Mecanica dos solidos aula 3

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EME338 -
MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS
AULA 3
SISTEMAS DE FORÇAS 2D
Momento e Binário
Prof. Paulo Pereira Jr.
Instituto de Engenharia Mecânica - UNIFEI 
1s2021
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LIVRO
• MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para 
Engenharia - Estática. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
– 7ª Edição
• Capítulo 2 – Itens 2-4 e 2-5
2
MOMENTO
• O momento, ou torque, M é a tendência de rotação 
criada pela aplicação de uma força em um corpo.
3
d
F
MOMENTO
• Momento com respeito a um eixo 
normal ao plano do corpo e 
passando por um ponto
• Uso da regra da mão direita para 
identificar o sentido de M
• Magnitude de M:
FdM =
FdFrM == sin 4
MOMENTO
• Obedece todas as leis de 
combinação vetorial
• Unidade: Newton-metro (N.m)
• Convenção de sinais
• Sentido horário: negativo
• Sentido anti-horário: positivo
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MOMENTO
• Produto Vetorial
FrM =
𝐌 = 𝐫 × 𝐅 =
𝐢 𝐣 𝐤
𝑟𝒙 𝑟𝒚 𝑟𝒛
𝐹𝒙 𝐹𝒚 𝐹𝒛
𝐌 = 𝐫 × 𝐅 = 𝑟𝒙𝐢 + 𝑟𝒚𝐣 + 𝑟𝒛𝐤 × 𝐹𝒙𝐢 + 𝐹𝒚𝐣 + 𝐹𝒛𝐤
𝐌 = 𝐫 × 𝐅 = 𝑟𝒚𝐹𝒛 − 𝑟𝒛𝐹𝒚 𝐢 − 𝑟𝒙𝐹𝒛 − 𝑟𝒛𝐹𝒙 𝐣 + 𝑟𝒙𝐹𝒚 − 𝑟𝒚𝐹𝒙 k
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MOMENTO
• Teorema de Varignon:
• O momento de uma força em relação a um ponto é igual
a soma de momentos das componentes da força em 
relação ao ponto
RrM =0
QPR +=
( )QPrRr +=
QrPrRrM +==0 7
BINÁRIOS
• Momento produzido por duas forças iguais, opostas
e não colineares.
O par F e –F só produzem momento M
Magnitude de M:
( )
FdM
FadaFM
=
−+=
8
=> não contém referência ao ponto O
( ) ( )
FrM
rrr
FrrFrFrM
=
=−
−=−+=
BA
BABA
BINÁRIOS
• Momento produzido por duas forças iguais, opostas
e não colineares.
Por álgebra vetorial:
=> não contém referência ao ponto O
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BINÁRIOS
• Binários Equivalentes
• Conjugado não é afetado se o produto Fd se mantém 
constante ou se os planos de atuação das forças são 
diferentes, porém paralelos.
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BINÁRIOS
• Sistemas Força-Binário
• Substituição de uma força atuando em um corpo por uma 
força e um binário:
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MOMENTO
• EXEMPLO 1
• Calcule a magnitude do momento em relação ao ponto O
12
MOMENTO
• RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
• Método 1:
N.m2610)35,4(600
m35,440sin240cos4
0 ==
=+=
M
d
13
MOMENTO
• RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
• Método 2:
N.m2610)2(386)4(460
N38640sin600
N46040cos600
0
2
1
=+=
==
==
M
F
F
Teorema de Varignon →
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MOMENTO
• RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
• Método 3:
N.m2610)68,5(460
m68,540tan24
0
1
==
=+=
M
d
Pelo princípio da 
transmissibilidade, a força é 
movida até o ponto B, 
eliminando a componente F2
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MOMENTO
• RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
• Método 4:
N.m2610)77,6(386
m77,640cot42
0
2
==
=+=
M
d
Agora, a força é movida até o 
ponto C, eliminando a 
componente F1
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MOMENTO
• RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1
• Método 5:
( ) ( ) N.m261040sin40cos600420 kjijiFrM −=−+==
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BINÁRIOS
• EXEMPLO 2:
• Substitua o par de forças 
de 100 N pelo par P/-P de 
magnitude de 400 N e 
determine o ângulo θ
Dimensões em mm 18
BINÁRIOS
• RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2
• Magnitude do momento devido ao conjugado de 100 N:
Dimensões em mm
O conjugado P produz um 
momento de:
N.m10)1,0(100 ==
=
M
FdM
==
=
=
− 3,51
16
10
cos
cos)04,0(40010
cos)04,0(400
1

M
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