Geometria Analítica 4

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GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
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CONVERSA INICIAL
Planos são figuras geométricas tridimensionais presentes em diversas aplicações. Podemos
observar superfícies planas em tampos de mesas, portas, paredes, folha de papel e em muitas outras
situações. No entanto, estes elementos representam partes de planos, pois um plano se prolonga
infinitamente. No decorrer desta aula estudaremos diferentes formas de escrevermos equações de
planos. Também estudaremos ângulo e intersecção entre eles, além de posições relativas entre
planos e retas.
TEMA 1 – EQUAÇÃO GERAL DE UM PLANO
O conjunto de todos os pontos P(x, y, z) formam um plano sempre que  em que A é um
ponto pertencente ao plano e  é um vetor normal ao plano, ou seja,   forma 90° com qualquer
vetor pertencente ao plano. Por meio da expressão , podemos escrever a equação geral do
plano na forma:
na qual a, b e c são as componentes do vetor ,  e , .
Graficamente, temos:
Superfícies planas podem ser encontradas facilmente no dia a dia. Podemos, por exemplo,
utilizar a equação de um plano para realizarmos estudos em relação ao posicionamento de um painel
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solar.
Créditos: Gyuszko-Photo/Shutterstock.
Veremos, no decorrer da aula, alguns exemplos práticos, mas antes vamos ver como é possível
escrevermos a equação de um plano em diferentes situações.
Exemplo: Determine uma equação geral cartesiana do plano   que tem vetor normal 
 e contém o ponto .
Resolução: Para escrevermos uma equação geral do plano  vamos considerar a expressão:
Sabemos que o vetor  pode ser escrito como  onde . Sendo assim:
Vamos substituir  por  e  por  na equação:
Desta forma, temos:
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Aplicando a propriedade distributiva, temos:
E, somando os termos semelhantes:
Portanto, a equação geral do plano  é .
Por meio desta equação, todos os pontos pertencentes ao plano são obtidos.
Muitas vezes não temos o vetor normal ao plano, mas temos informações referentes a 3 pontos
pertencentes ao plano.
Conhecendo 3 pontos do plano, podemos escrever a respectiva equação geral. Basta
combinarmos os pontos, dois a dois, para termos as componentes de dois vetores paralelos ao plano.
Em seguida, utilizando estes dois vetores e o produto vetorial entre eles, obtemos um vetor normal
ao plano. Finalmente, tendo o vetor normal e utilizando um dos pontos dados, conseguimos
determinar a respectiva equação geral.
Exemplo: Obtenha a equação geral do plano que passa pelos pontos A(2, 1, 1), B(2, 3, 2) e C(4, 2,
0).
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Resolução: Podemos combinar os pontos de diversas maneiras, mas o mais usual é fazermos 
 e . O resultado final será o mesmo.
Graficamente, os vetores são:
Por meio dos vetores  e , vamos obter o vetor normal :
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Tendo o vetor  e considerando A(2, 1, 1), vamos escrever a equação geral do plano.
Inicialmente, vamos obter o vetor .
Substituindo  e  na equação:
Temos:
Portanto, a equação geral do plano  é .
Vamos acompanhar a resolução de mais um exemplo, com todos os passos em sequência.
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Exemplo: Obtenha a equação geral do plano a que passa pelos pontos A(3, 4, 4), B(1, 0, 2) e C(3,
1, 1).
 Resolução:
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Exemplo: Um painel destinado à captura de energia solar está apoiado em vigas cujas
extremidades estão localizadas nos pontos ,  e , em que as coordenadas de
cada ponto estão em metros. Determine a equação geral do plano que contém os pontos A, B e C e
está associado ao painel.
Resolução: Precisamos, inicialmente, de um vetor  normal ao plano . Podemos fazer 
  e . Como  e   são paralelos ao plano , o vetor   é normal a . Logo, vamos
calcular o produto vetorial  para que possamos encontrar o vetor .
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Para encontrarmos o vetor , vamos fazer:
O produto vetorial  é dado por:
Podemos agora utilizar a expressão:
para encontrarmos uma equação geral para o plano  com ,  e .
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que é a equação geral do plano .
Também é possível utilizarmos o produto misto para obtermos a equação geral de um plano. No
exemplo a seguir apresentaremos os detalhes.
Exemplo: Utilize o produto misto para encontrar uma equação geral do plano  que passa pelos
pontos ,  e .
Resolução: Sabemos que o produto misto  é calculado com base na determinante da
matriz formada pelas componentes dos vetores ,  e :
Precisamos, então, definir diante dos pontos A, B, C e P, os vetores ,   e . É importante
ressaltar que P é um ponto pertencente a   tal que . Vamos fazer ,   e 
.
O vetor  é obtido como segue:
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Para encontrarmos o vetor , temos:
O vetor  também pode ser facilmente obtido.
Como já temos os vetores ,   e , podemos calcular o produto misto   e, para
obtermos a equação geral do plano, igualar esse produto misto a zero.
que corresponde a:
       
que é a equação geral do plano .
A seguir, temos mais um exemplo prático relacionado a planos.
