APOSTILA 1 MATEMATICA PH

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PRÉ-VESTIBULAR
EXTENSIVO
MANUAL DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
1
Capa_finalizada_cad1_PH_MP_MATEMATICA.indd 2 12/17/13 3:30 PM
PRÉ-VeStiBULaR
EXTENSIVO
manual do Professor
matemÁtica i
1
autor
Luis Felipe Silva Abad
PH_MP_MAT1_C1.indd 1 12/20/13 11:34 AM
Vice-presidência: Mário Ghio Júnior
Direção: Tania Fontolan
Coordenação pedagógica: Renata Giordano de Menezes, 
Rui Alves Gomes de Sá
Conselho editorial: Carlos Roberto Piatto, Daniel Augusto Ferraz Leite, 
Eduardo dos Santos, Eliane Vilela, Helena Serebrinic, 
Lidiane Vivaldini Olo, Luís Ricardo Arruda de Andrade, 
Mário Ghio Júnior, Marcelo Mirabelli, Marcus Bruno Moura Fahel, 
Marisa Sodero, Ricardo Leite, Tania Fontolan
Gerência editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Coordenação editorial: Bárbara M. de Souza Alves
Edição: Denise Favaretto (coord.) 
Assistência editorial: Daniele Brait
Revisão: Adriana Gabriel Cerello (coord.), Danielle Modesto, 
Edilson Moura, Letícia Pieroni, Tayra Alfonso, 
Thaise Rodrigues, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Paula P. O. C. Kusznir (coord.), 
Daniela Carvalho
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Daniela Amaral
Diagramação: Antonio Cesar Decarli, Bruno Rocha Nogueira, 
Claudio Alves dos Santos, Fernando Afonso do Carmo, 
Flávio Gomes Duarte
Iconografi a: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Carlos Henrique Souza, Douglas Cometti, Ellen Finta, 
Luiz Botter, Tamires Castillo
Licenças e autorizações: Edson Carnevale
Ilustrações: Casa de Tipos
Cartografi a: Eric Fuzii
Capa: Daniela Amaral
Foto de capa: Mikhail hoboton Popov/Shutterstock
Projeto gráfi co de miolo: Daniela Amaral
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
 
Todos os direitos reservados por Sistemas de Ensino Abril Educação S.A.
Rua Gibraltar, 368 – Santo Amaro
CEP: 04755-070 – São Paulo – SP
(0xx11) 3273-6000
© Sistemas de Ensino Abril Educação S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ensino Médio: Livro Mateméatica – Coleção Pré-vestibular 
Extensivo – São Paulo: Sistemas de Ensino Abril Educação 
S. A., 2014
 Vários autores
 1. Ensino médio 2. Manual do professor (Ensino Médio)
99–4425 CDD–373.19
Índices para catálogo sistemático:
1. Ensino integrado: Ensino Médio 373.19
2014
ISBN 978 85 7595 142-2 (PR)
Código da obra 550051114
1ª- edição
1ª- impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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1
cONJUNtOS
página 7
2
FUNÇÕeS
página 11
3
FUNÇÕeS POLiNOMiaiS 
DO 1O e 2O GRaU
página 13
5
FUNÇÃO eXPONeNciaL
página 23
6 FUNÇÃO LOGaRÍtMicapágina 26
manual do Professor 
matemÁtica i
4 FUNÇÃO MODULaRpágina 21
7
ReViSÃO
página 33
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4 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professoro Professor
orientaÇÕes Gerais
Cada disciplina do curso Pré-vestibular Extensivo é composta de 30 módulos, que tra-
zem todo o conteúdo necessário para a realização dos principais exames vestibulares do país.
Os módulos foram criteriosamente planejados, para que cada um deles possa ser 
trabalhado pelos professores em uma semana de aula, segundo a grade mínima de 
tempos sugerida abaixo.
Disciplinas
3a série –
Total de tempos/aulas
Língua Portuguesa I
(Gramática / Literatura)
3
Língua Portuguesa II
(Redação)
2
História 3
Geografia 3
Matemática I 2
Matemática II 3
Física 4
Química 4
Biologia 4
Língua estrangeira
(Língua Espanhola, Língua Inglesa 
ou Língua Francesa)
2
Total 30
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5Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
aPresentaÇÃo
A coleção Pré-vestibular Extensivo traz uma solução para os colégios que buscam excelência na 
preparação dos alunos para os mais diversos concursos vestibulares, sem abrir mão da necessária for-
mação crítica.
O material trabalha todo o conteúdo do Ensino Médio, destacando os tópicos mais importantes 
para a resolução das provas, com ênfase em exercícios. 
No Manual do Professor, indicamos a melhor forma de abordagem desses conteúdos, sugerimos 
as melhores questões a serem resolvidas em sala e apresentamos uma proposta de quadro, para auxiliar 
os professores na montagem de suas aulas.
Com mais de vinte anos de experiência no preparo de alunos que ocupam vagas nas carreiras mais 
concorridas nas universidades do Rio de Janeiro e do Brasil, construímos um método de ensino bastante 
eficaz, com o cuidado de estar sempre em sintonia com aquilo que acontece no mundo.
Num tempo em que os adolescentes são submetidos a uma variada gama de apelos tecnológicos e 
informativos, oferecemos, com esse material, uma ferramenta importante para estimular os alunos a 
desenvolver o gosto pelo estudo.
Acreditamos também que o trabalho em sala de aula pode (e deve) ser complementado com o 
estudo em casa. É fundamental que os professores recomendem aos alunos a resolução de exercícios 
após as aulas, com a disponibilização de gabarito. 
O crescimento só ocorre quando o aluno percebe o que está errando, revisa o conteúdo necessário e 
aprende a resolver questões da maneira correta. É muito importante não deixar lacunas na preparação 
de nossos formandos.
Oferecemos, portanto, uma preparação completa, disponibilizando a professores e alunos os ins-
trumentos necessários para que mais e mais sonhos de aprovação se realizem.
Boas aulas!
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6 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
introduÇÃo
Sabemos que o principal elemento do processo de ensino-aprendizagem é o aluno. Por isso, as aulas devem ser cuidadosa-
mente preparadas para que os estudantes compreendam o conteúdo e suas utilidades e aplicações no mundo em que vivemos. 
As variáveis de uma sala de aula são muitas, cada turma tem suas particularidades e necessidades, de modo que a metodo-
logia de ensino deve adequar-se à realidade de cada grupo.
Diante disso, esse manual não pretende definir um modelo único de trabalho, mas auxiliar o professor na utilização do 
material de Matemática, apresentando sugestões de dinâmicas de aula, de formas de abordagem de cada conteúdo, de exercí-
cios a serem feitos em sala de aula e como tarefa. Ou seja, dando a orientação necessária para uma completa exploração dos 
módulos.
Esperamos que este manual seja útil ao longo de todo o período letivo.
Bom trabalho!
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7Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
1 cONJUNtOS
PartE 1
Objetivos
 ◆ Introduzir o conceito de conjunto.
 ◆ Designação de conjuntos.
 ◆ Definir conjuntos numéricos.
 ◆ Detalhar como transformar dízimas periódicas em fração.
 ◆ Subconjunto – Conjunto universo.
 ◆ Conjunto das partes.
Estratégias de aula
Começar a aula dizendo que, intuitivamente, associamos 
à ideia de conjunto as de grupo, coleção ou classe e, à ideia 
de elemento, os objetos que constituem o conjunto.
Notação:
A, B, C, ... indicam o conjunto
a, b, c, ... representam os elementos
À ideia de constituir o conjunto associamos o conceito 
primitivo de pertencer. Dizemos então que o elemento per-
tence ao conjunto.
Notação:
[ → pertence
Ó → não pertence
Repare que quando usamos [ ou Ó estamos relacionan-
do sempre um elemento a um conjunto.
 x [ A
 ↓ ↓
elemento conjunto
Ex.: considerando o conjunto A das letras da palavra 
Engenharia, temos:
a [ A, n [ A, p Ó A
Definir os conjuntos numéricos:
 A. Conjunto dos números naturais (N):
N 5 {0, 1, 2, 3, ...}
 B. Conjunto dos números inteiros (Z):
Z 5 {.... 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...}
Alguns símbolos podem ser utilizados juntos à letra que 
designa o conjunto com a função de eliminar certos elementos:
* : elimina o zero
1 : elimina os negativos
2 : elimina os positivos
Z
1
 5 {0, 1, 2, ...} (inteiros não negativos)
Z
*
1
 5 {1, 2, 3 ...} (inteiros positivos)
Z
2
 5 {..., 23, 22, 21, 0} (inteiros não positivos)
Z
*
2
 5 {..., 23, 22, 21} (inteiros negativos)C. Conjunto dos números racionais (Q):
¤ ¢, *5 5x x a
b
a b Z| ∈ ∧ ∈{ }
Assim, número racional é todo número que pode ser 
escrito na forma de uma fração, com numerador inteiro 
e denominador inteiro e diferente de zero.
São números racionais:
 ◆ Todo número inteiro: 23 [ Q, 0 [ Q, 176 [ Q.
 ◆ Todos os números decimais finitos: 2,71 [ Q, 
8
5
 [ Q, 
20,25 [ Q.
 ◆ Todos os números decimais infinitos e periódicos (dízimas 
periódicas): 0,3333... [ Q, 1,2343434... [ Q.
Admitem-se também as notações Q
1
, Q
2
 e Q* para sub-
conjuntos de Q.
Definir como transformar as dízimas periódicas em fração 
sem haver a necessidade de “memorizar” a regra.
Dízima periódica
As dízimas periódicas são números decimais não exatos 
que apresentam um ou mais algarismos que se repetem in-
definidamente. Estes algarismos que se repetem formam o 
período da dízima.
Dízimas periódicas simples: são aquelas que, após a vír-
gula, só apresentam a repetição do período.
Ex.: 0,222... ; 0,434343...
Para determinarmos a fração equivalente a uma dízima 
periódica simples (geratriz da dízima), devemos multiplicá-la 
por uma potência inteira de 10 de forma que o número obti-
do tenha a mesma parte decimal do primeiro (a vírgula deve 
“saltar” um período) e, em seguida, subtrair um do outro.
Ex.: vamos determinar a geratriz da dízima 0,121212...
 x 5 0,121212... (I)
100x 5 12,121212... (II)
(II) 2 (I): 99x 5 12 → x 12
99
5
O numerador da fração geratriz da dízima periódica 
simples é formado pelo período e o denominador é for-
mado por tantos “noves” quantos forem os algarismos 
do período.
Dízimas periódicas compostas: são aquelas que apre-
sentam, após a vírgula, algarismos que não se repetem. Estes 
algarismos formam o anteperíodo da dízima.
Ex.: 0,217777...; 0,3414141...
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8 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Para determinarmos a geratriz de uma dízima periódica 
composta devemos, primeiramente, multiplicá-la por uma 
potência inteira de 10 de forma que a vírgula “salte” o ante-
período. Em cima deste novo número, aplicamos o mesmo 
método estabelecido para as dízimas periódicas simples.
Ex.: vamos determinar a geratriz da dízima 0,213333....
 x 5 0,21333...
 100x 5 21,333... (II)
1 000x 5 213,333... (III)
(III) 2 (II): 900x 5 192 → x 192
900
16
75
5 5
O numerador da geratriz da dízima periódica com-
posta é a diferença entre o número formado pelos algaris-
mos do anteperíodo e período e o número formado pelo 
anteperíodo. O denominador é constituído por tantos 
“noves” quantos forem os algarismos do período e tan-
tos “zeros” quantos forem os algarismos do anteperíodo.
D. Conjunto dos números irracionais (I):
É o conjunto dos números com representações infinitas, 
não periódicas. Estes números não podem ser representados 
na forma de fração, pois nesse caso teriam representações 
decimais finitas e periódicas.
Ex.:
2 1 41425 , ...
p 5 3,14159...
e 5 2,7182... (Número de Euler)
0,1010010001...
Racionais ∩ Irracionais 5 [
E. Conjunto dos números reais (R):
É o conjunto obtido da união do conjunto dos números 
racionais com o dos números irracionais.
R 5 {x | x [ Q ou x é irracional}
Mais tarde estudaremos o conjunto dos números comple-
xos (C), que compreende os números reais e os imaginários.
N Z
Q
R C
I
Subconjunto
Diz-se que um conjunto A é subconjunto ou parte de B 
se todos os elementos de A são também elementos de B, ou 
seja, se A está contido em B.
Ex.: A 5 {1, 2}
 B 5 {1, 2, 3, 4}
A , B (A está contido em B)
B . A (B contém A)
A
1
2
3
4
B 
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto 
inclusive nele próprio ([ , A e [ , [)
Ressaltar o fato de que A , B (A está contido em B)
B . A (B contém A) COMPARA DOIS CONJUNTOS.
Conjunto das partes
Dado um conjunto A, denomina-se conjunto das par-
tes de A, representado por P(A), ao conjunto formado pelos 
subconjuntos de A.
Ex.: A 5 {1, 2, 3}
 P(A) 5 {[, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Número de subconjuntos
Seja um conjunto A com n elementos:
A 5 {a, b, c, ..., n}
Calculemos de quantas formas podemos formar um sub-
conjunto, partindo da ideia que para cada elemento temos 
duas situações possíveis, participar ou não participar do re-
ferido subconjunto.
2
a
2
b
2
c
....
2
n
2 subconjuntos distn? ? 5 iintos.
no de subconjuntos de A 5 2n
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 (PUC) O valor de 
1,777...
0,111...
é:
Solução:
 x 5 1,777...
 10x 5 17,777...
 Subtraindo o 2o termo do 1o termo: 9x 5 16 → x
16
9
5
 y 5 0,111...
 10y 5 1,111...
 Subtraindo o 2o termo do 1o termo: 9y 5 1 → y
1
9
5
 Logo, 
1,777...
0,111...
16
9
1
9
4
3
1
3
45 5 5
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9Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
2 (UFRJ) Sejam x 5 1 e y 5 0,999... (dízima periódica). Quais 
das afirmações abaixo são verdadeiras?
a) x , y
b) x . y
c) x 5 y
 Justifique rigorosamente sua resposta.
Solução:
 y 5 0,999...
 10y 5 9,999..
 Subtraindo o 2o termo do 1o termo : 9y 5 9 → y 5 1
 Logo, x 5 y
3 (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-
-1891):
Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.
Leopold Kronecker (1823-1891)
 Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, 
uma das grandes invenções humanas.
 Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é cor-
reto afirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é sempre um 
número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um núme-
ro irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número 
irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos 
um número racional.
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sem-
pre um número inteiro negativo.
Solução:
 Dar contraexemplos
a) (F) 2 2 2? 5
b) (F) 2 2 1 2 5 0
c) (F) 3,14... ou 10 3,6...π 5 5
d) (V)
e) (F) (21) 2 (22) 5 1
PartE 2
Objetivos
 ◆ Definir as operações entre os conjuntos.
 ◆ Cálculo do número de elementos da união entre dois con-
juntos.
 ◆ Representação dos Intervalos e Operações.
Estratégias de aula
União
A ∪ B 5 {x | x [ A e x [ B}
A B
Interseção
A ∩ B 5 {x | x [ A e x [ B}
A B
Diferença
A 2 B 5 {x | x [ A e x Ó B}
B 2 A 5 {x | x [ B e x Ó A}
A B
A – B
A B
B – A
Complementar
Caso particular de diferença usado quando um conjunto 
está contido no outro.
A , B ⇒ CBA 5 B 2 A (complementar de A em relação 
a B)
C
B
A
A
B
Se o conjunto maior for o universo podemos ainda deno-
tar de uma outra maneira.
A CA C A U A
U
5 5 5 2
A
A
—
Mostrar que n(A ∪ B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A ∩ B)
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10 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Exemplificar as operações:
A 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B 5 {8, 10, 12, 15}
C 5 {8, 10}
A ∪ B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15}
A ∩ B 5 {8, 10}
A 2 B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
B 2 A 5 {12, 15}
CBC 5 B 2 C 5 {12, 15}
Mostrar através de um exemplo as representações em in-
tervalos e suas operações.
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
13 Numa cidade há 1 000 famílias. Sabe-se que:
 ◆ 470 assinam o Estado;
 ◆ 420 assinam a Folha;
 ◆ 315 assinam a Gazeta;
 ◆ 140 assinam a Gazeta e a Folha;
 ◆ 220 assinam a Gazeta e o Estado;
 ◆ 110 assinam a Folha e o Estado;
 ◆ 75 assinam os três.
 Pergunta-se:
a) Quantas famílias não assinam jornal?
b) Quantas famílias assinam só um dos jornais?
c) Quantas famílias assinam só dois jornais?
Solução:
 
E F
30
215
145
75
35
245
65
U 5 1000
G
190
a) 1 000 2 (215 1 145 1 35 1 75 1 30 1 65 1 245) 5 190
b) 215 1 245 1 30 5 490
c) 35 1 145 1 65 5 245
17 (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três 
modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum 
associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e 
futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas des-
tes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encer-
radas as inscrições,verificou-se que: dos 85 inscritos em 
natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as 
aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número 
de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o 
número de inscritos só para as de tênis.
 Quantos associados se inscreveram simultaneamente para 
aulas de futebol e natação?
Solução:
 Sejam N, F e T, respectivamente, os conjuntos dos associa-
dos do clube que se inscreveram para as aulas de natação, 
futebol e tênis.
 Sejam x e y os números de associados inscritos simulta-
neamente para futebol e natação e para tênis e natação, 
respectivamente, isto é, x 5 n(N ∩ F) e y 5 n(N ∩ T).
 Como nenhum associado poderá frequentar simultanea-
mente as aulas de tênis e futebol, temos que T ∩ F 5 [. 
Portanto, os três conjuntos podem ser representados pelos 
diagramas abaixo:
 
F T
38 2 x x 50 17 2 yy
N
 Como o total de inscritos em natação é 85, temos:
 x 1 y 1 50 5 85 ⇒ x 1 y 5 35
 Como o número de inscritos só para futebol excede em 10 
o de inscritos só para tênis, temos:
 38 2 x 5 17 2 y 1 10 ⇒ x 2 y 5 11
 Logo:
 
x y 35
x y 11
1 5
2 5{
 x 5 23
 Resposta: 23 associados
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre conjunto presente no módulo 1.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 7, 8, 14, 18 e 32 do 
módulo 1.
aNOtaÇÕeS
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M
at
eM
át
ic
a 
i
11Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Objetivos
 ◆ Introduzir o conceito de par ordenado.
 ◆ Definir produto cartesiano e sua representação.
 ◆ Definir uma relação.
 ◆ Definir o conceito de função.
 ◆ Reconhecer o gráfico de uma função.
 ◆ Definir domínio e o conjunto imagem de uma função.
Estratégias de aula
Produto cartesiano
Dados dois conjuntos, A e B, definimos o produto carte-
siano de A por B, representado por A 3 B, da seguinte forma:
A 3 B 5 {(x, y) | x [ A ∧ y [ B}
Ex.: A 5 {1, 2}; B 5 {2, 3, 4}
A 3 B 5 {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4)}
Propriedades
 I. A 3 B Þ B 3 A
 II. A 3 [ 5 [ 3 A 5 [
 III. A 3 A 5 A2
 IV. n(A 3 B) 5 n(A) 3 n(B)
representação gráfica
Para representar graficamente o produto cartesiano de A 
por B, utiliza-se o sistema cartesiano ortogonal.
Ex1: A 5 {1, 2}; B 5 {2, 3, 4} ⇒ A 3 B {(1, 2); (1, 3); 
(1, 4); (2, 2); (2, 3); (2, 4)}
A 3 B
x
y
3
2
4
21
Ex2: A 5 ]1, 2[; B 5 ]2, 4]
 Ponto pertencente 
a A 3 B
 Ponto não pertencente 
a A 3 B
 Linha pertencente 
a A 3 B
 Linha não pertencente 
a A 3 B
 Região pertencente a A 3 B
A 5 B
x
y
4
2
21
relação
Denomina-se uma relação de A em B qualquer subcon-
junto de A 3 B.
Ex.: A 5 {1, 2}; B 5 {1, 2, 3, 4}
R 5 {(x, y) [ A 3 B | y 5 x2} ⇒ R 5 {(1, 1); (2, 4)}
 I. Lei de formação ⇒ y 5 x2
 II. Domínio de R ⇒ Conjunto das primeiras coordenadas: 
Dom (R) 5 {1, 2}
 III. Imagem de R ⇒ Conjunto das segundas coordenadas: 
Im (R) 5 {1, 4}
representações
 I. Diagrama de flecha
1
2
1
2
3
4
R
 II. Gráfica
R
x
y
3
1
2
4
21
Função
Seja f uma relação de A em B.
f é função de A em B ⇒ ∀ x [ A, ∃| y [ B | (x, y) [ f
Obs: ∃|: Lê-se “existe um único”
A ⇒ Domínio de f
B ⇒ Contradomínio de f
Notação de funções
f : A → B
f : x → f(x) 5 ax3 1 b → y 5 f(x)
Ex.: f : R → R
f : x → y 5 f(x) 5 x2
2 FUNÇÕeS
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12 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
representação gráfica
Aproveitando o exemplo anterior, vamos representar gra-
ficamente a função f(x) 5 x2
x
y
1
4
22 21 21
Obs.:
 I. Graficamente, identificamos o domínio de uma função 
projetando seu gráfico no eixo 0x.
 II. Graficamente, identificamos a imagem de uma função 
projetando seu gráfico no eixo 0y.
 III. Para que um gráfi-
co possa representar 
uma função, todas as 
retas verticais traça-
das pelo domínio da 
função devem inter-
ceptar o gráfico em 
um único ponto.
Não é função!
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 (PUC) A 5 {3, 4, 6}, B 5 {1, 2} e C 5 {3, 6, 9, 12}. Determine 
(C 2 A) 3 B.
Solução:
 C 2 A 5 {9, 12}
 (C 2 A) 3 B 5 {(9, 1), (9, 2), (12, 1), (12, 2)}
2 (UFF-RJ) Sabendo que A e B são dois conjuntos tais que:
a) (1, 7), (5, 3) são elementos de A 3 B
b) A ∩ B 5 {1, 3}
 O que pode ser afirmado com segurança sobre o número 
de elementos de A 3 B?
Solução:
 (1, 7), (5, 3) são elementos de A 3 B → 1 e 5 [ A; 7 e 3 [ B
 A 5 {1, 5 ....}
 B 5 {3, 7, ...}
 A ∩ B 5 {1, 3} → 1 e 3 [ A e B;
 A 5 {1, 3, 5, ...}
 B 5 {1, 3, 7, ...}
 Portanto, n(A) 5 mínimo de 3 elementos e n(B) 5 mínimo 
de 3 elementos, logo, n(A 3 B) 5 mínimo de 9 elementos.
7 Seja a função f(x) 5 ax
3 1 b. Se f(21) 5 2 e f(1) 5 4, então 
a e b valem, respectivamente:
Solução:
 f(x) 5 ax3 1 b
 f(21) 5 a ? (21)3 1 b 5 2 → 2a 1 b 5 2
 f(1) 5 a ? 13 1 b 5 4 → a 1 b 5 4
 Somando as duas equações acima: 2b 5 6 → b 5 3 e a 5 1
Dom (f )
C.D (f )
Im(f )
5
5
5



+
x
y
0
11 A produção diária de um certo produto, realizada por um 
determinado operário, é avaliada por:
 Produção 5 8x 1 9x2 2 x3 unidades.
 x horas após as 8 horas da manhã, quando começa o seu 
turno. Determine:
a) Qual é a sua produção até o meio-dia?
b) Qual é a sua produção durante a quarta hora de trabalho?
Solução:
a) Basta fazer x 5 4.
 P(4) 5 8 ? 4 1 9 ? 42 2 43 5 32 1 144 2 64 5 
5 112 unidades
b) A produção durante a quarta hora de trabalho é dada 
por P(4) 2 P(3)
 Como P(3) 5 8 ? 3 1 9 ? 32 2 33 5 24 1 81 2 27 5 78
 P(4) 2 P(3) 5 112 2 78 5 34 unidades
13 Determine o domínio da função:
 
f(x)
x 1
x
2x
x 4
3
5
2
1
1
Solução:
 x 2 1 > 0 → x > 1
 x Þ 0
 x 1 4 . 0 → x . 24
 Fazendo a interseção dos intervalos:
 x > 1
 S 5 {x [ R | x > 1}
18 (UFRJ) Considere as funções polinomiais f, g e h, cujos 
gráficos são dados a seguir
y
x
f
h
g
0
22
24
26
6
4
2
1
2122232425
2 3 4 5
 Determine os valores reais de x no intervalo [25, 5] para os 
quais valem as desigualdades:
 f(x) < g(x) < h(x)
Solução:
 Para que as desigualdades sejam verdadeiras, o gráfico de 
f deve estar abaixo do gráfico de g e este abaixo do de h. 
Esta condição se verifica nos intervalos [0, 1] e [3, 5].
 Resposta: x [ [0, 1] ∪ [3, 5]
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre produto cartesiano e teoria das fun-
ções presente no módulo 2.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 3, 4, 10, 16, 17, 19 e 
22 do módulo 2.
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M
at
eM
át
ic
a 
i
13Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
3
FUNÇÕeS POLiNOMiaiS 
DO 1o e 2o GRaU
PartE 1
Objetivos
 ◆ Definir uma função do 1o grau.
 ◆ Mostrar o significado dos coeficientes angular e linear.
 ◆ Raiz da função do 1o grau.
 ◆ Estudo do sinal da função do 1o grau.
Estratégias de aula
Definição
f : R → R
x → f(x) 5 ax 1 b
onde a [ R* e b [ R
A função do 1o grau também é conhecida como função 
afim, e pode ser particularmente chamada de:
I. função linear, se b Þ 0 (f(x) 5 ax)
II. função identidade, se b 5 0 e a 5 1 (f(x) 5 x)
Coeficiente angular (a)
Percebemos que, dados dois pontos A e B do gráfico de 
f(x) 5 ax 1 b:
a
y y
x x
tgB A
B A
5
2
2
5 α
Pelo fato de o coeficiente a ser igual à tangente do ângulo 
que a reta forma com a horizontal, o chamamos coeficiente 
angular.
Exemplos:
x
y
60¡
x
y
135¡
a tg 60° 35 5 a 5 tg 135° 5 2tg 45° 5 21
Observando os exemplos acima é fácil perceber que:
Função crescente → 0° , θ , 90° → a . 0
Função decrescente → 90° , θ 180° → a , 0
Coeficiente linear (b)
f(x) 5 ax 1 b
x 5 0 → f(0) 5 a ? 0 1 b 5 b → (0, b) [ f
A função encontra o eixo ou um ponto de ordenada (y) 
igual a b.
x
y
150°
f 4
b 4 e a tg 150°
3
3
5 5 5
2
f(x)
3
3
x 45
2
? 1
raiz ou zero da função
Raiz de uma função é o valor da variável x tal que f(x) 5 0
α é raiz de f(x) ↔ f(α) 5 0
Como o ponto (α, 0) [f, concluímos que as raízes são as 
interseções do gráfico de f com o eixo x. No caso da função 
de 1o grau:
x
y
RAIZ 5 2
b
θ 5 arctga
b
a
Sinal da função
1o caso: a . 0
(Crescente)
x
y
2
1
b
a
2
f(x) . 0 → x . 2
b
a
f(x) 5 0 → x 5 2
b
a
f(x) , 0 → x , 2
b
a
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14 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
2
o
 caso: a , 0
(Decrescente)
x
y
2
1
b
a
2
f(x) . 0 → x , 2
b
a
f(x) 5 0 → x 5 2
b
a
f(x) , 0 → x . 2
b
a
Resumindo f(x) 5 ax 1 b
sinal contrário de a
RAIZ 5 2
b
a
mesmo sinal de a
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
2 O gráfico abaixo mostra a variação do preço unitário de um 
produto, em reais, em função da quantidade de unidades 
ofertada por um comerciante, sendo Q [ [1, 1 000].
Q (quantidade)
P (pre•o)
9 
10
200100
a) Determine P em função de Q.
b) Calcule o preço unitário do produto relativo à oferta de 
500 unidades.
Solução:
a) Sendo A(100, 10) e B(200, 9) dois pontos do gráfico de 
f(x) 5 ax 1 b. Temos:
 f(100) 5 100a 1 b 5 10
 f(200) 5 200a 1 b 5 9
 Subtraindo as equações: 100a 5 21 → a
1
100
5 2 e 
b 10 100a 10 100
1
100
115 2 5 2 ? 2 5




