Condução térmica

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⇒ Condução térmica
Condução térmica ou simplesmente condução é um processo de transferência de calor que ocorre no interior de sólidos, em razão de uma diferença de temperatura.
Na condução, a energia térmica é transferida entre os átomos e moléculas de um sólido sem que ocorra transferência de matéria, até que se atinja a condição de equilíbrio térmico.
Esse fenômeno acontece em todas as substâncias, independentemente do seu estado físico, apesar de mais frequente em sólidos. 
⇒ como ocorre a condução térmica?
O processo de condução térmica é caracterizado pela interação entre átomos de diferentes temperaturas. Quando aquecemos algum corpo, seus átomos passam a oscilar com maior amplitude. Esses átomos mais agitados transferem parte da sua energia cinética para os átomos vizinhos por colisões e vibrações, dessa maneira, eles se desaceleram, enquanto os menos agitados ganham velocidade. Por meio desse mecanismo, o calor é gradualmente transferido das regiões de maior temperatura em direção às regiões de menor temperatura, até que todo o sistema se encontre na mesma temperatura.
Nos gases, por exemplo, a transferência de calor por condução ocorre exclusivamente por meio de colisões entre átomos. Nos sólidos não metálicos, a condução térmica acontece por meio de vibrações ao longo da rede cristalina do material. Nos sólidos metálicos – os melhores condutores de calor –, a condução ocorre tanto pela propagação de vibrações da rede cristalina como pela movimentação caótica de elétrons livres.
Nos sólidos, a condução de calor ocorre por meio de colisões entre átomos vizinhos
⇒ Isolantes e condutores térmicos
Diferentes estados da matéria transmitem calor por meio de mecanismos diferentes. Os materiais chamados de condutores, por exemplo, são aqueles capazes de transferir calor com grande facilidade – é o caso da maioria dos metais. Os materiais isolantes, por sua vez, são aqueles que dificultam a passagem de calor, como o isopor, a borracha, a madeira etc.
⇒Diferenças entre condução, convecção e radiação
Condução, convecção e radiação são as três diferentes formas de propagação do calor. O ponto em comum entre esses três processos é que deve haver uma diferença de temperatura entre diferentes corpos ou em diferentes pontos do mesmo corpo.
Condução: como dito, ocorre pelo contato direto entre moléculas, que, ao colidirem, transferem energia cinética para suas moléculas vizinhas. Nesse tipo de transferência de calor, não há transporte de matéria.
Convecção: por sua vez, ocorre exclusivamente em fluidos e, assim como na condução, só ocorre em meios materiais. A diferença entre a condução e a convecção é que, nesta, há transporte de massa pelas correntes convectivas.
Radiação: É a transferência de calor por ondas eletromagnéticas, logo, esse processo de transferência de calor pode acontecer no vácuo. 
Na figura, é possível observar a condução, a convecção e a radiação.
⇒ Fluxo de calor ou Lei de Fourier
A quantidade de calor que é transferida entre dois pontos do interior de corpos, a cada segundo, é chamada de fluxo de calor. Esse conceito diz respeito à rapidez em que o calor é transferido no interior de um corpo. Alguns materiais apresentam grande capacidade de transferência de calor, por isso, dizemos que são bons condutores de calor, já que são capazes de dissipá-lo mais rapidamente.
O fluxo de calor, que é definido em função de uma constante k, é medido em watts (W), de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, mas também pode ser medido em calorias por segundo. Esse fluxo de energia é proporcional à diferença de temperatura entre dois pontos de um corpo e corresponde à quantidade de energia que flui, na forma de calor, a cada metro quadrado de superfície, durante o intervalo de tempo de um segundo.
A fórmula utilizada para o cálculo da condução térmica, também conhecida como fórmula do fluxo de calor ou Lei de Fourier é a seguinte:
Φ – fluxo de calor (cal/s ou W)
Q – calor (cal ou J)
Δt – intervalo de tempo (s)
A – área (m² ou cm²)
T2 e T1 – temperatura dos pontos 1 e 2 (K ou ºC)
k – coeficiente de condutividade térmica (J/s.m.K ou cal/s.cm.ºC)
O coeficiente de condutividade térmica (k) determina se um corpo é ou não bom condutor de calor. Esse coeficiente diz respeito a um grande número de propriedades da matéria, como a temperatura, estado físico, pureza, densidade etc. Além disso, a fórmula mostra que a quantidade de calor Q que flui através de uma área A, durante um intervalo de tempo Δt, é proporcional à diferença de temperatura (T2 - T1) entre as duas faces dessa área e também inversamente proporcional à espessura e, que as separa. Observe o esquema a seguir, que mostra a condução térmica em um meio sólido, de acordo com as variáveis apresentadas:
A Lei de Fourier estabelece que o calor transferido por condução (q) é diretamente proporcional a área (A), a condutividade térmica do material (k) e a diferença de temperatura (∆T=T1-T2); e inversamente proporcional ao comprimento (ou espessura) do material (e). A equação 2 resume esta lei para o caso unidirecional.
q= . (T2 - T1)
As propriedades termo físicas de um componente (consideradas fixas) podem ser agrupadas em um termo que define sua resistência térmica (R).
