Produtos Notáveis

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Álgebra e Teoria 
Elementar dos Números
Propriedades Algébricas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Alessandra Garcia de Andrade e Silva
Revisão Técnica:
Prof. Ms. Fabio Douglas Farias
Revisão Textual:
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicarone
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• Introdução
Dando continuidade aos nossos estudos sobre a álgebra, nosso foco agora será a apropriação 
das propriedades algébricas, neste caso, uma ferramenta muito útil para a resolução e solução de 
problemas. As propriedades trabalhadas serão:
 · monômios, polinômios e suas operações;
 · produtos notáveis;
 · fatoração.
Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de aplicar todas as propriedades nas 
expressões algébricas, nas representações de situações do cotidiano e também realizar as transposições 
didáticas necessárias para as atividades de ensino. Para construir sua aprendizagem, realize a 
leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, treine com as Atividades 
Práticas disponibilizadas e verifique as resoluções destas ao final do conteúdo. Finalmente, e o mais 
importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo para realização das mesmas. 
Bom estudo!
Nesta unidade, continuaremos nossa discussão acerca da 
álgebra, porém o objetivo principal aqui é o uso das propriedades 
como ferramenta para facilitar os cálculos. As propriedades 
algébricas auxiliam nas diversas maneiras de resolução.
Propriedades Algébricas
• Monômio
• Polinômios
• Produtos notáveis
• Fatoração
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Unidade: Propriedades Algébricas
Contextualização
Observe esse cubo formado por 4 peças diferentes.
Podemos pensar numa expressão algébrica que represente o volume desse cubo ou numa 
expressão algébrica que represente a área de uma das faces desse cubo ou, ainda, numa 
expressão que represente o perímetro de uma de suas faces.
Nesta unidade, a proposta é esta: a representação algébrica por meio de símbolos.
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Introdução
Dado o quadrado abaixo:
O perímetro desse quadrado pode ser determinado pela expressão algébrica 4a e, ao 
atribuírmos valor para o lado desse quadrado, temos o valor numérico dessa expressão algébrica. 
Logo, se o lado do quadrado for 5 cm, teremos seu perímetro igual a 20 cm (5 x 4 = 20, sendo 
5 a medida do lado, vezes 4, que é o número de lados do quadrado); se o lado do quadrado for 
7,5 cm, teremos seu perímetro igual a 30 cm (7,5 x 4 = 30, sendo 7,5 a medida do lado, vezes 
4, que é número de lados do quadrado).
1 - Na figura, indicamos as medidas do campo de futebol, em metros:
x + 42
x
Temos como dimensões desse campo as seguintes medidas: largura do campo = x metros e 
comprimento do campo = x + 42 metros.
a) Qual é a expressão algébrica que determina o perímetro desse campo?
O perímetro será determinado pela soma dos lados desse campo, logo o perímetro será 
dado por x + x + x + 42 + x + 42 ou 2 . x + 2 . (x + 42) = 4x + 84
b) Qual será o valor do perímetro se x for igual a 68m?
Temos a expressão 4x + 84; se x é igual a 68, temos 4.68 + 84 = 356. Portanto, o 
perímetro do campo será igual a 356 metros.
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Unidade: Propriedades Algébricas
2 - Complete as tabelas abaixo, utilizando o valor atribuído a cada variável, e determine, 
assim, o valor numérico de cada expressão algébrica:
x y (x + y)2 x2 + y2
3 4 (3+4)2 = 72 = 49 32 + 42 = 9 + 16 = 25
-7 7 (-7+7)2 = 02 = 0 (-7)2 +72 =49+49 = 98
6 6 (6 + 6)2 = 122 = 144 62 + 62 = 36+36 = 72
0 9 (0 + 9)2 = 92 = 81 02 + 92 = 92 = 81
1,1 0,4 (1,1+0,4)2=1,5 = 2,25 1,12+0,42=1,21+0,16=1,37
Monômio
É uma expressão algébrica formada por um único termo. O monômio é formado pelo 
produto de um número, chamado coeficiente, e uma variável ou produto de variáveis, 
chamado parte literal.
