Questão resolvida - Duas rodovias intersectam em um ângulo reto. O carro A, movendo-se sobre uma das rodovias, aproxima-se da intersecção a 25 kmh, e o carro B, movendo-se sobre a outra rodovia, aprox

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Duas rodovias intersectam em um ângulo reto. O carro A, movendo-se sobre uma das 
rodovias, aproxima-se da intersecção a 25 km/h, e o carro B, movendo-se sobre a 
outra rodovia, aproxima-se da intersecção a 30 km/h. Com que taxa está variando a 
distância entre os carros quando A está a 0,3 km da intersecção e B está a 0,4 km da 
intersecção?
 
Resolução: 
 
Como o ângulo formado entre os carros é de 90°, a distância d entre estes é a hipotenusa 
triângulo retângulo, como visto abaixo:
Dessa forma, a variação da distância entre os carros obedece ao teorema de pitagoras;
 
d = x + y2 2 2
Isolando d, fica;
 
d x, y =( ) x + y2 2
 
Queremos a taxa de variação da distância d entre os carros, ou seja: , quando 
d x, y
dt
( )
 
 
A
B
d
x
y
.
 e . Para encontrar essa variação, devemos derivar em x = 0, 3 km y = 0, 4 km d x, y( )
relação ao tempo;
 
= x + y ⋅ 2x + 2y = x + y ⋅ 2x + 2y
d x, y
dt
( ) 1
2
2 2
-1
1
2 dx
dt
dy
dt
1
2
2 2
1 - 2
2 dx
dt
dy
dt
 
= x + y ⋅ 2x + 2y =
d x, y
dt
( ) 1
2
2 2
-1
2 dx
dt
dy
dt
1
2
2x + 2y
x + y
dx
dt
dy
dt
2 2
1
2
 
=
d x, y
dt
( ) 1
2
2x + 2y
dx
dt
dy
dt
x + y2 2
 
é a taxa de variação de espaço do carro A em relação ao tempo, ou seja, a velocidade de A
dx
dt
→
 
é a taxa de variação de espaço do carro B em relação ao tempo, ou seja, a velocidade de B
dy
dt
→
 
Assim, temos que : = 25 km / h; = 30 km / h; x = 0, 3 km e y = 0, 4 km
dx
dt
dy
dt
 
Substituindo e resolvendo;
 
 = = = = =
d 0, 3; 0, 4
dt
( ) 1
2
2 ⋅ 0, 3 ⋅ 25 + 2 ⋅ 0, 4 ⋅ 30( )
0, 3 + 0, 4( )2 ( )2
1
2
15 + 24
0, 09 + 0, 16
1
2
39
0, 25
39
2 ⋅ 0, 5
39
1
 
= 39 Km / h
d 0, 3; 0, 4
dt
( )
 
 
(Resposta )