R= 
R: Resistência térmica [(m2 K)/W]
E o fluxo de calor pode ser resumido como
q= 
⇒Sistemas de unidades: Unidades derivadas dos sistemas de unidades mais comuns
⇒Mecanismos de Transferência de Calor. Leis que os regem 
Sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios ocorrerá transferência de calor. Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas são colocados em contato direto, como mostra a figura 1.2.1, ocorrera uma transferência de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura até que haja equivalência de temperatura entre eles. Diz-se que o sistema tende a atingir o equilíbrio térmico.
Fig 1.2.1 Corpos em contato a diferentes temperaturas
Os diferentes processos de transferência de calor são referidos como mecanismos de transferência de calor. Existem três mecanismos, que podem ser reconhecidos assim:
 • Condução: Quando a transferência de calor ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido, em virtude de um gradiente de temperatura, o mecanismo de transferência de calor é a condução. Assim, a energia é transmitida por meio de comunicação molecular direta. A figura 1.2.2 ilustra a transferência de calor por condução através de uma parede sólida submetida à uma diferença de temperatura entre suas faces.
Fig. 1.2.2 Fluxo de calor por condução através de uma parede sólida plana
O mecanismo da condução de calor se descreve mediante a conhecida Lei do Fourier: 
q = k (- dT/dy)
Onde: k é a condutividade térmica do material o dos materiais através dos quais se transfere o calor.
Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituição química, estado físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso contrário, isolante térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o cobre, a k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como alguns aços, a k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de temperatura. A variação da condutividade térmica (no S.I.) com a temperatura é mostrada na figura 1.2.3 para diversos materiais.
Na Fig. (1.2.3a) se mostra que a prata e o cobre apresentam valores de k muito similares, sendo o cobre o mais utilizado para a fabricação dos tubos dos trocadores, evaporadores e outros equipamentos, já que é o mais barato deles. Para muitos equipamentos se utilizam também tubos de aço inoxidável. Para a maioria dos metais, a condutividade térmica diminui com o aumento da temperatura em um extenso intervalo desta última variável, exceto o aço inoxidável, cuja k aumenta com a temperatura, quase linearmente. Porém, a condutividade térmicada platina, praticamente, quase não varia com a temperatura no intervalo de 100-1000 K.
 Na Fig. (1.2.3b) observa-se que os gases são os que mostram as menores condutividades térmicas, e os metais no outro extremo com os maiores valores. Os sólidos não metálicos e os líquidos mostram valores intermédios.
Fig. 1.2.3 Comparação da condutividade térmica de vários materiais: (a) com a temperatura; (b) com a natureza dos materiais.
• Convecção: Quando a transferência de calor ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento em virtude da diferença de temperatura entre eles, o mecanismo de transferência de calor é por convecção. A figura 1.2.4 ilustra a transferência de calor por convecção quando um fluido escoa sobre uma placa aquecida. Neste caso, a convecção pode ser forçada, se o movimento do fluido é induzido por um agente externo, por exemplo, um ventilador.
Fig. 1.2.4 Fluxo de calor por convecção entre uma placa aquecida e um fluido.
A equação de energia descreve ao balanço de calor que se transfere em um sistema de determinada geometria. Para fluidos incompressíveis, em um sistema retangular, a equação de energia expressa-se:
Onde os termos da equação à esquerda do símbolo (=) representam o mecanismo da convecção, e os termos à direita representam a condução. Em uma interface sólido-fluido, a densidade de fluxo de calor por convecção que se transfere pode ser expressa por:
q = h (∆T)
Sendo h o coeficiente de transferência de calor, e (∆T) a diferencia de temperatura entre o sólido e a média do fluido, (Tw - Tb). O coeficiente h se calcula mediante os procedimentos estudados na disciplina Fenômenos de Transporte II.
Suponhamos que na Fig. (1.2.4) o ventilador seja retirado. Neste caso, as partículas que estão próximas à superfície continuam recebendo calor por condução e armazenando a energia. Estas partículas têm sua temperatura elevada e, portanto, a densidade reduzida. Já que são mais leves elas sobem trocando calor com as partículas mais frias (e mais pesadas) que descem. Neste caso a convecção é natural ou livre (é óbvio que no primeiro caso a quantidade de calor transferido é maior).
Um exemplo bastante conhecido de convecção natural é o aquecimento de água em uma panela doméstica como mostrado na Fig. (1.2.5). Para este caso, o movimento das moléculas de água pode ser observado visualmente.
Fig. 1.2.5 Convecção natural durante o aquecimento de água em uma panela
• Radiação: Quando, na ausência de um meio interveniente, existe uma troca líquida de energia (emitida na forma de ondas eletromagnéticas) entre duas superfícies a diferentes temperaturas, o mecanismo de transferência de calor é a radiação. A figura 1.2.6 ilustra a transferência de calor por radiação entre duas superfícies a diferentes temperaturas.
