UNIDADE I - AULA 1_INTRODUÇÃO AOS MQF

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Prof. Juliano Monteiro de Oliveira 
 Proporções: o conceito de proporção tem 
uma importância muito grande, não apenas 
em Matemática, como também no cotidiano. 
 Frequentemente empregamos proporções em 
nosso dia-a-dia, embora sem utilizar 
símbolos matemáticos. 
 O estudo de proporções é de inestimável 
valor para nós, já que os temas desenvolvidos 
nessa disciplina se baseiam nas grandezas 
proporcionais. 
 Razão de dois números 
 Razão do número a para o número b 
(diferente de zero) é o quociente de a por b 
 Ex.: (lemos: a para b) 
 
 
 Os números a e b são termos da razão; a é 
chamado antecedente e b, consequente da 
razão 
 a ou a : b 
 b 
 Exemplos: 
 A razão de 3 para 12 é: 
 
 A razão de 20 para 5 é: 
 
 A razão entre 5 e ½ é: 
 
 A razão entre e 7 é: 
 3 = 1 p 
12 4 
 20 = 4 
 5 
 5 = 5 x 2 = 10p 
 1 1 
 2 
 2 + 1 
 3 
 2 + 1 
 3 
 7 
 7 = 7 x 1 = 1 
= 3 3 7 3 
 7 
 Dadas em uma certa ordem, é a razão entre a 
medida da primeira grandeza e a segunda 
grandeza. 
 Se as grandezas são da mesma espécie, suas 
medidas devem ser expressas na mesma 
unidade. Neste caso, a razão é um número 
puro. 
 Ex.: a razão de 30 dm para 6 m é: 
 30 dm = 3 m = 1 
 6 m 6 m 2 
 Se as grandezas não são da mesma espécie, a 
razão é um número cuja unidade depende 
das unidades das grandezas a partir das 
quais se determina a razão. 
 Ex.: um automóvel percorre 160 km em 2 
horas. A razão entre a distância percorrida e 
o tempo gasto em percorrê-la é: 
 
 
 Podemos dizer, então, que esse automóvel 
faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h 
 
 160 km = 160 km/h = 80 km/h 
 2 h 2 
 Dados, em uma certa ordem, quatro números (a, 
b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles 
formam uma proporção quando a razão entre os 
dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os 
dois últimos (c e d). 
 Simbolicamente, representamos uma proporção 
por: 
 
 E lemos, “a está para b, assim como c está para 
d” 
 a = c h 
 b d 
 Na proporção: 
 
 a, b, c e d são os termos (1º, 2º, 3º e 4º termos) 
 a e c são antecedentes 
 b e d são consequentes 
 a e d são extremos 
 b e c são os meios 
 a = c h 
 b d 
 Sejam a, b, c e d números reais diferentes de 
zero, tais que: 
 
 Multiplicando os dois membros da igualdade bd 
(produto dos consequentes da proporção), 
obtemos: 
 
 Simplificando, temos: 
 O que nos permite dizer que, em toda 
proporção, o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios 
 a = c h 
 b d 
 a x bd = c x bdh 
 b d 
 ad = cb 
 Exemplos: 
 Dada a proporção: 
 
 Temos: 4 x 3 = 6 x 2 => 12 = 12 
 
 Temos: => 15 x y = 20 x 60 = 
 
 
 
 Resolva ai: 
 4 = 2 h 
 6 3 
 4 x 3 = 12 h 
 6 x 2 = 12 
 15 = 60 h 
 20 y 
y = 20 x 60 = 80 => 
 15 
 y = 80 
 7 h 
 6 = 5 
 x 3 
 2 
Resposta: 7 
 20 
 ad = bc => 
 
 Então: 11 x 30 = 15 x 22 => 
 
 
 Então: => 
 a = c h 
 b d 
 11 = 22 h 
 15 30 
 11 x 22 = 3 x 15 
 15 30 7 35 
 11 15 
 15 = 35 g 
 3 22 l 
 7 30 
 Dada a proporção: => 5 x 32 = 8 x 20 
 
 Alternado os extremos: => 32x5=8x20 
 
 Alternado os meios: => 5 x 32 = 20 x 8 
 
 Invertendo os termos: => 8 x 20=5 x 32 
 
 Transpondo as razões: => 20x8=32x5 
 5 x 20 
 8 32 
 32 x 20 
 8 5 
 5 x 8 b 
20 32 
 8 x 32 
 5 20 
 20 x 5 
 32 8 
 a = c h 
 b d 
 Considerando as razões: 
 
