APOSTILA - LOG - Raciocínio Lógico

Prévia do material em texto

@pedroevaristo 
1 
CAPÍTULO 1 
 
 
 
SEQUÊNCIAS LÓGICAS 
 
As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas de se 
estabelecer uma sequência, o importante é que existam pelo menos três elementos que caracterize a lógica de 
sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. O importante é 
descobrir o padrão comum a todos os elementos da sequência e assim descobrir os próximos termos. 
Algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, tais como 
as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos. 
 
SEQUÊNCIA DE NÚMEROS 
 Progressão Aritmética 
 Soma-se constantemente um mesmo número. 
 2 5 8 11 14 17 
 
 Progressão Geométrica 
 Multiplica-se constantemente um mesmo número. 
 2 6 18 54 162 486 
 
 Incremento em Progressão 
 O valor somado é que está em progressão. 
 1 2 4 7 11 16 
 
 
 Série de Fibonacci 
 Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. 
 1 1 2 3 5 8 13 
 
 Números Primos 
 Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 
 2 3 5 7 11 13 17 
 
 Quadrados Perfeitos 
 Números naturais cujas raízes são naturais. 
 1 4 9 16 25 36 49 
 
SEQUÊNCIA DE LETRAS 
 As seqüências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, você deve 
escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para 
entender a lógica proposta. 
 A C F J O U 
 Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. 
 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU 
 
 B1 2F H4 8L N16 32R T64 
 Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posições. 
 ABCDEFGHIJKLMNOPQRST 
 
+3 +3 +3 +3 +3 
x3 x3 x3 x3 x3 
+1 +2 +3 +4 +5 
 
 
 
@pedroevaristo 
2 
SEQUÊNCIA DE PESSOAS 
 
 Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão em 
uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando 
para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete a cada seis 
termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. 
 
SEQUÊNCIA DE FIGURAS 
 
 Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente 
sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. 
 
 
A FAMOSA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI 
 Na matemática, a Sucessão de Fibonacci (também Sequência de Fibonacci), é uma sequência de 
números inteiros, começando normalmente por 1 e 1, na qual, cada termo subsequente corresponde à soma dos 
dois anteriores. 
 A Sequência de Fibonacci é uma sequência numérica proposta pelo 
matemático Leonardo Pisa, mais conhecido como Fibonacci: 
 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 
 
 Leonardo descreveu essa sequência no ano de 1202, ao estudar o 
crescimento de uma população de coelhos, a partir desta série. No entanto, esta 
sequência já era conhecida na antiguidade. 
 
FORMULAÇÃO 
 Foi a partir de um problema criado por ele que o mesmo detectou a existência de uma regularidade 
matemática. Trata-se do exemplo clássico dos coelhos, em que Fibonacci descreve o crescimento de uma 
população desses animais. 
 A sequência é definida mediante a seguinte fórmula: 
 Fn = Fn - 1 + Fn - 2 
 
Assim, começando pelo 1, essa sequência é formada somando cada numeral com o numeral que o antecede. No 
caso do 1, não tendo termo anterior a ele, podemos somar zero e o próximo termo será 1 novamente, ou seja, 
repete-se esse numeral 1. 
O terceiro termo será a soma 
 1 + 1 = 2 
De seguida soma-se o resultado com o numeral que o antecede, ou seja, 
 2 + 1 = 3 
e assim sucessivamente, numa sequência infinita: 
 3 + 2 = 5 
 5 + 3 = 8 
 8 + 5 = 13 
 13 + 8 = 21 
 21 + 13 = 34 
 34 + 21 = 55 
 55 + 34 = 89 
 
 
 
@pedroevaristo 
3 
 
A partir dessa sequência, pode ser construído um retângulo, que é chamado de Retângulo de Ouro. 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
 
01. Qual o próximos termo da sequência (1, 3, 7, 15, 31, 63, ...)? 
 
SOLUÇÃO: 
A sequência pode ser vista de várias formas, mas todas obviamente levam a mesma resposta. 
 
1ª SOLUÇÃO 
O incremento de cada termo está em progressão geométrica, ou seja 
 
 
Dessa forma, basta somar 64 e o próximo termo será 127. 
 
2ª SOLUÇÃO 
Cada termo é uma unidade a mais que o dobro, ou seja 
 
 
Dessa forma, basta fazer o dobro mais um, logo o próximo termo será o dobro de 63 mais 1, ou seja, 127. 
 
3ª SOLUÇÃO 
Cada termo da sequência é uma unidade a menos que a sequência dos quadrados perfeitos, ou seja, 2
n
 – 1. 
 
 
Dessa forma, o sétimo termo será 2
7
 – 1, portanto 127. 
 
 
02. Quais os próximos termos da sequência (1, 3, 6, 8, 16, 18, 36,...)? 
 
SOLUÇÃO: 
Essa série é formada alternando em soma 2 e multiplicar por 2, como visto a seguir. 
 
Outra forma de enxergar uma lógica é dividir em duas sequências intercaladas, somando 5, 10, 20, 40, 80,... 
 
De ambos os modos, os próximos termos depois de 36 serão 38, 76, 78, 156,... 
 
 
 
@pedroevaristo 
4 
 
03. Quais os próximos termos da sequência (4, 5, 6, 10, 8, 20, 10, 40,12...)? 
 
SOLUÇÃO: 
Essa série é formada por duas séries intercaladas. 
 
Dessa forma, podemos prever que os próximos elementos serão 14, 80, 16, 160, ... 
 
04. Os números 31 28 31 30 31 30 31 seguem um padrão lógico. De acordo com esse padrão, determine o 
próximo número da sequência. 
a) 28 b) 30 c) 31 d) 32 
 
SOLUÇÃO: 
Essa sequência é bem interessante, mas não segue um padrão aritmético. 
Perceba que esses números são exatamente a sequência dos números de dias dos meses de um ano não-
bissexto, ou seja 
 
 JAN(31) FEV(28) MAR(31) ABR(30) MAI(31) JUN(30) JUL(31) 
 
Dessa forma, o próximo número da sequência é 31, pois o mês de agosto possui 31 dias. 
 
OBSERVAÇÃO: 
Existe uma forma divertida de lembrar a quantidade de dias de cada mês do ano. 
 
Você pode contar os meses usando a mão, como mostra na figura, e cada vez que passar pelo “ossinho” (parte 
mais alta) o mês terá 31 dias e quando passar pela “cava” (parte mais baixa) o mês terá menos dias, ou seja, 30 
ou 28 (no caso de fevereiro). 
 
 
Dessa forma, temos a sequencia completa a seguir. 
 
 
 
05. Observe a sequência a seguir. 
 B3 5F H9 17L N33 65R 
O próximo termos será 
a) T129 
b) 131T 
c) V129 
d) 131V 
e) W127 
 
 
 
 
@pedroevaristo 
5 
SOLUÇÃO: 
Com relação as letras temos: 
 A B CDE F G H IJK L M N OPQ R S T 
Observe que a quantidade de letras saltadas está alternando (1 e 3). 
Com relação aos números temos: 
 3 5 9 17 33 65 129 
Cada elemento seguinte é um a menos que o dobro do anterior. 
De outra forma, observe que esses número também são um a mais que as potências de 2. 
 2+1 4+1 8+1 16+1 32+1 64+1 128+1 
Então o próximo será 
 T129 
 
04. Qual o próximo termo da sequência J J A S O N D? 
a) A b) E c) D d) J 
 
SOLUÇÃO: 
Essa é uma sequência considerada difícil, pois a primeira ideia é pensar em sequência que esteja relacionada a 
ordem alfabética. Mas nesse caso não! Tem que haver uma ligação com alguma sequência e a única possível é a 
sequência dos meses do ano, observe: 
 JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ JAN … 
Portanto, próxima letra é J. 
 
05. Determine o próximo termo da sequência T Q Q S S. 
a) A b) E c) D d) J 
 
SOLUÇÃO: 
Esse é outro exemplo de sequência de letras não relacionadas a ordem alfabética. Observe que é a primeira letra 
de dias da semana. 
 TER QUA QUI SEX SAB DOM ... 
Portanto, próxima letra é D. 
 
06. Qual a próxima letra da sequência U D T Q C S S? 
a) O b) N c) D d) T 
 
SOLUÇÃO: 
Quando falamos em sequência, uma das primeiras coisas que nos vem à cabeça é a sequência dos números 
naturais positivos: 1, 2, 3,..., 8, 9. Perceba que as letras em questão, são exatamente as primeiras letras dos 
naturais: um, dois, três, quatro,cinco, seis, sete, oito,... 
Portanto, próxima letra é O. 
 
 
07. Qual o próximo número que da sequência 1 1 1 3 5 9 17? 
a) 27 b) 29 c) 31 d) 33 
 
SOLUÇÃO: 
Essa é a série de Tribonacci, não tão conhecida quanto a de Fibonacci, que segue padrão semelhante. Observe 
que cada termo, a partir do quarto, é a soma dos três termos anteriores. Portanto, o próximo será 
 x = 5 + 9 + 17 = 31 
 
08. Dada a sequência 2 3 4 5 8 7 16 9 32, determine a soma do 10º e do 11º dessa série numérica. 
a) 11 b) 53 c) 64 d) 75 
 
SOLUÇÃO: 
A grande dificuldade dessa sequência é perceber que, na verdade, são duas séries diferentes intercaladas, onde 
os termos de posição impar são potencias de 2, ou seja 
 2
1
 2
2
 2
3
 2
4
 2
5
 2
6
 ... 
Ou ainda, 
 2 4 8 16 32 64 ... 
Enquanto aqueles de posição par, são ímpares e sucessivos, ou seja 
 
 
 
@pedroevaristo 
6 
 3 5 7 9 11 ... 
Dessa forma, a soma do 10º com o 11º é 
 S = 11 + 64 
 S = 75 
 
09. Os números 31 28 31 30 31 30 31 seguem um padrão lógico. De acordo com esse padrão, determine o 
próximo número da sequência. 
a) 28 b) 30 c) 31 d) 32 
 
SOLUÇÃO: 
Os números dados são a quantidades de dias dos meses de um ano não-bissexto, ou seja 
 JAN(31) FEV(28) MAR(31) ABR(30) MAI(31) JUN(30) JUL(31) 
Então o próximo é 31, pois o mês de agosto possui 31 dias. 
 
10. Observe a sequência de pessoas a seguir: 
 
Seguindo o padrão, qual será o 50º elemento? 
a) b) c) d) 
 
1ª SOLUÇÃO: 
Observe que existem duas lógicas simultâneas: 
 Com relação aos braços, estão alternando, um pra baixo e outro pra cima. Dessa forma, todos aqueles 
que estão em posição par, assim como o 50º, tem o braço para cima. 
 Com relação ao sexo, o ciclo é de um homem e duas mulheres em seguida. Dessa forma, sempre os 
múltiplos de três serão mulheres, portanto o 48º será mulher e em seguida um homem e duas mulheres, 
ou seja, o 50º será mulher. 
 
 
 
 
Portanto, o 50º elemento, é uma menina com braço pra cima. 
 
