Teorema de Bayes

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APLICAÇÃO DO TEOREMA DE BAYES NA ANÁLISE DE QUALIDADE DE PRODUTOS FABRICADOS
José Fernando Belíssimo Araujo¹
Lilian Branco ²
	
RESUMO
A proposta deste trabalho foi desenvolver uma aplicação sobre o estudo das Probabilidades: O Teorema de Bayes, onde esta ferramenta eminentemente teórica é utilizada para verificação da qualidade dos processos produtivos de uma indústria manufatureira. Partimos de um estudo bibliográfico, onde fundamentamos a exploração teórica, e concluímos com a apresentação de um estudo de caso, utilizando técnicas que podem ser desenvolvidas com os conhecimentos oriundos do ensino médio brasileiro.
Palavras-chave: Matemática, probabilidade, estatística, teorema de Bayes. 
1. INTRODUÇÃO
Conforme Crespo (2002): “A matemática, que é considerada a ciência que une a clareza do raciocínio a síntese da linguagem, originou-se do convívio social, das trocas, da contagem com caráter prático, utilitário, empírico...”. A matemática, que está inserida de forma onipresente em tudo aquilo que relacionamos a ciência, assemelhasse a um “arranha céu” colossal, com centenas de andares e salas, cada qual com uma aplicação. Álgebra, Cálculo, Geometria, Estatística, enfim, cada “pavimento” com suas respectivas divisórias.
Ainda por Crespo (2002, p. 11): 
 A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas[...] No século XVIII tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feição verdadeiramente científicas. Godofredo Achenwall batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando seus objetivos e suas relações com as ciências[...] As tabelas se tornaram mais completas, surgiram as representações gráficas e o cálculo das Probabilidades, e a Estatística deixou de ser simples catalogação de dados numéricos coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusão sobre o todo (população), partindo de observações de partes deste todo (amostras) (CRESPO, 2002, p. 11). 
 
O nascedouro da Análise Combinatória e das teorias dos cálculos de probabilidade descendem de Blaise Pascal e Pierre de Fermat, quando observavam eventos relacionados aos possíveis resultados do jogo de dados.
Neste trabalho exploraremos um pouco o estudo da probabilidade, que quando relacionada a estatística, é um ramo da matemática aplicada que nos permite estudar e prever a possibilidade de resultados de fenômenos aleatórios, sem que para os quais conheçamos todas as variáveis envolvidas. Podemos, por exemplo, afirmar que quanto maior o tempo desde a última ocorrência de um evento mais próxima está a possibilidade do seu acontecimento.
Nosso foco principal é o Teorema de Bayes, que relaciona, conforme Schmitt (2013, p. 52), a probabilidade de ocorrer um evento posterior à probabilidade de um evento anterior ter ocorrido, sobre o qual apresentaremos, a seguir, uma aplicação prática do cotidiano: “Análise de Falhas de uma linha de produção”.
Este conteúdo é direcionado aos estudantes de ensino médio e técnico na disciplina de matemática.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Com relação ao ensino da Matemática, este deve ser visto como valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como para a atividade profissional. (BRASIL, 2000). 
Vejamos o pensamento, a respeito do ensino da matemática, defendido por Colledan (2019, p. 7): 
 A matemática está presente no processo educativo para contribuir com o desenvolvimento integral dos alunos, objetivando as perspectivas de assumir os desafios do século XXI. A mesma tem papel extremamente formativo, pois sendo uma ciência que a partir de noções fundamentais constrói teorias que utilizam apenas o raciocínio lógico, contribui para o desenvolvimento do pensamento dedutivo, permitindo formar sujeitos capazes de observar, analisar e raciocinar, haja vista sua proliferação que, apesar de sua variada interpretação, posto que, dependendo da metodologia com a qual se aplica o ensino; não satisfaz necessariamente todas as culturas, está presente em todas áreas da vida (COLLEDAN, 2019, p. 7). 
Parafraseando Devis Poisson (1781-1840): “A vida é boa por duas coisas: descobrir Matemática e ensinar Matemática...”, esse prazer também pode ser encontrado no estudo da “Teoria das Probabilidades” uma das partes da matemática, onde observamos fenômenos aleatórios em situações onde é possível elaborar uma previsão dos resultados.
A Probabilidade faz parte do estudo das aplicações da matemática, na qual a chance de ocorrência de um evento pode ser calculada. A humanidade sempre manifestou fascínio por previsões, do esoterismo à ciência, desde épocas que remontam do alvorecer da civilização o conhecimento de fenômenos que viabilizam um determinado grau de possibilidades, fez surgir o estudo matemático da Probabilidade, palavra que, segundo Morgado (2014), deriva do Latim probare (provar ou testar).
Conforme Meyer (2000, p. 12):
A importância da teoria da Probabilidade é difícil de se exagerar. O modelo matemático apropriado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis é mais um modelo probabilístico do que um determinístico. Além disso, todo o estudo da Inferência Estatística é baseado em considerações probabilísticas. Técnicas estatísticas estão entre as mais importantes ferramentas dos cientistas e engenheiros. A fim de empregar inteligentemente essas técnicas, um profundo conhecimento dos conceitos probabilísticos é exigido, (MEYER, 2000, p. 12). 
O Teorema de Bayes, objeto do estudo deste trabalho, foi elaborado por Thomas Bayes, matemático e pastor presbiteriano, nascido em Londres (1701) e falecido em Tunbridge Wells (1761) e, conforme SILVA (2016), pode ser apresentado da seguinte forma: “ Sejam A e B dois eventos arbitrários com P(A)>0 e P(B)>0. Então: 
FIGURA 1 – Teorema de Bayes
 