 Logo, f(x)
1
100
x 115 2 1




 Utilizando a notação da questão:
 
P
1
100
Q 115 2 1




b) Q 500 P
1
100
500 11 65 5 2 1 5→ 


4 (UFRJ) Suponha que as ligações telefônicas em uma cidade 
sejam apenas locais e que a tarifa telefônica seja cobrada 
do seguinte modo:
 1o) uma parte fixa, que é assinatura.
 2o) uma parte variável, dependendo do número de pulsos 
que excede 90 pulsos mensais. Assim, uma pessoa que tem 
registrados 150 pulsos na conta mensal de seu telefone 
pagará somente 150 2 90 5 60 pulsos, além da assinatura.
 Em certo mês, o preço de cada pulso excedente era R$ 2,00 
e o da assinatura era R$ 125,00.
a) Um usuário gastou nesse mês 220 pulsos. Qual o valor 
cobrado na conta telefônica?
b) Esboce no caderno de respostas o gráfico do valor (y), 
em reais, da conta telefônica em função do número (x) 
de pulsos gastos nesse mês.
Solução:
a) 220 2 90 5 130 pulsos excedentes
 Valor da conta 5 125 1 2 ? 130 5 385
b) 
x
y
125 
175
11590
7 (UFRJ) Uma fábrica produz óleo de soja sob encomenda, 
de modo que toda produção é comercializada.
 O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma 
parcela fixa, independente do volume produzido, corres-
ponde a gastos com aluguel, manutenção de equipamen-
tos, salários, etc.; a outra parcela é variável, dependente 
da quantidade de óleo fabricado.
 No gráfico a seguir, a reta r1 representa o custo de produção 
e a reta r2 descreve o faturamento da empresa, ambos em 
função do número de litros comercializados. A escala é tal 
que uma unidade representa R$ 1 000, 00 (mil reais) no eixo 
das ordenadas e 1 000 , (mil litros) no eixo das abscissas.
 
x60
10
40
90
y
r2
r1
a) Determine, em reais, o custo correspondente à parcela 
fixa.
b) Determine o volume mínimo de óleo a ser produzido 
para que a empresa não tenha prejuízo.
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15Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
Solução:
a) Basta perceber que é um ponto da reta r1 onde x 5 0 →
→ y 5 10
 Utilizando a escala dada 10 000 litros
b) Vamos montar as funções:
 r1: y 5 ax 1 b
 ◆ b 5 10
 ◆ (60, 40) [ r1 → 40 5 60a 1 10 → a
1
2
5
 
r : y
1
2
x 101 5 1




 r2: y 5 ax 1 b
 ◆ b 5 0
 ◆ (60, 90) [ r2 → 90 5 60a → a
3
2
5
 
r : y
3
2
x2 5




 Para que não haja mais prejuízo:
 
3
2
x
1
2
x 10 x 10







 →> 1 >
 Volume Mínimo 5 10 000 litros
11 Resolva as inequações:
a) (2x 2 1)(23x 1 2) (2x 1 3) , 0
b) 
(x 1)(x 3)
(x 5)
0
2 1
2
.
c) 2x 3
x 2
1
2
2
>
d) (x 2 4)3 < 0
e) (3x 2 2)2 . 0
f) (x 1 6)6 , 0
g) 
x (x 1) (x 3)
(x 1)
0
3 5 2
4
2 1
1
.
Solução:
a) (2x 2 1)(23x 1 2)(2x 1 3) , 0
 Seja:
 f1(x) 5 (2x 2 1)
 f2(x) 5 (23x 1 2)
 f3(x) 5 (2x 1 3)
 Vamos estudar o sinal de cada uma das funções acima:
 
f (x) (2x 1) 2x 1 0 x
1
2
1 5 2 2 5 5→ →
 
1
2 1
2
 
f (x) ( 3x 2) 3x 2 0 x
2
3
2 5 2 1 2 1 5 5→ →
 
1
22
3
 f3(x) 5 (2x 1 3) → 2x 1 3 5 0 → x 5 3
 
3
1
2
1
2
 
2
3
 3
f1(x) 5 2(x 2 1) 2 1 1 1
f2(x) 5 (23x 1 2) 1 1 2 2
f3(x) 5 (2x 1 3) 1 1 1 2
f1(x) ? f2(x) ? f3(x) 2 1 2 1
 
S ,
1
2
2
3
, 35 2∞

 ∪




b) 
(x 1)(x 3)
(x 5)
0
2 1
2
.
 Seja:
 f1(x) 5 (x 2 1)
 f2(x) 5 (x 1 3)
 f3(x) 5 (x 2 5)
 Restrição: x 2 5 Þ 0 → x Þ 5
 Vamos estudar o sinal de cada uma das funções anteriores
 f1(x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1
 
1
1
2
 f2(x) 5 (x 1 3) → x 1 3 5 0 → x 5 23
 
Ð3
1
2
 f3(x) 5 (x 2 5) → x 2 5 5 0 → x 5 5
 
5
1
2
23 1 5
f1(x) 5 (x 2 1) 2 2 1 1
f2(x) 5 (x 1 3) 2 1 1 1
f3(x) 5 (x 2 5) 2 2 2 1
f1(x) ? f2(x) / f3(x) 2 1 2 1
 S 5 (23, 1) ∪ (5, 1 ∞)
0
0
0
000
0
0
000
'
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16 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
c) 2x 3
x 2
1
2
2
>
 
2x 3
x 2
1 0
2x 3
x 2
(x 2)
(x
2
2
2 >
2
2
2
2
2
→
2)
0
x 1
x 2
0>
2
2
>→
 Seja:
 f1(x) 5 (x 2 1)
 f2(x) 5 (x 2 2)
 Restrição: x 2 2 Þ 0 → x Þ 2
 Vamos estudar o sinal de cada uma das funções acima
 f1(x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1
 
1
1
2
 f2(x) 5 (x 2 2) → x 2 2 5 0 → x 5 2
 
2
1
2
1 2
(x21) 2 1 1
(x22) 2 2 1
(x21) / (x22) 1 2 1
 S 5 (2∞, 1] ∪ (2, 1 ∞)
d) (x 2 4)3 < 0
 Seja: f1(x) 5 (x 2 4) → x 2 4 5 0 → x 5 4
 
4
1
2
 [f1(x)]
3 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)
 
4
12
 S 5 (2∞, 4]
e) (3x 2 2)2 . 0
 Seja: f (x) (3x 2) 3x 2 0 x
2
3
1 5 2 2 5 5→ →
 
1
2
3
2
 [f1(x)]
2 → expoente par
 
1
2
3
1
 
S
2
3
5 2




0
0
'
f) (x 1 6)6 , 0
 Seja: f1(x) 5 (x 1 6) → x 1 6 5 0 → x 5 26
 
26
1
2
 [f1(x)]
6 → expoente par
 6
11
 S 5 [
g) 
x (x 1) (x 3)
(x 1)
0
3 5 2
4
2 2
1
.
 Restrição: x 1 1 Þ 0 → x Þ 21
 Seja:
 f1(x) 5 x → x 2 0
 
0
1
2
 [f1(x)]
3 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)
 0
12
 f2(x) 5 (x 2 1) → x 2 1 5 0 → x 5 1
 
1
1
2
 [f2(x)]
5 → expoente ímpar não muda o sinal de f(x)
 1
12
 f3(x) 5 (x 2 3) → x23 5 0 → x 5 3
 
32
1
 [f3(x)]
2 → expoente par
 3
11
 f4(x) 5 (x 1 1) → x 1 1 5 0 → x 5 21
 
212
1
 [f4(x)]
2 → expoente par
 21
11
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17Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
21 0 1 3
x
3
2 2 1 1 1
(x21)
5
2 2 2 1 1
(x23)
2
1 1 1 1 1
(x 1 1)
4
1 1 1 1 1
x (x 1) (x 3)
(x 1)
3 5 2
4
2 2
1
1 1 2 1 1
 S 5 (2∞, 21) ∪ (21, 0) ∪ (1, 3) ∪ (3, ∞)
 ou
 S 5 (2∞, 0) ∪ (1, ∞) 2 {21, 3}
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria função polinomial do 1o grau presente no 
módulo 3.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa Mínima: Fazer os exercícios 1, 6, 8, 12, 14 e 19 do 
módulo 3.
PartE 2
Objetivos
 ◆ Definir uma função do 2o grau.
 ◆ Raízes da função do 2o grau.
 ◆ Soma e produto das raízes.
 ◆ Forma fatorada do trinômio do 2o grau.
 ◆ Coordenadas do vértice da parábola.
 ◆ Estudo do sinal da função do 2o grau.
Estratégias de aula
Definição
Sendo a, b e c números reais, a função:
f : R → R
x → y 5 ax2 1 bx 1 c, a [ R*, b, c [ R
é denominada função do 2o grau ou função quadrática.
Gráfico no sistema cartesiano
Toda função do 2o Grau é representada graficamente por 
uma curva chamada parábola, cujas características serão ana-
lisadas a seguir.
Concavidade
A concavidade está voltada para cima ou para baixo, de-
pendendo do sinal do coeficiente a:
a . 0 a , 0
0
0
0
0000
'
Interseção com os eixos coordenados
Interseção com o eixo Oy: fazendo x 5 0, temos:
y 5 a ? 02 1 b ? 0 1 c → y 5 c
Interseção com o eixo Ox: fazendo f(x) 5 0, temos:
ax2 1 bx 1 c 5 0
Resolvendo a equação, com o uso da fórmula de Báskara, 
obtemos:
x
b
2a
,5
2 ± ∆
 onde D 5 b2 2 4ac.
Dependendo do sinal de D, podemos ter:
a) D , 0 ⇒ não existem raízesreais.
O gráfico não corta o eixo Ox.
a . 0 a , 0
b) ∆ 0 x x
b
2a
2 raízes reais e idênt
1 2
5 5 5 2⇒ ⇒ iicas.
O gráfico corta o eixo Ox em um único ponto.
a . 0 a , 0
c) D . 0 ⇒ 2 raízes reais e distintas.
O gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.
a . 0 a , 0
Soma e produto das raízes
Sejam x1 e x2 as raízes da equação:
ax2 1 bx 1 c 5 0 (a Þ 0)
Temos: 
x x
b
a
x x
c
a
1 2
1 2
1 5 2
? 5





Demonstração:
x
b
2a
e x
b
2a
1 2
5
2 1
5
2 2∆ ∆
Soma das raízes
x x
b b
2a
x x
2b
2a
b
a
1 2 1 2
1 5
2 1 2 2
1 5
2
5
5 2
∆ ∆
⇒
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18 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Produto das raízes
x x
b
2a
b
2a
b
4a
1 2
2
2
? 5
2 1
?
2 2
5
2∆ ∆ ∆
x x =
b (b 4ac)
4a
x x
b b 4ac
4a
4a
1 2
2 2
2 1 2
2 2
2?
2 2
? 5
2 1
5
5
⇒
cc
4a
2
x x
c
a
1 2?
5
Fatoração do trinômio do 2o grau
Sendo f(x) 5 ax2 1 bx 1 c e a Þ 0, a sua forma 
fatorada é:
f(x) 5 a(x 2 x1)(x 2 x2)
onde x1 e x2 são as raízes de f.
Demonstração:
f(x) ax bx c a x
b
a
x
c
a
2 2
5 1 1 5 1 1 5




f(x) 5 a(x2 2 (x1 1 x2)x 1 x1x2) 5 a[x(x 2 x1) 2 x2(x 2 x1)]
f(x) 5 f(x) 5 a(x 2 x1) (x 2 x2)
(Ex.:) Fatorar o trinômio 2x2 2 8x 1 6.
Encontramos suas raízes: x1 5 1 e x2 5 3
Forma Fatorada: 2(x 2 1) 3 (x 2 3)
Vértice da parábola
Seja a função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, representada pela 
parábola abaixo.
y
r
V
x
b
2a
∆
4a
V: Vértice da parábola
r: Eixo de Simetria da Parábola
A abscissa do vértice é o ponto médio entre as raízes:
x
x x
2
b
a
2
V
1 2
5
1
5
2
⇒ x
b
2a
v
5 2
Substituindo o valor de xv em f(x), obtemos:
y
4a
v 5 2
∆
Dependendo do sinal de a, teremos:
1o caso: a . 0
V
∆
4a
V: Ponto de mínimo de f
y : Valor m’nimo de f Im(f ) y y
4a
V ⇒ ∈{5 > 2 | ∆}}
2o caso: a , 0
V∆
4a
V: Ponto de máximo de f
y : Valor máximo de f Im(f ) y | y
4a
V ⇒ ∈{5 < 2 ∆}}
Estudo do sinal da função do 2o grau
O estudo do sinal de uma função quadrática depende do 
sinal de a (coeficiente do termo do 2o grau) e do sinal de seu 
discriminante (D 5 b2 2 4ac). Os gráficos a seguir mostram a va-
riação do sinal de uma função do 2o grau em cada um dos casos:
a , 0a . 0
a , 0a . 0
a , 0a . 0
a . 0 Positiva, para todo x [ R
a , 0 Negativa, para todo x [ R
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19Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
6 (UFRJ) Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu 
decorar uma árvore de Natal gigante. Ficou combinado que 
cada um terá um número n de 1 a 40 e que os enfeites se-
rão colocados na árvore durante os 40 dias que precedem 
o Natal da seguinte forma: o morador número 1 colocará 
1 enfeite por dia a partir do 1o dia; o morador número 2 
colocará 2 enfeites por dia a partir do segundo dia e assim 
sucessivamente (o morador número n colocará n enfeites 
por dia a partir do n-ésimo dia).
a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o 
morador número 13?
b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total 
de m enfeites. Sabendo que nenhum morador colocará 
mais enfeites do que a Sra. X, determine m.
Solução:
a) Seja Pn o número de enfeites que o morador de número 
n terá colocado ao final de 40 dias. Verificamos que Pn 5 
5 n ? (41 2 n). Em particular, P13 5 13 ? (41 2 13) 5 364.
b) A função f(x) 5 x(41 2 x) tem como gráfico uma parábola 
que intercepta o eixo das abscissas nos pontos x1 5 0 e 
x2 5 41, atingindo o valor máximo no ponto médio 
=x
41
2
.
0
 Como os valores de Pn são obtidos calculando-
-se f(n) para n 5 1, 2, ..., 40, concluímos que o máximo 
de Pn é atingido em n 5 20 ou n 5 21. Portanto m 5 
5 P20 5 P21 5 420
7 (UFRJ) Para quantos números reais x, o número y, onde 
y 5 2x2 1 6x 2 1, é um número pertencente ao conjunto 
N
* 5 {1, 2, 3, 4, ...} ?
Solução:
 Para 15 valores reais da variável x temos y [ N 5 {1, 2, 
3, 4, ...}
 Observando o gráfico da função y 5 2x2 1 6x 2 1, vemos 
que para 15 valores reais da variável x obtemos como ima-
gem um valor y [ N 5 {1, 2, 3, 4 ...}.
 
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
8 (Uerj) As trajetórias A e B de duas partículas lançadas em 
um plano vertical xOy estão representadas abaixo.
 
x
y
B
A
0
 Suas equações são, respectivamente, y
1
2
x 3x25 2 1 e 
y
1
2
x x,25 1 nas quais x e y estão em uma mesma unida-
de u.
 Essas partículas atingem, em um mesmo instante t, o 
ponto mais alto de suas trajetórias. A distância entre 
as partículas, nesse instante t, na mesma unidade u, 
equivale a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 20
Solução:
 
y
1
2
x 3x;25 2 1
 
x
b
2a
3
2
1
2
3
v
5 2 5
2
2
5




 
y
1
2
3 3 3
9
2
v
2
5 2 1 ? 5
 
y
1
2
x x25 2 1
 
x
b
2a
1
2
1
2
1
v
5 2 5
2
2
5




 
y
1
2
1 1
1
2
v
2
5 2 1 5
 
x
y
B
A
0
4
31
2
d
9
2
1
2
 d 4 2 20 d 20
2 2 2
5 1 5 5→
PH_MP_MAT1_C1.indd 19 12/20/13 11:34 AM
20 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
9 (Uerj) Os gráficos I e II representam as posições S de dois 
corpos em função do tempo t.
t (segundos)
gráfico I
S (metros)
h
t
1
V
1
0
gr‡fico II
t (segundos)
S (metros)
h
2t
1
V
2
0
 No gráfico I, a função horária é definida pela equação S 5 
5 a1t
2 1 b1t e, no gráfico II, por S 5 a2t
2 1 b2t. Admita 
que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas 
traçadas nos gráficos I e II. Assim, a razão a1/a2 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
Solução:
 As funções f(x) 5 a1x
2 1 b1x e g(x) 5 a2x
2 1 b2x podem ser 
escritas, respectivamente, das seguintes formas fatoradas:
 f(x) 5 a1(x 2 0)(x 2 t1) 5 a1x(x 2 t1)
 g(x) 5 a2(x 2 0)(x 2 2t1) 5 a2x(x 2 2t1)
 Repare que:
 f(t1/2) 5 g(t1) 5 h
 a1(t1/2)(t1/2 2 t1) 5 a2(t1)(t1 2 2t1)
 a1(t1/2)(2t1/2) 5 a2(t1)(2t1)
 a1/4 5 a2
 a1/a2 5 4
16 (Uerj) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão 
representadas as funções f(x) 5 4x 2 4 e g(x) 5 2x2 2 12x 1 
1 10.
 
y
A
B
P f(x)
g(x)
C (vŽrtice)
x
 Com base nos dados anteriores, determine:
a) as coordenadas do ponto P.
b) o conjunto-solução da inequação 
g(x)
f(x)
0, f(x) 0, ±
Solução:
a) f(x) 5 g(x)
 2x2 2 12x 1 10 5 4x 2 4
 x2 2 8x 1 7 5 0
 x1 5 1; x2 5 7
 Daí, x 5 7 é a abscissa do ponto P.
 Substituindo em f ou g, teremos y 5 24.
 Logo P (7, 24)
b) 
g(x)
f(x)
0,, quando g e f têm sinais opostos.
 Analisando o gráfico, observa-se que isto ocorre para 
todo x menor que a maior raiz de g(x), excluindo-se a 
menor raiz de g.
 Assim: x , 5 e x Þ 1
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre função do 2o grau no módulo 3.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 1, 2, 3, 5, 10, 11 e 14 
do módulo 3.
aNOtaÇÕeS
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M
at
eM
át
ic
a 
i
21Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
PartE 1
Objetivos
 ◆ Definir módulo de um número real.
 ◆ Definir a função modular e construir seu respectivo gráfico 
analisando domínio e imagem.
 ◆ Estudar as propriedades das equações e inequações mo-
dulares.
Estratégias de aula
Módulo
definição
Sendo x um número real, denominamos módulo ou valor 
absoluto de x (|x|), o número real definido da seguinte forma:
|x|
x, se x 0
x, se x 0
5
>
2 ,{
Podemos dizer que o módulo de um número real é a 
distância, na reta real, entre ele e o número zero. Na prática, 
temos que:
⇒ o módulo de um número positivo ou nulo é o próprio 
número.
⇒ o módulo de um número negativo é seu simétrico.
Ex.:
a) |11| 5 11
b) |27| 5 2(27) 5 7
c) | 0 | 5 0
módulo e raiz de um número real
É muito comum, ao sermos perguntados qual o valor de 
4, darmos como resposta o valor ± 2. Isto é um grande erro, 
pois na verdade a expressão 4 representa a determinação não 
negativa da raiz de 4, ou seja, 4 2.5 Com isso, observe 
esses exemplos:
I. 5 25 52 5 5
II. ( 7) 49 722 5 5
De maneirageral, podemos escrever:
x |x |2 5
Funções envolvendo módulo
definição
Chamamos de função modular ou módulo a função
f: R → R
x → y 5 | x |
Utilizando a definição de módulo, esta função pode ser 
assim representada:
f(x)
x, se x 0
x, se x 0
5
>
2 ,{
Atribuindo valores a x e calculando suas respectivas ima-
gens, podemos construir o gráfico da Função Modular:
x f(x) 5 |x|
22 2
21 1
0 0
1 1
2 2
2
y
x
1
0 1 222 21
Notamos que o gráfico é composto por duas retas, cujas 
equações são y 5 x, para x > 0, e y 5 2x, para x , 0. Como 
elas são simétricas em relação ao eixo Oy, a Função Modular 
é uma função par.
Observações:
 ◆ Imf 5 R
*
1
 ◆ f é par (f(2 x) 5 f(x))
 ◆ f não é injetora (f(2a) 5 f(a))
 ◆ f não é sobrejetora (CDf Þ Imf)
Importante: dado o gráfico de uma função f, podemos ob-
ter o gráfico da função g definida por g(x) 5 |f(x)| conservando 
a parte do gráfico de f que está acima do eixo Ox e tirando o 
simétrico, em relação a este eixo, da parte que está abaixo dele.
y 5 f (x) y 5 |f (x)|
Im(f ) 5 R
4 FUNÇÃO MODULaR
PH_MP_MAT1_C1.indd 21 12/20/13 11:35 AM
22 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Equações e inequações modulares
Propriedades
a) | x | > 0, ∀x [ R
b) | x | 5 0 ↔ x 5 0
c) Se a . 0 então
| x | 5 a ↔ x 5 a ou x 5 2a
d) | x | 5 | y | ↔ x 5 y ou x 5 2y
e) |x | a
a x a, se a 0
x R, se a 0
,
2 , , .
<
↔
∃ ∈



f ) |x | a
x a ou x a, se a 0
x R,
.
, 2 . .
↔
∀ ∈ sse a 0<{
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 (Ibmec-RJ) O gráfico que melhor representa a função real 
expressa por f(x) 5 x 2 | 2 1 x | é:
Solução:
 Vamos estudar | 2 1 x |:
 
|2 x|
2 x, se 2 x 0
2 x, se 2
1 5
1 1 >
2 2 1 x 0,{
 
|2 x|
2 x, se x 2
2 x, se x 2
1 5
1 > 2
2 2 , 2{{
 Então:
 
f(x) x |2 x|
x (2 x), se x 2
5 2 1 5
2 1 > 2
xx ( 2 x), se x 22 2 2 , 2{
 
f(x)
2, se x 2
2x 2, se x 2
5
2 > 2
1 , 2{
 Para x > 2 2 : f(x) 5 22 função constante
 Para x , 2 2 : f(x) 5 2x 1 2, assim f(23) 5 2(23) 1 2 5 
5 24
 Alternativa: E
3 (Estácio) O gráfico que melhor representa a função 
f(x) 5 |x 1 1| 2 | x 2 1| é: 
Solução:
 |x 1|
x 1, se x 1 0
x 1, se x
1 5
1 1 >
2 2 1 11 0,{
 
|x 1|
x 1, se x 1
x 1, se x 1
1 5
1 > 2
2 2 , 2{
 
|x 1|
x 1, se x 1 0
x 1, se x
2 5
2 2 >
2 1 2 11 0,{
 
|x 1|
x 1, se x 1
x 1, se x 1
2 5
2 >
2 1 ,{
 Logo,
21 1
| x 1 1| 2x21 x 1 1 x 1 1
| x21| 2x 1 1 2 x 1 1 x21
| x 1 1| 2 | x21| 22 2x 2
 
f(x) |x 1| |x 1|
2, se x 1
2x,5 1 2 2 5
2 , 2
se 1 x 1
2, se x 1
2 < <
.




