VGA Lista3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: Vetores e Geometria Anal´ıtica Turma: T09, T18 e T24
Prof.: Adriano Veiga de Oliveira Data: 30/08/17
TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Determine a equac¸a˜o da elipse que satisfaz
(a) eixo maior mede 10 e focos (±4, 0)
(b) centro C(0, 0), um foco F (0,−√5) e eixo menor mede 4.
2. Determine a equc¸a˜o da hipe´rbole que satisfaz
(a) centro C(0, 0), eixo real sobre OY , b = 8 e excentricidade 5/3
(b) Focos F (±4, 0), ve´rtices A(±1, 0)
3. Determine a equac¸a˜o da para´bola que satisfaz
(a) Foco F (0,−2) e reta diretriz r : y = 2
(b) reta diretriz x = 5 e foco F (−5, 0)
4. Em cada um dos problemas abaixo determine o centro, ve´rtices, focos e excentricidade
das coˆnicas, ass´ıntotas e esboce a coˆnica.
(a) 9x2 − 16y2 = 144 (b) 4x2 + 9y2 = 25 (c) y2 = −3x
(d) y2 − 4x2 = 1 (e) x2 + 4x+ 8y + 12 = 0 (f) y2 − 4x2 = 1
(g) x2 − 2y2 − 8 = 0 (h) 25x2 + 4y2 = 1 (i) x2 = 12(y − 6)
(j) 16x2 + y2 = 1 (k) 25x2 + 169y2 = 1
5. Ache a equac¸a˜o da coˆnica.
(a) Para´bola com ve´rtice V (4, 1), diretriz x+ 4 = 0
(b) Elipse de centro C(2, 4), um foco F (5, 4) e excentricidade e = 3/4
(c) Para´bola com ve´rtice V (1, 3), eixo paralelo ao eixo x, passando pelo ponto P (−1,−1)
(d) Elipse de ve´rtices A1(1,−4), A2(1, 8), excentricidade e = 2/3
(e) Hipe´rbole de ve´rtices A(±3, 0), ass´ıntotas y = ±2x
(f) Hipe´rbole de centro C(5, 1), um foco em F (9, 1), eixo imagina´rio mede 4
√
2
6. Calcule a a´rea do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse
de equac¸a˜o 9x2 + 16y2 = 100.
7. Os pontos A(3, 0) e B(x, y) esta˜o sobre a elipse cujos focos sa˜o F1(−2, 0) e F2(2, 0).
Calcule o per´ımetro do triaˆngulo 4BF1F2.
8. Determine de quantos graus devem ser girados os eixos coordenados para que o termo xy
da equac¸a˜o 4x2 + 24xy − 3y2 − 312 = 0 seja eliminado.
9. Identifique e esboce as coˆnicas, deˆ as coordenadas de todos os pontos das coˆnicas, tais
como ve´rtices, focos, centro, ass´ıntotas, excentricidade, etc.
(a) 52x2−72xy+73y2−400 = 0 (b) 4x2 +4√5xy+5y2−12√5x+24y−36 = 0
(c) x2 − 6x− 5y + 14 = 0 (d) 4x2 − 4xy + 7y2 + 12x+ 6y − 9 = 0
(e) x2 − 2xy + y2 − 2x− 2y + 1 = 0
10. Em cada um dos problemas abaixo, identifique uma equac¸a˜o da hipe´rbole que satisfac¸a
as condic¸o˜es dadas.
(a) Focos F1(−6, 1) e F2(0, 1) e eixo real medindo 4
(b) Um foco e´ F1(0,−
√
11), o centro e´ a origem e o eixo conjugado mede 2
√
7
11. Calcule a a´rea do triaˆngulo formado pelas retas x = 1, y = 2 e a tangente a` coˆnica
x2 + 4y2 − 2x− 16y + 13 = 0 no ponto P
(
2,
4 +
√
3
2
)
.
12. Reduza a equac¸a˜o a` forma mais simples, atrave´s de translac¸a˜o ou rotac¸a˜o. Deˆ o aˆngulo
de rotac¸a˜o. Descreva o conjunto representado.
(a) 32x2 + 52xy − 7y2 + 180 = 0 (b) x2 − 11y2 − 5xy − x + 37y + 52 = 0
(c) x2 + y2 − 2xy − 8√2x− 8√2y = 0
13. Para que valores de m e k a equac¸a˜o mx2 + y2 + 4x − 6y + k = 0 representa uma
circunfereˆncia.