FONTE: Silva (2016)
FIGURA 1 – Thomas Bayes
FONTE: Wilkipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes em 06/04/2020, 16h00min)
A visão de Bayes, mais tarde utilizada na elaboração das teorias da Mecânica Quântica, o resultado de um evento é carregado de uma parcela de subjetividade, isto é, os resultados de uma previsão são influenciados pela opinião de quem manipula os dados.
FIGURA 2 – Fórmula do Teorema de Bayes
FONTE: Acinit (2016)
A seguir apresentaremos um exemplo, sugerido por Schimit (2013), de uma aplicação prática do Teorema de Bayes:
Imagine que você está diante de duas urnas. Uma urna (U1) contém 4 bolas amarelas e 3 pretas. Uma segunda urna (U2) contém 6 bolas amarelas e 2 pretas. Escolhe-se uma urna ao acaso e dela se retira uma bola ao acaso, verificando que ela é amarela. Qual é a probabilidade de ela ter vindo da urna U1?.(SCHMIT, 2016, p. 53). 
Ainda conforme Schmit (2016), vejamos a resolução:
	Lembrando que existem duas urnas, considere A o evento: sair bola amarela. - A probabilidade de escolher uma das urnas é 1/2. P(U1) = P(U2) = 1/2. - A probabilidade de sair bola amarela, dado que se escolheu a U1, é 4/7. P(A/ U1) = 4/7 - A probabilidade de sair bola amarela, dado que se escolheu a U2, é 6/8. P(A/U2) = 6/8 = 3/4 Você quer saber a probabilidade de a bola ter vindo da U1, dado que saiu uma bola amarela, ou seja, P(U1/A) = ?
 Aplique o Teorema de Bayes:
Como a probabilidade de escolher as urnas é igual, a probabilidade de a bola sorteada ter saído da U2 é maior que a probabilidade de ela ter saído da U1, pois a P(A/U2) é maior que a P(A/U1). (SCHMIT, 2016, p. 53). 
A seguir apresentaremos um estudo de caso realizado sobre a taxa de falhas dos produtos fabricados, durante um mês, por uma indústria onde, com a utilização do Teorema de Bayes, obteremos informações sobre a qualidade do material fabricado.
	
3. METODOLOGIA
Este trabalho foi realizado a partir da análise das falhas da produção de uma indústria eletrônica, com 208 funcionários, cujoprincipais produtos são amplificadores para áudio automotivo. A verificação foi realizada em duas linhas de amplificadores: Linha Nano e Linha EVO. A proposta consistia em avaliar a qualidade dos referidos produtos, para determinar a probabilidade de falhas de qualquer um deles em relação a produção mensal.
Inicialmente foi feita uma investigação da quantidade produzida de cada parte, identificando a quantidade relativa em relação a produção total e a taxa de falhas individual de cada modelo, na intenção de estudar a criticidade da produção.
A partir do Teorema de Bayes, que define uma fórmula para o cálculo de probabilidade condicional, executaremos o equacionamento matemático para demonstrar os objetivos desse estudo. 
 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
A análise da qualidade de produtos fabricados fornece informações inestimáveis saúde econômica de uma indústria, uma vez que oferece indicadores que, em última análise, informa quanto do material produzido pode, efetivamente, ser enviado a comercialização, determinando, entre outros fatores, o custo efetivo de produção.
A tabela abaixo apresenta os dados da produção de cada linha em relação ao mês de fevereiro de 2020:
	TABELA 1 – Dados Produtivos – Fevereiro 2020
	LINHA
	PRODUÇÃO
	PEÇAS COM FALHA
	TX. PROD. (ABSO.)
	TX. FALHA (ABSO.)
	% PRODUÇÃO
	% FALHAS
	NANO
	6849
	877
	0,73267009
	0,12804789
	73,27%
	12,80%
	EVO
	2499
	394
	0,26732991
	0,157663065
	26,73%
	15,77%
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	PRODUÇÃO TOTAL
	9348
	
