fisica experimental

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A FÍSICA ATRAVÉS DE
EXPERIMENTOS
Volume I
Mecânica
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Jucimar Peruzzo
A FÍSICA ATRAVÉS DE
EXPERIMENTOS
Volume I
Mecânica
1ª edição
Irani, SC
Edição do Autor
2013
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Copyright © 2013 by Jucimar Peruzzo
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida
ou transmitida, por qualquer meio eletrônico, mecânico, fotográfico, gravação, etc.,
sem a autorização prévia do autor.
Impresso no Brasil
Printed in Brazil
Ficha Catalográfica
Peruzzo, Jucimar
A Física Através de Experimentos: Mecânica. V.I / Jucimar Peruzzo.
Irani (SC): 2013.
354p.
Bibliografia
1. Física Geral. 2. Física Experimental. 3. Experimentos de
Física. 4. Laboratório de Física. I. Título.
ISBN: 978-85-913398-7-7 CDD: 530
Editor: Jucimar Peruzzo
E.E.B. Dom Felício C. C. Vasconcelos
E.E.B. Isabel da Silva Telles
Irani / SC
e-mail: jucimarperuzzo@yahoo.com.br
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Dedico este livro a todos os colegas professores da educação básica que,
mesmo diante das inúmeras dificuldades enfrentadas no dia a dia, não
deixam de acreditar no imenso poder revolucionário da educação.
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A vida é o mais engenhoso dos fenômenos.
Machado de Assis
Creio que o principal objetivo da educação deve ser encorajar os jovens a
duvidarem de tudo aquilo que se considera estabelecido.
Bertrand Russel
A vida esconde nos lugares mais simples sua grande beleza que revela qual
o significado de porque persistimos em continuar vivendo.
Pablo Neruda
A coisa importante é não parar de questionar.
A curiosidade tem suas próprias razões para existir.
Albert Einstein
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Prefácio
Desde o início de sua existência o ser humano busca respostas para expli-
car e compreender os fenômenos da natureza. Inicialmente suas causas foram
atribuídas à vontade dos deuses. No entanto, com o tempo, ele foi procurando
entender os fenômenos de maneira racional.
Embora os fenômenos físicos e suas tentativas de compreensão remon-
tem à antiguidade, a física como ciência, de modo como a conhecemos atu-
almente, surgiu no século XIX. Nesse período e nos séculos anteriores houve
um grande desenvolvimento científico, o que fez com que as ciências naturais
se dividissem em física, química, biologia, entre outras.
O objetivo da física é compreender os fenômenos mais elementares da
natureza. Neste caso, elementar significa mais básico, mas não, necessaria-
mente mais simples. A física estuda fenômenos que vão desde as partículas
constituintes do átomo até grandes estruturas no universo, como as galáxias,
ou o próprio universo como um todo. Muitos fenômenos são tão complexos
que a física não consegue estudá-los individualmente e utiliza-se de aproxi-
mações estatísticas para isso.
A física é muitas vezes considerada uma ciência abstrata, que explica os
fenômenos que ocorrem somente em laboratórios. No entanto, estamos ro-
deados de fenômenos físicos na natureza e cada vez mais na vida quotidiana
altamente tecnológica. Na sociedade contemporânea o conhecimento cientí-
fico é cada vez mais valorizado, devido principalmente à crescente influência
que a tecnologia exerce no dia-a-dia humano. Por isso, é inconcebível que na
educação formal atual o aluno fique excluído do saber científico.
Nos últimos anos a escola tem sido criticada pela baixa qualidade do seu
ensino, não conseguindo preparar os estudantes para o mercado de trabalho
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e para a universidade. As aulas de ciências, e em especial as de física, estão
muito aquém do ideal. Os resultados quanto à aprendizagem pelos alunos,
em sua grande maioria, não são nada animadores. O desempenho é baixo e
há pouco interesse em entendê-la. Os professores reclamam do desinteresse
dos estudantes e estes, em grande maioria, se referem às aulas de física como
sendo chatas, conduzidas por profissionais despreparados e que ficam falando
de coisas totalmente abstratas, coisas estas que não lhes atraem.
No ensino de física em nível médio constata-se que as atividades expe-
rimentais são raramente utilizadas pela maioria dos professores. Ao tentar
entender o porquê disso, encontramos diversas justificativas, tais como: falta
de atividades preparadas, pouco tempo para o professor planejar e montar ex-
perimentos, recursos insuficientes para reposição e compra de equipamentos
e materiais de laboratório, número excessivo de alunos por sala, despreparo
do docente, etc. Diante dessa situação começamos a entender o motivo das
deficiências existentes no ensino em física e na aprendizagem em geral.
Diversas pesquisas têm sido feitas a respeito do uso de experimentos no
ensino de física. Segundo elas, o ensino centrado nos conceitos teóricos, sem
incluir situações reais, torna a disciplina desmotivante e chata para o aluno.
Nesse sentido, a atividade experimental vem como uma importante ferra-
menta pedagógica, apropriada para despertar o interesse dos alunos, cativá-
los para os temas propostos pelos professores e capaz de ampliar a capacidade
para a aprendizagem.
As ciências naturais têm em sua base a experimentação. Os fenômenos
são explicados e as teorias somente têm êxito pleno se a experiência as con-
firmarem. A física, componente desse grupo de ciências, exerce um papel
muito importante no mundo atual. Ela participa do desenvolvimento cien-
tífico e tecnológico com importantes contribuições, cujas decorrências têm
alcance econômico, social e político imensos.
Apesar de conter aspectos filosóficos, teóricos e matemáticos, a física é
essencialmente uma ciência experimental. Portanto, a realização de experi-
ências é uma parte essencial para o ensino de física. O uso de atividades
experimentais como estratégia de ensino tem sido apontada como uma das
maneiras mais frutíferas de se minimizar as dificuldades de aprender e de
se ensinar física de modo significativo e consistente. Deve-se criar oportu-
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nidades para que o ensino experimental e o ensino teórico se efetuem em
concordância.
No entanto, as dificuldades para a prática de atividades experimentais em
sala de aula são muitas, como foi comentado anteriormente. Muitos profes-
sores até tentam enfrentar esses problemas improvisando aulas práticas e de-
monstrações com materiais improvisados. Alguns acabam tendo êxito, mas
a grande maioria acaba cansando diante do grande trabalho e dos resultados
insatisfatórios obtidos.
Com o objetivo de contribuir para a melhoria no ensino de física, enfa-
tizando as atividades experimentais, foi desenvolvido este livro, com cerca
de 160 experimentos propostos, o qual é destinado à estudantes de física (em
nível médio e superior), ao público em geral e principalmente aos professo-
res de ciências e física. O livro A Física através de Experimentos é dividido
em 3 volumes: volume I, que aborda experimentos de mecânica; volume II,
que contém experimentos de termodinâmica, ondulatória e óptica e; volume
III, que possui experimentos de eletromagnetismo, física moderna e ciências
espaciais.
Os experimentos aqui apresentados utilizam materiais, em sua maioria
simples e de fácil obtenção. Além disso, eles não necessitam de um ambiente
próprio para serem realizadas, podendo serem efetuados na própria sala de
aula (se tiver uma sala ou laboratório próprio, melhor).
Ao descrever cada experimento procurou-se fazer um roteiro mais aberto,
mas que possa ser compreendido, de modo que cada experimentador elabore
e ajuste certos detalhes à seu critério. Na maioria das vezes pode-se obter
resultados semelhantes montando o experimento de uma outra forma, utili-
zando materiais diferentes dos citados. A idéia é essa mesma, pois a ver-
dadeira experimentação se realiza dessa forma, e não seguindo roteiros do
tipo "receita pronta". Em alguns experimentos quantitativos foram coloca-
dos dados numéricos de experimentos realizados pelo autor, para facilitar a
compreensão do mesmopor parte do leitor.
Os experimentos aqui descritos são baseado em livros, sites e artigos ci-
entíficos, os quais estão listados nas referências, e foram aprimorados pelo
autor (ao seu gosto) em sua prática docente em diversos anos, muitos deles
com a ajuda de seus alunos. Evitou-se a apresentação de experimentos mais
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complexos e trabalhosos de se realizarem, pois isso certamente dificultaria a
sua execução em sala de aula, principalmente devido ao grande tempo que
seria gasto para isso.
Em muitos livros e manuais de experimentos existentes atualmente, está
descrita a montagem do experimento, mas que nem sempre é seguida do que
ocorre e o porquê de tais acontecimentos. Isso, muitas vezes, acaba afu-
gentando o experimentador do desafio de estar realizando ou propondo tal
experimento. Por isso, neste livro, em todos os experimentos procurou-se fa-
zer uma análise detalhada dos fenômenos ocorridos e dos resultados obtidos,
para que o leitor possa ter mais confiança na sua prática. No entanto, inici-
almente induz-se o leitor à uma realização própria do experimento, de modo
que ele obtenha resultados, desenvolva uma análise e tire as suas conclusões.
Com poucas exceções, os experimentos propostos visam descrever e ilus-
trar fenômenos e leis físicas, sem importar-se muito com as aplicações práti-
cas. Neles procurou-se não dar muito ênfase nos procedimentos matemáticos,
mas sim, estabelecer relações de caráter qualitativo e semi-qualitativo. Algu-
mas incursões matemáticas desenvolvidas em alguns experimentos quantita-
tivos são próprias do autor deste livro, o que não quer dizer que seja a única
ou a melhor. Por isso, é importante um empenho do leitor e do professor para
a utilização de outras fontes bibliográficas e a dedicação para criar variantes
dos experimentos aqui propostos bem como o de novos, com o objetivo de
criar o "seu experimento".
Espera-se que o livro não contenha experimentos que possa comprometer
a realização da prática experimental. Isso porque é comum que a decepção
com um experimento que não funcionou adequadamente possa levar o ex-
perimentador a perder o interesse por esse tipo de atividade. Além disso,
salienta-se que, muitas vezes a investigação de um experimento que não "deu
certo"pode ser muito mais rica para o processo de ensino-aprendizagem do
que o experimento perfeito. É recomendável que o professor sempre faça o
experimento antes de levá-lo para sala de aula ou propô-lo para os alunos.
Alguns imprevistos ou detalhes mínimos podem comprometer o seu êxito.
As atividades experimentais favorecem o despertar para o maravilhoso
mundo da ciência e suas aplicações. Ter interesse e dedicar tempo a esse
trabalho é uma aventura muito emocionante. As aulas práticas certamente
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vão despertar a atenção dos alunos e fazê-los compreender melhor os porquês
das coisas, além de desenvolver um pensamento questionador e crítico.
Não aceitar a importância no ensino das aulas experimentais significa
destituir o conhecimento físico de seu contexto, reduzindo esta ciência a um
sistema abstrato de definições, leis e fórmulas matemáticas. A física é muito
mais do que isso. É uma atividade intelectual extremamente viva e interes-
sante.
Jucimar Peruzzo
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Estrutura dos Experimentos
Propostos
Todos os experimentos propostos neste livro tem uma mesma apresenta-
ção:
Título
Evidencia rapidamente o assunto abordado.
Objetivo(s)
Indica o que se pretende atingir com a realização do experimento pro-
posto.
Material Utilizado
Informa os materiais e/ou equipamentos necessários para a realização do
experimento. Alguns materiais sempre podem ser substituídos por outros
similares ou equivalentes.
Montagem e Procedimento
Orienta na montagem e na realização do experimento.
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Análise e Explicação
Explica em detalhes os resultados do experimento, dando uma boa base
conceitual e matemática.
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Sumário
1 MECÂNICA 1
1.1 Introdução às Medidas Físicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algarismos Significativos 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Algarismos Significativos 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Algarismos Significativos 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Velocidade Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 MRU 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 MRU 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Queda Livre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Queda Livre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11 Queda Livre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 Queda Livre e Resistência do Ar . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.13 Independência das Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.14 Aceleração Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.15 Imponderabilidade da Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . 29
1.16 Espaço em Função do Tempo em Queda Livre . . . . . . . . 31
1.17 Determinando a Aceleração da Gravidade . . . . . . . . . . 35
1.18 Velocidade Inicial de uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.19 Tempo de Queda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.20 Relatividade das Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.21 Lançamento Horizontal 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.22 Lançamento Horizontal 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.23 Lançador de Projéteis, Ângulo e Alcance . . . . . . . . . . . 49
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1.24 Lei da Inércia 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.25 Lei da Inércia 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.26 Lei da Inércia 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.27 Lei da Inércia 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.28 Centrífuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.29 Ação e Reação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.30 Ação e Reação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.31 Skate Movido à Ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.32 Aceleração Vertical e Peso Aparente . . . . . . . . . . . . . 65
1.33 Lei de Hook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.34 Associação de Molas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.35 Forças no Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.36 Seguindo pela Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.37 Principio Fundamental da Dinâmica . . . . . . . . . . . . . 78
1.38 Atrito e Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.39 Atrito Estático e Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.40 Força de Atrito e Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.41 Atrito Estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.42 Força Normal e Força de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.43 Alterando a Força de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.44 Força de Atrito e Área de Contato . . . . . . . . . . . . . . 92
1.45 Atrito entre Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.46 Coeficiente de Atrito Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.47 Coeficiente de Atrito de um Calçado . . . . . . . . . . . . . 98
1.48 Estudo do Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.49 Rodas Dentadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.50 Funcionamento de um CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.51 Força Centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.52 Força Centrípeta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.53 Força Centrípeta 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.54 Looping vertical com um Copo de Água . . . . . . . . . . . 115
1.55 A Gangorra e o Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.56 Puxando um Carretel de Linha . . . . . . . . .. . . . . . . 121
1.57 Alavanca Interfixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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1.58 Alavanca Inter-resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.59 Alavanca Interpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1.60 Vantagem Mecânica de um Macaco . . . . . . . . . . . . . 129
1.61 Decomposição de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1.62 Roldana Fixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.63 Associação de Roldanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
1.64 Talha Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.65 Sustentação Através de Forças Horizontais . . . . . . . . . . 141
1.66 Equilíbrio e Decomposição de Forças . . . . . . . . . . . . 144
1.67 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1.68 Conceito de Pressão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1.69 Conceito de Pressão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1.70 Estimando a Massa de um Automóvel . . . . . . . . . . . . 153
1.71 Trabalho e Energia numa Mola . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.72 Conservação da Energia Mecânica 1 . . . . . . . . . . . . . 157
1.73 Conservação da Energia Mecânica 2 . . . . . . . . . . . . . 158
1.74 Looping Vertical e Conservação da Energia . . . . . . . . . 161
1.75 Quantidade de Movimento Linear 1 . . . . . . . . . . . . . 163
1.76 Quantidade de Movimento Linear 2 . . . . . . . . . . . . . 165
1.77 Quantidade de Movimento Linear 3 . . . . . . . . . . . . . 166
1.78 Quantidade de Movimento Angular 1 . . . . . . . . . . . . 168
1.79 Quantidade de Movimento Angular 2 . . . . . . . . . . . . 170
1.80 Quantidade de Movimento Angular 3 . . . . . . . . . . . . 172
1.81 Quantidade de Movimento Angular 4 . . . . . . . . . . . . 173
1.82 Dissipação de Energia por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . 174
1.83 Movimento de um Helicóptero . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1.84 Cadeira Giratória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1.85 Inclinação de Estradas e Ruas . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
1.86 Pêndulo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1.87 Lançador Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
1.88 Pregando um Prego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
1.89 Inércia, Atrito e Quantidade de Movimento . . . . . . . . . 191
1.90 Impulso e Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
1.91 Rapidez de um Golpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
xix
1.92 Efeito Estilingue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1.93 Enclinação e Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1.94 Duplo Cone Subindo a Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . 204
1.95 Salto em Altura e Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . 206
1.96 Equilíbrio de um Corpo Extenso . . . . . . . . . . . . . . . 207
1.97 Equilíbrio Instável, Indiferente e Estável . . . . . . . . . . . 208
1.98 Movimento do Centro de Massa 1 . . . . . . . . . . . . . . 210
1.99 Movimento do Centro de Massa 2 . . . . . . . . . . . . . . 212
1.100Forças Internas e Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . 214
1.101Equilíbrio de um Martelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
1.102Centro de Gravidade de Figuras Planas . . . . . . . . . . . . 218
1.103Equilíbrio de uma Pessoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
1.104O João Teimoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
1.105Centro de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
1.106Pássaro Equilibrista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
1.107Centro de Gravidade de uma Vassoura . . . . . . . . . . . . 228
1.108O Problema dos Blocos Empilhados . . . . . . . . . . . . . 231
1.109Amplitude de Oscilação e Centro de Massa . . . . . . . . . 233
1.110A água que não Cai 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
1.111Água que Não Cai 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1.112Segurando Água com uma Peneira . . . . . . . . . . . . . . 240
1.113Capilaridade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
1.114Capilaridade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
1.115Capilaridade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
1.116Tensão Superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
1.117Detergente e Tensão Superficial . . . . . . . . . . . . . . . 248
1.118Redução da Tensão Superficial . . . . . . . . . . . . . . . . 250
1.119Forças de Coesão em um Líquido . . . . . . . . . . . . . . 251
1.120Entrelaçando 2 Filetes de Água . . . . . . . . . . . . . . . . 252
1.121Efeito Coanda 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
1.122Efeito Coanda 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
1.123Variação da Pressão com a Profundidade . . . . . . . . . . . 257
1.124Vasos Comunicantes e Lei de Stevin . . . . . . . . . . . . . 261
1.125Canudinho de Refresco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
xx
1.126Pressão Atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
1.127Pressão e Escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
1.128Funcionamento de um Sifão . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
1.129Sifão Automático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
1.130Chafariz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
1.131Vaso de Tântalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