2ª SOLUÇÃO: 
Uma segunda maneira de pensar nessa questão é perceber que existe um ciclo de 6 em 6 elementos. Observe: 
 
 
Portanto, como 48 é múltiplo de 6, o 48º termo é igual ao 6º. Quando o ciclo reinicia, vemos que o 50º é igual ao 
2º, logo uma menina com braço pra cima. 
 
 
11. Observe a sequência dada a seguir: 1, 11, 21, 1211, 111221. Ela apresenta um padrão lógico com 
relação aos seus algarismos. Dessa forma, determine o próximo número da seqüência. 
a) 11112221 b) 312211 c) 122111 d) 12121212 
 
SOLUÇÃO: 
Essa é uma questão difícil, que vem circulando na internet e que pode vir a aparecer em prova, não para medir 
quem descobre a lógica no momento da prova, mas para privilegiar aquele bom aluno que já viu anteriormente. 
Cada elemento, após o primeiro, descreve o elemento anterior, ou seja 
 1 (1 número 1 = 11) 
2º 4º 6º 8º 10º 12º 
3º 6º 9º 12º 
6º 49º 50º 48º 
 
 
 
@pedroevaristo 
7 
 11 (2 números 1 = 21) 
 21 (1 número 2 e 1 número 1 = 1211) 
 1211 (1 número 1, 1 número 2 e 2 números 1 = 111221) 
Dessa forma, temos: 
 111221 (3 números 1, 2 números 2 e 1 número 1 = 312211) 
Portanto, item B. 
 
12. Os números 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, x, apresentam um padrão lógico. Determine o valor do número x, 
seguindo a seqüência. 
a) 20 b) 40 c) 100 d) 200 
 
SOLUÇÃO: 
Um desafio que já virou clássico e que apareceu pela primeira vez para o grande público na revista “Super 
Interessante” no fim do século passado. Trata-se uma questão realmente interessante, mas difícil aos olhos não 
preparados, pois sua lógica não está associada a operações matemáticas. 
Veja a escrita de cada um deles: 
 Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove 
Percebeu o que eles tem em comum? 
Pois é, a escrita de todos os números começa com a letra D, portanto o próximo número a começar com a letra D 
é o 200 (Duzentos), logo, item D. 
 
 
 
 
@pedroevaristo 
8 
 
 EXERCÍCIOS 
 
(AOCP) Observe a sequência de letras a seguir: 
 POLÍCIAPOLÍCIAPOLÍCIAPOLÍCIA... 
Acerca do raciocínio lógico envolvidos nessa sequência, julgue os itens a seguir. 
 
01. A 200ª letra dessa sequência é a letra A. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
02. Dentre as 200 primeiras letras dessa sequência, aparecem 28 vezes a palavras POLÍCIA. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
03. Até a ducentésima letra da sequência, aparecem exatamente 28 letras A. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
04. A letra P aparece 29 vezes, dentre as 200 primeiras letras dessa sequência. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
05. Também dentre as 200 primeiras letras dessa sequência, a letra I aparece 57 vezes. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
(TEXTO) Julgue os itens a seguir, acerca de raciocínio lógico sequencial. 
06. Em uma festa, cada um dos convidados que chega ao local recebe algo como boas vindas. O primeiro a 
chegar recebe uma taça de champanhe, o segundo uma taça de vinho, o terceiro um copo de refrigerante, o 
quarto um salgadinho, o quinto um docinho, o sexto volta a receber um champanhe, o sétimo uma taça de vinho, o 
oitavo um copo de refrigerante, o nono um salgadinho, o decimo um docinho e assim por diante. Dessa forma, 
podemos afirmar que o centésimo trigésimo sétimo convidado receberá uma taça de vinho. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
07. José decidiu nadar no clube, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; 
nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte, depois no domingo e assim por diante. Nesse caso, na 
centésima vez em que José for nadar, será uma quarta-feira. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
(TEXTO) Julgue os itens a seguir, acerca de raciocínio lógico sequencial. 
08. O oitavo termo da sequência (2, 4, 8, 16, 32, 64,...) é 256. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
09. O oitavo termo da sequência (1, 3, 7, 15, 31, 63, ...) é maior que 250. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
10. A soma dos trinta primeiros termos da sequência numérica (1, 4, 9, 16, 25, 36,...) é maior que 1000. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
11. A famosa sequencia de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) possui uma lógica muito interessante. Nessa 
sequencia, o décimo termo é igual a 55. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
 
 
 
 
@pedroevaristo 
9 
12. O próximo termo da sequência (1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31...) é inferior a 55. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
13. Considere que os números que compõem a sequência (414, 412, 206, 204, 102, 100,...) obedecem a um lei 
de formação. A soma do nono e décimo termos dessa sequência é igual a 50. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
(AOCP) Julgue os itens a seguir, acerca de raciocínio lógico sequencial. 
 
14. Dada a sequência lógica (5, 15, 10, 30, 25, 75, ...), podemos afirmar que a soma dos dois próximos números 
dessa sequencia é 280. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
15. Se os números (6, 10, 8, 20, 10, 40, 12, 80,...), estão ordenados numa sequencia lógica, então a soma dos 
dois próximos números dessa sequencia é 174. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
16. Considere a sequência cujos três primeiros termos são: 
 
 
 
 
O 20º termo dessa sequência tem 60 bolinhas. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
17. Observe a sequência de bolinhas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Observando o padrão lógico, podemos afirmar que o número de bolinhas da 20ª figura é inferior a 200. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
18. Na sequencia de letra (M, A, M, J, J, A, ...), a próxima letra será um S. 
( ) CERTO 
( ) ERRADO 
 
 GABARITO 
 
GABARITO 
01. E 
02. C 
03. C 
04. C 
05. C 
06. C 
07. C 
08. C 
09. C 
10. C 
11. C 
12. E 
13. E 
14. C 
15. C 
16. C 
17. E 
18. C 
 
 
 
 
 
FIG. 1 FIG. 2 FIG. 3 FIG. 4 FIG. 5 
 
 
10 
@pedroevaristo 
 
CAPÍTULO 2 
 
 CONJUNTOS 
 
 TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Podemos dizer que um conjunto é sem dúvida um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo 
dessa forma o elemento principal da teoria dos conjuntos. 
Basicamente, um conjunto é uma coleção de elementos, ou seja, dados agrupados que não levam em 
conspiração a ordem. A relação básica entre um objeto e o conjunto éa relação de pertinência: quando um objeto 
x é um dos elementos de um conjunto A, podemos dizer que x pertence ao conjunto A. 
Como veremos a segui, além de relacionarmos elemento e conjunto, também é fundamental relacionar 
conjuntos entre si. 
 
NOMENCLATURA BÁSICA 
 - conjunto vazio; 
 - símbolo de união entre dois conjuntos; 
 - símbolo de intersecção entre dois conjuntos; 
 - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto 
 - símbolo de inclusão entre dois conjuntos; 
 - para todo ou qualquer que seja; 
 - existe pelo menos um. 
R - conjunto dos números reais; 
Q - conjunto dos números racionais; 
Z - conjunto dos números inteiros; 
N - conjunto dos números naturais; 
 
QUANTIFICADORES 
 
São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. 
Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir 
para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição. 
 
TIPOS DE QUANTIFICADORES 
a) Quantificador existencial: 
É o quantificador que indica a necessidade de “existir pelo menos um” elemento satisfazendo a 
proposição dada para que esta seja considerada verdadeira. 
É indicado pelo símbolo “”, que se lê “existe”, “existe um” ou “existe pelo menos um”. 
 
EXEMPLO: 
(p) xR / x  3 
(q) Existe dia em que não chove. 
 
b) Quantificador universal: 
É o quantificador que indica a necessidade de termos “todos” os elementos satisfazendo a proposição 
dada para que esta seja considerada verdadeira. 
É indicado pelo símbolo “”, que se lê “para todo” ou “qualquer que seja”. 
 
EXEMPLO: 
(m) xR  x  5 (Lê-se: “para todo x pertencente aos reais, tal que x é maior ou igual a 5”) 
(n) Qualquer que seja o dia, não choverá. 
 
 
11 
@pedroevaristo 
UNIÃO (  ) 
 
União de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, ou ao 
conjunto B ou a ambos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERSEÇÃO (  ) 
Interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao mesmo tempo a 
ambos os conjuntos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERENÇA ( – ) ou COMPLEMENTAR 
 Diferença entre os conjuntos A e B, nesta ordem, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, 
porém, não pertencem a B. O conjunto A – B também é chamado de complementar de B e em A, pois é o que 
falta para B completar o conjunto A. 
 
 
 
 
 
 
 
COMPLEMENTAR EM RELAÇÃO AO UNIVERSO 
 O complementar de A, é o conjunto de todos os elementos do conjunto universo que não pertencem ao 
conjunto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERENÇA ENTRE UNIÃO E INTERSEÇÃO 
 A diferença o conjunto união e o conjunto interseção de A e B, resulta nos elemento que pertencem a somente 
um desses conjuntos, ou seja, pertencem somente ao conjunto A, ou somente ao conjunto B. 
 
 
 
 
 
 
 
EX.: “Pessoas que são 
atletas (A), mas não são 
baianos (B)” 
EX.: “Pessoas que são atletas 
(A) ou baianos (B)” 
(o “ou” não é excludente, 
portanto isso significa que o 
conjunto união abrange os 
elementos que fazem parte de 
pelo menos um dos conjuntos) 
EX.: “Pessoas que são 
atletas (A) e são 
baianos (B)” 
B
 
A
 
A  B 
A  B 
B
 
A
 
A – B 
B
 
A
 
EX.: “Pessoas que não são 
atletas (A)” 
(Dentre todos os envolvidos, 
podendo ser, ou não, 
baianos) 
EX.: “Pessoas que ou são 
atletas (A), ou são baianos (B)” 
(O “ou...ou” é excludente) 
(AB) - (AB) 
B
 
A
 
CA = A 
B
 
A
 
1
o
. A  B = B  A 
2
o
 A   = A 
3
o
 A  A = A 
4
o
 (A  B)  C = A  (B  C) 
5
o
 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 
 
LINK: 
1
o
 A  B = B  A 
2
o
 A   =  
3
o 
A  A = A 
4
o
 (A  B)  C = A  (B  C) 
LINK: 
 
 
12 
@pedroevaristo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLOS 
 
01. Dentre um grupo de N alunos, que estudam para concursos, sabe-se que: 
• 40 tem aulas presenciais; 
• 70 assistem vídeo-aulas; 
• 20 utilizam os dois métodos; 
• 10 estudam sozinhos; 
Determine o total de alunos do grupo. 
a) 80 
b) 90 
c) 100 
d) 120 
 
1ª SOLUÇÃO: 
O preenchimento deve ser feito a partir do centro. 
Sendo n(P  V) = 20, temos: 
 
Se n(P) = 40, então 20 estão somente em P. 
 
Se n(V) = 70, então 50 estão somente em V. 
 