Fig. 1.2.6 Troca de calor líquida q por radiação entre duas superfícies a diferentes temperaturas.
A radiação pode ser definida como o processo pelo qual o calor é transferido de uma superfície em alta temperatura para uma superfície em temperatura mais baixa quando tais superfícies estão separadas no espaço, ainda que exista vácuo entre elas. A energia assim transferida é chamada radiação térmica e é feita sob a forma de ondas eletromagnéticas. O exemplo mais evidente sobre este mecanismo é o próprio calor que recebemos do sol. Neste caso, mesmo havendo vácuo entre a superfície do sol (cuja temperatura é aproximadamente 5500 o C ) e a superfície da terra; a vida na terra depende desta energia recebida. Esta energia chega até nós na forma de ondas eletromagnéticas. As ondas eletromagnéticas são comuns a muitos outros fenômenos: raios-X, ondas de rádio e TV, micro-ondas e outros tipos de radiações. As emissões de ondas eletromagnéticas podem ser atribuídas a variações das configurações eletrônicas dos constituintes de átomos e moléculas, e ocorrem devido a vários fenômenos, porém, para a transferência de calor interessa apenas as ondas eletromagnéticas resultantes de uma diferença de temperatura (radiações térmicas), cujas características são:
• Todos os corpos em temperatura acima do zero absoluto emitem continuamente radiação térmica.
 •As intensidades das emissões dependem somente da temperatura e da natureza da superfície emitente.
 • A radiação térmica viaja na velocidade da luz (300 000 Km/s)
Nas temperaturas encontradas na maior parte das aplicações de engenharia, o conjunto da energia térmica emitida por um corpo está nos comprimentos de onda entre 0,1 e 100 m. Por este motivo, esta região do espectro recebe geralmente o nome de radiação térmica. 0 sol emite radiação térmica a uma temperatura efetiva superficial de cerca de 5760 K e o conjunto desta energia está nos comprimentos de onda entre e 3 m. Esta região do espectro é conhecida geralmente como a radiação solar. A radiação emitida pelo sol, nos comprimentos de onda entre 0,4 e 0,7 (m é visível para o olho; esta região do espectro é a radiação visível (isto é, a luz visível). A Fig. 1.2.7 ilustra essas subdivisões do espectro de ondas eletromagnéticas.
Fig. 1.2.7 Espectro típico da radiação eletromagnética devida à temperatura de um corpo.
⇒Corpo Negro e Corpo Cinzento
 Corpo Negro, ou irradiador ideal, é um corpo que emite e absorve, a qualquer temperatura, a máxima quantidade possível de radiação em qualquer comprimento de onda. É um conceito teórico padrão com o qual as características de radiação dos outros meios são comparadas. O conceito de corpo negro é uma idealização que serve para comparar as características da emissão e da absorção dos corpos reais. Numa dada temperatura, num dado comprimento de onda, nenhum outro corpo, à mesma temperatura pode emitir mais radiação do que um corpo negro. A emissão de radiação por um corpo negro, a qualquer temperatura T, é a emissão máxima possível nesta temperatura. A energia radiante emitida por um corpo negro, a uma temperatura absoluta T, em todos os comprimentos de onda, por unidade de tempo, por unidade de área, é determinada por:
Eb = T4 W/m2
onde: Eb é o poder de emissão do corpo negro, T a temperatura absoluta do corpo negro; a constante de Stefan-Boltzmann:
 = 4,88.10-8 , Kcal / h.m2 . K4
Nos outros sistemas de unidades a constante de Stefan-Boltzmann fica assim: 
Sist. Inglês → = 0,173. 10-8 , BTU/ h. pé2. R4 
Sist. Internacional → = 5,67.10-8 , W/ m2 . K
A equação (1.2.4) estabelece que a radiação total de um corpo negro perfeito é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo. Isto se conhece como a Lei do StefanBoltzmann.
 Corpo Cinzento é o corpo cuja energia emitida ou absorvida é uma fração da energia emitida ou absorvida por um corpo negro. As características de radiação dos corpos cinzentos se aproximam às características dos corpos reais, como se mostra esquematicamente na figura 1.2.8. Na figura 1.2.8, a distribuição das emissividades dos corpos negros se descreve pela Lei de distribuição de Planck. No equilíbrio térmico, a razão da potência emissiva total à absorvência (emissividade) para todos os corpos é a mesma. Isto se conhece como a Lei do Kirchhoff (eq. 1.2.5). Segundo a lei de Kirchhoff nos corpos negros se cumpre que:
 = (1.2.4a)
Fig. 1.2.8 Características de radiação dos corpos cinzentos.
A emissividade, , é a relação entre o poder de emissão de um corpo real e o poder de emissão de um corpo negro.