1.132Tempo de Esvaziamento de uma Lata . . . . . . . . . . . . 277
1.133Problema da Mangueira Enrolada . . . . . . . . . . . . . . 280
1.134Empuxo Exercido por um Líquido . . . . . . . . . . . . . . 282
1.135O Paradoxo do Peso do Ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
1.136Analisando um Iceberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
1.137Densidade e Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
1.138Empuxo e o Sobe e Desce de Esferas . . . . . . . . . . . . . 290
1.139Construíndo um Densímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
1.140Manômetro Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
1.141Compressão e Descompressão . . . . . . . . . . . . . . . . 295
1.142Elevador Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
1.143Macaco Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
1.144A Balança e o Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
1.145Por que o Barco não Afunda . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
1.146Barco, Carga e Nível da Água . . . . . . . . . . . . . . . . 306
1.147Ludião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
1.148Fazendo um Ovo Flutuar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
1.149Viscosidade de um Líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
1.150Principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
1.151Velocidade e Pressão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
1.152Velocidade e Pressão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
1.153Velocidade e Pressão 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
1.154Aproximando Garrafas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
1.155Spray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
1.156Asa de Avião . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
1.157Estreitamento de um Filete de Água . . . . . . . . . . . . . 332
1.158Líquido em Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
1.159Efeito Magnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
xxi
xxii
Lista de Figuras
1.1 Haste e arruela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Gráfico de x em função de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Bolha no interior do tubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Esfera rolando sobre o canalete. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Gráfico de x× t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Pedra e a pena no interior da garrafa em queda. . . . . . . . . . 19
1.7 Garrafas interligadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Queda livre e independênciadas trajetórias. . . . . . . . . . . . 25
1.9 Tubo, barbante, porca e disco metálico. . . . . . . . . . . . . . 27
1.10 Garrafa furada com água em queda livre. . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Porcas: a- Igualmente espaçadas; b- Espaçadas á distâncias propor-
cionais à quadrados de números inteiros. . . . . . . . . . . . . . 32
1.12 Som de impacto com o solo das porcas igualmente espaçadas no
cordão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.13 Som de impacto com o solo das porcas posicionadas a distâncias
proporcionais a quadrados inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.14 Porca em movimento no fio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.15 Decomposição de forças da porca no fio. . . . . . . . . . . . . . 37
1.16 Carrinho de pilha com haste, eletroimã, copo e argola. . . . . . . 42
1.17 Esfera lançada horizontalmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.18 Lançamento horizontal de uma esfera. . . . . . . . . . . . . . . 46
1.19 Lançador de projéteis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.20 Lançamento de projétil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.21 Representação de um lançamento oblíquo. . . . . . . . . . . . . 50
1.22 Bloco e linhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
xxiii
1.23 Moeda no copo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.24 Caderno e borracha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.25 Centrífuga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.26 Garrafa em rotação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.27 a- Prego sendo atraído pelo imã; b- Imã sendo atraído pelo prego. . 62
1.28 Skate e ventilador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.29 Forças ~P e ~N agindo sobre um objeto. . . . . . . . . . . . . . . 66
1.30 Mola suspensa e distendida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.31 Gráfico de ∆x× P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.32 Associação de molas em série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.33 Associação de molas em paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.34 Pedra presa ao barbante: a- Em movimento circular; b- Saindo pela
tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.35 Direções de ~Fc e ~v no movimento circular. . . . . . . . . . . . . 74
1.36 Esfera girando numa tampa com borda. . . . . . . . . . . . . . 76
1.37 Carrinhos amarrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.38 Caixa com livro(s) puxada pelo dinamômetro. . . . . . . . . . . 84
1.39 Forças agindo sobre a caixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.40 Atrito estático entre um objeto e uma rampa. . . . . . . . . . . . 86
1.41 Decomposição das forças do bloco sobre a rampa. . . . . . . . . 87
1.42 Livro na parede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.43 Forças atuantes sobre o livro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.44 Caixinhas dispostas: a- Menor área de contato; b- Maior área de
contato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.45 2 livros juntados página por página. . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.46 Blocos interligados por um fio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.47 Calçado: a- Suspenso na vertical; b- Puxado na Horizontal. . . . . 98
1.48 Discos acoplados num eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.49 Distância percorrida em uma volta. . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.50 Roda Dentada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.51 Acoplamento de: a- Rodas dentadas; b- Rodas lisas por coreia. . . 104
1.52 Raios no cd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.53 Rotação de um disco com esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.54 Corpo 1 girando num plano horizontal sustenta o corpo 2 na vertical. 111
xxiv
1.55 Força sobre o corpo girando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.56 Haste com copos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.57 Copo no disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.58 Forças sobre o corpo no ponto mais alto da trajetória. . . . . . . 116
1.59 Esquema de uma gangorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.60 Torque numa barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.61 Desenrolar do carretel: a- Translação no mesmo sentido de tração;
b- rotação e soltura da linha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.62 Forças que agem no carretel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.63 Esquema de uma alavanca interfixa. . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.64 Montagem da alavanca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.65 Alavanca inter-resistente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1.66 Alavanca interpotente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1.67 Macaco tipo joelho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
1.68 a- Pesando o carrinho; b- Plano inclinado. . . . . . . . . . . . . 131
1.69 Decomposição de ~P no plano inclinado. . . . . . . . . . . . . . 132
1.70 Roldana fixa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
1.71 Associação de roldanas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
1.72 Diagrama de forças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
1.73 Esquema de uma talha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.74 Roldana móveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1.75 Talha exponencial com 3 polias móveis. . . . . . . . . . . . . . 139
1.76 Sustentação de um objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1.77 Forças atuantes sobre o corpo suspenso. . . . . . . . . . . . . . 142
1.78 Equilíbrio de Forças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
1.79 Decomposição de forças no plano xy. . . . . . . . . . . . . . . 145
1.80 Tijolo disposto: a- de pé; b- de lado; c- deitado. . . . . . . . . . 149
1.81 Pregos no isopor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1.82 a- Sistema em equilíbrio; b- Massa acima da posição de equilíbrio;
c- Massa abaixo da posição de equilíbrio. . . . . . . . . . . . . 158
1.83 Trilhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
1.84 Looping numa mangueira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1.85 Esquema do looping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.86 Conservação da quantidade de movimento linear. . . . . . . . . 163
xxv
1.87 Conservação da quantidade de movimento linear. . . . . . . . . 166
1.88 a- Blocos separados por uma mola; b- Mola comprimida; c- Blocos
afastados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1.89 Rotacionando ovos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1.90 Corpos pendurados por linhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
1.91 Canetas e elásticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1.92 Girando na cadeira com os braços: a- abertos; b- Fechados. . . . . 178
1.93 Medindo a inclinação de uma estrada. . . . . . . . . . . . . . . 179
1.94 Relação triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.95 Pêndulo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1.96 Pêndulo de Newton em ação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
1.97 Lançamento horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
1.98 Relação trigonométrica no pêndulo. . . . . . . . . . . . . . . . 188
1.99 Pregando um prego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
1.100Moeda sobre carta colocada sobre um copo. . . . . . . . . . . . 191
1.101Forças atuante sobre a carta e a moeda. . . . . . . . . . . . . . 192
1.102Golpeando a haste suspensa pelas tiras de papel. . . . . . . . . . 196
1.103Efeito estilingue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1.104Velocidade das bolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
1.105Inclinação e equilíbrio da torre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1.106Duplo cone subindo a rampa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
1.107Placa com hastes em equilíbrio. . . . .. . . . . . . . . . . . . 208
1.108Equilíbrio: a- Instável; b- Indiferente; c- Estável. . . . . . . . . . 209
1.109Movimento do centro de massa de um martelo. . . . . . . . . . . 210
1.110Massas ligadas por uma haste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
1.111Canetas dispostas no bloco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
1.112Pessoas sobre skates ligadas por uma corda. . . . . . . . . . . . 214
1.113Equilíbrio do martelo: a- Pelo cabo; b- Pela base. . . . . . . . . 216
1.114Centro de massa de um martelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
1.115Equilíbrio de figuras planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
1.116Equilíbrio de uma arruela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
1.117Construção do João teimoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
1.118Comportamento do João teimoso. . . . . . . . . . . . . . . . . 223
1.119Equilibrio do conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
xxvi
1.120Pássaro equilibrista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
1.121Equilíbrio da vassoura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
1.122Forças atuantes sobre a vassoura. . . . . . . . . . . . . . . . . 229
1.123Empilhamento de blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
1.124Blocos Empilhados: a- 2 blocos; b- 3 blocos; c- 4 blocos. . . . . . 232
1.125Estrutura do Balanço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
1.126Variação do comprimento do pêndulo. . . . . . . . . . . . . . . 235
1.127Água que não cai do copo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
1.128Papel segurando a água no copo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
1.129Garrafa com água embocada no prato. . . . . . . . . . . . . . . 238
1.130Água não cai da pipeta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
1.131Segurando a água com uma peneira. . . . . . . . . . . . . . . . 240
1.132Tubos capilares em copos com: a- Água; b- Água e detergente. . . 241
1.133União das lâminas de vidro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
1.134Tensão superficial: a- Clipe plana na água; b- Água não transborda. 246
1.135Introdução de detergente nos copos. . . . . . . . . . . . . . . . 248
1.136Tensão superficial entre palitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
1.137Filetes de água: a- Paralelos; b- Entrelaçados. . . . . . . . . . . 252
1.138Efeito Coanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
1.139Esguichos de água oriúndos da garrafa. . . . . . . . . . . . . . 257
1.140Jato de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
1.141Gráfico de x× h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
1.142Vasos comunicantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
1.143Experimento do canudinho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
1.144Placas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
1.145Escoamento de água na garrafa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
1.146Sifão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
1.147Sifão automático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
1.148Construindo um chafariz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
1.149Vaso de tântalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
1.150Esvaziamento de uma garrafa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
1.151Pequenos cilindros de volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
1.152Helicóide na: a- Vertical; b- Horizontal. . . . . . . . . . . . . . 280
1.153Corpo mergulhado num líquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
xxvii
1.154Balões em: a- Equilíbrio; b- Desequilíbrio. . . . . . . . . . . . . 284
1.155Megulhando o corpo no líquido sobre a balança. . . . . . . . . . 287
1.156Densímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
1.157Cápsula manômétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
1.158Manômetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
1.159Garrafas interligadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
1.160Elevador hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
1.161Principio de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
1.162Estrutura da válvula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
1.163Macaco hidráulico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
1.164Esfera mergulhada na água sobre a balança. . . . . . . . . . . . 303
1.165Ludião. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
1.166Experimento do Ovo na Água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
1.167Forças atuantes sobre a esfera no interior do líquido. . . . . . . . 313
1.168Jato de ar sob a régua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
1.169Escoamento de um fluído num tubo. . . . . . . . . . . . . . . . 316
1.170Assoprando uma folha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
1.171Garrafa e tubo conectados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
1.172Saída mais baixa da água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
1.173Fluxo de ar do secador de cabelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 322
1.174Aproximando 2 garrafas com um jato de ar. . . . . . . . . . . . 324
1.175Constituição do Spray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
1.176Asa de Avião. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
1.177Linhas de corrente em torno da asa. . . . . . . . . . . . . . . . 330
1.178Estreitamento de um filete de água. . . . . . . . . . . . . . . . 332
1.179Líquido em rotação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
1.180Componentes de velocidades numa bola em rotação em sentido ho-
rário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
xxviii
Lista de Tabelas
1.1 Massa, diâmetro e densidade de esferas. . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Dados experimentais de densidade de esferas. . . . . . . . . . . 9
1.3 Posição (x) e tempo (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Dados do MRUV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Dados lei de Hook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.6 Dados lei de Hook. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.7 Peso, distância e torque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.8 Dados talha exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1.9 Tabela de dados equilíbrio de forças. . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.10 Tabela de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1.11 Densidade de diversas substâncias. . . . . . . . . . . . . . . . 147
1.12 Massas e densidades de substâncias. . . . . . . . . . . . . . . . 289
xxix
xxx
Capítulo 1
MECÂNICA
1.1 Introdução às Medidas Físicas
Objetivo
Fazer medidas de algumas grandezas físicas, expressando os resultados
em diferentes unidades.
Materiais Utilizados
1 trena (ou 1 régua), 1 cronômetro, 1 balança de precisão.
Montagem e Procedimento
Com os equipamentos citados realize algumas medidas de comprimento,
tempo e massa. Como exemplo podemos citar:
- medir as dimensões de uma carteira, expressando o resultado em centí-
metros (cm), metros (m) e milímetros (mm);
- determinar o tempo que um aluno demora para percorrer uma certa dis-
tância, e dar o valor em segundos (s), minutos (min) e horas (h);
- medir a massa de uma borracha, obtendo inicialmente o resultado em
gramas (g) e depois expressar este mesmo valor em quilogramas (kg) e mili-
gramas (mg).
1
Análise e Explicação
Medir é um procedimento experimental em que o valor de uma grandeza é
determinado em termos do valor de uma unidade, estabelecida por um padrão.
Neste experimento basta realizar as medidas e fornecer as respostas em
diferentes unidades para cada grandeza. É bom lembrar como se realizar a
conversão de uma unidade para outra. Por exemplo, sabemos que:
1m = 100cm = 1000mm
1h = 60min = 3600s
1kg = 1000g = 1000000mg
2
1.2 Algarismos Significativos 1
Objetivo
Efetuar medidas de grandezas físicas levando em conta os algarismos sig-
nificativos.
MateriaisUtilizados
1 régua, 1 paquímetro.
Montagem e Procedimento
Faça medidas de grandezas físicas levando em consideração os algaris-
mos significativos. Como exemplo sugerimos determinar as dimensões de
uma folha de papel. Procure realizar medidas bastante precisas.
Com a régua meça o comprimento (x) e a largura (y). Para medir a espes-
sura (z) de uma folha utilize o paquímetro e meça inicialmente a espessura
de diversas folhas1. A espessura z é o valor encontrado dividido pelo número
de folhas.
Análise e Explicação
Cada medida deve ser feita utilizando-se o instrumento mais apropriado
para tal. Para medir comprimento, por exemplo, podemos utilizar uma trena,
uma régua ou um paquímetro. A escolha do instrumento vai depender do que
é que se deseja medir. Se deseja-se medir a largura da sala de aula certamente
vai-se utilizar uma trena, mas se o objetivo é saber as dimensões de uma folha
de papel geralmente utiliza-se uma régua e um paquímetro.
A medida de uma grandeza física deve conter o valor da grandeza, a in-
certeza da medição e a unidade. Toda medição está sujeita a incertezas que
podem ser devidas ao processo de medição, aos equipamentos utilizados, a
influência de variáveis que não estão sendo medidas e, também, ao operador.
1Aqui deve-se utilizar esse procedimento pois, com um paquímetro é impossível medir
diretamente a espessura de uma única folha de papel.
3
Não se pode medir uma grandeza física com precisão absoluta. Qualquer
medição, por mais bem feita que seja, é sempre aproximada. Dessa forma,
qualquer medição física, para ser completa, deve incluir informações sobre a
confiança no valor numérico encontrado.
Ao realizar uma medida o resultado deve ser dado pelos números corretos
de medida, os quais são obtidos diretamente pela menor escala de medida
presente no instrumento, mais um algarismo duvidoso, o qual é estipulado
pelo experimentador. O conjunto dos algarismos corretos mais um algarismo
duvidoso formam o conjunto dos algarismos significativos.
Por exemplo, ao medir o comprimento da folha de papel com a régua, cuja
menor divisão que possui é o milímetro, obteve-se o seguinte resultado (em
cm): x = 29, 65cm. Os três primeiros algarismos são certos, já que a medida
ficava entre 29, 6cm (29cm + 6mm) e 29, 7cm (29cm + 7mm), tendo-se
precisão na medida dos 29cm e dos 6mm. O algarismo 5 é estipulado, sendo
o algarismo duvidoso. Portanto, a medida é dada com quatro algarismos
significativos. De maneira semelhante, a largura obtida foi de y = 21, 05cm.
Medindo a espessura de um conjunto de folhas com o paquímetro obteve-
se o valor de 4, 0mm ou 0, 40cm. Veja que nesse caso escreve-se 0, 40cm
e não 0, 4cm, pois a medida foi obtida com dois algarismos significativos e
tal número deve ser mantido. Sendo que o conjunto de folhas era composto
por 67 unidades, obtém-se a espessura (z) fazendo 0, 40/67, donde vem z =
0, 005970149cm. Deixando o resultado com dois algarismos significativos
vem que z = 0, 0060, sendo que aqui foi feito um arredondamento.
