Matematica - Geometria e Trigonometria - EM - L06

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6
ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
CAPA_SER_CAD6_MP_MAT_Geometria.indd 1 4/24/15 6:15 PM
 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição 1
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição 1
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 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E GEOMETRIA 
ESPACIAL DE POSIÇÃO
1 Relações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Relações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Relações decorrentes das fundamentais . . . . . . . . . . . . . 5
Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Inequações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Geometria espacial de posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Posições relativas: ponto e reta e ponto e plano . . . . . . . 21
Posições de pontos no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Posições relativas de duas retas no espaço . . . . . . . . . . 23
Posições relativas de dois planos no espaço . . . . . . . . . 24
Posições relativas de uma reta e um plano . . . . . . . . . . . 27
Paralelismo no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Perpendicularismo no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Projeção ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
MATEMÁTICA
 GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Luiz Roberto Dante
2122819 (PR)
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O templo de Ártemis, mais conhecido como tem-
plo de Diana (nome latino dado pelos romanos à deusa 
Ártemis), construído em homenagem à Lua, em Éfeso, 
na região da atual Turquia, por volta dos séculos V ou
VI a.C., já não existe mais; apenas fragmentos de colunas, 
que se encontram atualmente no Museu Britânico. Esse 
templo foi destruído duas vezes. Na primeira, foi recons-
truído maior do que antes. A destruição final se deu em
262 d.C., quando a cidade em que ficava foi saqueada pelos 
godos. Na foto, as ruínas do templo em Éfeso, em 2013.
MÓDULO
Relações trigonométricas e
Geometria espacial de posição
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
www.ser.com.br
 É instigante imaginar o conhecimen-
to dos sábios da Antiguidade sobre 
a Geometria. Um ótimo exemplo 
é o templo de Ártemis, uma das 
sete maravilhas do mundo antigo. 
A simetria de suas formas, a perfei-
ta disposição das águas de telhado 
(planos que contêm o telhado) e o 
perpendicularismo de suas pilas-
tras revelam grande conhecimento 
dessa área da Matemática.
 Você sabe quais são os tipos de po-
sições relativas entre ponto, reta e 
plano no espaço? Qual a diferença 
entre axioma, teorema e defini-
ção? Sabe determinar um plano?
Esse modelo em miniatura do templo de Ártemis, no 
Miniatürk Park, em Istambul, Turquia, procurou recriar a 
aparência provável do primeiro templo (2013).
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4 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
CAPÍTULO
Objetivos:
c Reconhecer as relações 
trigonométricas 
fundamentais e 
decorrentes.
c Aplicar as relações 
trigonométricas na 
resolução de equações.
c Identificar e 
demonstrar identidades 
trigonométricas.
c Resolver os vários 
tipos de equações 
trigonométricas.
c Resolver os vários 
tipos de inequações 
trigonométricas.
1 Relações trigonométricas
A Matem‡tica possui como caracter’stica fundamental conter seu pr—prio objeto de estudo, 
uma vez que trata de fen™menos poss’veis e não necessariamente existentes, embora muitas vezes 
recorramos ˆ aplicação para faz•-la compreens’vel. Mesmo que seus v‡rios campos tenham partido 
das necessidades do homem de resolver quest›es pr‡ticas, eles se desenvolveram naturalmente, e a 
mente humana encontrou ambiente para as generalizaç›es.
As relaç›es matem‡ticas que serão estudadas a seguir são um exemplo dessa generalização, 
pois tratam das consequ•ncias dos conceitos trigonomŽtricos. Assim, poderão muitas vezes parecer 
não ter ligação com quest›es pr‡ticas, mas sua exploração j‡ ser‡, por si, um aprendizado de como 
conduzir logicamente o racioc’nio.
O termo identidade refere-se a uma igualdade que Ž verdadeira, independentemente dos 
valores assumidos por suas vari‡veis e de qualquer contexto. Representa, portanto, o caso geral. Seu 
resultado Ž, na verdade, uma propriedade, um princ’pio, uma definição.
H‡ v‡rios exemplos de identidades, alguns tão famosos que os reconhecemos pelo nome, como 
o teorema de Pitágoras, a fórmula de Bhaskara e, na Trigonometria, a relação fundamental 
sen2 x 1 cos2 x 5 1.
As identidades acrescentam ao estudo da Trigonometria um repert—rio de relaç›es que são 
aplicadas nas equaç›es e inequaç›es trigonomŽtricas, trazendo, assim, o caso geral para o particular. 
ƒ isso que vamos fazer agora.
 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
As relaç›es entre os valores das funç›es trigonomŽtricas de um mesmo arco são denominadas 
relações trigonométricas. Veja algumas:
sen2 x 1 cos2 x 5 1 para todo x [ R 
tg x 5 
senx
cos x
 para todo x Þ 
2
p 1 kp 
cotg x 5 
cos x
senx
 para todo x Þ kp
sec x 5 1
cos x
 para todo x Þ 
2
p
 1 kp
cossec x 5 1
senx
 para todo x Þ kp
Veja, no Guia do Professor, o quadro de compet•ncias e habilidades desenvolvidas neste m—dulo.
 Para simplificar as expressões, con-
sideramos o fator k [ Z sempre 
que não especificado.
PARA
REFLETIR
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição 5
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 RELAÇÕES DECORRENTES DAS FUNDAMENTAIS
A partir das relações fundamentais, podemos chegar a outras relações também importantes:
 sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒
⇒ 
sen x
cos x
2
2
 1 
cos x
cos x
2
2
 5 
1
cos x2
 ⇒
⇒ tg2 x 1 1 5 sec2 x para cos x Þ 0
Assim:
tg2 x 1 1 5 sec2 x para x Þ 
2
p
 1 kp [ Z
 sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒
⇒ sen x
sen x
2
2
 1 cos x
sen x
2
2
 5 1
sen x2
 ⇒
⇒ 1 1 cotg2 x 5 cossec2 x para sen x Þ 0
Assim:
cotg2 x 1 1 5 cossec2 x para x Þ kp, k [ Z
 Sabemos que tg x 5 sen x
cos x
 e cotg x 5 cos x
sen x
.
Multiplicando essas expressões membro a membro, temos:
tg x ? cotg x 5 
senx
cos x
 ? 
cos x
senx
 5 1 ⇒
⇒ cotg x 5 
1
tg x
, quando sen x Þ 0 e cos x Þ 0
Assim:
cotg x 5 
1
tg x
 para x Þ 
2
p
 1 kp e x Þ p 1 kp, ou seja, x Þ 
pk
2
, k [ Z
 Não se deve confundir tg2 x 1 1 
com tg2 (x 1 1).
PARA
REFLETIR
1 Sendo sen x 5 2
1
4
 , com p , x , 
3
2
p
 determine tg x e sec x.
RESOLUÇÃO:
sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒ 



 



1
4
2
2 1 cos2 x 5 1
⇒ cos2 x 5 
15
16
 ⇒ cos x 5 ± 
15
4
 
Como x é do 3o quadrante, cos x
15
4
.5 2 Então:
tg x 5 
senx
cosx
 ⇒ tg x 5 
1
4
15
4
2
2
 ⇒ tg x 5 
15
15
 
sec x 5 
1
cosx
 ⇒ sec x 5 
1
15
4
2
 ⇒
⇒ sec x 5 2
4 14 15
15
 
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6 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
2 Dado cossec x 5 
7
4
, com 
2
p
 , x , p, determine cos x.
RESOLUÇÃO:
 cossec x 5 
1
sen x
 ⇒ 
7
4
 5 
1
senx
 ⇒ 7 ? sen x 5 4 ⇒ sen x 5 
4
7
 
 sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒ 


 



4
7
2
 1 cos2 x 5 1 ⇒ cos2 x 5 
33
49
 ⇒ cosx 5 ± 
33
7
 Como x é do 2o quadrante, cos x
33
7
.5 2
3 Determine o valor de m para que se tenha simultaneamente sen x 5 m 2m 22m 2 e cos x 5 m 2 1.
RESOLUÇÃO:
Usando a relação sen2 x 1 cos2 x 5 1 e fazendo as substituições, temos:
( )( )( )m 2( )
2
( )m 22( )2m 2 1 (m 2 1)2 5 1 ⇒ 
⇒ m 2 2 1 m2 2 2m 1 1 5 1 ⇒ m2 2 m 2 2 5 0 (equação do 2o grau em m)
Δ 5 9
m' 5 2 e m'' 5 21
O valor m 5 21 não satisfaz, pois
m 2m 22m 2 5 1 22 21 22 21 2 5 32 Ó R ou porque
cos x 5 21 2 1 5 22 não satisfaz a existência do cosseno.
Já o valor m 5 2 serve para sen x 5 2 22 222 2 5 0 e cos x 5 2 2 1 5 1.
Logo, m 5 2.
4 Simplifique a expressão
y
cotg x cossec x
sen x
,5
1x c1x c
 supondo 0 , x , 
2
p
.
RESOLUÇÃO:
Escrevendo todos os termos da expressão em função de sen x e cos x, temos:
y 5 
cotg x cossec x
sen x
1x c1x c
 5 
cos x
sen x
1
sen x
sen x
1
 5 
cos x 1
sen x
sen x
1
 5 
cos x 1
sen x
1
 ? 
1
sen x
 5 
cos x 1
sen x2n x2n x
1
 
Como sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇔ sen2 x 5 1 2 cos2 x, fazemos a substituição:
y 5 
cos x 1
1 cos x2
1
1 c21 c
 5 
cocos xs x 1
(1 cos x) (1 cos x)
11
1 21 2co1 2co1 2s x1 2s x1 2) (1 21 c1 21 c
 5 
1
1 cos x1 c21 c
 
Portanto, y 5 1
1 cos x
.
1 c21 c
5 Dado sen x 5 
2
2
 calcule o valor da expressão: A 5 sec x 1
tg x 1
.
2c x2c x
2
2
x 11x 1
RESOLUÇÃO:
Vamos escrever a expressão dada em função de sen x e cos x:
A 5 














 


























sec x 1
tg x 1
1
cos x
1
sen x
cos x
1
1
cos x
1
sen x
cos x
1
1 cos x
cos x
sen x cos x
cos x
1 cos x
cocos x
cocos x
sen x cos x
sen x
1
sen x
2c x2c x
2
2
2
2s x2s x
2n x2n x
2s x2s x
2
2s x2s x
2 2n x2 2n x co2 2s x2 2s x
2s x2s x
2
22s x2s x
22s x2s x
2 2n x2 2n x co2 2s x2 2s x
2n x2n x 2n x2n x
2
x 11x 1
5
2
1
5
2
1
5
1 c21 c
1
2 2
1
2 2
5
1 c21 c
?
1
2 2
1
2 2
5 55 5
Como sen x 5 2
2
, então o valor da expressão é A 5 














 













2
2
2
4
1
2
2
5 55 5 .
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição 7
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PARA CONSTRUIR
6 Se sen x ? cos x 5 0,3, então qual o valor de cotg2 2x?
RESOLUÇÃO:
Sabemos que sen 2x 5 2 ? sen x ? cos x, então:
sen x ? cos x 5 
3
10
 ⇒
( 2⋅( 2)
 2 ? sen x ? cos x 5 
3
5
 ⇒ sen 2x 5 
3
5
 ⇒ cossec 2x 5 
5
3
Mas:
cotg2 2x 1 1 5 cossec2 2x ⇒ cotg2 2x 5 




 



5
3
2
 2 1 ⇒ cotg2 2x 5 
25
9
 2 1 ⇒ cotg2 2x 5 
16
9
1 (IFSC) Se [cos(x)
12
13
, x
3
2
e x52 p, ,
p
 3o quadrante, en-
tão é correto afirmar que o valor de tg x é: d
a) 
5
13
2 .
b) 
5
12
2 .
c) 
5
13
.
d) 
5
12
.
e) 0,334.
Senos e cossenos são negativos no terceiro quadrante. Utilizando a 
relação fundamental, temos:
⇒ 

 ⇒
⇒ ⇒ ± ⇒ ±
1 5 1 2 5
5 2 5 5
sen x cos x 1 sen x
12
13
1
sen x 1
144
169
sen x
25
169
sen x
5
13
2 2 2
2
2
 
Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante, temos: 
5 2sen x
5
13
Calculando a tangente de x:
5 5
2
2
5tg x
sen x
cos x
5
13
12
13
5
12
 
2 Simplifique as expressões:
a) y 5 sec x cossec x
1 cotg x
2
2
 
5
2
2
5
2
?
2
5 5y
1
cos x
1
sen x
1
cos x
sen x
sen x cos x
cos x sen x
sen x cos x
sen x
1
cos x
sec x
b) y 5 (sec x 2 cos x)(cossec x 2 sen x)(tg x 1 cotg x)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )5 2 ? 2 ? 1 5
5
2
?
2
?
1
?
5
5 ? ?
?
5
?
?
5
y
1
cos x
cos x
1
sen x
sen x
sen x
cos x
cos x
sen x
1 cos x
cos x
1 sen x
sen x
sen x cos x
cos x sen x
sen x
cos x
cos x
sen x
1
cos x sen x
sen x cos x
sen x cos x
1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
3 (UFSJ-MG) Considerando os valores de u, para os quais a ex-
pressão 
sen
cossec
cos
sec
u
u
1
u
u
 é definida, é correto afirmar que 
ela está sempre igual a: a
a) 1.
b) 2.
c) sen .θ
d) cos .θ
sen
cossec
cos
sec
sen
1
sen
cos
1
cos
sen cos 12 2
u
u
1
u
u
5
u
u
1
u
u
5 u1 u5
 
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8 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10 Para aprimorar: 1 a 3
As oito relações do início deste 
capítulo são identidades trigo-
nométricas.
PARA
REFLETIR
 IDENTIDADES TRIGONOMƒTRICAS
Toda igualdade envolvendo funções trigonométricas que se verifica para todos os valores do 
domínio dessas funções é uma identidade trigonométrica. Por exemplo, considerando o domínio 
das funções, a igualdade sen x ? sec x 5 tg x é uma identidade trigonométrica, pois, independente-
mente do valor de x, ela se verifica. Para x Þ 
2
p
 1 kp, temos:
sen x ? sec x 5 sen x ? 
1
cos x
 5 
sen x
cos x
 5 tg x
Já a igualdade sen x 1 cos x 5 1, para x [ R, não é uma identidade, pois ela não é verdadeira 
para todo x [ R. Dizemos que sen x 1 cos x 5 1 é uma equação trigonométrica.
Para demonstrar que uma igualdade é uma identidade, há vários caminhos. Veja alguns nos 
exemplos a seguir.
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
7 Demonstre que (1 2 cos2 x)(cotg2 x 1 1) 5 1, para x Þ kp, é uma identidade.
RESOLU‚ÌO:
Vamos procurar simplificar o primeiro membro da igualdade, expressando-o em função de sen x e de cos x:
(12cos2 x) 












cos x
sen x
1
2s x2s x
2n x2n x
1 
1 24 31 24 31 24 344 31 24 341 244 3
1 21 2441 24 31 24 31 21 2441 24 31 24 3441 24 3444 31 24 3441 2444 34 344 34 3444 344 34444 3
12312312
12312312












(1 cos x)
cos x sen x
sen x
sesen xn xn x
1
sesen xn x
12s x2s x
2 2s x2 2s x se2 2n x2 2n x
2n x2n x
22n x2n x
22n x2n x
5 2(15 2
1
2 2
1
2 2
5 ?5 ?5 ?se5 ?se5 ?n x5 ? 5
Partindo de f(x), chegamos a g(x). Logo, f(x) 5 g(x).
As compet•ncias e habilidades do Enem est‹o indicadas em quest›es diversas ao longo do m—dulo. Se necess‡rio, explique aos alunos que a utilidade deste 
ÒseloÓ Ž indicar o nœmero da(s) compet•ncia(s) e habilidade(s) abordada(s) na quest‹o, cuja ‡rea de conhecimento est‡ diferenciada por cores (Linguagens: la-
ranja; Ci•ncias da Natureza: verde; Ci•ncias Humanas: rosa; Matem‡tica: azul). A tabela para consulta da Matriz de Refer•ncia do Enem est‡ dispon’vel no portal.
4 Sejam os números reais m e x que satisfazem simultanea-
mente as condições sen x 5 m 2 1 e cos x 5 1 m22 , qual é 
o valor de m?
sen2 x 1 cos2 x 5 (m 2 1)2 1 ( )21 m2
2
 5 1 ⇒
⇒ m2 2 2m 1 1 1 1 2 m
2
 5 1 ⇒ 22m 5 21 ⇒ m 5 
1
2
Condi•‹o: 1 2 m2 ù 0 ⇒ 1 2 
1
4
 5 
3
4
 ù 0 (V)
Ent‹o, m 5 
1
2
.
5 Encontre os valores de k para que sejam satisfeitas simulta-
neamente as igualdades cos a 5 
3k
5
 e cossec a 5 
5
4k
.
cossec a 5 
5
4k
 5 
1
sen a
 ⇒ sen a 5 
4k
5
 
sen2 a 1 cos2 a 5 1 ⇒ 
16k
25
2
 1 
9k
25
2
 5 1 ⇒ k2 5 1 ⇒ k 5 ±1
6 Se tg x 5 
senx
cosx
 5 t, escreva a expressão
y 5 sen x sen x cos x
sen x cos x
2
2 2
1 ?
2
 em função de t.
(Sugestão: Use a fatoração no numerador e no denominador 
da fração.)
y
sen x (sen x cos x)
(sen x cos x) (sen x cos x)
sen x
sen x cos x
5
? 1
1 2
5
2
5
 
sen x
cos x
sen x
cos x
cos x
cos x
tg x
tg x 1
t
t 1
5
2
5
2
5
2
 
7 (FGV-SP) Se cos x 1 sec (2x) 5 t, então cos2 x 1 sec2 x é 
igual a: d
a) 1.
b) t2 1 2.
c) t2..
d) t2 2 2.
e) t2 1 1. 
cos x 1 sec (2x) 5 t ⇒ (cos x 1 sec (2x))2 5 t2 ⇒
⇒ cos2 x 1 2 cos x ? sec (2x) 1 sec2 (2x) 5 t2 ⇒
⇒ cos2 x 1 2 cos x ? 
1
cos x
 1 sec2 x 5 t2 ⇒
⇒ cos2 x 1 2 1 sec2 x 5 t2 ⇒ cos2 x 1 sec2 x 5 t2 2 2
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-1
9
2122802_SER1_EM_GEOM_CAD6_C01_01a19_PR_AL.indd 8 5/14/15 2:54 PM
 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição 9
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
8 Demonstre que 
tgx
1 tg x2g x2g x1 t11 t
 5 
senx
sec x
 é uma identidade para x Þ 
2
p
 1 kp.
RESOLU‚ÌO:
Neste problema, vamos simplificar isoladamente cada membro.
 f(x)
tg x
1 tg x
sen x
cosx
sec x
sen x
cos x
1
cos x
sen x
cocos xs x
cocos xs x sen x cos x
2 2g x2 2g x se2 2c x2 2c x
2s x2s x
22s x2s xs x2s x
cos x
5
1 t11 t
5 55 5
co
5 5
s x
5 5 5 ?5 ?
se
5 ?
n x
5 ? 5 ?se5 ?n x5 ? 
 g(x) sen x
sec x
sen x
1
cos x
sen x cos x5 55 5se5 5n x5 5 5 ?se5 ?n x5 ?
Partindo separadamente de f(x) e g(x), chegamos ao mesmo valor. Logo, f(x) 5 g(x).
9 Demonstre a identidade sec2 x 2 sen2 x 5 tg2 x 1 cos2 x.
RESOLU‚ÌO:
Considerando sec2 x 2 sen2 x como f(x) e tg2 x 1 cos2 x como g(x), podemos fazer:
f(x) 2 g(x) 5 sec2 x 2 sen2 x 2 tg2 x 2 cos2 x 5 (sec2 x 2 tg2 x) 2 (sen2 x 1 cos2 x) 5 1 2 1 5 0
Se f(x) 2 g(x) 5 0, então f(x) 5 g(x) ou sec2 x 2 sen2 x 5 tg2 x 1 cos2 x.
Partindo de f(x) 2 g(x), chegamos a 0. Se f(x) 2 g(x) 5 0, então f(x) 5 g(x).
10 Demonstre que sen4 x 2 cos4 x 5 2cos 2x.
RESOLU‚ÌO:
sen4 x 2 cos4 x 5 (sen2 x 2 cos2 x)(sen2 x 1 cos2 x) 5 (sen2 x 2 cos2 x) ? 1 5 21(cos2 x 2 sen2 x) 5 21 ? cos 2x 5 2cos 2x
Para que valores de x vale 
essa identidade?
PARA
REFLETIR
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11 e 12
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10
PARA CONSTRUIR
8 Se A 5 (cos a 1 cos b)(cos a 2 cos b) 1 (sen a 1 sen b)(sen a 2 
2 sen b), prove que A 5 0.
A 5 cos2 a 2 cos2 b 1 sen2 a 2 sen2 b 5 (cos2 a 1 sen2 a) 2 (cos2 b 1 
1 sen2 b) 5 1 2 1 5 0
9 (Unemat-MT) Na expressão 
sec x cos x cotg x sen x
cossec x sen x sec x cotg x cotg x cos x
2
2
? 2 ?
? 2 ? 1 ?
 podemos 
afirmar que: a, b
a) O numerador é igual a sen x ? tg x.
b) O denominador é igual a cos x ? cotg x.
c) Podemos dizer que 
sec x cos x cotg x sen x
cossec x sen x sec x cotg x cotg x cos x
2
2
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
2
2 1
 5 tg x.
d) Se considerarmos sec x ? cotg x 2 cotg x ? cos x isolada-
mente, então podemos substituí-la por sen x.
e) O numerador é igual ao denominador, portanto a expres-
são é igual a 1 (um).
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
Numerador: sec x cos x cotg x sen x
1
cos x
cos x
cos x
sen x
sen x
1
cos x
cos x
1 cos x
cos x
sen x
cos x
sen x
sen x
cos x
sen x tg x
2
2
2 2
2 5
5 2 5 2 5
2
5 5
5 5
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
Denominador:cossec x sen x sec x cotg x cotg x cos x
1
sen x
sen x
1
cos x
cos x
sen x
cos x
sen x
cos x
1
sen x
1
sen x
cotg x cos x cotg x cos x
2
2
2 1 5
2 1 5 2 1
1 5
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
2122802_SER1_EM_GEOM_CAD6_C01_01a19_PR_AL.indd 9 5/14/15 2:54 PM
10 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Observe as seguintes equações:
 sen x 5 1
 2 ? cos x 5 3 
 1 1 tg 2x 5 0
Essas equações são exemplos de equações trigonométricas, pois nelas a incógnita aparece nas 
medidas dos arcos ou dos ângulos de funções trigonométricas.
Equações da forma sen x 5 a, cos x 5 a e tg x 5 a
Não existe um modo único que permita resolver todas as equações trigonométricas. Entretanto, 
o objetivo é chegar sempre a equações básicas do tipo sen x 5 a, cos x 5 a ou tg x 5 a, que nos 
permitem obter a variável x a partir do conhecimento dos valores de a, mesmo que tenhamos de 
lançar mão de artifícios, transformações, identidades, etc.
Quando não for explicitado o con-
junto universo, devemos conside-
rar ø = R.
PARA
REFLETIR
Porque 2x 5 cos 
3
p
 não é uma 
equação trigonométrica?
PARA
REFLETIR
11 Resolva as equações:
a) sen x 5 
1
2
b) tg x 5 1
c) sen 2x 5 1
d) 




