Aula 01 EDO

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Sumário
Aula 01 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Por que estudar equações diferenciais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Aula 01
1.1 Introdução
O estudo das Equações Diferenciais Ordinárias tem início com os próprios criadores do Cál-
culo, Newton e Leibniz, no final do século XVII, motivados principalmente por problemas rela-
cionados à mecânica celeste. O objetivo dos matemáticos desde aquela época até meados do
século XIX era a obtenção explícita das soluções das equações diferenciais. Ao tentar expressar
as soluções em termos de funções elementares, um dos métodos mais utilizados procurava redu-
zir o problema de obtenção de soluções ao cálculo de primitivas. Obviamente, o desejo de obter
explicitamente as soluções de uma equação diferencial é completamente natural, contudo, logo
se verificou que o números de equações cujas soluções podem ser expressas por meio de funções
elementares era muito pequeno. Essa constatação impulsionou a busca de novas abordagens,
como, por exemplo, o uso das séries de funções no século XIX. Por volta dessa época também
surgiram os teoremas de existência e unicidade de soluções, cuja importância reside em que,
sabendo-se a priori da existência de solução, sua busca se torna justificável. Os teoremas de
existência e unicidade marcaram o início da fase moderna da área, sendo Poincaré no final do
século XIX um dos seus maiores representantes. Sabendo-se a priori da existência de soluções,
passou-se a ter grande interesse no comportamento qualitativo e nas propriedades dessas solu-
ções sem a preocupação de escrevê-las explicitamente.
De acordo com o parágrafo anterior, podemos observar duas direções interconectadas im-
portantes no estudo de equações diferenciais: a teoria quantitativa e a qualitativa. Enquanto o
objetivo da primeira é encontrar soluções, sejam elas explícitas (quando for possível) ou apro-
ximadas por algum método de Análise Numérica, o objetivo da segunda é a descrição do com-
portamento qualitativo das soluções sem a necessidade de escrevê-las explicitamente. No caso
de soluções aproximadas, o que se procura são funções que estão “próximas” da solução do pro-
blema. Vale ressaltar que, nas aplicações à Física e às Engenharias, essa solução aproximada é tão
boa quanto a solução propriamente dita, desde que o problema goze de uma certa estabilidade
com relação a perturbações dos dados, o que, via de regra, ocorre nessas aplicações.
1.1.1 Por que estudar equações diferenciais?
Equações diferenciais são importantes em várias áreas do conhecimento, como, por exem-
plo, em Física, Química, Biologia, etc. Muitas leis ou fenômenos são formulados em termos de
equações diferenciais. Vejamos alguns exemplos:
1.2 Definições
A equação diferencial
∂ 2u
∂ t 2
= c 2
∂ 2u
∂ x 2
, chamada de equação da onda, descreve o comporta-
mento das ondas, como, por exemplo, o comportamento de uma corda de violão vibrando,
das ondulações em um lago após uma pedra ser lançada ou da luz.
A equação diferencial ρ
�
∂ v
∂ t
+v ·∇v
�
= −∇p +∇ · T+ f, chamada de equação de Navier-
Stokes, descreve o escoamento dos fluídos, como, por exemplo, escoamento da água pas-
sando por um cano, do leite sendo misturado ao café, do fluxo de ar sobre uma asa de avião
ou da fumaça saindo de um cigarro.
As equações diferenciais∇·E= ρ
ϵ0
,∇·B= 0,∇×E=−∂ B
∂ t
e∇×B=µ0
�
J+ ϵ0
∂ E
∂ t
�
, chamadas
de equações de Maxwell, descrevem o comportamento e a relação entre eletricidade (E) e
magnetismo clássico (B).
A equação diferencial i}h ∂
∂ t
Ψ =HΨ, chamada de equação de Schrödinger, descreve como
o estado quântico de um sistema físico evolui ao longo do tempo.
A equação diferencial
1
2
σ2S 2
∂ 2V
∂ S 2
+ r S
∂ V
∂ S
+
∂ V
∂ t
− r V = 0, chamada de equação de Black-
Scholes, descreve como especialistas em finanças e traders encontram preços para deri-
vativos, isto é, para produtos financeiros baseados em algum ativo subjacente, como, por
exemplo, uma ação.