Ao contar os algarismos significativos não considera-se o algarismo 0
quando ele for usado para posicionar a vírgula decimal. Isso significa que o 0
não será considerado um algarismo significativo quando estiver a esquerda do
primeiro algarismo diferente de 0. Já, quando o 0 estiver posicionado depois
da vírgula ele é considerado significativo. Por exemplo, matematicamente
podemos dizer que 4, 0mm = 0, 4cm, no entanto, essas duas medidas tem
significados diferentes, já que elas têm, respectivamente, 2 e 1 algarismos
significativos cada.
Para fazer um arredondamento, se o algarismo que vai ser desprezado (ou
o primeiro entre vários que serão) for menor que 5, conserva-se o algarismo
anterior a ele. Se for maior ou igual a 5, soma-se 1 ao algarismo anterior.
4
No caso realizado anteriormente, ao escrever o número 0, 005970149 com
apenas 2 algarismos significativos desprezou-se o algarismo 7, somando 1 ao
59, donde obteve-se 0, 0060.
No decorrer do livro ao realizar medidas e operações não é extremamente
necessário respeitar à risca os algarismos significativos em todos os cálculos.
O que deve-se evitar é o excesso de algarismos (os quais são fornecidos pelas
calculadoras) nos resultados.
5
1.3 Algarismos Significativos 2
Objetivos
Calcular a área, o volume e a densidade de uma folha de papel, realizando
operações que levem em considerações os algarismos significativos.
Materiais Utilizados
1 paquímetro, 1 régua, 1 balança de precisão.
Montagem e Procedimento
Determine a massa de uma folha de papel com a balança de precisão.
Em seguida meça as dimensões da folha, as quais podem ser medidas da
maneira semelhante ao Exp.(1.2), ou até mesmo utilizar os dados que nele
foram obtidos. Tendo conhecimento desses valores calcule a área da folha, o
seu volume e a sua densidade.
Análise e Explicação
Nas operações envolvendo algarismos significativos o resultado deve ser
expresso de modo que tenha o número de algarismos significativos do valor
com o menor número de algarismos significativos. A massa (m) medida da
folha de papel foi dem = 3, 1g e as dimensões da folha foram x = 29, 65cm,
y = 21, 05cm e z = 0, 0060.
Com esses dados vem que a área é A = 29, 65.21, 05 = 624, 1325cm2.
Como os valores de x e y tem quatro algarismos significativos cada, o valor de
A também deve ter quatro algarismos significativos, de modo que o resultado
correto da área é expresso como A = 624, 1cm2.
O volume da folha é dado por V = xyz = 29, 65.21, 05.0, 0060 =
3, 744795cm3. Como a espessura z tem apenas 2 algarismos significativos,
o volume deve ser expresso como V = 3, 7cm3. Muitas vezes tolera-se mais
um algarismo além do duvidoso nas multiplicações e divisões, de modo que
podemos escrever V = 3, 74cm3.
6
A densidade (ρ) é a grandeza física que relaciona a massa (m) de um
corpo e seu volume (V ):
ρ = m
V
(1.1)
Substituindo os valores em (1.1) tem-se ρ = 3, 1/3, 74 = 0, 828877, donde
vem que: ρ = 0, 829g/cm3.
7
1.4 Algarismos Significativos 3
Objetivo
Determinar a densidade de esferas através da medida de suas massas e
dos seus diâmetros, levando em consideração os algarismos significativos.
Materiais Utilizados
1 paquímetro, 1 balança de precisão, bolinhas de gude (de diversos mate-
riais).
Montagem e Procedimento
Com o paquímetro meça o diâmetro (D) de cada esfera e com a balança
encontre as respectivas massas (m). Organize os dados numa tabela, como a
Tab.(1.2).
Tabela 1.1: Massa, diâmetro e densidade de esferas.
m(g) D(cm) ρ(g/cm3)
...
...
...
Através dessas medidas encontre a densidade (ρ) do material que com-
põem cada esfera. Leve em consideração os algarismos significativos nas
medidas e operações.
Análise e Explicação
O volume (V ) de uma esfera é dado por V = (4/3)pir2, onde r é o raio
da esfera. Sendo que r = D/2 podemos escrever V como:
V = 13piD
2 (1.2)
8
Relacionando (1.2) e (1.1) podemos determinar a ρ de uma esfera, em função
de m e de D, como:
ρ = 3
pi
m
D2
Alguns dados experimentais obtidos estão na Tab.(1.2). Sendo que a
massa é dada com dois algarismos significativos e o diâmetro com três, a
densidade é dada com 2 ou até mesmo com 3 algarismos significativos.
Tabela 1.2: Dados experimentais de densidade de esferas.
m(g) D(cm) ρ(g/cm3)
3,8 1,45 1,73
3,3 1,40 1,61
4,4 0,95 4,66
4,6 1,55 1,83
2,9 1,30 1,64
3,1 1,35 1,62
2,7 1,30 1,53
18,1 1,68 6,12
9
1.5 Velocidade Média
Objetivo
Estudar experimentalmente o conceito de velocidade média.
Materiais Utilizados
1 giz, 1 trena, 1 cronômetro, 1 carrinho elétrico (movido à pilha).
Montagem e Procedimento
Com o giz faça duas marcas no chão, de modo a delimitar uma uma dis-
tância entre elas. Com a trena meça essa distância. Ligue o carrinho elétrico
e, com o cronômetro, marque o tempo que o mesmo demora para percorreressa distância. Repita algumas vezes o mesmo procedimento e determine a
velocidade média do carrinho no percurso.
Análise e Explicação
A velocidade média (vm) é determinada pala razão entre o espaço percor-
rido (∆x) por um móvel e o tempo (∆t) necessário para percorrê-lo:
vm =
∆x
∆t
onde ∆x = x − x0 e ∆t = t − t0. x e x0 são, respectivamente, as posições
final e inicial, e t e t0 os tempos final e inicial.
Quando o movimento ocorre no sentido da trajetória a velocidade média é
positiva, pois nesse caso a variação do espaço (∆x) também é positiva. Nesse
caso o movimento é progressivo. Se o movimento ocorre no sentido oposto
ao da trajetória a velocidade média (vm) é negativa, pois a variação do espaço
também é negativo. Nesse caso o movimento é retrógrado.
10
1.6 Movimento Retilíneo Uniforme 1
Objetivos
Observar e analisar o movimento retilíneo uniforme (MRU).
Materiais Utilizados
1 régua, 1 parafuso longo (haste cilíndrica com rosca, com cerca de 0, 5m
de comprimento), 1 arruela (compatível com o diâmetro da haste), 1 suporte,
1 pincel atômico, 1 cronômetro.
Montagem e Procedimento
Fixe a haste no suporte, de modo que ela fique na vertical. Com a régua
faça nela alguns traços em intervalos de espaços iguais. Na haste coloque a
arruela, de modo que, quando solta na extremidade superior, ela desça lenta-
mente e oscilando, num movimento aproximadamente retilíneo e uniforme.
Um esquema da montagem do conjunto está na Fig.(1.1). É importante utili-
zar uma arruela que tenha um diâmetro conveniente para isso. Se o diâmetro
for muito pequeno ela não escorregará pela haste e se for muito grande, ela
descerá rapidamente (quase em queda livre) ou aos saltos.
Utilizando um cronômetro que vai acumulando os tempos2, marque o
tempo gasto pela arruela para percorrer os intervalos pré-determinados. O
instante inicial t = 0 é quando solta-se a arruela no topo da haste, em x =
x0 = 0. Anote os valores das posições (x) pelas quais a arruela vai passando
e os instantes correspondentes (t). Coloque esses dados em uma tabela, como
a Tab.(1.3).
Com esses dados construa um gráfico da posição em função do tempo do
movimento da arruela (x× t). Observe que os pontos se distribuirão ao redor
de uma reta, como a da Fig.(1.2).
Primeiro distribua os pontos e depois trace uma reta que tende a se lo-
2A maioria dos alunos atualmente têm celulares que marcam intervalos sucessivos de
tempo, o que facilita muito a atividade.
11
Figura 1.1: Haste e arruela.
Tabela 1.3: Posição (x) e tempo (t).
x(cm) t(s)
...
...
calizar no meio deles3. Através da reta é possível determinar a velocidade
média do movimento estudado. Sendo um ponto da reta média dado pela
coordenada t e x, a velocidade média (v) é dada por:
v = x
t
Análise e Explicação
Neste experimento o movimento da arruela ocorre com velocidade (v)
praticamente constante. A posição (x) da arruela na haste no decorrer do
3Uma boa opção é estar usando um software de gráfico para construir o gráfico e encontrar
a reta.
12
Figura 1.2: Gráfico de x em função de t.
tempo (t) depois de solta é dada por:
x = x0 + vt
onde x0 é a posição inicial donde a arruela é solta. Considera-se a velocidade
positiva se o movimento ocorrer no sentido positivo da trajetória, e este é
escolhido de maneira arbitrária.
13
1.7 Movimento Retilíneo Uniforme 2
Objetivos
Verificar e analisar o movimento retilíneo uniforme.
Materiais Utilizados
1 tubo de vidro ou plástico transparente (com cerca de 0, 5m de compri-
mento), 2 rolhas (ou algo semelhante para fechar as extremidades), 1 régua
(ou trena), 1 cronômetro (um celular que tenha essa função pode também ser
usado), 1 pincel atômico.
Montagem e Procedimento
Encha com água o tubo transparente e feche suas extremidades de modo
a deixar uma pequena bolha de ar no seu interior. Se inverter o tubo rapi-
damente, você verá a rolha subindo lentamente por ele. Se a inclinação for
obliqua, a subida da bolha vai ser mais lenta, o que pode facilitar a obtenção
de dados (Fig.1.3).
Figura 1.3: Bolha no interior do tubo.
Fixe uma régua ao longo do tubo ou faça traços com uma caneta, de modo
a marcar intervalos iguais de espaço (de 5cm em 5cm, por exemplo, a marca-
ção seria 0, 5, 10, 15,..., 50. Incline o tubo e com o cronômetro vá registrando
14
o tempo necessário para a bolha atingir uma determinada posição. Pode-se
iniciar a marcação do espaço a partir de uma certa distância da extremidade
do tubo. Com os dados obtidos preencha uma tabela como a Tab.(1.3).
Com os dados obtidos determine a velocidade da bolha em cada intervalo
do percurso e depois a velocidade média em todo o percurso. Desenhe um
gráfico de x × t e observe os pontos experimentais distribuírem-se ao redor
de uma reta, como na Fig.(1.2). Repita o mesmo procedimento com outras
inclinações no tubo de água e veja como varia a inclinação da reta.
Análise e Explicação
No seu movimento no interior do tubo a bolha executa um movimento
retilíneo uniforme. A explicação é a mesma do experimento (1.6).
15
1.8 Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Objetivos
Entender o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) e evi-
denciar que o espaço percorrido é proporcional ao quadrado do tempo gasto
para percorrê-lo.
Materiais Utilizados
1 esfera (bolinha de gude), 1 trena, 1 cronômetro, 1 pedaço de trilho
(esses de cortina, com cerca de 1, 5m de comprimento), fita adesiva.
Pode-se fazer também um canalete com 2 barras retas, colocadas próxi-
mas sobre um plano inclinado.
Montagem e Procedimento
Apóie o trilho de modo a fazer um canalete, por onde a esfera vai rolar
(Fig.1.4). Com o auxílio da trena e da fita adesiva anote algumas medidas
de distâncias de referência para coletar os dados (por exemplo, de 20cm em
20cm).
Figura 1.4: Esfera rolando sobre o canalete.
Solte a esfera e cronometre o tempo que ela demora para fazer o trajeto,
desde o início até o ponto desejado, e vá marcando os dados numa tabela,
semelhante a Tab.(1.4).
Para uma mesma distância faça mais de uma medida (umas 3 ou 4) e
depois faça a média dos tempos. Repita o mesmo procedimento para cada
uma das distâncias. Com os dados obtidos, desenhe o gráfico de x em função
16
Tabela 1.4: Dados do MRUV.
x(m) t(s) tm(s)
...
...
...
de t (x × t), o qual pode ser feito manualmente ou com o auxílio de um
computador. Observe que a curva obtida, que passa próximo dos pontos é a
parte de uma parábola, como representado na Fig.(1.5). Variando a inclinação
da rampa e repetindo todo o procedimento, obtêm-se um outra curva.
Figura 1.5: Gráfico de x× t.
É importante ressaltar que a rampa utilizada deve ser pouco inclinada,
pois, caso contrário, fica difícil obter os intervalos de tempo manualmente,
devido à rapidez do movimento.
Análise e Explicação
Neste experimento estamos repetindo algumas das idéias dos experimen-
tos feitos por Galileu Galilei para estudar o movimento dos corpos, mais
precisamente os movimentos acelerados.
Quando o movimento é acelerado, a posição x de um corpo no decorrer
17
do tempo t é dada pela função horária:
x = x0 + vot+
1
2at
2
onde x0 é a posição inicial, v0 a velocidade com a qual ele inicia o movi-
mento, e a a sua aceleração. No nosso experimento temos que x0 = 0 e
v0 = 0, e a função horária fica reduzida à:
x = 12at
2
ou seja, o espaço percorrido ou a posição do objeto é proporcional ao qua-
drado do tempo (x ∝ t2). Como a função é do segundo grau, a curva do
gráfico é uma parábola.
18
1.9 Queda Livre 1
Objetivo
Verificar a independência da massa dos corpos num movimento de queda
livre.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET transparente, 1 pedra (ou objeto semelhante, desde que
entre na garrafa), 1 pena (ou algo semelhante, bem leve, como um pedaço de
papel).
Montagem e ProcedimentoColoque a pedra e a pena dentro da garrafa, de modo que elas fiquem lado
a lado no seu fundo. Feche a tampa e em seguida solte o conjunto em queda
livre de uma certa altura. Observe que a pedra a pena chegam juntos ao chão
(Fig.1.6).
Figura 1.6: Pedra e a pena no interior da garrafa em queda.
19
Uma outra forma de realizar este experimento é dispondo os 2 objetos
sobre uma capa de caderno. Soltando o conjunto observa-se que os 2 atingem
simultaneamente o solo.
Análise e Explicação
Esta experiência é uma das mais simples, porém, uma das mais importan-
tes da mecânica, tendo sido realizada e repensada diversas vezes por grandes
cientistas, como Galileu Galilei.
Conta-se que Galileu, em torno do ano 1600, subiu na torre de Pisa, na
Itália, e soltou objetos de massas diferentes, constatando que eles chegavam
juntos ao solo. Isso provava que a velocidade de queda dos corpos indepen-
dia de suas massas. No entanto, isso parecia contradizer a crença de que os
corpos caem mais rapidamente quanto mais pesados eles forem.
No nosso cotidiano ainda temos a impressão de que objetos mais pesados
caem mais rapidamente que os mais leves. Soltando uma pedra e uma pena
de uma mesma altura, verificamos que a pedra chega ao chão mais rápido que
a pena. Contudo, o que retarda a queda da pena é a resistência do ar. Se for
no vácuo não haveria resistência do ar e os dois cairiam juntos.
Neste experimento colocamos a pena e a pedra dentro da garrafa para eli-
minar o efeito direto do ar externo sobre a queda dos objetos. Dessa forma,
constatamos que a queda dos corpos realmente independe de suas proprieda-
des, neste caso, mais precisamente de suas massas.
20
1.10 Queda Livre 2
Objetivo
Verificar que a velocidade de queda dos corpos independe de suas massas.
Materiais Utilizados
2 garrafas PET (iguais), água, 1 pedaço de madeira, 2 pregos, 1 pedaço
de barbante, 1 tesoura.
Montagem e Procedimento
Encha bem uma das garrafas com água e a outra coloque somente um
pouco. Prenda as duas garrafas com um barbante, de modo que fiquem inter-
ligadas e suspenda o conjunto passando o barbante por dois pregos fincados
num pedaço de madeira, como mostra a Fig.(1.7).
Figura 1.7: Garrafas interligadas.
Coloque o conjunto numa determinada altura, de modo que as garrafas
fiquem numa mesmo posição em relação ao solo e corte o barbante. Você
verificará que as duas garrafas caem juntas, apesar de uma ter massa maior
que a outra.
Análise e Explicação
A explicação é a mesma do experimento (1.9).
21
1.11 Queda Livre 3
Objetivo
Verificar que a velocidade de queda dos corpos independe de suas massas.
Materiais Utilizados
2 objetos pequenos de diferentes massas (1 borracha, 1 pedaço de giz, 1
tubo de corretivo, 1 bolinha de gude, por exemplo, desde que eles não tenham
tamanhos muito diferentes).
Montagem e Procedimento
Segure os dois objetos de diferentes massas com uma mão, lado a lado,
e solte-os de uma determinada altura. Tente fazer uma previsão junto com
os colegas ou grupo de alunos de qual deles irá tocar primeiramente o solo.
Novamente constante que os dois objetos caem com a mesma velocidade e
chegam simultaneamente ao chão.
