2 lista de exercícios - Integral por substituição, área entre curvas e volumes

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROFESSOR: RODRIGO CLEMENTE
2a LISTA DE EXERCÍCIOS - INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO, ÁREA ENTRE
CURVAS E VOLUMES
1. Calcule cada integral utilizando a substituição dada.
(a)
∫
cos 3xdx, u = 3x (b)
∫
x(4 + x2)10 dx, u = 4 + x2 (c)
∫
x2
√
x3 + 1dx, u = x3 + 1
(d)
∫
dt
(1− 6t)4
, u = 1− 6t
2. Calcule a integral indefinida.
(a)
∫
x senx2 dx (b)
∫
x2ex
3
dx (c)
∫
(3x− 2)20 dx (d)
∫
(x+ 1)
√
2x+ x2 dx (e)
∫
u
√
1− u2 du
(f)
∫
dx
5− 3x
(g)
∫
senπtdt (h)
∫
sen
√
x√
x
dx (i)
∫
z2
z3 + 1
dz (j)
∫
(lnx)2
x
dx
(k)
∫
ex
√
1 + ex dx (l)
∫
ecos t sentdt (m)
∫
sen(lnx)
x
dx (n)
∫
cosx
sen2x
dx (o)
∫
cos(πx )
x2
dx
3. Calcule as integrais definidas.
(a)
∫ 1
0
cos
(
πt
2
)
dt (b)
∫ 1
0
(3t− 1)50 dt (c)
∫ 3
0
dx
5x+ 1
dx (d)
∫ 2
1
e
1
x
x2
dx (e)
∫ 1
0
xe−x
2
dx
4. Encontre a área da região sombreada.
(a) (b)
1
2
(c) (d)
5. Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e calcule sua área. (Tente usar o Geogebra para esboço
das regiões)
(a) y = ex, y = x2 − 1, x = −1, x = 1
(b) y = senx, y = x, x = π2 , x = π
(c) y = x, y = x2
(d) y = x2 − 2x, y = x+ 4
(e) x = 1− y2, x = y2 − 1
(f) y = 12− x2, y = x2 − 6
(g) y = x2, y = 4x− x2
(h) y = ex, y = xex, x = 0
(i) x = 2y2, x = 4 + y2
(j) y =
√
x− 1, x− y = 1
6. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das
retas especificadas. (Tente usar o Geogebra para esboço das regiões)
(a) y = 2− x2 , y = 0, x = 1, x = 2; em torno do eixo x
(b) y = 1− x2, y = 0; em torno do eixo x
(c) y = 1x , x = 1, x = 2, y = 0; em torno do eixo x
(d) y =
√
25− x2, y = 0, x = 2, x = 4; em torno do eixo x
(e) x = 2
√
y, x = 0, y = 9; em torno do eixo y
(f) y = lnx, y = 1, y = 2, x = 0, em torno do eixo y
(g) y = x3, y = x, x ≥ 0, em torno do eixo x
(h) y = x
2
4 , y = 5− x
2,, em torno do eixo x
(i) y2 = x, x = 2y, em torno do eixo y
(j) y = x
2
4 , x = 2, y = 0, em torno do eixo y
(k) y = x2, x = y2, em torno do eixo y
7. Mostre que o volume de uma esfera de raio r é V = 4πr
3
3 .