Continue navegando
Prévia do material em texto
Geometria Plana e Aplicativos da Informática Professora conteudista: Valéria de Carvalho Sumário Geometria Plana e Aplicativos da Informática Unidade I 1 A GEOMETRIA PLANA: CONCEITOS INICIAIS ...........................................................................................1 2 ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA ......................................................................................................5 2.1 Ponto ............................................................................................................................................................5 2.2 Reta ...............................................................................................................................................................5 2.3 Plano .............................................................................................................................................................5 3 AXIOMAS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................6 4 MAIS ALGUNS CONCEITOS DE GEOMETRIA PLANA .............................................................................7 5 CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS .........................................................................8 5.1 Algumas propriedades dos ângulos .............................................................................................. 10 6 PARTIÇÕES DE UM ÂNGULO ....................................................................................................................... 10 6.1 Bissetriz de um ângulo ....................................................................................................................... 10 6.2 Bissetriz de um ângulo em que o vértice não é acessível ....................................................11 6.3 Trissecção de um ângulo reto ......................................................................................................... 12 7 ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS .................................................................................................. 14 8 ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS TRANSVERSAIS .......................................................................... 14 8.1 Ângulos alternos internos ................................................................................................................ 15 8.2 Ângulos alternos externos ................................................................................................................ 15 8.3 Propriedades dos ângulos: retas paralelas cortadas por uma transversal .................... 15 8.4 Teorema de Tales ................................................................................................................................... 16 9 TRIÂNGULOS ..................................................................................................................................................... 19 9.1 Elementos de um triângulo .............................................................................................................. 19 9.2 Classificação dos triângulos ............................................................................................................. 19 9.3 Classificação segundo a medida de seus lados ........................................................................ 20 9.4 Classificação segundo a medida de seus ângulos .................................................................. 20 9.5 Classificação segundo a medida de seus eixos de simetrias .............................................. 21 9.6 Propriedades dos triângulos ............................................................................................................ 22 9.7 Alturas ....................................................................................................................................................... 26 9.8 Baricentro – medianas ....................................................................................................................... 26 9.9 Circuncentro – mediatrizes .............................................................................................................. 27 9.10 Incentro – bissetrizes internas ...................................................................................................... 28 9.11 Pontos e retas notáveis dos triângulos ..................................................................................... 29 9.12 Teorema de Pitágoras ....................................................................................................................... 30 9.13 Teorema de Euclides ......................................................................................................................... 34 Unidade II 10 QUADRILÁTEROS ........................................................................................................................................... 46 10.1 Classificação dos quadriláteros .................................................................................................... 47 10.1.1 Paralelogramos: lados paralelos dois a dois .............................................................................. 47 10.1.2 Quadriláteros que não são paralelogramos ............................................................................... 49 11 POLÍGONOS REGULARES ............................................................................................................................ 