Uma variante desse experimento é feita dobrando duas tiras iguais de
papel. Prenda nelas números diferentes de clipes e solte-as, simultaneamente,
de uma mesma altura. Perceba que as duas chegam juntas ao solo.
Análise e Explicação
A explicação é a que foi dada no experimento (1.9).
22
1.12 Queda Livre e Resistência do Ar
Objetivo
Verificar a influência do ar no movimento de queda livre dos corpos.
Materiais Utilizados
1 folha de papel, 1 pedra (pequena, ou algo similar).
Montagem e Procedimento
De uma mesma altura em relação ao solo solte, simultaneamente, a folha
e a pedra. Observe que a pedra chega antes ao solo. Em seguida amasse bem
a folha, de modo que ela fique com o formato aproximadamente esférico, e
repita o mesmo procedimento. Constate agora que a folha e a pedra chegam
juntos ao solo. Por que ocorre essa diferença nos tempos de queda da folha
aberta e da folha amassada?
Análise e Explicação
O filósofo grego Aristóteles acreditava que, quanto maior fosse o peso de
um corpo, mais rapidamente ele alcançaria o solo. No entanto, o físico itali-
ano Galileu Galilei observou que os tempos de queda de objetos independem
de suas massas.
Mas, se for solta de uma mesma altura, uma folha de papel e uma pedra, a
pedra chega ao solo muito antes da folha. A folha cai lentamente, balançando
no ar. Isso ocorre por causa da resistência do ar. Devido a diferença de
formato entre a folha a e pedra, a força de resistência do ar, que tem sentido
oposto à força gravitacional que puxa os objetos para o centro da terra, é
bem maior sobre a folha aberta do que sobre a pedra. Agora, se a folha for
amassada de modo que adquira o formato esférico, ela chega junto com a
pedra ao solo. Ambas sofrem a mesma força de resistência do ar.
Se o experimento de soltar, de uma mesma altura, uma pedra e uma folha
de caderno aberta for realizado no vácuo, ambos chegarão ao solo no mesmo
instante. Em 1971, numa missão espacial à superfície da lua, o astronauta
23
norte-americano David Scott soltou simultaneamente de suas mãos uma pena
e um martelo, e constatou que ambos chegaram juntos ao solo. Isso ocorreu
porque a lua não tem atmosfera, não havendo, dessa forma, resistência do ar.
Quando um corpo move-se em um meio fluído (líquido ou gás), ele so-
fre a ação de uma força de sentido oposto ao seu movimento. Essa força de
resistência consiste na força de atrito entre o corpo e as partículas que com-
põem o fluído. A força de resistência do ar depende da velocidade do objeto,
de sua força e da maior área de seção transversal, perpendicular à direção do
movimento. A intensidade dessa força de resistência (Fr) é dada por:
Fr = kvn
onde k é uma constante que depende do fluído e do formato do corpo (princi-
palmente da sua maior área de seção transversal na direção do movimento),
v é a velocidade do corpo e n é uma constante que depende da ordem de
grandeza da velocidade, cujo valor é 1 ou 2, sendo geralmente 2.
Na verdade, todos os objetos sofrem forças de resistência quando em mo-
vimentos. No entanto, se essa resistência for pequena, ela pode ser despre-
zada.
24
1.13 Queda Livre e Independência das Trajetórias
Objetivo
Demonstrar que o objetos em queda livre gastam o mesmo tempo para
cair uma mesma altura, independentemente de suas trajetórias.
Materiais Utilizados
2 moedas (iguais), 1 régua.
Montagem e Procedimento
A idéia do experimento é fazer um lançamento simultâneo de 2 moedas
iguais. Uma delas vai ser abandonada na vertical e o outra vai ser lançada
horizontalmente. Ambas partem da mesma altura e tem velocidade inicial
nula na vertical.
Disponhe a régua sobre a mesa de forma que metade dela fique para fora.
Coloque uma moeda sobre a régua do lado de fora e a outra entre a régua e a
mesa, como mostra a Fig.(1.8). Bata na régua de fora para dentro de forma
que ela lance uma moeda horizontalmente e deixe que a outra caia em queda
livre verticalmente.
Figura 1.8: Queda livre e independência das trajetórias.
25
Análise e Explicação
O principio de independência de movimento foi formulado por Galileu
Galilei, e tem comprovação experimental. De acordo com este principio,
quando um objeto realiza um deslocamento que é resultante de vários movi-
mentos componentes que ocorrem simultaneamente, cada um desses movi-
mentos ocorrem de maneira independente, como se os demais movimentos
não existissem.
Em razão da validade desse experimento, em muitas situações é mais con-
veniente estudar cada um dos movimentos componentes antes de considerar
o movimento resultante.
É comum se pensar que o objeto lançado para cima em curva leva mais
tempo para voltar ao solo doque se este objeto fosse lançado verticalmente.
Esta é uma concepção incorreta decorrente do fato verdadeiro que a distância
total percorrida pelo objeto lançado em curva ser maior que daquele lançado
verticalmente. Na verdade o movimento vertical é determinado pela atração
gravitacional, que é tal que puxa os objetos em relação à Terra com a mesma
velocidade, independentemente da trajetória que eles efetuam. Da mesma
forma, um objeto que cai em curva (lançado horizontalmente) gasta o mesmo
tempo para chegar ao chão que um objeto idêntico solto ao mesmo tempo da
mesma altura mas que cai verticalmente em queda livre.
26
1.14 Aceleração Relativa
Objetivo
Mostrar que em queda livre os corpos caem com a mesma aceleração.
Materiais Utilizados
1 tubo de plástico transparente (ou uma garrafa PET cortada a parte supe-
rior), 1 pedaço de barbante, 1 porca (de parafuso), 1 disco metálico (ou algo
que faça barulho quando sofre um impacto), 1 tesoura.
Montagem e Procedimento
Fixe o disco metálico no fundo do tubo e amarre o barbante e a porca de
acordo com o esquema da Fig.(1.9). As dimensões dos pedaços de barbante
devem ser tal que, quando rompido na parte superior, a porca possa tocar
o disco metálico no fundo do tubo. Estando o conjunto montado corte o
barbante com a tesoura, provocando a queda livre do conjunto. Constate
que, durante a queda, a porca não toca o disco metálico. Somente ouve-se o
barulho do impacto quando o conjunto toca o solo.
Figura 1.9: Tubo, barbante, porca e disco metálico.
27
Análise e Explicação
Durante a queda livre a aceleração relativa entre o tubo e a porca é nula
pois, mesmo em movimento, a porca mantém fixa sua posição relativa ao
tubo. Isso porque, tanto a porca como o tubo caem com a mesma aceleração
g, que é aceleração da gravidade.
Suponhamos que o tubo plástico fosse bem maior, e a porca fosse substi-
tuída por um observador. Nessa situação, se o observador não pudesse obser-
var o exterior, ele não saberia dizer se estava flutuando no espaço vazio ou se
estava caindo em queda livre num campo gravitacional. Isso é semelhante ao
que diz o principio da equivalência da teoria da relatividade geral.
28
1.15 Imponderabilidade da Queda Livre
Objetivo
Demonstrar que durante a queda livre o peso aparente dos corpos se anula.
Materiais Utilizados
1 copo plástico (desses de tomar bebida), 1 caneta ou compasso (ou algo
similar usado para furar), água.
Montagem e Procedimento
Faça um furo com a ponta da caneta no copo plástico, de modo que,
quando com água, ela jorre por ele. Coloque água no copo, segurando o furo
tapado com o dedo. Em seguida pegue o copo com água e o solte em queda
livre de uma certa altura. Você perceberá que, durante a queda livre a água
para se sair pelo orifício do copo (Fig.1.10).
Figura 1.10: Garrafa furada com água em queda livre.
Análise e Explicação
Durante a queda livre a água para de jorrar pelo orifício do copo, em
decorrência da anulação do peso da água. Durante a queda livre ocorre um
29
equilíbrio entre a força de inércia e a força peso.
30
1.16 Espaço em Função do Tempo em Queda Livre
Objetivo
Visualizar como varia a posição de um objeto no decorrer do tempo num
movimento de queda livre (uniformemente acelerado).
Materiais Utilizados
12 porcas pequenas (essas de parafuso, de mesmo tamanho), 5 pedaços de
barbante (de 50cm cada), 1 pedaço de barbante de cada comprimento especí-
fico (10cm, 30cm, 50cm, 70cm e 90cm), 1 microcomputador com microfone
e o software Audacity (ou outro similar).
Montagem e Procedimento
Forme um cordão com 6 porcas, espaçadas a distâncias iguais (50cm),
e um outro cordão também com 6 porcas, só que posicionadas geometri-
camente a distâncias proporcionais a quadrados inteiros: 1, 4, 9, 16, 25 e
36 (utilizam-se os barbantes com as medidas descritas anteriormente). Um
esquema da disposição das porcas ligadas por barbantes está representado
na Fig.(1.11). Na Fig.(1.11-a) temos as porcas igualmente espaçadas e na
Fig.(1.11-b) as porcas espaçadas à distâncias proporcionais à quadrados de
números inteiros4.
Utilize o software Audacity para a captação e a análise gráfica do som.
Coloque o microfone rente ao chão e acione o botão gravar no Audacity.
Segure o cordão com as porcas igualmente espaçadas na vertical, com a pri-
meira esfera próxima ao chão e ao microfone, e largue-o. O microfone capta
o som das colisões das porcas com o chão e os dados são enviados para o
computador e analisados pelo Audacity. Faça o mesmo procedimento com o
outro cordão que tem porcas espaçadas a distâncias proporcionais a quadra-
dos inteiros. Analise e compare os gráficos gerados.
4Aqui o espaçamento é medido desde o início do fio. Isso porque: 12 = d, 22 = 4 =
d + 3d = 4d, 32 = 9 = d + 3d + 5d = 9d, 42 = 16 = d + 3d + 5d + 7d = 16d,
52 = 25 = d+ 3d+ 5d+ 7d+ 9d = 25d.
31
Figura 1.11: Porcas: a- Igualmente espaçadas; b- Espaçadas á distâncias proporci-
onais à quadrados de números inteiros.
Análise e Explicação
A natureza do movimento de um objeto em queda livre tem sido de inte-
resse de cientistas e filósofos por muito tempo. Aristóteles dizia que objetos
mais pesados caíram mais rapidamente do que os corpos leves. Galileu Gali-
lei afirmou que, na ausência de resistência do ar, todos os objetos caem com
mesma aceleração.
Na época de Galileu não havia meios de se obter um vácuo e equipamen-
tos de medição precisa de intervalos de tempo eram inexistentes. A famosa
experiência em que Galileu soltou diferentes objetos da torre de Pisa e ob-
servou os seus respectivos tempos de queda, talvez seja apenas lenda. O que
Galileu realmente fez foi rolar uma bola em um plano inclinado. Isso porque,
neste caso, reduz-se a aceleração em comparação com a aceleração de queda
livre, o que torna mais fácil a medição dos intervalos de tempo. Reduzem-se
também os efeitos da resistência do ar.
Galileu observou em seu experimento que, em intervalos de tempo iguais
a bola percorria distâncias proporcionais a inteiros ímpares: 1, 3, 5, 7, ....
Concluiu, então, que as distâncias aumentavam com o quadrado do tempo.
Sabemos hoje que isso ocorre somente quando a aceleração envolvida é cons-
tante.
O movimento de queda livre de corpos próximos da superfície da terra
pode ser descrito pela equação horária da posição (altura h) para um movi-
mento uniformemente acelerado:
h(t) = h0 + v0t+
1
2gt
2
32
onde h0 e v0 são, respectivamente, a posição e a velocidade iniciais do mo-
vimento no instante t = 0. Escrevemos h(t) tomando um referencial vertical
com sentido positivo para baixo. Com essa convenção, a aceleração g tem
sentido positivo. A velocidade correspondente do corpo, em função do tempo
é:
v(t) = v0 + gt
Se o corpo parte do repouso, v0 = 0, e se tomamos como origem a posi-
ção inicial do mesmo, h0 = 0, temos, então, que a distância percorrida (h) e
a velocidade (v) de um corpo em queda livre, abandonado do repouso são:
h(t) = 12gt
2
v(t) = gt
Como pode-se observar, o deslocamento h do corpo é proporcional ao qua-
drado do tempo t de movimento (h ∝ t2), e sua velocidade v aumenta de
maneira linear com o mesmo, devido à aceleração da gravidade (g).
Observando-se o gráfico no Audacity (Fig.1.12) verifica-se que, quando o
primeiro cordão é derrubado, as porcas igualmente espaçadas batem no chão
em intervalos de tempo progressivamente mais curtos.
Figura 1.12: Som de impacto com o solo das porcas igualmente espaçadas no cor-
dão.
Os intervalos de tempo T entre as colisões das esferas com o solo são
cada vez menores: T1 > T2 > T3 > T4 > T5. Isso ocorre porque cada porca
posterior àquela que colidiu com o solo continua aumentando sua velocidade,
33
o que faz com que ela demore um menor intervalo de tempo para percorrer a
mesma distância.
Quando o cordão com as porcas posicionadas a distâncias proporcionaisaos quadrados inteiros é derrubado, as mesmas colidem com o solo em in-
tervalos de tempo iguais, como pode ser visto na Fig.(1.13). Neste caso, os
intervalos de tempo entre as colisões das esferas com o solo são praticamente
iguais: T1 = T2 = T3 = T4 = T5.
Figura 1.13: Som de impacto com o solo das porcas posicionadas a distâncias
proporcionais a quadrados inteiros.
Uma maneira semelhante de realizar esse experimento é fazer a filma-
gem de um objeto num movimento de queda livre. Capta-se o movimento
com uma câmera digital de qualidade e depois manipula-o num software
adequado, de modo a visualizar o movimento de uma maneira interessante.
Como exemplo, podemos citar o software VirtualDub, que seleciona o trecho
do vídeo e o salva numa série de imagens, e o Image J, que sobrepõem essas
imagens. Com isso é possível ver como são as posições do objeto no decorrer
do tempo. Recomenda-se realizar a filmagem num ambiente bem iluminado
(para não borrar as imagens) e que a cor do fundo contraste bem com a cor
do objeto em queda livre.
34
1.17 Determinando a Aceleração da Gravidade
Objetivo
Determinar o valor da aceleração da gravidade através de um experimento
semelhante ao realizado por Galileu.
Materiais Utilizados
1 cronômetro, 1 trena, 1 porca metálica pequena (ou uma arruela), 1 fio
de náilon (com 2m a 3m de comprimento), 1 suporte para amarrar o fio, 1
transferidor, óleo de cozinha (ou alguma outra substância com função lubri-
ficante).
Montagem e Procedimento
Passe o fio de náilon por dentro da porca e fixe (amarre) firmemente as ex-
tremidades do fio de modo a formar um desnível. Um esquema da montagem
do experimento está na Fig.(1.14).
Figura 1.14: Porca em movimento no fio.
O fio de comprimento l faz um ângulo de inclinação θ com a horizontal
(recomenda-se entre 30◦ e 40◦). O ângulo θ pode ser medido diretamente
com o transferidor ou através do seu seno onde, de acordo com o triângulo
retângulo senθ = h/L, onde h é o desnível entre os dois pontos fixos do fio.
Lubrifique bem a porca e o fio, passando nele óleo (pode ser com o pró-
prio dedo), de modo a reduzir ao máximo o atrito entre eles. Solte a porca do
ponto superior do fio, acionando simultaneamente o cronômetro, e marque
35
o tempo que ela leva para percorrer toda a extensão do fio. Repita o expe-
rimento várias vezes e obtenha uma média dos valores obtidos. Com esses
dados determine a aceleração sofrida pela porca e, posteriormente a acelera-
ção da gravidade.
Uma outra forma de realizar esse experimento é através do rolamento de
esferas num plano inclinado (ou num trilho de cortina), de maneira quase
idêntica ao realizado por Galileu. O procedimento é praticamente o mesmo
que o aqui abordado.
Análise e Explicação
Despresando o atrito entre a porca e o fio, pode-se dizer que o movimento
descrito pela porca é uniformemente acelerado. A distância x que a arruela
percorre ao longo de um tempo t, partindo do repouso é dado por:
x = 12at
2 (1.3)
Conhecendo-se x e t, encontra-se a partir de (1.3) a aceleração:
a = 2x
t2
(1.4)
Fazendo uma decomposição de forças da porca no fio, como represen-
tado no diagrama da Fig.(1.15), tem-se que o peso da arruela na direção do
movimento (~Pt) é dada por Pt = Psenθ, ou:
Pt = mgsenθ (1.5)
onde mg é a intensidade do peso ~P
Sendo que a força que produz a aceleração é o peso na direção do movi-
mento (Pt), pela segunda lei de Newton F = ma, vem que:
Pt = ma (1.6)
Levando as Eqs.(1.4) e (1.5) em (1.6), e considerando que a porca percorre o
comprimento l do fio num tempo t obtem-se:
g = 2l
t2senθ
36
Figura 1.15: Decomposição de forças da porca no fio.
