5 lista de exercícios - Limites e continuidade em várias variáveis, derivadas parciais e planos tangentes

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROFESSOR: RODRIGO CLEMENTE
5a LISTA DE EXERCÍCIOS - LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEIS, DERIVADAS E PLANOS TANGENTES
1. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(a) lim
(x,y)→(1,2)
(5x3 − x2y2) (b) lim
(x,y)→(1,−1)
(e−xy cos(x+ y)) (c) lim
(x,y)→(2,1)
(
4− xy
x2 + 3y2
)
(d) lim
(x,y)→(1,0)
ln
(
1 + y2
x2 + xy
)
(e) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − 4y4
x2 + 2y2
(f) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
2. Determine o maior conjunto no qual a função é cont́ınua.
(a) F (x, y) =
xy
1 + ex−y
(b) F (x, y) = cos
√
1 + x− y (c) F (x, y) = 1 + x
2 + y2
1− x2 − y2
(d) H(x, y) = e
x+ey
exy−1
3. Se f(x, y) = 16− 4x2 − y2, determine fx(1, 2) e fy(1, 2) e interprete esses números como inclinações.
4. Se f(x, y) =
√
4− x2 − 4y2, determine fx(1, 0) e fy(1, 0) e interprete esses números como inclinações.
5. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
(a) f(x, y) = y5 − 3xy (b) f(x, y) = x4y3 + 8x2y (c) f(x, t) = e−t cos(πx) (d) f(x, t) =
√
x ln t
(e) z = (2x+ 3y)10 (f) f(x, y) = xy (g) f(x, y) =
x
(x+y)2 (h) g(u, v) = (u
2v − v3)5
6. Determine as derivadas parciais indicadas.
(a) f(x, y) = ln
(
x+
√
x2 + y2
)
; fx(3, 4)
(b) f(x, y, z) = yx+y+z ; fy(2, 1,−1)
7. Use derivação impĺıcita para encontrar
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
(a) x2 + 2y2 + 3z2 = 1 (b) x2 − y2 + z2 − 2z = 4 (c) ez = xyz (d) yz + x ln y = z2
8. Determine as derivadas parciais indicadas.
(a) f(x, y) = x4y2 − x3y; fxxx, fxyx (b) f(x, y) = sen(2x+ 5y); fyxy (c) g(r, s, t) = er cos(st); grst
(d) u = erθsenθ;
∂3u
∂r2∂θ
(e) w =
x
y + 2z
;
∂3w
∂z∂y∂x
,
∂3w
∂x2∂y
9. Verifique se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace uxx + uyy = 0.
(a) u = x2 + y2 (b) u = x2 − y2 (c) u = x3 + 3xy2
10. Determine uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto especificado.
(a) z = 3y2 − 2x2 + x, (2,−1,−3) (b) z = 3(x− 1)2 + 2(y + 3)2 + 7, (2,−2, 12) (c) z = √xy, (1, 1, 1)
(d) z = xexy, (2, 0, 2) (e) z = xsen(x+ y), (−1, 1, 0)
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