51 11.1 Propriedades dos polígonos regulares ....................................................................................... 52 12 A CIRCUNFERÊNCIA E O CÍRCULO ......................................................................................................... 53 12.1 Definição de circunferência .......................................................................................................... 53 12.2 Elementos da circunferência ......................................................................................................... 54 12.3 Posições relativas da reta e na circunferência ....................................................................... 56 12.4 Posições relativas de duas circunferências ............................................................................. 57 12.5 Potência ................................................................................................................................................. 58 12.6 Ângulos em uma circunferência ................................................................................................. 59 13 ÁREAS E PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS .................................................................................... 61 13.1 Áreas e perímetros ............................................................................................................................ 61 Unidade III 14 GEOMETRIA PLANA EM UM APLICATIVO COMPUTACIONAL LIVRE .......................................... 76 15 WINGEOM: INSTALAÇÃO E RECURSOS BÁSICOS ............................................................................ 76 16 CONSTRUINDO TRIÂNGULOS ................................................................................................................... 80 17 CONSTRUINDO PONTOS ............................................................................................................................. 83 18 CONSTRUINDO RETAS, SEMIRRETAS E SEGMENTOS DE RETAS ................................................. 83 19 CONSTRUINDO CIRCUNFERÊNCIAS ...................................................................................................... 86 20 TABELAS DE COMANDOS NO WINGEOM ............................................................................................ 88 21 CONSTRUINDO POLÍGONOS REGULARES ........................................................................................... 89 22 MEDINDO ÂNGULOS ...................................................................................................................................92 23 CONSTRUINDO RETAS PARALELAS E TRANSVERSAIS .................................................................... 94 24 CONSTRUINDO CIRCUNFERÊNCIA: RAIO-CENTRO ......................................................................... 99 1 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Unidade I NOSSAS PRIMEIRAS PALAVRAS Esta apostila encontra-se dividida em três unidades. Na primeira unidade, explanamos rapidamente como a geometria se faz presente em nosso cotidiano; a seguir, iniciamos nossos estudos apresentando os elementos básicos da geometria. Dando sequência à construção de nossos conhecimentos geométricos, nós nos dedicamos ao estudo dos ângulos e dos triângulos. Na segunda unidade, estudamos os quadriláteros, os polígonos, as circunferências e o círculo e finalizamos esta unidade nos dedicando às áreas e perímetros de figuras planas. Na terceira unidade, apresentamos um software livre para ser usado no estudo pessoal das geometrias, bem como para servir de ferramenta de futuro trabalho docente na preparação de aulas, de exercícios e de atividades. O software aqui apresentado é o Wingeom. Finalizamos a apostila com uma lista de exercícios para solidificação dos temas aqui apresentados. Recomendamos que você consulte e estude também outros textos. A sua dedicação como estudante influenciará diretamente sua competência e seu sucesso profissional. Bons estudos! 1 A GEOMETRIA PLANA: CONCEITOS INICIAIS Inúmeras coisas ao nosso redor e cotidiano envolvem conceitos de geometria. Fazemos conexões e estabelecemos linhas entre pontos, associamos distâncias e direções aos objetos, deciframos tamanhos e formas. Tudo o que observamos no mundo está repleto de geometria e aspectos geométricos. 5 10 15 20 25 2 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 As figuras desde sempre têm ocupado um valor de destaque na sociedade e na matemática, pontos, linhas, quadriláteros, círculos, triângulos e outras inúmeras formas e figuras são a base de toda a geometria com origem na Grécia. Na história da matemática, aprendemos que, no Egito, as águas do Nilo subiam apagando os limites das propriedades, todo ano era necessário medir as terras e demarcar os terrenos novamente. Essa habilidades de medir a terra, em grego, denomina-se geometria. Assim, partindo dessa prática, os povos gregos aprenderam a descobrir as relações existentes entre as formas, as figuras e suas propriedades. Na história, também aprendemos que entre os séculos VI e IV a.C. na Grécia surgiram as escolas científicas e filosóficas mais relevantes da época. Podemos destacar, sem sombra de dúvida, pensadores como Euclides, Pitágoras e Tales de Mileto como os mais significativos desse contexto. A geometria clássica foi o primeiro ramo da matemática e teve seu ponto culminante com Os Elementos, de Euclides (IV a.C.), nem que foram reunidos e formalizados todos os conhecimentos matemáticos da época. A partir de cinco postulados, axiomas, toda a geometria existente foi estruturada e demonstrada, formando um sistema de enunciados, que são até hoje a base de toda a geometria plana. Nesta disciplina sobre geometria plana, estudaremos os fundamentos dessa geometria partindo do cotidiano, observando as formas geométricas e descobrindo as relações e propriedades existentes, tão estudadas e conhecidas pelos gregos, e tão fascinante e cativante para os matemáticos que desejam entender uns dos pilares de todo o conhecimento existente. Se pensarmos que nosso espaço, em termos simples, é um espaço tridimensional1, podemos descobrir nele as origens de 1Possui três dimensões: altura, largura e profundidade. Na geometria plana, nosso foco será o espaço bidimensional, os objetos possuirão apenas altura e comprimento. 