 (1.2.5)
Onde: – Emissividade dos corpos cinzentos. Para os corpos negros = 1. EC é o poder de emissão de um corpo cinzento (real), Eb é o poder de emissão de um corpo negro (perfeito)
Para os corpos cinzentos a emissividade ( ), obviamente, sempre é menor que 1. Pertencem à categoria de corpos cinzentos a maior parte dos materiais de utilização industrial, para os quais em um pequeno intervalo de temperatura pode-se admitir: =const. Os valores de são tabelados em muitos textos, em função da natureza dos corpos. Boltzmann estabeleceu que EC é proporcional ao fluxo de calor Q:
EC = Q/ A (1.2.6)
Introduzindo (1.2.4) em (1.2.6) e isolando Q, resulta:
Q = AT 4(1.2.7)
A eq. (1.2.7) estabelece o fluxo de calor que se transfere por radiação entre as superfícies de dois corpos negros.
Se o corpo for semitransparente à radiação (Fig. 1.2.9), a soma do poder de absorção e da emissividade é menor do que a unidade, e a diferença é chamada o poder transmissor do corpo, :
 + + = 1 (1.2.8)
Fig. 1.2.9 Reflexão, absorção e transmissão da radiação incidente por um material semitransparente
Nos corpos negros ( = 0 ) e = 1.
Se o corpo for opaco (cinzento), a soma da emissividade, , e do poder de absorção, , do corpo deve ser igual à unidade:
 + = 1 ... (1.2.9)
⇒Sistemas de transmissão de calor que ilustram como pode descrevê-la ocorrência do mecanismo de transferência de calor por condução.
Fluxo de calor por condução através de paredes planas
 a)Em uma parede plana homogênea
Fig. 2.1.1.1 Fluxo de calor por condução através de uma parede plana homogênea.
A partir da lei do Fourier:
q = k (- dT/dx); sendo q = const., .... (2.1.1.1) 
se chega à expressão geral do perfil de temperatura:
 T = - (q/k).x + C1 .... (2.1.1.2)
 Aplicando à condição limite
 Para x = L; T = T2; ... (2.1.1.3)
 Sustituindo (2.1.1.3) em (2.1.1.2), se obtem :
 T2 = - (q/k) L + C1
 C1 = T2 + (q/k) L ... (2.1.1.4) 
Introduzindo (2.1.1.4) en (2.1.1.2), resulta:
 (2.1.1.5)
A expressão (2.1.1.5) descreve o perfil de temperatura linear na parede entre as dois superfícies.
Aplicando à condição limite
 Para x = 0; T = T1 (2.1.1.6)
Introduzindo (2.1.1.6) em (2.1.1.5), se chega a:
 (2.1.1.7)
A eq. (2.1.1.7) estabelece que a densidade de fluxo de calor é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre as superfícies limitantes da parede e inversamente proporcional à resistência que oferecem a natureza e a espessura da parede.
b) Em uma parede plana composta de várias capas de diferentes materiais
Fig. 2.1.1.2 Fluxo de calor através de uma parede plana com três capas de diferentes materiais e espessuras.
Para o caso específico de 3 capas, o perfil de temperatura em cada capa cumpre a expressão (2.1.1.5). Seguindo um procedimento similar ao anterior, se chega à eq. (2.1.1.8):
 (2.1.1.8)
Generalizando para n capas, a eq. (2.1.1.8) escreve-se:
 . (2.1.1.9)
Em um sistema multicapa, a Resistencia Térmica Total vem dada pela soma das resistências térmicas de cada capa.
Fluxo de calor por condução através de paredes cilíndricas
a) Em uma parede cilíndrica homogênea com comprimento L
Fig. 2.1.2.1 Fluxo de calor radial através de uma parede cilíndrica
Para este caso se considera que a temperatura muda somente na direção radial. Seguindo o mesmo procedimento anterior, se parte da lei do Fourier, expressa em coordenadas cilíndricas:
q = k (- dT/dr); sendo q = Q/A (2.1.2.1)
Onde: Q = (const.) é o fluxo (taxa) de calor em W (J/s), e A é a superfície de transferência de calor, em m2 , a qual aumenta com o raio da parede segundo a expressão:
A = 2πLr (2.1.2.2)
Introduzindo (2.1.2.2) em (2.1.2.1) e isolando Q, obtem-se:
Q = 2πLkr (- dT/dr) (2.1.2.3)
Aplicando a condição limite seguinte: 
Para r= r2; T = T2 (2.1.2.5)
Introduzindo a condição limite (2.1.2.5), resulta: 
T2 = - (Q/ 2πLk) lnr2 + C
 C = T2 + (Q/ 2πLk) lnr2 (2.1.2.6)
Introduzindo (2.1.2.6) em (2.1.2.4), obtém-se:
 (2.1.2.7)
A expressão (2.1.2.7) descreve o perfil de temperatura na parede entre as superfícies interior e exterior desta.
Aplicando a condição limite 
Para r = r1; T = T1 (2.1.2.8)
Introduzindo (2.1.2.8) em (2.1.1.7), se chega a: 
T1 – T2 = (Q/ 2πLk) ln (r2/r1)
 (2.1.2.9)
O fluxo de calor por unidade de comprimento, QL = Q/L, vem dado por:
 (2.1.2.10)
Sendo a resistência da parede ao fluxo de calor.