-7w -7 = coeficiente w = parte literal
4x2yz 4 = coeficiente x2yz = parte literal
Um número real também é considerado um monômio sem parte literal.
O monômio 0 (zero) recebe o nome de monômio nulo.
Polinômios
É uma expressão algébrica composta pela adição algébrica de monômios. Cada um dos 
monômios que o compõe é chamado termo do polinômio.
5c 9b2 + c2
x3 + 2a – 7b 2a + 5b + 3c + 8
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Os polinômios compostos por um termo são chamados de monômios; por dois 
termos binômios; por três termos trinômios. Já aqueles compostos por quatro 
termos ou mais não recebem um nome especial.
1 - A área do polígono da figura a seguir é a soma das áreas de um quadrado e de 
um retângulo.
a) Escreva uma expressão algébrica que represente a área desse polígono.
Resolução: Podemos subdividir a figura em duas: um quadrado de lado x, e um 
retângulo de base x + 4 e altura igual a 2. A área do quadrado é calculada por lado x 
lado, logo a área desse quadrado será x². A área do retângulo é calculada multiplicando 
base por altura. Nesse caso 2 . (x + 4) = 2x + 8, portanto a expressão algébrica que 
representa a área desse polígono é o trinômio x² + 2x + 8.
b) Calcule o valor numérico da área para:
x = 3
x² + 2x + 8
3² + 2.3 + 8
9 + 6 + 8 = 23
x = 6
x² + 2x + 8
6² + 2.6 + 8
36 + 12 + 8 = 56
x = 9
x² + 2x + 8
9² + 2.9 + 8
81 + 18 + 8 = 107
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Unidade: Propriedades Algébricas
x = 4,5
x² + 2x + 8
(4,5)² + 2.4,5 + 8
20,25 + 9 + 8 = 37,25
2 - O preço de uma corrida de táxi é determinado pela expressão algébrica p + q.x, 
sendo p o valor da bandeirada, q o preço por quilômetro rodado e x a quantidade de 
quilômetros rodados. Quando p = 3,50 reais e q = 2,25 reais, quanto se paga por uma 
corrida de 6 km?
Resolução:
Substituindo os valores na expressão, temos: 3,50 + 2,25 . 6, portanto, o valor que se 
paga na corrida é R$ 17,00
Produtos notáveis
A regularidade é um aspecto muito estudado dentro da álgebra. Observe o desenvolvimento 
do produto de dois binômios iguais:
Quadrado da soma de dois termos
 (a + b)²
(a + b).(a + b)=
a² + ab + ab + b² =
a² + 2ab + b²
(3x + 2y)²
(3x + 2y).(3x + 2y)=
9x² + 6xy + 6xy + 4y²
9x² + 12 xy + 4y²
11
(m² + n³)²
(m2 + n3).(m2 + n3)=
m4 + m²n³ + m²n³ + n6
m4 + 2m2n3 + n6
Podemos perceber, nos três produtos desenvolvidos, algumas regularidades:
 · o resultado final é sempre um trinômio;
 · o primeiro monômio do resultado é sempre o quadrado do primeiro termo do binômio 
inicial; o segundo monômio do resultado, e a multiplicação entre o primeiro e o segundo 
termo do binômio inicial vezes 2; e o terceiro monômio do resultado é o quadrado do 
segundo termo do binômio inicial. Veja:
(a + b)² = (a + b) . (a + b) a = 1º termo b = 2º termo
1º termo elevado ao quadrado = a²
2 x 1º termo x 2º termo = 2 . a . b = 2ab
2º termo elevado ao quadrado = b²
Resultado final = trinômio a² + 2ab + b²
(3x + 2y)² = (3x + 2y) . (3x + 2y) 3x = 1º termo 2y = 2º termo
1º termo elevado ao quadrado = (3x)² = 9x²
2 x 1º termo x 2º termo = 2 . 3x . 2y = 12xy
2º termo elevado ao quadrado = (2y)² = 4y²
Resultado final = trinômio 9x² + 12xy + 4y²
(m² + n³)² = (m² + n³).(m² + n³) m² = 1º termo n³ = 2º termo
1º termo elevado ao quadrado = (m²)² = m4
2 x 1º termo x 2º termo = 2 . m². n³ = 2m²n³
2º termo elevado ao quadrado = (n³)² = n6
Resultado final = trinômio m4 + 2m²n³ + n6
Esse produto, obtido a partir do quadrado da soma de dois termos, pode ser generalizado. 