Como 10 não estão nem P, nem V, temos 
N = 20+20+50+10 = 100. 
 
Observe como representar em três diagramas, alguns 
termos muito usados em provas: 
 
LINK: 
 
 
13 
@pedroevaristo 
2ª SOLUÇÃO: 
Sabendo que 
n(PV) = n(P) + n(V) – n(PV) 
Temos 
n(PV) = 40 + 70 – 20 
n(PV) = 90 
Como 10 não estão nem P, nem V, temos 
N = 90 + 10 = 100 
 
02. Dentre um grupo de 100 alunos, que estudam para concursos, sabe-se que: 
 40 tem aulas presenciais; 
 70 assistem vídeo-aulas; 
 10 estudam sozinhos, sem aulas; 
Determine o número de alunos que utilizam os dois métodos. 
a) 20 
b) 30 
c) 40 
d) 50 
 
SOLUÇÃO: 
Assim como foi feito na questão anterior, o preenchimento dos diagramas deve ser feito a partir do centro, mas 
nesse caso, o valor da interseção é justamente o que se pede na questão. Dessa forma, atribuiremos uma variável 
“x” para a interseção. 
 n(PV) = x 
 
Logo, temos: 
 
 
Se n(P) = 40, então 40-x estão somente em P e como 
 
Se n(V) = 70, então 70-x estão somente em V. 
 
 
Como 10 não estão nem P, nem V, temos 
 
 
Sendo o total de alunos igual a 100, temos: 
40-x + x + 70-x + 10 = 100 
Portanto 
 x = 20 
 
 
14 
@pedroevaristo 
 
(CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e 
46 falam espanhol. 
 
03. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
Do enunciado, temos: 
 n(IE) = 64 
 n(I) = 42 
 n(E) = 46 
Sabendo que 
 n(IE) = n(I) + n(E) – n(IE) 
então 
 64 = 42 + 46 – n(IE) 
 n(IE) = 88 – 64 
n(IE) = 24 
 
04. Podemos afirmar que 18 técnicos falam somente inglês. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
Dos dados anteriores, temos o diagrama preenchido a partir da interseção de I e E. 
 
 
 
 
 
Portanto, realmente podemos afirmar que 18 falam somente inglês. 
 
05. (IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm 
uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. Sabe-se também que 60% das pessoas têm 
uma idéia original e apenas 50% têm idéias comercializáveis. Podemos afirmar que: 
a) 15% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. 
b) 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. 
c) 30% das pessoas têm idéias comercializáveis, mas não originais. 
d) 70% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. 
e) 65% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. 
 
SOLUÇÃO: 
Sejam 
 A – grupo dos que têm uma idéia original ; 
 B – grupo dos que têm uma idéia comercializável; 
Como todas as pessoas (100%) estão em pelo menos um dos grupos (A ou B), temos: 
 
 
 
 
 
Sabendo que 
 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) 
 100% = 60% + 50% – x 
 x = 10% 
portanto 
 10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis 
Resposta: B 
I E 
22 24 18 
A B 
x 50% – x 60% – x 
 
 
15 
@pedroevaristo 
 
(CESPE) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado 
concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso, usando esses 
livros, revelou que: 
 10 candidatos utilizaram somente o livro L; 
 20 utilizaram somente o livro N; 
 90 utilizaram o livro L; 
 20 utilizaram os livros L e M; 
 25 utilizaram os livros M e N; 
 15 utilizaram os três livros. 
Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes. 
 
06. Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 
 
JULGAMENTO: ERRADO 
Do enunciado, podemos construir o diagrama a seguir. 
 
O preenchimento deve ser feito a partir do centro, onde n(LMN) = 15. 
 
Como 25 pessoas usaram M e N, ou seja n(MN) = 25, então10 usaram somente M e N. 
 
Como 20 pessoas usaram M e L, ou seja n(ML) = 20, então 5 usaram somente M e L. 
 
Portanto, já podemos verificar que somente 5 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os 
livros L e M. 
 
07. Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
Podemos preencher diretamente os 10 que usaram somente L. 
 
 
16 
@pedroevaristo 
 
Como 90 pessoas usaram L, descontando 10+5+15 = 30, sobram 60 que usaram somente N e L. 
 
Podemos preencher diretamente os 20 que usaram somente N. 
 
Do total de 200 pessoas, descontando 15+10+5+60+10+20 = 120, sobram 80 que usaram somente M. 
 
Portanto, realmente mais de 100 candidatos (10+20+80=110) se prepararam para o concurso utilizando somente 
um desses livros. 
 
08. Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
Exatamente noventa candidatos (60+10+5+15=90) se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois 
desses livros (2 ou 3). 
 
09. Podemos afirmar que 75 candidatos utilizaram exatamente 2 livros. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
Nesse caso, não entram os 15 quem leram todos os livros, dessa forma, exatamente 75 candidatos (60+10+5=75) 
se prepararam para o concurso utilizando exatamente dois desses livros. 
 
10. O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105. 
 
JULGAMENTO: ERRADO 
O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M não foi inferior a 105, na verdade 
foram 110 (80+10+15+5). 
 
11. É correto afirmar que apenas 80 candidatos utilizaram somente o livro M. 
 
JULGAMENTO: CERTO 
Esteja atento a palavra “somente”, pois ela exclui todos os demais. Nesse caso, não entram os candidatos que 
leram outros livros além de M (5, 10, 15), logo 80 leram somente M. 
 
 
17 
@pedroevaristo 
 
CAPÍTULO 3 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
 SENTENÇA 
 
É uma frase declarativa (afirmativa ou negativa), podendo ser classificada como sentença aberta ou 
sentença fechada. Quando a sentença for fechada, ganhará o nome de proposição. 
 
 SENTENÇA ABERTA: É aquela frase declarativa na qual não é possível atribuir valor lógico (V ou F), por 
não termos informações suficientes para defini-la como sendo verdadeira ou falsa. 
 
EXEMPLO: 
 “X é um número par” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO) 
 “O irmão do meu irmão é meu irmão” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO) 
 
 SENTENÇA FECHADA: É aquela frase declarativa que é possível atribuir a ela um valor lógico (V ou F), 
pois temos informações suficientes para defini-la como sendo verdadeira ou falsa. 
 
EXEMPLO: 
 “4 é um número par” (VERDADEIRO) 
 “Pelé jogou futebol no Flamengo” (FALSO) 
No Português existem vários tipos de frases cuja entoação é mais ou menos previsível, de acordo com o 
sentido que transmitem. Embora só nos interessem para o raciocínio lógico apenas as frases 
declarativas, vale a pena distingui-las. 
 
LINK: 
DECLARATIVA 
Esse tipo de frase informa ou declara alguma coisa, 
podendo ser afirmativas ou negativas. 
“Fortaleza é uma cidade grande.” (AFIRMATIVA) 
“Salvador não é a capital do Brasil.” (NEGATIVA) 
 
INTERROGATIVA 
São aquelas que exprimem uma pergunta, podendo ser 
divididas em direta ou indireta. 
“Quantos anos você tem?” (DIRETA) 
“Diga qual é a sua idade.” (INDIRETA) 
 
EXCLAMATIVA 
São frases que exprimem uma emoção, apresentando 
entoação ligeiramente prolongada. 
“Que prova difícil!” (ADMIRAÇÃO) 
“Você aqui na cidade?!” (SURPRESA) 
 
IMPERATIVA 
Contém uma ordem, um conselho ou faz um pedido, 
utilizando o verbo no modo imperativo. 
“Vá estudar agora!” (ORDEM) 
“Por favor, vá estudar.” (PEDIDO) 
 
OPTATIVA 
Essa classificação menos conhecida, ocorre quando se 
exprime um bom desejo. 
“Vá com Deus!” 
“Tenha um dia feliz.” 
 
IMPRECATIVA 
Ainda menos conhecida que a optativa, esse tipo de 
frase exprime um mau desejo. 
“Vai te lascar!” 
“Eu quero mais é que ela morra!” 
 
 
 
18 
@pedroevaristo 
 
PROPOSIÇÃO SIMPLES 
É uma sentença fechada, pois a ela pode ser atribuído um valor lógico: verdadeiro (V) ou falso (F). 
 
EXEMPLO: 
A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) 
B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO) 
 
EQUIVALÊNCIA 
Duas proposições são ditas equivalentes, quando possuem sempre o mesmo valor lógico, 
ou seja, dizemos que A equivale a B, no caso de A ser verdade, B também é verdade, assim como 
se A é falso, B também é falso. Além disso, temos que A implica em B e que B implica em A ao 
mesmo tempo. 
 
EXEMPLO: 
A: “João é culpado” 
B: “João não é inocente” 
 
NEGAÇÃO 
Uma proposição é a negação de outra, quando sempre possui valor lógico contrário, ou seja, 
dizemos que A é negação de B, se A é verdade, então B é falso e se A é falso, então B é verdade. 
 
EXEMPLO: 
AFIRMAÇÕES: NEGAÇÕES: 
A: “Fortaleza é a capital do Ceará” (VERDADE) ~A: “Fortaleza não é a capital do Ceará” (FALSO) 
B: “O Brasil é um país da Europa” (FALSO) ~B: “O Brasil não é um país da Europa” (VERDADE) 
 
TAUTOLOGIA 
Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia quando é inevitavelmente verdadeira, ou seja, 
quando tem sempre o valor lógico verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições simples 
usadas na sua elaboração. 
 
EXEMPLO: 
“Ou Daniel é culpado, ou ele é inocente” (Obrigatoriamente VERDADEIRO) 
 
CONTRADIÇÃO 
Dizemos que uma proposição composta é uma contradição quando é inevitavelmente falsa, ou seja, 
quando tem sempre o valor lógico falso independentemente dos valores lógicos das proposições simples usadas 
na sua elaboração. 
 
EXEMPLO: 
“Maria é culpada, mas é inocente” (Obrigatoriamente FALSO) 
 
CONTINGÊNCIA 
Dizemos que uma proposição composta é uma contingência quando depende do contingente de 
proposições simples para poder ser V ou F, ou seja, a contingência pode ter os valores lógico verdadeiro ou falso. 
 
EXEMPLO: 
“Renato nasceu em Fortaleza ou nasceu em Natal” (Pode ser VERDADEIRO ou FALSO) 
CUIDADO! 
Existe uma tênue diferença entre “Algum” e “Nem todos”, 
por isso é bom prestar atenção. 
 
ALGUM 
Significa que pelo menos um, mas pode até ser que todos. 
 
NEM TODOS 
Significa que pelo menos um, mas não todos. 
 
LINK: 
 
 
19 
@pedroevaristo 
 
 DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
Devemos representar proposições simples através de diagramas, sobretudo aquelas que apresentam 
pronomes indefinidos, tais como: “Nenhum”, “Algum” ou “Todo”. 
 
NENHUM (~) 
 
Não existe interseção entre os conjuntos. Por exemplo, ao dizer que “nenhum A é B”, garante-se que não existe 
um elemento de A que também esteja em B. Sendo a recíproca verdadeira, ou seja, “nenhum B é A”. 
 