 



x
3
2
p
 5 
3
2
e) 3 ? tg 




 



x
2
2
p
 5 32
RESOLUÇÃO:
a) sen x 5 
1
2
 
 
0
y
x
p
6
5p
6
 Sabemos que na 1a determinação os arcos com seno 
igual a 
1
2
 são 
6
p
 e 
5
6
p
. Então, em todas as voltas temos 
x
6
2k5
p
1 p2k1 p ou x
5
6
2k5
p
1 p2k1 p.
 S 5 { }{ }{ }x x{ }6{ }2k{ }ou{ }x{ }
5{ }6{ }2k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }5{ }{ }p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
b) tg x 5 1
y
x
p
4
p
4
1 p
0
 Os arcos com tangente igual a 1 na 1a determinação são 
4
p
 e 



 



5
4 44 4
p pp p
1p . Então, em todas as voltas x 5 
4
p
 1 kp.
 S 5 { }{ }x x{ }4{ }k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
c) sen 2x 5 1
0
p
2
y
x
 Essa equação pode ser resolvida do mesmo modo que as 
anteriores, embora se tenha sen 2x e não sen x.
 Como sen 
2
p
 5 1, temos:
 2x 5 
2
p
 1 2kp ⇒ x 5 
2
2k
2
p
1 p2k1 p
 5 
4
p
 1 kp
 S 5 { }{ }x x{ }4{ }k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
d) cos 




 



x
3
2
p
 = 
3
2
 
0
y
x
p
6
11p
6
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição 11
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 Como na 1a determinação 
6
p
 e 
11
6
p
 têm cosseno igual a 
3
2
, temos:
 
x
3 6
2k
6 3
2k
x
2
2k
⇒
⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒x⇒ ⇒
⇒
2
p
5
p
1 p2k1 p
⇒ ⇒5⇒ ⇒
p
⇒ ⇒
p
⇒ ⇒1⇒ ⇒1⇒ ⇒
p
⇒ ⇒
p
⇒ ⇒1 p2k1 p⇒ ⇒1 p⇒ ⇒2k⇒ ⇒1 p1 p⇒ ⇒
5
p
1 p2k1 p
 
 ou
 
x
3
11
6
2k
11
6 3
2k
x
13
6
2k
6
2k
côngruo a
6
2
6

⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒x⇒ ⇒11⇒ ⇒
⇒














 














2
p
5
p
1 p2k1 p ⇒ ⇒5⇒ ⇒p⇒ ⇒p⇒ ⇒1⇒ ⇒1⇒ ⇒p⇒ ⇒p⇒ ⇒1 p2k1 p⇒ ⇒1 p⇒ ⇒2k⇒ ⇒1 p1 p⇒ ⇒
5
p
1 p2k1 p 5
p
1 p2k1 p
p
p1
p
 S 5 { }{ }{ }x x{ }2{ }2k{ }ou{ }6{ }2k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
e) 3 ? tg 




 



x
2
1
p
 5 32 ⇒ 




 



tg x
2
1
p
 5 
3
3
2 
0
y
x
5p
6
p
6
5p
6
1 p
 tg 
6
p
 5 
3
3
 
 tg 
5
6
p
 5 
3
3
2 
 Então:
 x 1 
2
p
 5 
5
6
p
 1 kp ⇒ 
 ⇒ x 5 
5
6 2
p
2
p
 1 kp ⇒
 ⇒ x 5 
3
p
 1 kp
 S 5 { }{ }x x{ }3{ }k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ }
12 Resolva as equações:
a) cos2 x 5 
1
2
 
b) 2 ? sen2 x 1 3 ? sen x 2 2 5 0
RESOLU‚ÌO:
a) cos2 x 5 
1
2
 cos x 5 
1
2
 5 ± 
1
2
 5 ± 
2
2
 ⇒
 ⇒ 
⇒
⇒









































cosx
2
2
x
4
2k ou
x
7
4
2k
ou
cosx
2
2
x
3
4
2k ou
x
5
4
2k
5 55 55 5⇒5 5x5 5 p 1 p2k1 p
5
p
1 p2k1 p
52 5
p
1 p2k1 p
5
p
1 p2k1 p
 
y
x
5p
4
7p
4
p
4
3p
4
 S 5 { }{ }{ }x x{ }4{ }k{ }2{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 ?{ }k{ }1 ?1 ?{ }{ }p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ }
b) 2 ? sen2 x 1 3 ? sen x 2 2 5 0
 Fazendo sen x 5 t, ficamos com 2t2 1 3t 2 2 5 0:
 Δ 5 25
 t' 5 
1
2
 e t" 5 22 t
1
2
ou t 2


 




5 55 5ou5 5t 25 5t 2t 22t 2
 Então:
 
R[
sen x
1
2
x
6
2k ou
x
5
6
2k ou
sen x 2 x
⇒
⇒ ∃⇒ ∃⇒ ∃⇒ ∃2 x⇒ ∃2 x2 x⇒ ∃2 x






















5 55 5x5 5⇒5 5 p 1 p2k1 p
5
p
1 p2k1 p
52
 
 S 5 { }{ }{ }x x{ }6{ }2k{ }ou{ }x{ }
5{ }6{ }2k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }5{ }{ }p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ }
Resolu•‹o de uma equa•‹o em intervalo dado
Para resolver uma equa•‹o trigonomŽtrica num determinado intervalo, fazemos o seguinte:
1o) Resolvemos normalmente a equa•‹o, obtendo a solu•‹o geral.
2o) Determinamos os valores da solu•‹o geral que pertencem ao intervalo dado. Esses valores 
v‹o constituir o conjunto solu•‹o da equa•‹o.
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12 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
13 Resolva a equação cos x ? tg x 2 cos x 5 0 no intervalo 
[0, 2p].
RESOLU‚ÌO:
cos x ? tg x 2 cos x 5 0 ⇒ 
⇒ cos x ? (tg x 2 1) 5 0 ⇒ 
⇒ cos x 5 0 ou tg x 5 1
cos x 5 0 ⇒ x 5 
2
p
 ou x 5 
3
2
p
 
Mas como a tg x não é definida para x 5 
2
p
 e x 5 
3
2
p
, esses 
valores não servem.
tg x 5 1 ⇒ x 5 
4
p
 ou 
x 5 
5
4
p
, pois x [ [0, 2p]
Outra resolução:
cos x 5 0⇒ x 5 
2
p
 1 kp
k 5 0 ⇒ x 5 
6
p
 [ [0, 2p]
k 5 1 ⇒ x 5 
2
p
 1 p 5 
3
2
p
 [ [0, 2p]
k 5 2 ⇒ x 5 
5
2
p
 î [0, 2p]
ou
tg x 5 1 ⇒ x 5 
4
p
 1 kp
k 5 0 ⇒ x 5 
4
p
 [ [0, 2p]
k 5 1 ⇒ x 5 
5
2
p
 [ [0, 2p]
k 5 2 ⇒ x 5 
4
p
 1 2p î [0, 2p]
Os valores 
2
p
 e 
3
2
p
 são do intervalo, mas não servem na equa-
ção inicial.
Portanto, S 5 { }{ }{ }{ }4{ }{ },{ }{ }
5{ }{ }4{ }{ }
p p{ }{ }5{ }p p5 .
14 Resolva a equação cos 2x 1 cos x 1 1 5 0 para 0 , x , 2p.
RESOLU‚ÌO:
Como cos 2x 5 2 ? cos2 x 2 1, substituindo na equação temos:
2 ? cos2 x 2 1 1 cos x 1 1 5 0 ⇒
⇒ 2 ? cos2 x 1 cos x 5 0 ⇒ 
⇒ cos x ? (2 ? cos x 1 1) 5 0
Assim:
cos x 5 0 ou 2 ? cos x 1 1 5 0
cos x 5 0 ⇒ x 5 
2
p
 ou x 5 
3
2
p
 
2 ? cos x 1 1 5 0 ⇒ cos x 5 
1
2
2 ⇒ x 5 
2
3
p
ou x 5 
4
3
p
 
y
x
2p
3
p
2
4p
3 3p
2
S 5 { }{ }{ }{ }{ }{ }2{ }{ },{ }{ }
3{ }{ }2{ }{ },{ }{ }
2{ }{ }3{ }{ },{ }{ }
4{ }{ }3{ }{ }
p p p{ }{ }3{ }p p p3{ }2{ }p p p2{ }p{ } 
15 Resolva a equação cos x 1 cos 3x 1 cos 2x 5 0 para 0 ¿ x ¿ 2p.
RESOLU‚ÌO:
cos x cos 3x cos 2x 0
2 cos
x 3
2
cos
x 3x
2
cos 2x 0
↓
1 1co1 1s 31 1x c1 1x c 5
1 2x 31 2x 3x1 2x 31 2x 3
1 5s 21 5x 01 51 5co1 5s 21 5x 01 5⇒ ⇒x 0⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒2 c⇒ ⇒os⇒ ⇒
x 3
⇒ ⇒
x
⇒ ⇒co⇒ ⇒s⇒ ⇒
x 3
⇒ ⇒
x
⇒ ⇒⋅ ⋅⇒ ⇒⋅ ⋅⇒ ⇒⋅ ⋅⇒ ⇒2 c⋅ ⋅2 c⇒ ⇒⋅ ⋅os⋅ ⋅⇒ ⇒⇒ ⇒⋅ ⋅
1 2
⇒ ⇒
x 31 2x 3
⇒ ⇒
1 2x1 2
⇒ ⇒⇒ ⇒
1 2x 31 2
⇒ ⇒⇒ ⇒
1 2
1 5⇒ ⇒co1 5⇒ ⇒⇒ ⇒1 5s 21 5⇒ ⇒⇒ ⇒1 5x 01 5x 0⇒ ⇒1 5
⇒
⇒ 2 ? cos 2x ? cos (2x) 1 cos 2x 5 0 ⇒
⇒ 2 ? cos 2x ? cos x 1 cos 2x 5 0 ⇒
⇒ cos 2x ? (2 ? cos x 1 1) 5 0
Temos:
cos 2x 5 0 ou 2 ? cos x 1 1 5 0
cos 2x 5 0 ⇒ 2x 5 
2
p
 ou 
2x 5 
3
2
p
 ou 2x 5 
5
2
p
 
ou 2x 5 
7
2
p
 (pois 0 ¿ 2x ¿ 4p)
Assim, x 5 
4
p
 ou x 5 
3
4
p
 ou x 5 
5
4
p
 ou x 5 
7
4
p
 
2 ? cos x 1 1 5 0 ⇒
⇒ cos x 5 
1
2
2 ⇒ x 5 
2
3
p
 ou
x 5 
4
3
p
 
S 5 { }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ }4{ }{ },{ }{ }
3{ }{ }4{ }{ },{ }{ }
5{ }{ }4{ }{ },{ }{ }
7{ }{ }4{ }{ },{ }{ }
2{ }{ }3{ }{ },{ }{ }
4{ }{ }3{ }{ }
p p p{ }{ }3{ }p p p3{ }5{ }p p p5{ }p p{ }{ }2{ }p p2{ }p{ } 
2122802_SER1_EM_GEOM_CAD6_C01_01a19_PR_AL.indd 12 5/14/15 2:54 PM
 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o 13
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Equa•›es do tipo sen a 5 sen b, cos a 5 cos b, tg a 5 tg b
Da redu•‹o ao 1o quadrante, temos:
 sen a 5 sen b
0
b
a
sen
sen a 5 sen b ⇒ { 2k 2k
a 5b 1 p
a 5 p 1 b 1 p
 cos a 5 cos b
0
b
2b
a
cos
cos a 5 cos b ⇒ a 5 ± b 1 2kp
 tg a 5 tg b
tg
b
a
0
tg a 5 tg b ⇒ { 2k 2k
a5b 1 p
a5p1b1 p
 ⇒ a 5 b 1 kp
2122802_SER1_EM_GEOM_CAD6_C01_01a19_PR_AL.indd 13 5/14/15 2:54 PM
14 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
16 Resolva as equações:
a) sen x 5 sen 
9
p
 
b) cos x 5 cos 
2
5
p
c) tg x 5 tg 
3
10
p
d) sen x 5 cos 
2
5
p
 
RESOLUÇÃO:
a) sen x 5 sen 
9
p
 ⇒ x 5 
9
p
 1 2kp ou 
 x 5 




 




