Conceitos Básicos de Probabilidade

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Sabrina Reis 1 
 
 
 
 
 
Conceitos básicos de probabilidade 
Probabilidade é uma medida de incerteza sobre o acontecimento de um fato ou evento. 
Experimento Aleatório: Situação ou acontecimento cujo resultado não pode ser 
previamente antecipado. Os resultados possíveis são conhecidos, mas não sabemos de 
antemão qual deles irá ocorrer. Exemplos: 
1. Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar seu naipe; 
2. Número observado no lançamento de um dado; 
3. Lançar dois dados e observar as faces voltadas para cima; 
4. Sortear um estudante da lista de presença e verificar a sua altura; 
5. Sortear uma mulher na cidade e verificar quantos filhos ela tem. 
Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. O espaço amostral é denotado por Ω. 
 
Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral Ω. 
 Denotamos os eventos pelas letras A, B, C, D, etc. 
 Quando constituído de apenas um elemento do espaço amostral, chama-se evento 
simples. 
 
Bioestatística 
Probabilidade 
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Tipos especiais de eventos 
União: O evento de A e B equivale à 
ocorrência de A ou de B, ou de ambos. 
Contém todos os elementos do espaço 
amostral que estão em pelo menos um dos 
dois eventos. 
Denotamos a união por A U B 
 
 
Interseção: O evento de A e B equivale à 
ocorrência simultânea dos eventos A e B. 
Contém todos os elementos do espaço 
amostral comuns a A e B. 
Denotamos a interseção por A ∩ B 
 
 
Complementar: O evento de A contém 
todos os elementos do espaço amostral que 
não pertencem a A. 
Denotamos o complementar por Ac 
 
Eventos disjuntos: Dois eventos A e B são 
disjuntos ou mutuamente excludentes se a 
ocorrência de um deles impossibilita a 
ocorrência do outro. Em outras palavras, os 
dois eventos não têm nenhum elemento do 
espaço amostral em comum, isto é, A ∩ B 
= Ø (onde Ø representa um conjunto 
vazio). 
 
 
Exemplo: Considere que o experimento aleatório de interesse é a face observada de um 
lançamento de um dado. Neste experimento, temos que o espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 
5, 6}. 
Sejam os eventos: 
A) Sair face par 
B) Sair face maior ou igual a 5 
C) Sair face menor do que 2 
 
 
Encontre: 
a) A U B 
b) A ∩ B 
c) A ∩ C 
d) Ac
 
 
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Exemplo: Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, “traduza” para a 
linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações: 
a) Pelo menos um dos eventos ocorre; 
b) A ocorre mas B não ocorre; 
c) Nenhum deles ocorre. 
 
 
Definição de probabilidade 
Definição clássica Quando os eventos simples são equiprováveis, a definição clássica da 
probabilidade de um evento A ocorrer é dada por: 
 
Exemplo: Seja o experimento aleatório jogar um dado e observar a face de cima. Seja o 
evento A = {2,4,6}, sair face par. Encontre a probabilidade de A ocorrer. De acordo com a 
definição clássica, P(A) = 3/6. 
 
Definição frequentista Fornece uma estimativa da probabilidade do evento de interesse 
através de sua frequência em um grande número de realizações independentes do 
experimento. 
 
Exemplo: Suponha que deseja-se calcular a probabilidade de uma pessoa estar infectada 
com uma determinada bactéria. Tal probabilidade pode ser estimada obtendo-se uma grande 
amostra e calculando a proporção de infectados nessa amostra. 
 
Propriedades da Probabilidade 
i) 0 ≤ P A ≤ 1 para qualquer evento A de Ω 
ii) P(Ω) = 1 
iii) Se A e B são disjuntos, então P(A U B) = P(A) + P(B) 
As propriedades anteriores implicam nos seguintes resultados: 
 P(Ø) = 0 
 P(Ac ) = 1 – P(A) 
 Sejam A e B eventos de Ω. Então P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc ) 
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Exemplo: Uma companhia de seguros 
analisou a frequência com que 2000 
segurados usaram o hospital. Os resultados 
são apresentados na tabela. 
 