Exemplo: Uma cobertura metálica está apoiada em vigas cujas extremidades estão associadas
aos seguintes pontos de um sistema tridimensional: A(0, 0, 4), B(5, 0, 3) e C(5, 7, 3). Qual é a equação
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geral do plano associado à cobertura que está apoiada nestes pontos?
Resolução: Vamos fazer a representação gráfica dos pontos A, B e C:
Considerando  e , temos
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que corresponde à equação procurada.
TEMA 2 – EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Além da equação geral do plano, podemos obter outras equações. Dentre elas, temos a equação
vetorial e, consequentemente, as equações paramétricas. A equação vetorial de um plano consiste
em, pot meio de um ponto A pertencente ao plano, combinar os vetores  e   não alinhados e
paralelos ao plano de modo a gerar todos os pontos do plano.
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Assim, a equação vetorial do plano é dada por:
em que  e  são paralelos a ,  e .
Isolando x, y e z, temos as equações paramétricas do plano:
Como existem infinitos pontos pertencentes ao plano e infinitos vetores paralelos ao plano,
podemos ter infinitas equações vetoriais, diferentes entre si, mas representando o mesmo plano. O
mesmo ocorre para as equações paramétricas.
É muito simples de se obter a equação vetorial e as equações paramétricas de um plano.
Vamos acompanhar alguns exemplos para aprendermos de uma forma mais efetiva.
Exemplo: Escreva a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto
A(7, -2, 11) e é paralelo aos vetores  e .
Resolução: Para a equação vetorial, basta substituirmos A,  e  na equação .
As equações paramétricas são dadas por:
Logo:
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Exemplo: Encontre uma equação vetorial do plano   que passa pelos pontos , 
 e .
Resolução: Considere . Logo,
Vamos considerar . Logo,
Agora que temos os vetores  e  e o ponto , a equaçãovetorial do plano pode ser
facilmente obtida. Vamos substituir A,  e  na expressão
,
o que resulta em:
que é a equação vetorial de .
Exemplo: Obtenha um sistema de equações paramétricas do plano  que passa pelos pontos 
,  e .
Resolução: Fazendo , temos:
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Para , temos:
Assim, podemos escrever as equações paramétricas do plano:
Exemplo: Uma cobertura metálica está apoiada em vigas cujas extremidades estão associadas
aos seguintes pontos de um sistema tridimensional: A(0, 0, 4), B(5, 0, 3) e C(5, 7, 3). Qual é a equação
vetorial do plano associado à cobertura que está apoiada nestes pontos?
Resolução: Vamos fazer a representação gráfica dos pontos A, B e C:
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Considerando  e , temos:
Tendo A,  e , a equação vetorial do plano pode ser facilmente obtida por meio da fórmula:
Na qual:
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que é a equação vetorial do plano  associado à cobertura metálica.
Por meio de uma equação de um plano, podemos saber se um dado ponto pertence ou não a
este plano.
Exemplo: Verifique se o ponto   pertence ao plano 
.
Resolução: Para sabermos se um ponto pertence ou não a um plano, basta substituirmos as
coordenadas x, y e z do ponto na equação do plano e verificarmos se os parâmetros t1 e t2
satisfazem a equação do plano. Neste caso, temos:
.
Sendo assim,
em que
Agrupando os termos semelhantes, temos:
Ou, equivalentemente,
Precisamos agora resolver o sistema de três equações e duas incógnitas para encontrarmos, caso
existam, os parâmetros t1 e t2 que satisfazem o sistema de equações. Podemos resolver, inicialmente,
o sistema formado pelas duas primeiras equações. Caso exista solução, devemos substituir t1 e t2 na
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terceira equação para, enfim, sabermos se o sistema possui solução e, consequentemente, se o ponto
 pertence ao plano. Logo:
Multiplicado a segunda equação por -1 temos:
Vamos agora somar os termos semelhantes.
Logo, . Podemos substituir esse valor na equação , o que resulta em:
Finalmente, para sabermos se o ponto A pertence ao plano, vamos substituir  e  na
equação .
Como , podemos concluir que o ponto   não pertence ao plano 
.
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TEMA 3 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA
Uma forma bastante simples de escrevermos a equação de um plano quando conhecemos as
respectivas intersecções com os eixos x, y e z é a equação segmentária. Se o plano  não é paralelo
aos planos xy, xz e yz, então a equação segmentária de  é dada por:
em que p, q e r são as intersecções com os eixos x, y e z, respectivamente.
Por meio destas intersecções, facilmente obtemos a equação segmentária do plano.
Exemplo: Obtenha a equação segmentária do plano que contém os pontos A (3, 0, 0), B (0, 5, 0) e
C (0, 0, 2).
Resolução: Como os pontos A, B e C correspondem às intersecções do plano com os eixos x, y e
z, respectivamente, temos
em que:
é a equação segmentária.
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Podemos escrever a equação segmentária de um plano quando temos a equação geral 
. Basta dividirmos toda a equação por –d e efetuarmos as devidas simplificações.