A eq. (2.1.2.10) pode expressar-se também em termos dos diâmetros d1 e d2
 (2.1.2.11)
b) Em uma parede cilíndrica composta de várias capas de diferentes materiais
Fig. 2.1.2.2 Fluxo de calor radial através de três capas cilíndricas
Para o caso específico de três capas, seguindo um procedimento similar ao anterior, se chega a:
(2.1.2.12)
A eq. (2.1.2.12) pode expressar-se em forma geral, para n capas:
(2.1.2.13)
Onde representa a Resistencia Térmica Total ao fluxo de calor.
Exercício para analisar:
 O fluxo de calor através de uma parede cilíndrica vem dado pela expressão:
(A)
Para melhor entender o significado da equação (A) se considerará um exemplo prático. Se supõe que o engenheiro responsável pela operação de uma caldeira necessita reduzir o consumo energético através da redução das perdas térmicas na tubulação que conduz vapor até uma turbina. Considerando a equação (A), o engenheiro tem as seguintes opções listadas na tabela 1:
Tabela 1 - Possibilidades para a redução de fluxo de calor em uma parede cilíndrica. 
Trocar a parede ou reduzir a temperatura do vapor podem ser ações de difícil implementação; porém, a colocação de isolamento térmico sobre a parede cilíndrica cumpre ao mesmo tempo as ações de redução da condutividade térmica e aumento de espessura da parede.
⇒Procedimento de cálculo para determinar temperaturas intermediárias em superfícies planas e cilíndricas compostas por várias capas.
Nas equações (2.1.1.8) e (2.1.1.12), os T se expressam em termos dos valores das temperaturas das superfícies limitantes das capas interior e exterior. Entretanto, as temperaturas intermediárias, entre capas, não se conhecem. Por conseguinte, para poder determinar o fluxo de calor que se transfere, é necessária, a sua vez, conhecer os valores das temperaturas nas interfases entre as capas dos materiais. A seguir, explica-se o procedimento para determinar essas temperaturas intermediárias.
O procedimento se ilustra para o caso de uma parede de 3 capas:
-Para superfícies planas
1.Supor as temperaturas intermediárias calculadas pelas seguintes equações:
(2.2.1)
 (2.2.2)
2. Calcular a temperatura média para cada capa
(2.2.3)
(2.2.4)
3. Determinar a condutividade térmica dos materiais à temperatura média da capa. Os dados de condutividade de diferentes materiais se localizam em tabelas
4. Calcular q
 (2.2.5)
5. Calcular, a partir da equação de q, para cada capa:
(2.2.6)
(2.2.7)
5. Se T2nova = T2sup e T3nova = T3sup finalizar o processo de iteração, sendo esses as temperaturas das capas intermediárias. Em caso contrário, repetir desde (2.2.2), mas utilizando os valores novos de temperatura obtidos
Si se conhecem as temperaturas médias, o cálculo começa em (2.2.3) e termina em (2.2.4).
-Para superfícies cilíndricas (Se ilustra para dois capas)
1. Supor uma distribuição linear de temperatura
2. Calcular:
(2.2.8)
3. Calcular T média para cada capa
(2.2.9)
(2.2.10)
4. Determinar os valores de k de cada material à T média
5. Calcular: 
. (2.2.12)
6. Comprovar T2 sup
(2.2.13)
Se T2nueva é igual a T2 sup se termina a iteração, no contrário repetir desde (2.2.11), mas com T2 sup = T2nueva
Se as temperaturas intermediárias são conhecidas, o cálculo começa em (2.2.12) e termina em (2.2.13).
⇒Exercício
A parede de um forno (se considera de seção retangular) está composta de três capas de tijolos. A capa interior é de tijolos refratários de 0,2 m de espessura; a intermédia é de tijolo isolante de caulim de 0,3 m de espessura e a capa externa é de tijolos ordinários de 0,3 m de espessura. A temperatura na parede interna é de 1300 oC e a parede externa se mantém a 40 ºC. Determinar os valores das condutibilidades térmicas, k, do material de cada capa nas condições de trabalho., se se dispuser da seguinte informação:
Solução:
Na figura se mostra um esquema da parede com as tres capas, sendo T1 = 1300 oC e T4 = 40 oC. As temperaturas intermediárias T2 e T3 são desconhecidas, e por isso é necessário aplicar o procedimento explicado acima.
Dados: 
L1 = 0,2 m; L2 = 0,3 m; L3 = 0,3 m → LT= 0,8 m
Determinação das temperaturas intermediárias
a) Pela equação (2.2.1) e (2.2.2) se calculam as temperaturas supostas.
b) Cálculo das temperaturas médias das capas.
Pelas eqs. (2.2.3) e (2.2.4):
c) Cálculo das condutividades(por interpolação dos valores k da tabela)
-Para o tijolo refratário:
Por interpolação:
Aplicando o mesmo procedimento nas capas 2 e 3, obtem-se:
d) Cálculo da densidade do fluxo de calor que se perde para o exterior do forno.