Embora os exemplos apresentados acima não sejam de equações diferenciais ordinárias,
eles servem ao seu propósito — exemplificar que se quisermos entender como o mundo que
nos cerca funciona precisamos compreender equações diferenciais.
1.2 Definições
Inicialmente, recorde que
(a , b ), (−∞, b ), (a ,+∞) e (−∞,+∞),
com a , b ∈ R e a < b , são chamados intervalos abertos de R. Dada uma função y : I → R, em
que I ⊂R é um intervalo aberto, diferenciável pelos menos até a ordem n , recorde que
y (i )(x ) =
d i y
d x i
(x ) ∀ i = 0, 1, . . . , n ,
em que y (0)(x ) = y (x ). Para as derivadas de ordem mais baixa será comum escrevermos
y ′(x ) =
d y
d x
(x ), y ′′(x ) =
d 2 y
d x 2
(x ), y ′′′(x ) =
d 3 y
d x 3
(x ), . . . .
Observação. Cuidado, não confunda y (3)(x ) com y 3(x ). Como sabemos, y (3)(x ) denota a deri-
vada de ordem 3 da função y . Já y 3(x )denota o valor y (x ) elevado ao cubo, isto é, y 3(x ) = [y (x )]3.
2
1.2 Definições
Definicão 1.1
Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação envolvendo uma variável inde-
pendente x ∈R, uma variável dependente y e algumas de suas derivadas y ′, y ′′, y (3), . . . , y (n ),
n ∈N.
Por exemplo,
d 2 y
d x 2
+ sen(x ) = 0, cos(x )y ′+3y = 6x 3,
�
d y
d x
�2
−3x y = 0 e x 5 y (3)− x y ′ = ln(y )
são equações diferenciais ordinárias (EDOs). Em geral, uma EDO pode ser escrita na forma im-
plícita
F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n )) = 0, n ∈N, (1.1)
em que F é uma função real definida em algum conjunto aberto de Rn+2. Por exemplo, a EDO
cos(x )y ′+3y = 6x 3 pode se escrita na forma
F (x , y , y ′) = 0,
em que F (x , y , z ) = cos(x )z +3y −6x 3.
Numa equação diferencial ordinária, a incógnita é a variável dependente, isto é, a incógnita
é uma função que depende da variável independente x ∈ R. Ao longo do curso vamos estudar
técnicas que nos permitam determinar tais funções para um conjunto particular de equações
diferenciais.
Definicão 1.2
A ordem de uma EDO é o máximo das ordens das derivadas presente na equação.
Exemplo 1.1
Determine a ordem das EDOs nos itens a seguir:
1. y ′′′+ e x y ′′− y ′y = y 2. x (y ′)3− x y 5 = 1
Solução.
1. Na EDO y ′′′+ e x y ′′− y ′y = y aparecem as derivas y ′, y ′′ e y ′′′, sendo 3 o máximo de suas
ordens. Assim, a ordem de y ′′′+ e x y ′′− y ′y = y é igual a 3.
2. Na EDO x (y ′)3 − x y 5 = 1 aparece apenas a derivada y ′, o que significa que a ordem de
x (y ′)3− x y 5 = 1 é igual a 1.
3
1.2 Definições
Nessas notas, vamos supor que toda EDO de ordem n ∈N pode ser escrita na forma explí-
cita
y (n ) = f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n−1)), (1.2)
em que f é uma função real definida em algum conjunto aberto deRn+1. Isso evitará que a
EDO (1.1) represente mais de uma equação da forma (1.2). Por exemplo, a EDO (y ′)2 = 4y
representa duas EDOs, y ′ =±2py .
Definicão 1.3
Seja J um intervalo aberto. Uma função y =φ(x ), diferenciável pelo menos até a ordem n
em J , é uma solução da EDO (1.2) em J se, para todo x ∈ J ,φ(x ) satisfaz a identidade (1.2),
isto é,
φ(n )(x ) = f (x ,φ(x ),φ′(x ),φ′′(x ), . . . ,φ(n−1)(x )) ∀ x ∈ J .