5 10 15 20 25 30 3 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 todos os conceitos que fundamentam a geometria plana. Assim, se pensarmos, por exemplo, em figuras sólidas (corpos) como uma caixa de sapatos, uma lata de refrigerante e uma bola, como representados a seguir, descobriremos que crianças manifestam alguma dificuldade para identificar as diferenças existentes entre figuras planas e os corpos tridimensionais. Por esse motivo, partiremos desses sólidos geométricos, de modo que ao nos referirmos a uma figura, será como que se observássemos a forma resultante de se “carimbar” cada uma das faces ou lados, dos objetos acima, numa folha de papel. Por exemplo, ao carimbarmos o lado por onde tiramos o lacre da latinha de refrigerante, teremos representado uma figura plana, correspondente a essa face do corpo geométrico, neste caso uma latinha de refrigerante. Podemos observar na figura a seguir como resultam em formas geométricas diferentes, cada vez que utilizamos um sólido, com características também diferentes, ao projetar uma das faces desse sólido no plano. Assim, na figura a seguir, representamos o resultado desse exercício: Um retângulo e um quadrado Um retângulo e um círculo Um círculo Dessa forma, podemos agora apresentar alguns elementos clássicos que compõem os fundamentos da geometria plana. Se 5 10 15 20 4 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 partirmos, por exemplo, da caixa de sapatos, podemos definir de forma intuitiva três conceitos importantíssimos da geometria plana clássica. Temos que ao estender de forma indefinida a tampa da caixa, a figura geométrica que se define é o plano. Da mesma maneira, a linha que intercepta os planos da caixa de sapatos podemos definir como uma reta. A interseção das três linhas laterais, que são as “quinas” da caixa de sapatos, podemos chamar de vértices, e esses vértices representam o que conheceremos matematicamente como ponto, na geometria plana. Mais adiante, apresentaremos uma breve definição desses conceitos e como eles se representam na geometria plana. É importante notar que são inúmeras as formas geométricas que podemos observar ao “mover ou manipular” corpos sólidos e ao representá-los no plano em uma folha de papel. Vejamos exemplos dessas representações em que, partindo de diferentes sólidos, podemos obter variadas figuras planas correspondentes às faces dos sólidos. Figuras planas Nesta disciplina, Geometria Plana e Aplicativos da Informática, teremos a oportunidade de identificar, estudar 5 10 15 20 5 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 e analisar as principais características e propriedades dessas figuras geométricas. 2 ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA O ponto, a reta e o plano são os três entes geométricos e os elementos fundamentais da geometria plana. 2.1 Ponto O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é unidimensional. É a menor unidade de medida da geometria. É representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. 2.2 Reta É formada por infinitos pontos colineares, alinhados e unidos. Uma reta não possui origem nem fim, portanto é um ente geométrico infinito. Para traçar a representação de uma reta, são necessários apenas dois pontos distintos. Por um ponto, passam infinitas retas. A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um ponto no espaço. Sempre se escreve o nome da reta com letras minúsculas do nosso alfabeto. 2.3 Plano Um plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, por isso é chamado de bidimensional. Um plano é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, geralmente α ou β, ou por três pontos distintos do plano ou por retas paralelas;apesar de não possuir nenhum ponto em comum, as retas paralelas são coplanares. 5 10 15 20 6 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Representação geométrica do ponto, da reta e do plano: Ponto A Reta r Plano α α A 3 AXIOMAS FUNDAMENTAIS Apresentamos a seguir alguns axiomas fundamentais da geometria plana: • Dois pontos determinam uma reta única. • Duas retas com dois pontos em comuns são coincidentes. • Uma linha quebrada é formada por vários segmentos e linhas retas. • Qualquer linha não reta e não quebrada é considerada curva. • Dados dois pontos de um plano, a reta que os contém está contida no plano. • Três pontos definem um único plano. • Duas retas paralelas não se cruzam. • Duas retas que se cruzam o fazem em um único ponto. • Duas retas não paralelas têm pelo menos um ponto em comum, em que se cruzam. • Uma reta paralela a um plano não o corta. • Se uma reta não é paralela a um plano, corta-o em um único ponto. • Dois planos paralelos não têm nenhum ponto em comum. • Dois planos não paralelos se interceptam em uma reta. 5 10 15 20 7 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 • Uma reta é perpendicular a um plano se também o for a toda