Álgebra e Teoria Elementar dos Números - Apostila I

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Álgebra e Teoria 
Elementar dos 
Números
Iniciação algébrica
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Alessandra Garcia de Andrade e Silva
Revisão Técnica:
Prof. Ms. Fabio Douglas Farias
Revisão Textual:
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicarone
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• O conceito de Álgebra e seus significados
Estamos iniciando nossos estudos sobre ÁLGEBRA. A proposta desta unidade é o estudo de 
seus significados, sua linguagem e suas propriedades.
 Os conteúdos a serem abordados nesta unidade estão divididos em:
- padrões e generalizações;
- expressões algébricas; 
- equações;
- inequações;
- resolução de problemas.
Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de interpretar, generalizar e estabelecer 
relações entre as diferentes concepções algébricas. Para construir sua aprendizagem, leia os 
textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, treine realizando as Atividades 
Práticas disponibilizadas e verifique as resoluções destas ao final do conteúdo. Finalmente, 
e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo para a 
realização das mesmas. 
· Nesta unidade, traremos os seguintes conteúdos algébricos 
da educação básica e suas possibilidades de ensino: 
Noções iniciais de álgebra, abordando linguagem e cálculo; 
Expressões algébricas; Equações, Inequações; e Resolução 
de Problemas. É importante que você acesse o link “Materiais 
Didáticos”, pois lá encontrará o conteúdo e as atividades 
propostas para esta unidade.
Iniciação algébrica
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Unidade: Iniciação algébrica
Contextualização
Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 17 de junho de 1898 - Hilversum, 27 de março 
de 1972) foi um artista gráfico holandês conhecido pelas suas xilogravuras, litografias 
e meios-tons (mezzotints), que tendem a representar construções impossíveis, 
preenchimento regular do plano, explorações do infinito e as metamorfoses 
- padrões geométricos entre cruzados que se transformam gradualmente em 
formas completamente diferentes. Ele também era conhecido pela execução de 
transformações geométricas (isometrias) nas suas obras.
Apresentamos duas obras de Escher que apresentam padrões de regularidade na sua 
construção. Nossa proposta é que você aprecie as obras e, por uma ótica própria e particular, 
busque ideias que levem a um caminho para essa regularidade e sua relação com a Matemática.
 Evolução III (1939) Limite Circular IV (1960)
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O conceito de Álgebra e seus signifi cados
A palavra “álgebra” é uma variante latina da palavra árabe al-jabr. Vem do título de um 
livro Al-jabr w’al-muqabalah, escrito por volta do século IX, ano 825, pelo matemático e 
astrônomo Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi. Esse título significa “ciência da restauração 
e oposição” ou “transposição e eliminação”, pois foi nele que se mostrou a primeira fórmula 
geral para a resolução de equações de primeiro e segundo graus. Para o historiador Carl Boyer, 
pode-se expressar como “transferência de termos ao outro membro da equação” (al-jabr) e o 
“cancelamento de termos iguais em ambos os membros da equação” (al-muqabalah).
Desde a antiguidade, muitos foram os estudos acerca da álgebra. A partir de meados do 
século XIX, a álgebra conheceu uma evolução profunda, constituindo o núcleo central da 
“álgebra moderna”.
Por muito tempo, o estudo da álgebra escolar foi visto como uma generalização da aritmética 
e, portanto, mais difícil por se tratar de uma linguagem mais abstrata. Para Lins e Gimenez 
(1997), essa visão é inadequada, uma vez que álgebra e aritmética são duas faces da mesma 
atividade, já que lidam com relações quantitativas. Sendo assim, deve haver uma inter-relação 
de aprendizagem entre elas. Para esses autores, a educação algébrica apresenta três concepções: 
(i) concepção letrista: as atividades algébricas são resumidas a cálculos com letras, estando essa 
visão presente nos livros didáticos disponíveis no Brasil; (ii) concepção letrista facilitadora: a 
capacidade de lidar com expressões literais é alcançada por abstração por meio do trabalho com 
situações concretas; (iii) concepção de modelagem matemática: o concreto é assumido como 
real e as atividades visam investigar situações reais. 
