1840
	100
	34.9185
	349.1840
	150
	52.3777
	349.1846
Tabela 6 – Resultados montagem série subtrativa (Roteiro).
4.3 Cálculo para as Tensões e Impedância a partir de um transformador à vazio B1:B2
Para os cálculos das tensões V1 utilizaremos a Equação 16, lembrando que como o transformador é, neste caso, à vazio, a corrente I2 é nula:
1º V1 para corrente de 50mA:
|V1| = ((3.5+2*π*60*0.54)*50*10-3) ± (2*π*60*0.8981*0)
|V1| = 10.3538 V
2º V1 para corrente de 100mA:
|V1| = ((3.5+2*π*60*0.54)*100*10-3) ± (2*π*60*0.8981*0)
|V1| = 20.7075 V
3º V1 para corrente de 150mA:
|V1| = ((3.5+2*π*60*0.54)*150*10-3) ± (2*π*60*0.8981*0)
|V1| = 31.0613V
Para os cálculos das tensões V2 utilizaremos a Equação 16, lembrando que como o transformador é, neste caso, à vazio, a corrente I2 é nula (nota-se as devidas trocas nos índices conforme o Capítulo 2):
1º V2 para corrente de 50mA:
|V2| = |((12.5+2*π*60*0.54)*0) ± (2*π*60*0.8981*50*10-3)|
|V2| = 16.9288V
2º V2 para corrente de 100mA:
|V2| = |((12.5+2*π*60*0.54)*0) ± (2*π*60*0.8981*100*10-3)|
|V2| = 33.8576V
3º V2 para corrente de 150mA:
|V2| = |((12.5+2*π*60*0.54)*0) ± (2*π*60*0.8981*150*10-3)|
|V2| = 35.5504V
Os valores de Z1 são dados pela equação:
1º para corrente subtrativa de 100mA:
2º para corrente subtrativa de 150mA:
3º para corrente subtrativa de 200mA:
	I1 (mA)
	V1(V)
	Z1(Ω)
	V2(V)
	50
	10.3538
	207.076
	16.9288
	100
	20.7075
	207.075
	33.8576
	150
	31.0613
	207.0753
	35.5504
Tabela 7 – Tensão e Impedância com transformador a vazio B1:B2 (Roteiro).
4.4 Cálculo para as Tensões e Impedância a partir de um transformador à vazio B2:B1
Para os cálculos das tensões V2 utilizaremos a Equação 16, lembrando que como o transformador é, neste caso, à vazio, a corrente I1 é nula:
1º V2 para corrente de 25mA:
|V2| = ((12.5+2*π*60*2.14)*25*10-3) ± (2*π*60*0.8981*0)
|V2| = 20.4815V
2º V2 para corrente de 50mA:
|V2| = ((12.5+2*π*60*2.14)*50*10-3) ± (2*π*60*0.8981*0)
|V2| = 40.9630V
3º V2 para corrente de 75mA:
|V2| = ((12.5+2*π*60*2.14)*75*10-3) ± (2*π*60*0.8981*0)
|V2| = 61.4446V
Para os cálculos das tensões V1 utilizaremos a Equação 16, lembrando que como o transformador é, neste caso, à vazio, a corrente I1 é nula (nota-se as devidas trocas nos índices conforme o Capítulo 2):
1º V1 para corrente de 25mA:
|V1| = ((12.5+2*π*60*2.14)*0) ± (2*π*60*0.8981*25*10-3)
|V1| = 8.4644V
2º V1 para corrente de 50mA:
|V1| = ((12.5+2*π*60*2.14)*0) ± (2*π*60*0.8981*50*10-3)
|V1| = 16.9288V
3º V1 para corrente de 75mA:
|V1| = ((12.5+2*π*60*2.14)*0) ± (2*π*60*0.8981*75*10-3)
|V1| = 25.3932V
Os valores de Z1 são dados pela equação:
1º para corrente subtrativa de 25mA:
2º para corrente subtrativa de 50mA:
3º para corrente subtrativa de 75mA:
	I2 (mA)
	V2(V)
	Z2(Ω)
	V1(V)
	25
	20.4815
	819.26
	8.4644
	50
	40.9630
	819.26
	16.9288
	75
	61.4446
	819.2613
	25.3932
Tabela 8 – Tensão e Impedância com transformador a vazio B2:B1 (Roteiro).
4.4 Questões do roteiro
Q 3.1 - A partir dos valores obtidos na Tabela 5, encontre o valor médio da impedância Zad.
Q 3.2 - A partir dos valores obtidos na Tabela 6, encontre o valor médio da impedância Zsub. Com os valores médios das impedâncias aditiva e subtrativa e os valores das resistências das bobinas (R1 e R2), encontre o valor da impedância mútua M.
Utilizando as Eq.15 e 17, foi possível encontrar o valor de M, como 𝜔=2πƒ, assim temos:
Q 3.3 - A partir dos valores obtidos na Tabela 7, encontre o valor médio da impedância Z1.
Q 3.4 - A partir dos valores obtidos na Tabela 8, encontre o valor médio da impedância Z2. Com os valores médios das impedâncias das bobinas (Z1 e Z2) e os valores das resistências das bobinas (R1 e R2), encontre os valores das reatâncias próprias e das autoindutâncias L1 e L2. 
O valor de XL1 e XL2 , pode ser obtido pela Equação do triângulo de impedância (Eq. 19):
 XL2 = Z2 - R2 
E para encontrar as indutâncias L1 e L2 , usaremos a equação:
L = 
Para L1	temos: 
XL12 = 207.075432 - 3.52
 
