P2 ANÁLISE 1 prof Ma To Fu UnB 2021

Prévia do material em texto

Análise I - Turma A - P2
UnB 2021
• A prova P1 é individual e sem consulta ao livre.
• Inicia-se às 08h10 e termina 09h50.
• Enviar solução da prova para o email [matofuc1tn@gmail.com] até as 10h10.
1 – Prove que todo conjunto infinito e limitado possui um ponto de acumulação.
2 – Seja f : R → R uma função cont́ınua e a ∈ R. Prove que se f(a) > 0 então existe
um aberto V contendo a tal que
f(x) > 0, ∀x ∈ V.
3 – Seja K ⊂ R compacto e c ∈ R. Prove que existe a ∈ K tal que
|c− a| = inf{|c− x| | x ∈ K}.
4 – Seja f : R → R uma função derivável e seja [α, β] ⊂ R. O teorema de Darboux
afirma que se k está entre f ′(α) e f ′(β) então existe c ∈ (α, β) tal que f ′(c) = k.
Posto isso, seja f : [0, 2] → R uma função cont́ınua, derivável em (0, 2), e tal que
f(0) = 0, f(1) = f(2) = 1.
• Prove que existem α ∈ (0, 1) e β ∈ (1, 2) tais que f ′(α) = 1 e f ′(β) = 0.
• Use o teorema Darboux para provar que existe c ∈ (0, 2) tal que f ′(c) = 1
3
.
1