Exemplo: Obtenha a equação segmentária do plano  de equação geral .
Resolução: Como d=-16, vamos dividir a equação por 16 e realizar as possíveis simplificações:
que é a equação segmentária referente ao plano .
Por meio de uma equação geral, podemos também obter as intersecções com os eixos
coordenados e, caso seja preciso, obter a equação segmentária correspondente.
Exemplo: Considere o plano  definido por . Determine os pontos A, B e C
de intersecção do plano   com os eixos coordenados x, y e z, respectivamente, e em seguida
escreva a equação segmentária do plano .
Resolução: O ponto de intersecção do plano  com o eixo x ocorre quando y=0 e z=0. Logo,
vamos substituir estes valores na equação.
o que resulta em:
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Logo, o ponto A de intersecção do plano com o eixo x é igual a .
Para encontrarmos o ponto de intersecção do plano  com o eixo y, vamos considerar agora
x=0 e z=0. Substituindo estes valores na equação.
Temos:
Portanto, o ponto B de intersecção do plano  com o eixo y corresponde a .
O ponto de intersecção do plano  com o eixo z ocorre quando x=0 e y=0. Logo:
Assim, o ponto C de intersecção do plano  com o eixo z é igual a .
Para obtermos a respectiva equação segmentária, vamos substituir p, q e r na equação:
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.
Logo,
.
TEMA 4 – PLANOS E RETAS
Muitas vezes, precisamos estudar a posição relativa entre planos e retas. Por exemplo, em um
determinado jogo, temos o movimento retilíneo de um objeto em direção a uma superfície plana e
precisamos saber qual é o ângulo entre a reta associada ao movimento e o plano associado à
superfície.
Não é a única possibilidade, mas uma forma de obtermos este resultado é calculando o ângulo
entre a reta e o plano com uso das respectivas equações.
Este é um exemplo, mas podemos ter muitas situações em que a Geometria Analítica pode
auxiliar na resolução de problemas reais.
Vamos ver alguns exemplos envolvendo planos e retas.
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Exemplo: Seja r a reta dada pelas equações . Verifique se r é paralela ao plano  dado
por .
Resolução: Vamos considerar as equações paramétricas da reta.
Na qual o vetor diretor corresponde a:
Temos também a equação do plano:
em que:
Precisamos do vetor normal ao plano. Vamos calcular o produto vetorial entre  e :
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Para que a reta seja paralela ao plano, o vetor diretor da reta precisa ser ortogonal ao vetor
normal ao plano. Vamos verificar se existe ou não a ortogonalidade entre eles. Para isto, precisamos
do produto escalar entre  e :
Como o produto escalar é diferente de 0, então os vetores  e  não são ortogonais. Logo, a
reta e o plano não são paralelos.
Podemos calcular o ângulo  entre uma reta e um plano por meio da fórmula:
Assim  é o vetor diretor da reta e  é o vetor normal ao plano. Utilizamos esta fórmula, pois 
 é o complemento do ângulo  que a reta forma com o vetor normal ao plano, ou seja  e,
sendo assim, .
Exemplo: Seja r a reta dada pelas equações . Obtenha o ângulo entre r e o plano 
 dado por .
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Resolução: Por meio das equações paramétricas da reta, o respectivo vetor diretor corresponde
a:
Considerando a equação do plano, o vetor normal é dado pelo produto escalar entre 
 e . Logo,
Substituindo,
 e  na fórmula,
Temos:
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Logo, o ângulo entre a reta e o plano corresponde a 3,61°.
TEMA 5 – ÂNGULO ENTRE PLANOS
Quando precisamos calcular o ângulo entre dois planos, utilizamos a fórmula:
, com .
em que  e  são os vetores normais destes dois planos.
Exemplo: Encontre o ângulo formado entre os planos  e .
Resolução: Vamos utilizar a fórmula:
.
O vetor normal ao plano  é  e o vetor normal ao plano  é .
Substituindo estes vetores na expressão,
Temos:
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Logo, o ângulo entre os planos  e  é igual a 22,21°.
Podemos utilizar a fórmula para determinarmos, por exemplo, o ângulo entre uma placa de
captura de energia solar e o solo, entre paredes de uma construção, em aplicaçõestridimensionais
relacionadas à computação gráfica e em muitas outras aplicações.
FINALIZANDO
Chegamos ao final desta aula, em que aprendemos a escrever a equação geral de um plano por
meio de um ponto pertencente ao plano e de um vetor normal ao plano. Aprendemos também a
escrever a equação geral do plano com base em três pontos dados. Além da equação geral, vimos
que um plano pode ser escrito de outras formas, ou seja, por meio de uma equação vetorial, de
equações paramétricas e da equação segmentária. Nesta aula aprendemos a determinar o ângulo
entre retas e planos e também a determinar o ângulo entre planos.
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REFERÊNCIAS
BORIN JUNIOR, A. M. S. (org). Geometria analítica. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
FERNANDES, L. F. D. Geometria Analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016.
SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Artmed, 2009.
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12. Ed., 2 v. São Paulo: Pearson, 2008.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.