Suponha que vamos sortear uma pessoa aleatoriamente entre os 2000 segurados 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regrada adição 
Sejam A e B eventos de Ω. Então: 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
Exemplo:Uma turma de Bioestatística teve a seguinte distribuição por gênero e aprovação. 
 10% dos alunos são homens e foram reprovados; 
 5% são mulheres e foram reprovadas; 
 35% são homens e foram aprovados; 
 50% são mulheres e foram aprovadas. 
* Denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi aprovado. 
Para um aluno escolhido ao acaso, 
CALCULE: 
a) P(A ∩ M) 
b) P(A) 
c) P(M) 
d) P(A U M) 
 
 
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Probabilidade condicional 
Exemplo: Uma companhia de seguros 
analisou a frequência com que 2000 
segurados usaram o hospital. 
Suponha que vamos sortear uma pessoa 
aleatoriamente. 
 
a) Sabendo que a pessoa sorteada foi um homem, qual a probabilidade de ter usado o 
hospital? Se sabemos que foi sorteado um homem, o espaço amostral se reduz aos homens. 
 
b) Sabendo que a pessoa sorteada usou o hospital, qual a probabilidade de ser uma mulher? 
Se sabemos que usou o hospital, o espaço amostral se reduz às pessoas que usaram o 
hospital. 
 
 
A probabilidade condicional de A dado B é definida como: P(A | B) = P(A ∩ B) P(B) se 
P(B) ≠ 0. 
A probabilidade P(A|B) revela a incerteza que se tem sobre o evento A supondo que ocorreu 
o evento B. 
Podemos interpretá-la como a chance relativa de A restrita ao fato que B ocorreu. 
 
Regra do produto 
 
A probabilidade de ocorrer (A ∩ B) é igual à 
probabilidade de B ocorrer e, dado que B 
ocorreu, A ocorrer. Ou, ao contrário, A 
ocorrer e, dado que A ocorreu, B ocorrer. 
 
Exemplo: Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão arterial. 
 
Suponha que uma pessoa será escolhida ao acaso 
neste grupo. Calcule: 
a) A probabilidade de ter pressão 
elevada E excesso de peso. 
 P(PE ∩ EP) = 0,10 
b) A probabilidade de ter excesso de 
peso. P(EP) = 0,25 
c) A probabilidade de ter pressão 
elevada sabendo que tem excesso de 
peso. 
 
 
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Exemplo: Uma turma de Bioestatística teve a seguinte distribuição de notas finais: 
 4 alunos do sexo masculino e 6 do 
feminino foram reprovados; 
 8 alunos do sexo masculino e 14 do 
feminino foram aprovados. 
 Total: 32 alunos 
* Denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi aprovado. 
Para um aluno escolhido ao acaso, CALCULE: 
a) P(A | M) 
b) P(M | A) 
c) P(Mc | A) 
 
 
 
Eventos independentes 
Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência de B não altera a 
probabilidade de ocorrência de A, ou seja: P(A|B) = P(A) 
Consequentemente, tem-se que P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
Exemplo: Um casal possui 3 filhos. Suponha independência entre os nascimentos. 
a) Qual a probabilidade de todos serem do sexo feminino? 
b) E de serem duas meninas e um menino? (nessa ordem) 
Assumindo independência, a informação do 
sexo de um filho não altera a probabilidade 
do outro. Além disso, P(M) = P(Mc ) = 0,5 
 
 
Teorema da probabilidade total 
Suponha que os eventos C1 , C2 , ... , Ck formam uma partição do espaço amostral Ω. 
Então: 
Os eventos C1 , C2 , ... , Ck formam uma partição de Ω se: 
1. Eles não tem interseção entre si; e 
2. Sua união é igual ao espaço amostral. 
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Exemplo: Três candidatos disputam as eleiçõespara o Governo do Estado. O candidato do 
partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30%, e o da esquerda 
40%. Ao ser eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é 
de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente. 
a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo? 
b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição? 
 
