P2 - 2012.2 - Turma A

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Segunda prova – turma A 16/10/2012 
1a Questão (2,5 pontos) 
Um eixo está submetido a um torque que varia trecho a trecho ao longo de seu comprimento, conforme 
representado na figura abaixo. O eixo se compõe de três tubos concêntricos: o mais longo é feito de um 
material A (módulo de elasticidade GA) e tem raio r1; o tubo intermediário é feito de um material B 
(módulo de elasticidade GB), tem raio r1 e espessura t << r1; o tubo mais curto é feito de um material C 
(módulo de elasticidade GC) e tem raio interno r1 e externo r2. Calcular: 
a) as tensões de cisalhamento 
máximas a que cada material está 
submetido e em que trechos atuam 
estas tensões; 
b) a rotação sofrida pela extremidade 
do eixo em relação ao seu engaste, 
indicando também o sentido da 
rotação. 
 



d2
)(
),(
)(
0
3


xr
G
GxT
x Para tubo de parede fina: 
32J r t 
0 ( )
3
0 0
( )
2 d
r x
T x
dx
G
 
  





 



 
 
Solução: 
Diagrama de torque que age sobre o eixo composto: 
 
 
 
 
Tubo A: 241rJ A  Tubo B: trJB
3
12 Tubo C:   24142 rrJC   
a) 1 1 1 1 1
2 3 3
máximo , , máximo ,A A A Amáx
A A B B C C A A B B A A A B B A
G r G r r G r r
G J G J G J G J G J J G J G J J

   
    
     
T T T T T
 ou no segundo 
ou no terceiro trecho 
1 1 12 3 3máximo ,B B B Bmáx
A A B B C C A A B B A A B B
G r G r G r
G J G J G J G J G J G J G J

 
  
    
T T T
 no segundo trecho 
22C C
máx
A A B B C C
G r
G J G J G J
 
 
T
 no primeiro trecho 
b) 
0
2 3 3 3 3
A A B B C C A A B B A AG J G J G J G J G J G J
 

   
  
T T T

  
 no sentido do torque aplicado na extremidade 
T
2r
1r
2T
3 33
5T
1rt Bmat Cmat 
Amat 
T
3T
2 T
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2a Questão (2,5 pontos) 
Um eixo está submetido a torção, conforme mostrado na Figura, para T = 10 kNm. O trecho AB tem 
seção transversal quadrada cheia, de lado d = 0,1 m. O trecho BC tem seção transversal quadrada de 
parede fina, de lado d = 0,1 m e espessura t = 0,001 m. O módulo de elasticidade transversal do 
material é G = 80GPa. Calcular: 
a) a rotação da seção C em relação à seção A; 
b) a máxima tensão de cisalhamento no tubo. 
 
 
Fórmulas para eixo de seção transversal retangular: 
 
2ab

T
máx 
G3ab
L


T
 
 
Tabela para obtenção dos coeficientes  e  
a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0  
 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333 
 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333 
Fórmulas para eixo de seção transversal de parede fina: 
t2Am
T
 , dx
t
ds
G4A
d
mC
2
m



T
 
Solução: 
Tem-se por equilíbrio um torque de 6T aplicado ao trecho AB e de T aplicado ao trecho BC. O trecho 
AB tem seção transversal quadrada cheia, portanto de lados a = b = d. Obtém-se para a/b = 1 na tabela 
que 208,0 e 141,0 . O trecho BC tem seção transversal quadrada de parede fina, de lado d = 
0,1 m, espessura t = 0,001 m, perímetro mdCm 4,04  e área compreendida pelo perímetro 
22 01,0 mdAm  . 
a) Rotação da seção C em relação à seção A: 
t
d
GdG
BCABAC
4
4
3
d
6
44 

 TT

 
radAC 42819,0375,005319,0
001,0
1,04
10801,04
131010
10801,0,1410
110106
94
3
94
3







 
b) Tensão máxima no trecho AB: MPa462,288
1,0,2080
10106
d
6
3
3
3







T
 
 Tensão no trecho BC: MPa
t
500
001,01,02
1010
d2 2
3
2




T
 MPamáx 500 
 
m1 m33 
CBA
TT5
mt 001,0
md 1,0
máx 
T T 
a 
b 
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3a Questão (2,5 pontos) 
Um tubo de parede fina ( )t a tem seção elíptica de semi-eixos a=2,95 e b = 1,15 (unidades de 
comprimento), conforme ilustrado. Compare a eficiência deste tubo, em termos da tensão máxima máx 
que ocorre no tubo e da rotação d dx entre seções, quando da aplicação de 
um torque, em relação a um outro de seção transversal circular de mesma 
área transversal e mesma espessura de parede ( )t r , ou seja, feito com a 
mesma quantidade de material. 
A área de uma elipse é mA ab e sua circunferência é aproximadamente 
3( ) (3 )( 3 )mC a b a b a b        (fórmula de Ramanujan). 
Fórmulas relativas ao torque de um tubo de parede fina: 
m
T
2A t
  
m
2
Cm
T ds
d dx
4A G t





 
Solução: 
 
Como o tubo circular e o tubo elíptico têm a mesma área de seção transversal (mesma quantidade de 
material), 2 mrt C t  . Para os valores atribuídos, 2,95a  e 1,15b  , obtém-se 
3( ) (3 )( 3 ) 4,3mC a b a b a b         e, portanto, 2 4,3 2,15.r r    
Tem-se para a tensão na seção elíptica: 
2 2 2
2
2,15
1,36
2 2 2 2,95 1,15
el c c c
m
T T T r r
A t abt r t ab ab
   
 
     

 
Tem-se para a rotação entre duas seções do tubo elíptico: 
4 4
2 2 2 2 3 2 2 2 2
2,15
4,3 1,86
4 4 2 2,95 2,15
m
el c c
Cm
d d dT ds T T r
dx A G t a b Gt r Gt a b dx dx
  

 




    

 
já que, para o círculo, 
22
c
T
r t


 e 
32
cd T
dx r Gt


 . 
Portanto, o tubo de seção transversal elíptica apresenta tensão de cisalhamento cerca de 36% maior e 
rotação entre seções cerca de 86% maior que no tubo de seção transversal circular. 
 
2a 
2b 
t 
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4a Questão (2,5 pontos) 
Um ventilador de teto comum tem uma potência de 1/6 hp e gira a uma velocidade de 420 rpm. Ele é 
sustentado por um tubo de PVC de raio externo r = 8 mm e espessura t = 1 mm. Calcular com que 
coeficiente de segurança o tubo está trabalhando, sabendo que a tensão máxima de cisalhamento a que 
o tubo de PVC deve resistir é 55 MPa. 
Relação entre a potência (P) de um motor e o torque transmitido: P=2 Tn , em que n é a rotação do 
eixo (sistema internacional de unidades). Tem-se também que 1 hp = 745,7 W. 



d2
)(
),(
)(
0
3


xr
G
GxT
x 
Solução: 
Torque transmitido pelo motor do ventilador: 
P 1/6 745,7
T= 2,83
2 2 420 / 60
NM
n 

  
Tensão máxima aplicada ao tubo: 
 4 4
2,83 0,008
8, 49
/ 2 0,008 0,007
máx Pa MPa


 

 
Coeficiente de segurança: 
55
6,5
8,49
adm
máx


  
 
 
 
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