L1 = 0.5492 
Para L2 temos:
XL22 = 819.26043 2 - 12.52 
 
L2 = 2.1729H 
Q 3.5 - Com os valores obtidos para L1, L2 e M encontre o valor do coeficiente de acoplamento entre as bobinas 1 e 2.
Com os valores de L e M, é possível encontrar o coeficiente de acoplamento k, entre B1 e B2 , utilizando a Eq.5, assim temos:
Q 3.6 - Para uma corrente de 1,0 A na bobina 1 (Figura 3) em um tempo de 1 s, encontre o valor do fluxo ϕ1, ϕ21 e a tensão induzida na bobina 2 (e21 ou VL2 ).
A partir da Eq.1 encontramos ϕ1:
A partir da Eq.5 encontramos ϕ21:
A partir da Eq. 1 encontramos VL2:
Q 3.7 - Para uma corrente de 1,0 A na bobina 2 (Figura 4) em um tempo de 1 s, encontre o valor do fluxo ϕ2, ϕ12 e a tensão induzida na bobina 1 (e12 ou VL1 ).
A partir da Eq.1 encontramos ϕ2:
A partir da Eq.5 encontramos ϕ12:
A partir da Eq. 1 encontramos VL1:
5 Simulação
	Para as seguintes simulações foi utilizado o software LTspice. Vale ressaltar que o mesmo foi escolhido em detrimento ao Multsim Live uma vez que o mesmo não possui a opção de selecionar a polaridade da bobina juntamente com a seleção do coeficiente de acoplamento, o qual foi adotado como 0.787283580857 conforme o Capítulo 3. 
Vale ressaltar que na fonte de corrente foram utilizados valores em RMS (Valor quadrático médio - em inglês) de modo a facilitar a compreensão gráfica das tensões cujo valor de pico gráfico corresponde ao valor eficaz. 
Deste modo, seguem abaixo as simulações, lembrando que para calcularmos as impedâncias iremos dividir a tensão encontrada pela corrente aplicada na fonte de corrente alternada conforme a Equação 11.
Para ligação em série aditiva temos: 
1º Para corrente de 16 mA:
Figura 11: Circuito em série aditiva de duas bobinas com resistências próprias para uma corrente de 16 mA, juntamente com o gráfico da tensão do mesmo.
Zad(Simulado) = 26.3420/0.016 = 1646.375Ω
Cálculo dos erros absolutos:
V: |27.2558 - 26.3420| = 0.9138V
Zad: |1703.4875 - 1646.375| = 57.1125Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V: |27.2558 - 26.3420|*100 / |27.2558| = 3.35%
Zad: |1703.4875 - 1646.375|*100 / |1703.4875| = 3.35%2º Para corrente de 33 mA:
Figura 12: Circuito em série aditiva de duas bobinas com resistências próprias para uma corrente de 33 mA, juntamente com o gráfico da tensão do mesmo.
Zad(Simulado) = 54.3304/0.033 = 1646.3756Ω
Cálculo dos erros absolutos:
V: |56.2151 - 54.3304| = 1.8847V
Zad: |1703.4878 - 1646.3756| = 57.1122Ω 
Cálculo dos erros percentuais:
V: |56.2151 - 54.3304|*100 / |56.2151| = 3.35%
Zad: |1703.4878 - 1646.3756|*100 / |1703.4878| = 3.35%
3º Para corrente de 50 mA:
Figura 13: Circuito em série aditiva de duas bobinas com resistências próprias para uma corrente de 50 mA, juntamente com o gráfico da tensão do mesmo.
Zad(Simulado) = 82.3188/0.050 = 1646.376Ω
Cálculo dos erros absolutos:
V: |85.1744 - 82.3189| = 2.8555V 
Zad: |1703.4880 - 1646.376| = 57.112Ω 