 
Teorema de bayes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Avaliação de testes e diagnosticos 
Sensibilidade é a probabilidade do teste ter resultado positivo dado que o indivíduo está 
doente. Mede a capacidade de reação do teste em um paciente doente. 
Especificidade é a probabilidade do teste ter resultado negativo dado que o indivíduo não 
está doente. Mede a não reação do teste em pacientes Um teste muito sensível é útil não 
portadores da doença. 
Exemplo: Resultados do teste de Papanicolau na detecção de câncer de colo de útero: 
 
Considere que: 
 T+ corresponde a teste 
positivo, e T- a teste 
negativo; 
 D+ corresponde ao indivíduo 
ter a doença, e D- ao 
indivíduo não ter a doença. 
 
Um teste muito sensível é útil para detectar a presença da doença em indivíduos doentes. 
Um teste muito específico é um teste útil para excluir a presença da doença em indivíduos 
sadios. 
 
Prevalência é a proporção de indivíduos portadores da doença na população. 
Para estimar bem a sensibilidade, é necessário ter uma quantidade razoável de doentes – 
maior do que o esperado para a população geral. 
Por isso, esses estudos não podem ser usados para calcular os valores de predição 
apresentados a seguir. 
Considere uma população com uma prevalência de câncer de colo de útero de 5%. Com a 
prevalência de 5%, seria esperado apenas 0,05 x 373 = 18,65 doentes na amostra 
Valor de predição positiva 
VPP é a probabilidade do paciente estar realmente doente dado que o resultado do teste é 
positivo. 
 
E se no final das contas o paciente não estiver doente? 
O paciente não estar doente dado que o teste deu positivo é um FALSO POSITIVO. 
O evento (D-|T+) (o teste errou) é o COMPLEMENTAR do evento (D+|T+) (o teste acertou) 
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Proporção de falsos positivos é a 
probabilidade do paciente não estar doente 
dado que o teste teve resultado positivo. 
Valor de predição negativa 
VPN é a probabilidade do paciente não 
estar doente dado que o resultado do teste 
é negativo. 
E se no final das contas o paciente estiver doente? 
O paciente estar doente dado que o teste deu negativo é um FALSO NEGATIVO. 
O evento (D+|T-) (o teste errou) é o COMPLEMENTAR do evento (D-|T-) (o teste acertou) 
Proporção de falsos negativos é a 
probabilidade do paciente estar doente 
dado que o teste teve resultado negativo. 
 
Valores de predição 
Queremos calcular: 
 
Como a prevalência da tabela dos resultados anteriores não pode ser utilizada para a 
população geral, então é necessário utilizar o Teorema de Bayes. 
Utilizando os dados da Tabela, a prevalência na amostra é de 276 373 = 0,739 ! 
Também podemos escrever o Teorema em função de dois eventos A e B: 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Resultados do teste de Papanicolau na detecção de câncer de colo de útero: 
 
Considere uma população com uma prevalência de câncer 
de colo de útero de 5%. 
Calcule: 
a) Valor de Predição Positiva 
b) Valor de Predição Negativa 
c) Proporção de Falsos Positivos 
d) Proporção de Falsos Negativos 
 
 
Esse VPP é diferente da proporção de 
testes positivos que são doentes! (265/312 
= 0,85 
Esse VPN é diferente da proporção de 
testes negativos que não são doentes! 
(50/61 = 0,82) 
Tanto uma paciente com um teste negativo 
como uma com teste positivo tem 
probabilidades baixas de estarem doentes 
Encontramos que o teste tem SENSIBILIDADE de 0,96. Isso significa que, caso a pessoa seja 
doente, o teste tem probabilidade de acertar (ser positivo) de 96% - e de errar (ser negativo) 
de 4%. 
Já a ESPECIFICIDADE encontrada foi de 0,51. O que quer dizer que, caso a pessoa não seja 
doente, a probabilidade do teste acertar (ser negativo) é de 51% - e de errar (ser positivo) 
de 49%. 
Já o Valor de Predição Positiva (VPP) encontrado foi de 0,093. Isso significa que, dado que o 
teste foi positivo, a probabilidade de estar doente é de apenas 9,3%. A probabilidade de vir a 
ser um falso positivo é 90,7%. 
O Valor de Predição Negativa (VPN) calculado foi 0,996. Ou seja, dado que o teste foi 
negativo, a probabilidade de não estar doente é 99,6%. A probabilidade de vir a ser um falso 
negativo é 0,04%.