9
p2
p
 1 2kp 5 
8
9
p
 1 2kp
p
9
 p
9
p 2
y
x
 S 5 { }{ }{ }x x{ }9{ }2k{ }ou{ }x{ }
8{ }9{ }2k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }5{ }{ }p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
b) cos x 5 cos 
2
5
p
 ⇒ x 5 
2
5
p
 1 2kp ou
 x 5 2
2
5




 




p2
p
 1 2kp 5 
8
5
p
 1 2kp
2p
5
2p 2
y
x
2p
5 
 S 5 { }{ }{ }x x{ }2{ }5{ }2k{ }ou{ }x{ }
8{ }5{ }2k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }5{ }{ }p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
 Outra resolução:
 x 5 
2
5
p
 1 2kp ou x 5 2
2
5
p
 1 2kp
 S 5 { }{ }{ }x x{ }2{ }5{ }2k{ }ou{ }x{ }
8{ }5{ }2k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }5{ }{ }p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
c) tg x 5 tg 
3
10
p
 ⇒ x 5 
3
10
p
 1 kp
 
x
y
3p
10
3p
10
p 1
 S 5 { }{ }x x{ }3{ }10{ }k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
d) sen x 5 cos 
2
5
p
 
 Fazemos cos 
2
5
p
 5 
2
2
5




 



p
2
p
 5 sen 
10
p
 e a equação fica 
assim: 
 sen x 5 sen 
10
p
 que é do tipo da do item (a). Então:
 sen x 5 sen 
10
p
 ⇒ x 5 
10
p
 1 2kp ou
 x 5 ( )( )10( )( )p2( )( )
p( ) 1 2kp 5 910
p
 1 2kp
 S 5 { }{ }{ }x x{ }10{ }2k{ }ou{ }x{ }
9{ }10{ }2k{ }{ }5{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }5{ }{ }p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }x x{ }\x x\{ }{ }R{ }x x{ }Rx xR{ }{ }[{ }x x{ }[x x[{ } 
17 Resolva algébrica e graficamente a equação sen x 5 cos x.
RESOLUÇÃO:
Algebricamente: x só pode estar no 1o ou 3o quadrantes para 
que sen x 5 cos x.
sen x 5 cos x ⇒ sen x 5 sen 
2
x


 



p
2 ⇒
⇒ x 5 
2
p
 2 x 1 2kp ⇒ 2x 5 
2
p
 1 2kp ⇒
⇒ x 5 
4
p
 1 kp
Graficamente: as soluções da 
equação sen x 5 cos x são as 
intersecções dos gráficos de sen x 
e de cos x, ou seja, x 5 
4
p
 1 kp.
x
y
21
1
2p p 2p p
4
5p
4
2
 3p
4
↓
côngruo
8
5
p
x
y
2122802_SER1_EM_GEOM_CAD6_C01_01a19_PR_AL.indd 14 5/14/15 2:55 PM
 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o 15
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 13 a 18
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 10
PARA CONSTRUIR
10 (Unifor-CE) A soma das raízes da equação sen x 1 cos x 5 
5 1
3
2
1 , no intervalo [0, p] é igual a: c
a) 2p.
b) p.
c) 
2
p
. 
d) 
3
p
.
e) 
4
p
. 
(sen x 1 cos x)2 5 




11
3
2
2
 ⇒
⇒ sen2 x 1 2sen x cos x 1 cos2 x 5 1 1 
3
2
 ⇒
⇒ 1 1 sen 2x 5 1 1 3
2
 ⇒ sen 2x 5 
3
2
 ⇒
⇒
⇒
⇒







5
p
1 p 5
p
1 p
5
p
1 p 1 5
p
1 p
2x
3
2k x
6
k
ou
2x
2
3
2k x
3
k
Logo, S 5 { }p p6 , 3 para x [ [0, p].
Portanto:
p
1
p
5
p
5
p
6 3
3
6 2
11 (PUC-RJ) Os ângulos (em graus) u entre 0° e 360° para os 
quais sen u 5 cos u são: b
a) 45° e 90°.
b) 45° e 225°.
c) 180° e 360°.
d) 45°, 90° e 180°.
e) 90°, 180° e 270°. 
sen u 5 cos u ⇒ tg u 5 1 ⇒ 
⇒ u 5 45¡ 1 k ? 180¡
Logo, u 5 45¡ ou u 5 225¡.
12 (Cefet-CE) Sendo sec x 1 tg x 5 3, o valor de sec x 2 tg x é: a
a) 321.
b) 322.
c) 323.
d) 324.
e) 325.
tg2 x 1 1 5 sec2 x ⇒ tg2 x 2 sec2 x 5 21 ⇒
⇒ (tg x 1 sec x)(tg x 2 sec x) 5 21 ⇒
⇒ 3(tg x 2 sec x) 5 21 ⇒ tg x 2 sec x 5 2
1
3
 ⇒
⇒ sec x 2 tg x 5 
1
3
 5 321 
13 Assinale o valor de u para o qual sen 2u 5 tg u. e
a) 
2
p
b) 
3
p
c) 
2
3
p
 
d) 
4
3
p
 
e) 
3
4
p
 
sen 2u 5 tg u ⇒ 2sen u cos u 5 
sen
cos
u
u
 
para sen u Þ 0 e cos u Þ 0, temos:
2cos2 u 5 1 ⇒
⇒ cos2 u 5 
1
2
 ⇒ cos u 5 ± 
2
2
 
Logo: 
• para cos u 5 
2
2
 ⇒ u 5 
p
4
 ou u 5 
p7
4
 
• para cos u 5 2
2
2
 ⇒ u 5 
p3
4
 ou u 5 
p5
4
 
14 (Vunesp) No hemocentro de um certo hospital, o número 
de doações de sangue tem variado periodicamente. Admita 
que, para o ano de 2001, esse número, de janeiro (t 5 0) a de-
zembro (t 5 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão 
S(t) 5 l 2 cos 
( )



t 1
6
2 p
, com l sendo uma constante po-
sitiva, S(t) em milhares e t em meses, 0 ¿ t ¿ 11. Determine:
a) a constante l, sabendo que no mês de fevereiro houve
2 mil doações de sangue.
Em fevereiro: 2 mil doações
l 2 cos 



2 p(1 1)
6
 5 2 ⇒ l 2 cos u 5 2 ⇒ 
⇒ l 2 1 5 2 ⇒ l 5 3
b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue. 
3 2 cos 




2 p(t 1)
6
 5 3 ⇒ cos 



2 p(t 1)
6
 5 0
Portanto:
• 
2 p(t 1)
6
 5 
p
2
 ⇒ t 2 1 5 3 ⇒ t 5 4 (maio)
• 
2 p(t 1)
6
 5 
p3
2
 ⇒ t 2 1 5 9 ⇒ t 5 10 (novembro)
Resposta: maio e novembro.
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
7
2122802_SER1_EM_GEOM_CAD6_C01_01a19_PR_AL.indd 15 5/14/15 2:55 PM
16 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
 INEQUA‚ÍES TRIGONOMƒTRICAS
Uma inequa•‹o trigonomŽtrica Ž uma desigualdade em que aparecem fun•›es trigonomŽtricas 
da inc—gnita. Exemplos:
1o) sen x , 
1
2
2 2o) cos x < 
2
2
 3
o) tg x >3
18 Resolva as seguintes inequa•›es:
a) sen x . 
1
2
2 
b) sen x ¿ 1
2
2 , em [0, 2p]
c) cos x . 
1
2
 
d) cos x ¿ 
1
2
2 , para x [ [0, 2p]
e) tg x . 3
f ) tg x • 32 , com x [ [0, 2p] 
RESOLU‚ÌO:
a) sen x . 
1
2
2
0
y
x2p
1
2
2
p
6
2p 2
p
6
p 1
0
 No intervalo [0, 2p], temos:
 sen x . ⇒






















1
2
0 x
7
6
ou
11
6
x 2
2
< ,0 x< ,0 x
p
p
, <x 2, <x 2p
 
 Ent‹o, a solu•‹o geral Ž:
 S 5 x 2k x
7
6
2k ou
11
6
+ 2k x 2 2k
{
}
p <k xp <k x ,
p
1 p2k1 p
p
p ,k xp ,k x < p2 2< p2 21 p2 21 p2 2k1 p
\x 2\x 2Rx 2Rx 2x 2[x 2 
b) sen x ¿ 
1
2
2 , em [0, 2p]
0
0
y
x
p
6
2p 2
p
6
p 1
1
2
2
 Observando o c’rculo trigonomŽtrico, temos no intervalo 
[0, 2p]:
 S 5 { }{ }{ }x{ }7{ }6{ }x{ }
11{ }6{ }{ }
p{ }{ }< <{ }x{ }< << <{ }{ }p{ }{ }\{ }{ }R{ }{ }[{ } 
c) cos x . 
1
2
 
 
0
0
x
y
p
3
2p 2
1
2
2p
p
3
 No intervalo [0, 2p], temos:
 cos x . ⇒






















1
2
0 x
3
ou
5
3
x 2
< ,0 x< ,0 x
p
p
, <x 2, <x 2p
 
 Ent‹o, a solu•‹o geral Ž:
 
S x 2k x
3
2k ou
5
3
2k x 2 2k
{S x{S x
}
5 p2k5 p5 pS x5 pS xS x{S x5 p{ < ,x< , p 1 p2k1 p
p
1 p2k1 p , <x 2, <x 2p1 p
\5 p\5 pR5 pR5 p[5 p[5 p
 
d) cos x ¿ −
1
2
 para x [ [0, 2p]
 
0
x
y
p
3
p 1
1
2
2
p
3
p 2
 Observando o c’rculo trigonomŽtrico, temos:
 S 5 { }{ }{ }x{ }2{ }3{ }x{ }
4{ }3{ }{ }
p{ }{ }< <{ }x{ }< << <{ }{ }p{ }{ }\{ }{ }R{ }{ }[{ } 
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição 17
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
e) tg x . 3 
p
2 p
3
3p
2
p
3
p 1
3
2p0
0
y
x
 No intervalo 0 ø x ø 2p, devemos inicialmente considerar 
x Þ 
2
p
 e x Þ 
3
2
p
 (para existir tg x).
 Então:
 tg x . ⇒






















3
3
x
2
ou
4
3
x
3
2
p
, ,x, ,
p
p
, ,x, ,
p
 
 Então, a solução geral é:
 
S x
3
2k x
2
2k ou
4
3
2k x
3
2
2k
{S x{S x
}
S x5S x
p
1 p2k1 p , ,x, ,
p
1 p2k1 p
p
1 p2k1 p , ,x, ,
p
1 p2k1 p
\R[
f ) tg x ù − 3 com x [ [0, 2p]
p
2
3p
2
p
3
2p 2
p
3
p 2
3
2p
0 0
x
y
2
 Em [0, 2p], consideramos x Þ 
2
p
 e x Þ 
3
2
p
 (para existir tg x).
 Observando a figura, temos:
S x 0 x
2
ou
2
3
x
3
2
ou
5
3
x 2{S x{S x{S x{S x }5 <0 x5 <0 x5 <S x5 <S xS x{S x5 <{ , p poup p2p p < ,x< , p < <x 2< <x 2p\5 <\5 <R5 <R5 <[5 <[5 <
No item (e) do exercício resolvido 18 
podemos escrever:
S x
3
k x
2
k