Cálculo dos erros percentuais:
V: |85.1744 - 82.3189|*100 / |85.1744 | = 3.35%
Zad: |1703.4880 - 1646.376|*100 / |1703.4880| = 3.35 %
Para ligação em série subtrativa temos:
1º Para corrente de 50 mA:
Figura 14: Circuito em série subtrativa de duas bobinas com resistências próprias para uma corrente de 50 mA, juntamente com o gráfico da tensão do mesmo.
Zsub(Simulado) = 18.6118/0.050 = 372.236 Ω
Cálculo dos erros absolutos:
V: |17.4592 - 18.6119| = 1.1527V
Zsub: |349.1840 - 372.236| = 23.052Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V: |17.4592 - 18.6119|*100 / |17.4592| = 6.60%
Zsub: |349.1840 - 372.236|*100 / |349.1840| = 6.60%
2º Para corrente de 100 mA:
Figura 15: Circuito em série subtrativa de duas bobinas com resistências próprias para uma corrente de 100 mA, juntamente com o gráfico da tensão do mesmo.
Zsub(Simulado) = 37.2237/0.100 = 372.237
Cálculo dos erros absolutos:
V: |34.9185 - 37.2238| = 2.3053V
Zsub: |349.1840 - 372.237| = 23.053Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V: |34.9185 - 37.2238|*100 / |34.9185| = 6.60%
Zsub: |349.1840 - 372.237|*100 / |349.1840| = 6.60%
3º Para corrente de 150 mA:
Figura 16: Circuito em série subtrativa de duas bobinas com resistências próprias para uma corrente de 150 mA, juntamente com o gráfico da tensão do mesmo.
Zsub(Simulado) = 55.8356/0.150 = 372.2373Ω
Cálculo dos erros absolutos:
V: |52.3777 -55.8356| = 3.4579V
Zsub: |349.1846 - 372.2373| = 23.0527Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V: |52.3777 -55.8356|*100 / |52.3777| = 6.60%
Zsub: |349.1846 - 372.2373|*100 / |349.1846| = 6.60%
Para um transformador a vazio com bobina 1 no primário e bobina 2 no secundário, temos:
1º Para corrente de 50 mA:
Figura 17: Circuito de um transformador a vazio, com bobina 1 no primário e bobina 2 no secundário, juntamente com o gráfico das tensões de cada porção (para uma corrente de 50 mA).
Z1(Simulado) = 10.1471/0.05 = 202.942Ω
Cálculo dos erros absolutos:
V1: |10.3538 -10.1472| = 0.2066V
V2: |16.9288 -15.9302| = 0.9986V
Z1: |207.076 - 202.942| = 4.134Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V1: |10.3538 -10.1472|*100 / |10.3538| = 1.99%
V2: |16.9288 -15.9302|*100 / |16.9288| = 5.90%
Z1: |207.076 - 202.942|*100 / |207.076| = 1.99%
2º Para corrente de 100 mA:
Figura 18: Circuito de um transformador a vazio, com bobina 1 no primário e bobina 2 no secundário, juntamente com o gráfico das tensões de cada porção (para uma corrente de 100 mA).
Z1(Simulado) = 20.2943/0.100 = 202.943
Cálculo dos erros absolutos:
V1: | 20.7075 - 20.294354| = 0.4131V
V2: | 33.8576 - 31.8605| = 1.9971V 
Z1: | 207.075 - 202.943| = 4.132Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V1: | 20.7075 - 20.294354|*100 / |20.7075| = 1.99% 
V2: | 33.8576 - 31.8605|*100 / |33.8576| = 5.89%
Z1: | 207.075 - 202.943|*100 / |207.075| = 1.99%
3º Para corrente de 150 mA:
