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Econometria Básica - Lista II (2019/01)
Luiz Carlos Day Gama
Monitor - Tiago Oliveira Mota
1.
Usando as definiçõees de y e X na forma matricial, mostre que:
(X ′X)b = X ′y é equivalente a

n
∑
X2i ..
∑
Xki∑
X2i
∑
X22i ..
∑
X2iXki
: : : :∑
Xki
∑
X2iXki ..
∑
X2ki


b1
b2
:
bk
 =

∑
Yi∑
X2iYi
:∑
XkiYi

2.
Na primeira parte do curso você aprendeu que o estimador de MQO dos parâmetros β1 e β2 na regressão
Yi = β1 + β2 + ui era dado por
b2 =
∑
(Yi − Ȳ )(Xi − X̄)∑
(Xi − X̄)2
b1 = Ȳ − b2X̄
Mostre que as fórmulas acima podem ser obtidas a partir de
[
n
∑
X2i∑
X2i
∑
X22i
] [
b1
b2
]
=
[ ∑
Yi∑
X2iYi
]
3.
Mostre que se a regressão inclui um intercepto:
a) a soma (e a média) dos resíduos é zero.
b) a média dos valores ajustados é igual a média dos valores observados.
4.
Mostre que MX = 0. Interprete o resultado.
5.
Sejam os três vetores coluna: v1 = (1, 2, c, 4, 4), v2 = (−2, 1, 4,−6, c), v3 = (−1, c, 7,−2, 7), onde c é uma
constante positiva. Esses vetores representam o resultado de uma regressão de mínimos quadrados com
intercepto: um deles é um vetor de observações da variável dependente, outro um vetor de ajustes, e outro
um vetor de resíduos. O espaço coluna da matriz X tem dimensão igual a 2. Calcule numericamente o R2
ajustado da regressão. [DICA: Uma forma de resolver é pensar nas propriedades dos resíduos de MQO num
modelo com intercepto.]
6.
1
Considere as seguintes informações:
y1 =
 11
a
 y2 =
 b1
1
 X =
 1 c0 d
0 e
 e1 = 0 e2 = y2
onde: e1 é o vetor de resíduos da regressão de y1 em X.
e2 é o vetor de resíduos da regressão de y2 em X.
a, b, c, d, e são parâmetros desconhecidos.
a) Quais são os valores dos parâmetros a e b?
b) Os parâmetros c, d, e podem ser unicamente determinados a partir das informações acima? Por quê?
c) Caso a resposta ao item anterior seja positiva, encontre a solução única. Caso a resposta seja negativa,
apresente uma possível solução.
7.
Um economista deseja verificar se a taxa de crescimento econômico de um país é afetada pelo “nível de
liberdades individuais” e pelo “grau de corrupção” do país através da seguinte regressão (contendo um termo
constante):
Yi = β1 + β2Li + β3Ci + ui
onde Y é a taxa de crescimento do PIB, L o nível de liberdades individuais e C o grau de corrupção do país
i. A variável L pode assumir os valores 1 (nível elevado de liberdades), 0 (nível médio de liberdades) ou -1
(nível baixo de liberdades). Similarmente, a variável C pode assumir os valores 1 (baixo grau de corrupção),
0 (grau de corrupção médio) ou -1 (elevado grau de corrupção).
Para uma amostra de 10 países, observados ao longo de 1999, o economista obtém os seguintes dados:
pa?s Y L C
Dinamarca 6 1 1
México 2 1 -1
Chile 3 0 1
Colômbia -1 0 -1
Rússia 2 0 0
Argentina 2 0 0
Brasil 1 0 0
Grécia 1 0 0
Egito 0 -1 0
Indonésia 0 -1 0
a) Usando seus conhecimentos de álgebra linear, escreva as equações normais e calcule o vetor de coeficientes
de MQO. Interprete os coeficientes estimados.
b) Calcule as variâncias dos coeficientes estimados. Tais coeficientes são estatisticamente significativos (a
10%)?
c) Encontre o R2. Interprete.
d) Faça a regressão no stata, no R ou no e-views. Mostre os resultados da regressão. Compare os resultados
com aqueles obtidos nos itens (a)-(c); os resultados deveriam ser idênticos.
8.
Suponha um modelo econométrico para explicar o consumo (C) de famílias de uma mesma região através de
três variáveis: renda (R), poupança total (P) e posse do imóvel em que habita (D). As variáveis C, R e P
2
são medidas em reais. A variável D é uma dummy que assume valor 1 se a família é dona do imóvel em que
habita, e zero caso contrário. A FRP é:
Ci = β1 + β2Ri + β3Pi + β4Di + ui
Um economista estimou esse modelo para uma amostra de 14 famílias, obtendo:
b =