reta do plano que essa reta corta. • A distância entre dois pontos é a longitude do segmento que as une. • A distância entre duas retas paralelas é a longitude de um segmento perpendicular a ambas. • A distância entre duas retas que se cruzam se mede sobre uma terceira perpendicular a ambas. • A distância entre um ponto e um plano se mede sobre uma perpendicular ao plano que passe pelo ponto. • A distância entre dois planos se mede sobre uma perpendicular a ambos. Esses axiomas se fundamentam no sistema da geometria de Euclides, que, embora já complementada por outros modelos mais modernos como a geometria não Euclidiana, a exemplo da hiperbólica ou a proposta pela teoria da relatividade, é perfeitamente válida para tudo o que faremos nesta disciplina sobre geometria plana. Devemos também insistir em que postulados se fundamentam em axiomas, e axiomas não precisam de demonstração, são verdades aceitas a priori. 4 MAIS ALGUNS CONCEITOS DE GEOMETRIA PLANA Semirreta É uma linha que tem princípio, mas não tem fim. Segmento de reta É uma reta que possui um ponto de origem e outro de destino. 5 10 15 20 25 8 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Ângulo A união de duas semirretas distintas não opostas de mesma origem chamamos ângulo. O ponto P, origem, é chamado vértice desse ângulo. LadoVértice Lad o P 5 CARACTERÍSTICAS E PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS Um ângulo côncavo mede mais de 180º. Se se prolongar o lado de um ângulo côncavo, a prolongação divide o ângulo. Um ângulo convexo mede menos de 180º. Quando duas retas se cortam, formam quatro ângulos iguais, dois a dois, e suplementares, dois a dois. Aqueles que são iguais são opostos pelo vértice. Dois ângulos são consecutivos quando eles têm um lado comum. Dois ângulos são adjacentes se eles são consecutivos e complementares. Na ilustração a seguir, mostramos uma representação completa de todos esses tipos de ângulos: β Côncavo α Convexo α α β β Oposto pelo vértice 5 10 15 9 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 β α Consecutivo βα Adjacente Classificação dos ângulos Quando um ângulo é inferior a 90°, é chamado agudo, se superior a 90º e menor que 180º, é chamado de obtuso e, se for de 90º, é chamado de reto, e sua representação é dada por duas semirretas perpendiculares. O ângulo raso ou estendido é de 180º, o ângulo completo é de 360° e o ângulo nulo é de 0º. Dois ângulos são chamados suplementares, se somam 180º, e complementares, se somam 90º. Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas for 360º. Assim, cada ângulo é denominado replemento do outro. A ilustração a seguir representa todos esses ângulos. < 90º > 90º 90º Agudo Obtuso Reto 180 360º 0º Nulo Completo Raso α Complementares 360º Replementares α β Suplementares β 5 10 10 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 5.1 Algumas propriedades dos ângulos Quando uma reta corta outras duas retas paralelas, formam ângulos que têm as seguintes características: todos têm um lado comum e outro lado em retas paralelas. Existem ângulos que são iguais por ser opostos pelo vértice. Como por exemplo α e δ. Outros ângulos iguais são chamados internos alternos, como δ e λ e externos alternos, como α e π. r s t α β ν π λ µ γ δ Quando se traçam duas retas perpendiculares aos lados de um ângulo, estas formam um ângulo igual ao que é dado e suplementar. Agora, se se traçam duas retas paralelas ao lado de um ângulo, estas formam um ângulo igual ao que é dado e suplementar. Como representado na ilustração a seguir: r sα β t α u sα r αβ u t 6 PARTIÇÕES DE UM ÂNGULO 6.1 Bissetriz de um ângulo É a linha que divide um ângulo em duas partes iguais. Essa é uma propriedade de cada um dos pontos de uma 5 10 11 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 bissetriz. A bissetriz é equidistante dos lados que formam o ângulo. A 2 α 2 α b A N M Q b Para desenhar uma bissetriz, é necessário desenhar um arco de raio arbitrário centrado no vértice. Esse arco intercepta lados nos pontos M e N. A letra b representa a bissetriz mediatriz da corda MN. 6.2 Bissetriz de um ângulo em que o vértice não é acessível Para encontrar a bissetriz de um ângulo, em que o vértice não é acessível, primeiro traçamos duas retas r ‘ e s’ paralelas com as respectivas retas, r e s, de modo que a distância d entre os dois pares de paralelas é a mesma. A bissetriz b procurada é a mediatriz de r ‘s’. d d s´ s r r´ b Outra forma de determinar essa bissetriz será desenhando um segmento arbitrário MN que tem uma extremidade em cada uma das retas dadas, r e s. Depois, traçam-se as bissetrizes dos quatro ângulos formados em M e N. Essas bissetrizes se cortam nos pontos da bissetriz procurada, porque, sendo a interseção de bissetrizes, cada um dos pontos é equidistante das três retas. 