Lista 2 Autovalores

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Lista de Exercícios – Autovalores – 
1):Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são vetores próprios 
das correspondentes matrizes 
a) = (−2, 1), 2 21 3 
b) = (1, 1, 2),
1 1 1
0 2 1
0 2 3
 
c) = (−2, 1, 3),
1 −1 0
2 3 2
1 2 1
 
2) Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes
transformações lineares:
a) :  , ( , ) = ( + 2 ,− + 4 ) 
b) :  , ( , ) = (2 + 2 , + 3 ) 
c) :  , ( , ) = (5 − , + 3 )
d) :  , ( , ) = ( ,− )
e) :  , ( , , ) = ( + + , 2 + , 2 + 3 )
f) :  , ( , , ) = ( ,−2 − , 2 + + 2 )
g) :  , ( , , ) = ( + , , ) 
3) Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das
seguintes matrizes:
a) = 1 3−1 5 e) =
1 0 0
1 1 −2
0 1 −1
 
b) = 2 13 4 f) =
3 2 1
1 4 1
1 2 3
 
c) =
1 −1 0
2 3 2
1 1 2
 g) =
3 3 −2
0 −1 0
8 6 −5
 
d) =
3 −1 −3
0 2 −3
0 0 −1
 h) =
0 0 2
0 −1 0
2 0 0
 
4) Provar as seguintes proposições:
a) Se um operador linear : 	 admiteλ=0 como valor próprio, então 
não é inversível.
b) Uma matriz e sua transposta possuem os mesmos valores próprios. 
c) Os valores próprios de uma matriz triangular (ou diagonal) são os 
elementos da diagonal principal. 
5) Os vetores (1, 1) e = (2,−1) são os vetores próprios de um operador 
linear :  , associados a = 5 e = −1, respectivamente. 
Determinar a imagem do vetor = (4, 1) por esse operador. 
6) a) Determinar o operador linear :  cujos valores próprios são 
= 1 e = 3 associados aos vetores próprios ( ,− ) e = (0, ), 
respectivamente. 
b) Mesmo enunciado para = 3, = −2 e = (1, 2), = (−1, 0). 
7) a) Quais são os valores próprios e os vetores próprios da matriz 
identidade? 
b) Se = 4 e = 2 são valores próprios de um operador linear :  
associado aos vetores próprios = (2, 1) e = (−1, 3), respectivamente , 
determine (3 − ). 
c) Mostrar que e são vetores próprios de uma transformação linear 
associados a λ, então − é também vetor próprio associado ao mesmo 
λ. 
8) Seja :  uma transformação linear que dobra o comprimento do 
vetor = (2, 1) e triplica o comprimento do vetor = (1, 2), sem alterar as 
direções nem inverter os sentidos. 
a) Calcular (0, 3). 
b) Determinar ( , ). 
c) Qual a matriz do operador na base {(2, 1), (1, 2)}. 
9) a) Determinar as matrizes das rotações em que admitem vetores e 
valores próprios. 
b) Determinar os valores e os vetores próprios das rotações referidas em 
a). 
10) Seja : 	 um operador linear não-inversível. Os vetores não-nulos do 
núcleo de são vetores próprios? Em caso afirmativo, determinar o valor 
próprio associado e, em caso negativo, justificar. 
11) Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar uma 
matriz que diagonaliza e calcular : 
a) = 2 43 1 f) =
2 3 −1
0 1 −4
0 0 3
 
b) = 9 14 6 g) =
1 −2 −2
0 1 0
0 2 3
 
c) = 5 −11 3 h) =
3 0 −2
−5 1 5
2 0 −1
 
d) =
1 2 1
−1 3 1
0 2 2
 
e) =
1 0 0
−2 3 −1
0 −4 3
 
12) Seja :  o operador linear definido por 
( , ) = (7 − 4 ,−4 + ) 
a) Determinar uma base do em relação à qual a matriz do operador é 
diagonal. 
b) Dar a matriz de nessa base. 
13) Para cada uma das seguintes matrizes simétricas , encontrar uma 
matriz ortogonal , para a qual seja diagonal: 
a) = 2 22 2 d) =
1 0 1
0 −1 0
1 0 1
 
