Leis de Kirchhoff - ISUTC

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Instituto Superior de Transportes e Comunicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Ciências Básicas 
 
 
 
 
 
 
 
“Leis de Kirchoff” 
 
 
 
 
 
 
 
Licenciatura em Engenharia Civil e de Transportes 
 
 
 
 
 
 
 
 Disciplina: Física II 
 Docente: Prof. Doutor A. Sacate 
 Discente(s): Lauro Mota, Éden Abrantes. 
 Turma: C11 
 1º Ano 
 
 
 
 
Maputo, Setembro - 2016 
 
	
	
	
Índice 
 
1. INTRODUÇÃO E OBJECTIVOS	............................................................................................	2	
2. REVISÃO DA LITERATURA	..................................................................................................	3	
2.1 CORRENTE ELÉTRICA	..................................................................................................................	3	
2.2 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE	..............................................................................................	4	
2.3 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO	............................................................................	6	
2.3.1 RESISTORES EM SÉRIE	...........................................................................................................................	6	
2.3.2 RESISTORES EM PARALELO	...............................................................................................................	9	
2.4 LEIS DE KIRCHOFF	.......................................................................................................................	11	
2.4.1 CONVENÇÃO DE SINAIS PARA A REGRA DE NÓS	..............................................................	12	
2.5 SIMBOLOGIA ELÉTRICA	............................................................................................................	13	
3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL	..................................................................................	14	
3.1 Tipologia de estudo	............................................................................................................................	14	
3.2 Material Utilizado	..............................................................................................................................	14	
3.3 Procedimento experimental	.............................................................................................................	14	
3.4 Recolha de dados	................................................................................................................................	15	
3.5 Analise e dados e conclusão	..............................................................................................................	15	
4. RESULTADOS	...........................................................................................................................	16	
4.1 RESULTADOS EXPERIMENTAIS	..............................................................................................	16	
4.2 RESULTADOS OBTIDOS TEORICAMENTE	.........................................................................	16	
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS E ANÁLISE DE RESULTADOS	.....................................	18	
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	..................................................................................	19	
7. APÊNDICE	..................................................................................................................................	20	
 
 
 
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
2	
1. INTRODUÇÃO E OBJECTIVOS 
Neste trabalho realizaram-se experiencias sobre as Leis de Kirchoff, as Leis de 
Kirchhoff foram criadas e desenvolvidas pelo físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824 -
1887). 
A Lei de Kirchoff para Circuitos Elétricos foi criada para resolver problemas de 
circuitos elétricos mais complexos. Tais problemas podem ser encontrados em circuitos com 
mais de uma fonte de resistores estando tanto em série quanto paralelo. Para criar a Lei, 
Kirchoff introduziu o conceito de nó (ou junção) e malha, o que é extremamente importante 
para o entendimento das Leis, tais conceitos são enunciados como: Lei dos Nós de Kirchoff e 
Lei das Malhas de Kirchoff. 
Este estudo foi realizado no laboratório de física do Instituto Superior de Transportes e 
Comunicações a fim de comprovar qualitativamente o cumprimento das Leis de Kirchoff em 
um circuito elétrico, fazer comparações entre valores obtidos experimentalmente e valores 
obtidos através de cálculos usando as Leis de Kirchoff. 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
3	
2. REVISÃO DA LITERATURA 
2.1 CORRENTE ELÉTRICA 
“Embora uma corrente eléctrica é um fluxo de cargas em movimento, nem todas as 
cargas em movimento constituem uma corrente eléctrica. Para haver corrente elétrica sobre 
uma dada superfície, tem de haver um fluxo total de carga através dessa superfície.” 
(Walker, Halliday & Resnick, 2014) 
Se uma carga !" passa através de um plano hipotético em tempo !#, em seguida, a 
corrente $ através do plano que é definida como: 
 
$ =
!"
!#
 
 
Pode-se encontrar a carga que passa através do plano em um intervalo de tempo que se 
estende de 0 à # por integração em que a corrente $ pode variar com o tempo: 
 
" = !" = $	!#
(
)
 
 
 
 
 
 
 
 
[1]	
[1.1]	
Fig. 1: A corrente * através do condutor tem o 
mesmo valor em planos ++,, .., e //, . 
	
