P3 ANÁLISE 1 prof Ma To Fu UnB 2021

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Análise I - Turma A - P3
1 - Seja f : X ⊂ R → R uniformemente cont́ınua e seja {xn} uma sequencia de
Cauchy em X. Prove que {f(xn)} é uma sequencia de Cauchy em R. (isto é, funções
uniformemente cont́ınuas levam sequencias de Cauchy em sequencias de Cauchy).
2 – Seja f : R→ R definida por
f(x) =
{
x+ 2x2 sin( 1
x
) se x 6= 0,
0 se x = 0.
Mostre que
• f ′(0) = 1 (isto é, f ′(0) > 0)
• f não é crescente em nenhuma vizinhança do zero.
Conclusão: é falso afirmar que se f ′(a) > 0 então f é crescente numa vizinhança de a.
3 – Seja f : R → R uma função uniformemente cont́ınua. Prove que a sequencia de
funções
fn(x) = f(x+
1
n
), x ∈ R,
converge uniformemente para f .
4 – (Teorema 7 do livro) Seja P = {x0, x1, . . . , xn} uma partição do intervalo [a, b] e ξi ∈
[xi−1, x1] (escolhidos arbitrariamente). Seja ∆xi = |xi − xi−1| e ‖P‖ = max{∆xi, i =
1, 2, ..., n}. Prove que se f : [a, b]→ R é cont́ınua então∫ b
a
f(x)dx = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
f(ξi)∆xi.
5 – Seja fn : [0, 1]→ R definida por (para n ≥ 2)
fn(x) =

n2x se 0 ≤ x ≤ 1
n
,
−n2(x− 2
n
) se 1
n
≤ x ≤ 2
n
,
0 se 2
n
≤ x ≤ 1.
Mostre que não vale ∫ 1
0
lim fn(x) dx = lim
∫ 1
0
fn(x) dx. (∗)
O que faltou na sequencia (fn) para a validade da propriedade (∗) ?