S x

S xS xS x



S x

S xS x

S x

S x

S x

S xS x

S x

S x








S x5S x
p
1 pk x1 pk x, ,k x, ,k x
p
1 pk1 p\R[ 
PARA
REFLETIR
19 Determine o domínio da função f tal que
f(x) 5 






sen xn xn x


n x 3
2
p
RESOLUÇÃO:
Para que 




sen xn xn x


n x 3
2
p
 exista em R devemos ter
sen 




 



x
3
2
p
 ù 0, que é uma inequação trigonométrica.
0p
y
x0
Observando a figura, temos:
sen ( )( )( )x( )( )3( )( )2( )( )
p( ) ù 0 ⇒ 0 1 2kp ø x 2 3
p
 ø p 1 2kp ⇒
⇒ 
3
p
 1 2kp ø x ø p 1 
3
p
 1 2kp
D(f ) 5 { }
3
{ }{ }{ }x{ }3{ }2k{ }x{ }
4{ }3{ }2k{ }{ }
p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }< <{ }x{ }< << <{ }{ }p{ }{ }1 p{ }2k{ }1 p1 p{ }{ }\{ }{ }R{ }{ }[{ } 
PARA CONSTRUIR
15 Explicite o domínio da função f definida por f(x) 5 sec x .
f(x) 5 sec x 5 
1
cos x
 ⇒ cos x . 0 
0 1 2kp < x , 
p
2
 1 2kp 1 ou 
p3
2
 1 2kp , x < 2p 1 2kp
D(f) 5 { }p < , p 1 p p 1 p , < p1 px 2k x 2 2k ou
3
2
2k x 2 2 , k\R Z[ [
2122802_SER1_EM_GEOM_CAD6_C01_01a19_PR_AL.indd 17 5/14/15 2:55 PM
18 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 19 e 20 Para aprimorar: 4 e 5
TAREFA PARA CASA
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
PARA PRATICARPARA PRATICAR
1 Sendo cos x 5 
4
5
 e 0 , x , 
2
p
 calcule o valor de sen2 x 2 3 ?
? sen x.
2 Dado sen x 5 
1
3
 com 
2
p
 , x , p, determine o valor de cotg x.
3 Dado cos x 5 2
2
 com 0 , x , 
2
p
, determine o valor de
sec x 1 cossec x.
4 Se cos a 5 
1
2
 e 0 , a , 
2
p , qual é o valor da expressão
y 5 
cossec a sen a
sec a cos a
2
2
?
5 Determine o valor de A 5 
cotg x 1
cossec x sec x
2
2
, dado cos x 5 
1
2
.
6 Para cos x 5 1
2
 , qual é o valor da expressão
 y 5 
⋅
cossec x sen x
cotg x sec x
2
1 sec x?
7 Se sen a 5 3t 2 1 e cos a 5 1 2 t, então a pertence a que 
quadrante?
8 Calcule o valor de sen 2x, sabendo que tg x 1 cotg x 5 2.
9 Escreva a expressão y 5 sen x ? tg x 1 2 ? cos x em função 
de cos x.
10 Escreva a expressão k 5 cotg x 1 tg x, em função de sen 2x.
11 Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
a) cos x ? tg x ? cossec x 5 1
b) tg x ? cos x 5 sen x
c) (1 1 sen x)(1 2 sen x) 5 cos2 x
d) tg2 x ? cossec2 x 5 1 1 tg2 x
e) cossec2 x ? tg x 5 cotg x ? sec2 x
12 Se f(x) 5 
sen x tg x
cotg x cossec x
1
1
 e g(x) 5 sen x ? tg x, prove que
f(x) 5 g(x).
13 Determine o valor de x:
a) sen x 5 
1
2
b) cos x 5 
2
2
2 
c) tg x 5 3 
d) 2sen x 5 21, para 0 , x , 2p
14 Resolva as equações:
a) sen 3x 5 1
b) cos 2x 5 0
c) 3 ? tg 2x 32 5 0, com 0 , x , 3p
d) 



sen 3x 4
2
2
2
p
5 
15 Resolva as equações para 0 , x , 2p:
a) 2 ? sen x ? cos x 2 cos x 5 0
b) sen2 x 2 sen x 5 0
c) tg2 x 5 3
d) 2 ? sen2 x 1 sen x 2 1 5 0
16 Resolva:
a) tg x 5 2sen x
b) sen 2x 5 2cos x
c) cos 2x 5 cos2 x
d) tg x 1 cotg x 5 2
En
em
C-5
H-1
9
Veja, no Guia do Professor, as respostas da ÒTarefa para casaÓ. As resolu•›es encontram-se no portal, em Resolu•›es e Gabaritos.
16 Resolva a equação sen x ? cos x 5 
1
4
.
sen x ? cos x 5 
1
4
 ⇒ 
sen 2x
2
 5 ⇒
1
4
 sen 2x 5 
1
2
 ⇒
⇒
⇒
⇒





5
p
1 p 5
p
1 p
5
p
1 p 1
p
1 p
2x
6
2k x
12
k
2x
5
6
2k x
5
12
k
 
Logo, S 5 \R Z2 p 1 p 5 p 1 px x
12
k ou x
5
12
k , k[ [{ } .
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 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o 19
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C
A
 
 G
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IG
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M
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TR
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ANOTAÇÕES
En
em
C-5
H-2
2
17 Considerando 2p , x , p, resolva a equação
cos 2x 1 3cos x 1 2 5 0.
18 (PUC-PR) A solução da equação cos 

3x 4
2
p
 5 0, quando
0 x
2
¿ <
p
 , é:
a) 
4
p
. 
b) 
4
2
p
. 
c) 
7
12
p
.
d) 
2
p
.
e) 0.
19 Resolva as seguintes inequações trigonométricas no interva-
lo 0 ¿ x ¿ 2p:
a) sen x . 
2
2
 
b) cos x . 
2
2
 
c) tg x 1 1 , 0
d) 0 ¿ sen x ¿ 
1
2
 
e) 0 ¿ cos x ¿ 
1
2
 
f ) tg x . 1
g) 2 ? cos x , 32 
h) 0 , tg x , 3 
20 Resolva as seguintes inequações:
a) sen 2x , 0
b) tg 2x . 1
c) cos 3x ¿ 
1
2
 
PARA PRATICARPARA APRIMORAR
1 Se cos u 5 
1
10
2 , 
2
p
 , u , p, então qual o valor de 
2 cotg cossec2u1 u ?
2 Conhecendo o valor de sen x 5 
3
5
 e x [ 



0,
2
p
 calcule o valor 
numérico da expressão sec x cotg x cossec x tg x
6 sen x cossec x
.
2
2
–1
⋅ ⋅
⋅ ⋅




2
3 (ITA-SP) A expressão trigonométrica 
( )( )
1
cos x sen x
4 tg x
1 tg x2 2
2
2
2 2
2
2
2
 para




x 0,
2
, x
4
p p
[ ± é 
igual a:
a) sen 2x.
b) cos 2x.
c) 1.
d) 0.
e) sec x.
4 (Aman-RJ) Os valores de x que satisfazem a inequação
cos 5x ¿ 
1
2
 são:
a) x • 2kp 1 
3
p
 
b) x • 2kp 1 
6
p
 
c) 
2k
5
p
 1 
3
p
 ¿ x ¿ 
2k
5
p
 1 
15
p
 
d) 
2k
5
p
 1 
15
p
 ¿ x ¿ 
2k
5
p
 1 
3
p
 
e) n.d.a.
5 (ITA-SP) Determine para quais valores de x
2
,
2
[( )2 p p vale a 
desigualdade log 
cos x
(4sen2 x 2 1) 2 log 
cos x
(4 2 sec2 x) . 2.
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-1
9
En
em
C-5
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2
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20 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
CAPÍTULO
2
Objetivos:
c Conceituar o que é 
teorema, definição e 
axioma.
c Reconheceros 
principais teoremas e 
axiomas.
c Identificar as 
propriedades de 
paralelismo e 
perpendicularismo.
c Conceituar projeção 
ortogonal.
c Identificar e calcular os 
vários tipos de medidas 
de distâncias.
c Demonstrar teoremas 
pelo método dedutivo.
A Geometria de posição trata dos conceitos primitivos – ponto, reta e plano – e suas relações. 
Seu estudo nos prepara para uma etapa posterior que envolve cálculos de áreas e volumes. 
O capítulo que agora se inicia abordará os conceitos fundamentais da Geometria, à luz da teoria 
euclidiana.
Foi Euclides (século III a.C.), grande geômetra grego, quem ordenou os conceitos matemáticos 
e os dispôs segundo uma teoria axiomática, na qual, partindo-se de certas afirmações (proposições) 
consideradas verdadeiras – os axiomas ou postulados –, chega-se a novas proposições – os teoremas –, 
só aceitas mediante demonstração (argumentação lógica).
Vamos recordar o que já vimos no Ensino Fundamental: o estudo das posições relativas de 
pontos e retas de um mesmo plano (Geometria de posição no plano).
Relação entre um ponto e uma reta
A
r
B
O ponto A pertence à reta r (A [ r).
O ponto B não pertence à reta r (B Ó r).
Relação entre pontos
A
B
C
D
E
F
Os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que passa pelos três).
Os pontos D, E e F não são colineares (não existe reta que passa pelos três simultaneamente).
Relação entre duas retas de um plano
c
m
p
n
e
a
r
b
As retas c e m são distintas e paralelas.
As retas b e e são concorrentes e oblíquas.
Geometria espacial 
de posição
Dois pontos são sempre colineares.
PARA
REFLETIR
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21
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
As retas a e r são coincidentes (paralelas iguais).
As retas p e n são concorrentes e perpendiculares.
Agora faremos o estudo das posições relativas de pontos, retas e planos no espaço (Geometria 
de posição espacial).
Com isso, surgirão novas relações, por exemplo, entre reta e plano ou entre planos.
Neste capítulo, o estudo da Geometria de posição no espaço será feito de maneira intuitiva, 
apoiado essencialmente na observação de modelos, figuras e objetos (podemos usar um lápis ou 
uma régua para sugerir uma reta e a folha do caderno ou a parede para sugerir um plano).
Observe como as figuras serão representadas:
Ponto (A, B, C, ...)
Reta (r, s, p, ...)
Plano (a, b, g, ...)
Você já deve ter notado que conceitos como ponto, reta, plano e espaço nunca foram definidos 
porque são intuitivos, estão em nossa mente de forma natural e os distinguimos espontaneamente. 
Basta observar que tanto reta como plano e espaço são considerados conjuntos infinitos de pontos, 
sem que seja necessário dizer como são dispostos.
Os conceitos primitivos são os elementos iniciais da teoria que vamos desenvolver agora. Outros 
conceitos serão definidos com base neles e as propriedades da Geometria resultarão de suas relações.
No início, algumas afirmações serão admitidas sem que seja necessário demonstrá-las – elas se 
chamam axiomas ou postulados – e as conclusões que puderem ser tiradas com base nelas serão 
os teoremas, que só são aceitos mediante demonstração, argumentação lógica.
Para melhor compreensão e identificação, os enunciados considerados axiomas ou postula-
dos estarão emoldurados com um retângulo azul ; os teoremas, emoldurados por um retângulo 
laranja ; e as definições, emolduradas por um retângulo verde .
Além disso, como se trata de um enfoque intuitivo da Geometria espacial, os teoremas não 
serão demonstrados ao longo do capítulo. Apenas no fim faremos algumas demonstrações a título 
de ilustração.
Usaremos a simbologia da teoria dos conjuntos estudada anteriormente.
 POSIÇÕES RELATIVAS: PONTO E RETA E PONTO 
E PLANO
Como ponto é elemento da reta e do plano, dizemos que ele pertence ou não a eles. Assim:
 dado um ponto P e uma reta r, temos P [ r ou P Ó r.
 dado um ponto P e um plano a, temos P [ a ou P Ó a.
Veja alguns exemplos:
A
X
E
r
s
B
C D
B [ r; B Ó s;
D [ s;
D Ó r; A [ r;
A [ s;
E Ó r; E Ó s
I
M
H
a
b
G
F
J
F [ b; F Ó a; J [ a;
J Ó b; I [ a; I [ b;
H Ó a; H Ó b
Qual é a posição do ponto X em 
relação às retas r e s? E dos pon-
tos M e G em relação aos planos 
a e b?
PARA
REFLETIR
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22 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 e 2
PARA CONSTRUIR
 POSIÇÕES DE PONTOS NO ESPAÇO
Dois pontos distintos determinam uma reta.
Pontos colineares são pontos tais que existe uma reta à qual eles pertençam simultaneamente.
Três pontos não colineares determinam um plano.
Pontos coplanares são pontos tais que existe um plano que os contém simultaneamente.
Veja as figuras:
A
B
C
E
F
G
A, B e C s‹o pontos colineares.
E, F e G n‹o s‹o 
colineares. X
Y
W
Z
X, Y, Z e W s‹o pontos n‹o
coplanares.
P
Q
R
P, Q, R s‹o tr•s pontos
coplanares.
Qual é o número mínimo de pon-
tos que devemos ter para que se-
jam não colineares?
PARA
REFLETIR
Dois pontos sempre serão co-
lineares e três pontos sempre 
serão coplanares.
PARA
REFLETIR
1 Observe os pontos de A a K nos vértices, arestas e faces do cubo abaixo.
Verifique se os pontos indicados em cada item são ou não colineares e coplanares.Enem
C-2
H-8
A F
EJK
B
H
I
DC
G
a) A e D
Colineares e coplanares.
b) A, F e E
Coplanares, mas não colineares.
c) H, I e D
Colineares e coplanares.
d) B, C e D
Coplanares, mas não colineares.
e) E, J e K
Colineares e coplanares.
f ) B, E, K e J
Colineares e coplanares.
g) C, H, F e E
Coplanares, mas não colineares.
h) B, C, H e I
Não são colineares nem coplanares.
i) H, D, I e E 
Coplanares, mas não colineares.
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23
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO
Observe a figura na qual temos um paralelepípedo:
A
F
E
B
H
D
C
G
Em cada plano há infinitas retas. No plano da face ABCD, por exemplo, além das retas indica-
das, temos AC, BD e outras.
No espaço há infinitas retas.
São 12 as arestas do paralelepípedo: AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, BF, CG, DH e AE. 
São 6 as suas faces, determinadas por: ABCD, FGHE, CDHG, BFGC, ADHE e ABFE.
Nesse modelo:
 As arestas serão “representações” das retas que as contêm.
Por exemplo:
AB: reta do espaço que contém a aresta AB. 
BC: reta do espaço que contém a aresta BC. 
 As faces serão “representações” dos planos que as contêm.
Por exemplo:
p(ABCD): plano do espaço que contém a face determinada por ABCD.
p(BCFG): plano do espaço que contém a face determinada por BCGF.
No espaço há infinitos planos.
 Os vértices serão representações dos pontos do espaço: A, B, C, etc.
Usando esse modelo, podemos estudar as posições relativas de retas distintas no espaço:
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas.
AB, BC, CD, DA e AC são retas coplanares porque o plano p(ABCD) as contém. Também são 
retas coplanares as retas AE, EH e DH porque o plano p(AEHD) contém essas três retas.
Observe que as retas coplanares AB e CD não têm ponto comum. O mesmo acontece com as 
retas coplanares BC e AD.
Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas retas paralelas distintas.
Outros pares de retas paralelas distintas são: CD e GH, AD e EH, CG e DH, etc.
O par de retas AB e AD tem um único ponto comum, isto é, as retas intersectam-se num ponto. 
O mesmo acontece com BC e CD.
Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas concorrentes.
Outros pares de retas concorrentes são: FG e GH, CG e FG, AD e DH, etc.
Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
Dadas as retas AB e FG, nãoexiste um plano que contém as duas; o mesmo ocorre com os pares 
de retas GH e AD, BC e EF e outros.
Dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas retas 
reversas (ou não coplanares).
AB e GH s‹o retas coplanares. BC 
e EF n‹o s‹o retas coplanares.
PARA
REFLETIR
Localize na figura acima as retas 
AG, BE, BG e DF.
PARA
REFLETIR
AlŽm dos 6 planos determinados 
pelas faces do paralelep’pedo, 
procure imaginar outros, como 
p(ADGF), p(ABGH), p(AEGC), etc.
PARA
REFLETIR
AC e FH s‹o retas reversas. Justi-
fique.
PARA
REFLETIR
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24 Relaç›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posição
Resumindo:
Posições relativas de duas retas no espaço
Duas retas no espaço
coplanares
concorrentes
paralelas
distintas
coincidentes (iguais)
não coplanares (reversas)
{