 Vemos que todas são iguais a 2. Logo, 
podemos escrever: 
 
 Essa expressão é denominada série de razões 
iguais ou proporção múltipla. 
 6 , 10, 12 , 8 v 
 3 5 6 4 
 6 = 10 = 12 = 8 v 
 3 5 6 4 
 a = c = ... = m 
 b d n 
 Seja a série de razões iguais: 
 
 Fazendo a razão comum igual a k, obtemos: 
 
 
 onde.: a = bk, c = dk, ..., m = nk 
 Somando membro a membro essas 
igualdades, vem a + c+...+m=k (b + d+...+n) 
 Pondo o k em evidência, temos: 
 ou 
 a = c = ... = m 
 b d n 
 a = k, c = k, ... = m = k 
 b d n 
 a + c + ... + m = k 
 b + d + ... + n 
 a = c = ... = m = k 
 b d n 
 Podemos escrever: 
 
 Em uma série de razões iguais, a soma dos 
antecedentes está para a soma dos 
consequentes assim como qualquer 
antecedente está para o seu respectivo 
consequente. 
 Ex.: 
 
 a + c + ... + m = a = c = ... = m 
 b + d + ... + n b d n 
 6 = 10 = 12 = 8 => 6 +10 + 12 + 8 = 6 ou 10 ou 12 ou 8 
10 5 6 4 3+ 5 + 6 + 4 3 5 6 4 
 Exemplo: calcule x, y e z, sabendo que 
e x + y + z = 420. 
 => 
 
 x = y = z b 
 9 11 15 
 x +y + z = x ou y ou z f 
9+11+ 15 9 11 15 
 120 = x ou y ou z 
 35 9 11 15 
 420 = x => x = 420 x 9 = 108 
 35 9 35 
12 
1 
 420 = y => y = 420 x 11 = 132 
 35 11 35 
12 
1 
 420 = z => z = 420 x 15 = 180 
 35 15 35 
12 
1 
Resolva: 
 
 
 
 
 x = 2 e x + y = 60 
 y 3 
Resposta: 
X = 24 e y = 36 
 A maioria dos problemas que se apresentam em 
nosso dia-a-dia liga duas grandezas 
relacionadas de tal forma que, quando uma delas 
varia, como consequência varia também a outra. 
 Assim, a quantidade de combustível gasto por 
um automóvel depende do número de 
quilômetros percorridos. O tempo gasto numa 
construção depende do número de operários 
empregados. 
 A relação entre duas grandezas variáveis 
estabelece a lei de variação de valores de uma 
delas em relação a outra. Segundo tal lei, as 
grandezas relacionadas podem ser direta ou 
indiretamente proporcionais. 
 Duas grandezas variáveis são diretamente 
proporcionais (ou simplesmente, proporcionais) 
se os valores correspondentes x e y são 
expressos por uma função do tipo: 
y = kx ou k = y/x 
 Onde k é um número real constante, diferente de 
zero. 
 Ex.: os números das sequências (6, 9, 20) e (2, 3, 
6) são proporcionais? 
 Temos: 
 
Logo, esses números não são proporcionais 
 
 2 = 3 ≠ 6 b 
 6 9 20 
 Duas grandezas variáveis são inversamente 
proporcionais se os valores correspondentes x e 
y são expressos por uma função do tipo: 
y = k x 1 ou k = yx 
 x 
 Onde k é um número real constante, diferente de 
zero. 
 Ex.: verifique se são ou não inversamente 
proporcionais as sequências (2, 3, 6, 10) e (45, 
30, 15, 9) 
 Temos: 2 x 45 = 3 x 30 = 6 x 15 = 10 x 9 = 90 
 Logo, são inversamente proporcionais e o fator 
de proporcionalidade é 90. 
 
 Resolva: sendo x e y grandezas diretamente 
proporcionais, calcule os valores de a e b: 
 
 
 
 Determine os valores de a e b nas sequências de 
números inversamente proporcionais (2, 3, b) e 
(15, a, 5) 
 
x 7 9 b 
y 21 a 39 
Resposta 1: a=27 e b=13 
 
Resposta 2: a=10 e b=6 
 Suponhamos que Antônio, José e Pedro tenham 
se associado para comprar um terreno no valor 
de R$ 60.000,00. Antônio entrou com R$ 
30.000,00, José com R$ 20.000,00 e Pedro com 
R$ 10.000,00. Algum tempo depois, venderam 
esse terreno por R$ 90.000,00. Qual a parte que 
cabe a cada um deles? 
 
