Ciclo Trigonométrico

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Trigonometria
Estágio Supervisionado em Matemática I
Professor: Francisco Mattos
Aluno: Guilherme Silva
A trigonometria é a parte da Matemática que estuda as relações existentes entre os
lados e os ângulos dos triângulos.
Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, biologia,
geografia, astronomia, medicina, engenharia, etc.
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Trigonometria
Ciclo trigonométrico
Chamamos de ciclo ou circunferência
trigonométrica uma circunferência de
raio unitário orientada.
Na referida circunferência, fixamos um
ponto (A) como origem dos arcos,
adotamos um sentido (o anti-horário)
como sendo o positivo e o horário como
sendo negativo.
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Ciclo trigonométrico
A distância entre o centro e a
extremidade da circunferência é
denominada por raio.
O raio no ciclo trigonométrico
geralmente é unitário, ou seja, equivale 1
unidade de medida, mas pode ter uma
medida genérica R.
O centro da circunferência é marcado
pela coordenada (0, 0)
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Arco trigonométrico
Chamamos de arco trigonométrico o
conjunto de todos os arcos com origem
em A e extremidade em P.
Na figura exemplificada, α é a medida de
1ª determinação positiva do arco AP.
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Ângulo trigonométrico
A medida de um ângulo é dada pela
medida de sua abertura.
Chamamos de ângulo trigonométrico AÔP
ou α ao conjunto de todos os ângulos de
lado inicial OA e lado terminal OP.
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Ângulo trigonométrico
Ângulo em GRAUS:
O grau, é uma medida dos ângulos plano.
A primeira volta completa positiva de um
arco trigonométrico, é nada mais que
uma medida entre 0° e 360° e a
primeira volta negativa está
compreendida entre 0° e –360°.
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Ângulo trigonométrico
Radiano (1 rad) é o ângulo definido em
um círculo por um arco de circunferência
com o mesmo comprimento que o raio do
referido círculo. 1 rad = 1.
Radianos = 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝑨𝒓𝒄𝒐
𝑹𝒂𝒊𝒐
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Ângulo trigonométrico
Dizemos que 2π é igual 360°, mas porque?
Como vimos anteriormente, Radianos = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝐴𝑟𝑐𝑜
𝑅𝑎𝑖𝑜
9
=
2π𝑹
𝑹
= 𝟐𝛑
Ângulo trigonométrico
Como 2 π = 360°, analogamente, π = 180° e π
𝟐
= 90°, mas e 270°?
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Ângulo trigonométrico
Ângulo em RADIANOS:
Logo, a primeira volta positiva de um
arco trigonométrico em radianos é nada
mais que uma medida entre 0 rad e 2π
rad e a primeira volta negativa
compreendida entre 0 rad e – 2π rad.
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Exemplo
1) Transforme de graus para radianos.
a) 30° b) 45° c) 60° d) 210° e)120°
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Exemplo
2) Transforme de radianos para graus.
a)
𝟑π
𝟒
𝒓𝒂𝒅 b) 𝟒π
𝟑
𝒓𝒂𝒅 c) 𝟓π
𝟔
𝒓𝒂𝒅
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Exercício 1
( Unifor-CE ) O dispositivo de segurança de um cofre tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras A, B, ..., L estão igualmente
espaçadas (o ângulo central entre duas letras vizinhas é o mesmo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se encontra fechado, é a
indicada.
Para abrir o cofre, são necessárias três operações (o segredo), girando o disco menor (onde a seta está gravada), de acordo com as
seguintes instruções, a partir da posição indicada:
1 – Girar 2
3
𝛑 no sentido anti-horário
2- Girar 3
2
𝛑 no sentido horário
3 - Girar 3
4
𝛑 no sentido anti-horário
Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre será aberto quando a seta estiver:
a) no ponto médio entre L e A
b) na posição B
c) na posição K
d) em algum ponto entre J e K
e) na posição H
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Exercício 2
Sabemos que a medida de 180° equivale a π radianos. Determine qual valor em radianos
corresponde a 1° e também qual valor em graus é correspondente ao valor de 1 rad.
(Adoteπ = 3,14)
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Exercício 3
(Unimep – Sp) Das 16h30min, até às 17h10min, o ponteiro das horas de um relógio percorre um arco em 
radianos de:
a)
2π
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b)
2π
9
c)
π
9
d)
π
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Quadrante
O quadrante é na sua forma mais rudimentar, e
tal como o nome indica, um instrumento que
consiste num quarto de círculo graduado ao qual
está fixo um fio de prumo.
A sua função é a medição da altura, que é a
distância angular de um objeto em relação
ao horizonte.
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Quadrante
Na geometria, o quadrante é qualquer das quatro
partes iguais em que se pode dividir uma
circunferência.
1 ° Quadrante: 0° < α < 90°
2° Quadrante: 90° < α < 180°
3° Quadrante: 180° < α < 270°
4° Quadrante: 270° < α < 360°
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Redução de Quadrante
A redução ao primeiro quadrante consiste em calcular os valores de uma função trigonométrica f para
arcos com extremidades não pertencentes ao primeiro quadrante através dos valores de f para arcos com
extremidades no primeiro quadrante;
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Arcos Côngruos
Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade.
Uma regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a
diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360°.
Logo, a comparação entre os arcos, envonvem ângulos que estão acima de 1 volta completa.
2 voltas = 720° ; 3 voltas = 1080° ; 4 voltas = 1440° ...