A terra, assim como todos os corpos celestes, possui um campo gravi-
tacional ao seu redor em que todos os objetos aí contidos são atraídos para
o centro do planeta. O campo age sobre os objetos, provocando neles uma
força, fazendo com que eles sofram uma aceleração, a chamada aceleração
gravitacional. A intensidade desta depende da massa e do tamanho do corpo
celeste, e varia nele de acordo com a latitude, a altitude e outros fatores. Por
exemplo, a aceleração da gravidade é um pouco maior nos pólos (média de
g = 9, 83m/s2) do que na linha do Equador (média de g = 9, 78m/s2).
Além disso, o valor de g diminui com a altitude. No monte Everest, por
exemplo, a um pouco mais de 8.000m de altitude, g = 9, 76m/s2.
No entanto, para a grande parte dos fenômenos que ocorrem, os quais
tem pequeno alcance e curta duração, a aceleração da gravidade g pode ser
considerada constante, com valor g = 9, 8m/s2 (em alguns casos arredonda-
se para g = 10m/s2).
37
1.18 Velocidade Inicial de uma Bola
Objetivo
Determinar a velocidade inicial de uma bola após o chute.
Materiais Utilizados
1 bola, 1 superfície plana e 1 parede, 1 trena, 1 notebook com microfone
e o software Audacity (ou outro similar).
Montagem e Procedimento
Estando numa superfície plana e diante de uma parede, deixe a bola em
repouso numa determinada posição. Com a trena, meça a distância d entre a
bola e a parede. Conecte o microfone ao notebook e coloque-o num ponto
aproximadamente equidistante da bola e da parede. Peça para um aluno chu-
tar a bola diretamente na parede e grave no computador os sons produzidos
no processo e captados pelo microfone.
Grave o áudio no Audacity, que é capaz de controlar a gravação e exibir
graficamente a forma da onda obtida. O registro da onda sonora apresentará
dois pulsos distintos, os quais correspondem, respectivamente, ao chute da
bola e a colisão desta com a parede. O inicio de cada pulso pode ser deter-
minado com precisão de milésimos de segundo. O tempo ∆t que a bola leva
para efetuar o trajeto é a diferença entre esses dois pulsos.
O microfone deve estar numa posição equidistante da bola e da parede,
pois isso cancela os atrasos associados à propagação do som. É importante
que a bola não bata na parede numa região muito distante da medida. Outra
maneira é medir a distância depois de chutar a bola.
O que será determinado nesse experimento é a velocidade média da bola
entre o local em que é chutada e a parede. Se essa distância for pequena, a
velocidade média tem valor bem próximo da velocidade inicial.
38
Análise e Explicação
Sendo que muitos sistemas mecânicos têm sua evolução temporal mar-
cada pela emissão de sons, uma gravação de áudio pode fornecer medidas
precisas de certos intervalos de tempo de interesse, mesmo quando eles são
pequenos. Intervalos de tempo pequenos são difíceis de serem medidos com
o cronômetro. Embora a precisão dos cronômetros manuais cheguem a mi-
lésimos de segundos, o tempo de reação humano é da ordem de décimos de
segundo, o que impossibilita a extração de medidas precisas.
No experimento aqui descrito, a velocidade de chute da bola é dada pela
razão entre a distância d e o intervalo de tempo ∆t:
v = d∆t
39
1.19 Tempo de Queda
Objetivo
Fazer uma cronometragem sonora do tempo de queda livre de um corpo.
Materiais Utilizados
1 notebook com microfone e o software Audacity (ou outro similar), 1
tira de papel, 1 régua rígida (ou algo semelhante), 1 moeda, 1 trena.
Montagem e Procedimento
Coloque a moeda sobre a tira de papel, que está a uma certa altura do solo.
Coloque o microfone a meia altura entre a tira de papel e o solo e acione a
gravação do som no software citado. Em seguida, com a régua golpeie a tira
com força, de modo a rompê-la. Com isso a moeda perde a sustentação do
papel e cai.
Dois pulsos podem ser ouvidos e vistos na gravação. O primeiro corres-
ponde ao golpe dado na tira de papel e o segundo ao choque da moeda com
o chão (os pulsos seguintes são produzidos pelos quiques após a queda). O
intervalo de tempo ∆t entre os dois primeiros pulsos é o tempo de queda.
Meça a altura entre a tira de papel e o solo com a trena. Utilize uma estaca
para manter a tirade papel na altura fixa. Repita o experimento diversas vezes
de alturas diferentes e compare os tempos experimentais com os teóricos de
queda.
Análise e Explicação
Partindo do repouso, o tempo de queda ∆t de um objeto que cai de uma
altura h é dado por:
t =
√
2h
g
onde g é a aceleração da gravidade local.
Para alturas de poucos metros o tempo de queda é pequeno demais para
ser medido com precisão com um cronômetro de mão. A determinação desse
40
intervalo de tempo através de gravações de áudio é uma alternativa precisa e
econômica, já que utiliza equipamentos simples.
41
1.20 Relatividade das Trajetórias
Objetivo
Construir um experimento que demonstre a relatividade das trajetórias.
Materiais Utilizados
1 carrinho de pilha, 1 pequeno mastro, 1 esfera de ferro, 1 argola com
haste, 1 copinho plástico (ou algo semelhante), 1 eletroímã, 1 pilha, fios elé-
tricos (finos).
Montagem e Procedimento
Prenda um mastro na vertical no carrinho de pilha. Na parte superior do
mastro coloque o eletroímã, com capacidade para suspender a esfera quando
ativado. A haste com argola é presa no meio do mastro, de modo que a
esfera passe por ele. O copinho fica sobre o carrinho, na linha vertical do
eletroímã e a argola. Conecte uma pilha para alimentar o eletroímã e engate
2 fios compridos para fechar e abrir o circuito, podendo ser controlado à
distância. O esquema da montagem do equipamento para este experimento
está na Fig.(1.16).
Figura 1.16: Carrinho de pilha com haste, eletroimã, copo e argola.
Com o carrinho em repouso, ligue o eletroimã (fechando o circuito elé-
trico) e encoste nele a esfera, a qual ficará grudada. Desligando o eletroímã
42
você observa a esfera cair em linha reta, passando pela argola e caindo dentro
do copinho. Ligue o carrinho de maneira que ele se mova com velocidade
constante e repita o mesmo procedimento de soltar a esfera. Por incrível que
pareça, você observará novamente a esfera passar pela argola e cair dentro do
copinho.
Análise e Explicação
Para o referencial do carrinho, o movimento da bola é apenas vertical.
Para o referencial do solo, a bola descreve uma trajetória oblíqua, que é uma
composição de movimento vertical com movimento horizontal.
Do ponto de vista do carrinho, o movimento da bola ocorre da mesma
maneira, estando ele em repouso ou em movimento em linha reta com velo-
cidade constate (movimento retilíneo uniforme).
43
1.21 Lançamento Horizontal 1
Objetivo
Determinar a velocidade de lançamento horizontal de uma esfera a partir
do alcance horizontal máximo.
Materiais Utilizados
1 esfera, 1 mesa, 1 trena, 1 giz.
Montagem e Procedimento
Sobre a mesa horizontal de altura h em relação ao solo impulsione a
esfera, de modo que ela seja arremessada horizontalmente, como mostra a
Fig.(1.17).
Figura 1.17: Esfera lançada horizontalmente.
Arremesse a esfera com diferentes velocidades e com a trena meça o al-
cance máximo (xmax) delas. Para facilitar a localização do ponto de impacto
com o solo é importante que uma outra pessoa fique mais próxima ao local
e marque o chão com o giz. Através dos valores de h e xmax encontre a
velocidade inicial de lançamento.
44
Análise e Explicação
O lançamento horizontal é um caso especial de lançamento oblíquo e
corresponde à situação em que θ = 0. A componente da velocidade ~v0 na
direção horizontal (direção x) é v0x = v0cosθ. Sendo θ = 0, donde vem
cos0 = 1, e que nessa direção a velocidade permanece constante, temos:
vx = v0
A componente de ~v0 na direção vertical (direção y): voy = vosenθ, é
nula, pois senθ = 0: voy = 0.
Um objeto lançado horizontalmente com velocidade v0, de uma altura
h, tem como trajetória uma curva voltada para baixo, com velocidade verti-
cal inicialmente nula, e que vai aumentando no decorrer do tempo, devido a
atuação da aceleração da gravidade (g).
Horizontalmente e verticalmente, as respectivas posições de um objeto
lançado horizontalmente de uma altura h com velocidade v0, num instante t,
são:
x = v0t (1.7)
y = h− 12gt
2 (1.8)
O tempo de queda, ou seja, o tempo que o objeto demora para atingir o
solo depende unicamente da altura h da qual ele é lançado. Fazendo y = 0 e
isolando t em (1.8), encontra-se:
t =
√
2h
g
(1.9)
Levando (1.9) em (1.7), encontramos a velocidade inicial de lançamento em
função do alcance máximo (xmax):
v0 = xmax
√
g
2h (1.10)
Sendo que g é constante (g = 10m/s2), substituíndo-se os valores experi-
mentais de h e xmax em (1.10) e encontra-se a intensidade da velocidade
inicial de lançamento (v0).
45
1.22 Lançamento Horizontal 2
Objetivo
Prever o ponto de colisão com o solo de uma esfera lançada horizontal-
mente de uma certa altura.
Materiais Utilizados
1 esfera, 1 cronômetro, 1 régua, 1 mesa, 1 trilho, 1 copo plástico pequeno
(ou outro recipiente semelhante).
Montagem e Procedimento
Com o trilho monte uma rampa sobre uma mesa, de modo que sua parte
inferior fique a uma distância d da borda da mesa, como representado na
Fig.(1.18).
Figura 1.18: Lançamento horizontal de uma esfera.
Inicie o experimento soltando a esfera de um determinado ponto do trilho,
de modo que ela ganhe velocidade, percorra a trajetória plana e seja lançada
horizontalmente para fora da mesa. Solte várias vezes a esfera da mesma
posição, marcando com o cronômetro o tempo que a esfera demora para per-
correr a distância d (trajetória plana)5. Faça uma média dos diversos tempos
5Sempre recolha a esfera ainda no ar, não deixando ela cair no chão. É importante lembrar
que um aspecto importante deste experimento é fazer a previsão do alcance.
46
obtidos, meça a distância d e calcule a velocidade inicial de lançamento da
esfera.
Em seguida use as equações dos lançamentos de projéteis e determine a
distância x em que a esfera cai da extremidade da mesa, distância essa medida
no chão a partir da projeção de uma linha vertical que passa pela borda da
mesa. Coloque o copo nesse ponto estimado e, soltando novamente a esfera,
da mesma posição no trilho, veja se ela realmente cai dentro do copo.
Análise e Explicação
Quando solta no trilho a esfera ganha velocidade até chegar a mesa plana.
Enquanto percorre a região plana, de distância d, a velocidade permanece
praticamente constante. Essa velocidade, que é a velocidade de lançamento
v, é determinada por:
v = d
t
onde t é o tempo que a esfera demora para percorrer a distância d.
Depois de lançada, os movimentos da esfera nas direções horizontal e
vertical podem ser considerados independentes um do outro. A equação que
fornece a sua posição y na vertical, em função do tempo é y = h + vot −
(1/2)gt2. Sendo que a velocidade inicial v0 com a qual a esfera é lançada na
direção vertical é nula:
y = h− 12gt
2 (1.11)
Na direção horizontal a posição x é dada por x = x0 + vt, onde v é a
velocidade com a qual a esfera foi lançada da mesa. Fazendo x0 = 0:
x = vt (1.12)
Quando a esfera toca o solo tem-se que y = 0. Dessa forma, isolando o
tempo de queda t da esfera em (1.11):
t =
√
2h
g
e substituíndo em (1.12), vem que o alcance máximo xmax de lançamento é:
xmax = v
√
2h
g
47
Conhecendo o valor da aceleração da gravidade g, medindo-se a altura da
mesa h e determinando a velocidade de lançamento v encontra-se o valor do
alcance máximo (xmax).
48
1.23 Lançador de Projéteis, Ângulo e Alcance
Objetivo
Construir um lançador de projéteis e verificar o alcance destes em função
do ângulo de lançamento.
Materiais Utilizados
1 cano de PVC, 1 mola de caderno (com diâmetro tal que passe dentro
do tubo de PVC), barbante, 1 esfera (bola de gude), fita adesiva, 1 trena, 1
transferidor.
Montagem e Procedimento
Inicialmente construa o lançador de projéteis. Fixe a extremidade da
mola numa das extremidades do tubo, usando fita adesiva (ouum pedaço
de arame), se necessário. Prenda o barbante na outra extremidade da mola,
passando no meio da extremidade em que a mola está presa. Este barbante
tem a finalidade de comprimir e soltar mola, propiciando o lançamento. Puxe
o barbante, de modo a comprimir a mola e coloque a esfera dentro do tubo.
Um esquema da montagem do lançador está na Fig.(1.19).
Figura 1.19: Lançador de projéteis.
Segure o tubo rente ao plano do chão (ou de uma mesa), meça o ângulo
de lançamento com o transferidor e solte o barbante. Isso fará com que a
esfera seja lançada obliquamente. Em seguida, com a trena meça a distância
entre o ponto de lançamento e o ponto atingido pela esfera (Fig.1.20).
Repita o mesmo procedimento variando o ângulo θ de lançamento e ve-
rifique os respectivos alcances máximos xmax por eles. Procure descobrir
como xmax varia em função do ângulo θ.
49
Figura 1.20: Lançamento de projétil.
Análise e Explicação
O lançamento oblíquo é formado por dois movimentos simultâneos e in-
dependentes: um movimento retilíneo e uniforme na direção horizontal e um
movimento retilíneo uniformemente variado na direção horizontal. Um corpo
lançado obliquamente descreve uma trajetória com formato de parábola. Na
Fig.(1.21) temos uma representação do lançamento oblíquo, juntamente com
os principais elementos envolvidos.
Figura 1.21: Representação de um lançamento oblíquo.
A velocidade ~v0 decompõem-se nas direções x e y, respectivamente como:
v0x = v0cosθ
v0y = v0senθ
A posição na horizontal do objeto lançado, considerando x0 = 0 é dado
por:
x = v0cosθ.t (1.13)
50
A velocidade na horizontal permanece constante, de modo que:
vx = v0cosθ (1.14)
As equações que descrevem a velocidade e a posição do objeto na direção
vertical são:
vy = vosenθ − gt (1.15)
y = vosenθ.t− 12gt
2 (1.16)
O alcance máximo ocorre quando o objeto novamente atinge o solo de-
pois de lançado, e nesse momento y = 0. Dessa forma, a partir da Eq.(1.16)
tem-se:
vosenθ.t− 12gt
2 = 0
Resolvendo esta equação obtem-se t′ = 0, o que significa que o objeto
encontra-se no solo quando foi lançado, e:
t′′ = 2v0senθ
g
(1.17)
que é o tempo que ele demora para atingir o solo
Levando (1.17) em (1.13) vem que o alcance horizontal máximo é dado
por:
xmax =
2v20senθcosθ
g
(1.18)
Considerando a relação trigonométrica sen2θ = 2senθcosθ, escreve-se
(1.18) como:
xmax =
v20sen2θ
g
Em função do ângulo θ, xmax terá valor máximo quando sen2θ = 1, o que
corresponde6 a θ = 45◦.
Algo importante a ser lembrando é que nunca se deve usar raízes não exa-
tas em resultados envolvendo conceitos trigonométricos. Para que os valores
de sen, cos e tg tenham significado físico eles precisam estar na forma deci-
mal. Uma velocidade do tipo
√
2m/s teria infinitos algarismos significativos,
o que nenhum instrumento de medida é capaz de fornecer.
6O ângulo de ancance máximo para objetos pontuais em condições ideais é de 45◦. No
entanto, saltadores em provas de atletismo, por exemplo, no salto em distância decolam entre
17◦ e 24◦. Isso deve-se às características do corpo humano, que é um corpo extenso.
51
1.24 Lei da Inércia 1
Objetivo
Ilustrar a lei da inércia.
Materiais Utilizados
1 moeda, estar dentro de um ônibus (ou num automóvel) em movimento.
Montagem e Procedimento
Estando de pé dentro do ônibus, ao perceber que ele está se deslocando
em linha reta com velocidade constante, jogue a moeda para cima. Observe
que ela retorna às suas mãos. Mas por que ela não cai atrás de você, já que o
ônibus e você estão se movendo para frente?
Montagem e Procedimento
Da mesma maneira que o ônibus e você estão se deslocando para frente,
a moeda também está se deslocando junto com você. De acordo com a lei da
inércia, quando um corpo está em movimento ele tende a continuar em mo-
vimento em linha reta com velocidade constante. Por isso, depois de lançada
a moeda se desloca para frente (em relação ao solo) e acaba caindo de volta
na sua mão.
O filósofo grego Aristóteles acreditava que um corpo somente poderia
permanecer em movimento se existisse uma força atuando sobre ele. Mui-
tos anos depois, através de experimentos cuidadosos Galileu Galilei chegou
a conclusão de que, se um corpo estiver em repouso, é necessária a ação de
uma força sobre ele para colocá-lo em movimento. Uma vez iniciado o mo-
vimento, cessando a ação das forças que atuam sobre o corpo, ele continuará
a se mover infinitamente, em linha reta e com velocidade constante7
A lei da inércia ou primeira lei de Newton nada mais é do que uma síntese
das idéias de Galileu relativas à inércia e diz que, na ausência de forças, um
7O que dificulta a verificação dessa segunda parte das conclusões de Galileu é a existência
de forças de atrito, força esta muitas vezes difícil de ser eliminada.