Observação:
No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas 
sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas, por exemplo, não são paralelas 
nem concorrentes.
 POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPAÇO
Observe o paralelepípedo:
A
D
HE
C
GF
B
Como vimos, suas faces representam os planos que as contêm. Alguns desses planos têm pontos 
comuns, outros não.
Por exemplo, p(ABCD) e p(EFGH) não têm ponto comum; p(ABCD) e p(CDHG) têm todos 
os pontos da reta CD em comum.
Dois planos que não têm ponto comum são chamados planos paralelos distintos.
p(ABCD) // p(EFGH)
p(ADHE) // p(BCGF)
Podemos representar dois planos a e b distintos e paralelos do seguinte modo:
a Þ b
a // b
a ù b 5 [ a
b
a
b
Observação:
Se dois planos têm todos os pontos comuns dizemos que eles são coincidentes (paralelos e 
iguais).
Dois planos distintos que têm uma reta em comum são chamados planos secantes (ou 
concorrentes).
Essa reta comum é a intersecção dos dois planos. Ou seja:
p(ABCD) e p(CDHG) são secantes e a reta intersecção deles é CD.
p(EFGH) e p(ABFE) são secantes e a intersecção deles é a reta EF.
Considere o ÒencontroÓ de duas 
paredes como representa•‹o de 
uma reta.
Localize na sua sala duas retas 
paralelas, duas retas concorren-
tes e duas retas reversas.
PARA
REFLETIR
Dados dois planos distintos, ou 
eles n‹o t•m ponto comum ou 
t•m uma œnica reta em comum.
N‹o existem dois planos, por 
exemplo, com um œnico ponto 
comum.
PARA
REFLETIR
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 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
Podemos representar dois planos a e b secantes assim:
a
a
b
b
Reta comum
Resumindo:
Posi•›es relativas de dois planos no espa•o
>
>
>{
→
→
→




Dois planos
no espa•o
secantes r
paralelos
distintos
coincidentes (iguais)
a b 5
a b5[
a b5a
Observação:
Estamos considerando duas retas coincidentes como retas paralelas iguais e dois planos coinci-
dentes como planos paralelos iguais. Devemos, por isso, ficar atentos com afirma•›es que envolvem 
retas ou planos paralelos. Por exemplo:
 a afirma•‹o Òse a e b s‹o planos paralelos, ent‹o a > b 5 [Ó Ž falsa;
 a afirma•‹o Òse a e b s‹o planos paralelos e distintos, ent‹o a > b 5 [Ó Ž verdadeira.
Determinação de um plano
J‡ vimos que: quando temos tr•s pontos n‹o colineares, existe um œnico plano que passa 
pelos tr•s.
Isso equivale a dizer que: tr•s pontos n‹o colineares determinam um plano.
O mesmo ocorre quando temos duas retas paralelas distintas, duas retas concorrentes 
ou uma reta e um ponto que não pertence a ela, s— que neste caso essas afirma•›es constituem 
teoremas e suas demonstra•›es est‹o no fim do cap’tulo.
A
B
C
a
a: p(A, B, C)
Tr•s pontos n‹o colineares 
determinam um plano.
a
b
b
b: p(a, b)
Duas retas paralelas distintas 
determinam um plano.
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26 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
PARA CONSTRUIR
Resumindo:





Um plano fica determinado por
3 pontos n‹o colineares
2 retas paralelas distintas
2 retas concorrentes
1 reta e 1 ponto fora dela
2 (ESPCEX-SP) O s—lido geomŽtrico abaixo Ž formado pela jus-
taposi•ão de um bloco retangular e um prisma reto, com 
uma face em comum. Na figura estão indicados os vŽrtices, 
tanto do bloco quanto do prisma.
A
B
C
I
J
D
H
E
G
F
L
K
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos 
dessa figura: as retas LB e GE, as retas AG e HI e as retas AD e 
GK. As posi•›es relativas desses pares de retas são, respecti-
vamente: e
a) concorrentes; reversas; reversas. 
b) reversas; reversas; paralelas. 
c) concorrentes; reversas; paralelas. 
d) reversas; concorrentes; reversas. 
e) concorrentes; concorrentes; reversas. 
As retas LB e GE são as retas suporte das diagonais LB e GE. Logo, 
as retas LB e GE são concorrentes no ponto de intersecção das dia-
gonais do bloco. 
Como as retas AG e HI são coplanares e não paralelas, segue que AG 
e HI são concorrentes. 
Como AD e GK são distintas, não têm ponto em comum e não são 
coplanares, temos que AD e GK são reversas.
g: p(r, s)
Duas retas concorrentes 
determinam um plano.r
s
g
d: p(A, r)
Uma reta e um ponto fora 
dela determinam um plano.
r
A
d
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 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 3 a 6 Para aprimorar: 1 e 2
3 Observando o cubo da figura seguinte, responda:
A
B
CD
G
H E
F
a) Dos planos determinados pelas faces, quais são os pares 
de planos distintos e paralelos?
p(ABCD) // p(EFGH); p(ADGH) // p(BCFE); p(ABEH) // p(CDFG).
b) Cite três pares de planos secantes.
Por exemplo: p(ABCD) e p(ADGH); p(CDGF) e p(ACFH); p(CBEF)
e p(ABEH).
c) Os planos determinados pelas faces CDGF e EFGH são se-
cantes? Em caso afirmativo, qual é a reta intersecção? 
Sim; FG.
d) A reta AD é intersecção dos planos determinados por 
quais faces? 
ADGH e ABCD.
4 (Fuvest-SP) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro 
do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um 
trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta 
perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a dia-
gonal da face ADGC e, finalmente, completou seu passeio per-
correndo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice: e
A B
C
ED
G
a) A.
b) B.
c) C.
d) D.
e) E.
A B
C
ED
G
En
em
C-2
H-8
A formiga chegou 
ao vértice E.
 POSI‚ÍES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO
Considerando o paralelepípedo da figura abaixo, observamos que:
A D
C
B
E
F G
H
 o plano determinado pela face EFGH contém as retas EH, HG, FG e EF;
 as retas BF, CG, AE e DH intersectam o plano determinado pela face EFGH, furando-o;
 as retas BC, CD, AD e AB são paralelas ao plano determinado pela face EFGH.
BD , p(ABCD) 
AG intersecta p(EFGH)
AF > p(CDHG) 5 [
DF intersecta p(ACGE)
PARA
REFLETIR
En
em
C-2
H-6
En
em
C-2
H-8
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28 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
Essas são as duas posições possíveis, no espaço, de uma reta em relação a um plano: 
r é paralela ao plano a:
r
a
r e a não têm ponto comum, ou seja, r > a 5 [.
A reta r está contida no plano b (b e r têm em 
comum todos os pontos de r, ou seja, r > b 5 r).
r
b
r é concorrente com g:
A reta r intersecta (“fura”) o plano g no ponto A.
O ponto A é chamado traço de r em g.
Temos r > g 5 {A}.
r
A
g
Concluindo:
Posições relativas de uma reta r e um plano a no espaço.