	
4	
“Em condições de estado estacionário, a corrente é a mesma para os planos 00,, 11, 
e 22,(presentes na Figura 1) e para todos os planos que passam completamente através do 
condutor, não importa a sua localização ou orientação. Isto acontece porque a carga é 
conservada. Sob as condições de estado estacionário assumidos aqui, um electrão deve 
passar pelo plano 00, para cada electrão que passa pelo plano 22,. Da mesma forma, tem-se 
um fluxo constante de água através de uma mangueira de jardim, uma gota de água deve 
deixar o bocal para cada gota entra em que a mangueira, na outra extremidade. A 
quantidade de água na mangueira é uma quantidade conservada.” (Walker et al., 2014) 
 
A unidade SI da corrente é o coulomb por segundo (3/5), ou o ampere (6), que é uma 
base de unidade SI: 
1	089:;: = 1	6 = 1	3<=><81	9<;	5:?=@!< = 1	3/5 
 
2.2 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE 
“Quando aplica-se a mesma diferença de potencial entre as extremidades de hastes 
geometricamente semelhantes de cobre e de vidro, correntes muito diferentes resultam. A 
característica do condutor que entra aqui é a sua resistência eléctrica. Determina-se a 
resistência entre quaisquer dois pontos de um condutor através da aplicação de uma 
diferença de potencial A entre os pontos de medição e a corrente $ que resulta.” (Walker et 
al., 2014) 
A resistência B é então dada por: 
B =
A
$
 
 
[2]	
[1.2]	
	
	
5	
A unidade SI (Sistema Internacional) para a resistência que se segue a partir da 
equação 2 é o volt por ampere. Esta combinação ocorre com tanta frequência que dá-se o 
nome Ohm (símbolo Ω), isto é: 
 
1	Dℎ8 = 1	Ω = 1	A<>#	9<;	689:;: = 1	A/6 
 
“Um condutor cuja função num circuito é o de proporcionar uma resistência 
especificado é chamado um resistor.” (Walker et al., 2014) 
 
 Pode-se reescrever a equação 2 como: 
 
$ =
A
B
 
 
Observa-se que, para um determinado A, maior será a resistência, menor é a corrente. 
 
“A resistência de um condutor depende da maneira em que a diferença de potencial é 
aplicada a ele.” (Walker et al., 2014) 
 
 
 
 
 
 
 
[2.2]	
[2.1]	
	
	
6	
2.3 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO 
	
2.3.1 RESISTORES EM SÉRIE 
 Supõe-se que existem três resistores 
com resistências BF , BG e BH . A Figura 2 
mostra quatro formas diferentes em que 
estes podem ser conectados entre os pontos 
0 e 1. Quando vários elementos de circuito, 
tais como baterias, resistências, e motores são 
ligados em sequência como na Fig. 2.(a, com 
apenas um único caminho atual entre os pontos, 
diz-se que estão conectados em série. 
As resistências na Fig. 2.b) estão ligadas 
em paralelo entre os pontos 0 e 1 . Cada 
resistência fornece um caminho alternativo entre 
os pontos.Para os elementos do circuito que são 
conectados em paralelo, a diferença de potencial 
é a mesma em cada elemento. 
Na Fig. 2.c), as resistências BG e BH estão em 
paralelo, e esta combinação é em série com BF. 
Na Fig. 2.d), BG e BH estão em série, e esta 
combinação é, em paralelo com BF. 
“Para qualquer combinação de 
resistências pode-se sempre encontrar um único 
resistor que poderia substituir a combinação e 
resultam na mesma diferença atual e potencial 
total.” (Young, Freedman & Ford, 2012) 
 
Fig. 3 (a: IJ, IK e IL em série. 
Fig. 2 b): IJ, IK e IL em paralelo. 
Fig. 4 c): IJ em série com a combinação em paralelo 
de IK e IL. 
Fig. 5 d): IJ em paralelo com a combinação em série 
de IK e IL. 
	