Para nosso estudo, as ideias de álgebra que utilizaremos partem das concepções de Usiskin 
(1995), cuja finalidade é determinada por ou relaciona-se com concepções diferentes e que 
estão apresentadas no quadro abaixo:
Concepções da álgebra Uso das variáveis Exemplos e comentários
Aritmética generalizada Generalizadora de modelos (traduzir, generalizar)
Propriedade comutativa:
3 . 5 = 5 . 3
a . b = b . a
Estudo de procedimentos para 
resolução de problemas Incógnitas, constantes
Processo de equacionamento, 
resolução de equações, etc.
Estudo de relações entre 
grandezas
Argumentos, parâmetros 
(relacionar, gráficos)
Estudo de grandezas 
interdependentes, fórmulas, 
funções, modelagem, etc.
Estudo das estruturas Sinais arbitrários no papel (manipular, justificar)
Propriedades dos conjuntos 
numéricos, regras que definem: 
a0 = 1 a1 = a
Apresentaremos, a seguir, algumas situações.
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Unidade: Iniciação algébrica
I – Generalização de padrões
1) Observe a sequência de pontos abaixo:
 
a) Qual a próxima figura da sequência? Desenhe.
Ao observarmos essa sequência, temos, na figura 1, 2 pontos; na figura 2, 4 pontos; na 
figura 3, 6 pontos. 
Ou seja, de acordo com a posição da figura, o número de pontos sempre será o dobro do 
número da posição: (posição 1) 2.1 = 2 pontos; (posição 2) 2.2 = 4 pontos; (posição 3) 
2.3 = 6 pontos. 
Logo a próxima figura da sequência, que estará na posição 4, terá 8 pontos = 2.4 = 8. Seu 
desenho será representado por: 
 
b) E a seguinte? Desenhe.
5ª figura – (posição 5) → 2 . 5 = 10 pontos
c) Quantos pontos terá a 6ª figura da sequência?
6ª figura – (posição 6) → 2 . 6 = 12 pontos
d) E a 7ª? E a 8ª? E a 15ª?
7ª figura = 14 pontos (2.7); 8ª figura = 16 pontos (2 . 8); 15ª figura = 30 pontos (2 . 15)
e) Tente escrever a regra de formação dessa sequência?
Como cada figura representa o dobro do número da posição que ocupa, temos que, numa 
posição qualquer, a regra de formação é 2 vezes a posição, ou seja, 2n, em que n é a 
posição da figura (esta letra n está representando a posição da figura, mas poderia ser uma 
letra qualquer: 2p, 2f, 2g)
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2) Observe as figuras abaixo:
a) Continuando a sequência acima, qual a próxima figura? Desenhe.
Observando as figuras, vamos pensar em cada figura a partir das linhas e colunas. 
A primeira figura (posição 1) possui 1 linha e 2 colunas; a figura 2 (posição 2) tem 2 linhas 
e 3 colunas; a figura 3 (posição 3) tem 3 linhas e 4 colunas. 
Logo a próxima figura (posição 4) terá 4 linhas e 5 colunas, ou seja, cada figura tem o número 
de linhas igual ao da posição que ocupa e uma unidade a mais no número de colunas.
b) E a seguinte? Desenhe
Figura que ocupa a 5ª posição, logo possui 5 linhas e 6 colunas.
c) Quantos pontos tem a 7ª figura?
7ª posição = 7 linhas e 8 colunas, logo 56 pontos.
d) Qual a 10ª figura? Ela tem quantos pontos?
Uma figura com 10 linhas e 11 colunas, logo 110 pontos.
e) Tente escrever a regra de formação dessa sequência?
Numa posição qualquer, a figura tem o número de linhas igual ao da posição que ocupa 
e uma unidade a mais no número de colunas. Se chamarmos essa posição qualquer de p, 
teremos: p linhas e p + 1 colunas, logo p . (p + 1) = p² + p.