12
Unidade: Propriedades Algébricas
Para isso, teremos: “o quadrado do 1º termo, mais duas vezes o 1º termo vezes o 2º termo, mais 
o quadrado do 2º termo”.
Quadrado da diferença de dois termos
Nesse caso, a generalização é estendida a partir do quadrado da soma de dois termos. Para 
isso, teremos: “o quadrado do 1º termo, menos duas vezes o 1º termo vezes o 2º termo, mais o 
quadrado do 2º termo”.
1 - Determine a expressão algébrica reduzida que representa a área do quadrado.
 
Temos, inicialmente, um quadrado de lado m+5, 
que foi dividido em 4 partes: 2 quadrados, um de 
lado m e outro de lado 5, e dois retângulos iguais, de 
base m e altura 5.
Resolução: Algebricamente, como temos uma quadrado de ladom+5 e temos que 
determinar a área, podemos estabelecer (m + 5)². Aplicando a regra do quadrado da soma de 
dois termos, temos:
m² + 2.m.5 + 5² = 
m² + 10m + 25
Geometricamente: Quadrado maior: lado m, área igual a m²; quadrado menor: lado 5, área 
igual a 5² = 25; retângulos: base igual a m e altura igual a 5, área igual a m.5 = 5m. Como 
são dois retângulos, temos 2.5m = 10m. Logo, a expressão algébrica que representa a área do 
quadrado é m² + 10m + 25.
2 - Qual é a forma reduzida da expressão (y + 3z)²?
Resolução: aplicando a generalização, temos:
y² + 2.y.3z + (3z)²
y² + 6yz + 9z²
3 - Em cada caso, relacione cada produto notável à sua forma reduzida:
13
A) 3 
7
x +  
2
 I ) 4x² - 12x + 9
B) (2x - 3)² II) 
2
4
x
 + x + 1
C) 12
x +  
2
 III) x² + 67 x + 
9
49
D) (y² - 5x)² IV) y4 - 10xy² + 25x²
Resolução: aplicaremos a generalização para cada expressão da 1ª coluna:
3 
7
x +  
2
 = x² + 2.x. 
3
7 + 
3
7
 
  
2
 = x² + 
6
7
x + 
9
49 Logo A – III
(2x - 3)² = (2x)² - 2.2x.3 + 3² = 4x² - 12x + 9 Logo B – I 
1
2
x +  
2
 = 
2
x 
  
2
 + 2.
2
x .1 + 1² = 2
4
x + x + 1 Logo C – II
(y² - 5x)² = (y²)² - 2.y².5x + (5x²) = y4 - 10xy² + 25x² Logo D - IV
Produto da Soma pela diferença de dois termos
(a + b) . (a – b)
(a + b).(a – b)=
a2 – ab +ab – b2=a2–b2
(3x + 2y) . (3x – 2y)
(3x + 2y).(3x – 2y)=
9x2 – 6xy +6xy – 4y2=9x2 – 4y2
(m² + n³) . (m² - n³)
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Unidade: Propriedades Algébricas
(m2 + n3).(m2 – n3)=
m4 + m2n3 + m2n3 – n6=m4 – n6
Podemos perceber, nos três produtos desenvolvidos, algumas regularidades:
 · resultado final é sempre um binômio (diferença entre dois monômios);
 · o primeiro monômio do resultado é sempre o quadrado do primeiro termo do binômio 
inicial, e o segundo monômio do resultado é sempre o quadrado do segundo termo 
do binômio inicial.