 Alternativa: C
8 (UFRJ) Durante o ano de 1997, uma empresa teve seu lucro 
diário L dado pela função
 L(x) 5 50 (| x 2 100 | 1 | x 2 200 |)
 onde x 5 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e L 
é dado em reais. Determine em que dias (x) do ano o lucro 
foi de R$ 10 000,00.
Solução:
 L(x) 5 50 (| x 2 100 | 1 | x 2 200 |) 5 10 000
 Se x > 200, então L(x) 5 50(2x 2 300) 5 10 000 → x 5 250
 Se x < 100, então L(x) 5 50(300 2 2x) 5 10 000 → x 5 50
 Se 100 < x < 200, então L(x) 5 5 000 → não existe x.
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria função modular presente no módulo 4.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 2, 5, 6, 9 e 10 do mó-
dulo 4.
aNOtaÇÕeS
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M
at
eM
át
ic
a 
i
23Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
PartE 1
Objetivos
 ◆ Definir a função exponencial.
 ◆ Explicar o motivo de a base a ser a . 0 e a Þ 1.
 ◆ Construir o gráfico da função.
 ◆ Estudar as equações e inequações exponenciais exem-
plificando.
Estratégias de aula
Definição
Seja a um número real tal que a . 0 e a Þ 1.
Chama-se função exponencial de base a à função f que 
associa a cada real x um único real ax, isto é:
f(x) 5 ax
Como a . 0, qualquer que seja x real, y 5 ax . 0, logo, o 
domínio e o contradomínio da função f são, respectivamente:
Df 5 R
Cf 5 R
*
1
Obs.: Por que a não poderia ser:
I. Negativo (Ex: a 5 23)
f(x) 5 (23)x
f
1
2
( 3)
1
2


 5 2
f
1
2
3



 ∈ +5 2 
*
II. Zero
f(x) 5 0x
f(21) 5 021
f( 1)
1
0
2 5 ∉
+

*
III. Um
f(x) 5 1x
f(x) 5 1 (Função Constante)
Gráfico
Ex1: f(x) 5 2
x
x y
22
1
4
21
1
2
0 1
1 2
2 4
Tendência
x y
1~ 1
2~ 0
y
x22 21 1
1
1/2
1/4
4
2
2
f
Ex2: f(x)
1
2
x
5




x y
22 4
21 2
0 1
1
1
2
2
1
4
Tendência
x y
1~ 1
2~ 1~
y
x22 21 1
1
1/2
1/4
4
2
2
Com exemplos acima observamos que:
 I. Imf 5 R
*
1
 5 CDf , logo a função exponencial é sobre-
jetora.
 II. f(0) 5 1, ∀ [ R*
1
 2 {1}
 III. x1 Þ x2 → a
x1 Þ ax2 → f(x) Þ f(x2), logo a função é 
injetora.
 IV. Sendo injetora e sobrejetora, a função exponencial é 
sobrejetora admitindo, desta forma, função inversa.
 V. A função é crescente ou decrescente dependendo do 
valor de a.
a . 1: Crescente 0 , a , 1: Decrescente
y
x
1
y
x
1
5 FUNÇÃO eXPONeNciaL
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24 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Equações exponenciais
a) af(x) 5 ag(x) ⇔ f(x) 5 g(x)
para a [ R*
1
 2 {1}
Ex: 22x 2 15 83 2 x
22x 2 1 5 (23)3 2 x
22x 2 1 5 29 2 3x
2x21 5 9 2 3
x 5 2 S 5 {2}
b) a b
a b ou
f(x) 0
f(x) f(x)
5
5
5
⇔ {
para a e b [ R*
1
 2 {1}
Ex: x 3
x x 1
2 1 21
5
1
a 5 3 ou x2 1 1 5 0
'x [ R
c) f(x) f(x)
g(x) h(x) ou
f(x)g(x) h(x)5
5
5⇔ 00 ou
f(x) 15




Ex: x x
x 6x 11 3
2
2 1
5
x 5 0 ou x 5 1 ou x2 2 6x 1 11 5 3
x2 2 6x 1 8 5 0
x 5 2 ou x 5 4
S 5 {0, 1, 2, 4}
Inequações exponenciais
a) Se a . 1 (função crescente)
y1 . y2 → x1 . x2
a a x x
x x
1 2
1 2
. .→
b) Se 0 , a , 1 (função decrescente)
y1 . y2 → x1 , x2
a x x x
x x
1 2
1 2
. ,→
a a
f(x) g(x) se a 1
f(x)
f(x) g(x)
.
. .
,
⇔
gg(x) se 0 a 1, ,{
Ex : 2 2 2x x 8
1
2x 2x 8
mantém
> > 1
1
 →
S 5 ]8, 1 ∞[
Ex :
1
3
1
9
2
4 x




2
,
1
3
1
3
4 x
4 x 2
inverte







  →
2
, 2 ..
,
2
x 2
S 5 ]2 ∞, 2[
Ex3: 2
2x 2 1 > 1
x2x 2 1 . x0
2x 1 0 se x 1 ou 2x 1 0 se 0 x2 . . 2 , , , 11
x
1
2
se x 1 ou x
1
2
se 0 x. . , , ,
1 244 344
1
x 1 ou 0 x
1
2
1 2444 3444
. , ,
S ]0,
1
2
1, [5 1[ ]∪ ∞
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
2 O gráfico que melhor representa a função f(x) 5 e
22x.
Solução:
 
f(x) e
1
e
, 0
1
e
12x
2
x
2
5 5 , ,
2 







 f(x) é uma função exponencial decrescente.
 Alternativa: B
3 (Fuvest-SP) Das alternativas abaixo, a que melhor corres-
ponde ao gráfico da função f(x) 5 1 2 22|x| é:
a) y
x
21
1
b) y
x
1
c) y
x
1
d) y
x
1
e) y
x
1
2
Solução:
 
|x |
x, se x 0
x, se x 0
5
>
2 ,{
 
f(x) 1 2
1 2 , se x 0
1 2 ,
| x |
x
x5 2 5
2 >
2
2
2
se x 0,



 Para x > 0, f(x) 5 1 2 22x, cujo gráfico por ser representado 
abaixo:
 
y
x
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25Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
at
eM
át
ic
a 
i
 Para x , 0, f(x) 5 1 2 2x, cujo gráfico é o gráfico anterior-
mente refletido no eixo y:
 Assim o gráfico de f(x) pode ser representado abaixo:
 
y
x
1
4 (Fuvest-SP) A equação 2
x 5 23x 1 2, com x real,
a) não tem solução.
b) tem uma única solução entre 0 e 
2
3
.
c) tem uma única solução entre 2
2
3
 e 0.
d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.
e) tem mais de duas soluções.
Solução:
 Vamos construir os gráficos das funções:
 f(x) 5 2x
 g(x) 5 23x 1 2
 
y
x22 21 1
1
1/2
1/4
4
2
2
f
2
3
 Repare que o ponto P é a interseção entre as funções f e 
g. Logo, 0 x
2
3
.p, ,
 Alternativa: B
9 (Unirio-RJ) O valor de x na equação:
 
3 2 3 3
16
27
x 1 x 1 x2 1
1 ? 2 5
Solução:
 
3 3 2 3 3 3
16
27
x 1 x 1 x
? 1 ? ? 2 5
2
 
3
1
3
6 1
16
27
x
1 2 5




 
3
16
3
16
27
x 


 5
 3x 5 3
22 → x 5 22
 Alternativa: E
10 Resolva, no conjunto R dos números reais, a equação ex-
ponencial 9x 1 3x 5 2
Solução:
 9x 1 3x 5 2 → 32x 1 3x 2 2 5 0
 Fazendo y 5 3x, temos:
 y2 1 y 2 2 5 0y1 5 22 → 3
x 5 22 → não tem solução
 y2 5 1 → 3
x 5 1 → x 5 0
 S 5 {0}
17 (Unirio-RJ) Assinale o conjunto solução da inequação
 
1
2
1
4
x 3




2
<
Solução:
 
1
2
1
4
x 3




2
<
 Como a base 0
1
2
1,, , temos: x 2 3 > 2, então x > 5.
 Alternativa: C
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria função exponencial presente no módulo 5.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 1, 5, 6, 11, 13 e 14 do 
módulo 5.
aNOtaÇÕeS
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26 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
PartE 1
Objetivos
 ◆ Definir logaritmo, dando exemplos.
 ◆ Enunciar as propriedades, incluindo mudança de base.
 ◆ Sistema de logaritmos.
 ◆ Equações logarítmicas com exemplos.
Estratégias de aula
Definição
Definimos como logaritmo de um número positivo a na 
base b o expoente da potência de b que representa esse nú-
mero a.
logba 5 x b
x 5 a
Com a . 0, b . 0 e b Þ 1
Ex.:
a) log28 5 3, pois 2
3 5 8
b) log 5 1, pois
1
5
51
5
1
5 2 5
2




c) log8127 5 x
81x 5 27
34x 5 33
4x 5 3
x
3
4
5
Propriedades
a) logb1 5 0
logb1 5 x → b
x 5 1 → x 5 0
b) logbb 5 1
logbb 5 x → b
x 5 b1 → x 5 1
c) logbb
α 5 α
logbb
α 5 x → bα 5 bx → x 5 α
d) blogba 5 a
blogba 5 bx
logba 5 x
bx 5 a
e) logb (p ? q) 5 logbp 1 logbq
log pq x b pq
log p y b p
log q z
b
x
b
y
b
5 5
5 5
5
→
→
→→







 b q
b p q bx2
y z
5
5 ? 5
1
y 1 z 5 x
f ) log
p
q
log p log qb b b




5 2
log p log
p
q
qb b5 ?




log p log
p
q
log qb b b5 1




log p log q log
p
q
b b b2 5




g) logba
α 5 α 3 logba
log a x b a
log a y b a
b
x
b
y
5 5
5 5
→
→



α α
b (b )y x α
b b
y
y x
5
5
? α
x ? α
h) log a
1
log ab bβ
β
5 ?
log a x b a
log a y b a
b
x
b
y
5 5
5 5
→
→


 β
β
b bx y5 ?β
y x
y
1
β
β
5
5 ?? x
i) Mudança de base: log a
log a
log b
b
c
c
5
log a x b a
log a y c a
b c
l
b
x
c
y
x y5 5
5 5
5
→
→



oog b z c b (c ) cc
z z x y
5 5 5→





c czx y5
zx y5
x
y
z
5
6 FUNÇÃO LOGaRÍtMica
PH_MP_MAT1_C1.indd 26 12/20/13 11:35 AM
27Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
j) log a
1
log b
b
a
5
log a
log a
log b
, fazendo c ab
c
c
5 5
log a
log a
log b
b
a
1
a
5
Sistema de logaritmos
O sistema de logaritmos de base b é o conjunto dos lo-
garitmos de todos os reais positivos nessa base b. Os sistemas 
mais usados são:
a) Sistemas de decimal (base 10)
Pelo fato de ser a mais usada, a base 10 pode ser omi-
tida sem confusão.
log 100 5 log10100 5 2
b) Sistema Neperiano (base e)
Também chamado de logaritmo natural, é comumen-
te escrito na forma:
,n x 5 logex
Obs:
e: número de Euler
e II (irracional)
e
∈
1
1
x
2,7183
x
x
5 1lim
→ ∞









 >
x 1
1
x
x
1




1 2
2 2,25
5 2,4883...
10 2,5937...
100 2,7048...
1 000 2,7169...
10 000 2,7181...
100 000 2,7182...
Equações logarítmicas
a) logb f(x) 5 logb g(x)
Restrições Solução
b.0
b Þ 1
f(x) . 0
g(x) . 0
f(x) 5 g(x)
Ex.:
log2 x2 2 3x 5 log2 2x24
Restrições Solução
x 3x 0
2x 4 0
2
2 .
2 .



x . 3
x2 2 3x 5 2x 2 4
x2 2 5x 1 4 5 0
x 5 1 ou x 5 4
S 5 {4}
b) logb f(x) 5 a
Restrições Solução
b . 0
b Þ 1
f(x) . 0
f(x) 5 ba
Ex.:
log22x 2 3 5 7
Restrição: 2x 3 0 x
3
2
2 . .→
Solução: 2x 2 3 5 27
2x23 5 128
2x 5 131
x
131
2
5
S
131
2
5 { }
c) Uso de uma incógnita auxiliar
Ex.:
(log2x)
2 2 4 ? log2 x 1 3 5 0
log2x 5 y → x 5 2
y
y2 2 4y 1 3 5 0
y 5 1 ou y 5 3
x 5 21 x 5 23
x 5 2 x 5 8
S 5 {2, 8}
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 Calcular pela definição os seguintes logaritmos:
a) log
1
8
2
b) log84
c) log0,2532
Solução:
a) log
1
8
x 2 2 x 32
x 3
5 5 5 2
2
→ →
b) log 4 x 8 4 2 2 x
2
3
8
x 3x 2
5 5 5 5→ → →
c) log 32 x (0,25) 32 2 20,25
x 2x 5
5 5 5
2
→ → → xx
5
2
5 2
2 (Uerj) O valor de 4 é:
log 92
a) 81
b) 64
c) 48
d) 36
e) 9
Solução:
 4 2 2 81
log 2 log log2
9
2
9
2
81
5 5 5
 Alternativa: A
PH_MP_MAT1_C1.indd 27 12/20/13 11:35 AM
28 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
6 Determinar os domínios das funções em R:
a) y 5 log (x2 2 4x 1 3)
b) f(x) 5 log(x 2 1) (2x
2 1 2x 1 3)
Solução:
a) y 5 log (x2 2 4x 1 3);
 CE: (x2 2 4x 1 3) . 0 → x , 1 ou x . 3
 S 5 {x [ R | x , 1 ou x . 3}
b) f(x) 5 log(x 2 1) (2x
2 1 2x 1 3).
 CE:
 x 2 1 . 0 → x . 1
 x 2 1 Þ 1 → x Þ 2
 (2x2 1 2x 1 3) . 0 → 21 , x , 3
 Fazendo a interseção dos intervalos:
 1 , x , 3 2 {2}
 S 5 {x [ R | 1 , x , 3 2 (2)}
8 (Uerj) O número, em centenas de indivíduos, de um deter-
minado grupo de animais, x dias após a liberação de um 
predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função:
 
f(x) log (x )
5 5
4
35
 Após cinco dias da liberação do predador, o número de 
indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a:
a) 3
b) 4
c) 300
d) 400
Solução:
 
f(5) log (5 ) log (5 )
4
4
log 5
5 5
4
5
4
53 4
3
5 5 5 ? 35
 Logo, são 3 centenas, ou seja, 300 indivíduos
 Alternativa: C
13 (UFRJ) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo ex-
pressa a variação de log y em função de log x, onde log é 
o logaritmo na base decimal.
 
logy
logx
6
2
2
 Determine uma relação entre x e y que não envolva a fun-
ção logaritmo.
Solução:
 Fazendo:
 X 5 log x
 Y 5 log y
 Temos : Y 5 aX 1 b
 ◆ b 5 2
 ◆ (2,6) [ f(x) : 6 5 2a 1 2 → 4 5 2a → a 5 2
 Logo, Y 5 2X 1 2 ou log y 5 2 log x 1 2 →
 log y 5 log x2 1 log 100
 log y 5 log 100x2 → y 5 100x2
21 (Fuvest-SP) Se x é um número real, x . 2 e log2 (x 2 2) 2 
2 log4x 5 1, então o valor de x é:
a) 4 2 32
b) 4 32
c) 2 2 31
d) 4 2 31
e) 2 4 31
Solução:
 
log (x 2) log x 1 log (x 2)
1
2
2 2
2
22 2 5 2 2→



 →log x 12 5
 
log (x 2) log x 1 log [(x 2)/ x] 12 2 22 2 5 2 5→
 (x 2)/ x 2 (x 2) 2 x x 4x 4 4x
2
2 5 2 5 2 1 5→ →
 x2 2 8x 1 4 5 0 → x 5 4 1 2 3 ou x 5 4 2 2 3 
 (não serve pois x . 2)
 Alternativa: D
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria de logaritmo presente no módulo 6.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 3, 4, 7, 10, 12, 14, 16, 
17 e 24 do módulo 6.
PartE 2
Objetivos
 ◆ Definir função inversa.
 ◆ Gráfico da função inversa comparado com o gráfico da 
função.
 ◆ Definir função logarítmica.
 ◆ Construir o gráfico da função logarítmica sistema de lo-
garitmos.
 ◆ Inequações logarítmicas com exemplos.
 ◆ Logaritmos decimais (opcional).
No módulo, não consta a teoria sobre logaritmos deci-
mais, acrescentamos aqui caso o professor sinta necessidade 
em explorar tal conteúdo.
Estratégias de aula
Função inversa
Dada uma função f : A → B, temos que cada a [ A está 
associado a um valor f(a) [ B, ou seja, a função f é o conjunto 
formado pelos pares da forma (a, f(a)). Denominamos relação 
inversa de f a relação g: B → A formada por todos os pares 
da forma (b, a), onde a [ A, b [ B e b 5 f(a). Em outras 
palavras, os pares ordenados da relação inversa de f são obtidos 
invertendo-se as coordenadas de cada um dos pares da função f.
Ex.:
1
f
A B
2
3
4
5
6
4
g
B A
5
6
1
2
3
g é a relação inversa de f
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29Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
Quando a relação inversa de f for também uma função, ela 
será chamada de função inversa de f. Neste caso, f é dita inver-
sível e sua inversa será representada por f 21. No exemplo a seguir, 
f é inversível, pois sua relação inversa g é uma função.
1
f
A B
2
3
4
5
6
4
g
B A
5
6
1
2
3
f é inversível f é bijetora
Para determinarmos a lei de formação da função inversa 
de uma função f, devemos proceder da seguinte forma:
1o passo: na lei y 5 f(x), devemos substituir x por y e y 
por x.
2o passo: a partir darelação obtida, devemos escrever y 
em função de x, encontrando, então, a lei de formação de f 21.
Exemplo:
Seja f : R 2 {1} → R 2 {2} definida por y f(x)
2x 3
x 1
.5 5
1
2
 
Vamos encontrar a lei de f 21.
1o passo: substituindo x por y e y por x na lei de formação 
de f, temos: x
2y 3
y 1
.5
1
2
2o passo: a partir desta relação, devemos escrever y em 
função de x:
x ? (y 2 1) 5 2y 1 3 ⇒ xy 2 x 5 2y 1 3 ⇒ xy 2 2y 5 
5 x 1 3 ⇒ y ? (x 2 2) 5 x 1 3 ⇒ y f (x)
x 3
x 2
1
5 5
1
2
2
Vamos definir agora como obter o gráfico da inversa de uma 
função f a partir do gráfico de f. Primeiramente, temos que saber 
que os pares (a, b) e (b, a) são representados, em um sistema 
cartesiano ortogonal, por dois pontos simétricos à bissetriz dos 
quadrante ímpares (reta y 5 x), como mostra a figura a seguir:
y
xaO
a
(a, b)
(b, a)
y = x
b
b
Como para cada ponto (a, b) pertence ao gráfico de uma 
função f temos um par (b, a) pertencendo ao gráfico de f21, 
podemos concluir que o gráfico de f21 será o simétrico do 
gráfico de f em relação à reta y 5 x. A figura a seguir ilustra 
um exemplo.
y
x
y 5 x
f21
f
Definição
f : R*
1
 → R
x → f(x) 5 logax
Onde a [ R*
1
 2 {1}
“A função logarítmica é a inversa da função exponencial”. 
Observe:
f(x) a
x a
trocando x por f(x)
x
f (x)1
5
5
2
log x log aa a
f (x)1
5
2
logax 5 f
21 (x)
Gráfico
Usamos o gráfico da função exponencial como base para 
o gráfico da função logarítmica.
1o caso) a . 1
y
x
y 5 ax
y 5 log
a
x
y 5 x
1
1
Função crescente
2o caso) 0 , a , 1
y
x
y 5 ax
1
1
y 5 log
a
x
y 5 x
Função decrescente
PH_MP_MAT1_C1.indd 29 12/20/13 11:35 AM
30 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Inequação logarítmica
1o caso: a . 1 ⇒ Função crescente
loga f(x) . loga g(x) → f(x) . g(x) . 0
mantém o sinal
2o caso: 0 , a , 1 ⇒ Função decrescente
loga f(x) . loga g(x) → 0 , f(x) , g(x)
inverte o sinal
Ex.:
logx (x 1 2) > logx (6 2 x)
Restrições:
x 2 0 x 2
6 x 0 x 6
2 x
1 . . 2
2 . ,
2 , ,} ⇒ 6
x > 2 x > 2
Se x . 1 então x 1 2 > 6 2 x
∩ 2x > 4
0 , x , 1 x < 2
Se 0 , x , 1 então x 1 2 < 6 2 x
∩ 2x < 4
ou
6
Restri•‹o
10
2
Ð2
0 1 6
2
Solu•‹o
Solu•‹o Final
S 5 ]0,1[ ∪ [2, 1 ∞]
Logaritmos decimais
introdução
Passaremos a nos dedicar agora ao estudo dos logaritmos 
decimais, que, por serem bastante utilizados, merecem nossa 
atenção especial.
Inicialmente, recordemos algumas propriedades dos lo-
garitmos de base 10.
a) log 1 5 0
b) log 10 5 1
c) x . 1 ⇒ log x . 0
x , 1 ⇒ log x , 0
d) log 10n 5 n
característica e mantissa
Acompanhe o exemplo a seguir:
Problema: estimar o valor do logaritmo decimal de 73.
10 , 73 , 100
log10 , log 73 , log 100
1 , log 73 , 2
Portanto: log 73 5 1, ... 5 1 1 0,...
Repare que, a princípio, conseguimos calcular somente a 
parte inteira de log 73. É possível determinar, rapidamente, 
a parte inteira de qualquer logaritmo decimal, bastando para 
isso situar o logaritmando entre duas potências consecutivas 
de 10. O logaritmo do número em questão estará compreen-
dido entre os valores dos logaritmos das potências consecutivas 
de 10 que encerram o logaritmando.
A parte inteira do logaritmo decimal de um número é de-
nominada característica (c) e a parte decimal é denominada 
mantissa (m), onde 0 < m , 1. Desta forma, todo logaritmo 
de base 10 pode ser escrito da forma:
log x 5 Característica 1 Mantissa
determinação da característica
No cálculo da característica (c) de um logaritmo decimal, 
consideramos dois casos:
1o caso: log x, para x . 1
c 5 (No de algarismos da parte inteira de x) 2 1
Ex.: log 562,4
Parte inteira de x: 562 (3 algarismos)
⇒ c 5 3 2 15 2
Outros exemplos:
Logaritmo Característica
log 4,9 c 5 1 2 1 5 0
log 45,781 c 5 2 2 1 5 1
log 335 c 5 3 2 1 5 2
log 1324,81 c 5 4 2 1 5 3
2o caso: log x, para 0 , x , 1
c 5 2(No de zeros que antecedem o 1o algarismo não 
nulo de x)
Ex.: log 0,035
1o algarismo não nulo de x → 3
No de zeros que antecedem o algarismo 3: 2 “zeros”
⇒ c 5 22
Outros exemplos:
Logaritmo Característica
log 0,57 c 5 21
log 0,065 c 5 22
log 0,0028 c 5 23
log 0,0003 c 5 24
determinação da mantissa
Os valores da mantissa são obtidos em uma tabela deno-
minada tábua de logaritmos, onde as colunas n referem-se aos 
valores dos logaritmandos e as colunas mantissa aos valores 
das mantissas.
Ex.: calcular, com o auxílio da tábua de logaritmos, o 
valor de log 73.
c 2 1 1
m 0,86332 (valor encontrado
5 2 5
5 nna tabela){
⇒ log 73 5 c 1 m 5 1 1 0,86332 5 1,86332
Calculemos agora, a partir do resultado obtido anterior-
mente, o valor de log 7,3.
PH_MP_MAT1_C1.indd 30 12/20/13 11:35 AM
31Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
log 7,3 5 log (73 ? 1021) 5 log 73 1 log 1021 5 1,86332 2
2(21) 5 0,86332
Note que log 73 e log 7,3, apesar de apresentarem carac-
terísticas diferentes, apresentam a mesma mantissa.
Propriedade: ao multiplicarmos o logaritmando por uma 
potência inteira de 10 a mantissa do logaritmo não se altera.
Note na tábua de logaritmos que, por exemplo, a mantissa 
de log 9 é a mesma de log 90 e de log 900.
forma mista ou forma preparada
Calculemos o valor de log 0,0042.
c 3
m 0,62325 (valor encontrado na tabe
5 2
5 lla para n 42)5{
⇒ log 0,0042 5 c 1 m 5 23 1 0,62325 5 22,37675
Dizemos que 22,37675 é a forma negativa de escrever-
mos o valor log 0,0042.
Também podemos representar esse valor da seguinte forma:
log 0,0042 5 23 1 0,62325 5 3,62325, que é denomi-
nada forma mista ou preparada do log 0,0042.
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 Seja a função de R 2 {22} em R 2 {4} definida por f(x) 5 
5 
4x 3
x 2
.
2
1
Qual é o valor do domínio de f21 com imagem 5?
Solução:
 Como: dom f(x) 5 imagem f21(x)
 Imagem f(x) 5 dom f21(x)
 Achar o valor do domínio de f21 com imagem 5 é o mesmo 
que achar a imagem de f(x) com domínio 5, isto é, f(5) 5 ?
 
f(5)
4 5 3
5 2
17
7
5
? 2
1
5
5 (Unirio-RJ) A função inversa da função bijetora f: R 2 {24} → 
→ R 2 {2} definida por 
2x 3
x 4
é:
2
1
a) f (x)
x 4
2x 3
12
5
1
1
b) f (x)
x 4
2x 3
12
5
2
2
c) f (x)
4x 3
2 x
12
5
1
2
d) f (x)
4x 3
x 2
12
5
1
2
e) f (x)
4x 3
x 2
12
5
1
1
Solução:
 I. Trocar x por y e vice-versa:
 
x
2y 3
y 4
5
2
1
 II. Isolar o valor de y:
 x(y 1 4) 5 2y 2 3
 x ? y 1 4x 5 2y 2 3
 4x 1 3 5 (2 2 x) ? y
 
y
4x 3
2 x
5
1
2
 Alternativa: C
6 Seja f: x → f(x) a função cujo gráfico é
 
y
x
0
 O gráfico que mais bem representa a função inversa f21: 
x → f21(x) é:
a) y
x
0
b) y
x
0
c) y
x
0
d) y
x
0
e) y
x
0
Solução:
 
y
x
f21(x)
 Alternativa: E
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32 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
7 (UFF-RJ)
 
Q(22, x)
P(9, 2)
 A figura acima representa os gráficos de duas funções: 
uma exponencial e uma logarítmica de mesma base. Sen-
do dado que P (9, 2) e Q (22, x), assinale a alternativa que 
indica o valor de x:
a) 
4
9
b) 
1
3
c) 
2
9
d) 
1
9
e) 
1
18
Solução:
 Seja f(x) 5 ax e g(x) 5 logax, com a . 0 e a Þ 1.
 Percebe-se que, Q [ f(x) e P [ g(x). Assim:
 g(9) 5 2 → g(9) 5 loga9 5 2 → a
2 5 9 → a 5 3
 
f( 2) x f( 2) a x 3 x x
1
9
2 2
2 5 2 5 5 5 5
2 2
→ → →
 Alternativa: D
12 (UFRJ) A figura a seguir mostra os gráficos das funções f 
e g, definidas no intervalo ]0, 4] por f(x)
x
2
l n5 2 3 e 
g(x)
x
2
(l n x) ,25 2 onde In expressa o logaritmo na base 
neperiana e (e > 2,7).
y
x
Q 4
N
M
P
 Sejam M e N os pontos de interseção dos dois gráficos e P 
e Q suas respectivas projeções sobre o eixo x. Determine 
a área do trapézio MNQP.
Solução:
 Determinemos os pontos de interseção dos gráficos:
 f(x) 5 g(x) ⇔ ,nx 5 (,nx)2 ⇔ x 5 1 ou x 5 e. Como f(1)
1
2
5 
e f(e)
e
2
1,5 2



 temos: P(1, 0), Q(e, 0), N e,
e
2
12( ) e 
M 1,
x
2
.( ) Portanto a área do trapézio mede:
 
S
1
2
1
2
e
2
1 (e 1)
(e 1)
4
2
5 1 2 ? 2 5
2



17 Seja f(x) 5 log3(3x 1 4) 2 log3(2x 2 1). Os valoresde x para 
os quais f está definida e satisfaz f(x) . 1, são:
a) x
7
3
,
b) 1
2
x,
c) 1
2
x
7
3
, ,
d) 2 ,
4
3
x
e) 2 , ,
4
3
x
1
2
Solução:
 Condição de existência:
 f(x) 5 log3(3x 1 4) 2 log3(2x 2 1)
 ◆ 3x 4 0 x
4
3
1 . , 2→
 ◆ 2x 1 0 x
1
2
2 . .→
 Fazendo a interseção dos intervalos acima:
 CE: x
1
2
.
 f(x) 5 log3(3x 1 4) 2 log3(2x 2 1) . 1
 log
3x 4
2x 1
log 3
3x 4
2x 1
3 3
1
2
.
1
2



 →



 3,. como 2x 2 1 . 0,
 temos:
 
3x 4 3(2x 1) 3x 4 6x 3 3x 7 x1 . 2 1 . 2 ,→ → →
7
3
,
 Logo, 1
2
x
7
3
, ,
 Alternativa: C
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria de função logarítmica presente no mó-
dulo 6.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 8, 9, 10, 13 e 16 do 
módulo 6.
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M
a
te
M
á
ti
c
a
 i
33Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
11 (Uerj) Uma partícula parte do ponto A(2; 0), movimentando-
-se para cima (C) ou para a direita (D), com velocidade de uma 
unidade de comprimento por segundo no plano cartesiano.
 O gráfico abaixo exemplifica uma trajetória dessa partícula, 
durante 11 segundos, que pode ser descrita pela sequência 
de movimentos CDCDCCDDDCC.
x
y
A0
 Admita que a partícula faça outra trajetória composta so-
mente pela sequência de movimentos CDD, que se repete 
durante 5 minutos, partindo de A.
 Determine a equação da reta que passa pela origem O (0,0) 
e pelo último ponto dessa nova trajetória.
Solução:
 5 3 60 5 300 segundos
 300 4 3 5 100 → são 100 movimentos para cima e 200 
para a direita. O último ponto é (202, 100).
 Equação da reta: y 100
202
x
50
101
x5 ? 5 ?
13 (Uerj) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma 
um arco parabólico com base AB 5 8 m e altura central 
OC 5 5,6 m.
y
C
A D B x
 Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o 
vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.
U
E
R
J
PartE 1
Objetivos
 ◆ Rever, através de exercícios, toda a teoria já estudada nos 
módulos anteriores.
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
1 (Unirio-RJ) Considere a função f: R → R definida por
 
f(x)
x, se x 0
x , se 0 x 1
2 , s
2
(x 1)
5
<
< <
2 ee x 1>




a) Faça um esboço do gráfico desta função, destacando 
os pontos A 5 (0, f(0)) e B(1, f(1)).
b) Determine a função inversa f21(x) da função f(x).
Solução:
a) f(x) 5 x, se x < 0, f(0) 5 0, f(21) 5 21
 f(x) 5 x2, se 0 < x < 1, parábola com v(0, 0) concavidade 
para cima.
 f(x) 5 2(x 2 1), se x > 1 f(x) 5 2x ? 1
2
 → exponencial cres-
cente
 f(1) 5 20 5 1
 
y
x
1
1
B
A
b) y 5 x, se x < 0 (função identidade) f(x) 5 f21(x)
 y 5 x2, se 0 < x < 1 → x 5 y2 → y 5 x se 0 < x < 1
 y 5 2(x 2 1), se x > 1 → x 5 2(y 2 1) → y 2 1 5 log2x
 y 5 1 1 log2x, se x > 1
 
f (x)
x, se x 0
x, se 0 x 1
1 log
1
2
2
5
<
< <
1 xx, se x 1>





3 (UFRJ) Considere a função f: R → R definida por 
f(2x) 5 |1 2 x|.
 Determine os valores de x para os quais f(x) 5 2.
Solução:
 Temos que f(2x) 5 | 1 2 x | se, e somente se, f(x) |1
x
2
|.5 2 
Portanto, f(x) 5 2 equivale a |1
x
2
| 2,2 5 isto é :
1 2 x
2
 5 ± 2 → x 5 22 ou x 5 6
7 ReViSÃO
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34 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
 Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 
2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P 
em um determinado ponto do arco parabólico.
 