Um plano fica determinado por
3 pontos não colineares
2 retas paralelas distintas
2 retas concorrentes
1 reta e 1 ponto fora dela
Observação:
Ao considerarmos retas iguais como paralelasdevemos, por coerência, considerar a reta contida 
no plano como paralela a ele.
 PARALELISMO NO ESPAÇO
Retomando o que vimos até agora sobre paralelismo no espaço:
 Duas retas distintas são paralelas quando, e somente quando, são coplanares e não têm ponto 
comum.
 Dois planos distintos são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto comum.
 Uma reta e um plano que não a contenha são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto 
comum.
ƒ preciso estar atento a alguns fatos relativos ao paralelismo. Veja alguns:
1. Podemos ter, em dois planos paralelos, retas que não sejam paralelas.
Use o lápis e a capa do livro para 
representar uma reta e um plano.
Verifique as posições possíveis da 
reta em relação ao plano.
PARA
REFLETIR
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 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
Por exemplo, os planos ABCD e EFGH s‹o paralelos; entretanto, as retas AB e FH pertencentes 
a eles n‹o s‹o paralelas, e sim reversas. Veja a figura:
A D
HE
B C
GF
r
s
a
b
a // b, r est‡ em a 
s est‡ em b
r e s n‹o s‹o paralelas 
r e s s‹o reversas
 
2. Podemos ter retas paralelas contidas em dois planos que n‹o sejam paralelos.
Por exemplo, no paralelep’pedo, as retas AB e GH s‹o paralelas. A reta AB est‡ no plano ABCD 
e a reta GH est‡ no plano CDGH, que se intersectam segundo a reta CD.
B
F G
C
E
A D
H
s
r
a
b
r // s, r est‡ em b 
s est‡ em a 
a e b n‹o s‹o paralelos
 Que posições relativas podem 
ter duas retas distintas que não 
são paralelas? 
 O que acontece com dois pla-
nos distintos quando não são 
paralelos?
 Que posições relativas podem 
ter uma reta e um plano quan-
do não são paralelos?
PARA
REFLETIR
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30 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
Todo plano b, que contŽm s e Ž 
secante com a, determina, em a, 
a reta r, paralela a s.
PARA
REFLETIR
Algumas propriedades do paralelismo
As seguintes propriedades referem-se a paralelismo no espaço.
Para visualiz‡-las e entendê-las, use as figuras dadas, construa outras e crie modelos com objetos.
1a propriedade:
Quando dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles Ž paralela ao outro.
s
r
a
b
Simbolicamente:
a > b 5 [ e r , a ⇒ r // b
2a propriedade:
Quando uma reta Ž paralela a um plano, ela Ž paralela a pelo menos uma reta desse plano.
s
s
r
aa
b
Simbolicamente:
s // a ⇒ ∃ r , a | r // s
3a propriedade:
Quando uma reta não est‡ contida num plano e Ž paralela a uma reta do plano, ela Ž paralela 
ao plano.
s
r
a
Simbolicamente:
s Ö a, r , a e s // r ⇒ s // a
4a propriedade:
Se um plano intersecta dois planos paralelos, as intersecç›es são duas retas paralelas.
r
s
a
b
g
Simbolicamente:
a // b, g > a 5 r e g > b 5 s ⇒ r // s
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 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
PARA CONSTRUIR
5a propriedade:
Quando um plano contŽm duas retas concorrentes, paralelas a um outro plano, ent‹o os 
planos considerados s‹o paralelos.
s
r
0
a
b
Simbolicamente:
r , b, s , b, r > s 5 {O}, r // a e s // a ⇒ a // b
Use objetos para verificar que 
não se pode tirar essa conclusão 
quando r // s.
PARA
REFLETIR
5 Na figura dada, A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices de um 
paralelepípedo e C, D, E, F, J e I são vértices de um prisma reto 
de base triangular.
A
B C
D
E
F
G
H I
J
Dê a posição relativa dos pares de figuras em cada item.
a) DE e p(EFGH)
Intersecta
b) AB e GF
Retas reversas
c) p(A, D, H) e p(BC, CJ)
Paralelo
d) D e p(A, HI)
Pertence
e) AC e p(A, B, D)
Est‡ contida
f ) CD e IJ
Paralela
g) p(CDIJ) e p(EFCD)
Concorrentes
h) HE e IE 
Coincidentes
6 Observando o cubo, cite:
A
B
CD
E
F
G
H
a) cinco retas paralelas ao plano determinado pela face 
ADGH;
BC, CF, EF, BE, BF, CE
b) cinco retas que estejam contidas no plano determinado 
pela face CDGF;
CD, DG, FG, CF, DF, CG
c) cinco retas que intersectem o plano determinado pela 
face ABCD.
Algumas solu•›es poss’veis: AH, AE, BG, FC, BE.
7 Assinale as frases abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( F ) Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles 
é paralela a qualquer reta do outro.
( V ) Se dois planos são paralelos, qualquer reta que intersec-
ta um deles intersecta o outro.
En
em
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32 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 7 a 9 Para aprimorar: 3 e 4
( V ) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de 
um deles é paralela ao outro.
( F ) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
( V ) Uma reta r não está contida num plano a e é tal que r // a. 
Então, existe uma reta s, contida em a, tal que s // r.
( V ) Se um plano intersecta dois planos paralelos, então as 
intersecções são retas paralelas.
( V ) Se dois planos são paralelos, então toda reta que é para-
lela a um deles é paralela ou está contida no outro.
( V ) Por um ponto P fora de um plano a podemos passar um 
único plano b tal que a // b.
( V ) Se uma reta r é paralela a cada um de dois planos secan-
tes, então r é paralela à reta de intersecção dos planos.
( V ) Se dois planos distintos são paralelos, uma reta de um 
deles pode ser reversa a uma reta do outro.
( F ) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos 
são paralelos.
( V ) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um de-
les é paralela ao outro.
8 (Fatec-SP) Na figura a seguir tem-se: o plano a definido pelas 
retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular 
a a em A, com A [ c; o ponto B, intersecção de c e d. Se X é 
um ponto de b, X î a, então a reta s, definida por X e B: d
Ac B
d
b
a
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b.
c) está contida no plano a.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
Desenhando a reta s, s é perpendicular a d, pelo teorema das tr•s 
perpendiculares.
A
X
c
B
d
s
b
a
En
em
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 PERPENDICULARISMO NO ESPA‚O
Retas perpendiculares
Sabemos que duas retas distintas no espaço podem ser paralelas, concorrentes ou reversas.
Quando são concorrentes e formam quatro ângulos retos (90°), essas retas são perpendiculares.
No cubo, podemos visualizar:
r
t
s
 r e s são retas concorrentes e perpendiculares (r ' s).
 s e t são retas concorrentes, mas não são perpendiculares. Dizemos que s e t são retas oblíquas 
(s t).
Retas ortogonais são retas que determinam quatro ângulos congruentes.
Se forem concorrentes, serão perpendiculares.
Símbolos: ' ⇒ perpendiculares
 ⇒ ortogonais
Se a e b são retas reversas e c é uma reta paralela à reta a e perpendicular à reta b, então a e 
b são ortogonais.
Na figura ao lado, quais são as 
medidas dos quatro ângulos for-
mados por s e t?
PARA
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 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
Observe as retas reversas a e b, visualizadas no cubo, e a reta c, paralela ˆ reta a e concorrente 
com b.
c
a
b
a e b são reversas, mas não são ortogonais.
c
a
b
a e b são retas reversas e ortogonais.
Resumindo:
{
{
{


















Duas retas
no espa•o
coplanares
paralelas
distintas
coincidentes (iguais)
concorrentes
perpendiculares
obl’quas
n‹o coplanares reversas
ortogonais
n‹o ortogonais
Reta e plano perpendiculares
Vimos que, dada uma reta r e um plano a, podem ocorrer tr•s situa•›es: a reta Ž paralela ao 
plano e n‹o est‡contida nele (r // a); a reta est‡ contida no plano (r , a) ou a reta intersecta o plano 
em um ponto P, isto Ž, r > a 5 {P}.
Veremos agora que, quando a reta intersecta o plano, ela pode ou n‹o ser perpendicular a ele, 
conforme a defini•‹o:
Uma reta que intersecta um plano Ž perpendicular a ele se ela Ž perpendicular a todas 
as retas desse plano que passam pelo ponto de intersec•‹o.
ut
s
r
P
a
u
ts
r
P
a
Observe que:
 dizer que uma reta r intersecta um plano a no ponto P e Ž perpendicular a todas as retas de a que 
passam por P implica dizer que a reta r Ž perpendicular ao plano a;
 dizer que uma reta r Ž perpendicular a um plano a implica dizer que r intersecta a em um ponto 
e Ž perpendicular a todas as retas de a que passam por esse ponto;
 dizer que uma reta r Ž perpendicular a um plano a implica dizer que r Ž ortogonal a todas as retas 
contidas em a.
O ponto P, nesse caso, Ž chamado ÒpŽ da perpendicularÓ.
Se uma reta intersecta um plano e n‹o Ž perpendicular a 
ele, dizemos que ela Ž obl’qua ao plano.
Se r ' a no ponto P, qual Ž a po-
si•‹o de r em rela•‹o ˆs retas de 
a que n‹o passam por P?
PARA
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Justifique as duas afirma•›es.
PARA
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34 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
Veja a figura e os símbolos correspondentes.
sr
a
r Ž perpendicular a a (r ⊥ a) e s Ž obl’qua a a (s a).
Ainda sobre perpendicularismo entre reta e plano
1a propriedade:
Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário e suficiente que ela seja per-
pendicular a duas retas concorrentes contidas nesse plano.
Simbolicamente:
∃ r, s e t | s , a, t , a, s > t 5 {P},
r ' s e r ' t ⇔ r ' a
r
s
t
P
a
Observa•‹o:
Na verdade, basta que a reta r seja ortogonal a duas retas concorrentes contidas em a para que 
ela seja perpendicular a a, pois haverá, por definição, um par de retas concorrentes, paralelas às retas 
ortogonais, passando pelo ponto de intersecção de r e a.
r
a b
a
Se r for ortogonal às retas a e b e se estas estiverem contidas em a, r será perpendicular a a.
Observe que uma reta pode ser perpendicular a uma reta do plano e não ser perpendicular 
ao plano:
s est‡ contida em a
r ' s
r n‹o Ž perpendicular a a
r
s
a
São equivalentes as expressões 
Òquando e somente quandoÓ, Òse 
e somente seÓ, Òé necessário e su-
ficienteÓ.
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 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
Assim, para uma reta ser perpendicular a um plano a Ž preciso ser perpendicular a duas retas 
concorrentes em a, ou seja, s‹o necess‡rias duas retas porque uma reta n‹o Ž suficiente para garantir 
o perpendicularismo. Por outro lado, bastam duas retas concorrentes, ou seja, elas s‹o suficientes, 
pois essas duas concorrentes j‡ determinam o plano a.
2a propriedade:
Dados um ponto P e uma reta r, existe um œnico plano que passa por P e Ž perpendicular a r.
Simbolicamente:
P e r ⇒ ∃! a | P [ a e r a
P r
a
1o caso: P [ r 2o caso: P î r
P
r
a
3a propriedade:
Se uma reta Ž perpendicular a um plano, qualquer reta paralela a ela Ž tambŽm perpendicular 
ao plano.
Simbolicamente:
r ' a e s // r ⇒ s ' a
r s
a
4a propriedade:
Se dois planos s‹o paralelos, toda reta perpendicular a um deles Ž tambŽm perpendicular ao 
outro.
Simbolicamente:
a // b e r ' a ⇒ r ' b
r
a
b
 COMENTÁRIO
∃ e ∃! t•m os seguintes significa-
dos:
 ∃: existe pelo menos um;
 ∃!: existe um œnico.
Reproduza concretamente essas 
figuras e comprove as afirma•›es 
feitas.
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36 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
Observa•‹o:
As duas œltimas propriedades levam ˆs seguintes afirma•›es:
 duas retas perpendiculares a um mesmo plano s‹o paralelas;
 dois planos perpendiculares a uma mesma reta s‹o paralelos.
Resumindo:
'
a
a
a5[
a
a5
a
Uma reta e um plano no espa•o
a reta Ž paralela ao plano (r // )
r
r
a reta intersecta o plano (r {P})
a reta Ž perpendicular ao plano (r )
a reta Ž obl’qua ao plano
r
{
{





>
,
>
(r a)
Planos perpendiculares
Estudamos neste cap’tulo que, dados dois planos distintos (a e b), podemos ter as duas situa-
•›es abaixo:
 os planos s‹o paralelos (a // b), distintos (a > b 5 [) ou iguais (a > b 5 a);
 os planos s‹o concorrentes, ou seja, t•m uma reta comum (a > b 5 r).
Veremos agora que, quando dois planos s‹o concorrentes, eles podem ser ou n‹o perpendicu-
lares, de acordo com a defini•‹o:
Um plano Ž perpendicular a outro quando e somente quando existe uma reta contida em um 
deles e perpendicular ao outro.
Simbolicamente:
b ' a ⇔ ∃ r , b | r ' a
r
a
b
Se dois planos concorrentes n‹o s‹o perpendiculares, dizemos que s‹o obl’quos.
a
b
a ' b
a
b
 a b
Use seu caderno e um esquadro 
para representar planos perpen-
diculares e oblíquos.
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REFLETIR
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 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
Consequ•ncias:
Quando uma reta é perpendicular a um plano, todos os planos que a cont•m são perpendi-
culares ao plano inicial.
r ' a 
Os planos b e g, que contêm 
r, são perpendiculares a a.
a
b
g
r
Em dois planos obl’quos (que se intersectam e não são perpendiculares), nenhuma reta de um 
é perpendicular ao outro plano. Em outras palavras:
Se dois planos a e b são obl’quos e a reta r está contida em a, então r não é perpendicular a b.
a b
s
r
Quando a e b são obl’quos, uma reta r de um pode ser perpendicular à reta s de intersecção, 
mas não perpendicular ao outro plano.
Ainda sobre planos perpendiculares
1a propriedade:
Se uma reta r e um plano a são ambos perpendiculares a um plano b, a reta r é paralela ao 
plano a.
1o caso: r , a
r
a
b
ou 2o caso: r > a 5 [
r
a
b
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38 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
2a propriedade:
Se dois planos a e b se intersectam segundo uma reta r e se g é um outro plano perpendicular 
a cada um dos planos a e b, então g é perpendicular à reta r.
r
a
b
g
Resumindo:
{
{