Esse resultado, obtido a partir do produto da soma pela diferença de dois termos, pode 
ser generalizado. Para isso, teremos: “o quadrado do primeiro termo menos o quadrado do 
segundo termo”.
1 - Simplifique as expressões:
a) (2 – r)² + (2 – r)(2 + r)
Resolução: devemos aplicar dois produtos notáveis: o quadrado da diferença de dois 
termos e o produto da soma pela diferença de dois termos
(22 – 2.2.r+r2)+(22-r2)=4 – 4.r+r2+4 – r2= + 8
b) (x – 8)² - (x + 6)(x – 6)
Resolução: devemos aplicar dois produtos notáveis: o quadrado da diferença de dois 
termos e o produto da soma pela diferença de dois termos
(x² - 2.x.8 + 8²) = x² - 16x + 64
x² - 6² = x² - 36
(x² - 16x + 64) – (x² - 36)
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Fatoração
O processo de decomposição em produto é denominado fatoração.
Recordando
Podemos escrever um número qualquer como produto de número primos. Exemplo: o número 12 
poder ser escrito como 2.2.3 ou 2².3. Dizemos que 2². 3 é a forma fatorada do número 12.
Fatorar um polinômio significa escrevê-lo na forma de um produto indicado. A fatoração é utilizada 
para simplificar e operar com frações algébricas. Estudaremos quatro processos de fatoração: Termo 
Comum, Agrupamento, Trinômio Quadrado Perfeito, Diferença entre dois quadrados.
Termo Comum
Esse caso, também conhecido como fator comum em evidência, consiste em identificar um 
fator comum a todos os termos de um determinado polinômio.
Exemplo 1: No binômio 5xy + xy², podemos identificar que x e y aparecem nos dois 
termos. Dizemos, então, que x e y são os fatores comuns. O processo da fatoração completa-se 
quando colocamos esse termo comum em evidência e completamos com os termos que não 
são comuns:
 xy.(5 + y) xy = termo comum 5 + y = termos não comuns
Logo xy.(5 + y) é a forma fatorada da expressão 5xy + xy². Se efetuarmos a propriedade 
distributiva, voltamos à forma inicial:
xy.(5 + x)= 5xy + xy2
Exemplo 2: No trinômio 4ab + 2a²b + 6ab², podemos identificar que a e b aparecem nos 
três termos. Além disso, entre os números 4, 2 e 6, temos o algarismo 2 como termo comum (4 
= 2.2 e 6 = 2.3). Dizemos, então, que 2, a e b são os fatores comuns.
2ab.(2 + a + 3b) 2ab = termo comum 2 + a + 3b = termos não comuns
Logo 2ab.(2 + a + 3b) é a forma fatorada da expressão 4ab + 2a²b + 6ab². Se efetuarmos 
a propriedade distributiva, voltamos à forma inicial:
2ab.(2+a+3b)=4ab+2a2b+6ab2
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Unidade: Propriedades Algébricas
1 - Observe a figura e responda:
1 2 3a
x y z
a) Qual é a área de cada parte colorida?
b) Qual é a área total?
c) Qual é a forma fatorada?