Observação. Quando nos referirmos a uma solução de uma EDO sem mencionarmos um inter-
valo aberto, deve ficar subentendido que se trata de uma solução de tal EDO em algum intervalo
aberto.
Exemplo 1.2
A função φ(x ) = e 2x é uma solução da EDO y ′ = 2y em R, pois, para todo x ∈ R, tem-se
φ′(x ) = 2φ(x ).
A funçãoφ(x ) = x tg(x +3) é uma solução da EDO x y ′ = x 2+ y 2+ y em
�
−π
2
−3, π
2
−3
�
. De
fato, para todo −π
2
−3< x < π
2
−3, tem-seφ′(x ) = tg(x +3) + x sec2(x +3).
Como tg2(x +3) +1= sec2(x +3), então
φ′(x ) = tg(x +3) + x tg2(x +3) + x ,
donde segue que
xφ′(x ) = x 2+ (x tg(x +3))2+ x tg(x +3) = x 2+φ2(x ) +φ(x ),
como queríamos.
Exemplo 1.3
No estudo do pêndulo simples, para pequenas oscilações, a equação que descreve o movimento
do pêndulo é
d 2 y
d t 2
+
g
ℓ
y = 0. (1.3)
4
1.2 Definições
Mostre queφ1(t ) = sen
�
r
g
ℓ
t
�
eφ2(t ) = cos
�
r
g
ℓ
t
�
são soluções da EDO (1.3) em R.
Solução. Inicialmente, Ao derivar as funçõesφ1 eφ2, obtém-se
φ′′1 (t ) =−
g
ℓ
sen
�
r
g
ℓ
t
�
=−g
ℓ
φ1(t ) e φ
′′
2 (t ) =−
g
ℓ
cos
�
r
g
ℓ
t
�
=−g
ℓ
φ2(t ),
donde segue que
φ′′1 (t ) +
g
ℓ
φ1(t ) = 0 ∀ t ∈R
e
φ′′2 (t ) +
g
ℓ
φ2(t ) = 0 ∀t ∈R.
Logo, y =φ1(t ) e y =φ2(t ) são ambas soluções da EDO (1.3) em R. Na verdade, para quaisquer
constantes c1, c2 ∈R, a função φ(t ) = c1φ1(t ) + c2φ2(t ) também é uma solução da EDO (1.3) em
R (Verifique!).
Definicão 1.4
Se uma solução da EDO (1.2) é dada implicitamente por uma equação envolvendo as variá-
veis x e y , isto é, uma equação da forma G (x , y ) = 0, em que G é uma função real definida
em algum conjunto aberto deR2, por conveniência, fazemos um abuso de linguagem e dize-
mos que G (x , y ) = 0 é uma solução implícita da EDO (1.2). Se existir um intervalo aberto J
comum a todas as soluções dadas implicitamente por G (x , y ) = 0, dizemos que G (x , y ) = 0
é uma solução implícita da EDO (1.2) em J .
Observação. Não se deixe confundir! Formalmente, soluções são funções definidas em interva-
los abertos que, em alguns casos, podem ser dadas implicitamente por uma equação envolvendo
as variáveis x e y .
Exemplo 1.4
Verifique que a equação x 2+ y 2 = 25 é uma solução implícita da EDO y y ′ =−x em (−5, 5).
Solução. Inicialmente, note que qualquer função y = φ(x ) dada implicitamente pela equação
x 2+ y 2 = 25 pode ser definida em (−5, 5). Além disso, ao derivar implicitamente, vê-se que
2x +2φ(x )φ′(x ) = 0 ∀x ∈ (−5, 5),
isto é,
φ(x )φ′(x ) =−x ∀x ∈ (−5, 5),
o que significa que y =φ(x ) é uma solução da EDO y y ′ = −x em (−5, 5). Portanto, x 2+ y 2 = 25
é uma solução implícita da EDO y y ′ = −x em (−5, 5). Nem sempre é simples, mas neste caso
em particular, vemos facilmente que φ1(x ) =
p
25− x 2 e φ2(x ) = −
p
25− x 2 são funções dadas
5
1.2 Definições
implicitamente pela equação x 2+ y 2 = 25 e, consequentemente, soluções da EDO y y ′ =−x em
(−5, 5).