14. Calcule o comprimento da corda que a reta y = −x define na elipse x2 + 4y2 = 20.
15. Obter as tangentes a` hipe´rbole x2 − y2 = 1 que sa˜o tangentes a reta y = 2x.
16. Identifique as qua´dricas.
(a)
x2
4
+
y2
8
+
z2
2
= 1 (b)
x2
4
− y
2
8
+
z2
2
= 1 (c)
x2
4
+
y2
8
− z
2
2
= 1
(d) −x
2
4
+
y2
8
− z
2
2
= 1 (e)
x2
2
+
y2
2
+
z2
2
= 1 (f)
x2
4
+
y2
8
− 4z = 0
(g)
x2
4
− y
2
8
− 4z = 0
17. Identifique as qua´dricas.
(a) 36x2 − 72x+ 4y2 + 9z2 = 36 (b) x2 + y2 − 2x− 2y + 4z − 2 = 0
(c) 9x2 + 36y2 − 4z2 − 18x+ 72y + 16z − 7 = 0 (d) y2 − 4z2 − 4x− 6y − 24z − 31 = 0
(e) 2x2 + y2 − 4z2 + 2y + 5 = 0
18. Descreva e esboce a superf´ıcie de R3.
(a) y = x2 (b) z = 4− x2 (c) y = 1− z2
(d) x2 + z2 = 1 (e) y2 + z2 = 4 (f) x2 + y2 = 9
GABARITO - LISTA 3
1. (a)
x2
25
+
y2
9
= 1 (b)
x2
4
+
y2
9
= 1 2. (a) −x
2
64
+
y2
36
= 1 (b)
x2
1
− y
2
15
= 1
3. (a) x2 = −8y (b) y2 = −20x
4. (a) Centro: (0, 0), Ve´rtices: (±4, 0), Focos: (±5, 0), Assintotas: y = ±3x/4, e = 5/4
(b) Centro: (0, 0), Ve´rtices: (±5/2, 0) e (0,±5/3), Focos: (±5√5/6, 0), e = √5/3
(c) Ve´rtice: (0, 0), Focos: (−3/4, 0), diretriz: x = 3/4
(d) Centro: (0, 0), Ve´rtices: (0,±1), Focos: (0,±
√
5
2
), Assintotas: y = ±2x, e = √5/2
(e) Ve´rtice: (−2,−1), Focos: (−2,−3), diretriz: y = 1 (f) –
(g) Centro: (0, 0), Ve´rtices: (±2√2, 0), Focos: (±2√3, 0), Assintotas: y = ±x/√2,
e =
√
3/
√
2
(h) Centro: (0, 0), Ve´rtices: (±1/5, 0) e (0,±1/2), Focos: (0,±√21/10), e = √21/5
(i) Ve´rtice: (0, 6), Focos: (0, 9), diretriz: y = 3
(j) Centro: (0, 0), Ve´rtices: (±1/4, 0) e (0,±1), Focos: (0,±√15/4), e = √15/4
(k) Centro: (0, 0), Ve´rtices: (±1/5, 0) e (0,±1/13), Focos: (±12/65), e = 12/13
5. (a) (y − 1)2 = 32(x− 4) (b) (x− 2)
2
16
+
(y − 4)2
7
= 1 (c) (y − 3)2 = −8(x− 1)
(d)
(x− 1)2
20
+
(y − 6)2
36
= 1 (e)
x2
9
− y
2
36
= 1 (f)
(x− 5)2
8
− (y − 1)
2
8
= 1
6. 16 7. 10 8. θ = arccos
(4
5
)
9. (a)
x2
16
+
y2
4
= 1, onde x =
4
5
x− 3
5
y e y =
3
5
x+
4
5
y
(b) −4(y − 1) = x2, onde x = 2
3
x−
√
5
3
y e y =
√
5
3
x+
2
3
y
(c) 5(y − 1) = (x− 3)2
(d)
(x+
√
5)2
8
+
y2
3
= 1, onde x =
2√
5
x− 1√
5
y e y =
1√
5
x+
2√
5
y
(e)
√
2
(
x− 1
2
√
2
)
= y2, onde x =
1√
2
x− 1√
2
y e y =
1√
2
x+
1√
2
y
10. a)
(x+ 3)2
4
− (y − 1)
2
5
= 1 b) −x
2
7
+
y2
4
= 1 11.
4
√
3
3
12. (a) −x
2
4
+
y2
9
= 1, onde x =
2√
5
x− 1√
5
y e y =
1√
5
x+
2√
5
y
(b) −(x− 8/
√
26)2
159/23
+
(y + 14/
√
26)2
53
= 1, onde x =
1√
26
x− 5√
26
y e y =
5√
26
x+
1√
26
y
(c) y2 = 8x, onde x =
√
2
2
x−
√
2
2
y e y =
√
2
2
x+
√
2
2
y
13. m = 1 e k > 13 14. 4
√
2 15. y = 2x+
√
3 e y = 2x−
√
3
16.
(a) Elipso´ide (b) Hiperbolo´ide de uma folha (c) Hiperbolo´ide de uma folha
(d) Hiperbolo´ide de duas folhas (e) Esfera de centro (0, 0, 0) e raio
√
2
(f) Parabolo´ide elipt´ıco (g) Parabolo´ide hiperbo´lico
17.
(a) Elipso´ide (b) Parabolo´ide elipt´ıco (c) Hiperbolo´ide de uma folha
(d) Parabolo´ide hiperbo´lico (e) Hiperbolo´ide de duas folhas
18. a) , b) ,c) : Cilindro Parabo´lico
d) , e) ,f) : Cilindro circular