EX.: 
A: “Nenhum advogado é bancário” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGUM () 
 
Existe pelo menos um elemento na interseção entre os conjuntos, mas não necessariamente todos. Por exemplo, 
ao dizer que “algum A é B”, garante-se que existe pelo menos um elemento de A que também esteja em B. Sendo 
a recíproca verdadeira, ou seja, “algum B é A”. 
 
EX.: 
B: “Algum advogado é bancário” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TODO () 
 
Um dos conjuntos é subconjunto do outro. Por exemplo, ao dizer que “todo A é B”, garante-se que se um elemento 
está em A, então ele também está em B, mas não necessariamente se está em B também estará em A. 
 
EX.: 
C: “Todo advogado e bancário” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NEGAÇÕES: 
~A: “Não é verdade que nenhum advogado é bancário” 
~A: “Existe pelo menos um advogado que é bancário” 
~A: “Algum advogado é bancário” 
ADVOGADOS BANCÁRIOS 
 
ADVOGADOS 
 
BANCÁRIOS 
BANCÁRIOS ADVOGADOS 
EQUIVALÊNCIAS: 
A: “Não existe advogado que seja bancário” 
A: “Todo advogado não é bancário” 
A: “Se ele é advogado, então não é bancário” 
NEGAÇÕES: 
~B: “Não é verdade que algum advogado é bancário” 
~B: “Não existe um advogado que seja bancário” 
~B: “Nenhum advogado é bancário” 
EQUIVALÊNCIAS: 
B: “Pelo menosum advogado é bancário” 
B: “Existe advogado que é bancário” 
B: “Há um advogado que seja bancário” 
NEGAÇÕES: 
~C: “Não é verdade que todo advogado é bancário” 
~C: “Existe pelo menos um advogado que não é bancário” 
~C: “Algum advogado não é bancário” 
EQUIVALÊNCIAS: 
C: “Nenhum advogado não é bancário” 
C: “Não existe advogado que não seja bancário” 
C: “Se ele é advogado, então é bancário” 
 
 
20 
@pedroevaristo 
 
12. Considere que os argumentos são verdadeiros: 
 Todo comilão é gordinho; 
 Todo guloso é comilão; 
Com base nesses argumentos, é correto afirmar que: 
a) Todo gordinho é guloso. 
b) Todo comilão não é guloso. 
c) Pode existir gordinho que não é guloso. 
d) Existem gulosos que não são comilões. 
e) Pode existir guloso que não é gordinho. 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado temos os conjuntos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, podemos concluir que pode existir gordinho que não seja guloso. 
 
GULOSO 
COMILÃO 
GORDINHO 
 
 
21 
@pedroevaristo 
 
13. (IPAD) Supondo que “todos os cientistas são objetivos e que alguns filósofos também o são”, podemos 
logicamente concluir que: 
a) não pode haver cientista filósofo. 
b) algum filósofo é cientista. 
c) se algum filósofo é cientista, então ele é objetivo. 
d) alguns cientistas não são filósofos. 
e) nenhum filósofo é objetivo. 
 
SOLUÇÃO: 
 
Dadas as premissas: 
 A: “todos os cientistas são objetivos” 
 B: “alguns filósofos são objetivos” 
Sejam 
 O – Objetivos 
 C – Cientistas 
 F – Filósofos 
Do enunciado, para satisfazer as premissas A e B, temos os seguintes diagramas possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, temos que “se algum filósofo é cientista” ele fica de acordo com o 2º ou 3º diagrama, o que implica 
necessariamente que “esse filósofo será objetivo”, pois “todo cientista é objetivo”. 
Resposta: C 
 
14. (IPAD) Supondo que cronópios e famas existem e que nem todos os cronópios são famas, podemos concluir 
logicamente que: 
a) nenhum cronópio é fama. 
b) não existe cronópio que seja fama. 
c) todos os cronópios são famas. 
d) nenhum fama é cronópio. 
e) algum cronópio não é fama. 
 
SOLUÇÃO: 
Dada a premissa: 
 A: “Nem todos os cronópios são famas” 
Sejam 
 C – Cronópios 
 F – Famas 
Do enunciado, para satisfazer a premissa A, temos os seguintes diagramas possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos concluir que “Se nem todo cronópio é fama, então necessariamente existe pelo menos um cronópio que 
não é fama”. 
Resposta: E 
O 
C F 
O 
C F 1
o
 2
o
 3
o
 
O 
F C 
C F 1
o
 2
o
 C F 
 
 
22 
@pedroevaristo 
 
15. É verdade que "Alguns A são R" e que "nenhum G é R" então é necessariamente verdade que: 
a) Alguns A não é G. 
b) Algum A é G. 
c) Nenhum A é G. 
d) Algum G é A. 
e) Nenhum G é A. 
 
SOLUÇÃO: 
Sabe-se que todos os A que também são R, não podem ser G, pois nenhum G é R, então existem alguns A que 
nunca serão G. 
Resposta: A 
 
OBS.: 
Os outros itens estão errados por que podem ser verdade ou não, dependendo de como for o diagrama. Mas 
como não se pode garantir que G e A têm interseção ou não, nada se pode afirmar. 
 
16. Através de uma pesquisa, descobriu-se que “nenhum politico é honesto” e que “alguns advogados são 
honestos”. Dessa forma, aponte o único item errado. 
a) É possível que alguns politicos sejam advogados. 
b) Alguns advogados não são politicos. 
c) É impossível que algum advogado seja político. 
d) Há possibilidade de que nenhum politico seja advogado. 
e) Pode ou não haver advogado político. 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado temos os possíveis diagramas, que satisfazem as condições impostas: 
 
 
 
 
 
 
 
Cuidado! Não podemos afirmar que “existe A que é P”, nem tão pouco dizer que “não existe A que é P”. O fato é 
que pode ou não existir A que seja P, ou seja, podemos até afirmar que “é possível existir um A que seja P”, ou 
ainda, “é possível que não exista A que seja P”. Então, será errado dizer que “é impossível que um A seja P”. 
Resposta: C 
 
P 
A 
H 
1
o
 2
o
 
P 
A 
H 
LINK: 
CERTEZA 
100% de chance de acontecer o fato. 
PROVÁVEL 
Possível e com grande chance de acontecer. 
POSSÍVEL 
Existe alguma chance de acontecer, seja pequena, média ou grande. 
IMPROVÁVEL 
Possível, mas com pequena chance de acontecer. 
IMPOSSÍVEL 
0% de chance de acontecer o fato. 
 
 
23 
@pedroevaristo 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. A equivalência de “Nenhum bandido é honesto” é: 
a) Ninguém é honesto. 
b) Todos os bandidos são desonestos. 
c) Todas as pessoas são honestas. 
d) Todo bandido é honesto. 
e) Nenhum cidadão de bem é desonesto. 
 
02. Qual a equivalência de “Todo comerciante é rico”? 
a) Todo rico é comerciante. 
b) Todo comerciante não é rico. 
c) Nenhum comerciante é pobre. 
d) Algum comerciante não é rico. 
e) Nenhum comerciante não é rico. 
 
03. Qual a negação da proposição “Alguma lâmpada 
está acesa”? 
a) Alguma lâmpada não está acesa. 
b) Nenhuma lâmpada não está acesa. 
c) Nenhuma lâmpada está apagada. 
d) Todas as lâmpadas estão apagadas. 
 
04. Aponte a negação de “Nenhuma cadeira está 
quebrada”. 
a) Todas as cadeiras estão quebradas. 
b) Todas as cadeiras estão concertadas. 
c) Alguma cadeira está quebrada. 
d) Alguma cadeira não está quebrada. 
 
05. Qual das proposições a seguir é necessariamente 
verdadeira, sempre que a proposição P: “Nenhuma 
porta está aberta” for falsa? 
a) Todas as portas estão fechadas. 
b) Todas as portas estão abertas. 
c) Alguma porta está aberta. 
d) Alguma porta está fechada. 
 
06. Dadas as proposições: 
 I – Toda mulher é boa motorista. 
 II – Nenhum homem é bom motorista. 
 III – Todos os homens são maus motoristas. 
 IV – Pelo menos um homem é mau motorista. 
 V – Todos os homens são bons motoristas. 
A negação da proposição (V) é: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) IV 
e) V 
 
07. Qual é negação da sentença "Os três filhos de 
Fábio são advogados"? 
a) Nenhum dos três filhos de Fábio são advogados. 
b) Pelos menos um dos três filhos de Fábio não é 
advogado. 
c) Algum dos três filhos de Fábio é advogado. 
d) Todos os filhos de Fábio são advogados. 
e) Todos os três filhos de Fábio não são advogados. 
 
ANOTAÇÕES: 
 
 
24 
@pedroevaristo 
08. Assinale a alternativa que apresenta uma 
contradição. 
a) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não 
é espião. 
b) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não 
é vegetariano. 
c) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano 
é espião. 
d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é 
vegetariano. 
e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é 
vegetariano. 
 
09. (FCC) Partindo das premissas: 
(1) Todo advogado é sagaz. 
(2) Todo advogado é formado em Direito. 
(3) Roberval é sagaz. 
(4) Sulamita é juíza. 
Pode-se concluir que 
a) Roberval é advogado. 
b) Sulamita é sagaz. 
c) Roberval é promotor. 
d) Sulamita e Roberval são casados. 
e) há pessoas formadas em Direito que são sagazes. 
 
10. Das premissas: 
A: “Nenhum herói é covarde” 
B: “Alguns soldados são covardes” 
Pode-se corretamente concluir que: 
a) Alguns heróis são soldados 
b) Alguns soldados são heróis 
c) Nenhum herói é soldado 
d) Nenhum soldado é herói 
e) Alguns soldados não são heróis 
 
11. Supondo que “todos os alunos são inteligentes” e 
que “Nem todos os filósofos também são inteligentes”, 
podemos logicamente concluir que: 
a) não pode haver aluno filósofo. 
b) algum filósofo é aluno. 
c) nenhum filósofo é inteligente. 
d) alguns alunos não são filósofos. 
e) se algum filósofo é aluno, então ele é inteligente. 
 
 
12. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. 
Sabe-se, também, que todo B é C. Disto resulta que: 
a) Algum A não é C 
b) Todo A é C 
c) Algum A é C 
d) Todo C é B. 
e) Todo C é A 
 
 
ANOTAÇÕES: 
 
 
25 
@pedroevaristo 
 
 CERTO OU ERRADO 
 
(CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens 
subsequentes. 
 
13. A negação da proposição “Algum turista é 
argentino” é a proposição “Nenhum turista é 
argentino”. 
 
14. A negação da proposição “Nenhum aluno é 
policial” é a proposição “Algum aluno é policial”. 
 
15. Se a afirmativa “Todos os beija-floresvoam 
rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa 
“Algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser 
considerada verdadeira. 
 
16. Se a afirmativa “Todos os cidadãos brasileiros têm 
garantido o direito de herança” for considerada falsa, 
então a afirmativa “Nenhum cidadão brasileiro têm 
garantido o direito de herança” tem de ser considerada 
verdadeira. 
 