	
7	
Se qualquer um dos circuitos na Fig. 2 forem substituídos por sua resistência 
equivalente BMN, pode-se escrever: 
 
AOP = Q ∙ BMN ou BMN =
STU
V
 
 
Onde AOP é a diferença de potencial entre os terminais 0 e 1 do circuito e Q é a 
corrente no ponto 0 ou 1. Para calcular uma resistência equivalente, assume-se uma diferença 
de potencial AOP em todo circuito atual, calcula-se a corrente correspondente Q, e toma-se a 
relação STU
V
. 
 
“Pode-se derivar equações gerais para a resistência equivalente de uma série ou 
combinação paralela de resistores.” (Young et al., 2012) 
 
Se as resistências estiverem em série, como na Fig. 2.(a, a corrente I deve ser a mesma 
em todas elas. Aplicando A = Q ∙ B para cada resistor, tem-se: 
 
AOW = Q ∙ BF AWX = Q ∙ BG AXP = Q ∙ BH 
 
 
 
 
 
 
[3]	
[3.1]	
	
	
8	
A diferença de potencial em cada resistor não necessita de ser a mesma (excepto para 
o caso especial em que todas as três resistências são iguais). A diferença de potencial AOP em 
toda a combinação é a soma destas diferenças potenciais individuais: 
 
AOP = AOW + AWX + AXP = Q BF + BG + BH 
 
Portanto: 
AOP
Q
= BF + BG + BH 
 
A proporção AOP > Q é, por definição, a resistência equivalente BMN. Portanto: 
 
BMN = BF + BG + BH 
Tendo isto em conta pode-se generalizar a equação para qualquer número de 
resistores: 
BMN = BF + BG + BH +⋯ 
 
“A resistência equivalente de qualquer número de resistores em série é igual à soma 
das suas resistências individuais.” (Young et al., 2012) 
 
	
	
	
[3.2]	
[3.3]	
[3.4]	
[3.5]	
	
	
9	
2.3.2 RESISTORES EM PARALELO 
“A diferença de potencial entre dois pontos não depende do caminho tomado entre os 
pontos”. (Young et al., 2012) 
“Para qualquer número de resistores em paralelo, o recíproco da resistência 
equivalente é igual à soma dos recíprocos da sua individua.” (Young et al., 2012) 
 
Se as resistências estão em paralelo, como na Fig. 2.b), a corrente através de cada um 
resistor não precisa de ser a mesma. Mas a diferença de potencial entre os terminais de cada 
resistor deve ser a mesma e igual à AOP . Sejam as correntes nos três resistores QF, QG, e QH. 
Tomando em conta que Q = A/B: 
 
QF =
AOP
BF
										QG =
AOP
BG
										QH =
AOP
BH
 
 
Em geral, a corrente é diferente através de cada resistor. Porque a carga não está 
acumular-se ou a escoar-se de um ponto, o total de corrente Q deve ser igual à soma das três 
correntes nas resistências: 
 
Q = 	 QF + QG + QH = AOP
1
BF
+
1
BG
+
1
BH
 
 
Ou 
 
V
STU
=
F
\]
+
F
\^
+
F
\_
 
[3.6]	
[3.7]	
[3.8]	
	
	
10	
Pela definição da resistência equivalente BMN, 
V
STU
=
F
\`a
, deste modo tem-se: 
 
1
BMN
=
1
BF
+
1
BG
+
1
BH
 
 
Tendo isto em conta pode-se generalizar a equação para qualquer número de 
resistores: 
1
BMN
=
1
BF
+
1
BG
+
1
BH
+⋯ 
 