Definicão 1.5
Uma função y = φc1,...,cn (x ), dependendo de n constantes arbitrárias ci independentes, é
dita ser uma solução geral da EDO de ordem n (1.2) se, para cada (c1, . . . , cn ) ∈ Rn em que
y =φc1,...,cn (x ) faça sentido, existe um intervalo aberto I tal que y =φc1,...,cn (x ) é uma solução
da EDO (1.2) em I . No caso em que for possível tomar os intervalos abertos I iguais a um
intervalo aberto J fixado, y =φc1,...,cn (x ) é dita ser uma solução geral da EDO (1.2) em J .
Na definição anterior, o termo independentes significa que a solução geral da EDO (1.2) não
pode ser reduzida a uma expressão contendo menos que n constantes arbitrárias ou nenhuma.
Em geral, para evitarmos uma notação carregada, escreveremos apenas y = φ(x ) ao invés
de y = φc1,...,cn (x ). Por exemplo, a função φ(x ) = c1φ1(x ) + c2φ2(x ), definida no Exemplo 1.3, é
uma solução geral da EDO (1.3) em R, pois, para cada c1, c2 ∈R, φ(x ) = c1φ1(x ) + c2φ2(x ) é uma
solução da EDO (1.3) em R,.
Exemplo 1.5
A funçãoφ(x ) = x 2+c e x é a solução geral da EDO y ′ = y−x 2+2x emR, pois, para qualquer
c ∈R,φ′(x ) =φ(x )− x 2+2x para todo x ∈R.
Fig. O gráfico deφ(x ) = x 2+ c e x para c =−10,−9, . . . ,−1, 0, 1, . . . , 10.
A funçãoφ(x ) = x 3+
c
x 3
é uma solução geral da EDO x y ′+3y = 6x 3 em qualquer intervalo
J em que 0 ̸∈ J , pois, para qualquer c ∈R, xφ′(x ) +3φ(x ) = 6x 3 para todo x ̸= 0.
6
1.2 Definições
A funçãoφ(x ) = c1 x + c2 x 3 é uma solução geral da EDO x 2 y ′′+3y = 3x y ′ emR, pois, para
cada c ∈R, x 2φ′′(x ) +3φ(x ) = 3xφ′(x ).
A funçãoφ(x ) =− 1
x + c
é uma solução geral da EDO y ′ = y 2, pois, para cada c ∈R,φ′(x ) =
φ2(x ) para todo x ∈ I , em que I é um intervalo aberto tal que −c ̸∈ I . Note que não existe
um intervalo aberto J tal queφ(x ) =− 1
x + c
seja uma solução geral da EDO y ′ = y 2 em J .
A função
φ(x ) =
2x
c1
− 2
c 21
ln(1+ c1 x ) + c2
é uma solução geral da EDO 2x 2 y ′′ − (y ′)2 = 0, pois, para quaisquer c1, c2 ∈ R com c1 ̸= 0,
existe um intervalo aberto I tal que
2x 2φ′′(x )− (φ′(x ))2 = 0 ∀x ∈ I .
O intervalo aberto I é escolhido de modo que 1+ c1 x > 0 para todo x ∈ I . Assim como
antes, não existe um intervalo aberto J tal que φ(x ) =
2x
c1
− 2
c 21
ln(1 + c1 x ) + c2 seja uma
solução geral da EDO 2x 2 y ′′− (y ′)2 = 0 em J .
A EDO |y |+ |y ′|= 0 não tem solução geral, poisφ(x ) = 0 é a sua única solução.
Exemplo 1.6
Seja f : [a , b ]→R uma função contínua. Determine a solução geral da EDO y ′ = f (x ) em (a , b )
e decida se ela engloba todas a soluções.