P
A
2,45m
 Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
Solução:
 y 5 ax2 1 5,6
 16a 1 5,6 5 0 ⇒ a 5 20,35
 y 5 20,35x2 1 5,6 5 2,45
 x 5 3 m
16 (FGV-SP) O menor valor inteiro de k para que a equação 
algébrica 2x(kx 2 4) 2 x2 1 6 5 0 em x não tenha raízes 
reais é
a) 21.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Solução:
 2x(kx 2 4) 2 x2 1 6 5 0 ⇔ x2(2k 2 1) 2 8x 1 6 5 0. Assim 
para que a equação não admita raízes reais, 
 Δ , 0 ⇔ ( 8) 4 (2k 1) 6 0 k
11
6
2
2 2 ? 2 ? , .→ . 
 Portanto o menor valor inteiro que k pode assumir é 2.
27 (UFF-RJ) A figura a seguir exibe o gráfico de uma função y 5 
5 f (x) definida no intervalo [26,16]. O gráfico de f passa 
pelos pontos seguintes: (26, 22), (24, 0), (23, 3), (22, 0), 
(2, 1), (3, 4), (4, 2), (5, 2) e (6, 21). Exceto no intervalo 
[24, 22], o gráfico de f é formado por segmentos de retas.
 
y
x
0
1
2
3
4
5
121
21
22
22
23242526 2 3 4 5 6
a) Calcule f 9
2



 .
b) Determine a imagem de f.
U
E
R
J
c) Quantas soluções distintas possui a equação f(x) 5 1? 
E a equação f(x) 5 2? Justifique as suas respostas.
d) A função f é crescente no conjunto C 5 [24, 2 3] ∪ [2, 3]? 
Justifique a sua resposta.
Solução:
a) Como 9
2
 pertence ao intervalo [4, 5], o gráfico nos mos-
tra que f 9
2
2.



 5
b) Imagem de f 5 [22, 4]
c) A equação f(x) 5 1 tem quatro soluções distintas, pois 
a reta y 5 1 intercepta o gráfico de f em quatro pontos 
diferentes. A equação f(x) 5 2 tem infinitas soluções, 
pois a reta y 5 2 intercepta o gráfico de f em infinitos 
pontos.
d) Não, pois 23 e 2 são elementos de C, 23 , 2 e f(2 3) . 
. f(2).
29 (UFRJ) Um avião tem combustível para voar durante 4 ho-
ras. Na presença de um vento com velocidade v km/h na 
direção e sentido do movimento, a velocidade do avião 
é de (300 1 v) km/h. Se o avião se desloca em sentido 
contrário ao do vento, sua velocidade é de (300 2 v) km/h. 
Suponha que o avião se afaste a uma distância d do ae-
roporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo 
o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade 
do vento é constante e tem a mesma direção que a do 
movimento do avião.
a) Determine d como função de v.
b) Determine para que valor de v a distância d é máxima.
Solução:
a) Saindo do aeroporto, voando na direção e no sentido 
do vento durante t horas e se afastando d Km:
 d 5 (300 1 v) ? t → t 5 d/(300 1 v) (I); (300 1 v . 0) 
Voltando para o aeroporto, voando (4 2 t) horas: d 5 
5 (300 2 v) 3 (42t) → 42t 5 d/(300 2 v) (II); (300 2 v . 0)
 Somando (I) e (II): 4 5 (d/(300 1 v)) 1 (d/(300 1 v)) 
(onde |v| , 300)
 4 5 d ? ((1/(300 1 v)) 1 (1/(300 2 v))) 5 
5 d ? (600/(90 000 2 v2))
 Finalmente: d 5 (1/150) ? (90 000 2 v2).
 Resposta: d 5 (1/150) ? (90 000 2 v2)
b) d é máxima se v 5 0.
 Portanto dmax 5 (1/150) ? 90 000 5 600
 Resposta: 600 Km.
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 2, 6, 9, 10, 22, 31, 32.
PartE 2
Objetivo
 ◆ Rever, através de exercícios, toda a teoria já estudada nas 
módulos anteriores.
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35Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
a
te
M
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ti
c
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 i
eXeRcÍciOS cOMeNtaDOS
6 (UFF-RJ) Dada a função f: R → R definida por f(x) 5 e
4x 2 e2x 2 
2 e2(x 1 1) 1 e2, pode-se afirmar que a soma das abscissas dos 
pontos em que o gráfico de f(x) corta o eixo x é:
a) 0
b) 1
c) e
d) 1 1 e
e) 1 1 e2
Solução:
 As abscissas dos pontos em que o gráfico de f(x) corta o 
eixo x 5 raízes da equação f(x) 5 0
 f(x) 5 e4x 2 e2x 2 e2(x 1 1) 1 e2 5 0
 e4x 2 e2x 2 e2x 1 2 1 e2 5 0
 e4x 2 e2x 2 e2x ? e2 1 e2 5 0
 e4x 2 e2x (1 1 e2) 1 e2 5 0
 Fazendo: e2x 5 y
 y2 2 y ? (1 1 e2) 1 e2 5 0 → y1 5 1 e y2 5 e
2
 y1 5 1 → e
2x 5 e0 → x 5 0
 y2 5 e
2 → e2x 5 e2 → x 5 1
 Soma 5 0 1 1 5 1
 Alternativa: B
9 (UFRJ) Considere a função:
 f: R → R
 x → f(x) 5 ex
a) Qual a imagem de f(x)?
b) Para que valores de x, tem-se f(f(x)) 5 1?
Solução:
a) Como toda função do tipo y 5 ax, a . 0 e a Þ 1, 
Im(f(x)) 5 (0, 1 ∞)
b) f(f(x)) 5 f(ex) 5 1 → ee
x
 5 1 5 e0 → ex 5 0 (impossível)
 S 5 [
44 (UFF-RJ) O valor de log (cotg 10°) 1 log (cotg 80°) é:
a) 0
b) 1
c) −
3
2
d) −
2
2
e) 
3
3
Solução:
 E 5 log(cotg 10°) 1 log(cotg 80°) 5 log(cotg 10°)(cotg 80°) 5 
5 log 1 5 0
 (cotg 10°)(cotg80°) 5 1, uma vez que 10° e 80° são ân-
gulos complementares.
 Alternativa: B
73 (UFF-RJ)
Beremiz e seu mestre Nô-Elim eram apaixonados pela 
rainha das ciências, a Matemática, e toda vez que se reuniam 
para conversar sobre ela, o faziam de modo enigmático. Cer-
ta vez, Beremiz fez a seguinte pergunta ao seu mestre.
— Qual é o número, maior que a unidade, cujo loga-
ritmo decimal da sua raiz quadrada é igual a raiz quadrada 
do seu logaritmo decimal?
— Usando propriedades do logaritmo e um pouco 
mais de sabedoria, você será capaz de responder a sua ques-
tão. – respondeu o mestre.
 Considerando o texto acima, responda:
 Qual é o número procurado por Beremiz?
Solução:
 Denotemos por x o número procurado.
 Interpretando os dados do problema, temos:
 
log x log x, sendo x 15 .
 
1
2
log x (log x) , x 1
1
2? 5 .
 Substituindo y 5 log x, temos:
 
y
2
y y 4y y 0 ou y 4
1
2 2
5 5 5 5→ →
 Como x . 1, temos que y 5 log x . 0.
 Logo y 5 4 → log x 5 4 → x 5 104
85 (Uerj) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a tempe-
ratura T de um corpo colocado num ambiente cuja tem-
peratura é T0 obedece à seguinte relação:
 T 5 T0 1 k e
2ct
 Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo 
medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi 
colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem deter-
minadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente 
a 100 °C, colocada numa sala de temperatura 20 °C. Vinte 
minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40 °C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara 
ter sido colocada na sala.
b) Considerando ,n 2 5 0,7 e ,n 3 5 1,1, estabeleça o 
tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido 
colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à 
metade.
Solução:
a) Substituindo os dados:
 T 20 °C, t(0) 100 °Ce T
1
3
40 °C0 5 5 5



 na relação 
T 5 T0 1 k ? e
2ct, encontraremos:
 
e
1
4
c
3
2
5
 Como queremos T
5
6
,



 basta observarmos que 
5
6
1
3
5
2
.5 ?








 
T
5
6
20 80(e ) 20 80
1
4
c
3
5
2




5 1 5 1 ?
2







5
2
20 80
1
32
22,5 °C
5
5 1 ? 5
b) Pela lei do resfriamento, teremos 50 5 20 1 80e2ct ou 
seja e
3
8
,
ct2
5 como e
1
64
,
c2
5 teremos 
1
64
t
3
8
,



 5 
usando logaritmos:
 
t
3 n2 n3
6 n2
1
2
1,1
4,2
1
2
11
4
5
2
5 2 5 2
, ,
, 22
21 11
42
10
42
5
21
h
5
2
5
5 5
 
t
5
21
60 min 15 min5 3 >
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Tarefa mínima: fazer os exercícios 2, 10, 27, 31, 35, 42, 
45, 71, 74, 75 e 86.
PH_MP_MAT1_C1.indd 35 12/20/13 11:35 AM
PRÉ-VESTIBULAR
EXTENSIVO
manual do Professor
matemÁtica ii
1
autor
Eduardo Quintas da Silva
PH_MP_MAT2_C1.indd 1 12/20/13 11:33 AM
PH_MP_MAT2_C1.indd 2 12/20/13 11:33 AM
manual do Professor 
matemÁtica ii
1
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 
página 7
2
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
página 10
3
ANÁLISE COMBINATÓRIA I
página 14
5
ANÁLISE COMBINATÓRIA III 
página 20
6 BINÔMIOSpágina 24
4
ANÁLISE COMBINATÓRIA II
página 17
7
PROBABILIDADE
página 27
PH_MP_MAT2_C1.indd 3 12/20/13 11:33 AM
4 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professoro Professor
orientaÇÕes Gerais
Cada disciplina do curso Pré-vestibular Extensivo é composta de 30 módulos, que tra-
zem todo o conteúdo necessário para a realização dos principais exames vestibulares do país.
Os módulos foram criteriosamente planejados, para que cada um deles possa ser 
trabalhado pelos professores em uma semana de aula, segundo a grade mínima de 
tempos sugerida abaixo.
Disciplina
3a série
Total de tempos/aulas
Língua Portuguesa I 
(Gramática / Literatura)
3
Língua Portuguesa II (Redação) 2
História 3
Geografia 3
Matemática I 2
Matemática II 3
Física 4
Química 4
Biologia 4
Língua Estrangeira
(Língua Espanhola, Língua Inglesa 
ou Língua Francesa)
2
Total 30
PH_MP_MAT2_C1.indd 4 12/20/13 11:33 AM
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 I
I
5Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
aPresentaÇÃo
A coleção Pré-vestibular Extensivo traz uma solução para os colégios que buscam excelência na 
preparação dos alunos para os mais diversos concursos vestibulares, sem abrir mão da necessária 
formação crítica.
O material trabalha todo o conteúdo do Ensino Médio, destacando os tópicos mais importantes 
para a resolução das provas, com ênfase em exercícios. 
No Manual do Professor, indicamos a melhor forma de abordagem desses conteúdos, sugerimos 
as melhores questões a serem resolvidas em sala e apresentamos uma proposta de quadro, para auxiliar 
os professores na montagem de suas aulas.
Com mais de vinte anos de experiência no preparo de alunos que ocupam vagas nas carreiras mais 
concorridas nas universidades do Rio de Janeiro e do Brasil, construímos um método de ensino bastante 
eficaz, com o cuidado de estar sempre em sintonia com aquilo que acontece no mundo.
Num tempo em que os adolescentes são submetidos a uma variada gama de apelos tecnológicos e 
informativos, oferecemos, com esse material, uma ferramenta importante para estimular os alunos a 
desenvolver o gosto pelo estudo.
Acreditamos também que o trabalho em sala de aula pode (e deve) ser complementado com o 
estudo em casa. É fundamental que os professores recomendem aos alunos a resolução de exercícios 
após as aulas, com a disponibilização de gabarito. 
O crescimento só ocorre quando o aluno percebe o que está errando, revisa o conteúdo necessário e 
aprende a resolver questões da maneira correta. É muito importante não deixar lacunas na preparação 
de nossos formandos.
Oferecemos, portanto, uma preparação completa, disponibilizando a professores e alunos os 
instrumentos necessários para que mais e mais sonhos de aprovação se realizem.
Boas aulas!
PH_MP_MAT2_C1.indd 5 12/20/13 11:33 AM
6 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
introduÇÃo
Sabemos que o principal elemento do processo de ensino-aprendizagem é o aluno. Por isso, as aulas devem ser cuidadosa-
mente preparadas para que os estudantes compreendam o conteúdo e suas utilidades e aplicações no mundo em que vivemos. 
As variáveis de uma sala de aula são muitas, cada turma tem suas particularidades e necessidades, de modo que a metodo-
logia de ensino deve adequar-se à realidade de cada grupo.
Diante disso, esse manual não pretende definir um modelo único de trabalho, mas auxiliar o professor na utilização do 
material de Matemática, apresentando sugestões de dinâmicas de aula, de formas de abordagem de cada conteúdo, de exercí-
cios a serem feitos em sala de aula e como tarefa. Ou seja, dando a orientação necessária para uma completa exploração dos 
módulos.
Esperamos que este manual seja útil ao longo de todo o período letivo.
Bom trabalho!
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7Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
PARTE 1
Objetivos
 ◆ Introduzir o conceito de Progressão Aritmética.
 ◆ Definir os tipos de P.A. (crescente, decrescente e constante).
 ◆ Determinar a expressão do termo geral da sequência.
 ◆ Apresentar as formas de representação de uma P.A.
Estratégias de aula
Através de exemplos simples, devemos fixar a ideia prin-
cipal de que, em uma P.A., a diferença entre os termos é 
constante, que a obtenção de um termo da sequência a partir 
do anterior é feita somando-se sempre o mesmo valor, de-
nominado razão da P.A. Podemos citar, por exemplo, como 
varia a posição de um carro, que se locomove com velocida-
de constante de 60km/h, em função do tempo, em horas, 
mostrando que a diferença entre uma posição e a anterior é 
sempre igual a 60 km.
Km 0 Km 60 Km 120 Km 180 Km 240
t 5 0 t 5 1 t 5 2 t 5 3 t 5 4...
Ao escolher os exemplos de P.A., podemos optar por um 
com razão positiva (crescente), um com razãonegativa (de-
crescente) e um com razão nula (constante), aproveitando 
para trabalhar este tipo de classificação.
Um conceito importante que devemos apresentar é a 
relação entre os valores de dois termos de uma P.A. Como 
o número de “passos” que devemos dar na sequência para, 
partindo de um elemento qualquer a
p
, chegar em outro termo 
a
n
 é igual à diferença entre as posições dos dois termos (n – p), 
e como cada “passo” é dado somando-se a razão (constante) 
ao termo anterior, temos:
a
n
 5 a
p
 1 (n – p) ? r
Fazendo p 5 1, teremos a expressão que define o termo 
geral da P.A.
a
n 
5 a
1 
1 (n 2 1) ? r
Vale observar neste momento que esta expressão permite 
o cálculo do valor de um termo da sequência sem a necessi-
dade de se calcular todos os termos anteriores.
O próximo objetivo é mostrar formas de se representar nú-
meros em Progressão Aritmética, apresentando a mais intuitiva
P.A. (x, x 1 r, x 1 2r, x 1 3r, ...)
e depois a que é formada a partir do centro da sequência:
P.A. de 3 termos (x – r, x, x 1 r) ........................razão 5 r
1 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
P.A. de 4 termos (x 2 3r, x – r, x 1 r, x 1 3r) ..razão 5 2r
P.A. de 5 termos (x 2 2r, x – r, x, x 1 r, x 1 2r) razão 5 r
Neste momento, vale comentar que esta última notação é 
usada principalmente nas situações que envolvem a soma dos 
termos da progressão, pois, ao somarmos as expressões que 
definem os termos, conseguimos representar a soma apenas 
em função de x (que representa o termo central nas sequên-
cias de quantidade ímpar de termos).
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 Dada a progressão aritmética (2, 5, 8, 11, ..., 134), determine:
a) o valor da razão;
b) o valor do 15o termo;
c) a posição do termo cujo valor é 68;
d) o número de termos da sequência.
Solução:
a) r 5 a
2 
2 a
1
 5 5 2 2 5 3
b) a
15
 5 a
1
 1 (15 2 1) ? r 5 2 1 14 ? 3 5 44
c) a
n
 5 68 ⇒ a
1
 1 (n 2 1) ? r 5 68 ⇒ 2 1 (n 2 1) ? 3 5 
5 68 ⇒ 3n 5 69 ⇒ n 5 23 ⇒ 23o termo
d) a quantidade de termos da sequência equivale à posição 
do último termo.
 a
n
 5 134 ⇒ a
1
 1 (n 2 1) ? r 5 134 ⇒ 2 1 (n 2 1) ? 3 5 
5 134 ⇒ 3n 5 135 ⇒ n 5 45 ⇒ 45 termos
2 Em uma progressão aritmética, o 7
o termo vale 14 e o 26o 
vale 109. Determine os valores do 1o termo e da razão 
desta progressão.
Solução:
a
26 
5 a
7 
1 (26 2 7) ? r ⇒ 109 5 14 1 19r ⇒ r 5 5
a
7 
5 a
1 
1 (7 2 1) ? r ⇒ 14 5 a
1 
1 6 ? 5 ⇒ a
1 
5 216
3 (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana 
no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios 
e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o pa-
piro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história.
Fragmento do papiro de Rhind.
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8 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
 Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
 “Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes 
recebidas estejam em progressão aritmética e que um séti-
mo da soma das três partes maiores seja igual à soma das 
duas menores.”
 Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão 
acima a quantidade de:
a) 115
3
pães.
b) 55
6
pães.
c) 20 pães.
d) 
65
6
pães.
e) 35 pães.
Solução:
 P.A. (x 2 2r, x – r, x, x 1 r, x 1 2r)
 Soma 5 100 ⇒ 5x 5 100 ⇒ x 5 20
 1
7
[20 (20 r) (20 2r)] (20 2r) (20 r)1 1 1 1 5 2 1 2
 1
7
(60 3r) 40 3r 24r 220 r
55
6
1 5 2 5 5⇒ ⇒
 Maior parte 5 x 2r 20 2 55
6
115
3
pães1 5 1 ? 5
Gabarito: A
4 (UFRJ) Os ângulos internos de um quadrilátero convexo 
estão em progressão aritmética de razão igual a 20°. 
Determine o valor do maior ângulo desse quadrilátero.
Solução:
 Ângulos (x, x 1 20°, x 1 40°, x 1 60°)
 Soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo:
 S 5 360° ⇒ 4x 1 120° 5 360° ⇒ x 5 60°
 Maior ângulo 5 x 1 60° 5 120°
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre P.A. presente no módulo 1.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 3, 5, 7 e 8 do módulo 1.
PARTE 2
Objetivos
 ◆ Apresentar as seguintes propriedades das Progressões 
Aritméticas:
– Propriedade da Média Aritmética.
– Soma de dois termos equidistantes aos extremos da 
sequência.
 ◆ Propor método para determinação da soma dos termos de 
uma P.A. e apresentação da fórmula utilizada neste cálculo.
 ◆ Determinar o valor e o significado da média aritmética dos 
termos de uma P.A.
Estratégias de aula
Apresentação da 1a propriedade:
De forma geral, se três números a, b e c estão, nesta or-
dem, em progressão aritmética, temos:
b a c b b
a c
2
,2 5 2 5
1
⇒
ou seja, um termo é sempre a média aritmética entre seu 
antecessor e seu sucessor. Daí vem o nome dado a este tipo 
de sequência (progressão aritmética).
Importante concluir neste momento, seja através de 
exemplos, que esta propriedade se aplica na relação entre três 
termos de uma P.A. não necessariamente consecutivos, onde 
um deles é o termo central entre os outros dois:
P.A. (..., a
n 2 k
, ..., a
n
, ..., a
n 1 k
, …)
a
a a
2
n
n k n k
5
1
2 1
Apresentação da 2a propriedade:
Podemos apresentar esta próxima propriedade através da 
análise de um exemplo simples, como o apresentado a seguir:
P.A. (4 , 11 , 18 , 25 , 32 , 39, 46, 53)
Mostramos aos nossos alunos que
a
1 
1 a
8 
5 a
2 
1 a
7 
5 a
3 
1 a
6 
5 a
4 
1 a
5 
5 57,
ou seja, que a soma de dois termos equidistantes aos extremos 
da sequência é igual à soma dos extremos.
Se preferirmos uma demonstração mais formal, podemos 
atingir este resultado da seguinte forma:
P.A. (a
1
, ..., a
1 1 k
, ..., a
n 2 k
, ..., a
n
)
a
1 1 k 
5 a
1 
1 k ? r ......... (1)
a
n 2 k 
5 a
n 
– k ? r ......... (2)
Somando-se as equações (1) e (2), obtemos:
a
1 1 k 
1 a
n 2 k 
5 a
1 
1 k ? r 1 a
n 
2 k ? r 5 a
1 
1 a
n
.
Para abordarmos o próximo objetivo, que trata do cálculo 
da soma dos termos de uma P.A., podemos citar um episódio 
da história da Matemática, onde o matemático Carl Friedrich 
Gauss, com apenas 9 anos, encontrou o valor da soma dos 
naturais de 1 a 100 da seguinte forma:
S 5 1 1 2 1 3 1 ... 1 98 1 99 1 100
S 5 100 1 99 1 98 1 ... 1 3 1 2 1 1
Ao somar as duas equações, ele obteve:
2S 5 101 1 101 1 101 1 ... 1 101 1 101
2S 101 100 S
101 100
2
50505 ? 5
?
5⇒
Gauss aproveitou o fato da soma das parcelas equidistan-
tes aos extremos ser constante (101) para calcular de forma 
simples o valor pretendido. Como esta propriedade é satis-
feita por toda progressão aritmética, este método pode ser 
utilizado para calcular a soma de seus termos.
A partir do resultado obtido por Gauss, podemos levar 
nossos alunos a chegar no seguinte resultado geral:
S
(a a ) n
2
n
1 n
5
1 ?
Para calcularmos a Média Aritmética dos termos de uma 
P.A., basta dividirmos a soma dos termos da sequência pela 
quantidade de termos:
M.A.
S
n
(a a ) n
2
n
a a
2
n
1 n
1 n
5 5
1 ?
5
1
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Desta forma, a média aritmética dos termos de uma P.A. é 
igual à média aritmética de seus extremos. Caso a quantidade 
de termos da sequência seja ímpar, este valor coincide com o 
termo central da mesma.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 Sabendo que a sequência (x 1 1, 3x 1 2, 10 2 2x, ...) é 
uma P.A., determine o valor de x.
Solução:
 Pela propriedade da média aritmética, temos:
 3x 2
(x 1) (10 2x)
2
6x 4 11 x1 5
1 1 2
1 5 2⇒ ⇒ x 5 1
2 Determine o valor da soma dos vinte primeiros termos da 
progressão aritmética (3, 9, 15, 21, ...).
Solução:
 a
20 
5 a
1 
1 19 ? r 5 3 1 19 ? 6 5 117
 S
(a a ) 20
2
(3 117) 20
2
120020
1 20
5
1 ?
5
1 ?
5
3 (PUC-RJ) Temos uma progressão aritmética de 20 termos 
onde o 1o termo é igual a 5. A soma de todos os termos 
dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
Solução:
 5
1 ?
5
1 ?
5S 480
(a a ) 20
2
(5 a ) 20
2
48020
1 20 20
⇒ ⇒
 ⇒ a
20 
5 43 ⇒ 5 1 19 ? r 5 43 ⇒ r 5 2 ⇒
 ⇒a
10 
5 5 1 9 ? r 5 5 1 9 ? 2 5 23
Gabarito: D
4 (UFRJ) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável 
paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de 
castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um 
prisma triangular no qual cada par de cartas que se tocam 
deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-
-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. 
A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis.
 Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. 
Determine o número de cartas que ele vai utilizar.
Solução:
 Contabilizando, em cada nível, as cartas inclinadas mais as 
cartas da base, temos:
 Nível 1: 3 cartas
 Nível 2: 6 cartas
 Nível 3: 9 cartas
 …....
 e assim sucessivamente, constituindo uma P.A. de razão 3.
 a
40 
5 a
1 
1 39 ? r 5 3 1 39 ? 3 5 120
 S
(a a ) 40
2
(3 120) 40
2
246040
1 40
5
1 ?
5
1 ?
5
 Como no 40o nível não existem as cartas da base (40 cartas), 
temos:
N 5 S
40
 2 40 5 2 420 cartas
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre P.A. presente no módulo 1.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 10, 11, 14 e 19 do módulo 1.
ANOTAÇÕES
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PARTE 1
Objetivos
 ◆ Introduzir o conceito de Progressão Geométrica.
 ◆ Definir os tipos de P.G. (crescente, decrescente, alternante 
e constante).
 ◆ Determinar a expressão do termo geral da sequência.
 ◆ Apresentar as formas de representação de uma P.G.
 ◆ Apresentar as seguintes propriedades de uma P.G.:
– Propriedade da Média Geométrica.
– Produto de dois termos equidistantes aos extremos.
Estratégias de aula
Através de exemplos simples, devemos fixar a ideia principal 
de que, em uma P.G., a razão entre dois termos consecutivos é 
constante, que a obtenção de um termo da sequência a partir 
do anterior é feita multiplicando-o sempre pelo mesmo fator, 
denominado razão da P.G. Podemos citar, por exemplo, como 
aumenta o valor de um capital aplicado em um investimento 
com uma taxa fixa de 1% ao mês. Com este aumento percentual, 
a cada mês o montante da aplicação cresce 1% de seu valor atual:
x 1 0,01 x 5 1,01x
ou seja, é multiplicado pelo fator 1,01. Desta forma, su-
pondo um capital inicial (C) de R$ 1 000,00, temos:
M
t 
5 Montante após t meses
C 5 R$ 1 000,00
M
1 
5 1 000 ? 1,01 5 R$ 1 010,00
M
2 
5 1 010 ? 1,01 5 R$ 1 020,10
M
3 
5 1 020,10 ? 1,01 5 R$ 1 030,301
de forma que a sequência formada pelos montantes é tal que 
a razão entre dois valores consecutivos é sempre igual a 1,01, 
constituindo, então, uma progressão geométrica de razão 1,01.
Ao escolher os exemplos de P.G., podemos optar por um 
com razão maior que 1 e primeiro termo positivo (crescente), um 
com razão entre 0 e 1 e primeiro termo positivo (decrescente), 
um com razão negativa (alternante) e outro com razão igual a 1 
(constante), aproveitando para trabalhar este tipo de classificação.
Um conceito importante que devemos apresentar é a 
relação entre os valores de dois termos de uma P.G. Como 
o número de “passos” que devemos dar na sequência para, 
partindo de um elemento qualquer a
p
, chegar em outro termo 
a
n
 é igual à diferença entre as posições dos dois termos (n – p), 
e como cada “passo” é dado multiplicando o termo anterior 
pela razão (constante), temos:
a
n
 5 a
p
 . qn 2 p
Fazendo p 5 1, teremos a expressão que define o termo 
geral da P.G.
a
n
 5 a
1
 ? qn 2 1
Vale observar neste momento que esta expressão permite 
o cálculo do valor de um termo da sequência sem a necessi-
dade de se calcular todos os termos anteriores.
O próximo objetivo é mostrar formas de se representar nú-
meros em Progressão Geométrica, apresentando a mais intuitiva
P.G. (x, x ? q, x ? q2, x ? q3, ...)
e depois a que é formada a partir do centro da sequência:
P.G. de 3 termos
x
q
, x, x q ................?