17. A negação de “Algum restaurante tem comida 
italiana” é a sentença “Nenhum restaurante italiano 
tem comida”. 
 
(CESPE) Com relação à lógica argumentativa, julgue 
os itens subsequentes. 
 
18. Considere que as proposições “Todo funcionário 
público sabe lógica” e “Todo policial é funcionário 
público” são premissas de uma argumentação cuja 
conclusão é “Todo policial sabe lógica”. Então essa 
argumentação é válida. 
 
19. Considere uma argumentação em que duas 
premissas são da forma 
1. Nenhum A é B. 
2. Todo C é A. 
e a conclusão é da forma 
“Nenhum C é B”. 
Essa argumentação não pode ser considerada válida. 
 
 QUESTÃO CURIOSA 
 
20. Em uma festa com 500 pessoas, podemos afirmar 
com certeza que entre os presentes: 
a) Existe pelo menos um que aniversaria em maio. 
b) Existem pelo menos dois que aniversariam no 
mesmo dia. 
c) Existem mais de dois que aniversariam no mesmo 
dia. 
d) Existem dois que não aniversariam no mesmo dia. 
e) Nenhum aniversaria no mesmo dia que outro 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES: 
 
 
26 
@pedroevaristo 
 
 VISÃO ALÉM DO ALCANCE 
 
Consegue achar 10 faces nesta árvore? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GABARITO 
 
GABARITO 
01. B 02. E 03. D 04. C 05. C 
06. D 07. B 08. C 09. E 10. E 
11. E 12. C 13. C 14. C 15. C 
16. E 17. E 19. C 19. E 20. B 
 
 
27 
@pedroevaristo 
 
CAPÍTULO 4 
 
LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
 INTRODUÇÃO 
 
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. 
Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George 
Boole, matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas 
para representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, 
cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. 
 
LÓGICA MATEMÁTICA 
 
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas 
como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes: 
 
 PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo 
alternativa. 
 PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. 
 
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa 
possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para 
proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). 
As proposições são geralmente, mas não obrigatoriamente, representadas por letras maiúsculas. 
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito!", “Que horas são?”, “x é 
um número par” e “x + 2 = 7”, não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor 
lógico definido (verdadeiro ou falso). 
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu 
valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0. 
 A: "Fortaleza é a capital do Ceará” (V) 
 B: “O Brasil é um país da Europa” (F) 
 C: "3 + 5 = 2" (F) 
 D: "7 + 5 = 12" (V) 
 E: "O Sol é um planeta" (F) 
 F: "Um pentágono é um polígono de dez lados" (F) 
 
SENTENÇA ABERTA: Não pode ser atribuído um valor lógico 
 EX.: 
 “X é um número par” → Pode ser Verdadeiro (V) ou Falso (F), não se pode afirmar. 
 
SENTENÇA FECHADA: Pode ser atribuído um valor lógico V ou F. 
 EX.: 
 “O professor Pedro Evaristo ensina Matemática” → Sentença Verdadeira (V) 
 “A soma 2 + 2 é igual a 5” → Sentença Falsa (F) 
 
 
28 
@pedroevaristo 
 
SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA (CONECTIVOS E QUALIFICADORES) 
 
CONECTIVOS E QUALIFICADORES 
 NÃO 
 E 
 OU 
 OU ... OU 
 SE ... ENTÃO 
 SE E SOMENTE SE 
 TAL QUE 
 IMPLICA 
 EQUIVALENTE 
 EXISTE 
 NÃO EXISTE 
  EXISTE UM E SOMENTE UM 
 QUALQUER QUE SEJA 
 
 
O MODIFICADOR NEGAÇÃO 
 
Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p ou p. (Lê-se "não p" ). 
 
EXEMPLOS: 
p: “2 pontos distintos determinam uma única reta” (V) 
~p: “2 pontos distintos não determinam uma única reta” (F) 
 
q: “João é magro” 
~q: “João não é magro” 
~q: “Não é verdade que João é magro” 
 
s: “Fernando é honesto” 
s: “Fernando não é honesto” 
s: “Não é verdade que Fernando é honesto” 
s: “Fernando é desonesto” 
 
OBS.: 
Duas negações equivalem a uma afirmação, ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p. 
 
p: “Diego dirige bem” 
~p: “Diego não dirige bem” 
~(~p): “Não é verdade que Diego não dirige bem” 
LINK: 
IMPORTANTE: 
Afirmação e negação 
sempre possuem valores 
lógicos contrários! 
 
 Se A é V, então ~A é F 
 
 Se A é F, então ~A é V 
 
A ~A 
 
V F 
 
F V 
 
 
29 
@pedroevaristo 
 
ESTRUTURAS E OPERAÇÕES LÓGICAS 
 
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos , ,  e , dando origem 
ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos 
então formar as seguintes proposições compostas: pq, pq, pq, pq. 
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir: 
 
 CONJUNÇÃO: 
 p q (lê-se "p e q" ) 
 DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE: 
 p q (lê-se "p ou q") 
 DISJUNÇÃO EXCLUDENTE: 
 p q (lê-se "ou p, ou q") 
 CONDICIONAL: 
 p  q (lê-se "se p então q") 
 BI-CONDICIONAL: 
 p q (lê-se "p se e somente se q") 
 
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q, como determinaremos os valores 
lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também 
conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. 
 
 
 
` 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA VERDADE 
 
A tabela verdade mostra o valor lógico de proposições compostas, com base em todas as possíveis combinações 
dos valores lógicos para as proposições simples que a formam. Ou seja, devemos julgar a veracidade (ou não) da 
proposição composta, mediante todas combinações de V e F das proposições simples envolvidas. 
 O número de linhas da tabela verdade depende do número de proposições, como cada proposição 
simples pode assumir duas possíveis valorações (V ou F), temos então: 
 
LINK: 
FÓRMULA 
n
o
 de linhas da tabela = 2
(nº de proposições simples)
 
LINK: 
 
 
30 
@pedroevaristo 
 
 CONJUNÇÃO (E) 
 
 
 
 
 
A conjunção só será verdadeira em apenas um caso, se a premissa A for verdadeira e a premissa B também for 
verdadeira, ou seja, caso uma delas seja falsa a conjunção toda torna-se falsa. 
 
EXEMPLO: 
Analise a afirmação: “Pedro vai à Argentina e à Bolívia”. 
A: “Pedro vai à Argentina” 
B: “Pedro vai à Bolívia” 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
CONCLUSÕES: 
 Só existe uma possibilidade de essa proposição composta ser verdadeira, que é no caso de Pedro 
realmente ir aos dois países. 
 
Observe que a afirmação é falsa, se pelo menos uma das premissas forem falsas. 
 
 
 
 
 
 
 
A  B (lê-se “Premissa A e premissa B”) 
LINK: 
A  B 
“Premissa A e premissa B” 
 
 
 
 
 
31 
@pedroevaristo 
 
 DISJUNÇÃO INCLUDENTE (OU) 
 
 
 
 
 
 PREMISSAS NÃO EXCLUDENTES: são aquelas que podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso 
o “ou” significa dizer que pelo menos uma das premissas deverá ser verdadeira. Nesse caso o “ou” significa 
que pelo menos uma das premissas é verdadeira. 
 
EXEMPLO: 
Analise a afirmação: “Pedro vai à Argentina ou àBolívia”. 
A: “Pedro vai à Argentina” 
B: “Pedro vai à Bolívia” 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
CONCLUSÕES: 
 Sabendo que Pedro foi à Argentina, conclui-se que ele pode ter ido ou não à Bolívia. 
 Sabendo que ele não foi à Argentina, conclui-se que certamente foi à Bolívia. 
 Sabendo que ele foi à Bolívia, conclui-se que ele pode ter ido ou não à Argentina. 
 Sabendo que ele não foi à Bolívia, conclui-se que certamente foi à Argentina. 
 
Observe que, nesse caso, o “ou” significa que Pedro vai a “pelo menos” um desses lugares (nada impede que ele 
vá aos dois países). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK: 
A v B 
“Premissa A ou premissa B” 
 
 
 
A  B (lê-se “Premissa A ou premissa B”) 
 
 
32 
@pedroevaristo 
 
 DISJUNÇÃO EXCLUDENTE (OU...OU) 
 
 
 
 
 
Quando estamos trabalhando com disjunções, devemos analisar inicialmente se as premissas são excludentes ou 
não excludentes. 
 
 PREMISSAS EXCLUDENTES: são aquelas que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, nesse caso o 
“ou” significa dizer que exatamente uma das premissas deverá ser verdadeira. Caso seja usado “ou...ou”, 
devemos entender que se trata de disjunção excludente. 
 
EXEMPLO: 
Analise a afirmação: “Felipe nasceu ou em Fortaleza, ou em São Paulo”. 
A:”Felipe nasceu em Fortaleza” 
B:”Felipe nasceu em São Paulo” 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
CONCLUSÕES: 
 Sabendo que ele nasceu em Fortaleza, conclui-se que não nasceu em São Paulo. 
 Sabendo que ele não nasceu em Fortaleza, conclui-se que nasceu em São Paulo. 
 Sabendo que ele nasceu em São Paulo, conclui-se que não nasceu em Fortaleza. 
 Sabendo que ele não nasceu em São Paulo, conclui-se que nasceu em Fortaleza. 
Observe que na tabela verdade é falso o caso de A e B serem verdade ao mesmo tempo, pois fica claro que 
ninguém pode nascer em dois lugares ao mesmo tempo. Então, a afirmação só será verdadeira, se exatamente 
um das duas premissas for verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK: 
A v B 
“Ou premissa A, ou premissa B” 
(Premissas excludentes) 
 
 
 
A  B (lê-se “Ou premissa A, ou premissa B”) 
 
 
33 
@pedroevaristo 
 
 CONDICIONAL (SE ... ENTÃO) 
 
 
 
 
 
Essa condição deixa clara que se a premissa A for verdadeira, então a premissa B será necessariamente 
verdadeira também, mas a recíproca não é válida, ou seja, mesmo que A seja falsa nada impede que B seja 
verdadeira. 
 
EXEMPLO: 
Analise a afirmação: “Se Pedro receber dinheiro na sexta-feira então irá à praia no fim de semana”. 
A:”Pedro recebe dinheiro na sexta-feira” 
B:”Pedro vai à praia no fim de semana” 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
CONCLUSÕES: 
 Sabendo que Pedro recebeu dinheiro, conclui-se que necessariamente ele foi à praia. 
 Sabendo que Pedro não recebeu dinheiro, então ele pode ter ido ou não à praia. 
 Sabendo que Pedro foi à praia, então ele pode ter recebido ou não o dinheiro. 
 Sabendo que Pedro não foi à praia, conclui-se que ele necessariamente não recebeu o dinheiro. 
 
Observe que a afirmação só será falsa, se Pedro receber o dinheiro e mesmo assim não for à praia. 
 