52
corpo em repouso continua em repouso e um corpo em movimento continua
em movimento em linha reta com velocidade constante. Tudo o que possui
matéria tem inércia, de modo que a inércia é uma característica própria da
matéria.
53
1.25 Lei da Inércia 2
Objetivo
Construir um experimento simples que ilustre a lei da inércia.
Materiais Utilizados
1 pedaço de madeira (em forma de bloco), 2 pedaços de linha (linha fina
de costura), 1 suporte.
Montagem e Procedimento
Pendure num suporte o bloco de madeira por uma linha de costura (linha
1). No outro lado do bloco prenda outro pedaço de linha (linha 2), como
representado na Fig.(1.22).
Figura 1.22: Bloco e linhas.
Puxe lentamente a linha 2 e perceba que rompe-se a linha 1. Repita no-
vamente o experimento puxando rapidamente a linha 2 e constate que agora
é ela mesma que se rompe. Mas porque ocorre essa diferença?
54
Análise e Explicação
Ao se puxar lentamente a linha 2 rompe-se a linha 1, pois a força exercida
sobre a linha 1 é maior do que a exercida sobre a 2. Isso ocorre porque sobre
a linha 2 age também a força peso exercida pelo bloco.
No segundo caso rompe-se a linha 2 devido à inércia do bloco, que possui
grande massa, quando comparado com a massa total do sistema. O bloco
de madeira está em repouso e a tendência dele é permanecer em repouso.
Como o puxão na linha 2 é rápido a mudança de movimento demora para
ser transmitida para o restante do conjunto, o que acaba ocasionando o seu
rompimento.
55
1.26 Lei da Inércia 3
Objetivo
Ilustrar a lei da inércia
Materiais Utilizados
1 copo, 1 folha de papel cartolina, 1 moeda.
Montagem e Procedimento
Coloque um pedaço de papel cartolina na boca de um copo e sobre ele
uma moeda. Puxe fortemente o papel numa certa direção horizontal e observe
que a moeda cai dentro do copo (Fig.1.23).
Figura 1.23: Moeda no copo.
Uma outra forma de realiza este experimento é colocar uma toalha sobre
uma mesa e dispor alguns objetos sobre a toalha. Puxando a toalha rapida-
mente, os objetos permanecem sobre a mesa.
Análise e Explicação
A moeda acaba caindo dentro do copo devido à sua inércia: se ela está em
repouso, ela tende a continuar em repouso. Como retira-se o papel, ela acaba
por cair dentro do copo. O mesmo ocorre com os objetos sobre a toalha. Se
eles estão em repouso eles tendem a continuar em repouso. Como a toalha é
puxada rapidamente os objetos acabam ficando sobre a mesa.
56
1.27 Lei da Inércia 4
Objetivo
Evidenciar a lei da inércia
Materiais Utilizados
1 caderno, 1 borracha (ou um outro objeto semelhante).
Montagem e Procedimento
Coloque a borracha sobre o caderno. Segure o caderno e movimente-
o horizontalmente, e depois pare-o bruscamente. Observe que a borracha
acaba sendo lançada para frente. A sequência desse experimento está esque-
matizado na Fig.(1.24).
Figura 1.24: Caderno e borracha.
Análise e Explicação
A borracha é lançada no sentido em que o caderno estava se movimen-
tando. Inicialmente o cadernoe a borracha estão em movimento e eles ten-
dem a continuar em movimento. O caderno é parado e a borracha tende a
seguir em linha reta com velocidade constante.
Muitas vezes é difícil verificar a primeira lei de Newton (lei da inércia)
com experimentos diretos porque não podemos eliminar todas as forças ex-
ternas que agem numa partícula.
57
1.28 Centrífuga
Objetivo
Verificar o funcionamento de uma centrífuga.
Materiais Utilizados
1 recipiente cilíndrico (uma lata, por exemplo), barbante, 1 suporte, 1
pano, água, 1 prego, 1 martelo.
Montagem e Procedimento
Pegue o recipiente cilíndrico vazio e faça diversos orifícios em sua super-
fície lateral, utilizando o prego e o martelo (ou algum outro procedimento).
Suspenda o cilindro por meio de 3 pedaços de barbante, como mostra a
Fig.(1.25).
Figura 1.25: Centrífuga.
Coloque no interior do recipiente um pano bastante molhado e em se-
guida gire o recipiente de modo que seja provocada uma torção acentuada
nos cordões e abandone o conjunto. Observe as trajetórias das gotas de água
que saem do recipiente através dos orifícios enquanto ele está girando.
58
Análise e Explicação
Ao entrar em rotação a tendência do pano molhado que está no interior
do recipiente é sair para fora, devido a força centrífuga atuante sobre ele. Ele
não faz isso porque a parede do recipiente exerce uma força centrípeta sobre
ele, fazendo com que ele mantenha-se em movimento circular. Nos orifícios
existentes na parede do cilindro não existe essa força centrípeta e as gotas de
água acabam saindo do recipiente.
A força centrífuga é uma força de inércia que é introduzida para justificar
o equilíbrio de um corpo em relação a um referencial acelerado quando este
corpo descreve trajetórias curvilíneas em relação a um referencial inercial.
Ela é uma força fictícia, já que não é oriunda de nenhuma interação, mas
apenas de um artifício matemático criado para que a primeira e a segunda lei
de Newton possam ser usadas em referenciais em que elas não valem.
Do ponto de vista de uma gota de água em contato com o rotor, ela está
em repouso porque a força centrífuga que a puxa para fora é equilibrada pela
força centrípeta exercida pelas paredes do rotor. Quando a gota entra no
orifício passa a não existir a força centrípeta, o que faz com que ela seja
lançada para fora.
É importante salientar que a força centrífuga é somente sentida no refe-
rencial da gota, não sendo definida no referencial externo, que é o referencial
inercial8. Para este referencial as gotas de água situadas nos orifícios do rotor
saem dele (na direção tangente) simplesmente devido à lei da inércia.
8Quando se adota um referencial inercial considera-se a força centrípeta, mas não a força
centrífuga, enquanto num referencial não inercial considera-se a força centrífuga, mas não a
força centrípeta. Embora tenham o mesmo módulo e direção e sentidos opostos, essas forças
não são forças de ação e reação.
59
1.29 Ação e Reação 1
Objetivo
Explicar a rotação de um corpo através da lei de ação e reação.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET (de 2L), 1 rolha, 3 pedaços de fio ou linha, 4 tubos de vidro
com formato de L (ou algo similar), 1 suporte, fita adesiva ou cola, água.
Montagem e Procedimento
Corte o fundo da garrafa e faça 3 furos (distantes igualmente um do outro)
próximo à borda, de modo a amarrar 3 pedaços de linha, como na Fig.(1.26).
Prenda a linha no suporte fixo, de modo a suspender a garrafa.
Figura 1.26: Garrafa em rotação.
Na rolha faça 2 furos de modo a introduzir 2 tubos L. Em cada um desses
tubos conecte outro tubo L (usando fita adesiva, cola, etc.), de modo que eles
fiquem como na Fig.(1.26). Prenda firmemente a rolha na boca da garrafa e
depois a encha de água. Solte o conjunto e perceba que a saída de água pelos
tubos de vidro coloca a garrafa em movimento de rotação.
60
Análise e Explicação
Devido ao formato em que os tubos de vidro foram dispostos, a saída
de água ocorre por jatos laterais. Estes produzem forças de ação e reação
que originam um torque, o qual faz o conjunto girar num sentido oposto ao
sentido dos jatos de água.
Se uma força ~FBA é aplicada por um corpo A sobre um corpo B, então há
uma força correspondente ~FAB que é a força aplicada pelo corpo B no corpo
A. Essas duas forças relacionam-se como:
~FAB = −~FBA
Apesar de terem a mesma intensidade, as forças de ação e reação não
produzirão sempre os mesmos efeitos nos corpos onde são aplicadas. Isso
dependerá de outras características, como a massa de cada objeto. É im-
portante também ressaltar que, embora as forças de ação e reação tenham a
mesma direção, a mesma intensidade, e sentidos opostos, como elas estão
aplicadas em corpos diferentes, elas não se cancelam entre si.
61
1.30 Ação e Reação 2
Objetivo
Evidenciar a lei de ação e reação.
Materiais Utilizados
1 prego, 1 imã.
Montagem e Procedimento
Sobre uma mesa lisa coloque um imã pequeno e um prego. Aproxime os
2 objetos até que a atração entre eles possa ser percebida e segure-os nessa
posição.
Mantenha o imã fixo e solte o prego. Observe que este é atraído pelo
imã, deslocando-se em direção à ele (Fig.1.27-a). Agora mantenha fixo o
prego e solte o imã. Observe que é o imã que é atraído pelo prego e acaba
deslocando-se em direção à ele (Fig.1.27-b).
Figura 1.27: a- Prego sendo atraído pelo imã; b- Imã sendo atraído pelo prego.
Análise e Explicação
Da mesma forma que o imã exerce uma força sobre o prego, o prego
exerce uma força sobre o imã. Quando um deles é fixo o outro é que se
movimenta até ele.
62
1.31 Skate Movido à Ar
Objetivo
Evidenciar o princípio da ação e reação no movimento de um skate com
um ventilador.
Materiais Utilizados
1 skate, 1 ventilador (ou aquecedor elétrico9), fita adesiva resistente.
Montagem e Procedimento
Prenda o ventilador sobre o skate com o auxílio da fita adesiva, como na
Fig.(1.28).
Figura 1.28: Skate e ventilador.
Coloque o conjunto numa superfície horizontal e ligue o ventilador. Você
observará todo o conjunto mover-se num dos sentidos. Inicialmente o venti-
lador pode ser deixado desligado. O operador pode controlá-lo, ligando ou
desligando o seu cabo de alimentação. Deve-se tomar cuidado para não bater
e danificar o conjunto.
Este experimento pode ser feito também numa escala menor, utilizando
um ventiladorzinho movido a pilha, preso num carrinho de brinquedo.
9O qual geralmente tem também a função de ventilador.
63
Análise e Explicação
O movimento do ar causado pelo ventilador, deslocado num sentido, pro-
voca o movimento do carrinho no sentido oposto. Isso ocorre devido à lei de
ação e reação, ou terceira lei de Newton. As pás do ventilador são levemente
inclinadas para que, ao moverem-se, empurrem o ar para trás (para trás em re-
lação ao skate, pois em relação ao ventilador elas sempre empurram o ar para
frente). O ar empurrado para trás empurra as pás do ventilador para frente.
Como o ventilador está fixado no carrinho, este acaba recebendo a ação da
reação do ar, movendo-se para frente.
64
1.32 Aceleração Vertical e Peso Aparente
Objetivo
Verificar a relação entre peso, força normal e aceleração.
Materiais Utilizados
1 balança de precisão (pequena), 1 objeto (pequeno).
Montagem e Procedimento
Coloque o objeto sobre a balança, segure-a na mão e movimente-a na
vertical. Procure erguê-la e/ou abaixá-la subitamente e acompanhe a medida
da massa do objeto. Observe que, quando ergue-se rapidamente a balança a
massa do objeto aumenta, e quando ela é abaixada, a massa diminui.
Análise e Explicação
Quando um objeto é colocado sobre a balança, o que ela mede é a inten-
sidade do seu peso (~P ) e fornece de maneira indireta a sua massa (m) através
da relação:
m = P
g
da qual observamos que peso e massa são diretamente proporcionais. Na
Fig.(1.29)temos as forças que agem sobre um objeto colocado sobre uma
balança.
Na verdade, a balança indica a intensidade da reação normal ~N do apoio
do objeto contra a balança, a qual depende também da aceleração da balança
na direção vertical, direção esta onde atua a força gravitacional.
O peso real de um objeto é medido quando a aceleração da balança é nula
(a = 0), e isso ocorre quando ela está parada ou movendo-se com velocidade
constante. Em termos de intensidade vem que:
N = P
65
Figura 1.29: Forças ~P e ~N agindo sobre um objeto.
Se a balança é acelerada para cima, de acordo com a segunda lei de New-
ton10
∑
F = ma, temos que N − P = ma e constatamos que:
N > P
ou seja, o peso medido pela balança é maior que o peso real do objeto.
Se a balança é acelerada para baixo, ela registra um peso do objeto menor
que o real, pois P −N = ma, donde vem que:
N < P
Um objeto (ou pessoa) não pode ter peso, do mesmo modo que não pode
ter força, porque ele não pode ter ação. Uma ação se faz, exerce ou sofre.
Um objeto pode fazer, exercer ou sofrer uma dessas ações. Peso é a ação que
a terra exerce sobre alguma coisa ou pessoa. Ele não é uma característica da
pessoa, como a massa, mas é a resultante da interação pessoa-terra.
10O termo
∑
F é chamado força resultante e representa a somatória de todas as forças.
66
1.33 Lei de Hook
Objetivos
Verificar a lei de Hook e determinar a constante elástica de uma mola
helicoidal.
Materiais Utilizados
Molas helicoidais de diferentes comprimentos e diâmetros (molas de ca-
derno), 1 régua (ou 1 trena), algumas massas conhecidas11.
Montagem e Procedimento
Suspenda uma mola, de modo que ela possa se distender verticalmente
para baixo. Para facilitar as medidas fixe a régua (ou trena) na parede verti-
cal. Vá acrescentando as massas à mola e meça a sua elongação em relação à
posição inicial (sem massa suspensa). Um esquema da montagem do experi-
mento está na Fig.(1.30).
Figura 1.30: Mola suspensa e distendida.
Com os dados obtidos preencha uma tabela, como a Tab.(1.6). O peso é
11Se foram massas diversas, deve-se utilizar uma balança de precisão para determiná-las.
67
dado por P = mg onde m é a massa suspensa (em kg). Para cada distensão
calcule o valor da constante elástica da mola k.
Tabela 1.5: Dados lei de Hook.
P (N) ∆x(m) k(N/m)
...
...
...
Com os dados da Tab.(1.6) construa um gráfico de ∆x em função de P .
Análise e Explicação
As molas e elásticos são estruturas que possuem a propriedade de deformar-
se sob esforços de tração ou compressão, e exercem forças de reação no sen-
tido de recuperar as suas dimensões originais.
Quando uma mola está sujeita à uma força ~F de deformação ao longo
do seu comprimento, ela passa a exercer uma força elástica ~Fel de mesma
intensidade e sentido oposto ao da força ~F :
~Fel = −~F
A força que uma mola troca com objetos em contato com ela é direta-
mente proporcional à sua deformação, de modo que:
~F = k~x (1.19)
onde k é a constante de proporcionalidade característica do material que cons-
titui a mola, denominada constante elástica. Perceba que neste caso a força é
variável, aumentando de maneira proporcional à deformação da mola. A ex-
pressão (1.19) recebe o nome de lei de Hook em homenagem ao físico inglês
Robert Hook que investigou o comportamento de materiais elásticos.
Experimentalmente obteve-se um conjunto de dados, os quais estão repre-
sentados na Tab.(1.6). Para cada par de valores de F (ou P ) e ∆x a constante
de Hook (k) é dada a partir de (1.19):
k = F∆x
68
Tabela 1.6: Dados lei de Hook.
P (N) ∆x(m) k(N/m)
0,479 0,023 20,8
0,978 0,050 19,6
1,470 0,074 19,9
1,957 0,098 20,0
2,447 0,122 20,0
2,940 0,148 19,9
3,430 0,173 19,8
Fazendo uma média aritmética dos valores encontrados obtemos uma
constante elástica da mola como sendo k = 20, 0N/m. O gráfico obtido
é semelhante ao da Fig.(1.31).
Figura 1.31: Gráfico de ∆x× P .
Repita o experimento utilizando outras molas ou altere o comprimento de
uma mesma mola. Veja como se comporta o valor de k.
69
1.34 Associação de Molas
Objetivo
Determinar a constante elástica de uma associação de molas helicoidais.
Materiais Utilizados
Algumas molas (as usadas no Exp.(1.33)), diversas massas, 1 lápis, bar-
bante.
Montagem e Procedimento
Com 2 molas com constantes elásticas conhecidas (talvez já determinadas
no Exp.(1.33)) associe-as em série, como mostra a Fig.(1.32). Se necessário
utilize barbante para prender as molas.
Figura 1.32: Associação de molas em série.
De maneira semelhante, associe as molas em paralelo, interligando-as
com um lápis, como mostrado na Fig.(1.33).
Realize o procedimento semelhante ao Exp.(1.33) e determine a constante
elástica equivalente para cada associação.
70
Figura 1.33: Associação de molas em paralelo.
Análise e Explicação
Na associação em série a intensidade da força aplicada nas 2 molas é
igual à deformação total do sistema ∆x, a qual é:
∆x = ∆x1 + ∆x2 (1.20)
onde ∆x1 e ∆x2 são as deformações em cada mola.