...... raz‹o q
P.G. de 4 termos
x
q
,
x
q
, x q, x q
3
3
5
? ?




........... raz‹o q
P.G. de 5 termos
x
q
,
x
q
2
2
5
,, x, x q, x q ........ raz‹o q2? ? 5




Neste momento, vale comentar que esta última notação 
é usada principalmente nas situações que envolvem o pro-
duto dos termos da progressão, pois, ao multiplicarmos as 
expressões que definem os termos, conseguimos representar 
o produto apenas em função de x (que representa o termo 
central nas sequências de quantidade ímpar de termos).
Apresentação da 1a propriedade:
De forma geral, se três números a, b e c estão, nesta or-
dem, em progressão geométrica, temos:
b
a
c
b
5 5 b a c2 5 ? , 
ou seja, o quadrado de um termo é sempre igual ao produto 
de seu antecessor e seu sucessor. Desta propriedade, podemos 
concluir que
|b| a c5 ?
de forma que o módulo de um termo é sempre a média geomé-
trica entre seu antecessor e seu sucessor. Daí vem o nome dado 
a este tipo de sequência (progressão geométrica).
Importante concluir neste momento, seja através de 
exemplos, que esta propriedade se aplica na relação entre três 
termos de uma P.G. não necessariamente consecutivos, onde 
um deles é o termo central entre os outros dois:
P.G.(..., a
n 2 k
, ..., a
n 
, ..., a
n 1 k
, …)
(a
n
)2 5 a
n 2 k
 ? a
n 1 k
Apresentação da 2a propriedade:
Podemos apresentar esta próxima propriedade através da 
análise de um exemplo simples, como o apresentado a seguir:
P.G. ( 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384)
Mostramos aos nossos alunos que
a
1
 ? a
8 
5 a
2
 ? a
7 
5 a
3
 ? a
6
 5 a
4
 ? a
5
 5 1 152,
ou seja, que o produto de dois termos equidistantes aos extre-
mos da sequência é igual ao produto dos extremos.
2 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
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Se preferirmos uma demonstração mais formal, podemos 
atingir este resultado da seguinte forma:
P.G. (a
1
, ..., a
1 1 k
, ..., a
n 2 k
, ..., a
n
)
a
1 1 k
 5 a
1
 ? qk ........ (1)
a
a
q
........ (2)n k
n
k2
5
Multiplicando-se as equações (1) e (2), obtemos:
a a a q
a
q
a a .1 k n k 1
k n
k 1 n1 2
? 5 ? ? 5 ?
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 Dada a progressão geométrica (3, 26, 12, 224, ..., 12 288), 
determine:
a) o valor da razão;
b) o valor do 10o termo;
c) o número de termos da sequência.
Solução:
a) q
a
a
6
3
22
1
5 5
2
52
b) a
10
 5 a
1
 ? q(10 2 1) 5 3 ? (22)9 5 21 536
c) a quantidade de termos da sequência equivale à posição 
do último termo.
 a
n
 5 12 288 ⇒ a
1
 . q(n 2 1) 5 12 288 ⇒
 ⇒ 3 ? (22)n 2 1 5 12 288 5 3 ? 4 096 5 3 ? 212 ⇒
 ⇒ n 2 1 5 12 ⇒ n 5 13 ⇒ 13 termos
2 Em uma progressão geométrica, o 4
o termo vale 48 e o 
7o vale 162. Determine os valores do 1o termo e da razão 
desta progressão.
Solução:
5 ? 5 ? 5 5a a q 162 48 q q
162
48
27
8
7 4
3 3 3
⇒ ⇒ ⇒
 
5q
3
2
a a q 48 a
27
8
4 1
3
1 15 ? 5 ?⇒ ⇒
 
a
128
9
1 1 5
3 (Uerj) Para analisar o crescimento de uma bactéria, foram 
inoculadas 1 3 103 células a um determinado volume de 
meio de cultura apropriado. Em seguida, durante 10 horas, 
em intervalos de 1 hora, era medido o número total de 
bactérias nessa cultura. Os resultados da pesquisa estão 
mostrados no gráfico abaixo.
2,43 3 105
número de
células
tempo
(horas)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 Nesse gráfico, o tempo 0 corresponde ao momento do 
inóculo bacteriano. Observe que a quantidade de bacté-
rias presentes no meio, medida a cada hora, segue uma 
progressão geométrica até 5 horas, inclusive.
 O número de bactérias encontrado no meio de cultura 3 
horas após o inóculo, expresso em milhares, é igual a:
a) 16
b) 27
c) 64
d) 105
Solução:
 t 5 0: a
1
 5 1 ? 103
 t 5 5: a
6
 5 2,43 ? 105
 a
6 
5 a
1
 ? q
5
 ⇒ 2,43 ? 105 5 1 ? 103 ? q5 ⇒ q5 5 243 ⇒ q 5 3
 t 5 3: a
4
 5 a
1
 ? q3 5 1 ? 103 ? 33 5 27 000 5 27 milhares
Gabarito: B
4 (Uerj) Um veículo com velocidade constante de V km/h 
percorreS km em um intervalo de tempo de T horas, sendo 
T diferente de 1. Considere que T, V e S estejam em pro-
gressão geométrica, nessa ordem. A alternativa que indica 
a relação entre o espaço percorrido S e a velocidade V é:
a) S 5 V3
b) S V25
c) S V5
d) S V3 5
Solução:
 P.G. (T, V, S) ⇒ V2 5 T ? S
 Como V
S
T
, temos T
S
V
.5 5
 
5 ? 5 5V
S
V
S S V S
2 2 3
⇒ ⇒ ⇒
 
5 5V S V
3
Gabarito: D
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre P.G. presente no módulo 2.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 1, 5, 8 e 17 do módulo 2.
PARTE 2
Objetivos
 ◆ Determinar uma expressão para o cálculo da soma dos ter-
mos de uma Progressão Geométrica.
 ◆ Definir o conceito de limite da soma dos termos de uma 
P.G. quando o número de termos tende ao infinito.
Estratégias de aula
Para tratarmos do cálculo da soma dos termos de uma 
progressão geométrica, podemos começar mostrando uma 
curiosidade sobre a sequência formada pelas potências de 2.
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...)
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12 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Nela, a soma dos n primeiros termos é sempre uma uni-
dade menor que o termo seguinte à última parcela:
1 5 2 2 1
1 1 2 5 4 2 1
1 1 2 1 4 5 8 2 1
1 1 2 1 4 1 8 5 16 2 1
........
Esta propriedade pode ser demonstrada com o auxílio de 
uma expressão que calcula a soma dos termos de uma progressão 
geométrica. Esta expressão pode ser obtida da seguinte forma:
P.G. (a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
, ...)
S
n 
5 a
1 
1 a
2 
1 a
3 
1 ... 1 a
n 2 1 
1 a
n 
....... (1)
q ? S
n 
5 a
1
 ? q 1 a
2
 ? q 1 a
3
 ? q 1 ... 1 a
n 2 1
 ? q 1 a
n
 ? q
⇒ q ? S
n 
5 a
2 
1 a
3 
1 a
4 
1 ... 1 a
n 
1 a
n 1 1 
....... (2)
Fazendo (2) – (1), temos:
? 2 5 2
1
⇒q S S a a Sn n n 1 1 n
 
5
2
2
1
a S
a a
q 1
1 n
n 1 1
Como as potências de 2 formam uma P.G. de q 5 2 e 
a
1
 5 1, temos
Sn
a 1
2 1
a 1 2 1
n 1
n 1
n
5
2
2
5 2 5 2
1
1
ou seja, a soma das n primeiras potências é uma unidade a 
menos que a potência seguinte.
Importante mostrarmos que a fórmula da soma dos n 
primeiros termos de uma P.G. pode também ser escrita da 
seguinte forma:
5
2
2
5
? 21
⇒Sn
a a
q 1
a q a
q-1
n 1 1 1
n
1
 
5
? 2
2
S
a (q 1)
q 1
n
1
n
O próximo passo é introduzir o conceito de limite da 
soma dos termos de uma P.G., com razão de módulo menor 
que 1, quando o número de termos tende ao infinito. Este 
processo deve ser feito com calma pela dificuldade que alguns 
alunos apresentam de entender a ideia de limite. Podemos 
começar com um exemplo simples:
Um pintor quer pintar um muro de 40 m2 de área (20 m 3 
2 m) e o trabalho vai sendo realizado da seguinte forma:
1o dia: ele pinta uma área de 20 m2 (10 m 3 2 m)
20 m2
2o dia: ele pinta uma área de 10 m2 (5 m 3 2 m)
20 m2 10 m2
3o dia: ele pinta uma área de 5 m2 (2,5 m 3 2 m)
20 m2 10 m2 5 m2
4o dia: ele pinta uma área de 2,5 m2 (1,25 m 3 2 m)
20 m2 10 m2 5 m2
 
 2,5 m2
e assim sucessivamente, pintando, a cada dia, metade da área 
pintada no dia anterior. Teoricamente, neste ritmo, este tra-
balho não acabaria nunca, pois sempre haveria uma parte 
do muro a ser pintada, e a cada dia que passa, a soma das 
áreas pintadas vai se aproximando cada vez mais da área total 
do muro. Desta forma, os alunos percebem que a soma dos 
números 20, 10, 5, 2,5 , ..., vai estar cada vez mais próxima 
de 40, à medida que novas parcelas vão sendo acrescentadas, 
ou seja, esta soma tende a 40. Neste momento, podemos 
apresentar a notação matemática que representa este conceito:
lim S 40,
n
n
→ ∞
5
onde S
n
 representa a soma dos n primeiros termos da 
sequência (20, 10, 5, 2,5, ...), que, no caso, é uma progressão 
geométrica de razão q
1
2
.5
Agora devemos mostrar aos alunos que podemos che-
gar a uma expressão que determine o limite da soma dos 
termos de uma P.G. quando o número de termos tende a 
infinito. Considerando que a razão da P.G. tem módulo 
inferior a 1 (assim como acontece no exemplo do pintor), 
temos que, quando n tende a infinito, q
n
 tende a zero, 
de modo que:
lim S lim
a (q 1)
q 1
a (0 1)
q 1n
n
n
1
n
1
→ ∞ → ∞
5
? 2
2
5
? 2
2
lim S
a
1 qn
n
1
→ ∞
5
2
Voltando ao exemplo, mostramos aos alunos que o 
limite da soma apresentada pode ser calculado pela fór-
mula acima:
lim S
20
1 1
2
40 m (a pintura tende a aca
n
n
2
→ ∞
5
2
5 bbar)
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 Calcular a soma dos 10 primeiros termos da sequência (3, 6, 
12, 24, ...).
Solução:
 P.G.: a
1
 5 3, q 5 2
 5
? 2
2
5
? 2
2
5 ? 2 5S
a (q 1)
q 1
3 (2 1)
2 1
3 (1024 1) 306910
1
10 10
2 Determine o limite da soma dos termos da sequência 
1,
1
3
,
1
9
,
1
27
, ...2 2



 quando o número de parcelas tende 
a infinito.
Solução:
 P.G.: a 1, q
1
3
1 5 52
 lim S
a
1 q
1
1
1
3
3
4n
n
1
→ ∞
5
2
5
2 2
5




3 (Uerj) Um menino propôs a seu pai que lhe desse R$ 1,00 
no dia 1o de dezembro e fosse, a cada dia, dobrando 
o valor da quantia diária, até o dia 24 de dezembro. 
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13Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
AT
EM
ÁT
IC
A 
II
No dia 25 de dezembro, ele daria ao pai, com o dinhei-
ro acumulado, um presente de Natal. O pai aceitou a 
proposta, desde que o filho lhe desse um presente que 
custasse o dobro da quantia que o filho recebesse no dia 
24. Se o acordo entre os dois for firmado, o menino dará 
ao pai um presente com, exatamente, o seguinte valor:
a) metade do que receber.
b) o dobro do que receber.
c) toda a quantia recebida.
d) toda a quantia recebida mais R$ 1,00.
Solução:
 Quantia Total Recebida 5 T 5 1 1 2 1 4 1 8 1 ... 1 a
24
 a
24
 5 a
1
 ? q23 5 1 ? 223 5 223 reais
 T
1 (2 1)
2 1
2 1
24
24
5
? 2
2
5 2
 Valor do Presente 5 V 5 2 ? a
24
 5 2 ? 223 5 224 reais
 V 5 T 1 1
Gabarito: D
4 (UFRJ) A região fractal F, construída a partir de um qua-
drado de lado 1 cm, é constituída por uma infinidade de 
quadrados e construída em uma infinidade de etapas. 
A cada nova etapa consideram-se os quadrados de menor 
lado (L) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-
-se, para cada um destes, três novos quadrados de lado L
3
. 
As três primeiras etapas de construção de F são apresen-
tadas a seguir.
 Etapa 1
1cm
Etapa 2
1cm
Etapa 3
1cm
 Calcule a área de F.
Solução:
 Lados dos quadrados 1, 1
3
,
1
9
,
1
27
, ...




 Áreas dos quadrados 1, 1
9
,
1
81
,
1
729
, ...




 Considerando as quantidades de cada tipo de quadrado, 
temos:
 S 1 1 3 1
9
9
1
81
27
1
729
...5 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1
 
S 1
1
3
1
9
1
27
...
1
1
1
3
3
2
cm
2
5 1 1 1 1 5
2
5
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre P.G. presente no módulo 2.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 12, 14, 16 e 20 do módulo 2.
ANOTAÇÕES
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14 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Objetivo
 ◆ Apresentar o Princípio Fundamental da Contagem.
Estratégias de aula
Esta é a primeira aula sobre Análise Combinatória e será 
usada para apresentarmos aos nossos alunos o Princípio Fun-
damental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, que será 
a base de todo o estudo deste assunto. Podemos começar com 
um exemplo simples:
Marina quer ir da cidade onde mora, São Gabriel, até a 
cidade de Murici, passando primeiro pela cidade de Pitu. Sa-
bendo que existem 3 linhas de ônibus (A, B e C) que levam de 
São Gabriel até Pitu e 4 linhas (D, E, F e G) que levam de Pitu 
até Murici, de quantas maneiras ela pode fazer esta viagem 
de São Gabriel até Murici utilizando estas linhas de ônibus?
Se Mariana optar pela linha A para ir até Pitu, terá 4 op-
ções para ir até Murici. O mesmo acontece caso ela escolha 
B ou C. Desta forma, podemos mostrar o seguinteesquema:
A
D
E
F
G
B
D
E
F
G
C
D
E
F
G
Sendo assim, o número de maneiras diferentes de Marina 
fazer esta viagem é igual a:
N 5 3 ? 4 5 12 maneiras
A partir deste exemplo, podemos enunciar o Princípio 
Fundamental da Contagem:
Se um processo é constituído por n etapas sucessivas e
1
, 
e
2
, e
3
, ..., e
n
, o número de maneiras (M) deste processo ser 
realizado é dado pelo produto
M 5 N(e
1
) ? N(e
2
) ? N(e
3
) ? ... ? N(e
n
),
onde N(e
i
) indica o número de maneiras de realizar a 
etapa e
i
.
Como aplicações deste princípio, podemos citar os cálcu-
los do número de subconjuntos de um conjunto dado e do 
número de divisores naturais de um número natural dado.
a) Dado um conjunto A 5 {a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
}, com n 
elementos, queremos saber quantos subconjuntos 
ele possui. Como cada elemento pode pertencer ou 
não a um subconjunto de A, temos:
 N 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 5 2n subconjuntos,
 dentre os quais estão o conjunto vazio e o próprio 
conjunto A.
b) Considere um número natural
 
x x x x ... x ,
1
e
2
e
3
e
n
e1 2 3 n
5 ? ? ? ?
 onde x
i
 é um número primo e e
i
 é um natural não 
nulo, para todo 1 < i < n. Desta forma, um divisor 
natural de x é um número da forma
 
D x x x ... x ,
1
d
2
d
3
d
n
d1 2 3 n
5 ? ? ? ?
 sendo que
 0 < d
1
 < e
1
 ⇒ (e
1
 1 1) valores possíveis
 0 < d
2
 < e
2
 ⇒ (e
2
 1 1) valores possíveis
 0 < d
3
 < e
3
 ⇒ (e
3
 1 1) valores possíveis
 .......
 0 < d
n
 < e
n
 ⇒ (e
n
 1 1) valores possíveis
 Escolhendo um valor para cada um destes expoen-
tes, temos um total de possibilidades dado por:
 N 5 (e
1
 1 1) ? (e
2
 1 1) ? (e
3
 1 1) ? ... ? (e
n
 1 1),
 que representa o total de divisores naturais de x. Por 
exemplo, o número de divisores naturais de 120 é 
calculado da seguinte forma:
 120 5 23 ? 31 ? 51
 N 5 (3 1 1) ? (1 1 1) ? (1 1 1) 5 16 divisores 
naturais
Podemos apresentar nesta aula o conceito de fatorial de 
um número natural:
n! 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? (n 2 3) ? ... ? 2 ? 1
Exemplo: 5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120
Valem as observações:
a) n! 5 n ? (n 2 1)!
b) 1! 5 1 ; 0! 5 1
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 Para ir a uma festa, Marina abriu seu armário com o obje-
tivo de escolher uma roupa. Separou 3 calças, 4 blusas e 
5 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes Marina 
pode se vestir, sabendo que ela escolherá uma calça, uma 
blusa e um par de sapatos dentre aqueles que ela separou?
3 ANÁLISE COMBINATÓRIA I
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15Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 I
I
Solução:
 1a etapa: escolha da calça ⇒ 3 possibilidades
 2a etapa: escolha da blusa ⇒ 4 possibilidades
 3a etapa: escolha do par de sapatos ⇒ 5 possibilidades
 N 5 3 ? 4 ? 5 5 60 maneiras
2 (Uerj) Ana dispunha de papéis com cores diferentes. Para 
enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e embalou 
30 caixinhas de modo a não usar a mesma cor no papel e 
na fita, em nenhuma das 30 embalagens. A menor quan-
tidade de cores diferentes que ela necessitou utilizar para 
a confecção de todas as embalagens foi igual a:
a) 30
b) 18
c) 6
d) 3
Solução:
 Sendo n o número de cores disponíveis, temos:
 1a etapa: escolha da cor do papel da caixa ⇒ n possibilidades
 2a etapa: escolha da cor da fita ⇒ (n 2 1) possibilidades (a cor 
escolhida na etapa anterior não pode ser usada novamente)
 ⇒ n ? (n 2 1) 5 30 ⇒ n2 2 n 2 30 5 0 ⇒ n 5 6 ou 
n 5 25 (não serve)
 Então, são necessárias 6 cores.
Gabarito: C
3 (UFRJ) Quantos números de 4 algarismos podemos formar 
nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez?
Solução:
 Total de números de 4 algarismos:
 T 5 9 ? 10 ? 10 ? 10 5 9 000 números
 Quantidade de números de 4 algarismos sem o algarismo 2:
 S 5 8 ? 9 ? 9 ? 9 5 5 832 números
 Quantidade de números de 4 algarismos com pelo menos 
um algarismo 2:
 N 5 9 000 2 5 832 5 3 168 números
 Observação: Vale, neste momento, alertar aos alunos que 
muitos problemas de Análise Combinatória têm solução 
facilitada com o processo utilizado no exercício, que é o de 
calcular o total de possibilidades e subtrair dele o número 
de possibilidades que não servem.
4 (UFRJ) A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma 
combinação com 5 algarismos, cada um dos quais podendo 
variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera 
como segredo, mas sabe que atende às condições:
a) se o primeiro algarismo é ímpar, então o último algaris-
mo também é ímpar;
b) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo 
é igual ao primeiro;
c) a soma do segundo e terceiro algarismo é 5.
 Quantas combinações diferentes atendem às condições 
estabelecidas pelo Dr. Z?
Solução:
 Este problema deve ser analisado em dois casos:
 1o caso: Segredo começando com algarismo ímpar
 1a etapa: escolha do 1o algarismo ⇒ 5 possibilidades
 2a etapa: escolha do 5o algarismo ⇒ 5 possibilidades
 3a etapa: escolha do 2o algarismo ⇒ 6 possibilidades (alga-
rismos de 0 a 5)
 4a etapa: escolha do 3o algarismo ⇒ 1 possibilidade (deve 
ser o algarismo cuja soma com o 2o algarismo vale 5)
 5a etapa: escolha do 4o algarismo ⇒ 10 possibilidades
 N
1
 5 5 ? 5 ? 6 ? 1 ? 10 5 1 500 segredos
 2o caso: Segredo começando com algarismo par
 1a etapa: escolha do 1o algarismo ⇒ 5 possibilidades
 2a etapa: escolha do 5o algarismo ⇒ 1 possibilidade (igual 
ao primeiro)
 3a etapa: escolha do 2o algarismo ⇒ 6 possibilidades (alga-
rismos de 0 a 5)
 4a etapa: escolha do 3o algarismo ⇒ 1 possibilidade (deve 
ser o algarismo cuja soma com o 2o algarismo vale 5)
 5a etapa: escolha do 4o algarismo ⇒ 10 possibilidades
 N
1
 5 5 ? 1 ? 6 ? 1 ? 10 5 300 segredos
 N 5 N
1
 1 N
2
 5 1 800 segredos
5 (UFRJ) Um sítio da internet gera uma senha de 6 caracteres 
para cada usuário, alternando letras e algarismos. A senha 
é gerada de acordo com as seguintes regras:
 ◆ não há repetição de caracteres;
 ◆ começa-se sempre por uma letra;
 ◆ o algarismo que segue uma vogal corresponde a um 
número primo;
 ◆ o algarismo que segue uma consoante corresponde a um 
número par.
 Quantas senhas podem ser geradas de forma que as três 
letras sejam A, M e R, em qualquer ordem?
Solução:
 Estrutura da senha:
 Letra Alg Letra Alg Letra Alg
 1o Caso: Algarismo 2 na posição imediatamente à direita 
da letra A.
 1a etapa: escolha da primeira letra ⇒ 3 possibilidades.
 2a etapa: escolha da segunda letra ⇒ 2 possibilidades.
 3a etapa: escolha da terceira letra ⇒ 1 possibilidade.
 4a etapa: escolha do algarismo imediatamente à direita de 
A ⇒ 1 possibilidade (algarismo 2).
 5a etapa: escolha do algarismo imediatamente à direita de 
M ⇒ 4 possibilidades (0, 4, 6 ou 8).
 6a etapa: escolha do algarismo imediatamente à direita de 
R ⇒ 3 possibilidades (algarismos pares diferentes de 2 e 
do algarismo usado na etapa anterior)
 N
1
 5 3 ? 2 ? 1 ? 1 ? 4 ? 3 5 72 senhas.
 2o Caso: Algarismo da posição imediatamente à direita da 
letra A é diferente de 2.
 1a etapa: escolha da primeira letra ⇒ 3 possibilidades.
 2a etapa: escolha da segunda letra ⇒ 2 possibilidades.
 3a etapa: escolha da terceira letra ⇒ 1 possibilidade.
 4a etapa: escolha do algarismo imediatamente à direita de 
A ⇒ 3 possibilidades (3, 5 ou 7).
 5a etapa: escolha do algarismo imediatamente à direita de 
M ⇒ 5 possibilidades (0, 2, 4, 6 ou 8).
 6a etapa: escolha do algarismo imediatamente à direita 
de R ⇒ 4 possibilidades (algarismos pares diferentes do 
algarismo usado na etapa anterior)
 N
1
 5 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 5 ? 4 5 360 senhas
 N 5 N
1
 1 N
2
 5 432 senhas.
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16 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
6 (Uerj) Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na 
coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pi-
nhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta 
abaixo e as tabelas que apresentam os números de dentes 
de cada engrenagem, todos de igual tamanho.engrenagens da coroa no de dentes
1a 49
2a 39
3a 27
 
engrenagens do pistão no de dentes
1a 14
2a 16
3a 18
4a 20
5a 22
6a 24
U
E
R
J
 Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma 
engrenagem da coroa e uma do pinhão. Um dente da 1a 
engrenagem da coroa quebrou. Para que a corrente não 
se desprenda com a bicicleta em movimento, admita que 
a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1a ou à 2a
 
engrenagem do pinhão. Nesse caso, o número máximo de 
marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimen-
tar a bicicleta, é de:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
Solução:
 Total de marchas: T 5 3 ? 6 5 18 marchas
 Marchas que não podem ser usadas:
 N 5 1 ? 4 5 4 marchas (1a eng. da coroa com 3a, 4a, 5a ou 
6a eng. do pinhão)
 Marchas que podem ser utilizadas:
 M 5 18 2 4 5 14 marchas
Gabarito: C
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre o Princípio Fundamental da Conta-
gem presente no módulo 3.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 9, 11, 17, 22, 31, 37, 44 e 46 do 
módulo 3.
ANOTAÇÕES
PH_MP_MAT2_C1.indd 16 12/20/13 11:33 AM
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 I
I
17Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Objetivos
 ◆ Apresentar o conceito de Arranjo Simples.
 ◆ Apresentar o conceito de Permutação Simples.
 ◆ Apresentar o conceito de Combinação Simples.
Estratégias de aula
Nesta aula apresentaremos três importantes conceitos: 
número de arranjos simples, número de permutações simples 
e número de combinações simples. Para trabalharmos estes 
conceitos, vamos considerar um grupo de 5 pessoas (Ana, 
Bruno, Cláudio, Daniela e Eduardo) que participam de uma 
competição de xadrez.
Pergunta 1: Quantas possibilidades existem para os três 
primeiros lugares desta competição?
Para respondermos a esta pergunta, vamos utilizar o Prin-
cípio Fundamental da Contagem.
1a etapa: escolha do 1o colocado ⇒ 5 possibilidades.
2a etapa: escolha do 2o colocado ⇒ 4 possibilidades (não 
pode ser a mesma pessoa escolhida na etapa anterior).
3a etapa: escolha do 3o colocado ⇒ 3 possibilidades (não 
pode ser nenhuma das pessoas escolhidas nas etapas anteriores)
N 5 5 ? 4 ? 3 5 60 possibilidades.
Devemos mostrar aos alunos que a possibilidade
1o – Ana 2o – Bruno 3o – Cláudio
é diferente da possibilidade
1o – Bruno 2o – Cláudio 3o – Ana
mesmo apresentando os mesmos elementos. Desta forma, o 
que queremos calcular nesta situação é o número de sequên-
cias que podem ser formadas com três destas cinco pessoas. 
Estas sequências são denominadas arranjos simples (não 
existe repetição de elementos) destes 5 elementos tomados 3 
a 3. O número de arranjos simples de n elementos tomados 
p a p é representado por A
n, p
 ou Ap
n
. Sendo assim, podemos 
mostrar que
A 5 4 3
5 4 3 2!
2!
5!
2!
5!
(5 3)!
5,3 5 ? ? 5
? ? ?
5 5
2
Concluindo, então, que a expressão que calcula o número 
de arranjos simples de n elementos tomados p a p é:
A
n!
(n p)!
n, p 5
2
Pergunta 2: Quantas possibilidades existem para a clas-
sificação geral desta competição?
De maneira análoga ao problema anterior, temos:
1a etapa: escolha do 1o colocado ⇒ 5 possibilidades.
2a etapa: escolha do 2o colocado ⇒ 4 possibilidades (não 
pode ser a mesma pessoa escolhida na etapa anterior).
3a etapa: escolha do 3o colocado ⇒ 3 possibilidades 
(não pode ser nenhuma das pessoas escolhidas nas etapas 
anteriores).
4a etapa: escolha do 4o colocado ⇒ 2 possibilidades 
(não pode ser nenhuma das pessoas escolhidas nas etapas 
anteriores).
5a etapa: escolha do 5o colocado ⇒ 1 possibilidade (não 
pode ser nenhuma das pessoas escolhidas nas etapas anteriores)
N 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 5! 5 120 possibilidades.
Devemos fazer que o aluno compreenda que o que aca-
bamos de calcular é o número de sequências que podem ser 
formadas pelas cinco pessoas do grupo ou, em outros termos, 
o número de permutações simples destes cinco elementos, 
representado por P
5
.
Em um caso geral, com um grupo de n elementos, mos-
tramos que o número de permutações simples destes n ele-
mentos é dado por:
P
n
 5 n!
Vale alertar aos alunos que este é um caso particular de 
arranjo simples, onde n e p têm valores iguais (P
n
 5 A
n,n
).
Pergunta 3: Três destas cinco pessoas serão responsá-
veis em divulgar este campeonato pela vizinhança do bairro. 
Quantos grupos diferentes podem ser formados para esta tarefa?
Dentre as 60 sequências determinadas na solução do 1o pro-
blema, cada grupo de 6 representa um único grupo possível:
Ana, Bruno, Cl‡udio
Ana, Cl‡udio, Bruno
B
( )
( )
rruno, Ana, Cl‡udio
Bruno, Cl‡udio, Ana
C
( )
( )
ll‡udio, Ana, Bruno
Cl‡udio, Bruno, Ana
( )
( )