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Unidade: Iniciação algébrica
3) Observe as figuras abaixo:
2ª linha
1ª linha
a) Desenhe a próxima figura da sequência. Quantos pontos ela tem?
Observando, podemos ver que todas as figuras, com exceção da primeira, têm duas linhas. 
Poderemos estabelecer a seguinte relação: a 1ª figura (posição 1), não tem elementos na 
linha 1 e tem 1 elemento na linha 2; a 2ª figura (posição 2) tem 1 elemento na linha 1 e 2 
elementos na linha 2; a 3ª figura (posição 3) tem 2 elementos na linha 1 e 3 elementos na 
linha 2; a 4ª figura (posição 4) tem3 elementos na linha 1 e 4 elementos na linha 2; a 5ª 
figura (posição 5) tem 4 elementos na linha 1 e 5 elementos na linha 2. 
Podemos concluir, então, que: de acordo com a posição, na linha 1 há um ponto a menos 
que o número da posição, e, na linha 2, o número de pontos é igual ao da posição. 
Então, a 6ª figura (posição 6) terá 5 pontos na linha 1 e 6 pontos na linha 2, totalizando 
11 pontos.
b) Quantos pontos terá a 10ª figura? E a 20ª? E a 100ª?
10ª figura = 9 pontos na linha 1 e 10 pontos na linha 2 = 19 pontos
20ª figura = 19 pontos na linha 1 e 20 pontos na linha 2 = 39 pontos
100ª figura = 99 pontos na linha 1 e 100 pontos na linha 2 = 199 pontos
c) Quantos pontos tem uma figura numa posição qualquer.
Se chamarmos essa posição qualquer de p, teremos, na linha 1, p – 1 e, na linha 2, p, logo, 
p – 1 + p = 2p – 1. Poderemos usar a expressão 2p – 1 para calcular o número de pontos 
numa posição qualquer.
II – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Quando usamos uma letra para representar um número que não é conhecido, dizemos 
que essa letra é uma VARIÁVEL, pois está representando um número qualquer. Um exemplo 
cotidiano que podemos utilizar é a expressão “hoje tenho n coisas para fazer”, usada quando 
nos referimos às muitas atividades que temos para executar.
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Veja, agora, algumas situações nas quais é comum usar letras para representar números 
desconhecidos e perceba como é possível construir expressões algébricas.
a) Se n representa um número desconhecido, então, podemos representar o dobro desse 
número por 2n, a metade desse número por n
2
, e a soma desse número com 10 por n + 10
Todas essas expressões n, 2n e n + 10 são chamadas expressões algébricas.
b) Acompanhe esta situação: João mora em Fortaleza e foi a São Paulo a negócios. Logo 
que desembarcou na capital paulista, foi a uma loja para alugar um carro. Na primeira em 
que entrou, ele encontrou as seguintes condições: preço do aluguel R$ 50,00 a cada dia 
de aluguel, mais uma taxa fixa de R$ 100,00 para despesas. Para entendermos melhor o 
preço, João montou uma tabela:
Tempo Aluguel a ser pago
1 dia 50. 1 + 100 = 150
2 dias 50 . 2 + 100 = 200
3 dias 50 . 3 + 100 = 250
4 dias 50 . 4 + 100 = 300
x dias 50 . x + 100 = 50x + 100
Em outra loja, João encontrou a seguinte tabela de preços:
Tempo 1 dia 2 dias 3 dias 4 dias x dias
Aluguel em (R$) 60,00 120,00 180,00 240,00 60.x = 60x
As expressões 50x + 10 e 60x também são expressões algébricas que representam o valor 
pago pelo aluguel do carro.
III – Equações
Em Matemática, uma equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas 
expressões matemáticas. Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a 
incógnita que tornem a igualdade verdadeira.