 
 
 
 
 
LINK: 
A  B 
“Se premissa A, então premissa B” 
 
Do quadro acima podemos concluir que A  B é 
equivalente a 
~B  ~A 
“Se não for verdadeira a premissa B, então não será 
verdadeira a premissa A” 
A  B (lê-se “Se premissa A, então premissa B”) 
 
 
34 
@pedroevaristo 
 
 
 BI-CONDICIONAL (SE E SOMENTE SE) 
 
 
 
 
Nessas condições, fica claro que a premissa A só será verdadeira no caso da premissa B também ser. Fica ainda 
implícito que a recíproca é válida, ou seja, a premissa B também só será verdadeira no caso da premissa A 
também ser. 
 
EXEMPLO: 
Analise a afirmação: “Pedro irá à praia no fim de semana, se e somente se ele receber dinheiro na sexta-feira”. 
A:”Pedro recebe dinheiro na sexta-feira” 
B:”Pedro vai à praia no fim de semana” 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B 
V V V 
F V F 
V F F 
F F V 
 
CONCLUSÕES: 
 Sabendo que Pedro recebeu dinheiro, conclui-se que certamente foi à praia. 
 Sabendo que Pedro não recebeu dinheiro, conclui-se que ele não foi à praia. 
 Sabendo que Pedro foi à praia, conclui-se que é porque ele recebeu o dinheiro. 
 Sabendo que Pedro não foi à praia, conclui-se que certamente ele não recebeu o dinheiro. 
Observe que a afirmação só será verdadeira, se as duas premissas tiverem o mesmo valor lógico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK: 
A  B 
“Premissa A, se e somente se Premissa B” 
 
Do quadro acima podemos concluir que A  B é 
equivalente a 
~A  ~B 
“Premissa ~A, se e somente se Premissa ~B” 
 
OBS.: 
 A é condição necessária e suficiente para que B 
ocorra 
 B é condição necessária e suficiente para que A 
ocorra 
 
A  B (lê-se “Premissa A, se e somente se a premissa B”) 
 
 
35 
@pedroevaristo 
 
 NECESSÁRIO x SUFICIENTE 
 
CONDIÇÃO SUFICIENTE: condição máxima que deve ser atendida (basta que A ocorra para B ocorrer) 
 
CONDIÇÃO NECESSÁRIA: condição mínima que deve ser atendida (caso B não ocorra, A não ocorre) 
 
Para um condicional (A  B), temos: 
 A é condição suficiente para que B ocorra 
 B é condição necessária para que A ocorra 
 ~B é condição suficiente para que ~A ocorra 
 ~A é condição necessária para que ~B ocorra 
 
RESUMINDO: 
Quem está do lado esquerdo do condicional é sempre condição suficiente para quem fica do lado direito. 
 
 
 
 
 
 
Quem está do lado direito do condicional é sempre condição necessária para quem fica do lado esquerdo. 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
No caso do bi-condicional, sabemos que A implica em B e, ao mesmo tempo, B implica em A, logo tanto A quanto 
B funcionam simultaneamente como condição necessária e suficiente. 
 
 
 
 
 
 
A  B ~B  ~A 
A é SUFIENTE para B ~B é SUFIENTE para ~A 
A  B ~B  ~A 
B é NECESSÁRIO para A 
~A é NECESSÁRIO para ~B 
A  B 
A é NECESSÁRIO e 
SUFICIENTE para B 
A é SUFICIENTE 
para B 
(A  B)  (B  A) 
A é NECESSÁRIO 
para B 
LINK: 
A  B 
“Se A, então B” 
 
 
 
36 
@pedroevaristo 
 
 TABELA VERDADE 
 
Podemos resumir em uma única tabela verdade todos os conectivos vistos. Dadas as proposições simples A e B, 
cujos valores lógicos representaremos por (F) quando falsa e (V) quando verdadeira, temos a tabela simplificada: 
 
 TABELA VERDADE 
 
 
 
 
 
 
 
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: 
 a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. 
 a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. 
 a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. 
 a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. 
 
 
EQUIVALÊNCIAS 
 
Duas proposições são equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos na tabela 
verdade, ou ainda, quando podem substituir uma à outra sem perda do sentido lógico. Na tabela ao 
lado, quando A é verdade (V) temos que B também é verdade (V) e quando A é falso (F) temos que B 
também é falso (F), logo A e B são equivalentes. 
O importante nesse caso é não confundir implicação com equivalência. Por exemplo, dizer 
que A:“João é rico” implica em dizer que B:“João não é pobre”, no entanto, dizer B:“João não é pobre” 
não implica em dizer que A:“João é rico”, portanto A e B não são equivalentes, mas podemos afirmar que A 
implica em B (A  B). Por outro lado, se P:”João é honesto” então implica que Q:”João não é desonesto” e de 
forma recíproca se Q:”João não é desonesto” então implica que P:”João é honesto”, portanto nesse caso P e Q 
são equivalentes pois uma proposição implica na outra (P  Q). 
Observe das principais equivalências para proposições compostas: 
 
 
A B = ~B  ~A 
 
 
EXEMPLOS: 
A  P: “Se João está armado, então será preso”. 
~P  ~A: “Se João não foi preso, então ele não está armado” 
 
R  V: “Se Pedroreceber dinheiro, então ele viaja” 
~V  ~R: “Se Pedro não viajou, então ele não recebeu dinheiro” 
 
~S  C: “Caso não faça sol, ficarei em casa” 
~C  S: “Caso não fique em casa, fez sol” 
 
 
A B A  B A  B A  B A  B A  B 
V V V V F V V 
V F F V V F F 
F V F V V V F 
F F F F F V V 
 
 
37 
@pedroevaristo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B = ~A  B 
 
EXEMPLOS: 
A  P: “Se João está armado, então será preso”. 
~A  P: “João não está armado ou será preso” 
 
~S  C: “Caso não faça sol, ficarei em casa” 
S  C: “Faz sol ou fico em casa” 
 
 
A B = B  A = (A B)  (B  A) 
 
EXEMPLOS: 
S  P: “Se e somente se fizer sol, então irei à praia” 
P  S: “Se e somente se for à praia, então fez sol” 
(S  P)(P  S): “Se fizer sol, irei à praia e se for a praia, fez sol” 
 
V  R: “Viajo se e somente se receber dinheiro” 
(R  V)(V  R): “Se receber dinheiro, viajo e se viajar, recebi” 
 
P  E: “Passo se e somente se estudar” 
(P  E)(E  P): “Se passar, estudei e se estudei, passei” 
LINK: 
EQUIVALÊNCIAS: 
Algumas formas equivalentes de escrever uma proposição 
composta condicional. 
 
S  P 
“Se fizer sol então vou à praia” 
“Se fizer sol, vou à praia” 
“Fazer sol implica em ir à praia” 
“Fazendo sol, vou à praia” 
“Quando fizer sol, vou à praia” 
“Sempre que faz sol, vou à praia” 
“Toda vez que faz sol, vou à praia” 
“Caso faça sol, irei à praia” 
“Irei à praia, caso faça sol” 
“Fazer sol é condição suficiente para que eu vá à praia” 
“Ir à praia é condição necessária para ter feito sol” 
 
S  P  ~P  ~S 
“Se não for à praia então não fez sol” 
“Não ir à praia é condição suficiente para não ter feito sol” 
“Não fazer sol é condição necessária para não ir à praia” 
 
 
38 
@pedroevaristo 
 
A  B = (A  B)  (~A  ~B) 
 
EXEMPLOS: 
V  R: “Viajo se e somente se receber dinheiro” 
(R  V)(~R  ~V): “Ou recebo dinheiro e viajo, ou não recebo e não viajo” 
 
P  E: “Passo se e somente se estudar” 
(E  P)(~E  ~P): “Ou estudo e passo, ou não estudo e não passo” 
 
 
NEGAÇÕES (~) ou () 
 
A negação de uma proposição (A) é outra proposição (~A) que possui sempre valor lógico 
contrário, ou seja, sempre que A for verdadeiro então ~A é falso e quando A for falso então ~A é 
verdadeiro. Observe na tabela ao lado que as proposições A e B possuem sempre valores lógicos 
contrários, pois sempre que A é verdade (V) temos que B será falso (F) e quando A é falso (F) temos 
que B será verdadeiro (V), logo A é a negação de B. 
É comum o aluno confundir antônimo com negação! Mas cuidado, são coisas diferentes. Por 
exemplo, “rico” e “pobre” são antônimos, mas “João é pobre” não é a negação de “João é rico”, afinal se João não 
for rico não quer dizer que seja pobre, quer dizer apenas que “João não rico”. Mas existe caso em que o antônimo 
é a negação, tais como: culpado e inocente, honesto e desonesto, vivo e morto, dentre outros. 
 
EXEMPLOS DE NEGAÇÕES 
 A: “Aline é bonita”  ~A: ”Aline não é bonita” 
 (o fato dela “não ser bonita” não significa que “ela é feia”) 
 
 B: “Kleyton é alto”  ~B: ”Kleyton não é alto” 
 (o fato dele “não ser alto” não significa que “ele é baixo”) 
 
 C: “Daniel é magro”  ~C: “Daniel não é magro” 
 (o fato dele “não ser magro” não significa que “ele é gordo”) 
 
 E: “Carol foi aprovada”  ~D: “Carol foi reprovada” 
 (nesse caso, reprovado significa não aprovado) 
 
 F: “Lia é culpada”  ~F: “Lia é inocente” 
 (nesse caso, inocente significa não culpado) 
 
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN 
Todas as propriedades a seguir podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. 
 
 
~(A  B) = ~A  ~B 
 
A conjunção só é verdade se as duas proposições forem verdades, portanto se não é verdade (A  B) é por que 
pelo menos uma das proposições é falsa (não precisa que as duas sejam falsas). 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B ~(A  B) ~A ~B ~A  ~B 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
 
 
 
39 
@pedroevaristo 
EXEMPLO: 
Qual a negação da proposição "Carol estuda e aprende"? 
A negação é "Carol não estuda ou não aprende". 
 
EXEMPLO: 
Qual a equivalência de “Não é verdade que Ribamar é cearense e é bancário”? 
Equivale a “Ribamar não é cearense ou não é bancário”. 
 
 
~(A  B) = ~A  ~B 
 
A disjunção não-excludente é verdade se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira, portanto se não é 
verdade (A  B) é por que as proposições têm que ser falsas. 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B ~(A  B) ~A ~B ~A  ~B 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
 
EXEMPLO: 
Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"? 
A negação é "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado". 
 
EXEMPLO: 
Qual a equivalência de “Não é verdade que Rosélia foi à praia ou ao cinema”? 
Equivale a “Rosélia não foi à praia e não foi ao cinema” 
 
 
~(A  B) = A  ~B 
 
O condicional (A  B) só é falso se A for verdade e que B for falso, portanto se não é verdade (A  B) é por que 
as proposições A e ~B têm que ser verdadeiras. 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B ~(A  B) A ~B A  ~B 
V V V F V F F 
V F F V V V V 
F V V F F F F 
F F V F F V F 
 
EXEMPLO: 
Qual a negação da proposição: "Se Maria estuda então aprende"? 
A negação procurada é: "Maria estuda e não aprende" 
 
EXEMPLO: 
Qual a equivalência de “Não é verdade que se Milena receber dinheiro então viajará”? 
Equivale a “Milena recebe dinheiro e não viaja”. 
 