(Ana, Bruno, Cl‡udio)
Ana, Bruno, Daniela
Ana, Daniela, Bruno
B
( )
( )
rruno, Ana, Daniela
Bruno, Daniela, Ana
D
( )
( )
aaniela, Ana, Bruno
Daniela, Bruno, Ana
( )
( )









( )Ana, Bruno, Daniela
......
O número de vezes que um mesmo conjunto é contado 
nestas 60 sequências (6) é o número de permutações dos três 
elementos do conjunto, ou seja, P
3
 5 3! 5 6 vezes. Deste 
modo, mostramos aos alunos a necessidade de dividir este to-
tal por 6 para que possamos contar cada grupo uma única vez:
N
5 4 3
3!
10 grupos5
? ?
5
4 ANÁLISE COMBINATÓRIA II
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18 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Estes 10 grupos são as denominadas combinações sim-
ples das cinco pessoas tomadas três a três, cuja quantidade 
é representada por C
5,3
 ou C3
5
. A ideia aqui é a formação de 
subconjuntos, onde a modificação na ordem dos elementos 
não caracteriza uma nova possibilidade. Deste exemplo, temos:
C
5 4 3
3!
5 4 3 2!
3! 2!
5!
3! (5 3)!
5,3 5
? ?
5
? ? ?
?
5
? 2
de onde podemos induzir que o número de combinações 
simples de n elementos tomados p a p é igual a:
C
n!
p! (n p)!
n, p 5
? 2
A utilização ou não das expressões aqui definidas deve ser 
decidida pelo professor, levando em consideração sua própria 
opinião e a resposta de seus alunos a toda esta discussão.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 Quantos números de quatro algarismos distintos podemos 
formar com os algarismos de 1 a 9?
Solução:
 1a etapa: escolha do 1o algarismo ⇒ 9 possibilidades.
 2a etapa: escolha do 2o algarismo ⇒ 8 possibilidades (não 
pode ser o mesmo algarismo escolhido na etapa anterior).
 3a etapa: escolha do 3o algarismo ⇒ 7 possibilidades (não 
pode ser nenhum dos algarismos escolhidos nas etapas 
anteriores).
 4a etapa: escolha do 4o algarismo ⇒ 6 possibilidades (não 
pode ser nenhum dos algarismos escolhidos nas etapas 
anteriores)
 N 5 9 ? 8 ? 7 ? 6 5 3 024 números.
 Observação: Utilizando a fórmula de arranjo, teríamos:
 A
9!
(9 4)!
9!
5!
3024 números9,4 5
2
5 5
2 Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA?
Solução:
 Um anagrama de uma palavra é qualquer sequência que 
pode ser formada usando todas as letras da palavra. No caso 
deste problema, devemos calcular quantas sequências pode-
mos formar com as seis letras da palavra ESCOLA, ou seja, 
quantas permutações simples existem destes seis elementos:
 N 5 P
6
 5 6! 5 720 anagramas
3 Uma equipe de profissionais de uma empresa é constituída 
de 7 homens e 6 mulheres.
a) Quantas comissões de 6 profissionais podem ser forma-
das com este grupo de forma que o número de homens 
seja igual ao de mulheres?
b) Quantas comissões de 3 profissionais podem ser for-
madas com este grupo de forma que todos os seus 
integrantes sejam do mesmo sexo?
Solução:
a) 1a etapa: escolha dos 3 homens:
 N C
7!
3! (7 3)!
7!
3! 4!
7 6 5
3!
351 7,35 5
? 2
5
?
5
? ?
5
 2a etapa: escolha das 3 mulheres:
 N C
6!
3! (6 3)!
6!
3! 3!
6 5 4
3!
202 6,35 5
? 2
5
?
5
? ?
5
 N 5 N
1
 ? N
2
 5 35 ? 20 5 700 comissões
b) Número de comissões formadas por 3 homens:
 N
1
 5 C
7,3
 5 35
 Número de comissões formadas por 3 mulheres:
 N
2
 5 C
6,3
 5 20N 5 N
1
 1 N
2
 5 55 comissões
4 (Enem) Doze times se inscreveram em um torneio de fute-
bol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido 
da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para 
compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo 
A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de aber-
tura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em 
seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. 
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a 
quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura 
podem ser calculadas através de:
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
Solução:
 Para a formação do grupo A, devemos escolher 4 dentre 
os doze times inscritos e o número de grupos de 4 que po-
dem ser formados é dado pelo número de combinações 
simples de 12 elementos tomados 4 a 4.
 O número de possibilidades para o jogo de abertura é igual 
ao número de sequências formadas por 2 dos 4 times do 
grupo A, sendo o jogo A 3 B diferente do jogo B 3 A, 
devido ao fator mando de campo. Desta forma, o total 
de possibilidades para este jogo é dado pelo número de 
arranjos simples de 4 elementos tomados 2 a 2.
Gabarito: A
 Observação: Esta foi a interpretação dada pela banca da pro-
va, mas o enunciado não deixa claro se, no segundo cálculo, 
teríamos que calcular o total de possibilidades para o jogo de 
abertura ou apenas do número de pares de times que disputa-
rão esta partida (que seria calculado com outra combinação).
5 (UFF-RJ) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses 
serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo 
que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre 
juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser for-
mada de modo que o primeiro da fila seja um francês?
Solução:
 Como os franceses devem ficar juntos, podemos consi-
derar como se constituíssem um elemento único, assim 
como os americanos e os ingleses. Segundo as condições 
do enunciado, o “bloco” dos franceses deve ser o primeiro, 
enquanto os outros dois podem mudar de posição entre si. 
Além disso, temos que considerar as possíveis mudanças 
de ordem entre as pessoas dentro de cada “bloco”.
 N 5 2! ? 5! ? 4! ? 3! 5 34 560 maneiras
6 (UFRJ) Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de 
três para concorrer a uma gincana. O número de maneiras 
diferentes de formar as três equipes é menor do que 300?
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19Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
AT
EM
ÁT
IC
A 
II
Solução:
 1a etapa: escolher 3 das 9 pessoas para a formação do 1o 
grupo ⇒ N
1
 5 C
9,3 
5 84.
 2a etapa: escolher 3 das 6 pessoas restantes para a forma-
ção do 2o
 
grupo ⇒ N
2
 5 C
6,3
 5 20.
 As três pessoas restantes formarão o 3o grupo. Ao multi-
plicarmos N
1
 por N
2
, estaremos considerando as seguintes 
distribuições das pessoas pelos grupos:
 (A, B, C) (D, E, F) (G, H, I)
 (A, B, C) (G, H, I) (D, E, F)
 (D, E, F) (A, B, C) (G, H, I)
 (D, E, F) (G, H, I) (A, B, C)
 (G, H, I) (A, B, C) (D, E, F)
 (G, H, I) (D, E, F) (A, B, C)
 que são distribuições idênticas, pois os grupos são os 
mesmos. Desta forma, observamos que cada distribuição 
estará sendo contada 3! 5 6 vezes neste produto, donde 
concluímos que o número de maneiras de formar estes 3 
grupos é igual a:
 N
C C
3!
84 20
6
280maneiras
9,3 6,3
5
?
5
?
5
Gabarito: Sim, o número de maneiras é menor do que 300.
7 (UFRJ) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exem-
plares do livro Combinat—ria Ž f‡cil e 5 exemplares de Com-
binat—ria n‹o Ž dif’cil. Considere que os livros com mesmo 
título sejam indistinguíveis. Determine de quantas maneiras 
diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo 
que dois exemplares de Combinat—ria n‹o Ž dif’cil nunca 
estejam juntos.
Solução:
 Primeiramente, formamos uma sequência com os 11 livros 
Combinat—ria Ž f‡cil. Como estes livros são idênticos, esta 
sequência é única.
 _ D _ D _ D _ D _ D _ D _ D _ D _ D _ D _ D _
 Depois, temos que escolher cinco dentre os doze espaços 
destacados acima para colocarmos os 5 livros Combinat—ria 
n‹o Ž dif’cil. Escolhidos estes espaços, teremos uma única 
maneira de arrumá-los neles, pois os 5 são idênticos.
 N 5 1 ? C
12,5
 ? 1
 N C
12!
5! (12 5)!
12!
5! 7!
12 11 10 9 8
12,55 5
? 2
5
?
5
? ? ? ?
55!
 N 5 792 maneiras
8 (PUC) Um torneio de xadrez, no qual cada jogador joga 
com todos os outros, tem 351 partidas. O número de jo-
gadores disputando é:
a) 22
b) 27
c) 26
d) 19
e) 23
Solução:
 n 5 número de jogadores
 Como cada jogo é disputado por um grupo de dois jogado-
res, o número de jogos é igual ao número de subconjuntos 
de dois jogadores:
 Número de jogos 5 C
n,2
 5 351
 
? 2
5 2 2 5
n!
2! (n 2)!
351 n n 702 02⇒
 ⇒ n 5 27 ou n 5 226 (não serve)
 ⇒ 27 jogadores
Gabarito: B
9 (Uerj) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo se-
mestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exata-
mente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro 
e novembro de 2009, com a condição de que não fossem 
utilizados 4 sábados consecutivos. Para atender às condições 
de reposição das aulas, o número total de conjuntos distin-
tos que podem ser formados contendo 4 sábados é de:
a) 80
b) 96
c) 120
d) 126
Solução:
 Total de grupos de 4 sábados: T 5 C
9,4
 5 126 grupos
 Grupos de 4 sábados consecutivos:
 (s
1
, s
2
, s
3
, s
4
), (s
2
, s
3
, s
4
, s
5
), (s
3
, s
4
, s
5
, s
6
),
 (s
4
, s
5
, s
6
, s
7
), (s
5
, s
6
, s
7
, s
8
) e (s
6
, s
7
, s
8
, s
9
)
 6 grupos de 4 sábados consecutivos
 N 5 126 2 6 5 120 conjuntos
Gabarito: C
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre os conceitos de Arranjo, Combina-
ção e Permutação Simples presentes no módulo 4.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 10, 11, 18, 26, 51, 52, 53 do módulo 4.
ANOTAÇÕES
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20 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Objetivos
 ◆ Apresentar o conceito de Permutação com Repetição.
 ◆ Apresentar o conceito de Permutação Circular.
 ◆ Apresentar método para determinação do número de so-
luções inteiras positivas ou não negativas de uma equação 
linear de coeficientes unitários.
Estratégias de aula
Uma dúvida que logo surge em nossos alunos quando 
apresentamos o conceito de permutação é como proceder 
nos casos em que o conjunto de elementos apresenta repeti-
ção de elementos. Para trabalharmos este assunto, podemos 
considerar o seguinte problema:
Problema 1: Quantos são os anagramas da palavra 
CAMADA?
Este problema consiste em determinar o número de per-
mutações das 6 letras da palavra, de modo que, inicialmente, 
poderíamos entender que o resultado seria 6! 5 720 anagra-
mas. Mas devemos mostrar aos alunos que, neste resultado, 
estamos considerando que todos os elementos são distintos, 
inclusive as três letras “A”, ou seja, como se tivéssemos A
1
, A
2 
e 
A
3
 diferentes. Deste modo, estaremos, dentro destas 720 pos-
sibilidades, contando sequências como as seguintes:
MA
1
CA
2
DA
3
 e MA
1
CA
3
DA
2
,
que representam, na realidade, o mesmo anagrama MACA-
DA. Aliás, este anagrama é contabilizado 3! 5 6 vezes em 
nosso cálculo inicial, nas formas
MA
1
CA
2
DA
3 
, MA
1
CA
3
DA
2 
, MA
2
CA
1
DA
3 
, MA
2
CA
3
DA
1
, 
MA
3
CA
1
DA
2 
e MA
3
CA
2
DA
1
assim como todos os outros anagramas. Sendo assim, con-
cluímos que o número de anagramas da palavra CAMADA 
é dado por
N
6!
3!
720
6
120 anagramas5 5 5
Esta divisão foi feita para desconsiderarmos as possíveis 
mudanças de ordem entre as letras que são iguais, já que 
estas mudanças não alteram o anagrama. Este número pode 
ser representadopor P(3)
6
 , onde 6 indica o total de elementos 
da sequência, e 3, o número de repetições de um dos ele-
mentos. De maneira geral, o número de permutações de n 
elementos com repetição dos elementos e
1
 (que aparece r
1
 
vezes), e
2
 (que aparece r
2
 vezes), ..., e
k 
(que aparece r
k
 vezes) 
é dado por:
P
n!
r ! r ! ... r !
n
(r , r , r , ..., r )
1 2 k
1 2 3 k
5
? ? ?
Vamos tratar agora de situações onde o objetivo é arrumar 
elementos em círculo, como em uma roda de ciranda.
Problema 2: De quantas maneiras diferentes cinco crian-
ças podem se organizar em roda para brincar de ciranda?
O importante neste tipo de situação é o aluno 
compreender que o que diferencia uma roda de outra é o 
posicionamento relativo entre os seus componentes. 
Por exemplo, as arrumações
A
E B
CD
E
D A
BC
são idênticas, pois, para todos os componentes da roda, seus 
vizinhos à esquerda e à direita foram mantidos. Devemos 
mostrar aos alunos que, nas duas organizações acima, par-
tindo de A e seguindo o sentido horário, por exemplo, a 
sequência de pessoas é (A, B, C, D e E).
Já as arrumações
A
E B
CD
A
B E
DC
são distintas, pois o vizinho à direita de A não é o mesmo nas 
duas (na 1a arrumação é E e na 2a é B). Mostre aos alunos que 
as sequências, a partir de A no sentido horário, são diferentes 
(ABCDE na 1a e AEDCB na 2a).
Desta forma, para calcularmos o número de arrumações 
destas cinco crianças em roda, basta tomar uma delas como 
base, A por exemplo, e determinar quantas sequências podem 
ser formadas no sentido horário:
1a etapa: escolha da criança que ficará à esquerda de 
A ⇒ 4 possibilidades.
2a etapa: escolha da criança que ficará à esquerda da criança 
escolhida na etapa anterior ⇒ 3 possibilidades.
3a etapa: escolha da criança que ficará à esquerda da 
criança escolhida na etapa anterior ⇒ 2 possibilidades.
4a etapa: escolha da criança que ficará à esquerda da criança 
escolhida na etapa anterior ⇒ 1 possibilidade.
N 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 4! 5 24 maneiras
5 ANÁLISE COMBINATÓRIA III
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21Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 I
I
A partir deste exemplo, concluímos que o número de 
maneiras de arrumarmos n elementos distintos em círculo, 
que chamamos de número de permutações circulares destes 
elementos, é dado por
PC
n
 5 (n 2 1)!
Vamos abordar agora o assunto referente às equações li-
neares de coeficientes unitários. 
Dada a equação linear
x 1 y 1 z 1 w 5 10,
vamos considerar o problema de calcular o número de solu-
ções inteiras positivas desta equação. Podemos contextualizar 
este processo propondo, por exemplo, determinar de quantas 
formas podemos dividir 10 balas iguais entre quatro crianças 
(Felipe, Gabriel, Helena e Igor) de forma que cada uma receba 
pelo menos uma bala. Neste caso, x é o número de balas recebi-
das por Felipe, y é o número de balas recebidas por Gabriel, z a 
quantidade de balas de Helena e w as de Igor. Representando 
as 10 balas em linha reta, podemos separá-las em 4 grupos 
inserindo, entre elas, 3 barras, como ilustrado abaixo:
• • | • • • | • • • • | • (2, 3, 4, 1)
• | • • • • • | • • | • • (1, 5, 2, 2)
• | • • | • • • • • | • • (1, 2, 5, 2)
Nesta figura, estão representadas três distribuições distin-
tas e o total de possibilidades é igual ao número de maneiras 
de ocupar três dos 9 espaços entre as 10 balas com as barras, 
ou seja, o número de maneiras de escolhermos 3 dentre os 9 
espaços para encaixar as barras:
N C
9!
3! 6!
84 maneiras
9,3
5 5
?
5
Sendo assim, o número de soluções inteiras positivas da 
equação linear dada é igual a 84. Percebendo que o número 
de espaços é uma unidade a menos que o número de balas e 
o número de barras é uma unidade a menos que o número de 
crianças, podemos generalizar este resultado da seguinte forma:
Equação: x
1
 1 x
2
 1 x
3 
1 ... 1 x
n
 5 p
Número de soluções inteiras positivas:
N 5 C
(p 2 1), (n 2 1)
,
onde n, p [ N, com p > n.
Buscando, agora, calcular o número de soluções inteiras 
não negativas da equação x 1 y 1 z 1 w 5 10, propomos 
uma nova situação: e se as 10 balas puderem ser distribuídas 
sem restrições, ou seja, não obrigatoriamente todas as crianças 
devam receber balas?
Neste caso, as barras podem ocupar os espaços inicial e final 
da fila de balas, assim como podem ocupar um mesmo espaço:
| • • • | • • • • • | • • (0, 3, 5, 2)
• • • | • • • • • || • • (3, 5, 0, 2)
Sendo assim, qualquer sequência formada por estes 13 
símbolos (3 barras e 10 balas) representa uma distribuição 
possível, de forma que o total de distribuições é igual ao 
número de permutações destes símbolos:
N P
13!
3! 10!
286 distribuições possí13
(3, 10)
5 5
?
5 vveis,
ou seja, a equação dada admite 286 soluções inteiras não 
negativas. Generalizando, teremos:
Equação: x
1
 1 x
2
 1 x
3
 1 ... 1 x
n
 5 p
Número de soluções inteiras não negativas:
N Pp n 1
(n 1, p)
5
1 2
2 ou N 5 C
(p 1 n 2 1), (n 2 1)
,
onde n, p [ N
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 Considerando a palavra CRATERA, calcule:
a) o total de anagramas;
b) o número de anagramas que começam com consoante;
c) o número de anagramas que não apresentam vogais 
juntas.
Solução:
a) N P
7!
2! 2!
1260 anagramas.7
(2, 2)
5 5
?
5
b) 1a etapa: escolha da consoante inicial ⇒ 4 possibilidades.
 2a etapa: arrumação das 6 letras restantes ⇒ 6! 5 720 
possibilidades.
 Multiplicando estes valores, como se todas as letras 
fossem distintas, e depois dividindo pelos números de 
permutações dos dois “A” e dos dois “R”, teremos:
 N
4 6!
2! 2!
720 anagramas.5
?
?
5
c) Quando queremos formar sequências de forma que de-
terminados elementos não fiquem juntos um do outro, 
podemos proceder da seguinte forma:
 ◆ formamos uma sequência com os demais elementos;
 ◆ depois, inserimos os elementos que devem ficar sepa-
rados entre os que já estão na sequência.
 Neste caso, primeiramente arrumamos as consoantes 
para depois encaixar as vogais entre elas.
 1a etapa: arrumação das consoantes ⇒
 N P
4!
2!
12possibilidades.1 4
(2)
5 5 5
 2a etapa: escolha dos três lugares, dentre cinco dispo-
níveis, onde serão inseridas as vogais:
 — C — R — T — R —
 ⇒N C
5!
3! 2!
10possibilidades.2 5,35 5
?
5
 3a etapa: arrumação das vogais nos espaços escolhidos 
⇒N P
3!
2!
3possibilidades.3 3
(2)
5 5 5
 N 5 12 ? 10 ? 3 5 360 anagramas
2 De quantas maneiras seis crianças, dentre elas Gabriel e 
Marina, podem formar uma roda, de modo que as duas 
crianças citadas estejam juntas?
Solução:
 Como Gabriel e Marina devem ficar juntos, vamos consi-
derá-los como um único elemento da roda. Desta forma, 
devemos calcular o número de permutações circulares de 
5 elementos (4 crianças mais o conjunto Gabriel/Marina), 
levando também em consideração as possíveis mudanças 
de ordem entre Gabriel e Marina:
 N 5 PC
5
 ? 2! 5 4! ? 2! 5 48 maneiras
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22 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
3 (PUC) Pedro mora em um bairro com ruas no sentido 
leste-oeste e avenidas no sentido norte-sul. A casa de 
Pedro está em uma esquina três quadras ao norte e quatro 
quadras a oeste de sua escola (que também fica em uma 
esquina). Pedro vai a pé de sua casa até a escola e gosta 
de variar o caminho, mas sempre usando caminhos de 
comprimento mínimo. Quantos caminhos diferentes ele 
pode fazer?
CASA
ESCOLA
a) 12
b) 21
c) 28
d) 35
e) 42
Solução:
CASA
ESCOLA
 Na figura acima, representamos um exemplo de caminho 
de comprimento mínimo, pois Pedro sempre se movimenta 
no sentido da ESCOLA, ou seja, com movimentos ao SUL 
(S) ou ao LESTE (L). Podemos representar este caminho 
através da sequência de letras:
 L S S L L S L
 Percebemos que os caminhos de comprimento mínimo 
serão constituídos de 7 movimentos, sendo 3 ao SUL e 4 
ao LESTE, de forma que a quantidade de caminhos deste 
tipo é dado pelo número de permutações destas 7 letras:
 N P7!
3! 4!
35 caminhos7
(3, 4)
5 5
?
5
Gabarito: D
4 (UFRJ) Um grupo constituído por 4 mulheres e 4 homens 
deve ocupar as 8 cadeiras dispostas ao redor de uma mesa 
circular. O grupo deve ser acomodado de modo que cada 
homem sente entre duas mulheres. João e Maria estão 
nesse grupo de pessoas; entretanto, por motivos de ordem 
estritamente pessoal, não podem sentar-se lado a lado. 
Duas acomodações das pessoas ao redor da mesa são con-
sideradas diferentes quando pelo menos uma das pessoas 
não tem o mesmo vizinho à direita, nas duas acomodações. 
Determine o número de diferentes acomodações possíveis 
dessas 8 pessoas ao redor da mesa circular.
Solução:
 Para que cada homem sente entre duas mulheres, a roda 
tem que alternar homens e mulheres:
H
H H
H
M M
MM
 Utilizando a estratégia de tomar uma pessoa como refe-
rencial e formar a sequência a partir dela, vamos conside-
rar João como referência e calcular de quantas maneiras 
podemos arrumar as pessoas restantes ao redor da mesa:
João
H H
H
M M
MM
 1a etapa: escolha da mulher que irá sentar à direita de 
João ⇒ 3 possibilidades (não pode ser Maria).
 2a etapa: escolha da mulher que irá sentar à esquerda de 
João ⇒ 2 possibilidades (não pode ser Maria nem a pessoa 
escolhida na etapa anterior).
 3a etapa: arrumação das outras duas mulheres nas duas po-
sições disponíveis para mulheres ⇒ 2 ! 5 2 possibilidades.
 4a etapa: arrumação dos homens nas outras três posições 
disponíveis para homens ⇒ 3! 5 6 possibilidades
 N 5 3 ? 2 ? 2! ? 3! 5 72 acomodações.
5 Uma pirâmide quadrangular regular deve ser pintada, cada 
face com uma cor, tendo disponíveis 6 cores distintas. De 
quantas formas isto pode ser realizado?
Solução:
 1a etapa: escolha das 5 cores que serão utilizadas ⇒ 
⇒ C
6,5
 5 6 possibilidades
 2a etapa: escolha da cor da base ⇒ 5 possibilidades.
 3a etapa: arrumação das 4 cores restantes pelas faces laterais 
(que formam uma “roda” de triângulos congruentes) ⇒ 
⇒ PC
4
 5 3! 5 6 possibilidades.
 N 5 C
6,5
 ? 5 ? PC
4
 5 6 ? 5 ? 6 5 180 maneiras
6 (Unirio-RJ) Uma pessoa quer comprar 6 empadas em uma 
lanchonete. Há empadas de camarão, frango, legumes e 
palmito. Sabendo-se que podem ser compradas de zero a 
seis empadas de cada tipo, de quantas maneiras diferentes 
esta compra pode ser feita?
Solução:
 c 5 número de empadas de camarão
 f 5 número de empadas de frango
 l 5 número de empadas de legumes
 p 5 número de empadas de palmito
 c 1 f 1 I 1 p 5 6 (c, f, I, p [ Z
1
)
PH_MP_MAT2_C1.indd 22 12/20/13 11:33 AM
23Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
AT
EM
ÁT
IC
A 
II
 Para separarmos as seis empadas em quatro grupos (sabo-
res), precisamos inserir três barras junto às seis empadas, 
como ilustrado abaixo:
 • • || • • • • |
 Desta forma, o número de maneiras desta pessoa fazer 
esta compra corresponde ao número de permutações des-
tes 9 símbolos (3 barras e 6 empadas):
N P
9!
3! 6!
84maneiras9
(3, 6)
5 5
?
5
 que representa o número de soluções inteiras não negati-
vas da equação montada inicialmente.
7 Suponha que uma semana antes de iniciar o ano letivo, um 
aluno comprou 12 cadernos idênticos para utilizar nas aulas 
de cada um de seus professores e que sua escrivaninha tem 
3 gavetas. De quantas maneiras diferentes ele pode guardar os 
seus cadernos, sabendo que nenhuma gaveta deve ficar vazia?
Solução:
 x 5 número de cadernos na 1a gaveta
 y 5 número de cadernos na 2a gaveta
 z 5 número de cadernos na 3a gaveta
 x 1 y 1 z 5 12 (x, y, z, [ Z
1
)
 Para dividirmos os 12 cadernos em três grupos (gavetas), 
devemos inserir duas barras nos espaços (são 11 disponí-
veis) entre os 12 cadernos, como ilustrado abaixo:
 • • | • • • • | • • • • • •
 Desta forma, o número de maneiras de distribuir os cader-
nos pelas gavetas corresponde ao número de combinações 
simples dos 11 espaços tomados 2 a 2:
N C
11!
2! 9!
55 maneiras
11,2
5 5
?
5
 que representa o número de soluções inteiras positivas da 
equação montada inicialmente.
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre os conceitos de Permutação Com 
Repetição, Permutação Circular e Estudo das Equações 
Lineares de Coeficientes Unitários presentes no módulo 5.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 3, 4, 5, 6, 11, 15, 18 do módulo 5.
ANOTAÇÕES
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24 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Objetivos
 ◆ Definir números binomiais.
 ◆ Apresentar propriedades dos números binomiais.
 ◆ Apresentar o Triângulo de Pascal e suas propriedades.
 ◆ Apresentar o Desenvolvimento do Binômio de Newton.
 ◆ Estabelecer a expressão do Termo Geral do Binômio de Newton.
Estratégias de aula
O objetivo desta aula é estudarmos o desenvolvimento de 
uma potência da forma (x 1 a)n, onde n é um expoente natural. 
Uma possível estratégia para esta aula é iniciarmos analisando o 
desenvolvimento de (x 1 a)5, determinando, por exemplo, o ter-
mo em x3. Obtemos termos a2 ? x3 sempre que multiplicamos os 
termos “x” de três dos cinco fatores e os termos “a” dos outros dois:
x ? x ? x ? a ? a 5 x3 ? a2
x ? x ? a ? x ? a 5 x3 ? a2
x ? x ? a ? a ? x 5 x3 ? a2
.......
a ? a ? x ? x ? x 5 x3 ? a2
Sendo assim, devemos escolher dois dos cinco fatores 
(x 1 a), dos quais sairão os fatores “a” dos termos acima, 
escolha esta que pode ser feita de C
5,2 
5 10 maneiras, de 
modo que o termo em x3 do desenvolvimento de (x 1 a)5 é 
igual a 10x3 ? a2. Seguindo o mesmo raciocínio para os demais 
termos do desenvolvimento, teremos:
(x 1 a)5 5 C
5,0 
x5 ? a0
 
1 C
5,1 
x4 ? a1
 
1 C
5,2 
x3 ? a2 1 
1 C
5,3 
x2 ? a3 1 C
5,4 
x1 ? a4
 
1 C
5,5 
x0 ? a5
(x 1 a)5
 
5 x5
 
1 5x4a 1 10x3a2 1 10x2a3 1 5xa4 1 a5
Com isso, mostramos que os coeficientes dos termos do 
desenvolvimento de uma potência da forma (x 1 a)n são 
calculados a partir de combinações, por isso as chamaremos 
de Números Binomiais, representados por:
n
p
n!
p!(n p)!