Solução. Ao aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), vemos que a função
φ(x ) =
∫ x
a
f (t )d t + c
é a solução geral da EDO y ′ = f (x ) em (a , b ). Para concluir, vamos mostrar que a solução geral
engloba todas as soluções. De fato, seja ψ(x ) uma solução da EDO y ′ = f (x ) em (a , b ). Seja
H (x ) =ψ(x )−
∫ x
a
f (t )d t . Como
H ′(x ) = 0 ∀ x ∈ (a , b ),
o Teorema do Valor Médio nos diz que H é uma função constante em (a , b ). Logo, existe k ∈ R
tal que
ψ(x ) =
∫ x
a
f (t )d t +k ∀ x ∈ (a , b ),
como queríamos.
7
1.2 Definições
Definicão 1.6
Se uma solução geral da EDO de ordem n (1.2) é dada implicitamente por uma equação da
forma G (x , y ) = 0, em que G , dependendo de n constantes arbitrárias, é uma função real
definida em algum conjunto aberto de R2, por conveniência, fazemos um abuso de lingua-
gem e dizemos que G (x , y ) = 0 é uma solução geral implícita da EDO (1.2).
Exemplo 1.7
A equação x 2 + y 2 = c é uma solução geral implícita da EDO y y ′ = −x , pois, para cada
c > 0, ao derivar implicitamente vê-se que x 2 + y 2 = c é uma solução implícita da EDO
y y ′ =−x em (−
p
c ,
p
c ).
A equação ln |y −c1|+2x = c2 é uma solução geral implícita da EDO 2y ′+ y ′′ = 0, pois, para
quaisquer c1, c2 ∈R, ao derivar implicitamente vemos que
y ′
y − c1
+2= 0, donde segue que
−
y ′
(y − c1)2
y ′+
y ′′
y − c1
= 0, ou equivalentemente, 2y ′+ y ′′ = 0.
Observação. Neste curso, nós vamos estudar EDOs cujas soluções gerais, em ao menos uma
das formas definidas, são únicas a menos de notações. Por conta disso, vamos trocar o artigo
indefinido uma pelo artigo definido a e passaremos a chamar a solução geral da EDO (1.2) ou a
solução geral da EDO (1.2) em J .
As soluções da EDO (1.2) que podem ser deduzidas da solução geral atribuindo-se às cons-
tantes arbitrárias valores reais são chamadas soluções particulares da EDO (1.2). Por exemplo,
vimos que
φ(x ) = c1 x + c2 x
3
é a solução geral da EDO x 2 y ′′+3y = 3x y ′ em R. Assim, a função
φ(x ) = x 3
é uma solução particular da EDO x 2 y ′′ + 3y = 3x y ′ em R, pois pode ser deduzida da solução
geral considerando-se c1 = 0 e c2 = 1.
Infelizmente, nem todas as soluções de certas EDOs podem ser deduzidas da solução geral.
Por exemplo, a função
φ(x ) = c x − c 2,
que representa uma família de retas, é a solução geral da EDO (y ′)2−x y ′+ y = 0 emR. Contudo,
a função quadrática
ψ(x ) =
x 2
4
também é uma solução dessa EDO emR, mas, obviamente, ela não pode ser deduzida da solução
8
1.2 Definições
geral. Esse tipo de solução é chamada solução singular da EDO (1.2).
Fig. Soluções particulares e singular da EDO (y ′)2− x y ′+ y = 0 em R.
Observação. A discussão no parágrafo anterior mostra que o termo solução geral não é usado
no sentido de englobar todas as soluções. Mas não se desespere, a boa notícia é que, para a
grande maioria das EDOs que estudaremos nesse curso, a solução geral, de fato, englobará todas
as soluções.
Definicão 1.7
Seja y = φ(x ) uma solução de uma EDO em umintervalo aberto J . A curva α : J → R2
definida por α(x ) = (x ,φ(x )) é chamada curva integral.