 Logo, os três sócios devem receber as seguintes 
quantias: 
 Antônio: 30.000,00 x 1,5 = R$ 45.000,00 
 José: 20.000,00 x 1,5= R$ 30.000,00 
 Pedro: 10.000,00 x 1,5 = R$ 15.000,00 
 90.000,00 = 1,5 
 60.000,00 
 A igualdade entre essas razões mostra as 
quantias que os sócios receberam na venda são 
números proporcionais às quantias empregadas 
na compra do terreno. Assim, concluímos que o 
produto da venda foi dividido em três partes 
proporcionais às partes da compra. 
 Dividir um número em partes proporcionais a 
vários outros números dados é decompô-lo em 
parcelas proporcionais a esses números. 
 Suponhamos que você queira dividir o número 
180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 
e 11. Isso significa dividir o número 180 em três 
parcelas, tais que a razão da primeira parcela 
para o número 2 seja igual à razão da segunda 
parcela para o número 5 e igual à razão da 
terceira parcela para o número 11. Assim, 
chamando de x, y e z, respectivamente, cada 
uma dessas parcelas, devemos verificar que: 
x + y + z = 180, 
 x = y = z b 
 2 5 11 
 => 
 
 
 
 
 
 
 Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as 
partes procuradas são: 20, 50 e 110. 
 Por conversão, chamamos, simplesmente, de 
divisão proporcional a divisão diretamente 
proporcional 
 
 
 
 
 
 
 x +y + z = x = y = z f 
 2+5+ 11 2 5 11 
 180 = x = y = z f 
 18 2 5 11 
 10 = x = y = z f 
 2 5 11 
 x = 10 => x =2 x 10 = 20 f 
 2 
 y = 10 => y =5 x 10 = 50 f 
 5 
 z = 10 => z =11 x 10 = 110 
11 
 Suponhamos, agora, que você queira dividir o 
número 210 em partes inversamente 
proporcionais a 3, 5 e 6. Isso significa dividir o 
número 210 proporcionalmente aos inversos 
dos números 3, 5 e 6, isto é, determinar 
parcelas x, y e z, tais que: 
 
 
 Como o m.m.c. (3,5,6) = 30, temos 
 x = y = z b 
 1 1 1 
 3 5 6 
 1 = 30 = 10f 
 3 
10 
1 
 1 = 30 = 6f 
 5 
6 
1 
 1 = 30 = 5f 
 6 
5 
1 
 x => 10 
 Y => 6 
 Z => 5 x + y + z = 210 
 
 k = 210 => k = 10 
 
 X = 10 x 10 =100 
 Y = 6 x 10 = 60 
 Z = 5 x 10 = 50 
 
 Logo, as partes procuradas são: 
100, 60 e 50. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x = y = z f 
10 6 5 
21 
210 
 A regra de sociedade é uma das aplicações da 
divisão proporcional. Tem por objeto a divisão 
dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas 
(sócios) que formam uma sociedade, por ocasião 
do Balanço geral exigido anualmente por lei ou 
quando da saída de um dos sócios ou da 
admissão de um novo sócio. 
 Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido 
pelos sócios proporcionalmente aos capitais que 
empregaram, levando-se em conta as condições 
estipuladas no contrato social. 
 Classicamente, há quatro casos a considerar: 
 1) Os capitais são iguais e empregados durante o 
mesmo tempo. A fim de obtermos a parte de 
cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo 
número deles. Exemplo: Três sócios obtiveram 
um lucro de R$ 222.600,00. Sabendo que seus 
capitais eram iguais, vamos determinar a parte 
de cada um nos lucros: 
222.600,00 = 74.200,00 
 
Logo, a parte de cada um no lucro é de: 
R$ 74.000,00 
 
 
3 
 2) Os capitais são desiguais e empregados 
durante o mesmo tempo. Neste caso, 
dividimos o lucro ou o prejuízo em partes 
diretamente proporcionais aos capitais dos 
sócios. 
 Exemplo: Por ocasião do Balanço anual de uma 
firma comercial formada por três sócios, 
verificou-se um prejuízo de R$ 27.000,00. 
Vamos determinar a parte correspondente a 
cada sócio, sabendo que seus capitais são de 
R$ 540.000,00, R$ 450.000,00 e R$ 
360.000,00: 
 