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Exemplo
3) Os arcos 1140° e 1500° são côngruos pois:
a) 1140° =
b) 1500° = 
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Arcos Côngruos
Se um arco mede α, os arcos côngruos a ele podem ser dados pela expressão:
α + k. 360°, k e ℤ
Se um marco mede x rad, os arcos côngruos a ele podem ser dados pela 
expressão:
x + k . 2π, com k e ℤ
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Exercício 4
Determine o quadrante onde está situada a extremidade P do arco AP de 2120° e a sua equivalência no 1°
quadrante.
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Exercício 5
a) Verifique se os arcos de medidas 6230° e 8390° são côngruos.
b) Confira se os arcos de medidas 2010° e 900° são côngruos.
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Exercício 6
(UNEMAT-MT) Quanto ao arco 4.555°, é correto afirmar que:
a) Pertence ao segundo quadrante e tem como côngruo o ângulo de 55°.
b) Pertence ao primeiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 75°.
c) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 195°.
d) Pertence ao quarto quadrante e tem como côngruo o ângulo de 3115°.
e) Pertence ao terceiro quadrante e tem como côngruo o ângulo de 4195°.
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Ângulo Central
Ângulo: Medida da inclinação relativa de duas 
retas que partem do mesmo ponto.
Central: Relativo ao centro da circunferência.
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α = 𝒍
𝒓
→ Comprimento do arco (Radiano)
→ Raio
Exercício 7
(PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de
oscilação, que é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de 400m
descreve um arco de ( 1
2
)° , a medida do arco descrito por esse ponto , em metros.
𝒂)π 𝒃)
𝟑π
𝟒
𝒄)
𝟒π
𝟑
𝒅)
𝟏𝟎π
𝟗
𝒆)
𝟏𝟏π
𝟏𝟎
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Relação Trigonométrica
Seno: Vimos nos anos anteriores que o seno é a
razão entre o cateto oposto a um ângulo de um
triângulo retângulo sobre a hipotenusa.
Adotando um ciclo trigonométrico de raio
unitário, temos que:
senα = 𝑀𝑥′
𝑂𝑀
→
𝑀𝑥′
1
→𝑀𝑥’
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O valor de 𝑀𝑥’ será o mesmo rebatido no eixo
y.
• sen 30° = 1
2
= sen 150° • sen 45° = 
2
2
= sen 135° • sen 60° = 3
2
= sen 120°
• sen 210° = − 1
2
= sen 330° • sen 225° = −
2
2
= sen 315° • sen 240° = − 3
2
= sen 300°
Seno, Cosseno e Tangente 
Perceba que ao observar o eixo do seno, teremos que os quadrantes adotaram sinais específicos.
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Relação Trigonométrica
Cosseno: É a razão entre o cateto adjacente a
um ângulo de um triângulo retângulo sobre a
hipotenusa.
Adotando um ciclo trigonométrico de raio
unitário, temos que:
cosα = 𝑂𝑋′
𝑂𝑀
→
𝑂𝑋′
1
→𝑂𝑋′
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O valor de 𝑂𝑋 será o mesmo rebatido no eixo
x.
• cos 30° = 3
2
= cos 330° • cos 45° = 
2
2
= sen 315° • cos 60° = 
1
2
= cos 300°
• cos 150° = − 3
2
= cos 330° • cos 135° = −
2
2
= cos 225° • cos 120° = −
1
2
= cos 240°
Seno, Cosseno e Tangente 
Perceba que ao observar o eixo do cosseno, teremos que os quadrantes adotaram sinais específicos.
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Relação Trigonométrica
Tangente: É a razão entre o cateto oposto sobre
o cateto adjacente.
Adotando um ciclo trigonométrico de raio
unitário, temos que:
tanα = 𝑀𝑥
𝑂𝑥
→
𝑀𝑋
𝑂𝑥
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O valor de 𝑂𝑋 será o mesmo rebatido no eixo
tangente ao circulo.
• tan 30° = 3
3
= tan 210° • tan 45° = 1 = tan 225° • tan 60° = 3 = tan 240°
• tan150° = − 3
3
= tan 330° • tan 135° = −1 = tan 315° • tan 120° = −
1
2
= tan 300°
Seno, Cosseno e Tangente 
Perceba que ao observar o eixo da tangente, teremos que os quadrantes adotaram sinais específicos.
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Exercício 8
Determine o valor da expressão:
4𝑠𝑒𝑛
3π
2
− 𝑐𝑜𝑠
9π
2
𝑠𝑒𝑛π − 2𝑐𝑜𝑠2π
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Exercício 9
(ENEM - Adaptada) Nos X – Games Brasil, em maio de 2004,o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado
“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900” na modalidade skate vertical, tornando-
se o segundo atleta do mundo a conseguir esse feito.
A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira em torno de seu próprio corpo, no
caso corresponde a quantas voltas?
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Exercício 10
Em um relógio, a hora foi ajustada exatamente para 12h. Calcule as horas e os minutos que estará
marcando esse relógio após o ponteiro menor percorrer um ângulo de 44°.
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Exercício 11
Calcule o valor de A, sendo A = cos 510 ° + tg 3π
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Referência
https://realizeeducacao.com.br/wiki/funcoes-trigonometricas-seno-cosseno-e-tangente/
http://www.aulaparana.pr.gov.br/matematica_2ano
http://www.professorwaltertadeu.mat.br/ProfAntonioCicloTrig2018.pdf
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https://realizeeducacao.com.br/wiki/funcoes-trigonometricas-seno-cosseno-e-tangente/
http://www.aulaparana.pr.gov.br/matematica_2ano