MATEMÁTICA E

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1
Trigonometria: arcos e ângulos
1E01
Aula Matemática
A origem da trigonometria está relacionada com o cálculo de distâncias inacessíveis correspondentes aos lados de 
um triângulo. Atualmente, seu interesse maior é o estudo de fenômenos periódicos que, de alguma maneira, podem 
ser descritos por meio de funções trigonométricas.
–a Xo a
A B
m
Para que possamos interpretar tais fenômenos periódicos, iniciaremos aqui o estudo da trigonometria numa 
circunferência trigonométrica.
Arcos e ângulos
Quaisquer dois pontos distintos de uma circunferência dividem-na em duas 
partes, chamadas de arcos (na figura ao lado, as linhas verde e vermelha indicam 
os dois arcos AB). 
No sentido de abertura, a todo arco existe, em correspondência, um ângulo 
central.
A
B
O
Atenção:
Deve-se tomar cuidado para não confundir medida de arco com comprimento 
de arco.
Na figura ao lado, por exemplo, AB, CD, EF e GH são arcos de mesma medida 
mas de comprimentos diferentes (esses arcos têm, em correspondência, o mesmo 
ângulo central mas pertencem a circunferências de comprimentos distintos).
O
A
B
D
F
H
C
E
G
Observações:
1. A relação que permite transformar graus para radianos, e radianos para graus, é: 180° = rad 
2. O arco de 1 radiano mede aproximadamente 57°: 1 rad 57° 
2 Semiextensivo
Unidades de medida de arco
Utilizaremos duas unidades de medida de arco (ou ângulo): o grau e o radiano. Essas duas unidades são estabele-
cidas a partir da divisão de uma circunferência:
P. 
Im
ag
en
s/
Iv
on
al
do
 A
le
xa
nd
re
Grau
Medida do ângulo central correspondente a 1
360
 do 
arco da circunferência completa:
1 volta 360°
O minuto e o segundo são subunidades do grau:
 • 1 minuto corresponde a 1
60
 do grau: 1° = 60’
 • 1 segundo corresponde a 1
60
 do minuto: 1’ = 60”
1 rad
R
R
Radiano
Medida do ângulo central correspondente ao arco cujo comprimento é 
igual à medida do raio da circunferência: 
R 1 radiano
Vamos determinar, em radianos, a medida do arco correspondente a 1 volta:
1rad
x
 = r
2 r
x = 2 rad medida do arco ou ângulo central de uma volta
Medida do 
arco
1 rad
x
Comprimento do 
arco
r
2 r
3. Observe, nos quadros a seguir, as medidas em graus e radianos de alguns arcos importantes.
ARCO GRAU RADIANO ARCO GRAU RADIANO
90°
2
 rad 270° 3
2
 rad
180° rad 360° 2 rad
4. Há uma relação envolvendo o comprimento do arco, o raio da circunferência e também a medida, em radia-
nos, do ângulo central correspondente:
L
r
Relação matemática:
θ=
L
r 
O comprimento de um arco dividido pela medida do raio 
da circunferência que contém esse arco é igual à medida, em 
radianos, do ângulo central correspondente.
Aula 01
3 Matemática 1E
01. Transforme a medida do arco de 120° para radianos.
• Utilizamos a proporção para transformar a medida do arco para radianos:
180
120
180 120
120
180
2
3
o
o
rad
x
x
x rad
=
⋅ = ⋅
=
⋅
⇒
π
π
π π
02. Transforme a medida do arco de 7
4
π radianos para graus.
• Embora possamos utilizar a proporção, uma forma mais simples é a substituição direta de radianos por 180 graus:
7
4
7 180
4
7 45 315
π
rad
o
o o=
⋅
= ⋅ =
03. Determine o comprimento do arco correspondente ao setor circular representado (em destaque) na figura a seguir.
• Utilizamos a proporção entre as medidas dos ângulos centrais e os comprimentos dos correspondentes arcos, 
lembrando que o comprimento da circunferência é 2 r:
360
30
2
360
30
2 8
12 16
4
3
o
o
o
o
r
L
L
L L cm
=
=
⋅
⋅ = ⇒ =
π
π
π
π
Situações resolvidas
8 cm
30°
4 Semiextensivo
Testes
Assimilação
01.01. O arco de 1 radiano, numa circunferência, tem com-
primento igual a 9 cm. Nessas condições, é correto afirmar 
que a medida do diâmetro dessa circunferência é:
a) 4,5 cm
b) 9,0 cm
c) 13,5 cm
d) 18 cm
e) 19 cm 
01.02. Observe os ponteiros do relógio analógico da figura 
a seguir. A medida, em radianos, do menor ângulo formado 
por esses ponteiros é:
a) π
5
b) π
2
c) 
π
3
d) 
π
6
e) π
4
1
2
3
4
567
8
9
10
11 12
01. Sendo L a medida do com-
primento de um arco de 
circunferência, de raio R, e 
 a medida, em radianos, 
do ângulo central corres-
pondente, mostre que vale 
a relação
α =
L
R
02. Quantos graus percorre o ponteiro dos minutos de 
um relógio, em 40 min? E quantos radianos?