O gráfico deφ, na definição anterior, não é necessariamente uma curva integral, pois a fun-
ção y = φ(x ) pode estar definida em conjunto mais amplo, contendo J , que não é necessaria-
mente um intervalo aberto. Por exemplo, a função
φ(x ) = x 3+
1
x 3
é uma solução da EDO x y ′ + 3y = 6x 3 em cada um dos intervalos abertos (−∞, 0) e (0,+∞),
separadamente. Contudo, o gráfico de φ não é uma curva integral, pois φ(x ) = x 3 +
1
x 3
não é
uma solução da EDO x y ′+ 3y = 6x 3 em (−∞, 0)∪ (0,+∞), uma vez que (−∞, 0)∪ (0,+∞) não
é um intervalo aberto.
1.2.1 Interpretação geométrica
Em muitos problemas de aplicação não se faz necessário saber a expressão algébrica das
soluções da EDO
y ′ = f (x , y ), (1.4)
9
1.2 Definições
em que f é uma função real definida num conjunto aberto Ω ⊂ R2. Basta saber propriedades
dessas soluções, como, por exemplo, seu comportamento quando x tende para algum valor pré-
estabelecido. Para melhor compreender esses problemas, o significado geométrico da EDO (1.4)
é uma parte importante.
Dado um ponto (x0, y0) ∈ Ω, vamos supor que y =φ(x ) seja uma solução da EDO (1.4) pas-
sando pelo ponto (x0, y0), isto é, para algum intervalo aberto J , com x0 ∈ J , tem-se



φ′(x ) = f (x ,φ(x )) ∀ x ∈ J
φ(x0) = y0.
Se considerarmos a curva α(x ) = (x ,φ(x )), sabemos que
α′(x0) = (1,φ
′(x0)) = (1, f (x0,φ(x0))) = (1, f (x0, y0))
é um vetor tangente à curva α no ponto (x0, y0). Essa interpretação pode se tornar ainda mais
geométrica se imaginarmos o seguinte: em cada ponto (x , y ) ∈ Ω, considere o vetor v⃗ (x , y ) =
(1, f (x , y )), que determina a reta tangente ao gráfico de qualquer solução da EDO (1.4) que por
ventura passe por (x , y ). Assim, temos um campo, chamado campo de direções da EDO (1.4),
definido em Ω.
As soluções da EDO (1.4) em um intervalo aberto J podem ser vistas como sendo as curvas
cujos vetores tangentes em cada ponto (x , y ) ∈Ω, com x ∈ J , são v⃗ (x , y ).
Exemplo 1.8
Para a EDO y ′ = y − x 2+2x , a função f (x , y ) = y − x 2+2x .
Fig. Campo de direções de y ′ = y − x 2+2x e algumas curvas integrais.
10
1.3 Modelos
Exemplo 1.9
Para a EDO y ′ =
6x 3−3y
x
, a função f (x , y ) =
6x 3−3y
x
.
Fig. Campo de direções de y ′ =
6x 3−3y
x
e algumas curvas integrais.
Observação. Para construir o campo de direções e obter soluções, podemos usar o GeoGebra.
Acesse https://youtu.be/yo6jI-2zTz0 para mais detalhes.
1.3 Modelos
Grande parte das leis que regem o comportamento de processos físicos são relações envol-
vendo a taxa segundo a qual esses processos evoluem ao longo do tempo. Expressas em lingua-
gem matemática, as relações são equações e as taxas são derivadas, o que significa, que mate-
maticamente, tais relações são EDOs. Uma EDO que descreve algum processo físico é chamada
de modelo matemático do processo.
Exemplo 1.10. (Decaimento radioativo)
Por meio de experimentos, que custaram a vida de muitos cientistas no início do século XIV,
foi observado que um material que contém, digamos, N0 átomos de um certo isótopo radioa-
tivo decairá espontaneamente (em átomos de outro elemento ou em outro isótopo) a uma taxa
proporcional a quantidade inicial N0. Se N (t ) denota a quantidade de átomos de um isótopo
radioativo no instante t , com N (t0) =N0, matematicamente, isso se expressa por meio da EDO
d N
d t
=−k N , (1.5)
11
https://youtu.be/yo6jI-2zTz0
1.3 Modelos
em que k > 0 é uma constante física conhecida que depende do isótopo radioativo em questão.