	
	
	
	
	PORDUTOS COM FALHA
	1271
	
	
	
	
	
	TAXA FALHAS (ABSLUTO)
	0,13596491
	
	
	
	
	
	TAXA DE FALHA (%)
	13,596%
	
	
	
	
	
FONTE: Elaborado pelo autor (2020)
	
Definiremos as variáveis como: 
P1: Taxa de produção Linha NANO
P2: Taxa de Produção Linha EVO
f1: Taxa de falhas Linha NANO
f2: Taxa de falhas Linha EVO
Primeiramente apresentaremos o cálculo da probabilidade total de falhas das duas linhas de produtos:
P(A) = P(A/P1) x f1 + P(A/P2) x f2
P(A) = 0,7327x0,1280 + 0,2673x0,1577
P(A) = 0,1360.
A seguir aplicaremos o Teorema de Bayes (Figura 1) para que possamos calcular a probabilidade de um determinado modelo de produto apresentar uma falha, no momento que uma falha seja identificada em produção:
Onde: = Probabilidade de que, caso uma falha seja encontrada, ela seja referente ao produto da linha NANO;
 = Probabilidade de que, caso uma falha seja encontrada, ela seja referente ao produto da linha EVO;
 Conforme os valores encontrados, podemos concluir que, se uma falha for identificada na produção temos cerca de 69% de probabilidade que o produto defeituoso seja da linha NANO e cerca de 31% de probabilidade que o produto defeituoso seja da linha EVO. Além disso também podemos concluir que a probabilidade de encontrarmos uma falha de produção é de, aproximadamente, 13,6%, valor próximo da taxa de falhas de cada um dos produtos, o que indica que ambas linhas possuem um comportamento semelhante em relação a qualidade e que, possivelmente, os problemas dos produtos podem, inicialmente, possuir causas semelhantes.
5. CONCLUSÃO
As ciências não são independentes, existe uma correspondência entre todas, uma vez que, por exemplo, a teoria “A” de uma certa ciência, não pode se opor a teoria “B”, de outra ciência, sob pena de, pelo menos, uma das duas não ser correta.
Neste momento surge a Matemática, como ponto de encontro de todas as outras ciências. Com a matemática criamos modelos que apresentam teoricamente o que podemos comprovar na prática, pois, conforme Freire (1985, p. 28): “Se é uma ciência da globalidade, deve ser da globalidade, isto é, dos dois mundos, e procurar uni-los através da prática e da teoria. Em termos atuais, equivaleria a superar a separação entre a teoria e a prática, entre o rigor e a ingenuidade”.
Este trabalho apresenta uma aplicação da Teoria das Probabilidades, onde a matemática, de forma significativista, transcende a sala de aula e vai ao “chão” de fábrica. 
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEB, 2000.
COLLEDAN, Ana Paula. Ensinando a Matemática Através de Jogos: Contribuições dos jogos para o ensino da matemática. 2019. Trabalho de conclusão de curso (Graduação) - Instituto Superior de Educação Ateneu. 2019. https://www.academia.edu/39458807/TCC_- _Ana_Paula_Colledan?auto=download em 18/11/2019, 9h00min
CRESPO, A. A., Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2002.
FREIRE, PAULO. Por uma Pedagogia da Pergunta. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1985.
SILVA, André Luis Beltrão. PROBABILIDADE NO ENSINO MÉDIO E SUAS APLICAÇÕES NO COTIDIANO, 2016, Dissertação de Mestrado – UNIFAP. https://www2.unifap.br/matematica/files/2017/07/PROBABILIDADE-NO-ENSINO-M%C3%89DIO-E-SUAS-APLICA%C3%87%C3%95ES-NO-COTIDIANO.pdf em 09/03/2020, 19h45min
SCHMIT, Ana Luisa Fantini. Probabilidade e Estatística. Indaial: UNIASSELVI, 2013.
1 Nome dos acadêmicos
2 Nome do Professor tutor externo
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI - Curso (MAD113) – Prática do Módulo I - 24/06/19