03. (UEL – PR) – A medida do menor ângulo determinado 
pelos ponteiros de um relógio que marca 10h20min 
é:
a) 170° b) 165° 
c) 160° d) 155° 
e) 150° 
Situações para resolver
Aula 01
5 Matemática 1E
01.03. O ângulo indicado na figura mede 80°. Qual é essa 
medida em radianos?
A
B
O
a) 3
10
π
rad⋅ b) 
4
9
π
rad⋅ c) 
7
15
π
rad⋅
d) π
18
rad⋅ e) 
11
30
π
rad⋅ 
01.04. Se o comprimento de uma circunferência é igual a 
24 cm, então o comprimento do arco correspondente a um 
quarto de volta, nessa circunferência, é:
a) 8 cm b) 4 cm c) 6 cm
d) 9 cm e) 5 cm
01.05. Sobre os arcos concêntricos, correspondentes ao 
mesmo ângulo central , é correto afirmar que:
O
A
B
D
F
H
C
E
G
a) são arcos de comprimentos iguais;
b) são arcos de medidas diferentes (em graus ou radianos);
c) são arcos de comprimentos diferentes;
d) pertencem à mesma circunferência;
e) pertencem a circunferências de raios iguais.
Aperfeiçoamento
01.06. A medida, em radianos, do menor arco determinado 
por duas marcas consecutivas que dividem o relógio da 
figura abaixo é:
a) π
10
rad⋅
b) 
π
12
rad⋅
c) π
15
rad⋅
d) π
18
rad⋅
e) π
30
rad⋅
01.07. Considerando um relógio analógico, quanto mede 
o arco que o ponteiro das horas descreve enquanto o dos 
minutos percorre 180°?
a) π
10
rad⋅ b) 
π
12
rad⋅
c) π
15
rad⋅ d) 
π
18
rad⋅
e) π
30
rad⋅
01.08. (UFRN) – Se um ângulo mede 40 graus, então a 
medida em radianos vale:
a) π
3
⋅ b) 
π
4
⋅
c) 2
9
π
⋅ d) 3
7
π
⋅
e) 5
6
π
⋅
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
rc
ad
y
6 Semiextensivo
01.09. (FMJ – SP) – O comprimento total da circunferência 
mostrada parcialmente na figura é 45. Se os arcos de com-
primento 2 e de comprimento b continuarem alternando-se 
ao redor de toda a circunferência, obteremos 18 arcos de 
cada comprimento. A medida, em graus, de cada arco de 
comprimento b é
a) 20°
b) 16°
c) 10°
d) 6°
e) 4°
01.10. (UFSCAR – SP) – Se o ponteiro dos minutos de um re-
lógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima 
a distância em centímetros percorrida por sua extremidade 
em 20 minutos é: (considere = 3,14)
a) 37,7 cm.
b) 25,1 cm.
c) 20 cm.
d) 12 cm.
e) 3,14 cm.
01.11. (PUCRS) – Em Londres, Tales andou na London Eye, 
para contemplar a cidade. Esta roda gigante de 135 metros 
de diâmetro está localizada à beira do rio Tâmisa. Suas 32 
cabines envidraçadas foram fixadas à borda da roda com 
espaçamentos iguais entre si. Então, a medida do arco for-
mado por cinco cabines consecutivas é igual, em metros, a
a) 
135
4
π⋅ b) 
675
32
π⋅
c) 675
16
π⋅ d) 
135
8
π⋅
e) 135
32
π⋅
b
b
2
2
0
x
01.12. (UFPA) – Quantos radianos percorre o ponteiro dos 
minutos de um relógio em 50 min?
a) 16
9
π
⋅ b) 
5
3
π
⋅
c) 4
3
π
⋅ d) 
4
5
π
⋅
e) 3
5
π
⋅
Aprofundamento
01.13. (FUVEST – SP) – Um arco de circunferência mede 300° 
e seu comprimento é de 2 km. Qual o número inteiro mais 
próximo da medida do raio, em metros?
a) 157
b) 284
c) 382
d) 628
e) 764
01.14. (UFSCAR – SP) – O gráfico em setores do círculo 
de centro O representa a distribuição das idades entre os 
eleitores de uma cidade. O diâmetro AB mede 10 cm e o 
comprimento do menor arco AC é 5
3
π cm. 