b) = 3 −1−1 3 e) =
7 −2 −2
−2 1 4
−2 4 1
 
c) = 2 22 5 
14) Determinar uma matriz que diagonaliza ortogonalmente e calcular 
. 
a) = 5 33 5 d) =
6 0 6
0 −2 0
6 0 1
 
b) =
0 0 2
0 −1 0
2 0 0
 e =
2 −2 −1
−2 2 1
−1 1 5
 
c) =
3 −1 1
−1 5 −1
1 −1 3
 
Respostas de Problemas Propostos 
01. a) sim, b) sim e c) não 
 
02. a) λ = 3, = ( , ); 	λ = 2, = (2 , ) 
 
b) λ = 1, = (−2,1); 	λ = 4, = (1,1) 
 
c) λ = λ = 4, = (1,1) 
 
d) Não existem. 
 
e) λ = 	 λ = 1, = ( , ,− ); 	λ = 4, ³ = (1,1,2) 
 
f) λ = 	1, ¹ = (3,−3, 1); 	λ = 	−1, = (0,−3,1); 	λ = 2, = (0,0,1) 
 
g) λ = λ = λ = 1, = ( , 0, ), ã .	 
 
03. a) λ = 2, ¹ = (3,1); 	λ = 4, ² = (1,1) 
 
b) λ = 1, ¹ = (− , ); 	λ = 5, ² = ( , 3 ) 
 
c) λ = 1, ¹ = ( , 0,− ); 	λ = 2, ² = (−2 , 2 , ); 	λ = 3, ³ = ( ,−2 ,− ) 
 
d) λ = 	−1, = (1,1,1); 	λ = 2, = (1,1,0); 	λ = 3, = (1,0,0) 
 
e) λ = 1, ¹ = (2 , 2 , ); 	λ 	 	λ 	 á 
 
f) λ = 2, ¹ = ( , ,− − 2 ); 	λ = 6, ² = ( , , ) 
 
g) λ = 	 λ = 	 λ = 	 −1, = ( , , 2 + 	 ) 
 
h) λ = 2, ¹ = (1,0,1); 	λ = −1, = (0,1,0); 	λ = 	 −2, = (1,0,−1) 
 
05. (8,11) 
 
06. a) T(x,y) = (x, 2x+3y) 
 
b) T(x,y)= (-2x + y, 3y) 
 
07. a) λ = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo. 
 
b) (26,6) 
 
08. a) (2,10); b) ( , ) = + 	 ,− + 	 ; c) 2 00 3 
 
09. a) 1 00 1 (rotação de 0º) e 
−1 0
0 −1 (rotação de 180º) 
 
b) λ = 1	e	λ = 	−1, respectivamente; com exceção do vetor zero, todos 
os vetores do IR² são vetores próprios. 
 
10. Todos os vetores do núcleo, com exceção do zero, são vetores 
próprios associados a λ = 0. 
 
11. a) = 1 4−1 3 , =
−2 0
0 5 
 
b) = 1 11 −4 , =
10 0
0 5 
 
c) Não diagonalizável. 
 
d) =
2 1 0
1 0 1
2 1 −2
, =
3 0 0
0 2 0
0 0 1
 
 
e) Não diagonalizável. 
 
f) =
−3 1 −7
1 0 −2
0 0 1
, =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
 
 
g) =
0 1 −1
1 0 0
−1 0 1
, =
1 0 0
0 1 0
0 0 3
 
 
h) Não diagonalizável. 
 
12. a) {(-2,1),(1,2)} 
 
b) 9 00 −1 
 
13. a) = 	
−
√ √
√ √
 
 
b) = 	 √
−
√
√ √
 
 
c) = 	 √
−
√
√ √
 
 
d) =
√ √
0
0 0 1
−
√ √
0
 
 
e) = 	
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡√ − √ 0
√ √
−
√
√ √ √ ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
14. a) = 	 √
−
√
√ √
, = 8 00 2 
 
b) =
√
0
√
0 1 0
√
0 −
√
, =
2 0 0
0 −1 0
0 0 −2
 
 
c) =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡ √ √ √
0
√
−	
√
−
√ √ √ ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
, =
2 0 0
0 3 0
0 0 6
 
 
d) =
0
√ √
1 0 0
0
√
−
√
, =
−2 0 0
0 10 0
0 0 −3
 
 
e) =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡− √ √ √
√
−
√ √
√ √
0 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
, =
6 0 0
0 3 0
0 0 0