5 10 15 12 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 M b r s N 6.3 Trissecção de um ângulo reto Dividir um ângulo reto em três partes iguais significa fazer uma trissecção do ângulo. Em geometria, essa construção geométrica não é possível em nenhum outro ângulo. Para fazer a trissecção de um ângulo reto, primeiro traçamos um arco de raio arbitrário com centro no vértice, que corta os lados do ângulo nos pontos M e N, como mostra a ilustração. Logo, desenhamos outro arco de igual raio com centro em N. Os pontos P, A e N definem um triângulo equilátero; logo, o ângulo PAN mede 60º. Assim, o ângulo MAP é complementar, portanto mede 30º. Se desenharmos um terceiro arco com o mesmo raio e com centro em M, temos o ponto Q. Verificamos que PAQ e QAN são ângulos de 30º, consequentemente temos realizado a trissecção do ângulo reto. NA M P Q b B NA M P Q Podemos aproveitar essa construção para desenhar o ângulo de 45º, pois se prolongamos os arcos AP e AQ, vemos que se 5 10 15 13 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 cortam no ponto B, que pertence à bissetriz do ângulo reto inicial. Portanto, temos o desenho do ângulo de 45º. Podemos também desenhar de forma direta os ângulo de 60º e 30º; para isso, basta construir um triângulo equilátero PAN e a respectiva bissetriz. P A N 60º P A N Q 30º A ilustração indicacomo obter os ângulos de 60º e 30º utilizando compasso. Da mesma forma, podemos utilizar a trissecção de um ângulo reto para construir os ângulos 60º, 30º, 75º e 15º, como mostra a ilustração a seguir. NA M P 60º NA M Q 30º NA M P 15º Q NA M P 75º Q Utilização da trissecção de um ângulo reto para obter os ângulos indicados na ilustração anterior. 5 10 14 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 7 ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS t r α Quando duas retas r e t se cortam formando quatro ângulos iguais dois a dois, por serem opostos pelo vértice e suplementares também dois a dois. 8 ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS TRANSVERSAIS Na interseção de duas retas paralelas por uma transversal, como indica a ilustração, obtemos 8 ângulos, sendo 4 em cada ponto de interseção. L1 L2 L1 // L2 São ângulos correspondentes, aqueles que têm a mesma posição em ambos os grupos de 4 ângulos. No caso de duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos correspondentes têm a mesma medida. L2 L1 3 4 65 L2 L1 12 7 8 Ângulos alternos internos Ângulos alternos externos 5 10 15 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 8.1 Ângulos alternos internos Na ilustração, chamaremos de ângulos alternos internos aos pares de ângulos formados por (3 e 4) e (5 e 6). 8.2 Ângulos alternos externos Na ilustração, chamaremos de ângulos alternos externos aos pares de ângulos formados por (1 e 2) e (7 e 8). 8.3 Propriedades dos ângulos: retas paralelas cortadas por uma transversal L2 L1 3 4 56 2 1 7 8 Na ilustração, os pares de ângulos (1 e 5), (2 e 6), (3 e 7) e (4 e 8) possuem a mesma posição, em relação às paralelas, portanto são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Alem disso, podemos observar também que se formam os ângulos opostos pelo vértice, portanto são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Segundo a ilustração anterior, os pares de ângulos com essa propriedade são (1 e 3), (2 e 4), (5 e 7) e (6 e 8). Finalmente, podemos concluir que, segundo a representação na ilustração, temos que os ângulos que possuem a mesma posição e aqueles que são opostos pelo vértice formam os grupos de ângulos congruentes a seguir: L2 L1 3 4 2 1 7 8 56 5 10 15 16 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Os grupos de ângulos 1, 3, 5 e 7 são congruentes. Da mesma maneira, o grupo de ângulos formados pelos ângulos 2, 4, 6 e 8 também possuem a mesma medida. 8.4 Teorema de Tales O teorema de Tales estabelece uma situação de proporcionalidade que relaciona retas paralelas e transversais. Esse importante teorema foi estabelecido por Tales de Mileto que defendia a tese de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada. O teorema mostra que, em um plano, um feixe de retas paralelas cortado por retas transversais forma segmentos proporcionais. Vejamos algumas definições: Um feixe de retas paralelas é um conjunto de retas coplanares (ou seja, que pertencem ao mesmo plano) paralelas entre si. Na figura, as retas r, s e t formam um feixe de retas paralelas. Retas transversais de um feixe de retas paralelas são retas pertencentes ao plano do feixe que concorrem com todas as retas do feixe. Na figura, as retas a e b são transversais ao feixe de retas paralelas formado pelas retas r, s e t. Os pontos das transversais que estão numa mesma reta do feixe são denominados pontos correspondentes. Na figura, são pontos correspondentes: A e A’, B e B’, C e C’. Os segmentos AB e A’B’, BC e B’C’, AC e A’C’ são denominados segmentos correspondentes das transversais a e b. A A’ B B’ C C’ a b r s t 5 10 15 20 17 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Teorema de Tales – enunciado “Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma das transversais é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra transversal.” Considerando a figura anterior, pelo teorema de Tales, o segmento AB está para o segmento BC, assim como o segmento A’B’ está para o segmento B’C’. Também é possível afirmar que o segmento AC está para o segmento AB, assim como o segmento A’C’ está para o segmento A’B’ e, ainda, que o segmento AC está para o segmento BC, assim como o segmento A’C’ está para o segmento B’C’. Assim, na figura anterior, estabelecemos as seguintes proporcionalidades: AB A’B’------- = ------- BC B’C’ ou AC A’C’------- = ------- AB A’B’ ou AC A’C’------- = ------- BC B’C’ Exemplo Aplicaremos o teorema de Tales na figura a seguir para encontrar os valores dos segmentos AB e BC, que são desconhecidos. A A’ B B’ C C’ a b r s t 2x+2 4 4x-2 6 Pelo teorema de Tales, vale a seguinte proporcionalidade: 2x + 2 4-------------- = ---- 4x - 2 6 5 10 15 20 18 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Por meio de uma multiplicação cruzada, obtemos: (2x + 2) . 