5
2
onde n é denominado numerador e p é denominado classe do 
número binomial, com n e p sendo números naturais, n > p.
A partir daí, podemos apresentar o Triângulo de Pascal e 
suas propriedades principais:
 ◆ Em cada linha, os termos equidistantes dos extremos são 
iguais (pares de binomiais complementares).
 ◆ Somas dos elementos de uma linha é sempre uma potência 
inteira de 2:
n
0
n
1
n
2
...
n
n 1
n















1 1 1 1
2
1
nn
2
n



5
 ◆ Relação de Stifel: 
n
p
n
p 1
n 1
p 1
,












1
1
5
1
1
ou seja, a soma de dois números binomiais consecutivos é 
igual ao binomial imediatamente abaixo do segundo. É im-
portante mostrar que esta propriedade permite calcularmos 
os elementos de uma linha do Triângulo de Pascal a partir 
dos termos da linha anterior.
 ◆ Teorema das Colunas:
n
n
n 1
n
n 2
n
...
n p
n















1
1
1
1
1 1
1





5
1 1
1
n p 1
n 1
,
que determina a soma dos elementos de uma coluna do 
Triângulo de Pascal.
n
n
n 1
n
n 2
n
........












1
1
1
1
1
n p
n
n p 1
n 1
1
5
1 1
1








 ◆ Teorema das Diagonais:
n
0
n 1
1
n 2
2
...
n p
p















1
1
1
1
1 1
1





5
1 1n p 1
p
que determina a soma dos elementos de uma diagonal do 
Triângulo de Pascal.
n
0
n 1
1








1
1
1
n 2
2
1



........
1
1
n p
p
1



5
n p 1
p
1 1



6 BINÔMIOS
PH_MP_MAT2_C1.indd 24 12/20/13 11:33 AM
25Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 I
I
 ◆ A soma alternada dos elementos de uma linha é sempre 
igual a 0 (zero).
n
0
n
1
n
2
n
3
... ( 1
















21 2 1 1 2 ))
n
n
0
n 



5
Após este estudo dos números binomiais, voltamos à 
análise do Desenvolvimento do Binômio de Newton, já en-
caminhado no início da aula, para fazermos a generalização:
(x a)
n
0
x a
n
1
x a
n
2
n n 0 n 1 1
5 ± 12












xx a
n
3
x a ... ( 1)
n
n
x a
n 2 2
n 3 3 n 0
2
2
±
± 1 2







nn
±
Na sequência, definimos a expressão do Termo Geral des-
te desenvolvimento:
T
n
p
x a ,p 1
n p p
1
2
5 ?




considerando que os termos estão ordenados segundo potên-
cias decrescentes de x.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 (PUC) O coeficiente de x
8 no desenvolvimento de 
(x 2 2x2)5 é:
a) 280
b) 210
c) 10
d) 60
e) 80
Solução:
 Termo Geral:
 T
5
p
x ( 2x )
5
p
x ( 2)5 p 2 p 5 p p5 ? ? 2 5 ? ? 22 1








 Termo em x8: 5 1 p 5 8 ⇒ p 5 3
 T
5
3
x ( 2) 80x5 3 3 85 ? ? 2 521




 Coeficiente de x8 5 280
Gabarito: A
2 Qual o termo independente de x no desenvolvimento de 
x
1
x
?
2
9
1




Solução:
 Termo Geral:
 T
9
p
(x )
1
x
9
p
x2 9 p
p
18 3p
5 ? ? 5 ?
2 2











 Termo Independente de x ⇒ Termo em x0:
 18 2 3p 5 0 ⇒ p 5 6
 T
9
6
(x) 84 x 84
18 3 6 0
5 ? 5 ? 5
2 ?



3 (Unificado-RJ) O valor de n na igualdade 
n
p
254 é:
p 1
n 1


∑ 5
5
2
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Solução:
 
n
1
n
2
n
3
...
n
n 1
2
















1 1 1 1
2
5 554
 
n
0
n
1
n
2
...
n
n 1
n















1 1 1 1
2
1
nn
254
n
0
n
n












5 1 1
 2n 5 254 1 1 1 1 5 256 5 28 ⇒ n 5 8
Gabarito: C
4 (Unirio-RJ) Calcule o valor de
 
n
0
n
1
n
2
n
3
...
n
n
















2 1 2 1 1
211
n
n
0








2 5
 onde n é ímpar, justificando sua resposta.
Solução:
 
n
0
n
n
;
n
1
n
n 1
;
n
2


















5 5
2






5
2
n
n 2
; ...
 pois são pares de números binomiais complementares.
 Desta forma, os termos equidistantes aos extremos da soma 
vão se anulando, por serem opostos, até todos serem can-
celados, justificando o valor 0 (zero) da soma.
 Observação: Esta soma alternada de binomiais de um 
mesmo numerador, como mostramos nas propriedades do 
Triângulo de Pascal, sempre tem valor 0, independente 
da paridade de n.
5 (Uerj) Em outra barraca de frutas, as laranjas são arruma-
das em camadas retangulares, obedecendo à seguinte 
disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se so-
bre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-
-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme 
ilustração abaixo.
 Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do Triân-
gulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula Cp
p
 1 Cp
p
 
1 1
 1 
1 Cp
p 1 2
 1 ... 1 Cp
n
 5 Cp
n
 1 
1
 1
1
, na qual n e p são números na-
turais, n > p, e Cp
n
 corresponde ao número de combinações 
simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas 
informações, calcule:
a) a soma C2
2
 1 C2
3
 5 C2
4
 1 ... 1 C2
18
;
b) o número total de laranjas que compõem quinze camadas.
Solução:
a) Utilizando a propriedade dada, temos:
 C C C ... C C
19!
3! 16!
969
2
2
3
2
4
2
18
2
19
3
1 1 1 1 5 5
?
5
b) Primeiramente, notemos que:
 5
? 2
5
? 2
? 2 5 ?C
n!
2! (n 2)!
n (n 1)
2
n (n 1) 2 Cn
2
n
2
⇒
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26 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
 Total de laranjas em 15 camadas:
 T 5 1 ? 2 1 2 ? 3 1 3 ? 4 1 ... 1 15 ? 16
 T 5 2 ? C2
2
 1 2 ? C2
3
 1 2 ? C2
4
 1 ... 1 2 ? C2
16
 T 5 2 ? (C2
2
 1 C2
3
 1 C2
4
 1 ... 1 C2
16
) 5 2 ? C3
17
 T 5 1 360 laranjas
6 (UFRJ)
O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó—óóóóóó óóó—óóóóóóó óóóóóóó
(O vento lá fora)
Álvaro de Campos
 Um capital é aplicado por doze anos e seis meses a juros 
compostos de meio por cento ao mês. Ao final desse 
período, o rendimento acumulado será igual, inferior ou 
superior a 100%?
 Justifique sua resposta.
Solução:
 Com um rendimento de 0,5% ao mês, o capital é multipli-
cado mensalmente pelo fator 1,005, de forma que, após t 
meses, o montante da aplicação será igual a:
 M 5 C ? (1,005)t,
 onde C representa o capital inicial. Assim, após 12 anos 
e seis meses, ou seja, 150 meses, o capital alcançará o 
seguinte valor:
 M 5 C (1,005)150 5 C (1 1 0,005)150
 M 5 C [1 1 C1
150
 ? 0,005 1 C2
150
 ? (0,005)2 1 ... 1 (0,005)150]
 M C [1 150 0,005
150 149
2
(0,005) ... (0,025 ? 1 ? 1
?
? 1 1 005) ]150
 
M C 1
3
4
447
1600
... (0,005) 2 C1505 ? 1 1 1 1 . ?
.






1
44

Gabarito: O rendimento acumulado será superior a 100%.
7 (UFF-RJ) Povos diferentes com escrita e símbolos diferentes 
podem descobrir um mesmo resultado matemático. Por 
exemplo, a figura a seguir ilustra o Triângulo de Yang Yui, 
publicado na China em 1303, que é equivalente ao Triân-
gulo de Pascal, proposto por Blaise Pascal 352 anos depois.
 Na expressão algébrica
 
(x 1) a a x a x ... a x a x100 o 1 2
2
99
99
100
10
1 5 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ?
00
n
n
n 0
100
a x5 ?
5
∑
 o coeficiente a
2 
de x2 é igual a:
a) 2
b) 100
c) 4 950
d) 9 900
e) 2100
Solução:
 Termo Geral: T
100
p
x 1
100
p
xp 100 p p5 ? ? 5 ?2








 Termo em x2: p 5 2
 
T
100
2
x
100 99
2
x 4950 x a 4950
2 2 2 2
5 ? 5
?
? 5 5




⇒
Gabarito: C
Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre os Números Binomiais presentes 
no módulo 6.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 6, 9, 12, 15, 27 do módulo 6.
ANOTAÇÕES
PH_MP_MAT2_C1.indd 26 12/20/13 11:34 AM
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 I
I
27Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Objetivos
 ◆ Introduzir os conceitos de Espaço Amostral e Evento de 
um experimento.
 ◆ Definir o conceito de Probabilidade de um Evento.
 ◆ Apresentar as principais propriedades do cálculo de pro-
babilidades.
 ◆ Definir Probabilidade Condicional e Eventos Independentes.
 ◆ Análise do cálculo das Probabilidades da União e da Inter-
seção de dois Eventos.
Estratégias de aula
Inicialmente, devemos introduzir os conceitos de experi-
mentos aleatórios, espaço amostral de um experimento (con-
junto de resultados possíveis) e de evento de um experimento 
(subconjunto do espaço amostral). Podemos fazer isso atra-
vés de exemplos, como o lançamento de um dado comum. 
Neste caso, o espaço amostral seria o conjunto V 5 {1, 2, 
3, 4, 5, 6} e, dentre seus diversos eventos, poderíamos citar:
Evento A: ocorrência de um número primo ⇒ A 5 {2, 3, 5}
Evento B: ocorrência de um número múltiplo de 3 ⇒ 
⇒ B 5 {3, 6}
Evento C: ocorrência de um número inferior a 7 ⇒ 
⇒ C 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento D: ocorrência de um número múltiplo de 10 ⇒ 
⇒ D 5 ∅
A partir daí, podemos definir probabilidade de ocorrên-
cia de um evento A como um número que pode mensurar o 
grau de facilidade de ocorrência deste evento e que é calcula-
do, em experimentos equiprováveis (todos os resultados pos-
síveis têm a mesma “chance” de ocorrer) da seguinte forma:
P(A)
n(A)
n( )
5
V
Em outras palavras, a probabilidade de ocorrência de 
um evento é dada pela razão entre o número de resultados 
favoráveis à ocorrência do evento e o número de resultados 
possíveis do experimento.
Por exemplo, aproveitando o exemplo do dado, pode-
mos calcular as probabilidades de ocorrência de cada um dos 
eventos citados:
P(A) P (primo)
n(A)
n( )
3
6
1
2
5 5 5 5
V
P(B) P (mœltiplo de 3)
n(B)
n( )
2
6
1
3
5 5 5 5
V
P(C) P (nœmero 7)
n(C)
n( )
6
6
15 , 5 5 5
V
(eventoCERTOO)
P(d) P (mœltiplo de 10)
n(D)
n( )
0
6
0
5 5 5
5 5
V
(evento IMPOSSêVEL)
Vale chamar a atenção dos alunos para o fato de P(A) . P(B) 
significar que é mais “fácil”ocorrer um número primo do que 
um número múltiplo de 3 neste experimento.
A seguir, apresentamos as seguintes propriedades, válidas 
para qualquer experimento:
Sendo V o espaço amostral e A um evento do experimento, 
temos:
1) 0 < P(A) < 1
2) A 5 {a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
}
P(A) 5 P(a
1
) 1 P(a
2
) 1 P(a
3
) 1 ... 1 P(a
n
),
ou seja, podemos calcular a probabilidade de ocor-
rência de um evento através da soma das probabi-
lidades individuais de cada um de seus elementos.
3) V 5 {e
1
, e
2
, e
3
, ..., e
n
}
P(e
1
) 1 P(e
2
) 1 P(e
3
) 1 ... 1 P(e
n
) 5 1,
ou seja, a soma das probabilidades de ocorrência de 
todos os resultados possíveis de um experimento é 
igual a 1.
4) Sendo A o evento complementar de A (V – A), 
temos:
P(A) P(A) 1 P(A) 1 P(A)1 5 5 2⇒
ou seja, podemos calcular a probabilidade de 
ocorrência de um evento subtraindo de 1 a pro-
babilidade deste evento não ocorrer (usamos esta 
propriedade em situações nas quais o cálculo da 
probabilidade do complementar do evento anali-
sado é mais fácil de ser feito).
O próximo passo é definirmos Probabilidade Condicional, 
que pode ser feito a partir da análise de dois problemas:
Problema 1: Um dado comum é lançado. Sabendo que o 
número obtido é primo, qual a probabilidade dele ser ímpar?
Trata-se do cálculo da probabilidade de ocorrência de 
um evento condicionado à ocorrência de outro evento. 
O importante é que nossos alunos entendam que quando 
uma condição é dada (neste caso, o número certamente é 
primo), o conjunto de resultados possíveis fica restringido. 
Em nosso problema, o conjunto de resultados possíveis pas-
sa a ser {2, 3, 5}, dos quais dois (3 e 5) são ímpares. Desta 
forma, temos:
P (’mpar|primo) 2
3
5
(lê-se: “probabilidade de ser ímpar dado que é primo”)
7 PROBABILIDADE
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28 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
No numerador, está o número de elementos que per-
tencem aos dois eventos (números ímpares e primos) e, no 
denominador, o número de elementos do evento dado como 
condição (números primos). Sendo assim, podemos apresen-
tar a fórmula da probabilidade condicional:
P(A |B)
n(A B)
n(B)
n(A B)
n( )
n(B)
n( )
5 5
>
>
V
V
P(A |B)
P(A B)
P(B)
5
>
Desta igualdade, podemos concluir que a probabilidade 
de ocorrência da interseção de dois eventos é dada por:
P(A > B) 5 P(B) ? P(A | B)
ou seja, a probabilidade de ocorrência da interseção de dois 
eventos é o produto da probabilidade de ocorrência de um 
deles pela probabilidade de ocorrência do outro, dado que o 
primeiro já ocorreu. Este conceito de multiplicação de pro-
babilidades será muito utilizado no cálculo de probabilidades.
Problema 2: Um dado comum é lançado. Sabendo que o 
número obtido é múltiplo de 3, qual a probabilidade dele ser par?
Com a condição dada, o conjunto de casos possíveis passa 
a ser {3, 6}, dos quais apenas o número 6 é par.
P(par |mœltiplo de 3) 1
2
5
Neste momento, devemos mostrar aos alunos que, caso a 
condição de ser múltiplo de 3 não fosse dada, a probabilidade 
de ocorrência do evento “ser par” não mudaria:
P(par)
3
6
1
2
5 5
Quando P(A | B) 5 P(A), ou seja, a ocorrência do evento B 
não altera o valor da probabilidade de ocorrência de A, dizemos 
que A e B são EVENTOS INDEPENDENTES. Neste caso, 
a probabilidade de ocorrência do evento A > B será dada por:
P(A > B) 5 P(A) ? P(B)
Vamos tratar agora do cálculo da probabilidade da União 
de Dois Eventos. Dados dois eventos A e B de um experimen-
to com espaço amostral V, temos:
V
A B
Como n(A < B) 5 n(A) 1 n(B) – n(A > B), então:
n(A B)
n( )
n(A) n(B) n(A B)
n( )
< >
V
5
1 2
V
n(A B)
n( )
n(A)
n( )
n(B)
n( )
n(A B)
n( )
< >
V
5
V
1
V
2
V
P(A < B) 5 P(A) 1 P(B) – P(A > B)
Importante, neste momento, alertar aos alunos que 
P(A > B) não está sendo “retirada” por não fazer parte da 
união de A e B, mas por estar sendo contada duas vezes na 
soma de P(A) com P(B). Vale ressaltar que expressões como 
“ocorrência de A ou B” e “ocorrência de pelo menos um dos 
eventos” estão associadas à união dos eventos.
Exemplo: Nas quatro semanas de um determinado mês de 
2011, foram realizados sorteios, um em cada semana, onde 
era escolhido, aleatoriamente, um número de 1 a 10. Caso 
o número sorteado fosse igual ao do bilhete comprado pelo 
apostador, ele ganhava um prêmio.
a) Se Gabriel comprou dois bilhetes, um para o sorteio 
da 1a semana e um para o da 2a semana, qual a pro-
babilidade dele ter ganho pelo menos um prêmio?
Solução:
Ganhar pelo menos um prêmio significa ganhar 
apenas na 1a semana, apenas na 2a semana ou até 
nas duas, ou seja, a probabilidade procurada é igual 
à probabilidade da união dos eventos “ganhar na 1a 
semana” e “ganhar na 2a semana”:
P 5 P(1a < 2a) 5 P(1a) 1 P(2a) – P(1a > 2a)
P(1 ) P(2 )
1
10
a a
5 5
P(1 2 ) P(1 ) P(2 |1 ) P(1 ) P(2 )
1
10
1
1
a a a a a a a
> 5 ? 5 ? 5
5 ?
00
1
100
5
P
1
10
1
10
1
100
19
100
19%5 1 2 5 5
b) Se Marcia comprou quatro bilhetes, um para cada 
semana, qual a probabilidade dela ter ganho pelo 
menos um prêmio?
Resolver este item da mesma forma utilizada na 
situação de Gabriel não é a melhor opção, já que 
trata-se da união de quatro eventos. Devemos mos-
trar aos alunos que a melhor opção é trabalhar com 
o evento complementar. O evento complementar 
de “ganhar pelo menos um prêmio” é “não ganhar 
prêmio algum”, de forma que:
P(ganhar pelo menos um) 5 1 – P(não ganhar nada)
Sendo:
Evento A: não ganhar na 1a semana
Evento B: não ganhar na 2a semana
Evento C: não ganhar na 3a semana
Evento D: não ganhar na 4a semana
P(não ganhar nada) 5 P(A > B > C > D)
Como A, B, C e D são independentes, temos:
P(A > B > C > D) 5 P(A) ? P(B) ? P(C) ? P(D)
P(A B C D)
9
10
9
10
9
10
9
10
6 561
10 000
65,61%> > > 5 ? ? ? 5 5
P 5 100% – 65,61% 5 34,39%
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29Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 I
I
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1 (Vunesp) Um jogo consiste num dispositivo eletrônico na 
forma de um círculo dividido em 10 setores iguais nume-
rados, como mostra a figura.
1
6
39
48
210
57
 Em cada jogada, um único setor do círculo se ilumina. Todos 
os setores com números pares têm a mesma probabilidade 
de ocorrer, o mesmo acontecendo com os setores de nú-
meros ímpares. Além disso, a probabilidade de ocorrer o 
número 3 é o dobro da probabilidade de ocorrer o número 4. 
Denotando por p(i) a probabilidade de, numa jogada, ocorrer 
o número i, determine:
a) p(3) e p(4).
b) A probabilidade de, numa jogada, ocorrer um número 
primo maior ou igual a 2.
Solução:
a) p(2) 5 p(4) 5 p(6) 5 p(8) 5 p(10) 5 x
 p(1) 5 p(3) 5 p(5) 5 p(7) 5 p(9) 5 2x
 p(1) 1 p(2) 1 ... 1 p(10) 5 1
 
15x 1 x
1
15
5 5⇒ ⇒
 
p(3)
2
15
;p(4)
1
15
5 5
b) A 5 {2, 3, 5, 7}
 p(A) 5 p(2) 1 p(3) 1 p(5) 1 p(7)
 
p(A)
1
15
3
2
15
7
15
5 1 ? 5
2 (UFRJ) Dispomos de quatro urnas, cada uma contendo dez 
bolas numeradas de 0 a 9. Sorteando ao acaso uma bola de 
cada urna, formamos um número entre 0 e 9 999. Lembran-
do que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, determi-
ne a probabilidade de o número sorteado ser múltiplo de 8.
Solução:
 Total de números de 0 a 9 999 5 10 000
 Quantidade de múltiplos de 8 neste intervalo:
 
9999 8
7 1249 1250 mœltip1(zero)1 → llos de 8
 Como todos os 10 000 números têm a mesma probabili-
dade de serem sorteados, temos:
 
P
1250
10 000
1
8
5 5
3 (UFRJ) Uma caixa contém bombons de nozes e bombons 
de passas. O número de bombons de nozes é superior 
ao número de bombons de passas em duas unidades. Se 
retirarmos, ao acaso, dois bombons dessa caixa, a proba-
bilidade de que ambos sejam de nozes é 
2
7
.
a) Determine o número total de bombons.
b) Se retirarmos, ao acaso, dois bombons da caixa, deter-
mine a probabilidade de que sejam de sabores distintos.
Solução:
a) Caixa: 
passas: x bombons
nozes: (x 2) bombons1{
 Retirando dois bombons sucessivamente,sem repo-
sição, temos que a probabilidade de retirarmos dois 
bombons de nozes é:
 
P
x 2
2x 2
x 1
2x 1
2
7
x 2
2 (2x 1)
2
7
5
1
1
?
1
1
5
1
? 1
5⇒
 ⇒ x 5 10
 Total de bombons 5 2x 1 2 5 22 bombons
b) Temos dois casos favoráveis a considerar: o primeiro 
retirado ser de nozes e o segundo de passas e o caso 
contrário, ambos igualmente prováveis.
 P
12
22
10
21
2!
40
77
5 ? ? 5
4 Cláudio vai passar 5 dias de férias num local em que a 
probabilidade de chover em um dia é igual a 2
3
. Qual a pro-
babilidade de:
a) chover apenas nos dois primeiros dias?
b) chover somente em dois dias, sendo esses dias quais-
quer dos cinco?
Solução:
a) Caso favorável: C C N N N,
 onde C significa dia de chuva e N dia em que não chove.
 P
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
4
243
5 ? ? ? ? 5
b) Casos favoráveis: Todas as permutações das letras C C 
N N N, sendo que todos os casos são equiprováveis
 P
4
243
5!
2! 3!
40
243
5 ?
?
5
5 (Uerj) A maioria dos relógios digitais é formada por um 
conjunto de quatro displays, compostos por sete filetes 
luminosos. Para acender cada filete, é necessária uma cor-
rente elétrica de 10 miliampères. O 1o e o 2o displays do 
relógio ilustrado abaixo indicam as horas, e o 3o e o 4o 
indicam os minutos.
display 1o 2o 3o 4o
 Admita, agora, que um outro relógio, idêntico, apresente 
um defeito no 4o
 
display: a cada minuto acendem, ao aca-
so, exatamente cinco filetes quaisquer. Observe, a seguir, 
alguns exemplos de formas que o 4o display pode apresen-
tar com cinco filetes acesos.
 A probabilidade de esse display formar, pelo menos, um 
número em dois minutos seguidos é igual a:
a) 13
49
b) 36
49
c) 135
441
d) 306
441
PH_MP_MAT2_C1.indd 29 12/20/13 11:34 AM
30 Pré-vestibular extensivo | caderno 1 | manual do Professor
Solução:
 Existem 3 números formados por 5 filetes acesos: 2, 3 e 5.
 Total de maneiras de acender 5 dos 7 filetes:
 N 5 C
7,5
 5 21 maneiras.
 Probabilidade do display formar um número
 
P(nœmero)
3
21
1
7
.5 5
 Probabilidade do display formar, pelo menos, um número 
em dois minutos seguidos:
 
P 1 P (nenhum ser nœmero) 1
6
7
6
7
13
49
.5 2 5 2 ? 5
Gabarito: A
6 (Uerj) Uma máquina contém pequenas bolas de borra-
cha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. 
Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida 
ao acaso. Observe a ilustração:
 Inserindo-se 3 moedas, uma de cada vez, a probabilidade 
de que a máquina libere 3 bolas, sendo apenas duas delas 
brancas, é aproximadamente de:
a) 0,008
b) 0,025
c) 0,040
d) 0,072
Solução:
 Casos Favoráveis: Permutações das letras B B N, onde B 
indica bola branca e N indica bola não branca, sendo todos 
os casos equiprováveis:
 
P
10
100
9
99
90
98
3!
2!
27
1078
0,0255 ? ? ? 5 5
Gabarito: B
U
E
R
J
7 (UFRJ) Dois jogadores disputam uma série de rodadas de 
cara ou coroa. No início, cada jogador dispõe de duas fi-
chas. A cada rodada o vencedor ganha uma ficha do per-
dedor. O jogo termina quando um dos jogadores fica sem 
fichas. Determine a probabilidade de haver, ao menos, 100 
rodadas.
Solução:
 Para que haja ao menos 100 rodadas, basta chegarmos ao 
final da 98a rodada com o placar de 2 a 2 em fichas. Em 
cada rodada (etapa do processo), vamos determinando a 
probabilidade de o jogo seguir em frente:
 1a etapa: qualquer jogador pode vencer, pois o jogo não 
terminará nesta rodada ⇒ P
1
 5 1 (após esta rodada, o 
placar fica 3 a 1 para o vencedor da rodada).
 2a etapa: o jogador que perdeu a rodada anterior tem que 
vencer esta rodada ⇒ P
1
2
2
5 (após esta rodada, o placar 
fica 2 a 2).
 3a etapa: qualquer jogador pode vencer, pois o jogo não 
terminará nesta rodada ⇒ P
3
 5 1 (após esta rodada, o 
placar fica 3 a 1 para o vencedor da rodada).
 4a etapa: o jogador que perdeu a rodada anterior tem que 
vencer esta rodada ⇒ P
1
2
4
5 (após esta rodada, o placar 
fica 2 a 2).
 .......
 97a etapa: qualquer jogador pode vencer, pois o jogo não 
terminará nesta rodada ⇒ P
97
 5 1 (após esta rodada, o 
placar fica 3 a 1 para o vencedor da rodada).
 98a etapa: o jogador que perdeu a rodada anterior tem 
que vencer esta rodada ⇒ P
1
2
98
5 (após esta rodada, o 
placar fica 2 a 2 e o evento “ter ao menos 100 rodadas” 
está garantido)
 
P 1
1
2
1
1
2
... 1
1
2
1
2
49
5 ? ? ? ? ? ? 5




Estudando em casa
Proponha aos alunos as seguintes tarefas domiciliares:
 ◆ Estudar a teoria sobre Probabilidades presente no mó-
dulo 7.
 ◆ Refazer os exercícios trabalhados em sala de aula.
 ◆ Fazer os exercícios 2, 3, 6, 8, 9, 13, 17, 18, 20, 22, 24 do 
módulo 7.
ANOTAÇÕES
PH_MP_MAT2_C1.indd 30 12/20/13 11:34 AM
G
A
B
A
R
IT
O
1Pré-vestibular extensivo | caderno 1
GABARITO
Matemática II
MÓDULO 1
1 a) r 5 4
 b) a
20
 5 81
 c) 27a posição
2 24 termos
3 B
4 120°
5 E
6 A
7 a) 295
 b) 83
8 10
6
9 E
10 C
11 a) 99
 b) 9 801
 c) mostrar que S 5 (2n 2 1)2
12 B
13 E
14 900 latas
15 a) a7 5 36
 b) 31
 c) não
 d) 210, 231, 253 e 276
16 a) 375
 b) 105
17 2 420
18 a) Demonstração
 b) k 5 125
19 63,10
20 1 262 500
21 D
22 C
23 B
24 C
25 704
26 221 cm
2
27 C
28 C
29 E
30 A
31 E
32 C
33 B
34 B
35 D
36 E
37 A
38 B
39 Demonstração
40 Demonstração
41 r
2
3
e a 2
3
1
5
p
5 2
p
MÓDULO 2
1 B
2 B
3 a) 405
 b) 31
4 a) 8 000
 b) 17 h
5 C
6 D
7 
1
2
8 49, 56, 64
9 C
10 A
11 
225
8
cm
2p
12 E
13 C
14 n
n
y 20
20
n 2
5
1
,
,
15 D
16 
ab
b c2
17 C
18 0
19 2
a2
20 D
21 a 3 e b 3 ou a
9
2
e b
27
4
52 5 5 5
22 
3
2
cm
2
23 a) m 5 4
 b) n
1
(1 x)2
5
2
24 22
252
25 log a 22
n 1
n(n 1)
21
1
?