Para o caso especial de duas resistências em paralelo: 
 
1
BMN
=
1
BF
+
1
BG
=
BF + BG
BF ∙ BG
 
Então: 
BMN =
BF ∙ BG
BF + BG
 
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
[3.9]	
[4.1]	
[4.2]	
[4]	
	
	
11	
2.4 LEIS DE KIRCHOFF 
“Vários circuitos tais como o circuito na Figura 6, 
não podem ser analisados por simplesmente substituir as 
combinações de resistências por uma resistência 
equivalente. As duas resistências BF e BG neste circuito 
aparentam estar paralelo, mas não estão em paralelo. A 
diferença de potencial não é a mesma em ambas 
resistências devido à presença da fonte de força 
electromotriz ℰG em série com BG. Nem são BF e BG estão 
em série, porque o fio de ligação deles tem um ramo de 
ponto eles não têm a mesma corrente devido à forma como 
eles estão conectados.” (Tipler & Mosca, 2012) 
 
Duas regras, chamadas Leis de Kirchhoff, aplicam-
se a este circuito e para qualquer outro circuito: 
 
1. Quando qualquer nó fechado é atravessado, a soma 
algébrica das diferenças de potencial em torno do 
circuito deve ser igual a zero. 
 
A = 0 
 
 
Fig. 6 - Um exemplo de um circuito que não 
pode ser analisado através da substituição de 
diferentes resistências em série ou em paralelo 
com as suas resistências equivalentes. As 
diferenças de potenciais através de IJ e IK 
não são iguais devido a fonte de força 
electromotriz cK , deste modo, estas não são 
resistências em paralelo. As resistências não 
têm a mesma corrente, então não estão em 
série. 
Fig. 7 - Ilustração da regra junção de 
Kirchhoff. A corrente dJ em um ponto é igual à 
soma dK + dL das correntes de um ponto +. 
	
	
12	
2. Em qualquer junção (ponto de ramificação), num circuito em que a corrente pode 
dividir, a soma das correntes para a junção deve ser igual à soma das correntes para 
fora da junção. 
Q = 0 
 
2.4.1 CONVENÇÃO DE SINAIS PARA A REGRA DE NÓS 
Em	aplicação	da	regra	dos	nós,	são	necessárias	algumas	convenções	de	sinal.	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Fig. 8 – Convenção de sinais 
	
	
13	
2.5 SIMBOLOGIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência 
Amperímetro A A 
V V Voltímetro 
Fonte de Corrente Contínua (D.D.P) 
	
	
14	
3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL 
3.1 Tipologia de estudo 
Tratou-se de uma pesquisa laboratorial pois nesta factos são observados, registados, 
analisados, classificados e interpretados, sem interferência do pesquisador utilizando técnicas 
uniformizadas de coleta de dados (questionário e observação sistemática). 
3.2 Material Utilizado 
• Fonte de diferença de potencial (configurada para corrente continua max. 5V); 
• Quatro resistências com os valores de resistência: 12Ω(duas), 120Ω (duas) (valores de 
resistência indicados pelo fabricante); 
• Cabos para fazer ligações; 
• Multímetro digital, funcionando como amperímetro; 
3.3 Procedimento experimental 
 A investigação foi realizada no laboratório de física do Instituto Superior de 
Transportes e Comunicações. 
 
	
	
 
	
	
 
	
	
	
15	
3.4 Recolha de dados 
1º – Foram feitas ligações de modo a obter um circuito similar ao circuito apresentado 
na figura 9 e utilizando um amperímetro foram medidas as intensidades QF, QG e QH. 
2º – Foi determinada a diferença de potencial entre os nós + e . utilizando de um 
voltímetro. 
3º – Foi determinada a diferença de potencial entre os nós utilizando de um 
voltímetro. 
4º – Foram calculadas as intensidades teoricamente usando as Leis de Kirchoff. 
 