Ideias-chave
Princípio aditivo da igualdade: adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros 
de uma igualdade, obtém-se uma nova sentença que ainda é uma igualdade.
Princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando ou dividindo por um mesmo número (diferente 
de zero) os dois membros de uma igualdade, obtém-se uma nova sentença que ainda é uma igualdade.
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Unidade: Iniciação algébrica
1) Na figura abaixo, temos a representação de uma equação:
A situação de equilíbrio da balança, representa a igualdade na equação. Algebricamente 
podemos escrever: 4x = 200, logo, para manter o “equilíbrio”, cada bloco vale 50g, ou seja:
4x = 200 (aplicando o princípio multiplicativo da igualdade)
4x
4
 = 200
4
 x = 50
2) Para esse outro exemplo temos:
4x + 3 + 1 = 12
4x + 4 = 12
Para manter o equilíbrio, tiramos 4 de cada lado (princípio aditivo)
4x + 4 – 4 = 12 – 4
4x = 8 (aplicando o princípio multiplicativo, dividimos os dois membros por 4)
4x
4
 = 8
4
x = 2
Logo, o único valor que a incógnita x pode assumir, para que a balança continue em equilíbrio, é 2.
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3) Para esta situação:
3x + 400 = 400 + 400 + 50
Eliminando 400 de cada lado (pelo princípio aditivo), mantemos o equilíbrio:
3x + 400 – 400 = 400 + 400 + 50 - 400
3x = 450 (pelo princípio multiplicativo, dividimos os dois membros por 3)
3x
3
 = 450
3
x = 150
Logo, para que a balança continue em equilíbrio, o valor de cada fruta deve ser 150g.
4) Nesta outra situação, temos:
2x + 10 = x + 8 + 10
Para manter o equilíbrio, vamos retirar um “x” e o “10” de cada lado (princípio aditivo)
x + x + 10 – x – 10 = x + 8 + 10 – x – 10
x = 8
Para que se mantenha o equilíbrio, cada cubo deve valer 8 gramas. 
Saiba mais....
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Unidade: Iniciação algébrica
IV – Inequações 
Também vale para as inequações os princípios aditivo e multiplicativo.
É uma sentença matemática, com uma ou mais incógnitas, 
expressa por uma desigualdade, diferenciando-se da equação, que 
representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações 
que não são de equivalência. É representada pelos sinais de maior 
(>) ou menor (<) em vez do sinal de igualdade que caracteriza as 
equações. Logo, inequação é uma sentença aberta, expressa por 
uma desigualdade entre duas expressões algébricas.
Nas inequações, o valor da incógnita não será único, e sim um conjunto de soluções.
Por exemplo: 
1) x + 4 > 10 
x + 4 – 4 > 10 – 4 (princípio aditivo)
Nessa inequação, a incógnita x está representando os valores que, somados a 4, sejam 
maiores que 10. Temos que, para validar essa inequação, os números devem ser maiores do 
que 6, isto é, qualquer valor, desde que seja maior que 6, valida a inequação.
Na prática, temos:
x + 4 > 10
x > 10 – 4
x > 6
O conjunto solução das inequações também pode ser representado na reta numérica:
 S = {7, 8, 9, 10, 11, ...}
2) 5x + 12 < 2x – 9 --> Primeiro vamos “retirar” o 12 do 1º membro, 
aplicando o princípio aditivo
5x + 12 – 12 < 2x – 9 – 12
5x < 2x - 9 – 12 ----> Agora vamos “retirar” o 2x do 2º membro
5x – 2x < 2x – 2x - 21
 3x < -21 ------> Dividindo os dois membros por 3, temos:
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3x
3
 < -21
3
x < -7 
Logo, os valores de x que validam essa inequação devem ser menores que -7.
S = {-8, -9, -10, -11, -12, ...}
Nas inequações, as desigualdades podem ser representadas também pelos símbolos ≥ ou ≤. 