26 B
27 C
28 D
29 15 cm
2
30 256 garrafas
31 D
32 A
PH_MP_MAT2_C1.indd 1 12/20/13 11:34 AM
2 Pré-vestibular extensivo | caderno 1
33 a 5 4, r 5 8
34 A
35 D
36 A
37 B
38 A
39 E
40 E
41 B
42 C
43 D
44 B
45 C
46 C
47 B
48 C
49 E
50 A
51 A
52 C
53 B
54 E
55 
5 1
2
q
5 1
2
2
, ,
1
56 
m (m 1)
2
(m 1) log a2
1
1 1
57 a) Demonstração
 b) Sim
58 a) 44
 b) 20 cm2
59 (6; 12; 8)
Revisão de P.A. e P.G.
1 B
2 Demonstração
3 127
4 Demonstração
5 (6; 12; 8)
6 (18; 6; 2)
7 lado 5 16 ou 2 ou 
1
4
8 P55 5 2
756 ? 3784
9 n (A > B) 5 10
10 3z 5 21
11 r 5 3a ou r
3
4
a5
12 A
13 (3, 6, 12, 14, ..., 3 072)
14 S 5 m
15 S 5 18
16 a) 
2
2
 b) 
1 2
4
1
17 S 5 2A
18 d (2 2)1
19 a) 2a
 b) 
a 3
3
 c) 
a 3
3
2
1
 d) pa
9
2
20 a) 4a (2 2)1
 b) p 1(2 2)
 c) 2a2
 d) pa
2
2
21 5 050
22 a) 108°
 b) Demonstração
23 C
24 5
25 D
26 B
27 a) 132
 b) 1 063
28 A
29 C
30 A
31 C
32 C
33 Demonstração
34 10
35 a) Demonstração
 b) , 5
2
16
36 
1
2
37 D
38 C
39 a 5 9
40 D
41 a) 364
 b) 10
42 A
43 a) 
1
9
 b) 3
4
3
n 1
?
2




44 a) Fn 5 8n 2 4; F10 5 76
 b) 10 000
45 39 366
46 a) 21
 b) 43 680
47 C
48 (8, 12, 18, 27)
PH_MP_MAT2_C1.indd 2 12/20/13 11:34 AM
G
A
B
A
R
IT
O
3Pré-vestibular extensivo | caderno 1
MÓDULO 3
1 a) 30
 b) 36
2 C
3 3 168
4 2 160
5 D
6 30
7 C
8 E
9 324
10 B
11 a) 32
 b) 12
12 C
13 B
14 E
15 13
16 Demonstração
17 B
18 18
19 B
20 A
21 8 ? 10
7
22 C
23 1 800
24 249
25 E
26 C
27 D
28 C
29 C
30 C
31 E
32 2 048
33 250
34 B
35 A
36 E
37 171
38 432
39 C
40 A
41 B
42 E
43 E
44 8
45 
46 C
47 C
MÓDULO 4
1 a) 40 320
 b) 5 040
 c) 120
 d) 720
 e) 4 320
 f) 11 520
2 D
3 204
4 34 560
5 60 480
6 140
7 2 520
8 Sim, pois é igual a 280.
9 A
10 C
11 3 003
12 240
13 B
14 C
15 100
16 792
17 a) 6 pessoas
 b) 3 780
18 a) 106
 b) 11
19 2 030
20 4 800
21 30
22 E
23 C
24 A
25 E
26 A
27 D
28 A
29 B
30 D
31 C
32 8
33 140
34 A
35 76
36 D
37 a) 680b) 130 918
38 2 520
39 a) 84
 b) 1 365
40 a) 336
 b) 456
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4 Pré-vestibular extensivo | caderno 1
41 a) 6 768
 b) C
52,4
 – C
48,4
42 C
43 6
44 B
45 C
46 A
47 D
48 A
49 A
50 D
51 B
52 B
53 C
54 C
55 B
MÓDULO 5
1 1 120
2 90
3 1 680
4 60
5 D
6 1 260
7 D
8 40
9 252
10 120
11 D
12 2 880
13 72
14 30
15 504
16 84
17 B
18 55
19 1 330
20 C
21 1 440
22 2
n 2 1
23 5 760
24 B
25 D
26 656
27 1 050
28 280
29 a) 10.080
 b) 1 411 200
30 831 600 minutos
31 21
32 C
33 A
34 500
35 C
36 B
37 E
38 B
39 B
40 56 
41 140
42 a) 700
 b) 340
 c) 174
43 
(n 1)(n 3)(n 4)
6
2 2 2
44 267 148
45 a) nunca
 b) Cp
m
 2
2
 j
i
 c) Cj
i
 2
2
 l
l
 ? Cp
m
 2
2
 j
i
MÓDULO 6
1 2
n
 2 1
2 C
3 5
4 Demonstração
5 a) 969
 b) 1 360
6 B
7 T
8
p
2 x ; t 1120 xp 1
p 8 p
5
4
1
2
5 5




8 D
9 D
10 T7 5 84
11 a) T7 5 59 136 x
20
 b) T
252 x
x
6 3
5
12 A
13 B
14 B
15 E
16 
16
5
17 B
18 C
19 A
20 70
21 210
22 8
23 dois, sétimo e décimo nono termos.
24 Demonstração
25 
65
16
1
3
16




?
26 E
PH_MP_MAT2_C1.indd 4 12/20/13 11:34 AM
G
A
B
A
R
IT
O
5Pré-vestibular extensivo | caderno 1
27 96
28 70
29 B
30 C
31 D
32 C
33 O rendimento será superior a 100%
34 C
MÓDULO 7
1 a) p(3)
2
15
; p(4)
1
15
5 5
 b) 7
15
2 A
3 A
4 C
5 a) 22
 b) 40
77
6 P
N
2(2N 1)
;N 6N 5
2
5
7 C
8 a) 24
 b) 1
24
9 C
10 C
11 D
12 C
13 D
14 B
15 a) 51,2%
 b) 38,4%
16 a) 
3
5
 b) 11
50
 c) 23
200
17 82%
18 C
19 a) 
4
243
 b) 40
243
20 A
21 A
22 D
23 B
24 C
25 a) 
1
32
 b) 5
16
26 
1
2
27 a) I e II são independentes.
 b) II e III não são independentes.
28 
1
2
49




29 P 1
365 364 363... (365 n 1)
365n
5 2
? ? 2 1
 exs: n 5 20 → P 5 0,41
 n 5 40 → P 5 0,89
 n 5 50 → P 5 0,97 (quase certeza)
30 a) 
3
14
 b) 33
56
 c) 4
11
31 
2
3
32 
2
3
33 B
34 D
35 D
36 A
37 A
38 B
39 E
40 B
41 B
42 D
43 D
44 A
45 C
46 A
47 D
48 B
49 B
50 B
51 
17
32
52 
5
13
53 
1
6
54 a) 
3
14
 b) 2
7
 c) 3
8
 d) 1
8
55 a) 
1
24
 b) 
3
4
PH_MP_MAT2_C1.indd 5 12/20/13 11:34 AM
6 Pré-vestibular extensivo | caderno 16
56 
1
4
57 a) 
11
30
 b) 7
15
 c) 1
6
58 > 4,8%
59 
3
8
60 Uma bola branca em uma das urnas e as 99 restantes na 
outra urna (> 75%).
61 a) 0,2
 b) 0,7
Revisão de análise combinatória e probabilidade
1 D
2 B
3 $2 e $4
4 a) 
2
7
 b) 3
7
5 C
6 E
7 B
8 A
9 C
10 C
11 E
12 E
13 a) 
5
18
 b) 
4
9
 c) 
6 305
6 561
14 E
15 D
16 a) (1 2 sen(u) cos(u))
2
 b) p
4
rad
17 D
18 A
19 a) 128
 b) 240
 c) 8
19
20 B
21 D
22 A
23 a) 15%
 b) 7,5%
24 a) 
352
1000
 b) 81
100
25 2 520
26 A
27 a) 27
 b) 8
28 Demonstração
29 A
30 a) C possui números divisíveis por 9, sendo 111111111 o 
menor deles. C não possui números divisíveis por 6.
 b) 11,1%
31 a) 120
 b) 540
32 C
33 2 350
34 138378240
35 a) 126
 b) 70
36 a) 220
 b) 84
37 3
n; 3n 2 3 ? 2n 1 3
38 10
39 260
40 90
41 7 200
42 
(9 1)
8
n 11
2
43 6362512
44 a) 540
 b) 7 020
 c) 3 600
 d) 19 440
45 2 865
46 286
47 40
48 6
27
49 B
50 D
51 D
52 C
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1 PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
GABARITO
Matemática I
MÓDULO 1
1 B
2 C
3 D
4 D
5 E
6 A
7 A
8 C
9 D
10 11
11 a) 7
 b) 34
 c) 38
 d) 93
 e) 72
12 a) 230
 b) 400
13 a) 190
 b) 490
 c) 245
14 1
15 k 5 9
16 13
17 23
18 30
19 O buquê tem 33 flores e 9 rosas não vermelhas.
20 B
21 D
22 32 e 20
23 7
24 a) 3
 b) 13
 c) 16
25 6
26 A
27 E
28 B
29 a) Entre 70 e 80% (inclusive)
 b) Entre 40 e 70% (inclusive)
30 B
31 375 000
32 A
33 D
34 B
35 E
36 D
37 Menor: 
−
+
6( 2 1)
2 1
 Maior: 2
2
38 A
39 C
40 E
41 E
42 B
43 C
44 B
45 C
46 A
47 E
48 C
49 D
50 B
51 D
52 6
53 a) 104
 b) 12
MÓDULO 2
1 {(9, 1), (9, 2), (12, 1), (12, 2)}
2 no mínimo 9
3 B
4 a) 
x
y
3
21
1
1
 b) 
x
y
3
21
1
1
5 a) sim
 b) não
 c) não
 d) sim
 e) sim
 f) não
PH_MP_MAT1_Gabarito.indd 1 12/20/13 11:33 AM
G
A
B
A
R
IT
O
2PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
6 D
7 C
8 A
9 D
10 E
11 a) 112 unidades
 b) 34 unidades
12 D
13 D x x= ∈ ≥{ / } 1
14 D
15 a) Dom 5 [22, 4]; Im 5 [21, 4]
 b) − e
4
3
0
 c) − −



∪2,
4
3
] 0, 4]
 d) −



4
3
, 0
 e) [21, 2]
 f) f é crescente em [2, 1] e em [2, 4]
 g) 4
 h) 21
 i) I. k < 21 ou k > 4
 II. k 5 21 ou 1 < k < 2 ou k 5 4
 III. 2 < k , 4 ou 21 , k < 1
16 D
17 C
18 [0, 1] ø [3, 5]
19 c , 26 ou c . 2
20 C
21 S x x ou x= ∈ −{ | } < >1 2
22 26 < x < 25 ou 2 < x < 6 ou x > 8
23 C
24 C
25 D
26 B
27 C
28 B
29 B
30 a) 1
 b) Demonstração
 c) Demonstração
31 C
32 25
2
MÓDULO 3
Função do 1o grau
1 a) 2x 2 3
 b) 22x + 4
 c) +x3 2
 d) 2x 2 1
2 a) P q
q
( ) = − +
100
11
 b) R$ 6,00
3 a) 1
 b) 3
4 a) R$ 385,00
 b) 
x
y
125 
175
1150 90
5 C
6 B
7 a) R$ 10 000,00
 b) 10 000 litros
8 23
3
9 C
10 a) f x
x−
= −
1
2
1
2
( )
 b) A u.a.=
9
4
11 a) −∞ ∪



1
2
[ ]
2
3
, 3
 b) ] 2 3, 1 [ø] 5, + ` [
 c) ] 2 , 1 [ø] 2, + ` [
 d) ] 2 ,̀ 4]
 e)  { }− 2
3
 f) [
 g) ] 2 ,̀ 0 [ø] 1, + ` [ 2 {21, 3}
12 C
13 C
14 D
15 E
16 A
17 C
18 B
19 B
20 D
21 C
22 B
23 E
24 D
25 D
26 E
27 A
PH_MP_MAT1_Gabarito.indd 2 12/20/13 11:33 AM
3 PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
28 E
29 C
30 B
31 B
32 B
33 C
34 C
35 E
36 3h 45min.
37 US$ 50,00
Função do 2o grau
1 a) l 5 22
 b) l . 22
 c) l , 22
2 m = − ±3 8
3 a) k =
11
15
 b) não existe k
 c) k =
1
2
4 m 5 21
5 a) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
 b) n 5 9; R$ 80,00
6 a) 364
 b) 420
7 15
8 D
9 C
10 B
11 A
12 B
13 C
14 a) S5 2
1
2
3,




 b) S 5 [22 , 1] ø [2 , 3[
 c) S 5 ]2 ,̀ 2 [ ø [3 , 5[
 d) ]2 ,̀ 21[ ø [0, 2]
15 S x x x5 2 < < 2{ | ; }∈ 2 2 1±
16 a) P(7, 24) b) x < 5; x ≠ 1
17 D
18 E
19 0
1
4
1
2
1x ou x, , , ,
20 B
21 B
22 a) C 5 (2, 2)
 b) A 5 3u.a.
23 a) z
x
= −8
2
3
 b) x 5 6; z 5 4
24 a) 9 000 peças
 b) 6 000 peças ou 12 000 peças
25 a) 0
1
2
2
,
m +



 b) 

0,
1
2
26 Menor valor: 27
 Maior valor: 21
4
27 a) y
x
8
21
432
 b) 21 < f (x) < 8
28 E
29 C
30 x x x1 2 30
1 5
2
1 5
2
5 5 5
2
; ;
6
31 B
32 A =
3 5
4
33 a 5 21; b 5 4; c 5 23
34 a) y
x
8
9
632
 b) x ou x5 5
5
2
5
35 A
36 a) 20 peças b) 40 reais
37 B
38 u 5 arc tg 150
39 a) x =
±1 17
2
 b) m>2
17
4
 c) 2 , , 2 , ,6 2 2 6x ou x
40 C
41 D
42 A
43 S 5 ]2 ,̀ 22[ ø [1, 2]
44 V 5 {(2 3, 2 2); (3, 2); (2 2, 2 3); (2, 3)}
45 D(f) x x= ∈ ≥{ / } 3
PH_MP_MAT1_Gabarito.indd 3 12/20/13 11:33 AM
G
A
B
A
R
IT
O
4PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
46 a) a 5 23;
 b 5 2
 b) x =
2
3
 c) x =
− ±3 13
2
47 A
48 a 5 2 cm,b c 5 cm5 5 5
49 6 x 2 3y + 2 5 0
50 Raízes: 3 e 21
51 a) 25 < x < 2
 b) b 5 29; c 5 31
52 20 cm
53 E
54 C
55 27u.a.
56 a) b2 2 2 b) 
±





1;
3 5
2
57 a) a , 0 ; b . 0 ; c . 0 ; D . 0
 b) a . 0 ; b , 0 ; c . 0 ; D . 0
58 P(x) x x= + +
1
3
4
3
5
3
2
59 D
60 C
61 C
62 k = 109
2
63 − 2
3
0< <a
64 a) A 5 236x2 1 72x b) x 5 1m
65 D(f) x x ou x= ∈ − <{ | } 30 0 30< >
66 Lado do quadrado 5 3
 Retângulo: altura 5 2; comprimento 5 6
67 D(f) x x ou x= ∈ − < < − < <{ | } 2 2 1 1 2 2
68 D
69 C
70 a 5 1; b 5 22; c 5 21; d 5 22
MÓDULO 4
1 E
2 E
3 C
4 
y
x
8
9
22 41
5 E
6 a) x 5 21 ou x 5 4
 b) x ou x= − = −1
2
1
7 C
8 x 5 50 ou x 5 250
9 C
10 A
11 B
12 C
13 B
14 B
15 A
16 C
17C
18 D
19 B
20 B
21 E
22 B
23 D
24 C
25 C
26 C
27 y
x2
1
28 C
29 B
30 D
31 B
32 C
33 C
34 B
35 B
36 A
37 A
38 E
39 Demonstração
40 Demonstração
41 a) | a2 2 b2 | 5 12
 | a4 2 2a2b2 + b4 | 5 144;
 a b
a 2ab b
2 2
2
1 1
=
3
2
 b) | 1 + x |
máx
 5 6
 c) | 1 + x2 |
máx
 5 26
 d) | 1 + x + x2 + x3 |
máx
 5 156
PH_MP_MAT1_Gabarito.indd 4 12/20/13 11:33 AM
5 PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
42 e1,
3
4
5
4
43 a) 
 b) y
x
1
21 1
 c) I(f) 5 [1, 1 `)
MÓDULO 5
1 C
2 B
3 C
4 B
5 Em 1996
6 K 5 2 048
 a 5 4
7 a 5 4
8 16 200
9 E
10 S 5 {0}
11 E
12 C
13 a) {1, 2, 3}
 b) { }0, 12,1, 3
14 a) S x x= ∈ −{ | } < 3
 b) S x x= ∈ <{ } | 94
 c) S = 
15 A
16 C
17 C
18 26 < x < 1
19 D
20 B
21 A
22 E
23 A
24 A
25 C
26 D
27 E
28 D
29 Demonstração
30 a) m2 2 2
 b) m3 2 3m
31 a) y
x
1
21 0 1
2
 b) y
x
1
0 1
2
4
2
32 a) S =










−
( , ), ,1 1 3 3
1
3
2
3
 b) S = 








( , ), ( , ), ,0 0 1 1
9
4
27
8
33 S
n
m
n
m
n
n m
m
n m
= 

















−
( , ), ,1 1
2
34 a) S m m ou m= ∈
+ < −






 | > 2 7
2
3
 b) S m m= { }, > | 52
 c) S m m= ∈ >{ | } 0
35 S m m= ∈ ≤{ } | 54
36 S m m= ∈{ | } > 2
37 S m m ou m= ∈ < − >{ | } 1 1
38 Demonstração
MÓDULO 6
1 a) x 5 23
 b) x =
2
3
 c) x = −
5
2
2 A
3 a) 2,5
 b) 22,5
4 D
5 C
6 a) ]2 ,̀ 1 [ø]3, +` [
 b) ]1, 3 [ 2 {2}
7 22
8 C
PH_MP_MAT1_Gabarito.indd 5 12/20/13 11:33 AM
G
A
B
A
R
IT
O
6PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
9 
4
3
10 a + b
11 3m + 2n
12 C
13 y 5 100x2
14 B
15 D
16 a) x 5 3
 b) S 5 [
17 S = 








3
2
2
3
,
18 A
19 B
20 S = { }1
6
21 D
22 A
23 E
24 C
25 4,5 anos
26 C
27 A
28 E
29 B
30 B
31 E
32 D
33 D
34 C
35 B
36 a) S = { }1
9
 b) S = − −






1 5
2
5 1
2
,
37 0 < x < 1
38 S 5 {10, 100}
39 B
40 C
41 D
42 S 5 {2log
108
9}
43 S 5 {1, 2}
44 B
45 Demonstração
Função inversa
1 
17
1
2 1 2+ −x
3 B
4 y 5 5
5 C
6 E
7 D
8 E
9 C
10 B
11 D
12 S
e
=
−( )1
4
2
13 11
14 a) f(x) 5 x 2 4 b) 2,322
15 a) 512
 b) 13 de abril
16 a) S x x= ∈ < <{ } | 12 3
 b) S x x= ∈{ } | 1100 1000< <
 c) S x x= ∈ <{ | } 3 4<
 d) S x x= ∈ < <{ | } 1 3
17 C
18 S x x ou x= ∈ < >{ } | 67
8
7
19 D
20 D
21 B
22 E
23 D
24 D
25 E
26 C
27 C
28 B
29 x > −
1
2
30 B
31 E
32 C
33 E
34 A
MÓDULO 7
1 a) y
x
1
1
B
A
 b) f (x)
x x
x x
x x
12
<
< <
>
=
+





,
,
log ,
0
0 1
1 12
PH_MP_MAT1_Gabarito.indd 6 12/20/13 11:33 AM
7 PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
2 a) p 5 q 5 2; a 5 21; b 5 2; c 5 3
 b) S 5 ] 2 ,̀ 2 1[ø] 2 1, 3]
3 x 5 22 ou x 5 6
4 E
5 C
6 B
7 C
8 a) 68 anos b) 75 anos
9 B
10 B
11 y x=
50
101
12 D
13 3m
14 E
15 C
16 B
17 A
18 19
3
19 B
20 D
21 E
22 C
23 B
24 D
25 B
26 B
27 a) 2
 b) [2 2, 4]
 c) A equação f(x) 5 1 tem quatro soluções distintas, pois 
a reta y 51 intercepta o gráfico de f em quatro pontos 
diferentes. A equação f(x) 5 2 tem infinitas soluções, 
pois a reta y 5 2 intercepta o gráfico de f em infinitos 
pontos.
 d) Não, pois 23 e 2 são elementos de C, 23 , 2 e f(23) .
. f (2).
28 a) A(t) 5 22t2 + 8t + 10
 b) 18km2; 2 anos
A(t)
10
0 t5
29 a) d
v
=
−90 000
150
2
 b) 0
30 a) S x x= − +

4
4
2
2π
 b) x m=
+
4
4π
31 a) g(x)
x x
x
x x
x
=
−
−





,
,
,
,
<
< <
< <
< <
0
0 0 1
2 2 1 2
2 2 4
 b) Im(g) 5 [0, 2]
 c) f(x)
x
x x
=
−{
1 0 2
1 2 4
,
,
< <
< <
32 a) 40
3
 b) 2
3
33 C
34 D
35 B
36 S = 



5
4
3
2
,
37 8 u.a.
38
22
4
2 x
y
22 2 2 2
Exponencial e logarítmica
1 S 5 {1}
2 B
3 B
4 D
5 D
6 B
7 > 73 °C
8 a) V V1 2
3
3
27=






=; { }
 b) Demonstração
9 a) R1
 b) S 5 [
10 a 5 3
 b 5 21
3
4
log
log
11 B
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G
A
B
A
R
IT
O
8PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
12 a) y
x0 
3
2
5
21
1
2
3
1
5



5y
1
5
x



5y
2
3
x
 b) 


2
3
1
5
13 Demonstração
14 B
15 D
16 S x x 1 ou x= ∈ < < >{ | } 0 2
17 1
18 B
19 B
20 B
21 D
22 C
23 E
24 E
25 D
26 E
27 S S S S S
A B C D E
= = = = =
3
2
2
426
301
1
204
301
; ; ; ;
28 B
29 Demonstração
30 B
31 E
32 E
33 K 5 0,398
34 x > 2
35 E
36 A
37 D
38 S 5 ]3, 4 [
39 C
40 B
41 A
42 D 5 {1, 3, 4}
43 B
44 A
45 V 5 {10, 100}
46 b 5 9
47 n 5 21
48 Dom (gof) 5 ] 2 ,̀ 21[ø]1, +`[
49 E
50 A
51 a) As equações I e II não têm as mesmas soluções.
 b) y
x
2
1
21
52 a) y
x0
1
21
21
b) y
x
1
e12e 21
c) y
x
1
12e
21
21
53 y
x
1
1
21
21 0
PH_MP_MAT1_Gabarito.indd 8 12/20/13 11:33 AM
9 PRÉ-VESTIBULAR EXTENSIVO | CADERNO 1
54 a) 
y
x
1
10
 b) − +










(2 2), 3 1,
3 1
2
55 y
x
1
10 2
2
y2 5 x
√
56 y
x
3
102122 2
y 5 x2 1 2
y 5 3x
6
57 S x5 , ,{ | }∈ 2 3x
58 0 < x 5 1
59 S 5 {8}
60 K 5 2n 1 1
61 a) S 5 {1}
 b) S 5 {0}
62 B
63 C
64 B
65 C
66 D
67 B
68 29
69 a) 53,24 cm
 b) 15 anos
70 C
71 60%
72 E
73 104
74 p 5 28
75 D
76 A
77 C
78 I. E
 II. A
 III. B
79 C
80 D
81 C
82 
2
1 1
1
1 1
a
a
a a
u
u u
a
u
a a
log
log log
log
⋅




⋅



2 1

83 D
84 C
85 a) 22,5 °C
 b) 15 min
86 2
1
3
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