Demonstração de Teorema - Geometria Analítica

Prévia do material em texto

Demonstração de Teorema 
Provar analiticamente que o segmento cujas extremidades são pontos médios dos lados 
de um triângulo, é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste. 
 
i) Considerando os pontos A (0, 0), B (0, y) e C (x, 0). Dado que o ponto médio 
de um segmento é igual a (𝑥𝑚, 𝑦𝑚) = (
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
 ), temos que o ponto 
médio D do segmento AB será = (0,
𝑦−0
2
) = 𝐷 (0,
𝑦
2
 ), já que ambos os pontos 
estão sobre a reta das ordenadas e, portanto, possuem x = 0. Já o ponto médio 
F do segmento AC é dado por (
𝑥−0
2
, 0) = 𝐹 (
𝑥
2
, 0), já que ambos os pontos 
estão sobre a reta das abscissas, o que implica em y = 0. Por fim, o ponto 
médio E do segmento BC terá as coordenadas (
0+𝑥
2
,
𝑦+0
2
 ) = 𝐸 (
𝑥
2
,
𝑦
2
 ). 
ii) Como precisamos verificar se os segmentos formados pelos pontos médios 
são paralelos ao 3º lado, precisamos calcular o coeficiente angular desses 
novos segmentos. 
iii) O coeficiente angular é dado por 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
, então coeficiente angular do 
segmento DE é igual a 𝑚 =
𝑦/2−𝑦/2
𝑥/2−0
= 
0
𝑥/2
= 0. Verificando com o 3º lado, 
que é o segmento AC, vemos que o coeficiente angular desse segmento será 
𝑚 = 
0−0
𝑥−0
=
0
𝑥
 = 0. Como o coeficiente angular do segmento AC é igual ao 
coeficiente do segmento DE, 0 = 0, temos que esses dois segmentos são 
paralelos. 
iv) Verificando o outro segmento formado por pontos médios, temos que 𝐹𝐸 =
𝑚 =
0−𝑦/2
𝑥/2−𝑥/2
=
−𝑦/2
0
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜. O terceiro lado do segmento FE é o 
segmento AB. Calculando seu coeficiente angular, temos que 𝐹𝐸 = 𝑚 =
0−𝑦
0−0
=
−𝑦
0
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜. Logo, concluímos que, pelo coeficiente de ambos 
os segmentos ser indefinido, que seus segmentos formam um ângulo de 90° 
com o eixo x. Por isso, o segmento FE é paralelo ao segmento AB. 
v) Por fim, o último segmento formado por pontos médios, DF, tem o coeficiente 
angular 𝑚 =
0−𝑦/2
𝑥/2−0
=
−
𝑦
2
 
𝑥
2
= −
𝑦
𝑥
. O terceiro lado ao segmento DE será o 
segmento BC. Calculando seu coeficiente angular, temos 𝑚 =
0−𝑦
𝑥−0
= − 
𝑦
𝑥
. 
Note que o coeficiente angular dos segmentos DF e BC é igual e, portanto, os 
segmentos são paralelos entre si. 
vi) Com isso, prova-se que os segmentos formados por pontos médios são 
paralelos aos terceiros lados. 
vii) Agora, é necessário provar que esses segmentos formados pelos pontos 
médios equivalem à metade do terceiro lado. Logo, precisamos verificar a 
veracidade de: 
|𝐴𝐶|
2
= |𝐷𝐸|,
|𝐴𝐵|
2
= |𝐹𝐸|,
|𝐵𝐶|
2
= |𝐷𝐹|. 
viii) Para isso, precisamos saber a medida desses segmentos. A medida é dada pela 
distância entre os pontos das extremidades e distância é calculada por 𝐷 =
|√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2|. 
ix) Então temos: 
|𝐷𝐸| =
|𝐴𝐵|
2
= |√(
𝑥
2
− 0)
2
+ (
𝑦
2
−
𝑦
2
)
2
| =
|√(𝑥 − 0)2 + (0 − 0)2|
2
 = 
|√(
𝑥
2
)
2
+ (0)2| =
|√(𝑥)2 + (0)2|
2
= 
|√
𝑥2
4
+ 0| =
|√(𝑥)2 + (0)2|
2
= 
|
√𝑥2
√4
| =
|√𝑥2|
2
= 
|
√𝑥2
2
| =
|𝑥|
2
= 
 |
𝑥
2
| =
|𝑥|
2
 
 
|𝑥|
2
=
|𝑥|
2
 
 
Com isso, prova-se que DE equivale à metade de AB. 
 
 
|𝐹𝐸| = |
𝐴𝐶
2
| = |√(
𝑥
2
−
𝑥
2
)
2
+ (0 −
𝑦
2
)
2
| =
|√(0 − 0)2 + (𝑦 − 0)2|
2
= 
|√(0)2 + (−
𝑦
2
)
2
| =
|√(0)2 + (𝑦)2|
2
= 
|√
𝑦2
22
| =
|√𝑦2|
2
= 
|
√𝑦2
√4
| = 
|𝑦|
2
= 
 
|
𝑦
2
| =
|𝑦|
2
 
|𝑦|
2
= 
|𝑦|
2
 
Com isso, prova-se que FE equivale à metade de AC. 
 
 |𝐷𝐹| =
|𝐵𝐶|
2
= |√(
𝑥
2
− 0)
2
+ (0 −
𝑦
2
)
2
| = 
|√(𝑥 − 0)2 + (0 − 𝑦)2|
2
= 
|√(
𝑥
2
− 0)
2
+ (0 −
𝑦
2
)
2
| = 
|√(𝑥 − 0)2 + (0 − 𝑦)2|
2
= 
|√(
𝑥
2
)
2
+ (−
𝑦
2
)
2
| =
|√(𝑥)2 + (−𝑦)2|
2
= 
|√
𝑥2
4
−
𝑦2
4
| =
|√𝑥2−𝑦2|
2
= 
|√
√𝑥2 − 𝑦2
4
| =
|√𝑥2−𝑦2|
2
= 
|
√𝑥2 − 𝑦2
√4
| =
|√𝑥2−𝑦2|
2
= 
|
√𝑥2 − 𝑦2
2
| =
|√𝑥2−𝑦2|
2
 
|√𝑥2−𝑦2|
2
= 
|√𝑥2−𝑦2|
2
 
Com isso, conclui-se que DF equivale à metade de BC. 
 
x) Portanto, o teorema “o segmento cujas extremidades são pontos médios dos 
lados de um triângulo, é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste” é 
válido.