Pela eq. (2.2.5):
e) Comprovação dos valores das temperaturas supostas.
Pelas eqs. (2.2.6) e (2.2.7):
As temperaturas novas e supostas não checam. Portanto, é necessário repetir sucessivamente o procedimento anterior, tomando os valores novos das temperaturas como supostos, até conseguir que estes chequem. Na tabela, a seguir, se mostram os valores finalmente obtidos.
⇒Mecanismos Combinados. Seus efeitos nos sistemas de transferência de calor
Na maioria das situações práticas podem ocorrer dois ou mais mecanismos de transferência de calor, atuando ao mesmo tempo. Nos problemas da engenharia, quando um dos mecanismos domina quantitativamente, soluções aproximadas podem ser obtidas desprezando-se todos, exceto o mecanismo dominante. Entretanto, deve ficar entendido 2 que variações nas condições do problema podem fazer com que um mecanismo desprezado se torne importante.
Como exemplo de um sistema, onde ocorrem ao mesmo tempo vários mecanismos de transferência de calor, se descreve o caso de uma garrafa térmica para café. Neste caso, se pode apresentar a atuação conjunta dos mecanismos esquematizados na figura (4.1.1):
q1 : convecção natural entre o café e a parede do frasco plástico
q2: condução através da parede do frasco plástico
q3 : convecção natural do frasco para o ar
q4 : convecção natural do ar para a capa plástica
q5 : radiação entre as superfícies externa do frasco e interna da capa plástica
q6 : condução através da capa plástica
q7 : convecção natural da capa plástica para o ar ambiente 
q8 : radiação entre a superfície externa da capa e as vizinhanças.
Fig. 4.1.1 mecanismos combinados de transferência de calor em uma garrafa térmica de café.
Para diminuir as perdas de calor na garrafa podem-se aplicar as seguintes condições: 
(1) uso de superfícies aluminadas (baixa emissividade) para o frasco e a capa, de modo a reduzir a radiação (q5) e 
(2) evacuação do espaço com ar para reduzir a convecção natural (q4) ainda que não se reduzam as perdas por radiação (q5) em esse espaço.
⇒Efeito dos mecanismos combinados de condução convecção
Considere a parede plana mostrada na Fig. 4.1.1.1, exposta a um fluido quente A (no lado esquerdo da parede) e a um fluido frio B (no lado direito da parede).
Fig. 4.1.1.1 Transmissão de calor por convecção entre dois fluidos separados por uma parede plana.
Neste sistema se observam três resistências ao fluxo de calor:
 1- a resistência do mecanismo de convecção no lado do fluido quente, representada pelo valor (1/h1A). 
2- a resistência do mecanismo de condução no interior da parede, representada pelo valor (kA x ).
 3- a resistência do mecanismo de convecção no lado do fluido frio, representada pelo valor (1/h2A).
O calor transferido é dado por:
(4.1.1.1)
Neste caso, pela geometria da parede, a área de transferência de calor é A = const. Portanto, a densidade de transferência de calor q é constante também.
(4.1.1.2)
Isolando e somando as diferenças de temperatura das três resistências, resulta:
 (4.1.1.3)
 (4.1.1.4)
O calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é frequentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U, definido pela relação:
 (4.1.1.5)
De acordo com a eq. (4.1.1.3), o coeficiente global de transferência de calor é:
 (4.1.1.6)
Para um tubo cilíndrico, a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos. Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede. Neste caso, o fluxo total de calor é dado por:
(4.1.1.7)
Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das superfícies interna e externa do tubo. O coeficiente global de transferência de calor pode ser baseado tanto na área interna como na externa:
 (4.1.1.8)
 (4.1.1.9)
⇒Efeito dos mecanismos combinados de convecção radiação
A transmissão de calor por condução ou convecção é proporcional à diferença de temperatura existente, enquanto a transmissão por radiação é proporcional à diferença de T 4. Por conseguinte, a última é muito mais sensível à temperatura e dominará para temperaturas altas, mas será desprezível para temperaturas baixas. Para valorar as contribuições relativas dos diversos mecanismos e ser capaz de combiná-los, precisa-se expressá-los na mesma medida. Portanto, se pode 5 expressar a transmissão por radiação em função de um coeficiente de transferência de calor fazendo
(4.1.2.1)
Onde:
 (4.1.2.2)
Considerar agora o caso mais complexo no que o calor se transfere de uma superfície 1 por convecção para um fluido a T2, mas também por radiação através do fluido «transparente» para uma superfície paralela a T3. O calor perdido pela superfície 1 vem dado pelas expressões seguintes:
 (4.1.2.3)
(4.1.2.4)
Para os fins de cálculo é necessário saber se a transferência de calor por radiação é apreciável comparada com os outros mecanismos competitivos e se precisa- se considerar em qualquer análise.