Resolução:
a) área parte 1 = ax; parte 2 = ay; parte 3 = az
b) área total = ax + ay + az
c) forma fatorada: termo comum = a
a(x + y + z)
2 - Complete o quadro com as informações adequadas:
POLINÔMIO Fator comum dos termos Forma Fatorada
a) -22m²n² - 33m³n³
b)
2 5
 
4 8 10
x x x+ +
2
x
c)
1 3
5 3 4
b aab + −  
Resolução:
a) Podemos escrever o polinômio como -2.11m.m.n.n – 3.11m.m.m.n.n.n, logo os termos 
comuns são 11, m² e n² = 11m²n²; portanto a forma fatorada é 11m²n².(-2 – 3mn)
b) Como já temos o de termo comum, a forma fatorada é 
41( )
2 2 4 5
x x x+ +
17
c) Se a forma fatorada é 1 3
5 3 4
b aab + −  
, temos 1
5
 como termo comum e 3
5 15 12
ab b a+ − é 
o polinômio.
Agrupamento
Nem todos polinômios possuem um único fator comum a todos os seus termos. Se existirem 
fatores comuns em alguns dos termos, podemos utilizar o caso do agrupamento. Como o próprio 
nome já está dizendo, os termos devem ser agrupados em torno de um termo comum e, em 
seguida, fazemos o processo de fatoração do termo comum:
Exemplo 1: Seja o polinômio xy + 3x + 2y + 6. Como temos 4 termos, podemos formar 
dois grupos: no primeiro teremos xy e 3x, e o termo comum é o x; no segundo teremos 2y e 6, 
e o termo comum é o 2. Assim teremos:
xy + 3x + 2y + 6
x(y + 3) + 2(y + 3) aqui novamente temos um termo comum entre os dois grupos, que 
é o (y + 3); colocamos em evidência
(y + 3).(x + 2) forma fatorada
Exemplo 2: Seja o polinômio ax + bx – 4a – 4b. Como temos 4 termos, podemos formar 
dois grupos: no primeiro teremos ax e bx, e o termo comum é o x; no segundo teremos 4a e 4b, 
e o termo comum é o 4. Assim teremos:
ax + bx – 4a – 4b
x(a + b) - 4(a + b) aqui novamente temos um termo comum entre os dois grupos, que 
é o (a + b); colocamos em evidência
(a + b).(x - 4) forma fatorada
Portanto a forma fatorada, no agrupamento, sempre será um produto entre dois termos.
1 - Que fatoração pode ser explicada algebricamente a partir da figura abaixo? 
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Unidade: Propriedades Algébricas
Resolução:
Calculada a área de cada parte da figura, temos:
1 = bx 2 = ab 3 = x² 4 = ax
Logo, a área total da figura pode ser representada pelo polinômio bx + ab +x² + ax. A 
fatoração será feita por agrupamento: grupo 1 formado por bx e ab, com b sendo o termo 
comum; e grupo 2 formado por x² e ax, com x sendo o termo comum. Logo temos:
b(x + a) + x(x + a)
(x + a).(b + x) = forma fatorada.
Trinômio Quadrado Perfeito
O trinômio quadrado perfeito será igual ao quadrado do binômio, ou seja, quando resolvemos 
os produtos notáveis, quadrado da soma de dois termos e quadrado da diferença de dois termos, o 
resultado de ambos é um trinômio quadrado perfeito. Logo, a fatoração de um trinômio quadrado 
perfeito será o quadrado da soma de dois termos ou o quadrado da diferença de dois termos.
Exemplo 1: a forma fatorada do trinômio a² + 2ab + b² é igual a (a + b)², e a forma 
fatorada do trinômio a² - 2ab + b² é igual a (a - b)².
Nem todo trinômio é quadrado perfeito. O trinômio quadrado perfeito terá três elementos:
1 - três termos;
2 - dois de seus termos serão quadrados perfeitos;
3 - o outro termo será determinado multiplicando 2 pelas raízes dos termos anteriores.
No trinômio a² + 2ab + b²:
1-é um trinômio;
2-os termos a² e b² possuem raiz quadrada: = a e = b;
3-o terceiro termo 2ab é o resultado de 2.a.b.