0
z
x
y
C
AB
O setor x representa todos os 8 000 eleitores com menos de 
18 anos, e o setor y representa os eleitores com idade entre 
18 e 30 anos, cujo número é 
a) 12 000 b) 14 800 
c) 16 000 d) 18 000 
e) 20 800
Aula 01
7 Matemática 1E
01.15. (UFPR) – Na circunferência a seguir, o raio mede 2 e o 
arco ℓ = AB mede 3. Supondo 3.14 , o valor aproximado, 
em graus, do ângulo será:
a) 78° b) 82° c) 86° d) 90° e) 94° 
01.16. (CEFET – MG) – Na figura, tem-se duas circunferências 
coplanarese concêntricas. Sendo OA = 4 cm, CD = 6 cm e 
o comprimento do arco AC = 6 cm, o comprimento do arco 
BD, em cm, é:
D
B
A
C
O
a) 8 b) 12 c) 15 d) 18 
01.17. (FGV – SP) – O relógio indicado na figura marca 6 
horas e
a) 55
7
13
 minutos. b) 55
5
11
 minutos.
c) 55
5
13
 minutos. d) 54
3
11
 minutos.
e) 54
2
11
 minutos.
01.18. (UNESP – SP) – Em um jogo eletrônico, o “monstro” 
tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra 
a figura. A parte que falta do círculo é a boca do “monstro”, 
e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do 
“monstro”, em cm, é:
a) – 1 b) + 1 c) 2 – 1 d) 2 e) 2 + 1
8 Semiextensivo
Discursivos
01.19. (OBMEP) – A figura mostra um quadrado ABCD de lado 1 cm e arcos de circunferências DE, EF, FG e GH com centros 
A, B, C e D, respectivamente. Qual é a soma dos comprimentos desses arcos?
01.20. Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 60°. 
Determine o comprimento do arco que a extremidade desse pêndulo descreve.
Gabarito
01.01. d
01.02. c
01.03. b
01.04. c
01.05. c
01.06. e
01.07. b
01.08. c
01.09. e
01.10. b
01.11. d
01.12. b
01.13. c
01.14. c
01.15. c
01.16. c
01.17. c
01.18. e
01.19. 5 cm 
01.20. Aproximadamente 15,7 cm
9Matemática 1E
Matemática
Trigonometria: 
circunferência trigonométrica
Aula 02 1E
O estudo das chamadas funções trigonométricas, em seus diversos aspectos, como crescimento, comportamento 
gráfico, domínio, imagem e período, é simplificado quando feito numa circunferência. 
–1
1
2–
1
2
1
0
y
x1
4 π
1
2 π
3
4 π π
5
4 π
3
2 π
7
4 π 2π
sen(x) cos(x)
Mas qual é essa circunferência?
Nesta aula, vamos definir uma circunferência trigonométrica que nos permitirá, ao longo desse estudo, chegar às 
chamadas funções trigonométricas.
Circunferência trigonométrica
Considere uma circunferência de centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas e raio unitário, confor-
me representado a seguir.
A(1,0)
+ 
– 
(0,0)
2o. 1o.
3o. 4o.
A circunferência de raio unitário, com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas e orientada, 
sendo positivo o sentido anti-horário, é denominada circunferência trigonométrica.
O ponto (1, 0) é a origem dessa circunferência (e de todos os arcos trigonométricos).
Note que os eixos coordenados, conforme figura da direita que está acima, dividem a circunferência em quatro 
partes. São os quadrantes: 1o. quadrante (arcos entre 0° e 90°), 2o. quadrante (arcos entre 90° e 180°), 3o. quadrante 
(arcos entre 180° e 270°) e 4o. quadrante (arcos entre 270° e 360°). 
10 Semiextensivo
Arcos côngruos
Existem infinitos arcos numa circunferência que possuem as mesmas extremidades. O que diferencia esses arcos 
é o número de voltas.
Se a diferença entre as medidas de dois arcos numa circunferência trigonométrica for um múltiplo de 360° 
(2 rad), então esses arcos são denominados arcos côngruos.