Nesse caso, queremos que os valores sejam, além de maiores ou menores, também iguais. Veja 
no próximo exemplo:
3) 2x + 5 ≤ -3x + 50
2x + 3x ≤ 50 – 5
5x ≤ 45
x ≤ 45
5
x ≤ 9
S = {9, 8, 7, 6, 5, ...}
4) 6(-x - 5) + 2(4x +2) ≥ 100 Neste exemplo, devemos executar a propriedade distributiva:a (b + c) = ab + ac
-6x – 30 + 8x + 4 ≥ 100 
2x - 26 ≥ 100 
2x ≥ 100 + 26
2x ≥ 126
x ≥ 126
2
x ≥ 63
S = {63, 64, 65, 66, 67, ...} 
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Unidade: Iniciação algébrica
V – Passagem da linguagem natural para linguagem algébrica
Em algumas situações, a passagem para a linguagem algébrica torna a resolução de 
problemas mais fácil. Utilizar letras no lugar de termos desconhecidos, facilita a resolução. 
Veja, abaixo, alguns exemplos:
1) A soma de um número com o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número?
Em primeiro lugar, devemos atribuir uma letra para o elemento desconhecido. Nesse caso, 
o número desconhecido será x, que será somado com seu triplo (triplo = multiplicado por 3). 
Logo, em linguagem algébrica, teremos:
4x = 48
x = 48
4
x = 12
Logo, o número procurado é 12
2) O quádruplo de um número diminuído de 10 é igual ao dobro desse 
número diminuído de 2. Qual é esse número?
Número = y
Dobro do número = 2y
Quádruplo do número = 4y
4y – 10 = 2y - 2
4y – 2y = - 2 + 10
2y = 8
y = 8
2
y = 4
3) A soma de dois números consecutivos é 51. Quais são esses números?
Número = x
Seu consecutivo = x + 1
17
Número + seu consecutivo = 51
x + x + 1 = 51
2x + 1 = 51
2x = 51 – 1
2x = 50
x = 50
2
x = 25
Logo, número = 25, seu consecutivo = 26, soma = 51
4) Por uma mensagem dos Estados Unidos para o Brasil, via fax, a 
empresa de Correiose Telégrafos (ECT) cobra R$ 1,50 pela primeira 
página e R$ 0,50 por página que segue, completa ou não. Qual o número 
máximo de páginas de uma dessas mensagens para que seu preço não 
ultrapasse o valor de R$ 10,00?
Para a resolução desse problema, devemos montar uma equação:
0,50 x ≤ 10,00 – 1,50
0,50 x ≤ 8,50
x ≤
8,50
0,50
x ≤ 17 
17 páginas de R$ 0,50 + 1 Página de R$ 1,50 = 18 páginas.
Logo, para que a mensagem não ultrapasse R$ 10,00, ela deve ter no máximo 18 páginas.
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Unidade: Iniciação algébrica
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre as Noções de Funções, consulte os sites e as 
referências a seguir. 
• www.matematica.br
• www.gregosetroianos.mat.br
Referências Bibliográficas:
• DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de Matemática. São 
Paulo: Ática, 1999.
• POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.
• SOUSA, Júlio César de Melo. Malba Tahan – O homem que calculava. Rio de 
Janeiro: Record: 2008.
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Referências
CAMPOS, Tania Maria Mendonça. Transformando a prática das aulas de Matemática.
Volume 3. São Paulo: Editora Proem, 2001.
EVES, Howard. Introdução a História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2007.
FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Angela: MIGUEL, Antonio. Contribuições para um 
repensar... A Educação Algébrica Elementar. Volume 4. Campinas: Pro-posições, 1993.
IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: 
Globo, 1992
IEZZE, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. São 
Paulo: Atual, 2013.
LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para 
o século XXI. 5ª edição. Campinas: Papirus, 2005.
USISKIN, Zalman. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilização das variáveis. In:
As ideias da Álgebra. Organizadores: COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. Tradução: 
Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.São Paulo: Atual, 1994.
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Unidade: Iniciação algébrica
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