Através da lei de Hook F = k∆x vem que:
∆x = F
k
(1.21)
Sendo ks a constante elástica equivalente da associação em série, relacio-
nando (1.21) com (1.20), encontram-se:
1
ks
= 1
k1
+ 1
k2
ou:
ks =
k1k2
k1 + k2
No caso de n molas associadas em série, vem que:
1
ks
= 1
k1
+ 1
k2
+ ...+ 1
kn
Na associação em série a constante elástica ks é sempre menor que a
menor constante elástica da associação. Por isso que, para uma força aplicada
71
de intensidade ~F a deformação ∆x é maior que os deslocamentos individuais
em cada mola.
Na associação em paralelo, aplicando-se uma força ~F na barra rígida
que prende as 2 molas, estas sofrem deformações iguais. Cada mola sofre a
atuação de uma força, de modo que:
F = F1 + F2 (1.22)
Sendo kp a constante elástica da associação em paralelo, relacionando a lei
de Hook com (1.22), vem que:
kp = k1 + k2
No caso de n molas associadas em paralelo, kp fica determinada por:
kp = k1 + k2 + ...+ kn
Na associação em paralelo a constante elástica kp é sempre maior que
as constantes elásticas de cada mola. Por isso a deformação da associação é
menor que a deformação de cada mola.
72
1.35 Forças no Movimento Circular
Objetivos
Verificar quais as forças que atuam sobre um objeto em movimento cir-
cular bem como o comportamento de tal objeto quando tais forças deixam de
agir.
Materiais Utilizados
1 pedra pequena (ou algo semelhante), 1 barbante.
Montagem e Procedimento
Amarre a pedra bem firme numa das extremidades do barbante. Segu-
rando o barbante pela outra extremidade coloque a pedra em movimento cir-
cular num plano vertical, como mostrado na Fig.(1.34-a).
Figura 1.34: Pedra presa ao barbante: a- Em movimento circular; b- Saindo pela
tangente.
Em seguida solte a linha que segura o objeto e observe que este tende a
sair da trajetória em linha reta no ponto onde foi solto, como representado na
Fig.(1.34-b).
73
Análise e Explicação
Estando a realizar um movimento circular com velocidade constante um
objeto tem uma aceleração centrípeta12 (~ac), bem como uma força centrí-
peta (~Fc), que apontam para o centro da trajetória, e velocidade vetorial (~v)
cuja direção é sempre tangente à posição do móvel, como representado na
Fig.(1.35).
Figura 1.35: Direções de ~Fc e ~v no movimento circular.
Os vetores ~v e ~ac mudam constantemente de direção durante o movi-
mento, mas sempre mantêm-se perpendiculares entre sí (~v⊥~ac). A acelera-
ção centrípeta (~ac) faz mudar continuamente a velocidade (~v), não alterando
o seu módulo, mas sim, apenas a sua direção.
Ao soltar a linha, deixa de existir a força centrípeta que aponta para o
centro da trajetória, a qual causa a aceleração ~ac, e o objeto tende a seguir na
direção de ~v, de acordocom a lei da inércia.
A intensidade da aceleração centrípeta é dada por:
ac =
v2
r
onde r é o raio da trajetória descrita. ~Fc e ~ac relacionam-se através da ex-
pressão ~Fc = m~ac, de modo que a intensidade da força centrípeta é escrita
como:
Fc =
mv
r
(1.23)
12O termo centrípeta significa aquilo que se dirige ou procura aproximar-se do centro.
74
Sendo v = ωr, pode-se escrever (1.23) como:
Fc = mω2r
75
1.36 Seguindo pela Tangente
Objetivo
Mostrar que um objeto em movimento circular tende a seguir a linha tan-
gente à curva quando não há forças atuando sobre ele.
Materiais Utilizados
1 esfera (bolinha de gude), 1 tesoura, 1 tampa circular com borda (uma
embalagem de pizza, por exemplo).
Montagem e Procedimento
Recorte um pedaço da borda da tampa circular, de modo a formar uma
fenda de largura igual ao diâmetro da esfera. Disponha a embalagem sobre
uma superfície horizontal e plana e coloque a bolinha em movimento, de
modo que ela gire encostada na borda, como representado na Fig.(1.36).
Figura 1.36: Esfera girando numa tampa com borda.
Observe que, mesmo tendo a abertura na borda, a bolinha cruza por ela
sem sair para fora da tampa.
Análise e Explicação
Quando um objeto percorre uma trajetória circular, há uma força centrí-
peta que mantém ele nessa trajetória. Neste experimento a força centrípeta
é exercida pela borda da embalagem. Quando a esfera encontra a abertura,
76
a força centrípeta deixa de existir. Mas, mesmo assim, a esfera não sai pela
fenda pois, na ausência da força centrípeta ela tende a seguir uma trajetória
retilínea, tangente à curva.
77
1.37 Principio Fundamental da Dinâmica
Objetivo
Relacionar as grandezas força, massa e aceleração.
Materiais Utilizados
2 carrinhos iguais (resistentes), 1 elástico, 1 régua, alguns pesos (para
variar a massa de um dos carrinhos, ou utilize um terceiro carrinho de massa
diferente dos outros), fita adesiva, 1 giz.
Montagem e Procedimento
Amarre os 2 carrinhos com o elástico (não muito forte), afastando-os por
uma certa distância e os solte, como mostra a Fig.(1.37).
Figura 1.37: Carrinhos amarrados.
Quando soltos os carrinhos vão acelerar e ir de encontro um do outro.
Marque no chão a distância donde eles partem e onde eles se encontram.
Verifique que eles percorrem distâncias aproximadamente iguais. Repita o
mesmo experimento algumas vezes.
Agora aumente a massa de um dos carrinhos amarrando com fita um peso
nele (ou substitua um dos carrinhos pelo outro de massa diferente) e realize
novamente o experimento. Verifique que as distâncias percorridas são dife-
rentes, sendo maior a distância percorrida pelo carrinho de menor massa.
Análise e Explicação
Os carrinhos estão interligados e trocam as forças ~F1 e ~F2, as quais são
sempre iguais em intensidade: F1 = F2. A atuação da força ~F1 sobre o car-
78
rinho 1 de massa m1 provoca nele a aceleração ~a1. De maneira semelhante,
a força ~F2 sobre o carrinho 2 de massa m2 provoca nele a aceleração ~a2.
Se a massa dos carrinhos são iguais m1 = m2, pela segunda lei de New-
ton ou principio fundamental da dinâmica ~F = m~a, vem que, em termos de
intensidade, a aceleração sofrida pelos dois carrinhos são iguais:
a1 = a2
Quando a massa dos carrinhos é diferente sofre aceleração de maior in-
tensidade o de menor massa. Suponha que m1 > m2. Sendo a = F/m, vem
que:
a1 < a2
de modo que o carrinho 1 percorra uma distância menor que o 2.
79
1.38 Atrito e Movimento
Objetivo
Comprovar a necessidade da força de atrito no movimento.
Materiais Utilizados
1 meia, 1 chão liso.
Montagem e Procedimento
Coloque uma meia nos pés (se estiver de tênis ou sapato basta tirá-los) e
tente andar em uma sala com chão bem liso13. Por que movimentar-se nessas
circunstâncias parece ser uma tarefa bastante difícil?
Análise e Explicação
Ao caminhar o pé da pessoa empurra o chão para trás e este reage no
pé da pessoa, empurrando-o para frente. Pé e solo trocam entre si forças de
atrito do tipo ação e reação (mesma intensidade, mesma direção e sentidos
opostos). Lembre-se que as forças estão aplicadas em corpos diferentes. Para
haver força de reação que impulsione a pessoa para frente deve existir força
de atrito que impeça o pé de escorregar no chão. A presença da meia no pé
da pessoa diminui muito a força de atrito com o solo, o que dificulta o seu
movimento.
A força de atrito sobre cada corpo ocorre no sentido oposto ao seu movi-
mento, em relação ao outro corpo. Elas sempre se opõem a este movimento
relativo e nunca o auxiliam. A força de atrito (fat) é definida como:
fat = µN
onde µ é o coeficiente de atrito (estático ou dinâmico) e N é a força normal,
ou seja, a força que o solo faz sobre o objeto ou corpo que nele toca. O
coeficiente de atrito (µ) depende dos materiais envolvidos nas superfícies de
13Cuidado para não levar um tombo.
80
contato. A única forma de obtê-lo é através de medidas experimentais, já
que não é possível calculá-lo teoricamente. As leis da força de atrito foram
estabelecidas ainda por Leonardo da Vinci, e as expressões matemáticas e o
coeficiente de atrito foram desenvolvidas alguns séculos depois por Charles
Coulomb.
O atrito é muito importante no cotidiano. Sem ele não seria possível
andar, ficar parado, segurar um lápis (e se isto fosse possível, ele não escre-
veria), etc.. Seria um caos total. No entanto, em algumas situações ele é
inconveniente. Em um automóvel, por exemplo, cerca de 20% da potência do
motor é utilizada para contrapor as forças de atrito.
81
1.39 Atrito Estático e Dinâmico
Objetivo
Diferenciar atrito estático e atrito dinâmico.
Materiais Utilizados
1 dinamômetro (pode ser 1 elástico ou 1 mola), um bloco (1 caderno, por
exemplo).
Montagem e Procedimento
Prenda o dinamômetro no bloco e coloque o conjunto sobre uma mesa
plana. Puxe o bloco pelo dinamômetro e verifique a intensidade da força que
ele marca, para iniciar o movimento e depois para manter o movimento em
linha reta com velocidade constante. Observe que a força necessária para tirar
o bloco do repouso e colocá-lo em movimento é maior do que para mantê-lo
em movimento retilíneo uniforme.
Repita o procedimento puxando o bloco sobre uma superfície mais ás-
pera, ou mais lisa, e compare os resultados.
Análise e Explicação
Atrito é a força de resistência ao movimento relativo, ou a eminência de
movimento, entre duas superfícies em contato. O atrito é bastante benéfico
em alguns casos e muito danoso em outros. A origem da força de atrito (~fat)
está nas irregularidades das superfícies em contato. Ao serem comprimidas
e postas em movimento uma em relação à outra, elas exercem forças mútuas
de atrito.
O atrito pode ser classificado como dinâmico (ou cinético), quando existe
movimento entre as superfícies, e estático, quando as superfícies estão em
repouso uma em relação à outra.
A força de atrito ~fat é sempre tangencial à trajetória e tem sentido oposto
ao movimento (ou a tendência do movimento). A intensidade máxima da
82
força de atrito é dada por:
fat = µN
onde µ é a constante de proporcionalidade, chamada coeficiente de atrito,
que pode ser µd: coeficiente de atrito dinâmico, ou µe: coeficiente de atrito
estático.
Como visto no experimento, necessita-se de uma força maior para tirar o
corpo do estado de repouso e colocá-lo em movimento, do que para mantê-lo
em movimento com velocidade constante. Isso ocorre por o coeficiente de
atrito estático é sempre maior que o coeficiente de atrito dinâmico:
µe > µd
Isso faz com que, para um mesmo corpo, numa mesma superfície, a intensi-
dade da força de atrito estática (fate) seja maior que a intensidade da força de
atrito dinâmica (fatd):
fate > fatd
83
1.40 Força de Atrito e Peso
Objetivo
Mostrar a dependência da força de atritocom o peso de um corpo.
Materiais Utilizados
1 dinamômetro (se não tiver pode ser usado um elástico ou uma mola), 1
caixa de sapatos, 2 livros ou cadernos iguais (cujo tamanho os faça caber na
caixa), fita adesiva.
Montagem e Procedimento
Prenda o dinamômetro à caixa, utilizando uma fita adesiva se necessário.
Coloque um livro dentro da caixa e puxe-a, segurando pelo dinamômetro,
até chegar na eminência do movimento. Anote a força que foi feita (se usar
o elástico ou mola, basta medir com uma régua a distensão). Essa força
aplicada é igual à força de atrito entre a caixa e a superfície. A caixa deve
estar sempre apoiada numa superfície horizontal e a força aplicada também
deve estar na direção horizontal.
Um esquema da montagem e realização do experimento está na Fig.(1.38).
Figura 1.38: Caixa com livro(s) puxada pelo dinamômetro.
Repita o mesmo procedimento, mas agora com 2 livros dentro da caixa.
Observe que agora a força aplicada é maior, chegando a ser aproximadamente
o dobro da força aplicada anteriormente.
84
Análise e Explicação
A força de atrito entre duas superfícies surge devido as irregularidades
nelas existentes. A intensidade dessa força de atrito, que sempre se opõe ao
movimento, depende do tipo de superfície envolvida e do peso do objeto. Na
Fig.(1.39) temos a representação das forças que agem sobre a caixa (e o seu
conteúdo) posta numa superfície horizontal.
Figura 1.39: Forças agindo sobre a caixa.
A força de atrito é dada por:
fat = µeN
onde µe é o coeficiente de atrito estático e N é a força normal14 que a su-
perfície faz sobre o objeto. Estando a caixa na horizontal, tem-se que a força
normal é igual ao peso da caixa (e o conteúdo que tem dentro): N = P .
Sendo P = mg, vem que:
fat = µmg
Dessa forma, aumentando a massa (m) da caixa, a força de atrito (fat) au-
menta na mesma proporção.
14Chama-se força normal ou força de reação normal qualquer força de contato nas superfí-
cies de dois ou mais corpos quando encostados uns nos outros.
85
1.41 Atrito Estático
Objetivo
Determinar o coeficiente de atrito estático entre dois corpos.
Materiais Utilizados
1 corpo (não muito liso), 1 rampa, 1 régua.
Montagem e Procedimento
Coloque o corpo sobre a rampa e vá inclinando a rampa vagarosamente.
Quando o corpo começar a deslizar meça as distâncias h e d, as quais estão
indicadas na Fig.(1.40). Através desses dados calcule o coeficiente de atrito
estático entre o bloco e a rampa.
Figura 1.40: Atrito estático entre um objeto e uma rampa.
Análise e Explicação
No corpo sobre a rampa agem as forças ~P , ~N e ~fat, como observado na
Fig.(1.41).
86
Figura 1.41: Decomposição das forças do bloco sobre a rampa.
Decompondo o peso ~P nas direções paralela ao movimento (Pt) e per-
pendicular à rampa (PN ), tem-se15:
Pt = Psenθ (1.24)
PN = Pcosθ (1.25)
Na eminência do deslizamento, em termos de intensidade tem-se que:
Pt = fat (1.26)
Sendo que a força de atrito estático é fat = µeN , onde µe é o coeficiente de
atrito estático, e PN = N , a partir da relação de (1.24), (1.25) e (1.26) temos
que Psenθ = µePcosθ, donde vem que o coeficiente de atrito estático entre
o corpo e a rampa é16:
µe = tgθ (1.27)
Através da Fig.(1.40) tem-se que:
tgθ = h
d
(1.28)
15É importante lembrar que os componentes do plano inclinado não são forças reais, mas
apenas uma artifício matemático.
16O valor de µe pode também ser determinado através da medida do ângulo θ de inclinação
da rampa com um transferidor.
87
Igualando (1.27) e (1.28) vem que o coeficiente de atrito estático é:
µe =
h
d
O coeficiente de atrito estático (ou dinâmico) é um número puro, ou seja,
um número sem unidade nem dimensão, pois é obtido a partir da razão de
duas forças (µe = fat/FN ) ou de dois comprimentos (h/d).
88
1.42 Força Normal e Força de Atrito
Objetivo
Verificar a relação entre a força normal e a força de atrito.
Materiais Utilizados
1 livro (ou um caderno, 1 dicionário, etc.), 1 parede.
Montagem e Procedimento
Encoste o livro na parede e segure-o em equilíbrio na vertical, aplicando
nele uma força horizontal, como mostra a Fig.(1.42).
Figura 1.42: Livro na parede.
Como é possível equilibrar um objeto encostado numa parede vertical
aplicando sobre ele uma força cuja direção é perpendicular à direção da pa-
rede?
Análise e Explicação
O responsável por equilibrar o livro é a força de atrito entre ele e a parede.
Sobre o livro atuam as forças que estão representadas na Fig.(1.43).
onde ~F é a força aplicada pela mão da pessoa, ~N a força de reação normal
da parede, ~P a força peso e ~fat a força de atrito.
89
Figura 1.43: Forças atuantes sobre o livro.
Na situação de equilíbrio tem-se que, na horizontal |~F | = | ~N |, e na ver-
tical |~P | = |~fat|. Sendo que P = mg e fat = µeN , onde µe é o coeficiente
de atrito estático, tem-se que no equilíbrio:
mg = µeF (1.29)
Para uma mesma parede (mesmo valor de µe), quanto menor a massa do
objeto, maior a intensidade da força F que deve-se fazer para segurá-lo.
90
1.43 Alterando a Força de Atrito
Objetivo
Verificar como a força de atrito é alterada com a variação do peso do
corpo e do coeficiente de atrito entre as superfícies em contato.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET (600ml, vazia, com formato cilíndrico), óleo de cozinha, 1
recipiente com água.