Exemplos:
Note que os arcos de medidas 60°, 420° e 780°, marcados na circunferência trigonométrica, são côngruos.
AB = 60° AB = 420° AB = 780°
60° + 0 · 360° 60° + 1 · 360° 60° + 2 · 360°
B
A
B
A
B
A
Em relação ao exemplo anterior, temos:
 x = 60° + 0 · 360° 1a. determinação positiva
 x = 60° + 1 · 360° 2a. determinação positiva
 x = 60° + 2 · 360° 3a. determinação positiva
 .
 .
 .
 x = 60° +(– 1) · 360° 1a. determinação negativa
 x = 60° +(– 2) · 360° 2a. determinação negativa
 x = 60° +(– 3) · 360° 3a. determinação negativa
 .
 .
 .
 x = 60° + k · 360° expressão geral dos arcos côngruos a 60° (k )
Menor determinação positiva
Em algumas situações, precisamos localizar a extremidade de um arco numa circunferência trigonométrica. Entre-
tanto, nem sempre sua medida está na primeira volta positiva da circunferência. 
A menor determinação positiva de um arco cuja medida é superior a 360° (ou 2 rad) é obtida dividindo essa 
medida por 360° (ou 2 rad): o quociente dessa divisão fornece o número de voltas e o resto, corresponde à menor 
determinação positiva.
Vamos exemplificar!
Exemplo 1:
Obtenha a menor determinação positiva do arco de medida 1 825°.
Menor determinação positiva
Número de voltas
1 825° 360°
 25° 5
Aula 02
11 Matemática 1E
Assim, o arco de medida 1825° corresponde, no sentido anti-horário, a 5 voltas completas e mais 25°. Dessa forma, 
sua extremidade encontra-se no 1o. quadrante.
Exemplo 2:
Obtenha a menor determinação positiva do arco de medida 35
3
π rad
1.a maneira de resolver:
35
3
30
3
5
3
π π π
= +
Menor determinação positiva
10 (5 voltas)
2.a maneira de resolver:
35
3
6
3
5
3
5
π π
π
⋅
Número de voltas
Menor determinação positiva
2 (1 volta)
Dessa forma, o arco de 
35
3
π
 rad corresponde, no sentido anti-horário, a 5 voltas completas e mais 5
3
π rad. Sua 
extremidade está no 4o. quadrante.
Seno de um arco
A partir do triângulo retângulo de hipotenusa medindo 1 u.c. (uma unidade de comprimento), podemos associar 
a cada arco na circunferência um valor para o seno.
Numa circunferência trigonométrica, consideremos um arco AP de medida . Define-se como sen a ordena-
da do ponto P de tal sistema de coordenadas.
Ordenada do ponto P
Pela definição, temos: sen = yP
y
x
sen 
r = 1
P
A
1
12 Semiextensivo
Cosseno de um arco
A partir do triângulo retângulo de hipotenusa medindo 1 u.c. (uma unidade de comprimento), podemos associar 
a cada arco na circunferência um valor para o cosseno.
Numa circunferência trigonométrica, consideremos um arco AP de medida . Define-se como cos a abs-
cissa do ponto P de tal sistema de coordenadas.
Abscissa do ponto P
Pela definição, temos: cos = xP
y
xcos 
1
r = 1
P
A
Algumas consequências
A partir do seno e do cosseno de um arco, podemos definir a tangente do arco. Geometricamente, entretanto, 
a tangente pode ser obtida pelo prolongamento do segmento que une a extremidade do arco ao centro da circun-
ferência. O segmento orientado AT representa a tangente do arco x. 
y
A
tg x
T
cos x
sen x 1
x
P
O
Observações:
1. Pelo teorema de Pitágoras temos, no triângulo retângulo de hipotenusa 1, catetos senx e cosx tais que:
sen2x + cos2 x = 1
Aula 02
13 Matemática 1E
2. O triângulo retângulo de hipotenusa 1, catetos senx e cosx, é semelhante ao triângulo retângulo OAT. Então, 
dessas semelhanças, é fácil verificar que: 
tg x = sen xcos x
3. Os sinais das razões trigonométricas seno e cosseno, em cada quadrante, são:
Cosseno
+
+
–
–
Seno
+
–
+
–
4. Os sinais da tangente são obtidos pelo quociente entre o seno e o cosseno, em cada quadrante.
01. Considere, numa circunferência, o arco α
π
=
95
4
rad. 