A Fig. 4.1.2.1 é útil para estimar a magnitude de hr , pois proporciona o valor do coeficiente de transmissão de calor por radiação entre duas superfícies negras ( 1 ) e paralelas (F13 = 1). Para encontrar hr, real para uma situação determinada, multiplica-se o valor de hr, fig., dado na figura, por < 1 e F13< 1, segundo a expressão seguinte:
 (4.1.2.5)
Se hr << h, conv. ignora-se a contribuição da radiação à transferência global de calor. Uma observação da figura mostra que hr, chega a ser muito grande a temperaturas altas.
Fig.4.1.2.1 Gráfico para determinar valores de hr para corpos negros.
⇒Isolamento térmico
O isolamento térmico consiste em proteger as superfícies aquecidas ou resfriadas, como a parede de um forno ou de um refrigerador, através da aplicação de materiais de baixa condutividade térmica (k).
Características de um bom isolante
 Baixo valor de k :
Quanto menor é o valor de k, menor será a espessura necessária para uma mesma capacidade isolante.
 Baixa massa específica:
 Em certas aplicações, um bom isolante deve ser leve de modo a não sobrecarregar desnecessariamente o aparelho isolado, principalmente no caso de aviões, barcos, automóveis, ou ainda no caso de fornos e de tubos ou outras partes de fábricas e edifícios onde o material terá de ficar suspenso.
 Resistência mecânica compatível com o uso:
De maneira geral, quanto maior é a resistência mecânica do material isolante, maior será o número de casos que ele poderá resolver, além do que apresentará 7 menor fragilidade, o que é conveniente nos processos de transportes e no tocante à facilidade de montagem.
 Incombustibilidade, estabilidade química e outros.
Materiais isolantes básicos
A maioria dos isolantes usados industrialmente são:
-O amianto é um mineral que possui uma estrutura fibrosa, do qual se obtém fibras individuais. O amianto de boa qualidade deve possuir fibras longas e finas e além disto, infusibilidade, resistência e flexibilidade. 
-O carbonato de magnésio é obtido do mineral "dolomita", e deve sua baixa condutividade ao grande número de microscópicas células de ar que contém. 
-A vermiculita é uma "mica" que possui a propriedade de se dilatar em um só sentido durante o aquecimento. O ar aprisionado em bolsas entre as camadas de mica torna este material um bom isolante térmico.
 -A lã de rocha ou lã mineral, assim como a lã de vidro, são obtidas fundindo minerais de sílica em um forno e vertendo a massa fundida em um jato de vapor a grande velocidade. O produto resultante, parecido com a lã, é quimicamente inerte e incombustível, e apresenta baixa condutividade térmica devido aos espaços com ar entre as fibras.
 -A cortiça é proveniente de uma casca de uma árvore e apresenta uma estrutura celular com ar encerrado entre as células.
 -Os plásticos expandidos são essencialmente poliestireno expandidoe poliuretano expandido que são produzidos destas matérias plásticas, as quais durante a fabricação sofrem uma expansão com formação de bolhas internas microscópicas.
⇒Cálculo de espessuras de isolantes
O cálculo leva em conta as limitações de temperatura e questões econômicas:
 Limitação da Temperatura
Tanto externamente (caso de um forno no qual a temperatura externa não deve ser maior da aquela que causa queimaduras nos trabalhadores) quanto interiormente (como em um recinto onde devemos ter a temperatura superior à de orvalho, de modo a evitar a condensação e gotejamento de água), o cálculo da espessura isolante poderá ser feito fixando as temperaturas envolvidas e calculando a espessura isolante necessária.
Como exemplo, o cálculo da espessura isolante Li de um forno, pode ser feito considerando que a temperatura T4 da superfície é fixada por razões de segurança. Conhecendo-se as temperaturas dos ambientes e os coeficientes de película dos ambientes interno e externo e ainda as condutividades térmicas dos materiais das paredes, o cálculo pode ser feito como mostrado na equação 4.2.3.1. Considerando as resistências térmicas entre T1 e T4 e entre T4 e Tar, obtém-se as seguintes expressões para o fluxo de calor:
 (4.2.3.1)
Fig. 4.2.3.1 Esquema da parede de um forno coberto por uma capa de isolante de espessura Li.
 Espessura isolante mais econômica:
 À medida que se aumenta a espessura de isolante de qualquer superfície, o regime de perda de calor da superfície diminui, porém, aumenta em contraposição o custo do isolamento.
A espessura mais econômica do isolamento é aquela para a qual a soma do custo anual da perda de calor e do custo anual do isolamento, seja mínima
O processo de cálculo consiste em determinar as quantidades de calor perdidas considerando a aplicação de várias espessuras de isolamento, obtendo-se a quantidade de calor anual, considerando o tempo de utilização do equipamento. Os resultados apresentam-se em um gráfico, tendo em abscissa a espessura do isolamento e em ordenadas o custo anual, obtém-se uma curva decrescente para o custo do calor perdido, e uma curva ascendente para o custo do isolamento. A espessura ótima do isolante é aquela que apresenta um custo total (custo do calor perdido + custo do isolante) mínimo, como pode ser observado na figura 4.2.3.2.
