06 - Lyapunov e LQR

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Teoria e Prática de Controle II
Controladores no espaço de estados
Prof. Rômulo L. Milhomem
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Desenvolvimento de Sistemas 
Otimizados
• Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
• Projeto de controladores ótimos: LQR .
• Noções de Controle Robusto.
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Desenvolvimento de Sistemas 
Otimizados
Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por Lyapunov.
A.M. Lyapunov apresentou dois métodos para determinar a estabilidade de 
sistemas descritos por meio de equações diferenciais ordinárias. 
• Primeiro método: consiste em todos os procedimentos nos quais a forma 
explicita da solução das equações diferenciais é utilizada para análise.
• Segundo método: não requer a solução das equações diferenciais, usa-se o 
conceito de dissipação de energia a partir de uma função pré definida.
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
1 - Exemplo 13-3 (Ogata 3° Ed) - Estabilidade Sistema Não Linear
Seja o sistema descrito por:
൝
ሶ𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥1(𝑥1
2 + 𝑥2
2)
ሶ𝑥2 = −𝑥1 − 𝑥2(𝑥1
2 + 𝑥2
2)
Sendo a origem definida por 𝑥10 = 𝑥20 = 0, como o único estado de equilíbrio. 
Determinar a estabilidade quadrática do sistema. Para isso, defina uma função 
escalar 𝑉(𝑥) por
𝑉 𝑥 = 𝑥1
2 + 𝑥2
2
𝑑𝑉(𝑥)
𝑑𝑡
= ? ?< 0
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
2 - Exemplo (Coutinho, 2012) – Estabilidade Sistema Linear
Seja o sistema descrito por:
ሶ𝑥(𝑡) =
0 1
−4 −5
𝑥(𝑡)
Sendo a origem definida por 𝑥10 = 𝑥20 = 0, como o único estado de equilíbrio. 
Determinar a estabilidade quadrática do sistema. Para isso, defina uma função 
escalar 𝑉(𝑥) por
𝑉 𝑥 = 1.125𝑥1
2 + 0.250𝑥1𝑥2 + 0.125𝑥2
2 > 0
𝑑𝑉(𝑥)
𝑑𝑡
= ? ?< 0
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
3 - Exemplo (Coutinho, 2012) – Estabilidade Sistema Linear
Seja o sistema descrito por:
ሶ𝑥(𝑡) =
−1 1
0 −1
𝑥(𝑡)
Sendo a origem definida por 𝑥10 = 𝑥20 = 0, como o único estado de equilíbrio. 
Determinar uma matriz M que apresente a estabilidade quadrática do sistema. 
Para isso, defina
𝐴′𝑀 +𝑀𝐴 = −𝑁
𝑁 =
1 0
0 1
> 0
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
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Estabilidade Quadrática: conceito de estabilidade por 
Lyapunov.
Resposta à condição inicial na realização em espaços de estados para os ganhos de via Projeto de 
Lyapunov (Figura 1) e controlador PID (Figura 2) (Tamiozzo, 2018). 
Figura 1. Figura 2.
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Projeto de Controladores: Equação de Lyapunov.
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Projeto de Controladores: Equação de Lyapunov.
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Projeto de Controladores: Equação de Lyapunov.
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Projeto de Controladores: Equação de Lyapunov.
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Projeto de Controladores: Equação de Lyapunov.
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Projeto de Controladores: Equação de Lyapunov.
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Projeto de Controladores: Equação de Lyapunov.
2 - Exemplo (Coutinho, 2012) – Projeto de Controladores e Observadores
Seja o sistema descrito por:
ሶ𝑥 𝑡 =
1 0
0 −1
𝑥 𝑡 +
1
1
𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 1 1 𝑥 𝑡
Projete um observador de estados de ordem completa para o sistema acima, 
onde a dinâmica do erro de estimação é dado pela equação:
Δ𝑓 𝑠 = 𝑠 + 5 𝑠 + 6 = 𝑠2 + 11𝑠 + 30
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Projeto de Controladores: Equação de Lyapunov.
3 - Exercício (Coutinho, 2012) – Projeto de Controladores e Observadores
Projetar uma Lei de Controle 
𝑢 𝑡 = 𝑝. 𝑟 𝑡 − 𝐾 ෤𝑥 𝑡 ,
onde 
ሶ෤𝑥 𝑡 = 𝐴 − 𝑙𝐶 ෤𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 + 𝑙𝑦(𝑡)
para o sistema
ሶ𝑥 𝑡 =
0 1
1 1
𝑥 𝑡 +
0
0
𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 0 1 𝑥 𝑡
Tal que o sistema em malha fechada tenha a seguinte dinâmica: 
Δ𝑓 𝑠 = 𝑠2 + 3𝑠 + 2
Exercícios
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Livro Ogata 3° Ed.
https://drive.google.com/file/d/1twMSD2Yz6KQ6-FFVv2PPCgEbZC0LkKUi/view?usp=sharing
Exemplos de problemas com soluções:
• A13.1 q A13.13
Problemas p/ resolver:
• B13.1 a B13.7
https://drive.google.com/file/d/1twMSD2Yz6KQ6-FFVv2PPCgEbZC0LkKUi/view?usp=sharing
Referências
Franklin, Gene F. David Powell, Abbas Emami-Naeini. Sistemas de controle para 
engenharia. Porto Alegre : Bookman, 2013. 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 4°ed. São Paulo. Prentice 
Hall, 2003. 
DORF, Richard C. Sistemas de Controle Modernos. 8°ed. Rio de Janeiro. LTC, 
2001. 
Coutinho, D. Notas de Aula – Sistemas Dinâmicos Lineares. Programa de Pós 
Graduação em Engenharia em Automação e Sistemas – PGEAS, UFSC. 2012. 
TAMIOZZO, G. E. MILHOMEM, R. L. Modelagem e Controle de um Robô Auto 
Equilibrante Segway. TCC Engenharia de Automação em Controle. IFSC 
Chapecó, 2018.
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