Logo, a² + 2ab + b² é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (a + b)²
Exemplo 2: Verificar se 9a² - 6a + 1 é um trinômioquadrado perfeito e, se for, escrevê-lo 
na forma fatorada.
1 - 9a² - 6a + 1 possui três termos
2 - Dois termos possuem raiz quadrada: 29a = 3a e 1 = 1
3 - O terceiro termo 6ax é o resultado de 2.3a.1
Logo 9a² - 6a + 1 é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (3a + 1)²
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Observe a figura e responda às questões abaixo:
a) Some a área de cada uma das quatro partes indicadas. 
Qual é a área do quadrado BICO?
b) Qual é a medida do lado do quadrado BICO?
c) Qual é a forma fatorada de x² + 8x + 16
Resolução:
a) x² + 4x + 4x + 4² = x² + 8x + 16
b) O lado do quadrado é x + 4
c) No trinômio x² + 8x + 16, temos dois termos que possuem raiz quadrada, x² e 16, 
cujos resultados são x e 4, e o terceiro termo é o produto de 2.x.4 = 8x. Logo, a forma 
fatorada de x² + 8x + 16 é igual a (x + 4)²
Diferença de dois quadrados
A diferença de dois quadrados será igual ao produto da soma pela diferença de dois termos, 
ou seja, quando resolvemos o produto da soma pela diferença de dois termos, o resultado é 
uma diferença de dois quadrados. Logo, a fatoração da diferença de dois quadrados será o 
produto da soma pela diferença de dois termos.
Podemos generalizar a estratégia para fatorar a diferença entre dois quadrados:
1 - a expressão será sempre uma diferença entre dois termos (binômio);
2 - os dois termos possuem raiz quadrada;
3 - a fatoração será o produto entre a soma e a diferença das duas raízes.
Exemplo 1: Fatorar o binômio x² - 9
1 - É uma diferença entre dois termos.
2 - Os dois termos possuem raiz quadrada: 2x = x e 9 = 3.
3 - A fatoração será (x + 3).(x – 3).
Exemplo 2: Fatorar o binômio 25a² - 81b²
1 - É uma diferença entre dois termos.
2 - Os dois termos possuem raiz quadrada: 225a = 5a e 281b = 9b
3 - A fatoração será (5a + 9b).(5a – 9b)
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Unidade: Propriedades Algébricas
Quadro Resumo: Fatoração
CASO NÚMERO DE TERMOS CONDIÇÕES
Termo Comum Qualquer quantidade Elemento comum em todos os termos.
Agrupamento Nº par de termos Um elemento comum em cada par de termos.
Trinômio Quadrado 
Perfeito Três termos
Raiz quadrada em dois termos e o terceiro 
termo deve ser o produto de 2 pelas 
raizes anteriores.
Diferença de dois 
quadrado Dois termos
Diferença entre os dois termos; raiz 
quadrada dos dois termos.
21
Material Complementar
 
 Explore
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre as propriedades e ferramentas algébricas, 
consulte os sites e as referências a seguir.
www.matematica.br
www.gregosetroianos.mat.br
www.m3.ime.unicamp.br
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Unidade: Propriedades Algébricas
Referências
BALESTRI, Rodrigo; ROSA NETO, Eduardo. Matemática nos dias de hoje. Volume 3. São 
Paulo: Editora Leya, 2012.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática. Volume 3. São Paulo: Editora Scipione, 2013.
CAMPOS, Tania Maria Mendonça. Transformando a prática das aulas de Matemática. 
Volume 3. São Paulo: Editora Proem, 2001.
FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria Angela: MIGUEL, Antonio. Contribuições para um 
repensar... A Educação Algébrica Elementar. Volume 4. Campinas: Pro-posições, 1993.
IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Rio de Janeiro: Globo, 1992.
IEZZE, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. São 
Paulo: Atual, 2013.
LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para 
o século XXI. 5ª edição. Campinas: Papirus, 2005.
23
Anotações
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