Fig. 4.2.3.2 Esquema da curva de custo total da espessura do isolante
 Isolamento de tubos. Conceito de raio crítico
O aumento da espessura isolante de paredes cilíndricas de pequenos diâmetros nem sempre leva a uma redução da transferência de calor, podendo até mesmo a vir aumentá-la. Vejamos a expressão para o fluxo de calor através de uma parede cilíndrica, de comprimento L, composta pela parede de um tubo metálico e de uma camada isolante, como pode ser visto na figura 4.2.3.3.
Fig. 4.2.3.3 Seção de um tubo isolado de pequeno diâmetro
Considerando as quatro resistências térmicas entre Ti e Tar (duas a convecção e duas a condução), a expressão para o fluxo de calor é:
(4.2.3.2)
A área interna e externa da parede cilíndrica depende dos raios r1 e r2, portanto:
(4.2.3.3)
Observando a eq. (4.2.3.3), se pode analisar o efeito do aumento da espessura do isolante (ou seja, aumento do raio r3 na Figura 4.2.3.3) nas resistências térmicas. A tabela 4.2.3.1 sintetiza o efeito do aumento de r3 em cada resistência.
A representação gráfica da variação de cada resistência e do fluxo de calor resultante em função do aumento da espessura isolante (aumento de r3) é mostrada na figura 4.2.3.4:
Fig. 4.2.3.4 Efeito do aumento da espessura do isolante sobre as resistências e sobre o fluxo de calor resultante.
Na figura se observa que existe um raio que propicia um fluxo de calor maior inclusive do que sem nenhum isolamento. Este é o raio crítico (rc), que só depende de kiso e de har. Este raio crítico é comumente usado para o cálculo de condutores elétricos e isolamentos de tubos. De uma maneira geral, é desejável manter o raio crítico o menor possível tal que a aplicação da isolação resultará em redução da perda de calor. Isto pode ser conseguido utilizando-se uma isolação de baixa condutividade térmica, tal que o raio crítico seja pouco maior, igual ou até mesmo menor que o raio do tubo.
A Fig. 4.2.3.5 ilustra:
 (a) a situação onde o raio crítico é igual ao raio do tubo.
 (b) a situação onde o raio crítico é menor que o raio do tubo
Fig. 4.2.3.5 Efeito sobre o fluxo de calor do valor do raio crítico, comparando este com o valor do raio exterior do tubo.
Cálculo do raio crítico 
Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo circular, como mostrado na Fig. 4.2.3.3. A temperatura interna do isolamento é fixada em T2 , e a superfície externa troca calor com o ambiente a Te . Tar O calor transferido para o exterior vem dado por:
(4.2.1)
Agora se manipula esta expressão para determinar o raio externo de isolamento re que irá maximizar a transferência de calor. A condição de máximo é:
(4.2.2)
Que fornece como resultado:
 (4.2.3)
A equação (4.2.3) expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo for menor que o valor dado por esta equação, então a transferência de calor será aumentada com a colocação de mais isolante, porque isto aumenta a superfície externa do isolamento. Considere que a temperatura da superfície externa de um tubo a ser isolado seja fixada em Ts, enquanto a temperatura no ambiente externo é Tar. Neste caso, a resistência do filme interior e o metal do tubo são desprezíveis respeito à resistência do isolante e a resistência do filme de ar. Então a equação 4.3 pode ser colocada na seguinte forma:
 ( eq. 4.4 )
A condição para que o fluxo de calor expresso pela equação 4.4 seja máximo é:
 o que ocorre quando R é mínima, ou 
. ( eq. 4.5 )
Neste caso, temos que o raio r3 é igual ao raio crítico ( rcr ). Através s de alguma manipulação a equação 4.5 pode ser colocada na seguinte forma:
;lembrando que :
(eq. 4.6 )
Da equação 4.6 obtemos que:
 (eq. 4.7 )
A expressão para o raio crítico fica assim:
 (eq. 4.8 )
A equação 4.8 expressa o conceito de raio crítico de isolamento. Se o raio externo do isolante (r3) for menor que o valor dado pela equação, então a 13 transferência de calor será elevada com a colocação de mais isolante. Para raios externos maiores que o valor crítico, um aumento da espessura isolante causará um decréscimo da transferência de calor. O conceito central é que para valores de coeficiente de película (h) constantes, quanto menor o valor de condutividade térmica do isolante (kiso), ou seja, quanto melhor o isolante utilizado, menor o raio crítico. Deve também ser ressaltado que para valores de har e kiso normalmente encontrados nas aplicações mais comuns o raio crítico é pequeno. Portanto, somente tubos de pequeno diâmetro serão afetadas.
Este raio crítico é comumente usado para o cálculo de condutores elétricos, em que se quer isolamento elétrico e, ao mesmo tempo, uma maior dissipação do calor gerado. Neste caso, se deve trabalhar com → 
No caso de isolamento de tubos de pequeno diâmetro, de uma maneira geral, é desejável manter o raio crítico o menor possível, tal que a aplicação da isolação resultará em redução da perda de calor →