Fig. Campo de direções de
d N
d t
=−k N e algumas curvas integrais.
O sinal de menos significa que o número de átomos está diminuindo ao longo do tempo. Nós ve-
remos mais adiante como solucionar a EDO (1.5), mas por ora, podemos verificar por derivação
que
N (t ) =N0e
−k (t−t0), (1.6)
com N (t0) = N0, é uma solução da EDO (1.5) em R. A meia-vida de um isótopo radioativo é o
tempo que se leva para metade do isótopo decair. Por exemplo, suponha que a meia-vida de
um isótopo radioativo seja m ∈ R, m > 0. Então N (t0 +m ) =
N0
2
, ou seja, N0e
−k m =
N0
2
. Logo,
m =
ln(2)
k
.
Exemplo 1.11. (Datação por Carbono 14)
A matéria viva está constantemente absorvendo carbono do ar. Logo, nesse período, a razão
entre o número de isótopos de C14 e isótopos (estáveis) de Carbono 12 (C12) é essencialmente
constante. Quando o espécime morre (por exemplo, quando o algodão é colhido para tecer), os
átomos de C14 começam a decair de acordo com o modelo
d N
d t
=−k N . Uma vez que a meia-vida
do C14 é de aproximadamente 5700 anos, então
k =
ln(2)
5700
≈ 0, 0001216.
Ao examinar a razão entre isótopos de C14 e C12 em uma amostra do material que queremos
datar, é possível calcular a porcentagem restante dos átomos de C14 que estavam inicialmente
presentes na amostra. Suponha que uma amostra tenha parado de absorver C14 do ar em t = t0
12
1.3 Modelos
e que o número de átomos de C14 presentes era N0. Se agora, em t = ta , a amostra contém
apenas uma fração p < 1 da quantidade de C14 inicial, então N (ta ) = p N0. Usando (1.6), tem-se
p N0 =N (ta ) =N0e −k (ta−t0), ou seja, p = e −k (ta−t0). Logo, ln(p ) =−k (ta − t0), donde segue que
t0 = ta +
ln(p )
k
. (1.7)
Em 1988, o Santo Sudário foi datado por três grupos independentes de cientistas do Arizona,
Oxford e Zurique.
Fig. O Santo Sudário. Fotografia ©1978 Barrie M. Schwortz.
A mortalha continha 92% da quantidade de C14 inicial, isto é, de quando as fibras foram colhidas.
Usando (1.7), vê-se que
t0 = 1988+
ln(0, 92)
0, 0001216
≈ 1302,
o que coloca a origem do Santo Sudário no século XIV.
Exemplo 1.12. (Um modelo simples para a transmissão de SARS-COV-2)
Considere uma doença infecciosa, potencialmente mortal, como, por exemplo, COVID-19. Se-
jam I (t ) e S (t ), respectivamente, o número de indivíduos infectados até o dia t e o número de
indivíduos suscetíveis à infecção no dia t . Para construir um modelo para a transmissão da do-
ença, vamos supor o seguinte:
A população tem um tamanho constante igual a N durante o período de pandemia e nin-
guém é imune à doença.
A doença se espalha pelo contato entre indivíduos doentes e não doentes e a taxa de infec-
tados é proporcional aos contatos.
Os indivíduos desses dois grupos se movem livremente entre si de modo que o contato
entre eles seja proporcional ao produto I (t ) ·S (t ).
Matematicamente, o primeiro item é representado pela equação I (t ) +S (t ) =N . O segundo e o
13
1.3 Modelos
terceiro item são expressos por meio da EDO
d I
d t
=β I ·S
em que β é uma constante de proporcionalidade (positiva). Substituindo S (t ) =N − I (t ), tem-se
d I
d t
= k I ·
�
1−
I
N
�
. (1.8)
A constante k =Nβ é conhecida como taxa de transmissão e é inferida pelo Ministério da Saúde
a partir da testagem da população.
Fig. Campo de direções de
d I
d t
= k I ·
�
1− I
N
�
e algumas curvas integrais.