 
40 
@pedroevaristo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAUTOLOGIA 
Como vimos anteriormente, uma proposição composta é uma tautologia quando é inevitavelmente 
verdadeira. Para provar que essa proposição é uma tautologia podemos usar dois métodos: 
 construir uma tabela verdade verificando que tal proposição é sempre verdade (V) para todas as 
combinações de V e F das proposições simples usadas na sua elaboração; 
 tentar atribuir valores lógicos (V e F) para forçar que a proposição composta se torne falsa (F), caso isso 
não seja possível deduz-se que é uma tautologia e portanto inevitavelmente verdadeira (V). 
EXEMPLO: 
P  ~P: “João é honesto ou desonesto” 
(Obrigatoriamente VERDADEIRA) 
 
CONTRADIÇÃO 
Uma proposição composta é uma contradição quando é inevitavelmente falsa. Para provar que essa 
proposição é uma contradição podemos usar dois métodos: 
 construir uma tabela verdade verificando que tal proposição é sempre falsa (F) para todas as combinações 
de V e F das proposições simples usadas na sua elaboração; 
 tentar atribuir valores lógicos (V e F) para forçar que a proposição composta se torne verdadeira (V), caso 
isso não seja possível deduz-se que é uma contradição e portanto inevitavelmente falsa (F). 
EXEMPLO: 
Q  ~Q: “Maria é culpada, mas é inocente” 
(Obrigatoriamente FALSO) 
 
CONTINGÊNCIA 
Uma proposição composta é uma contingência quando depende do contingente de proposições simples 
usadas na sua elaboração, para poder ser V ou F. 
 
EXEMPLO: 
A  B: “João é rico e Maria é bonita” 
(Dependendo da outras proposições pode ser VERDADE ou FALSO) 
 
 
EQUIVALÊNCIAS 
A  B = (A  B) v (~A  ~B) 
A  B = (A  B)  (B  A) 
A  B = B  A 
A  B = ~B  ~A 
A  B = ~(A  ~B) = ~A v B 
A = ~(~A) 
 
NEGAÇÕES 
~(A  B) = ~A v ~B 
~(A v B) = ~A  ~B 
~(A v B) = (A  B) v (~A  ~B) 
~(A v B) = A  B 
~(A  B) = A v B 
~(A  B) = A  ~B 
LINK: 
LINK: 
 
 
41 
@pedroevaristo 
EXEMPLO 
 
01. Dadas às proposições simples: 
 A: “Sophia é arquiteta” 
 B: “Sophia gosta de viajar” 
 C: “Sophia é feliz” 
Traduza para a linguagem natural às proposições dadas a seguir, de acordo com a simbologia. 
 
a) ~A: “Sophia não é arquiteta” 
 
b) ~(~A): “Não é verdade que Sophia não é arquiteta” 
 
c) ~B: “Sophia não gosta de viajar” 
 
d) A B: “Sophia é arquiteta e gosta de viajar” 
 
e) A B: “Sophia é arquiteta ou gosta de viajar” 
 
f) A B: “Ou Sophia éarquiteta, ou Sophia gosta de viajar” 
 
g) ~A B: “Sophia não é arquiteta ou gosta de viajar” 
 
h) A ~B: “Sophia é arquiteta ou não gosta de viajar” 
 
i) ~(A B): “Não é verdade que Sophia é arquiteta ou gosta de viajar” 
 
j) A  B: “Se Sophia é arquiteta então gosta de viajar” 
 
k) A  B: “Se e somente se Sophia é arquiteta então gosta de viajar” 
 
l) ~A  B: “Se Sophia não é arquiteta então gosta de viajar” 
 
m) ~(A  B): “Não é verdade que se Sophia é arquiteta, gosta de viajar” 
 
n) (A B)  C: “Se Sophia é arquiteta e gosta de viajar, então é feliz” 
 
o) A  (B C): “Se Sophia é arquiteta, então gosta de viajar e é feliz” 
 
p) ~A  (B C): “Se Sophia não é arquiteta, gosta de viajar ou é feliz” 
 
02. Dadas às proposições simples: 
 A: “Daniel é rico” 
 B: “Daniel é honesto” 
Passe da linguagem natural para a linguagem simbólica, às proposições compostas dadas a seguir. 
 
a) “Daniel é rico, mas é honesto”: A  B 
 
b) “Daniel não é rico, mas é honesto”: ~A  B 
 
c) “Daniel é rico, mas é desonesto”: A  ~B 
 
d) “Não é verdade que Daniel é rico e é honesto”: ~(A  B) 
 
e) “Daniel é rico ou é honesto”: A  B 
 
f) “Daniel não é rico ou é honesto”: ~A  B 
 
g) “Não é verdade que Daniel é rico ou é honesto”: ~(A  B) 
 
h) “Se Daniel é rico, então ele é honesto”: A  B 
 
i) “Se Daniel é rico, então ele é desonesto”: A  ~B 
 
 
42 
@pedroevaristo 
 
j) “Se Daniel não é rico, então ele é honesto”: ~A  B 
 
k) “Não é verdade que se Daniel é rico, então ele é honesto”: ~(AB) 
 
l) “Daniel é rico se e somente se ele é honesto”: A  B 
 
03. Dadas das proposições simples A: “Felipe é piloto” e B: “Diego é tenista”, responda as questões a seguir. 
 
TABELA VERDADE 
A B A  B A  B A  B A  B A  B 
V V V V F V V 
V F F V V F F 
F V F V V V F 
F F F F F V V 
 
a) Qual uma proposição equivalente a AB: “Se Felipe é piloto, então Diego é tenista”? 
 
RESPOSTA: 
Existem várias formas de equivalência, dentre ela a mais usada é 
~B~A: “Se Diego não é tenista, então Felipe não é piloto” 
Mas também pode ser dada por 
 AB: “Felipe ser piloto é condição suficiente para Diego ser tenista” 
Ou ainda 
 AB: “Diego ser tenista é condição necessária para Felipe ser piloto” 
 
b) Qual uma possível negação de AB: “Se Felipe é piloto, então Diego é tenista”? 
 
RESPOSTA: 
Uma possibilidade é 
~(AB): “Não é verdade que se Felipe é piloto, então Diego é tenista” 
Ou seja, como não é verdade, temos que 
 A~B: “Felipe é piloto, mas Diego não é tenista” 
 
c) Qual a negação de AB: “Felipe é piloto e Diego é tenista”? 
 
RESPOSTA: 
A negação pode ser dada por 
~(AB): “Não é verdade que Felipe é piloto e Diego é tenista” 
Ou ainda 
(~A~B): “Felipe não é piloto ou Diego não é tenista” 
 
d) Qual a negação de AB: “Felipe é piloto ou Diego é tenista”? 
 
RESPOSTA: 
A negação pode ser dada por 
~(AB): “Não é verdade que Felipe é piloto ou Diego é tenista” 
Logo 
(~A~B): “Felipe não é piloto e Diego não é tenista” 
Ou ainda 
 (~A~B): “Nem Felipe é piloto, nem Diego é tenista” 
 
e) Qual a negação de AB: “Ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista”? 
 
RESPOSTA: 
A negação pode ser dada por 
~(AB): “Não é verdade que ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista” 
Logo, para que AB não seja verdade, temos que: 
(AB)(~A~B): “Ou Felipe é piloto e Diego é tenista, ou Felipe não é piloto e Diego não é tenista” 
 
 
 
43 
@pedroevaristo 
f) Qual a negação de AB: “Felipe é piloto, se e somente se Diego é tenista”? 
 
RESPOSTA: 
Lembre-se que o bi-condicional só é verdade quando as duas proposições forem verdade ou as duas forem falsas. 
(AB)(~A~B): “Ou Felipe é piloto e Diego é tenista, ou Felipe não é piloto e Diego não é tenista” 
Logo, para que AB não seja verdade, temos que: 
~(AB) = (AB): “Ou Felipe é piloto, ou Diego é tenista 
 
04. Aponte a negação da proposição “Ribamar é advogado ou é inocente”. 
a) Ribamar é advogado e é inocente 
b) Não é verdade que Ribamar é advogado e é inocente 
c) Ribamar não é advogado e é culpado 
d) Ribamar não é advogado ou é culpado 
 
SOLUÇÃO: 
Sendo AB: “Ribamar é advogado ou é inocente”, então sua negação pode ser dada por ~(AB): “Não é verdade 
que Ribamar é advogado ou é inocente”, ou ainda por ~A~B: “Ribamar não é advogado e é culpado”. (lembre-se 
que na disjunção “ou” pelo menos uma das proposições tem que ser verdadeira) 
 
05. (FJPF) Todos acreditam que: “Cão que late, não morde”. Considerando verdadeira essa afirmação, então 
pode-se concluir que: 
a) Um cão pode latir e mesmo assim me morder. 
b) Se um cão não latir irá morder. 
c) Se um cão não morder é por que ele latiu. 
d) Se um animal latir e morder, ele não é um cão. 
e) Todos os animais que não mordem são cães. 
 
SOLUÇÃO: 
Sabe-se que “todo cão que late, não morde”, então se um “animal” latir e mesmo assim morder, esse “animal” não 
pode ser um cão, pois “se um cão latir, não irá morder”. 
OBS.: O fato é que tendemos a pensar que apenas o cão é capaz de latir, mas o “animal” em questão pode ser, 
por exemplo, uma pessoa imitando um cão e a mordida pode ser de brincadeira. Se atenha a estrutura lógica e 
não ao enredo da história. 
 
06. Aponte o item abaixo que mostra a negação de “Nívia viaja para Paraíba ou compra uma geladeira”. 
a) Não é verdade que Nívia viaja para Paraíba e compra uma geladeira 
b) Nívia não viaja para Paraíba ou não compra uma geladeira 
c) Nívia não viaja para Paraíba e não compra uma geladeira 
d) Nívia viaja para Paraíba e compra uma geladeira 
e) Nívia não viaja para Paraíba e compra uma geladeira 
 
SOLUÇÃO: 
Sabemos que a negação de A  B é 
 ~(A  B) = ~A  ~B 
 
Portanto, as possíveis negações para “Nívia viaja para Paraíba ou compra uma geladeira”, são 
 ~(A  B): “Não é verdade que Nívia viaja para Paraíba ou compra uma geladeira” 
Ou então 
 ~A  ~B: “Nívia não viaja para Paraíba e não compra uma geladeira” 
 
07. Dada a proposição “Jogarei futebol no domingo, caso compre uma bola”, então julgue os itens e aponte o 
ERRADO. 
a) Comprar é condição suficiente para eu jogar. 
b) Jogar é condição necessária para que eu tenha comprado. 
c) Não comprar é condição necessária para eu não jogue. 
d) Não jogar é condição suficiente para que eu não tenha comprado. 
e) Comprar é condição necessária e suficiente para eu jogar. 
 