Figura 19: Circuito de um transformador a vazio, com bobina 1 no primário e bobina 2 no secundário, juntamente com o gráfico das tensões de cada porção (para uma corrente de 150 mA).
Z1(Simulado) = 30.4415/0.150 = 202.9433
Cálculo dos erros absolutos:
V1: | 31.0613 - 30.4415| = 0.6198V
V2: | 35.5504 - 47.7907| = 12.2403V
Z1: | 207.0753 - 202.9433| = 4.132Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V1: | 31.0613 - 30.4415|*100 / |31.0613| = 1.99%
V2: | 35.5504 - 47.7907|*100 / |35.5504| = 34.43%
Z1: | 207.0753 - 202.9433|*100 / |207.0753| = 1.99%
Para um transformador a vazio com bobina 2 no primário e bobina 1 no secundário, temos:
1º Para corrente de 25 mA:
Figura 20: Circuito de um transformador a vazio, com bobina 2 no primário e bobina 1 no secundário, juntamente com o gráfico das tensões de cada porção (para uma corrente de 25 mA).
Z2(Simulado) = 20.1455/0.025 = 805.82
Cálculo dos erros absolutos:
V1: | 8.4644 - 7.9650| = 0.4994V
V2: | 20.4815 - 20.1456| = 0.3359V
Z2: | 819.26 - 805.82| = 13.44Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V1: |8.4644 - 7.9650|*100 / |8.4644| = 5.90%
V2: |20.4815 - 20.1456|*100 / |20.4815| = 1.64%
Z2: |819.26 - 805.82|*100 / |819.26|= 1.64%
2º Para corrente de 50 mA:
Figura 21: Circuito de um transformador a vazio, com bobina 2 no primário e bobina 1 no secundário, juntamente com o gráfico das tensões de cada porção (para uma corrente de 50 mA). 
Z2(Simulado) = 40.2911/0.050 = 805.822
Cálculo dos erros absolutos:
V1: | 16.9288 - 15.9300| = 0.99V
V2: | 40.9630 - 40.2912| = 0.67V
Z2: | 819.26 - 805.822| = 13.4Ω
Cálculo dos erros percentuais:
V1: | 16.9288 - 15.9300|*100 / |16.9288| = 5.90%
V2: | 40.9630 - 40.2912| *100 / |40.9630| = 1.64%
Z2: | 819.26 - 805.822|*100 / | 819.26| = 1.64%
3º Para corrente de 75 mA:
Figura 22: Circuito de um transformador a vazio, com bobina 2 no primário e bobina 1 no secundário, juntamente com o gráfico das tensões de cada porção (para uma corrente de 75 mA). 
Z2(Simulado) = 60.4367/0.075 = 805.8226
Cálculo dos erros absolutos:
V1: | 25.3932 - 23.6961| = 1.69V
V2: | 61.4446 - 60.4367| = 1.00V
Z2: | 819.2613 - 805.8226| = 1.64Ω 
Cálculo dos erros percentuais:
V1: | 25.3932 - 23.6961|*100 / |25.3932| = 6.68 %
V2:| 61.4446 - 60.4367|*100 / |61.4446| = 1.64%
Z2: | 819.2613 - 805.8226|*100 / |819.2613| = 1.6403%
Abaixo seguem as Tabelas com os valores obtidos através das simulações computacionais:
	Iad (mA)
	V(V)
	Zad(Ω)
	16
	26.3420
	1646.375
	33
	54.3304
	1646.3756
	50
	82.3189
	1646.376
Tabela 9 – Resultados montagem série aditiva (Simulação).
	Isub (mA)
	V(V)
	Zsub(Ω)
	50
	18.6119
	372.236
	100
	37.2238
	372.237
	150
	55.8356
	372.2373
Tabela 10 – Resultados montagem série subtrativa (Simulação).
	I1 (mA)
	V1(V)
	Z1(Ω)
	V2(V)
	50
	10.1472
	202.942
	15.9302
	100
	20.294354
	202.943
	31.8605
	150
	30.4415
	202.9433
	47.7907
Tabela 11 – Tensão e Impedância com transformador a vazio B1:B2 (Simulação).
 