 
 
 
	
	
3.5 Analise e dados e conclusão 
Com os dados em mão (após a recolha) os foi realizada a interpretação dos mesmos 
com recurso a cálculos envolvendo a matéria relativa às Leis de Kirchoff. 
 
 
 
 
Fig.9 – O circuito montado durante a experiencia. 
	
	
16	
4. RESULTADOS 
4.1 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 
QF = 20,6	86	
QG = 18,7	86	
QH = 1,7	86	
A = 3,6	A	
	
4.2 RESULTADOS OBTIDOS TEORICAMENTE 
	
Após escolha de sentido das correntes e das malhas o circuito apresenta-se do seguinte 
modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a Lei das correntes 
QF = QG + QH 
 
	
Aplicando a Lei das Voltagens 
Para a malha I: ℰF − QFBF − QGBG = 0 
Para a malha II: QGBG − QHBH + QG + QH Bk = 0 
Fig. 10 
	
	
17	
Dados			
BF = 120	Ω	
BG = 12	Ω	
BH = 120	Ω	
Bk = 12	Ω	
A = 5A	
	
SoluçãoQF − QG − QH = 0
ℰF − QFBF − QGBG = 0
QGBG − QHBH + QG + QH Bk = 0
								⇒ 										
QF − QG − QH = 0
5 − 120QF − 12QG = 0
12QG − 120QH + QG + QH 12 = 0
	
		
QF = QG + QH
5 − 120 QG + QH − 120QG = 0
12QG − 120QH + QG + QH 12 = 0
					⇒											
	
QF ≈ 0,038	6	
QG ≈ 0,031
QH ≈ 0,007	6
6			 
 
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
18	
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS E ANÁLISE DE RESULTADOS 
As Leis de kirchhoff foram formuladas em 1845 e são utilizadas em uma associação 
de resistores para se adquirir um valor equivalente ao circuito resistivo. Como por exemplo, 
uma fonte de resistores podendo estar em paralelo ou em série. Quando você quiser encontrar 
as correntes elétricas de um circuito e não consegue simplifica-la, uma boa maneira é utilizar 
as Leis de Kirchhoff, que são duas: Primeira Lei de Kirchhoff ou Lei das correntes e a 
segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das tensões. 
As leis de Kirchhoff permitem entender muitas situações em circuitos elétricos, desde 
como funcionam determinados componentes, até como resolver alguns problemas de falhas 
em um equipamento. 
	
Foram obtidos como resultados experimentais as intensidades QF = 20,6	86	 , 
QG = 18,7	86, QH = 1,7	86 e diferença de potencial A = 3,6	A. 
Foram obtidos como resultados teóricos as intensidades QF = 0,038	6 , QG = 0,031	6, 
QH = 0,007	6. 
Observa-se uma diferença em relação aos resultados obtidos experimentalmente e 
teoricamente que pode ser devido aos causados equipamentos utilizados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
	
19	
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Walker, J.; Halliday, D.; Resnick, R. (2014). Fundamentos de Física. 10ª Edição. E.U.A., 
John Wiley & Sons Inc 
 
Tipler, P.; Mosca, G. (2012). Física Para Cientistas e Engenheiros: Com Física Moderna. 6ª 
Edição. E.U.A., W. H. Freeman and Company 
 
Jewett, J. W. Jr.; Serway, R. A. (2008). Física Para Cientistas e Engenheiros. 7ª Edição. 
E.U.A., Cengage Learning Inc 
 
Young, H. D.; Freedman, R. A.; Ford, L. A. (2012). Sears and Zemansky’s Física de 
Universidade: Com Física Moderna. 13ª Edição. E.U.A., Pearson Education Inc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
	
20	
7. APÊNDICE 
À seguir apresentam-se as folhas preenchidas durante as experiencias.