SOLUÇÃO: 
Cuidado com orações invertidas, elas costumam confundir. 
A proposição “Jogarei futebol no domingo, caso compre uma bola” equivale a proposição: 
C  J: “Se eu comprar uma bola, então jogarei futebol no domingo” 
Portanto, podemos afirmar que: 
 Comprar uma bola é condição suficiente para eu jogar futebol no domingo. 
 
 
44 
@pedroevaristo 
 Jogar futebol no domingo é condição necessária para que eu tenha comprado uma bola. 
Como essa proposição também é equivalente a 
~J  ~C: “Se eu não jogar futebol no domingo, então não comprei uma bola”, temos: 
 Não comprar uma bola é condição necessária para eu não jogue futebol no domingo. 
 Não jogar futebol no domingo é condição suficiente para que eu não tenha comprado uma bola. 
Dessa forma, temos que o único item incorreto é o item E. 
 
08. Sabendo que “Chover em Guaramiranga é condição suficiente para fazer frio”, podemos logicamente concluir 
que a única afirmação falsa é: 
a) Se chover em Guaramiranga então fará frio. 
b) Se não fizer frio em Guaramiranga é por que não choveu. 
c) choveu em Guaramiranga e não fez frio. 
d) Sempre que chove em Guaramiranga, faz frio. 
e) Faz frio em Guaramiranga é condição necessária para chover. 
 
SOLUÇÃO: 
 A  B : “Se chover em Guaramiranga então faz frio” 
Portanto, sua negação será 
 ~(A  B) = A  ~B 
Ou ainda 
 ~(A  B): “Não é verdade que se chover em Guaramiranga então faz frio” 
Que por sua vez equivale a 
 A  ~B: “Choveu em Guaramiranga e não fez frio” 
 
09. Sabendo que “Sempre que um parlamentar é bom um bom político, ele é honesto” e “Se um parlamentar é 
honesto, ele é um bom político”. Então, deacordo com essas afirmações, podemos dizer que: 
a) Os políticos são sempre honestos 
b) Toda pessoa honesta é político 
c) Se e somente se um parlamentar for honesto, será um bom político. 
d) Todo parlamentar é bom político e honesto 
e) Se e somente se uma pessoa for honesta, será um parlamentar. 
 
SOLUÇÃO: 
Observe a equivalência a seguir 
 (A  B)  (B  A) = A  B 
A situação dada é bi-condicional, logo 
 “Se somente se um parlamentar for honesto, será um bom político” 
 
10. (FCC) Do ponto de vista lógico, se for verdadeira a proposição condicional “se eu ganhar na loteria, então 
comprarei uma casa”, necessariamente será verdadeira a proposição: 
a) se eu não ganhar na loteria, então não comprarei uma casa. 
b) se eu não comprar uma casa, então não ganhei na loteria. 
c) se eu comprar uma casa, então terei ganho na loteria; 
d) só comprarei uma casa se ganhar na loteria. 
e) só ganharei na loteria quando decidir comprar uma casa. 
 
SOLUÇÃO: 
Dada a equivalência A  B = ~B  ~A, então: 
 “Se ganhar então compro”  “Se não comprar então não ganhei” 
 
 
11. (ESAF) A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a: 
a) Se João não chegou, Maria está atrasada. 
b) João chegou e Maria não está atrasada. 
c) Se João chegou, Maria não está atrasada. 
d) Se João chegou, Maria está atrasada. 
e) João chegou ou Maria não está atrasada. 
 
SOLUÇÃO: 
Antes de resolvermos, é de fundamental importância saber as seguintes equivalências: 
Sabemos que a negação de AB é dada por 
 ~(AB) = A  ~B 
Logo, temos a equivalência: 
 AB = ~(A  ~B) 
 
 
45 
@pedroevaristo 
Ou seja, 
 AB = ~A  B 
Portanto, 
 ~C  A : “João não chegou ou Maria está atrasada” 
Equivale a 
 CA : “Se João chegou, então Maria está atrasada” 
 
12. Aponte uma sentença logicamente equivalente ao condicional “Se João está armado, então será preso”. 
a) João está armado e será preso. 
b) João está armado e não será preso. 
c) João está armado ou será preso. 
d) João não está armado ou será preso. 
e) João está armado ou não será preso. 
 
SOLUÇÃO: 
Existe uma forma de equivalência especial para o condicional. Para que o condicional seja verdadeiro basta negar 
o antecedente ou confirmar o consequente, dessa forma temos que: 
 A  B = ~A v B 
Portanto, a proposição 
A  B: “Se João está armado, então será preso” 
pode ser logicamente escrita como 
~A v B: “João não está armado ou será preso”. 
 
 
13. Dentre os itens a seguir, aponte aquele que a proposição condicional “Caso não faça sol, ficarei em casa”. 
a) Faz sol ou não fico em casa. 
b) Não Faz sol ou fico em casa 
c) Faz sol ou fico em casa. 
d) Faz sol, mas fico em casa. 
e) Nem faz sol, nem fico em casa. 
 
SOLUÇÃO: 
Como vimos anteriormente, o condicional é verdadeiro quando negamos o antecedente ou confirmamos o 
consequente, dessa forma temos: 
 ~S  C = S v C 
Portanto, a proposição 
~S  C: “Caso não faça sol, ficarei em casa” 
pode ser logicamente escrita como 
S v C: “Faz sol ou fico em casa”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROVANDO A EQUIVALÊNCIA 
 
A negação do condicional é dada por 
~(A  B) = (A  ~B) 
Sabendo que ~P = Q implica em P = ~Q, então teremos: 
(A  B) = ~(A  ~B) 
Portanto 
A  B = ~A v B 
 
VERIFICAÇÃO PELA TABELA VERDADE 
 
A B A  B ~A B ~A  B 
V V V F V V 
V F F F F F 
F V V V V V 
F F V V F V 
 
LINK: 
 
 
46 
@pedroevaristo 
14. Dizer que: "André não é artista ou Bernardo é engenheiro" é logicamente equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
 
SOLUÇÃO: 
Uma vez que sabemos a equivalência 
 A  B = ~A v B 
Temos então que a proposição dada 
 ~A v B: “André não é artista ou Bernardo é engenheiro” 
Será equivalente a proposição condicional 
 A  B: “Se André é artista, então Bernardo é engenheiro” 
 
 
47 
@pedroevaristo 
 
 EXERCÍCIOS 
 
01. Os conectivos ou operadores lógicos são palavras 
(da linguagem comum) ou símbolos (da linguagem 
formal) utilizados para conectar proposições de 
acordo com regra s formais preestabelecidas. 
Assinale a alternativa que apresenta exemplos de 
conjunção, disjunção, negação e implicação, 
respectivamente. 
a) p, pq, pq, pq 
b) pq, pq, p, pq 
c) pq, pq, p, pq 
d) pp, pq, q, pq 
 
02. Aponte a afirmação equivalente à “Não é verdade 
que Beatriz não é bonita”. 
a) “Beatriz é feia” 
b) “Beatriz é bonita” 
c) “Beatriz não é feia” 
d) “É verdade que Beatriz não é bonita” 
e) “É verdade que Beatriz não é feia” 
 
03. Sendo A e B proposições simples, são dadas as 
seguintes proposições compostas: 
I. A  B 
II. ~(A  B) 
III. ~A  ~B 
IV. ~(A  B) 
Podemos afirmar que as proposições equivalentes a 
negação de (A  B), são: 
a) somente I e II 
b) somente II e III 
c) somente III e IV 
d) somente I e IV 
 
 
04. Qual a negação da afirmação “Pedro gosta de 
lógica e informática”? 
a) “Além de Pedro não gostar de lógica, ele também 
não gosta de informática” 
b) “Pedro odeia lógica e informática” 
c) “Pedro não gosta de lógica ou não gosta de 
informática” 
d) “Pedro nem gosta de lógica, nem de informática” 
e) “Ou Pedro gosta de lógica ou de informática” 
 
05. (CESGRANRIO) Qual é a negação da proposição 
“Alguma lâmpada está acesa e todas as portas estão 
fechadas”? 
a) Todas as lâmpadas estão apagadas e alguma porta 
está aberta. 
b) Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma 
porta está aberta. 
c) Nenhuma lâmpada está acesa e pelo menos uma 
porta está aberta. 
d) Alguma lâmpada está apagada ou nenhuma porta 
está aberta. 
e) Alguma lâmpada está apagada e todas as portas 
estão abertas. 
 
 
ANOTAÇÕES: 
 
 
48 
@pedroevaristo 
06. Dadas A e B proposições simples, observe as 
seguintes proposições compostas: 
I. A  B 
II. ~(A  B) 
III. ~A  ~B 
IV. ~A  ~B 
Dentre elas, aponte aquelas que equivalem a negação 
de (A  B). 
a) somente I e II 
b) somente II e III 
c) somente II e IV 
d) somente I e IV 
 
07. Aponte o item abaixo que mostra uma negação de 
“Rosélia viaja para Londres ou Milena viaja para 
Paris”. 
a) Não é verdade que Rosélia viaja para Londres e 
Milena viaja para Paris. 
b) Rosélia não viaja para Londres ou Milena não viaja 
para Paris. 
c) Nem Rosélia viaja para Londres, nem Milena viaja 
para Paris. 
d) Tanto Rosélia viaja para Londres, quanto Milena 
viaja para Paris. 
 
08. Qual dos itens a seguir pode representar a 
negação do condicional (A  B)? 
a) B  A 
b) ~B  ~A 
c) ~A  B 
d) A  ~B 
 
09. Aponte a negação da proposição “Toda vez que 
chove, molha minha garagem”. 
a) Se chove então não molha minha garagem. 
b) Se a garagem está molhada, então choveu. 
c) Se a garagem não está molhada, então não 
choveu. 
d) Chove, mas não molha minha garagem. 
 
10. (FCC) A negação da sentença "Se João está 
armado, então será preso" é: 
a) Se João não está armado, então não será preso. 
b) Se João foi preso, então estava armado. 
c) João não está armado, mas foi preso. 
d) João está armado, mas não será preso. 
e) João não está armado ou será preso. 
 
11. A negação da sentença "Se o treinamento é difícil, 
então o combate é fácil" é: 
a) Se o treinamento é fácil, então o combate é difícil. 
b) Se o combate é difícil, então o treinamento é fácil. 
c) O treinamento é difícil e o combate não é fácil. 
d) O treinamento não é difícil e o combate é fácil.. 
e) O treinamento é difícil ou o combate é fácil.. 
 
12. Qual dos itens a seguir pode representar uma 
equivalência do condicional (A  B)? 
a) ~A  ~B 
b) ~B  ~A 
c) B  A 
d) A  ~B 
ANOTAÇÕES: 
 
 
49 
@pedroevaristo 
 
13. Aponte a sentença que equivale a “Se o cão late, 
então o gato mia”. 
a) Se o cão não late, então o gato não mia. 
b) Se o gato mia, então o cão late. 
c) Se o cão não mia, então o gato