Dois planos
no espaço
paralelos
distintos
iguais
secantes
perpendiculares
oblíquos
Dados uma reta r perpendicular a um plano a no ponto P; uma reta s, contida em a, que não 
passa por P; uma reta t, contida em a, que passa por P e é perpendicular a s no ponto A.
Então, se B é um ponto de r, a reta AB é perpendicular à reta s.
a
B
P
s
t
A
r
Simbolicamente:
r , r {P}
s , P s
t , P t, tP t, t
⊥r ,⊥r ,a ar ,a ar , r {a ar {
t ,at ,
r {•r {r {a a•r {•a a
, îs ,, îs , P s, îP ss ,as ,, îa
, [t ,, [t , P t, [P tt ,at ,, [a
r {5r {
⊥⊥⊥ s, t s {A}
B r
5•t s•t s
B r[B r

















 ⇒ AB ' s
TEOREMA DAS TRÊS PERPENDICULARES
Como podemos escrever essas duas 
propriedades simbolicamente?
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 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 10 a 12
PARA CONSTRUIR
9 Assinale as frases abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( V ) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano s‹o coplanares. 
( V ) Por um ponto passa uma œnica reta perpendicular a um plano dado.
( F ) Se uma reta est‡ contida num plano, toda perpendicular a ela ser‡ perpendicular ao plano.
( V ) Se dois planos distintos, a e b, s‹o paralelos, ent‹o toda reta r perpendicular a um deles Ž perpendicular ao outro.
( V ) Por um ponto passa um œnico plano perpendicular a uma reta dada.
( F ) Se uma reta Ž perpendiculara um plano, ela Ž perpendicular a todas as retas desse plano.
( V ) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano s‹o paralelas.
( F ) Se uma reta Ž perpendicular a uma reta do plano, ent‹o ela Ž perpendicular a esse plano.
( F ) Se uma reta e um plano s‹o paralelos, toda reta perpendicular ˆ reta dada Ž perpendicular ao plano.
10 Considerando o paralelep’pedo abaixo e os planos determinados pelas faces, resolva as quest›es:
A
D C
B
H
E F
G
a) Cite todos os planos perpendiculares a p(ABFE).
p(ABFE) ' p(ABCD);
p(ABFE) ' p(EFGH);
p(ABFE) ' p(ADHE); p(ABFE) ' p(BCGF).
b) Quais s‹o os dois planos que cont•m a reta DH e s‹o perpendiculares ao plano EFGH?
p(ADHE) e p(CDHG).
c) O plano diagonal ACEG Ž perpendicular ao plano EFGH? Por qu•?
Sim. AE é perpendicular ao p(EFGH). Como AE , p(ACGE), então p(ACGE) é perpendicular ao p(EFGH).
d) A reta CG Ž perpendicular ao plano EFGH. Qual Ž a posi•‹o dos planos CDGH, ACEG e BCFG em rela•‹o ao plano EFGH?
Os três são perpendiculares ao p(EFGH).
11 (Faap-SP) A œnica proposi•‹o falsa Ž: b
a) no espa•o, duas retas paralelas a uma terceira s‹o paralelas entre si.
b) uma reta ortogonal a duas retas de um plano Ž ortogonal ao plano.
c) dois planos perpendiculares ˆ mesma reta s‹o paralelos entre si.
d) um plano perpendicular a uma reta de outro plano Ž perpendicular a este plano.
e) um plano perpendicular a dois planos que interceptam Ž perpendicular ˆ reta de intersec•‹o destes.
En
em
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7
En
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40 Relações trigonométricas e Geometria espacial de posição
 PROJE‚ÌO ORTOGONAL
De um ponto sobre um plano
Traçamos a reta perpendicular ao plano a pelo ponto P e encontramos P'. O ponto P' é cha-
mado projeção ortogonal do ponto P sobre o plano a.
PP'
a
P'
P
a
Observa•‹o:
Quando P [ a, os pontos P e P' coincidem (P ; P').
P 5 P'
a
De uma figura qualquer sobre um plano
F
F' G'
H'
G
H
a
As figuras F', G' e H' são as projeções ortogonais das figuras F, G e H, respectivamente, sobre 
o plano a. Elas são formadas pelas projeções ortogonais de todos os pontos das figuras 
F, G e H sobre a.
Casos particulares
1o) Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano: pode ser uma reta ou um ponto.
s
s' P' Q'
P Q
a
Q'
Q
P'
P s
s'
a
A proje•ão ortogonal do ponto P 
sobre o plano a é o Òpé da per-
pendicularÓ tra•ada de P a a.
PARA
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E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
A reta s Ž paralela ou obl’qua ao plano a. Ent‹o, a proje•‹o ortogonal de s sobre a Ž a reta s', de-
terminada pelos pontos P' e Q', que s‹o proje•›es ortogonais dos pontos P e Q pertencentes ˆ reta s.
r
P'
a
A reta r Ž perpendicular ao plano a. Ent‹o, a proje•‹o ortogonal de r sobre a Ž o ponto P', 
intersec•‹o de r e a.
2o) Proje•‹o ortogonal de um segmento sobre um plano: pode ser um segmento ou um ponto.
P'
Q'
P
Q
a
P
P' Q'
Q
a
P
Q
P' ≡ Q'
a
 DISTåNCIAS
Dist‰ncia entre dois pontos
Dados dois pontos distintos A e B, a dist‰ncia entre A e B Ž a medida do segmento AB.
A
B
Se A e B coincidem, dizemos que a dist‰ncia entre A e B Ž zero.
Dist‰ncia de um ponto a uma reta
Dados um ponto P e uma reta r, podemos tra•ar uma reta que passa por P e Ž perpendi-
cular a r no ponto A.
A dist‰ncia do ponto P ˆ reta r Ž a dist‰ncia entre os pontos P e A.
P
r
A
Em que condi•›es a dist‰ncia 
entre P e r Ž igual a zero?
PARA
REFLETIR
Qual Ž a proje•‹o ortogonal da 
reta r sobre o plano a, quando 
r , a?
PARA
REFLETIR
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42 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
Dist‰ncia de um ponto a um plano
Dados um ponto P e um plano a, podemos determinar P', que Ž a proje•‹o ortogonal de P 
sobre a.
A dist‰ncia do ponto P ao plano a Ž a dist‰ncia entre os pontos P e P'.
a
P
P'
Dist‰ncia entre duas retas distintas e paralelas
Dadas as retas r e s, distintas e paralelas, a dist‰ncia entre r e s Ž a dist‰ncia de qualquer ponto 
de uma delas ˆ outra reta.
A
r
s
B
Observa•‹o: N‹o se pode definir dist‰ncia entre duas retas concorrentes.
Se duas retas s‹o coincidentes (paralelas iguais), a dist‰ncia entre elas Ž zero.
Dist‰ncia de uma reta a um plano (quando a reta Ž paralela ao 
plano e n‹o est‡ contida nele)
Dados a reta r e o plano a tais que r > a 5 [, a dist‰ncia da reta r ao plano a Ž a dist‰ncia 
de qualquer ponto de r ao plano a.
a
A r
A'
Dist‰ncia entre dois planos distintos e paralelos
Dados dois planos distintos a e b tal que a // b, a dist‰ncia entre esses dois planos Ž a dist‰ncia 
de qualquer ponto de um deles ao outro plano.
a
b
A
A'
Qual é a distância entre P e a, 
quando P [ a?
PARA
REFLETIR
Não se pode falar em distância 
de uma reta a um plano quando 
ela é oblíqua a ele.
Se uma reta está contida num 
plano, qual é a distância da reta 
ao plano?
PARA
REFLETIR
Não se pode falar em distância 
entre dois planos concorrentes.
Quando a distância entre dois pla-
nos é zero?
PARA
REFLETIR
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43
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 Rela•›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posi•‹o
PARA CONSTRUIR
Dist‰ncia entre duas retas reversas
Dadas duas retas reversas r e s, vamos considerar um ponto qualquer de r e o plano que con-
tŽm s e Ž paralelo a r. A dist‰ncia entre r e s Ž a dist‰ncia desse ponto a esse plano.
A
A'
B C
B'
C'
s
r
a
Veja um exemplo que usa um cubo com arestas de medida 3 no qual s‹o calculados os v‡rios 
tipos de medidas.
A B
C
D
E
F
G
H
a) dist‰ncia entre os pontos B e G # 3
b) dist‰ncia entre F e H # 3 2 
c) dist‰ncia entre E e B # 3 3 
d) dist‰ncia de H a AB # 3
e) dist‰ncia entre DE e BG # 3 2 
f) dist‰ncia entre BD e EF # 3
g) dist‰ncia de EF a p(A, B, C) # 3
h) dist‰ncia de FC a p(E, D, B) # 3 2
2
 
i) dist‰ncia entre p(A, B, G) e p(E, F, C) # 3
12 Observe as figuras:
a) 
A
B
A' ≡ B'
a
b) 
B
C
A
D
A' ≡ D'
B' ≡ C'
a
En
em
C-2
H-8
Como foi feito o c‡lculo nos itens 
(b) e (c)?
PARA
REFLETIR
c ƒ poss’vel a dist‰ncia entre 
duas retas reversas ser zero?
c Como Ž poss’vel tra•armos um 
plano que contenha a reta s 
e seja paralelo a r? Descreva 
essa constru•‹o.
PARA
REFLETIR
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44 Relaç›es trigonomŽtricas e Geometria espacial de posição
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 13 a 16 Para aprimorar: 5
c) 
a
 
d) 
a
Do item (a) podemos afirmar: a proje•‹o ortogonal de um 
segmento sobre um plano pode ser um ponto.
O que podemos afirmar dos itens (b), (c) e (d)?
b: A proje•‹o ortogonal de um pol’gono sobre um plano pode ser um 
segmento.
c: A proje•‹o ortogonal de um prisma de base retangular sobre
um plano pode ser uma regi‹o retangular.
d: A proje•‹o de um cilindro sobre um plano pode ser um c’rculo.
13 Considere um paralelep’pedo com as medidas indicadas na 
figura abaixo.
B
H E
3
D
2
F
A
G
4
C
Determine as dist‰ncias:
a) entre os pontos A e B. 
3
b) entre os pontos H e F. 
5
c) entre os pontos C e E.
13
d) entre os pontos D e H.
2 5
e) do ponto mŽdio de AB ˆ reta CD. 
4
f ) do ponto mŽdio de BC ˆ reta HE.
13
g) do ponto F ao plano p(A, B, G). 
4
h) entre as retas HE e AD. 
2
i) entre as retas CE e BH. 
4
j) da reta BD ao plano p(E, F, H). 
2
k) entre os planos p(A, D, E) e q(B, G, F). 
3
l) entre as retas GH e BD. 
2
m) entre os pontos B e E.
29
14 (Cefet-MG) A figura a seguir representa uma cadeira onde o 
assento Ž um paralelogramo perpendicular ao encosto.
A B
C D
E F
G H
JI
A partir dos pontos dados, Ž correto afirmar que os segmen-
tos de retas: a
a) CD e EF s‹o paralelos. 
b) BD e FJ s‹o concorrentes.