 
 
x => 540 
y => 450 => k = 27 = 0,02 
z => 360 
 
 x = 540 x 0,02 = 10,8 
 y = 450 x 0,02 = 9,0 
 z = 360 x 0,02 = 7,2 
 
 Logo, o prejuízo correspondente a cada sócio é, 
respectivamente, de: 
 R$ 10.800,00, R$ 9.000,00 e R$ 7.200,00. 
1.350 
27 
1.350 
27,0 
 3) os capitais são iguais e empregados durante 
tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou o 
prejuízo correspondente a cada sócio seria 
determinado dividindo-se o lucro ou o prejuízo 
da sociedade em partes diretamente 
proporcionais aos tempos. 
 Porém, na prática este caso não ocorre porque, 
em uma sociedade, os sócios não podem 
permanecer por tempos desiguais. No 
momento em que um antigo sócio se retira ou 
um novo sócio é admitido, procede-se a uma 
reforma do contrato social, após o Balanço, 
calculando-se o Ativo e o Passivo. 
 
 
 4) Os capitais são desiguais e empregados 
durante tempos também desiguais. 
Teoricamente, as partes do lucro ou do 
prejuízo seriam diretamente proporcionais aos 
produtos dos capitais pelos respectivos 
tempos. Também neste caso vale a observação 
feita para o caso anterior. 
 Não devemos confundir este caso com aquele 
em que os sócios integralizam suas quotas de 
capital em épocas diferentes. 
 
 Ex.: Antônio e José organizaram uma firma 
comercial com um capital social de R$ 
2.000.000,00, devendo cada um deles entrar 
com R$ 1.000.000,00. No ato da organização, 
1º de março, Antônio integralizou sua quota e 
José contribuiu com apenas R$ 700.000,00, 
responsabilizando-se por integralizar sua 
quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi 
procedido o Balanço, tendo sido apurado um 
lucro de R$ 740.000,00. Qual a parte a ser 
creditada a cada sócio? 
 Antônio, tendo integralizado seu capital de R$ 
1.000.000,00 em 1º de março, terá um lucro 
diretamente proporcional a esse capital 
durante os 10 meses (1º de março a 31 de 
dezembro), isto é, diretamente proporcional a 
1.000.000,00 × 10 ou 10.000.000,00. 
 José, tendo completado seu capital em 1º de 
agosto, terá uma parte do seu lucro 
correspondente a R$ 700.000,00 durante 10 
meses (1º de março a 31 de dezembro) e outra 
relativa aos restantes R$ 300.000,00 durante 5 
meses (1º de agosto a 31 de dezembro); a 
primeira é diretamente proporcional a 
700.000,00 × 10 ou 7.000.000,00 e a 
segunda, a 300.000,00 × 5 ou 1.500.000,00. 
Assim, seu lucro é diretamente proporcional a 
7.000.000,00 + 1.500.000,00 = 8.500.000,00. 
 Temos, então: 
x => 100 
y => 85 => k = 7,4 = 0,04 
 
 x = 100 x 0,04 = 4,0 
 y = 85 x 0,04 = 3,4 
 
 Logo, a Antônio devem ser creditados R$ 
400.000,00 e a José, R$ 340.000,00. 
185 
7,4 
185 
7,4 
 Chamamos de regra de três os problemas nos 
quais figura uma grandeza que é direta ou 
inversamente proporcional a uma ou mais 
grandezas. 
 Temos dois tipos de regra de três: a simples, 
que trabalha com apenas duas grandezas, e a 
composta, que envolve mais de duas 
grandezas. 
 
 Neste caso, são dados dois valores de uma 
grandeza e um valor de outra, o qual 
corresponde a um dos valores da primeira 
grandeza. Devemos, então, obter o valor da 
segunda grandeza que corresponde ao 
segundo valor da primeira. 
 Ex.: Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. 
Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m? 
 Resolução: Neste problema figuram duas 
grandezas: comprimento e preço do tecido. Se 
o comprimento for multiplicado por 2, 3, …, o 
preço ficará multiplicado por 2, 3, … Podemos, 
então, concluir que estamos trabalhando com 
grandezas diretamente proporcionais. 
 Chamando de x o valor que desejamos 
conhecer (preço de 8 m de tecido), dispomos, 
em uma primeira linha horizontal, os valores 
conhecidos das duas grandezas que se 
correspondem e, em uma segunda linha, o 
outro valor conhecido da primeira e o x, que 
representa o valor correspondente da segunda 
e que se quer conhecer: 
Comprimento (m) Preço (R$) 
6 15 
8 x 
 Em seguida, colocamos uma seta vertical na 
coluna onde se encontra o x, com a ponta 
voltada para ele. Se as grandezas forem 
diretamente proporcionais, como no nosso 
exemplo, colocaremos uma segunda seta 
vertical de mesmo sentido na coluna dos 
outros dados. Assim: 
 