	I2 (mA)
	V2(V)
	Z2(Ω)
	V1(V)
	25
	20.1456
	805.82
	7.9650
	50
	40.2912
	805.822
	15.9300
	75
	60.4367
	805.8226
	23.6961
Tabela 12 – Tensão e Impedância com transformador a vazio B2:B1 (Simulação).
Abaixo seguem as Tabelas com os valores de erro absoluto e percentual entre os valores calculados teoricamente e simulados computacionalmente:
	Iad (mA)
	V (V)
	Zad(Ω)
	
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	16
	0.9138
	3.35
	57.1125
	3.35
	33
	1.8847
	3.35
	57.1122
	3.35
	50
	2.8555
	3.35
	57.112
	3.35
Tabela 13 – Erros dos valores de V, Zad montagem série aditiva.
	Isub (mA)
	V (V)
	Zad(Ω)
	
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	50
	1.1527
	6.60
	23.052
	6.60
	100
	2.3053
	6.60
	23.053
	6.60
	150
	3.4579
	6.60
	23.0527
	6.60
Tabela 14 – Erros dos valores de V, Zsub montagem série subtrativa.
	I1 (mA)
	V1(V)
	Z1(Ω)
	V2(V)
	
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	50
	0.2066
	1.99
	4.134
	5.90
	0.9986
	1.99
	100
	0.4131
	1.99
	 4.132
	 1.99
	1.9971
	5.89
	150
	0.6198
	1.99
	4.132
	1.99
	12.2403
	34.43
Tabela 15 – Erros valores de Tensão e Impedância com transformador a vazio B1:B2
	I2 (mA)
	V2(V)
	Z2(Ω)
	V1(V)
	
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	Erro absoluto(V)
	Erro %
	25
	0.3359
	1.64
	13.44
	1.64
	0.4994
	5.90
	50
	0.67
	1.64
	13.4
	1.64
	0.99
	5.90
	75
	 1.00
	1.64
	1.64
	1.6403
	1.69
	6.68
Tabela16 – Erros valores de Tensão e Impedância com transformador a vazio B2:B1
6 Produtos e Tecnologias 
	Os circuitos magneticamente acoplados são amplamente empregados na sociedade atual, o primeiro exemplo que podemos citar, são os clássicos transformadores de tensão, já descritos no Capítulo 2 deste relatório e ilustrado na Figura 5. 
Outro exemplo comum, são os alto falantes que conseguem através da excitação de um eletroímã, alimentado por uma corrente variável, que consegue assim variar o fluxo magnético dentro de um ímã permanente, deste modo o núcleo vibra com a frequência do sinal de entrada, reproduzindo o som original captado por exemplo através de um microfone (conforme [2] - página 444).
 
Figura 23: Exemplo de um alto-falante: (a) modelo da construção do equipamento; (b) princípio de operação; (c) corte transversal de um alto-falante real ([2] - página 444).
Outro exemplo interessante, é a chave magnética reed. Basicamente a chave reed é constituída de duas palhetas feitas de uma liga de ferro que são encapsuladas em um invólucro hermeticamente fechado. As extremidades das duas palhetas não se tocam, mas ficam muito próximas. Deste modo, na ausência de um campo magnético, elas permanecem separadas.Contudo, se um campo magnético for produzido próximo às palhetas, elas se atrairão, procurando um caminho de menor relutância. Deste modo ela pode ser usada como um sensor segurança por exemplo em portas e janelas conforme as Figuras a seguir:
 
Figura 24: Exemplo de uma chave reed ([2] - página 446).
Figura 25: Exemplo de uma chave reed como sensor de fechamento de uma janela ([2] - página 446).
7 Conclusão
	Primeiramente, vale ressaltar que, apenas foi possível obter uma conclusão precisa devido ao estudo elaborado, visando a concordância entre os procedimentos experimentais e teóricos, bem como o resultado das simulações via Multisim Live e os cálculos feitos com ajuda do software Spyder. 
	Diante disso foi possível concluir que, de fato, os elementos indutivos, devido a sua propriedade em produzir campo magnético em base a variação de corrente, ou ainda, produzir corrente mediante a variação de fluxo magnético, conforme a Lei de Faraday mencionada no Capítulo 2, conseguem promover o acoplamento entre circuitos embora não haja uma conexão física
Mediante aos cálculos teóricos, observamos que tensão entre suas bobinas podem ser drasticamente alteradas devido ao acoplamento magnético, causando uma indutância total aditiva ou subtrativa, dependendo da polaridade ligada fisicamente em associação ao acoplamento magnético. 
Em suma, a concordância teórico-prática, faz-se de vital importância, uma vez que ratifica a eficácia dos fenômenos de acoplamento magnético, e de grande utilização na atual sociedade conforme descrito na seção 6. 
Sobre os erros, podemos observar que a discrepância se dá devido a aproximações numéricas, bem como falhas na coleta de dados em laboratório devido a ausência de uma fonte de corrente alternada que forneceria um dado mais preciso.
Referências Bibliográficas: 
[1] Alexander, Charles K. Fundamentos de circuitos elétricos. 5 ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
[2] Boylestad, Robert L. Introdução a análise de circuitos. 12 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.