6 = 4 . (4x - 2) Logo: 12x + 12 = 16x - 8 12x - 16x = - 8 - 12 -4x = -20 4x = 20 x = 20------- 4 = 5 Portanto, o segmento AB mede 2x + 2 = 10 + 2 = 2 e no segmento BC = 4x - 2 = 20 - 2 = 18 BC = 18 Exemplo Vejamos outro exemplo: na figura, temos que DC // AB e DC = 8cm, AB = 12cm e BC = 3cm. Então, qual é o valor de CE? E D A B C X Sabemos que, por semelhança de triângulos, temos que: DC EC------- = ------ AB EB Se se supuser que CE = x, temos: 8 x-------- = ------------ x = 6 12 x + 3’ 5 10 15 19 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 9 TRIÂNGULOS Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC. Triângulo ABC = ∆ABC 9.1 Elementos de um triângulo Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do ∆ABC. Lados: os segmentos AB (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os lados do triângulo. C ̂ A ̂ B ̂ c ab A B C Ângulos: os ângulos B C ou A, AB̂ C ou B, AĈ B ou Ĉ são os ângulos do ∆ABC. Diz-se que os lados BC, AC e AB e os ângulos  , B̂ e Ĉ são, respectivamente, opostos. 9.2 Classificação dos triângulos Como mencionamos, os triângulos são polígonos de três lados, e podemos classificá-los segundo seus lados, segundo a medida de seus ângulos e segundo o número de eixos de simetrias que possuem. 5 10 20 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 9.3 Classificação segundo a medida de seus lados • Equilátero: se, e somente se, tiver lados congruentes. C A B Triângulo equilátero AB = BC = AC • Isósceles: se, e somente se, tiver dois lados congruentes. C A B Triângulo isósceles AC = BC • Escaleno: se, e somente se, dois quaisquer dos lados não forem congruentes. C A B Triângulo escaleno 9.4 Classificação segundo a medida de seus ângulos • Acutângulo: todos os seus ângulos são agudos. C A B Ângulos agudos 5 21 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 • Retângulo: um de seus ângulos é um ângulo reto. C A B AB ⊥ AC • Obtusângulo: um de seus ângulos é maior a um ângulo reto. C B A Ângulo maior a um ângulo reto 9.5 Classificação segundo a medida de seus eixos de simetrias • Só um eixo de simetria (dois lados iguais). • Mais de um eixo de simetria (seus três lados são iguais). 5 22 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 • Nenhum eixo de simetria (todos os lados são diferentes).9.6 Propriedades dos triângulos Primeira propriedade “A soma dos três ângulos interiores de um triângulo é 180º.” Podemos verificar isso de forma simples: 1. Desenhe um triângulo qualquer e recortá-lo, como indica a figura a seguir. 2. Pinte cada um dos ângulos por ambas as fases do triângulo.5 23 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 3. Marque os pontos médios de dois lados da figura anterior. 4. Dobre na linha que une ambos os pontos médios, como indica a figura anterior. 5. Dobre pelas linhas descontínuas dos outros vértices até formar um ângulo de 180º. Observe que os ângulos formam um ângulo estendido, validando a segunda propriedade. Segunda propriedade: a desigualdade triangular “Em todo triângulo, a longitude de cada lado é menor que a soma dos outros dois.” 5 10 24 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 A verificação dessa propriedade é evidente quando construímos um triângulo. 1. Desenhe um triângulo ABC, como indica a figura a seguir. C BB 2. Meça a longitude dos três lados do triângulo. C BB 10 cm9 cm 8 cm < 10 cm + 9 cm 10 cm < 9 cm + 8 cm 9 cm < 8 cm + 10 cm É importante observar que, em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois lados. Observe a figura que mostra essa propriedade. C A B b a c a < b + c b < a + c <==> | b - c | < a < b + c c < a + b C ̂ A ̂ B ̂ A desigualdade triangular também pode ser enunciada da seguinte maneira: em todo triângulo, cada lado é menor que a diferença dos outros dois. 5 10 25 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Terceira propriedade Igualdade e semelhança de triângulos. “Dois triângulos são iguais se têm seus três lados e os três ângulos correspondentes iguais.” A C B M P N Na ilustração, os triângulos ABC e MNP são iguais. Exemplo: os triângulos ABC e PNM são triângulos iguais. B C A 6 cm 10 cm 8 cm 60º 30º 10 cm 8 cm 6 cm 60º M N P 30º Dois triângulos são semelhantes quando têm os lados diretamente proporcionais e os ângulos correspondentes iguais. A C B M P N Em nosso exemplo, os triângulos ABC e MNP são semelhantes. 5 10 26 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Quarta propriedade: desigualdades nos triângulos Ao maior lado, opõe-se o maior ângulo. BC > AC ==> B C > AB̂ C B C > AB̂ C ==> BC > AC C AB c b a É importante observar que, se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles se opõe ao maior lado. 9.7 Alturas Ortocentro – alturas O ponto de interseção das retas suportes das alturas de um triângulo é o ortocentro do triângulo. Denotamos ortocentro pela letra H, como indica a figura a seguir. C BA Hb Ha Hc H 9.8 Baricentro – medianas As três medianas de um triângulo interceptam-se em um mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais que 5 10 27 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 a parte que contém o vértice é o dobro da outra. Assim, o ponto de interseção das três medianas de um triângulo é o baricentro do triângulo. Na fi gura, G é o baricentro do triângulo ABC. C BA M1M2 M3 G 9.9 Circuncentro – mediatrizes As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se em um mesmo ponto, que está a igual distância dos vértices do triângulo. C BA m1m2 m3 O O ponto de interseção das mediatrizes dos lados de um triângulo é o circuncentro do triângulo, como indica a fi gura a seguir: 5 10 28 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 O circuncentro é o centro de circunferência circunscrita ao triângulo. 