 Armamos a proporção formada pelas razões 
que construímos, seguindo as setas: 
 6 ---- 15 
 8 ---- x 
 6 = 158 x 
 e determinamos o valor de x: 
 => 
 
 Logo, o preço procurado é: R$ 20,00. 
 É importante observar que as quantidades 
correspondentes a uma mesma grandeza 
devem ser expressas na mesma unidade de 
medida. 
 Quando as grandezas que figuram no 
problema são diretamente proporcionais, 
dizemos que a regra de três é direta. 
x = 8 x15 
 6 
x = 120 = 20 
 6 
 Resolva: Se 6 operários fazem certa obra em 
10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a 
mesma obra? 
 Resolução, temos: 
 
 
 
Operários Dias 
6 10 
20 X 
 Se o número de operários for multiplicado por 
2, 3, …, o número de dias ficará dividido por 2, 
3, …, respectivamente.* Logo, as grandezas 
relacionadas são inversamente proporcionais. 
Assim, a coluna que contém x é assinalada 
como no problema anterior e a outra coluna é 
assinalada com uma segunda seta vertical, de 
sentido contrário ao da primeira: 
 
 
 6 ---- 10 
 20 ---- x 
 Em seguida, invertemos os valores da coluna 
do número de operários (por ser uma grandeza 
inversamente proporcional à de número de 
dias): 
 
 
 Daí: 
 => 
 
Logo, serão necessários: 3 dias 
 20 ---- 10 
 6 ---- x 
x = 6 x10 
 20 
x = 60 = 3 
 20 
 Quando as grandezas que figuram no 
problema são inversamente proporcionais, 
dizemos que a regra de três é inversa. 
 Convém observar que, nos problemas de 
Matemática, geralmente são consideradas 
condições iguais. 
 No problema 2, por exemplo, supõe-se que os 
operários produzam igualmente e que as 
condições de trabalho também sejam iguais. 
 Como dissemos antes, na regra de três 
composta ocorrem três ou mais grandezas 
relacionadas entre si. 
 Neste caso, de cada grandeza são dados dois 
valores, com exceção de uma delas, da qual é 
dado apenas um valor, relacionado com um 
dos valores de cada uma das outras grandezas. 
 Se para imprimir 87.500 exemplares 5 
rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 
rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 
350.000 desses exemplares? Resolução: 
Temos a seguinte disposição prática dos 
dados. 
Exemplares Rotativas Tempo 
87.500 5 56 
350.000 7 x 
 Fixando a segunda grandeza (número de 
rotativas), vemos que a primeira grandeza 
(número de exemplares) e a terceira (tempo) 
são diretamente proporcionais, pois 
duplicando o número de exemplares, o tempo 
empregado duplicará. Fixando, agora, a 
primeira grandeza, vemos que a segunda e a 
terceira são inversamente proporcionais, pois 
duplicando o número de rotativas, o tempo 
necessário se reduzirá à metade. Assim, 
temos: 
 
 
 Invertendo os valores da segunda grandeza, 
vem: 
 
 
 o que nos permite escrever, pela propriedade 
da grandeza proporcional a várias outras 
 => 
 
x = 160 min ou 2h:40min 
 
 
 
 
 
 
 
 87.500 ---- 5 ---- 56 
350.000 ---- 7 ---- x 
 87.500 ---- 7 ---- 56 
350.000 ---- 5 ---- x 
 56 = 87.500 x 7 
 x 350.000 x 5 
x = 56 x 350.000 x 5 
 87.500 x 7 
 Em nosso dia-a-dia é comum observarmos 
expressões como estas: 
 “Desconto de até 30% na grande liquidação de 
verão.” 
 “Os jovens perfazem um total de 50% da 
população brasileira.” 
 “A inflação registrada em dezembro foi de 
1,93%.” 
 “O rendimento da caderneta de poupança foi 
de 1,99% em dezembro.” 
 Todas estas expressões envolvem uma razão 
especial chamada percentagem. 
 Suponhamos que um aluno tenha acertado, em 
um exame, 12 das 15 questões apresentadas. 
 A razão entre o número de questões acertadas 
e o número total de questões é: 
 