Determine o quadrante em que está localizado esse 
arco, bem como a expressão geral de todos os arcos 
que são côngruos a ele.
02. (UTFPR) – Sabendo-se que (3x – 45°) e (2x + 135°) 
exprimem as medidas de dois arcos côngruos, pode-se 
afirmar que “x” é dado por:
a) 120o. · (2k + 1), sendo k e *+ 
b) 160o. · (3k + 1), sendo k e +
c) 120o. · (2k + 1), sendo k e 
d) 180o. · (2k + 2), sendo k e *
e) 180o. · (2k + 1), sendo k e 
Situações para resolver
14 Semiextensivo
Testes
Assimilação
02.01. Sobre o arco de medida 1320°, quando representado 
na circunferência trigonométrica, é correto afirmar que sua 
extremidade
a) está no eixo y;
b) está no eixo x;
c) pertence ao 1o. quadrante;
d) pertence ao 2o. quadrante;
e) pertence ao 3o. quadrante.
02.02. Qual é a menor determinação positiva do arco de 
medida 2 045° ?
a) 25° b) 245° c) 215° 
d) 235° e) 45° 
02.03. O segmento AB é um diâmetro da circunferência 
trigonométrica representada a seguir, sendo A e B extremi-
dades de dois arcos da 1a. volta. Então, é correto afirmar que:
A
B
a) os arcos com extremidades em A e B são côngruos;
b) a diferença entre as medidas dos arcos com extremidades 
em A e B é igual a 180°; 
c) se o ponto A indica a extremidade do arco de medida 30°, 
então o ponto B é extremidade do arco de medida 220°;d) a soma das medidas dos arcos com extremidades em A 
e B é igual a 180°; 
e) os arcos com extremidades em A e B são congruentes.
02.04. Considerando que o seno de um arco é igual a zero, 
é correto afirmar que:
a) esse arco mede 180° . 
b) o cosseno desse arco é igual a 1.
c) o cosseno desse arco é igual a –1.
d) a tangente desse arco também é igual a zero.
e) esse arco pertence ao 1°. quadrante.
02.05. Na figura a seguir, os pontos A, B, C e D são vértices 
de um retângulo com centro na origem da circunferência. 
De acordo com a definição de seno e cosseno, é correto 
afirmar que:
B A
C D
a) sen A = cos A
b) cos B = cos D
c) sen C = sen D
d) cos A = cos B
e) sen A = sen C
Aula 02
15 Matemática 1E
Aperfeiçoamento
02.06. (UEBA) – Se a medida de um arco é igual a 8 
radianos, então:
a) sen > 0 e cos > 0
b) sen > 0 e cos < 0
c) sen < 0 e cos < 0
d) sen < 0 e cos > 0
e) sen = 0 e cos = 0
02.07. (PUCRJ) – Os ângulos (em graus) entre 0° e 360° 
para os quais sen = cos são:
a) 45° e 90°
b) 45° e 225°
c) 180° e 360°
d) 45°, 90° e 180°
e) 90°, 180° e 270°
02.08. (FMJ – SP) – No ciclo trigonométrico representado 
na figura, os pontos A e B são extremidades de um diâmetro, 
e a medida do ângulo é 150°. Os valores de sen A e cos B 
são, respectivamente,
a) 3
2
 e 
1
2
 b) 
1
2
 e 
3
2
c) 1
2
 e 2 d) 
1
2
 e 
2
2
e) 
1
2
3
2
 e 
02.09. (UFRN) – Considere a figura abaixo, na qual a circun-
ferência tem raio igual a 1.
M
A
P
ON
x
Nesse caso, as medidas dos segmentos ON, OM e AP 
correspondem, respectivamente, aos módulos de
a) sen x, sec x e cotg x.
b) cos x, sen x e tg x.
c) cos x, sec x e cossec x.
d) tg x, cossec x e cos x.
02.10. (UPE – PE) – Na figura a seguir, estão representados 
o ciclo trigonométrico e um triângulo isósceles OAB.
Qual das expressões abaixo corresponde à área do triângulo 
OAB em função do ângulo ?
a) tg · sen 
b) 
1
2
 · tg · cos 
c) sen · cos 
d) 
1
2
 · tg · sen 
e) tg · cos 
16 Semiextensivo
02.11. (UFRR) – Conforme apresentado na figura, a seguir, 
por meio de um dispositivo, articularam-se dois discos, A 
(maior) e B (menor). O disco B gira dentro do disco A, e o raio 
de B é igual à metade da medida do raio de A; a seta coincide 
com o diâmetro do disco B, e indica um ângulo central.