9.10 Incentro – bissetrizes internas As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se em um mesmo ponto, que está a igual distância dos lados do triângulo. C BA S1 S2 S3 S O ponto de interseção das três bissetrizes internas de um triângulo é o incentro do triângulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. C A B S 5 29 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 9.11 Pontos e retas notáveis dos triângulos Podemos, então, finalmente escrever que as retas e pontos notáveis de um triângulo são: • as mediatrizes m1, m2 e m3, que se cortam em um ponto chamado circuncentro O, centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC; • as medianas M1, M2 e M3, que se cortam no baricentro, G, centro de gravidade do triângulo ABC; • as bissetrizes, s1, s2 e s3, que se cortam no incentro, S, centro da circunferência inscrita do triângulo ABC; • as alturas, h1, h2 e h3, que se cortam no ortocentro, H, do triângulo ABC. B C A G S H O m2 m1 m3 Retas e pontos notáveis de um triângulo 5 10 30 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 9.12 Teorema de Pitágoras O teorema de Pitágoras tem esse nome porque sua descoberta é atribuída à escola pitagórica. Anteriormente, na Mesopotâmia e no Egito antigo se conheciam trios de valores que correspondem aos lados de um triângulo, usados para resolver problemas relacionados ao referido triângulo, tal como indicam alguns papiros, mas não existem documentos históricos que mostrem essa relação. Alguns historiadores encontraram evidências, na Pirâmide de Kefren, que datam do século XXVI a.C, de que a primeira grande pirâmide foi construída com base no chamado triângulo sagrado egípcio, proporções 3-4-5, indicando que as antigas civilizações já conheciam a utilização dessas relações matemáticas. Vejamos a relação de Pitágoras no triângulo a seguir. 3 cm 3 4 5 5 cm 4 cm Observe que o quadrado maior, desenhado sobre a hipotenusa, contém tantos pequenos quadrados como o total de pequenos quadrados desenhados nos catetos do triângulo. 5 10 15 31 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 O quadrado formado na hipotenusa do triângulo retângulo contém 25 pequenos quadrados. Os quadrados formados sobre os catetos do triângulo retângulo contêm 9 e 16 pequenos quadrados respectivamente. Assim, vemos que se cumpre a seguinte relação: 52 = 32 + 22 25= 9 + 16 25 = 25 Teorema de Pitágoras: se um triângulo tem lados de longitude a, b e c, com os lados a e b formando um ângulo de 90º (ângulo reto), como indica a figura: B C Ab ca a2 + b2 = c2 90º temos que os lados a e b se chamam catetos do triângulo, e o lado oposto ao ângulo reto se chama hipotenusa, c do triângulo retângulo. Enunciado do teorema de Pitágoras: ”em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Em outras palavras, o teorema de Pitágoras estabelece a seguinte relação: a2 +b2 = c2 Em que a e b são os catetos e c representa a hipotenusa do triângulo retângulo. Veremos a seguir algumas aplicações simples de como usar o teorema de Pitágoras para determinar, por exemplo, a altura de 5 10 15 20 32 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 um triângulo equilátero, a diagonal de um quadrado e também a apótema de um hexágono regular. A seguir, algumas aplicações do teorema de Pitágoras. Cálculo da altura de um triângulo equilátero Seja o triângulo equilátero de ABC de altura h. Observamos que essa altura divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, em que as hipotenusas são AC e AB. Como sabemos, a altura AH divide a base BC em duas partes iguais. Logo, se aplicamos o teorema de Pitágoras no ∆CAH ou ∆HAB,temos: B A C c b a H h a = b = c; Logo: h a b h a a2 2 2 2 2 2 2 2 + = → + = h a a a a a2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 = − = − = h a= 3 2 : altura triângulo equilátero Em todo triângulo equilátero, temos que a altura fica determinada pela relação: h a= 3 2 5 10 15 33 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Cálculo da diagonal de um quadrado A diagonal de um quadrado divide a este em dois triângulos retângulos iguais, de forma que a diagonal é a hipotenusa de ambos os triângulos. Podemos calcular assim: a aa a d d a a a2 2 2 22− + = d a a= =2 22 Assim, sempre em um quadrado temos a relação entre diagonal e lado, da forma seguinte: d a a= =2 22 Cálculo do apótema de um hexágono regular Sendo OA e OB o raio do hexágono e OH o apótema do mesmo, forma-se o triângulo equilátero AOB, em que o apótema divide-se em dois triângulos retângulos iguais, sendo o mesmo um cateto comum de ambos os triângulos. O apótema fica: A BH O OH OB HB2 2 2= − OH OB HB= −2 2 5 10 15 34 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 9.13 Teorema de Euclides Esse teorema tem dois enunciados que são conhecidos como teorema da altura e teorema do cateto. O teorema da altura diz que “a altura de um triângulo retângulo com respeito à sua hipotenusa é a media proporcional dos segmentos, m e n, que são definidos pela altura h na hipotenusa, como indica a figura. Assim, h mn= . C BA c nm h ab hipotenusa2 = projeção de a . projeção de b h2 = m . n O teorema do cateto diz o seguinte: o cateto b de um triângulo retângulo é a média proporcional da hipotenusa c e b’, projeção de b sobre ela. Assim, b b c= ’ . C BA c b’ h b 5 10 35 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Em termos simples, significa que a projeção do cateto do triângulo retângulo e a hipotenusa do mesmo determinam a seguinte relação: Cateto2 = projeção do mesmo . hipotenusa Logo, substituindo, temos: b2 = b’ . c ==> b = b c’. Da mesma forma, temos: a2 = a’ . c ==> a = a c’. EXERCÍCIOS DA UNIDADE I 1. (Unesp 2008) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. Poste 5 3 Prédio 15 Sol A altura do prédio, em metros, é: A) 25 B) 29 C) 30 