 
 Quando uma razão é apresentada com o 
consequente 100 (neste caso, 80), ela é 
chamada razão centesimal. 
 12 = 4 = 0,8 = 8 = 80 = ... 
 15 5 10 100 
100 
 Uma outra forma de representarmos as razões 
centesimais, muito usada principalmente no 
universo econômico-financeiro, é substituir o 
consequente 100 pelo símbolo % (que lemos: 
por cento). Assim: 
 
 
 Esse numeral (80%) é denominado taxa 
percentual ou centesimal. 
 80 = 80% (lemos: oitenta por cento) 
100 
 Ex.: Escreva a razão 3 em forma de taxa 
percentual. 
 
 
 
 
 
 Logo, a resposta é: 75% 
 3 = x => 3 x 100 = 75 
 4 100 4 
4 
 Elementos do cálculo percentual. 
 Vimos que: 
 
 Neste exemplo, chamando o 12 de 
percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, 
temos: 
 
 12 = 80 
 15 100 
 percentual = taxa 
 principal 100 
 Daí, obtemos as seguintes definições: 
 Taxa é o valor que representa a quantidade de 
unidades tomadas em cada 100. 
 Percentagem é o valor que representa a 
quantidade tomada de outra, 
proporcionalmente a uma taxa. 
 Principal é o valor da grandeza da qual se 
calcula a percentagem. 
 O principal, a percentagem e a taxa são os 
elementos do cálculo percentual. 
 Na prática, é muito comum: 
 empregarmos as palavras desconto, comissão, 
multa, parte, quota, abatimento, prejuízo, 
lucro etc. em lugar de percentagem; 
 designarmos a taxa percentual simplesmente 
por percentagem. Assim, tanto faz dizermos, 
em uma situação qualquer, que o lucro foi de 
R$ 80,00 ou de 20%. 
 Representando: 
 o principal por P; 
 a percentagem por p; 
 a taxa por r; 
 temos, genericamente: 
 
 Dados, então, dois quaisquer dos três 
elementos, podemos calcular o terceiro 
fazendo uso da proporção. 
 p = r k 
 P 100 
 Um vendedor tem 3% de comissão nos 
negócios que faz. Qual sua comissão numa 
venda de R$ 3.600,00? 
 Resolução: 
 Temos: 
 
 Assim: 
 => 
 
 Logo, a comissão é de: R$ 108,00 
 p = 3 k 
3.600 100 
 P = 3.600k 
 r = 3 
p = 3.600 x 3 = 108,00k 
 100 
 Resolva: Em um colégio 26% dos alunos são 
meninas. Quantos alunos possui o colégio, se 
elas são em número de 182? 
 
 Resposta: 700 alunos 
 Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e 
vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a 
 percentagem de lucro? 
 Resolução: 
 Temos: 
 
 Assim: 
 => 
 
 Logo, o lucro foi de: 8% 
 400 = r k 
 5.000 100 
 P = 5.000,00k 
 p = 400,00 
r = 400 x 100 = 8k 
 5.000 
 Vimos que a taxa percentual se refere a 100, 
isto é: 
 
 Porém, na resolução de muitas questões, é 
mais prático (e, algumas vezes, necessário) 
tomarmos como valor referencial a unidade, 
obtendo o que chamamos de taxa unitária 
(simbolizada por i). Assim: 
 
 
 Temos, então: 
 25 = 25% k 
 100 
 25 = i => i = 25 = 0,25k 
100 1 100 
i = 0,25 = 25 = 25%k 
 100 
 Sendo: 
 
 
 Como: 
 
 
 Podemos escrever: 
 
 P = r k 
 p 100 
 r = i 
 100 
 P = i 
 p 
 Um comerciante vendeu um objeto por R$ 
540,00 com um lucro de 15% sobre esse valor. 
Quanto ganhou? 
 Resolução: 
 Temos: 
 
 Como: => 
 
 
 Logo, o comerciante ganhou R$ 81,00. 
 p = 540,00 x 0,15 = 81,00 
 P = 540,00k 
 i = 15% 
 P = i 
 p 
p = Pi 
 Resolva: Um terreno tem 70% de sua área 
plantada, que corresponde a 154 ha. Qual a 
área total do terreno? 
 