Os comprimentos dos segmentos determinados pelas inter-
seções da borda do disco B com os eixos perpendiculares do 
disco A indicam os valores de quais funções trigonométricas?
a) seno e tangente;
b) seno e secante;
c) seno e cosseno;
d) cosseno e secante;
e) cosseno e tangente.
02.12. (IFPE) – Considere o arco θ
π
=
77
3
. É correto dizer que:
a) sen < 0
b) cos < 0
c) tg > 0
d) sen + cos > 0
e) sen + cos = 1
Aprofundamento
02.13. (UEPG – PR) – Considerando a medida dos ângulos 
em radianos, assinale o que for correto. 
01) cos 2 < 0 
02) sen 4 > 0 
04) tg 2 < 0 
08) tg 4 < 0 
16) cos 5 > sen 5
02.14. (UNIFAP – AP) – Agora é a vez de Ezequiel e Marta, 
que, estudando trigonometria, lançam um desafio a seus co-
legas. O desafio é: Qual o valor do cos45° – sen45° + cos135°?
Então, os seus colegas, para responderem ao desafio corre-
tamente, devem marcar qual alternativa?
a) –1 
b) 
3
2
c) 2
2
d) 
1
2
e) 0
02.15. (MACK – SP) – Seja g(x) = x2 + x · cos + sen . Se g(x) = 0 
e β
π
=
3
2
, então x vale
a) somente 1
b) somente –1
c) –1 ou 0
d) –1 ou 1
e) 1 ou 0
02.16. (UEPG – PR) – Assinale o que for correto.
01) sen sen
π π
4
7
4
=
02) Um arco de 1 rad é menor que um arco de 50°.
04) O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um reló-
gio quando ele marca 1h 20min é 80°.
08) Uma circunferência tem 28 cm de diâmetro. Então, a 
medida do ângulo central correspondente a um arco 
de 12 cm de comprimento é menor que 1 rad.
16) A primeira determinação positiva de um arco de 
−
13
4
π
rad é 3
4
π
rad.
Aula 02
17 Matemática 1E
02.17. (PUCRS) – Ao visitar o Panteon, em Paris, Tales co-
nheceu o Pêndulo de Foucault. O esquema abaixo indica a 
posição do pêndulo fixado a uma haste horizontal, num certo 
instante. Sendo L o seu comprimento e x o ângulo em relação 
a sua posição de equilíbrio, então a altura h do pêndulo em 
relação à haste horizontal é expressa pela função
L x L
a) h(x) = L cos (x)
b) h(x) = L sen (x)
c) h(x) = L sen (2x)
d) h(x) = L cos (2x)
e) h(x) = 2L cos (x)
02.18. (IBMEC – SP) – A figura abaixo representa a circun-
ferência trigonométrica (cujo raio mede 1). As medidas dos 
arcos menores AB, CD e EF são todas iguais a π
6
. Se x, y e z 
são números positivos e representam, respectivamente, as 
medidas dos arcos trigonométricos AB, AC e AF, então
sen(x) + sen(y) + sen(z) + cos(x) + cos(y) + cos(z)
é igual a
A
BC
D
E
F
a) 3
2
3 3
2
 . b) 
1
2
3 3
2
 .
c) 3
2
3
2
 . d) 
1
2
3
2
 .
e) 3
4
3
4
 .
Discursivos
02.19. Considerando todos os arcos representados pela expressão x
k= ⋅π
6
, sendo k um número inteiro qualquer, calcule 
todos os possíveis valores assumidos pela expressão E = cos(x) 
18 Semiextensivo
02.20. (UNIFESP) – A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao 
eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A(1, 2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções 
das retas e do eixo Ox com a circunferência.
r
y
s
B A(1,2)
C F
D E
O
x
Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF.
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.
Gabarito
02.01. e
02.02. b
02.03. b
02.04. d
02.05. c
02.06. b
02.07. b
02.08. b
02.09. b
02.10. c
02.11. c
02.12. a
02.13. 21(01, 04, 16)
02.14. c
02.15. d
02.16. 28 (04, 08, 16)
02.17. a
02.18. c
02.19. 0
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1, , , , , ,− − −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
02.20. a) B
C
D
E
F
= −
= −
= − −
= −
=
( ; ),
( ; ),
( ; ),
( ; ),
( ; )
1 2
5 0
1 2
1 2
5 0
 
 
 Área(ABCDEF) = 4 5 1+( ) u. a.
b) cos(AÔB) = 0,6