1
2
1
4
 (X ′X)−1 =

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 3
 s2 = 13
Teste conjuntamente as hipóteses: (1) não há diferença entre os efeitos da renda e da poupança sobre o
consumo, e (2) o fato de a família ser dona do imóvel em que habita não influencia em nada o consumo. O
Conjunto das hipóteses é rejeitado ou não? Interprete o resultado.
9.
A teoria econômica sugere que o grau de independência da política monetária de um país depende do regime
cambial adotado: sob um regime de câmbio fixo e mobilidade de capitais, a taxa de juros doméstica estaria
atrelada à taxa de juros externa, enquanto que num regime de câmbio flutuante as autoridade monetárias
teriam liberdade para determinar a taxa de juros doméstica. Entretanto, alguns autores afirmam que mesmo
em países com regimes flexíveis a política monetária não é independente, pois fatores como credibilidade,
repasse (“pass-through”) do câmbio à inflação e passivos em moeda estrangeira impedem que as autoridades
deixem o câmbio flutuar livremente - ou seja, que adotem políticas monetárias independentes. Com o objetivo
de testar se a adoção de um regime flutuante realmente permite políticas monetárias independentes, um
economista estimou, para um conjunto de países, a seguinte regressão:
id = β1 + β2i∗ + �
onde id é a taxa de juros doméstica; i∗= taxa de juros externa.
A regressão foi estimada para a amostra completa de países e para duas subamostras, classificadas de acordo
com o tipo de regime cambial adotado pelos países: (1) cambio fixo; (2) câmbio flexível. As matrizes relevantes,
em cada subamostra, são:
(1) Câmbio fixo
(X′1X1) =
[
10 60
60 420
]
X′1y1 =
[
60
420
]
y′1y1 = 490
(2) Câmbio Flex?vel
(X′2X2) =
[
10 60
60 420
]
X′1y1 =
[
60
390
]
y′1y1 = 430
a) Calcule o vetor de coeficientes de MQO e o R2 para a amostra inteira e para cada subamostra. Os
valores dos coeficientes estimados estão de acordo com a teoria "convencional"?
b) Teste, ao nível de 5
10.
Os dados abaixo referem-se a um modelo de regressão linear estimado:
b =
 −1−2
3
 e′e = 74 (X′X)−1 =
 0, 05 0, 1 00, 1 0, 4 0
0 0 0, 5

3
O modelo (com intercepto) explica as importações de um país em função da taxa de câmbio real (X2) e um
índice de produção física industrial (X3). Teste, ao nível de significância de 1%, a hipótese conjunta de que
β1 = 0 e β2 = −β3.
11.
Com o objetivo de analisar a relação entre os lucros dos bancos e o volume de empréstimos concedidos, o
economista A pretende estimar a seguinte regressão:
Li = β1 + β2Ei + ui
onde Li é o lucro por cliente do banco i, Ei é o volume de empréstimos do banco e ui é um distúrbio aleatório.
Entretanto, segundo o economista B, não seria correto estimar tal regressão para a amostra total de bancos,
pois bancos com diferentes tamanhos devem apresentar desempenhos muito diferentes - e, portanto, os
parâmetros não podem ser considerados constantes ao longo da amostra. O mais correto, segundo ele, seria
estimar regressões diferentes para bancos com tamanhos diferentes. Suponha que seja possível dividir a
amostra em duas partes, a primeira correspondente aos bancos de pequeno porte e a segunda aos bancos de
grande porte, cujas observações geram as seguintes matrizes:
(X′1X1) =
[
10 10
10 11
]
X′1y1 =
[
10
50
]
y′1y1 = 3210
(X′2X2) =
[
10 10
10 11
]
X′2y2 =
[
10
100
]
y′2y2 = a
onde X inclui um intercepto.
a) Calcule o vetor de coeficientes de MQO para a amostra inteira e para cada uma das subamostras.
Interprete os resultados.
b) Calcule a soma dos quadrados dos resíduos para cada subamostra. Qual é o intervalo de valores possíveis
para a?
c) Para quais valores de a poderíamos dizer, com 95% de confiança, que o procedimento sugerido pelo
economista B é realmente mais correto?
12.
Um economista deseja estimar a seguinte relação para um conjunto de países:
Yi = β1 + β2Ji + β3Pi + ui , ui ∼ N(0, σ2) (1)
onde, para cada país i, Yi é a taxa de crescimento do PIB, Ji é a taxa de juros nominal e Pi é a taxa de
inflação.
Ele dispõe dos seguintes dados:
(X′X) =
 100 0 00 10 0
0 0 1
 X′y =
 100−15
1
 y′y = 220, 5
onde y é o vetor de observações da variável dependente e X a matriz deobservações das variáveis explicativas.
a) Calcule os coeficientes estimados por MQO.
b) Segundo outro economista, a taxa de crescimento do PIB deveria depender exclusivamente da taxa de
juros real, de modo que uma equação mais apropriada seria:
Yi = δ1JRi + ui (2)
4
onde JR = J − P é a taxa de juros real “ex-post”. Com base nas informações disponíveis, teste ao nível de
5% a validade dessa especificação vis-à-vis a equação (1).
c) Se nós dispuséssemos de informações adicionais, seríamos capazes de realizar o teste do item anterior
através de um método alternativo. Descreva esse método alternativo, explicitando as informações
requeridas para a sua realização.
d) Um terceiro economista, tentando conciliar as ideias dos outros dois, sugere estimar por MQO uma
equação contendo simultaneamente as variáveis nominais e reais, isto é:
Yi = β1 + β2Ji + β3Pi + β4JRi + ui (3)
Esse procedimento apresenta algum problema? Responda fazendo referência às propriedades da matriz
X de variáveis explicativas.
13.
Problemas 1 e 2, capítulo 15 do Wooldridge.
5