 Resposta: 220 ha. 
 
 Resolva: Em uma turma de 60 alunos, foram 
reprovados 9. Quantos por cento dos alunos 
foram reprovados? 
 
 Resposta: 15% 
 O que vamos estudar agora são problemas de 
percentagem ligados às operações de compra 
e venda de mercadorias, isto é, vamos 
aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo 
sobre os preços de custo e de venda de 
mercadorias. 
 
 A venda de mercadorias pode oferecer um 
lucro e este lucro pode ser sobre o preço de 
custo ou sobre o preço de venda. 
 
 Preço de custo de uma mercadoria 
compreende o preço de aquisição, acrescido 
das despesasdiretas sobre a compra e sobre a 
venda e, ainda, das despesas de administração 
e funcionamento da empresa. 
 Consideremos o seguinte problema: Um 
comerciante vendeu mercadorias com um lucro 
de 8% sobre o preço de custo. Determine o 
preço de venda, sabendo que essas 
mercadorias custaram R$ 500,00. 
 Sabemos que: preço de venda = preço de custo 
+ lucro 
 Como o lucro é de 8% sobre o preço de custo, 
isto é: lucro = 0,08 do preço de custo 
 Temos: 
 preço de venda = preço de custo + 0,08 × 
preço de custo 
 
 = (1 + 0,08) × preço de custo = 1,08 × 
500,00 = 540,00 
 
 Logo, o preço de venda é de: R$ 540,00 
 Fórmula - Chamando de: 
 V o preço de venda; 
 C o preço do custo; 
 L o lucro; 
 i a taxa unitária do lucro. 
 
 vem: V = C + L 
 Como: L = i × C 
 temos: V = C + i × C 
 Logo: 
 
 
 que nos dá o preço de venda, conhecidos o 
custo e a taxa de lucro sobre o custo. 
 
 Resolva: Um comerciante comprou um objeto 
por R$ 480,00. Desejando ganhar 20% sobre o 
preço de custo, qual deve ser o preço de 
venda? 
 Resposta: R$ 576,00 
V = (1 + i) C 
 Comprou-se um objeto por R$ 60,00 e deseja-
se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual 
deve ser este preço? 
 Sabemos que: preço de venda – lucro = preço 
de compra 
 Como o lucro é de 25% sobre o preço de 
venda, isto é: lucro = 0,25 do preço de venda, 
 temos: 
 preço de venda – 0,25 × preço de venda = 
preço de custo 
 ou: 
 (1 – 0,25) × preço de venda = preço de custo 
 ou, ainda: 
 
 
 
 Logo, o preço de venda deve ser de: R$ 80,00 
Preço de venda = preço de custo = 60,00 = 80,00 
 0,75 0,75 
 Fórmula: 
 Temos: V – L = C 
 Como: L = i × V 
 vem: V – i × V = C ⇒ (1 – i)V = C 
 Logo: 
 
 que nos dá o preço de venda, conhecidos o 
preço de custo e a taxa de lucro sobre o preço 
de venda. 
 V = C . 
 1 - i 
 Resolva: Um comerciante comprou um objeto 
por R$ 48,00. Desejando ganhar 20% sobre o 
preço de venda, qual deve ser este último? 
 
 
 
 Resposta: R$ 60,00 
 
 V = C . 
 1 - i 
 Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma 
mercadoria pode ser vendida com prejuízo 
sobre o preço de custo ou sobre o preço de 
venda. 
 Considere o seguinte problema: Um objeto foi 
vendido com um prejuízo de 40% sobre o 
preço de custo. Sabendo que esse objeto 
custou R$ 30,00, qual foi o preço de venda? 
 
 Sabemos que: preço de venda = preço de custo 
– prejuízo 
 
 Como o prejuízo é de 40% sobre o preço de 
custo, isto é: prejuízo = 0,4 do preço de custo 
 Temos: preço de venda = preço de custo – 0,4 
× preço de custo = (1 – 0,4) × preço de custo 
 
 0,6 × preço de custo = 0,6 × 30 = 18 
 
 Logo, o preço de venda foi de: R$ 18,00 
 Fórmula: 
 Chamando de P o prejuízo, vem: V = C – P 
 
 Como: P = i × C 
 
 temos: V = C – iC 
 
 Logo: 
 
 que nos dá o preço de venda, conhecidos o 
custo e a taxa do prejuízo sobre o custo. 
V = (1 - i) C 
 Resolva: 
 Uma pessoa adquiriu um relógio por R$ 
125,00 e só conseguiu vendê-lo com um 
prejuízo de 8% sobre o custo. Por quanto ela 
vendeu o relógio? 
 