D) 45 E) 75 2. (Mack 2007) Considere um poste perpendicular ao plano do chão. Uma aranha está no chão, a 2 m do poste, e começa a se aproximar dele no mesmo instante em que uma formiga começa a subir no poste. A velocidade da aranha é de 16 cm 5 10 15 20 36 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 por segundo e a da formiga é de 10 cm por segundo. Após 5 segundos do início dos movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é: A) 2,0 m B) 1,3 m C) 1,5 m D) 2,2 m E) 1,8 3. (PROVÃO 2003) Um enfeite, feito de arame, tem a forma da figura ao lado. São 7 quadrados igualmente espaçados, o interno com lado igual a 1 cm, e o externo com lado igual a 3 cm. O comprimento total de arame usado nesse enfeite é de: A) 42 cm B) 56 cm C) 77 cm D) 84 cm E) 90 cm 4. (Fuvest 2009) Na figura a seguir, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro O. Se EP = 1, então o lado a do quadrado é: A) 2 2 1− B) 2 3 1− C) 2 2 D) 2 E) 2 2 1− F B G C H D E A P O 1 5 10 15 20 37 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 5. (Fuvest 2008) No triângulo �∆ADE da figura, em que B e C são pontos dos lados AD e AE, respectivamente, AB=AC, BC=BD e CD=CE. Então: A) x = 48º B) x = 50º C) x = 52º D) x = 54º E) x = 56º D B C EA x 48º 6. (Fuvest 2008) Na figura a seguir: • os segmentos AF e BF são congruentes; • a soma das medidas dos ângulos BCE, ADE e CDE totaliza 130º. Nessas condições, o ângulo DAB mede: A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º A E B F D C 7. Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede: A) 3 B) 2 3 C) 4 D) 3 2 E) 3 3 5 10 15 20 25 38 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 8. (Fuvest 2007) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é: A) 30 3 B) 40 3 C) 60 3 D) 80 3 E) 90 3 B (Norte) (Oeste) C 120 A 9. (Unifep 2002) Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3. O ângulo menor desse paralelogramo mede: A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65° 10. Os triângulos da figura a seguir são equiláteros, todos os quadriláteros apresentados são quadrados e o polígono do meio é um hexágono regular. A razão entre a soma das áreas das regiões sombreadas e a soma das áreas das regiões em branco é igual a: 5 10 15 20 25 39 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 A) 3 4 B) 3 2 C) 3 D) 2 3 E) 4 3 Resolução dos exercícios 1. A Ao analisar os triângulos ao lado, podemos comparar e aplicar semelhanças: x x x 15 5 3 5 15 3 25= → = → =* X 15 Poste 5 3 2. B Do enunciado, após 5 segundos do início do movimento, temos que: • a aranha está a (2 – 5 * 0,16) = 1,2 m do poste; • a formiga subiu 5 * 0,1 = 0,5 m no poste. Observando a figura ao lado, temos que a distância solicitada é: 5 10 15 40 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 d m= ( ) + ( ) = =0 5 12 169 132 2, , , , Poste d Chão A F 0,5 1,2 3. B Sabemos que o lado do primeiro quadrado é 1 cm. Se a distância entre os quadrados for “x”, o segundo quadrado terá o lado igual a (1+2x); logo, o terceiro quadrado terá lado igual a (1 + 4x); e assim por diante até o último quadrado cujo lado mede (1+12x) = 3 cm. Portanto, o valor de x fica determinado pela expressão: 1 + 12x = 3 → x = 1 6 Para sabermos o comprimento total do arame, calculamos a soma dos perímetros de todos os 7 quadrados da figura: P = 4 * ( 1 +(1+2x) + (1+4x) + (1+6x) + (1+8x) + (1 + 10x) + 3) P= 4 * (9 +30.x) P= 36 + 120.x = 36 + 120. 1 6 = 36 + 20 = 56 cm 5 10 41 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 4. E Considere a figura adjunta, temos: O ponto O é o centro dos quadrados cujos lados medem a. Então, EG = a + 2. Por outro lado, EG é uma diagonal do quadrado EFGH. Assim, EG = a 2 Nessas condições, temos: a 2 = a + 2 a( 2 - 1) = 2 Portanto, temos: a= 2 2 1− F B G C H D E A P O l1 a a 5. C Do enunciado, temos as medidas dos ângulos assinalados: Em C: a+b+84º=180º No triângulo ∆BCD: a=b+b(externo) 5 10 42 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 Assim, tem-se: a= 64º No triângulo ABC: x+2a=180º Portanto: x+128 = 180º Logo: x=52º D B C EA x 48º 48º 84ºa a b b 6. A Como AF = BF, os ângulos em A e B têm mesma medida x. Sejam a, b, c, d e e as medidas dos ângulos assinalados: �∆CEG: d =a + b (externo) �∆DFG: d + c + e = 180º, ou seja: a + b + c + e = 180º, isto é: 130º + e = 180º → e = 50º �∆ABF: e = x + x (externo) 50º = 2x → x = 25º A E B F DC x x cb e d a G 5 10 43 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 7. B Do enunciado, temos a figura, cotada em cm, em que ABC é um triângulo equilátero e O é o centro do círculo circunscrito a esse triângulo: Temos: AO AH= 2 3 AO AO= → =2 3 6 3 2 2 3 A CB O H 6 6 6 8. C Da figura ao lado, temos: Sen 60º = 60 3 2 60 BC BC → = Logo, temos que : BC = 40 3 Da mesma forma, temos: Cos 60º = AC AC 40 3 1 2 40 3 → = 5 10 44 Unidade I Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 AC = 20 3 BC + AC = (40 3 + 20 3 ) km = 60 3 km B AC 60º 60 km 9. A Dois ângulos internos consecutivos somam 180º. Se dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1:3, implica que: x+3x=180º → 4 x = 180º → x=45º . Portanto, o ângulo menor desse paralelogramo mede 45º. 10. B Da figura, os triângulos, os quadrados e o hexágono têm os lados com mesma medida. Sendo a a medida dos lados desses polígonos, temos: Área de um triângulo: A a= 2 3 4 Área de um quadrado: A = a2 Área do hexágono: A a= 2 3 4 5 10 15 45 GEOMETRIA PLANA E APLICATIVOS DA INFORMÁTICA Re vi sã o: B ea tr iz - D ia gr am aç ão : L éo - 3 1/ 07 /2 01 0 A razão pedida será: R a a a = + → 6 3 4 6 3 4 6 3 2 2 2 2
Materiais relacionados
152 pág.
37 pág.
Perguntas relacionadas