A função
I (t ) =
N
1+ (N −1)e −k t
,
com I (0) = 1, é uma solução da EDO (1.8) em R. Se o modelo adotado for suficientemente rea-
lista, o governo pode inferir com precisão, em regiões coringas, o número de infectados t dias
a após o início da pandemia, o que coloca os médicos sanitaristas um passo à frente do SARS-
COV-2 na luta contra a COVID-19.
Exemplo 1.13. (Queda livre de corpos)
Considere o problema de um corpo que cai verticalmente sob a ação da gravidade. Para simplifi-
car o problema, vamos supor que o corpo seja uma partícula de massa m , que o corpo despreza
a resistência do ar, que o movimento é regido pela segunda lei de Newton e que a gravidade é
única força atuante.
Seja y (t ) a altura da partícula em relação ao solo num instante t .
14
1.3 Modelos
mg
y (t )
Fig. A altura da partícula em relação ao solo num instante t .
Pela segunda lei de Newton, temos que
m y ′′ =−mg .
O sinal negativo é necessário pois y (t ) e y ′(t ) são decrescentes. Integrando em ambos os lados,
obtém-se
y ′(t ) =−g t+ c ,
onde a constante c pode ser determinada fazendo-se t = 0, isto é, c = y ′(0) é a velocidade inicial.
Se escrevermos v0 = y ′(0) e integrarmos novamente, obtém-se
y (t ) =−
1
2
g t 2+ v0t +k ,
onde a constante k pode ser determinada fazendo-se t = 0, isto é, k = y (0) é a altura inicial da
partícula. Se escrevermos v (t ) = y ′(t ) e k = y0, como
v0− v (t )
g
= t , então
y (t ) =−
1
2
g
�
v0− v (t )
g
�2
+ v0
�
v0− v (t )
g
�
+ y0
ou, equivalentemente,
2g (y (t )− y0) = v 20 − v
2(t ). (1.9)
A equação (1.9) é chamada de equação de Torricelli. Se o corpo for abandonado de uma certa
altura h , então a sua velocidade inicial será v0 = 0. Dessa forma, a equação de Torricelli nos diz
que no instante ts em que o corpo tocar o solo (y (ts ) = 0) a sua velocidade será v (ts ) =
p
2g h .
Exemplo 1.14. (Lei de Torricelli)
A lei de Torricelli nos dá uma expressão para a taxa de variação do volume de um tanque em
relação ao tempo. Suponha que um tanque tenha um orifício de área a no seu fundo. Sejam
h (t ) a distância da superfície da água até o fundo num instante t e v (t ) a velocidade com que a
água sai pelo orifício num instante t . Em um intervalo de tempo∆t suficientemente pequeno,
o volume de água que passa pelo orifício entre os instantes t e t +∆t é aproximadamente igual
15
1.3 Modelos
ao volume do cilindro de base a e altura v (t )∆t . Assim, temos que
V (t +∆t )−V (t ) = (V (t )−a v (t )∆t )−V (t ) =−a v (t )∆t ,
donde segue que
d V
d t
=−a v (t ). (1.10)
A equação (1.10), chamada de lei de Torricelli, nos diz que a taxa de variação do volume de um
tanque em relação ao tempo é proporcional a velocidade com que a água sai pelo orifício e com
constate de proporcionalidade igual a área a do orifício. Se olharmos para uma gota de água na
superfície da água e considerarmos que ela “cai” até o fundo em queda livre, a sua velocidade no
fundo será v (t ) =
p
2g h (t ) e, consequentemente, teremos
d V
d t
=−a
Æ
2g h (t ).
16
Referências Bibliográficas
[1] Boyce, W. E. e DiPrima, R. C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 10th ed.,
Rio de Janeiro - LTC, 2015.
[2] Figueiredo, D. G. e Neves, A. F., Equações Diferenciais Aplicadas, Coleção Matemática Universitária, Rio de
Janeiro - IMPA, 2012.
[3] Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, 3rd ed., New York - Wiley, 1972.
	Aula 01
	1.1 Introdução
	1.1.1 Por que estudar equações diferenciais?
	1.2 Definições
	1.2.1 Interpretação geométrica
	1.3 Modelos