 
 
 Resposta: R$ 115,00 
V = (1 - i) C 
 Uma casa que custa R$ 96.000,00 foi vendida 
com um prejuízo de 20% sobre o preço de 
venda. Calcule o preço de venda. 
 Sabemos que: preço de venda + prejuízo = 
preço de custo 
 Como o prejuízo é de 20% sobre o preço de 
venda, isto é: prejuízo = 0,2 do preço de 
venda, temos: 
 preço de venda + 0,2 × preço de venda = 
preço de custo 
 ou: 
 (1 + 0,2) × preço de venda = preço de custo 
 ou, ainda: 
 
 
 
 
 Logo, o preço de venda será de: R$ 80.000,00 
Preço de venda = preço de custo = 96.000,00 = 80.000,00 
 1,2 1,2 
 Fórmula: 
 Como: V + P = C e P = i × V 
 temos: V + iV = C ⇒ (1 + i)V = C 
 Logo: 
 
 
 
 que nos dá o preço de venda, conhecidos o 
preço de custo e a taxa do prejuízo sobre o 
preço de venda. 
 V = C . 
 1 + i 
 Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido 
com um prejuízo de 12% sobre o preço de 
venda. Qual o valor apurado na venda? 
 
 
 
 
 Resposta: R$ 498,21 
 V = C . 
 1 + i 
 Neste slide, vamos aprender a calcular os 
abatimentos sucessivos sobre uma importância 
resultante de um negócio efetuado. 
 
 Consideremos o seguinte problema: Uma firma 
distribuidora oferece, sobre o valor de uma 
fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 
5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 
48.000,00, qual o valor líquido desta? 
 Basta, evidentemente, calcularmos os líquidos 
parciais correspondentes aos abatimentos 
oferecidos, respeitando a ordem das taxas, até 
obtermos o líquido final. 
Fatura: é a relação que acompanha a remessa de 
mercadorias expedidas, ou que se remete 
mensalmente ao comprador, coma designação de 
quantidades, marcas, pesos, preços e importâncias 
 Assim, chamando o valor líquido de L, temos: 
 Como: 
 p1 = P × i1 ⇒ p1 = 48.000,00 × 0,1 = 4.800 ⇒ 
L1 = 48.000,00 − 4.800 = 43.200,00 
 p2 = L1 × i2 ⇒ p2 = 43.200,00 × 0,04 = 1.728 
⇒ L2 = 43.200,00 − 1.728 = 41.472,00 
 p3 = L2 × i3 ⇒ p3 = 41.472,00 × 0,05 = 
2.073,60 ⇒ L3 = 41.472,00 − 2.073,60 = 
39.398,40 
 o valor líquido da fatura é de: R$ 39.398,00 
 Fórmula do valor líquido 
 Examinando a solução do problema anterior, 
vemos que: 
 p2 = L1 × i2 e L2 = L1 − p2 ⇒ L2 = L1 − L1 × i2 
⇒ L2 = L1(1 − i2) 
 Tendo em vista que os valores obtidos para L 
não dependem dos particulares valores 
utilizados, podemos escrever: 
 Lk = Lk − 1(1 − ik) 
 Atribuindo a k os valores 1, 2, 3, …, n, 
obtemos as igualdades: 
 
 
 
 
 Multiplicando essas n igualdades, membro a 
membro, e simplificando, vem: 
 Ln = L0(1 − i1) (1 − i2) (1 − i3) … (1 − in) 
 Fazendo: L0 = P e Ln = L 
 
 Obtemos: 
 onde i1, i2, i3, …, i n são as taxas sucessivas. 
 
 
Obs.: 
 Para aumentos sucessivos, temos: 
 M = P(1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) … (1 + in) 
 
 Ex.: Uma firma distribuidora oferece, sobre o 
valor de uma fatura, os descontos sucessivos 
de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura 
é de R$ 48.000,00, qual o valor líquido desta? 
 Resolução: Temos: 
 
 
 
 
 
 Assim: 
 L = 48.000,00 (1 − 0,1) (1 − 0,04) (1 − 0,05) 
 
 = 48.000,00 × 0,9 × 0,96 × 0,95 = 39.398,40 
 
 o valor líquido da fatura é de: R$ 39.398,40