Montagem e Procedimento
Coloque cerca de 1/3 de água na garrafa, segurando-a na vertical com
uma das mãos, mantendo-a em equilíbrio, de modo que ela fique na emi-
nência de deslizar. Vá adicionando água dentro dela, de modo a enchê-la.
Perceba que, para segurar a garrafa você vai apertando-a cada vez mais.
Agora repita o procedimento anterior, mas esparramando um pouco de
óleo na mão que segura a garrafa. Constate que nessa situação a dificuldade
para segurar a garrafa é maior.
Análise e Explicação
A partir da Eq.(1.29) vem que:
F = mg
µe
(1.30)
Sendo g e µe constantes, percebe-se que a força aplicada sobre o objeto é
diretamente proporcional à massa (m) do mesmo. Isso explica porque, à me-
dida que adiciona-se mais água dentro da garrafa deve-se pressioná-la mais
firmemente para conseguir segurá-la.
Ao esparramar óleo sobre a mão torna-se mais difícil segurar a garrafa.
A presença de óleo diminui o coeficiente de atrito estático (µe) entre a mão e
a garrafa. De acordo com (1.30), se µe diminuir, para uma mesma massa (m)
deve-se aplicar uma força (F ) maior.
91
1.44 Força de Atrito e Área de Contato
Objetivo
Mostrar que a força de atrito não depende da área de contato.
Materiais Utilizados
3 caixinhas de cd, 1 dinamômetro (se não o tiver pode ser um elástico ou
uma mola), fita adesiva.
Montagem e Procedimento
Utilize uma superfície horizontal plana para realizar o experimento. Em-
pilhe as 3 caixinhas de cd colocando-as uma sobre a outra, e as prenda com
fita. Conecte o dinamômetro em uma delas (se necessário use um pedaço de
barbante) e as puxe, anotando a força necessária para colocar o conjunto em
movimento (Fig.1.44-a). Essa é a força de atrito estático (fate).
Figura 1.44: Caixinhas dispostas: a- Menor área de contato; b- Maior área de
contato.
Agora disponha as caixinhas uma encostada na outra sobre a mesa, unindo-
as com pedaços de fita, como mostra a Fig.(1.44-b). Usando o dinamômetro
repita o mesmo procedimento para obter a força de atrito estático.
92
Perceba que a força de atrito é aproximadamente a mesma nas duas situ-
ações. Repita o experimento utilizando outros materiais e outras superfícies
de contato.
Análise e Explicação
Inicialmente pode-se pensar que a força de atrito entre dois objetos é pro-
porcional à área de contato entre eles. Se essa idéia fosse correta, a força de
atrito entre a superfície e as 3 caixinhas dispostas em sequência seria 3 vezes
maior quea força de atrito entre a superfície com as 3 caixinhas empilhadas.
Como pode-se constatar, essa idéia está errada. A força de atrito (fat) não
depende da área de contato. Sendo que o movimento se dá na horizontal, a
força de atrito é dada por:
fat = µmg
onde µ é o coeficiente de atrito entre as duas superfícies, g a aceleração da
gravidade local e m a massa do objeto. No experimento das caixinhas, a
massa é igual para os dois casos, o que faz com que a força de atrito também
seja igual.
Ainda em 1508 Leonardo da Vinci descobriu que a força de atrito entre
2 corpos depende da força que comprime um contra o outro e não depende
da área de contato das superfícies. Em 1699 G. Amontons descobriu também
que o atrito não depende da velocidade entre os 2 corpos.
93
1.45 Atrito entre Folhas
Objetivo
Observar a multiplicação da força de atrito entre folhas de papel.
Materiais Utilizados
2 livros (ou 2 cadernos).
Montagem e Procedimento
Una os 2 livros página por página (pode ser mais de uma página por vez),
de modo que eles fiquem juntados, como na Fig.(1.45). Depois tente separá-
los e perceba que essa tarefa é um pouco difícil.
Figura 1.45: 2 livros juntados página por página.
Análise e Explicação
O que ocorre nesse experimento é que a força de atrito age em cada pá-
gina, e acaba produzindo uma força de atrito resultante bem intensa.
94
1.46 Coeficiente de Atrito Dinâmico
Objetivo
Determinar o coeficiente de atrito dinâmico entre duas superfícies.
Materiais Utilizados
1 mesa horizontal plana, 1 régua (ou 1 trena), 1 polia com suporte, 1 fio
fino e resistente, 2 blocos, 1 balança de precisão.
Montagem e Procedimento
A montagem deste experimento é feita de acordo com o esquema da
Fig.(1.46).
Figura 1.46: Blocos interligados por um fio.
Inicialmente prenda o bloco A, de modo que o sistema fique em repouso
e meça a altura H do bloco B em relação ao solo. Em seguida solte vaga-
rosamente o bloco A, o que faz com que o bloco B desça e atinja o solo,
deslocando o bloco A para a direita. O bloco A ganha velocidade, percorre
uma certa distância (H +D) e depois pára. Conhecendo as distâncias H e D
e as massas dos blocos determine o coeficiente de atrito dinâmico (µd) entre
o bloco A e a superfície da mesa.
95
Análise e Explicação
Quando solto o bloco B desce sob ação da gravidade, exercendo uma
tração no fio, que puxa o bloco A. Enquanto o bloco B percorre a altura H ,
o bloco A é tracionado e percorre a distância H sobre a mesa. Depois que o
bloco B atinge o solo, não há mais tração sobre o bloco A, mas esse continua
a se mover por inércia e percorre a distância D, sendo parado pela força de
atrito.
Aplicando a segunda lei de Newton
∑
F = ma para os blocos A e B
obtem-se, respectivamente:
T − fat = mAa (1.31)
PB − T = mBa (1.32)
Somando as Eqs.(1.31) e (1.32), vem que:
PB − fat = (mA +mB)a (1.33)
Sendo que PB = mBg e fat = µdN = µdmAg, a Eq.(1.33) fica:
mBg − µdmAg = (mA +mB)a (1.34)
De acordo com a equação de Torricelli v2 = v20+2ax, o blocoB, partindo
do repouso, bate no solo com uma velocidade v tal que:
v2 = 2aH (1.35)
Essa velocidade é a mesma com que o bloco A começa a percorrer a
trajetória D. Nesse início o bloco A possui energia cinética Ec dada por:
Ec =
1
2mAv
2
Depois de percorrer a distância D o bloco A está parado e sua energia
cinética é nula. De acordo com o teorema da energia cinética, o trabalho
realizado pela força de atrito (Wfat) é igual a variação da energia cinética do
bloco A: Wfat = ∆Ec.
96
Sendo que o trabalho é o produto da força pela distância W = Fx cos θ,
onde θ é o ângulo entre as direções do movimento e da força aplicada, tem-se:
fatD cos 180 = −12mAv
2
µdmAgD(−1) = −12mAv
2
donde vem:
µdgD =
1
2v
2 (1.36)
Levando (1.36) em (1.35), tem-se µdgD = aH , e isolando a aceleração,
resulta:
a = µdgD
H
(1.37)
Levando a Eq.(1.37) na Eq.(1.34):
mBg − µdmAg = (mA +mB)µdgD
H
e desenvolvendo, encontra-se que o coeficiente de atrito dinâmico é:
µd =
mBH
mAH + (mA +mB)D
97
1.47 Coeficiente de Atrito de um Calçado
Objetivo
Determinar o coeficiente de atrito estático de um calçado com o solo.
Materiais Utilizados
1 mola, 1 régua (ou trena), 1 calçado (tênis, sapato, chinelo, etc.).
Montagem e Procedimento
Meça o comprimento da mola não deformada, o qual será representado
por x0. Fixe uma das extremidades da mola, de modo que ela fique na vertical
e pendure o calçado na outra extremidade, deixando-o suspenso. Meça agora
o comprimento (x1) adquirido pela mola (Fig.1.47-a).
Figura 1.47: Calçado: a- Suspenso na vertical; b- Puxado na Horizontal.
Em seguida apóie o calçado sobre o piso horizontal e conecte a ele a
mola. Puxe a mola horizontalmente até que o calçado fique na eminência de
escorregar e meça o comprimento (x2) da mola (Fig.1.47-b).
Relacionando os valores de x0, x1 e x2 encontre o valor do coeficiente de
atrito estático (µe) entre o calçado e o solo em que ele está apoiado.
98
Análise e Explicação
Estando o calçado suspenso pela mola, em situação de equilíbrio tem-se
que a intensidade da força elástica exercida pela mola sobre ele (~F1) é igual
ao peso do calçado (~P ):
F1 = P (1.38)
Aplicando a lei de Hook F = k∆x em (1.38), vem que:
P = k(x1 − x0) (1.39)
onde ∆x = x1 − x0 e k é a constante elástica da mola.
Quando a mola puxa horizontalmente o calçado, na situação de equilíbrio
tem-se que a intensidade da força de atrito (~fat) exercida pela superfície de
apoio sobre o calçado é igual a intensidade da força elástica ~F2 aplicada pela
mola sobre ele:
fat = F2 (1.40)
Aplicando a lei de Hook em (1.40) obtem-se:
fat = k(x2 − x0) (1.41)
Na eminência de deslizar, a força de atrito adquire intensidade máxima, a
qual é dada por:
fatmax = µeN (1.42)
onde µe é o coeficiente de atrito estático entre o calçado e a superfície e N
é a força normal. Levando (1.42) em (1.41) e sendo que N = P , já que a
superfície é horizontal, vem que:
µeP = k(x2 − x0) (1.43)
Dividindo a Eq.(1.43) pela Eq.(1.39):
µeP
P
= k(x2 − x0)
k(x1 − x0)
obtem-se a expressão com a qual pode-se encontrar o coeficiente de atrito
estático:
µe =
x2 − x0
x1 − x0
Quanto mais próximo de 0 for o valor de µe mais escorregadio será o calçado
no piso em questão.
99
1.48 Estudo do Movimento Circular
Objetivo
Diferenciar velocidade angular de velocidade linear.
Materiais Utilizados
2 discos de papelão (raios diferentes), 1 palito de madeira (ou algo seme-
lhante), 1 régua, 1 caneta.
Montagem e Procedimento
Introduza o palito no centro dos dois discos, de modo a formar um eixo,
como na Fig.(1.48). O palito deve ficar firmemente preso aos discos.
Figura 1.48: Discos acoplados num eixo.
Gire o eixo e perceba que, a cada volta dada pelo eixo, os discos também
efetuam uma volta completa.
Retire os discos do palito, faça um sinal nas suas bordas com a caneta e
role-os sobre uma superfície plana, marcando e medindo a distância percor-
rida por cada um em uma volta (Fig.1.49).
Constate que o disco com maior raio percorre uma distância maior ao
efetuar uma volta completa.
100
Figura 1.49: Distância percorrida em uma volta.
Análise e Explicação
Um determinado corpo ou objeto realiza um movimento circular quando
move-se numa trajetória com formato de circunferência. O período T é o
intervalo de tempo necessário para a ocorrência de um fenômeno cíclico,
como por exemplo, o tempo que uma roda demora para efetuar uma volta.
A frequência f é o número de ocorrências de um fenômeno periódico numa
unidade de tempo. Relacionando T e f tem-se que:
T = 1
f
onde T geralmente é dado em segundos (s) e f em Herz (Hz).
A velocidade angular média (ωm) é a razão entre o deslocamento angular
(∆φ) e o intervalo de tempo (∆t) necessário para efetuá-lo:
ωm =∆φ
∆t (1.44)
φ é o ângulo de fase ou espaço angular. Sendo s = φr, onde s é o compri-
mento do arco de circunferência, r seu raio, e φ o ângulo central correspon-
dente (dado em rad: radiano17), pode-se escrever o deslocamento linear ∆s
como:
∆s = r∆φ (1.45)
17O radiano é a unidade básica de medida angular porque permite que os cálculos matemá-
ticos assumam formas mais simples. O radiano é definido como o ângulo que se estende sob
um arco circular de comprimento igual ao seu raio. Por exemplo, sendo a circunferência do
círculo igual à 2pi vezes o seu raio, um círculo completo compreende um ângulo de 2pirad.
101
Relacionando as Eqs.(1.44) e (1.45) vem que:
ωm =
vm
r
(1.46)
que relaciona a velocidade angular média com a velocidade escalar média.
Para intervalos de tempo pequenos (∆t→ 0), a partir de (1.46) vem que:
v = ωr
Vamos analisar agora o comportamento dos 2 discos acoplados pelo mesmo
eixo. Considere os discos A e B, as quais possuem os respectivos raios rA
e rB . Durante a rotação do eixo, os discos possuem a mesma velocidade
angular:
ωA = ωB
e consequentemente a mesma frequência:
fA = fB
Como os discos têm raios (r) diferentes eles apresentam velocidades li-
neares (v) diferentes:
vA = ωArA
vB = ωBrB
Para uma mesma velocidade angular (ψ), possui maior velocidade linear (v)
o disco com maior raio (r). Por isso que o disco com maior raio percorre uma
distância maior numa volta.
102
1.49 Rodas Dentadas
Objetivo
Estudar o acoplamento de rodas dentadas.
Materiais Utilizados
1 pedaço de apelão rígido, palitos de picolé (ou algo semelhante para
fazer os dentes das polias), 1 régua, 1 tesoura, 1 lápis (ou 1 caneta), 2 tu-
bos de caneta, 1 caixa vazia de papelão, 1 compasso. Neste caso pode-se
também utilizar equipamentos (ou partes deles) que tenham polias acopladas
para estudá-las.
Montagem e Procedimento
Utilizando o lápis, a régua e o compasso, trace alguns círculos de raios
diferentes no papelão e em seguida recorte-os com a tesoura, de modo a for-
mar discos. Ao redor do disco faça cortes para encaixar os palitos de picolé,
como representado na Fig.(1.50), de modo a formar uma roda dentada. Para
fixar melhor os palitos pode-se usar cola ou fita.
Figura 1.50: Roda Dentada.
O número de palitos encaixados em cada disco, ou seja, o número de
dentes, deve ser proporcional ao tamanho do disco, e devem ficar igualmente
espaçados. Por exemplo, se um disco com raio de 4cm tiver 10 dentes, um
disco com 8cm de raio deve ter 20 dentes. As rodas dentadas formadas serão
usadas aos pares.
103
Construída as rodas dentadas, passe pelo centro de cada uma o tubo da
caneta, de modo a formar um eixo. Fixe os discos de papelão pelo tubo da
caneta na caixa de papelão, de modo que os palitos se encontrem e os discos
possam girar, formando um sistema de 2 engrenagens acopladas, como re-
presentado esquematicamente na Fig.(1.51-a). Para os discos ficarem firmes
e não saírem de alinhamento ao girar, devem-se firmá-los bem à caneta. Gire
uma das rodas, contando o número e voltas, e perceba o número de voltas
efetuada pela outra.
Figura 1.51: Acoplamento de: a- Rodas dentadas; b- Rodas lisas por coreia.
Uma outra forma, até mais simples, é fazer duas rodas com raios diferen-
tes e ligá-las com uma borrachinha, que faz o papel da correia, como mos-
trado na Fig.(1.51-b). Aqui relaciona-se o número de voltas com o tamanho
dos raios.
Análise e Explicação
Neste tipo de acoplamento as rodas dentadas possuem a mesma veloci-
dade linear e giram no mesmo sentido ou em sentidos oposto. Considere
as engrenagens A e B, com respectivos raios rA e rB (o número de dentes
geralmente é proporcional ao raio).
As velocidades lineares das rodas dentadas A e B são dadas, respectiva-
mente por:
vA = ωArA
vB = ωBrB
104
No acoplamento tem-se que:
vA = vB
de modo que:
ωArA = ωBrB
Isso significa que, quanto maior for o raio da polia (ou o número de dentes),
menor será sua velocidade angular, e vice-versa.
Sendo ainda que a velocidade angular (ω) relaciona-se com a frequência
f por ω = 2pif , tem-se que 2pifArA = 2pifBrB , donde vem:
fArA = fBrB
o que mostra que, quanto maior o raio da polia, menor a sua frequência, e
vice-versa. Quanto maior a diferença entre os valores de rA e rB , maior será
a diferença entre o número de voltas em cada polia.
105
1.50 Funcionamento de um CD
Objetivo
Estudar o movimento de um cd.
Materiais Utilizados
1 aparelho leitor de cd, 1 cd, 1 régua.
Montagem e Procedimento
Coloque o cd no aparelho leitor e visualize o seu funcionamento. A ma-
neira mais simples é um cd comum de música posto a funcionar em um apa-
relho que possua o compartimento para o disco na parte superior. Isso faz
com que a visualização do cd girando seja possível.
Coloque o cd a funcionar na primeira faixa e observe a sua velocidade an-
gular (rotação). Em seguida coloque-o a funcionar na última faixa e observe
o que ocorre com a velocidade angular do mesmo.
Sabendo que a velocidade linear do leitor em relação ao cd girando é
1, 3m/s (sendo este valor constante), meça com a régua as distâncias en-
tre o centro do disco e a primeira (r1) e a última faixa (r2), como mostra a
Fig.(1.52) e determine o intervalo de rotações em que o cd gira .
Figura 1.52: Raios no cd.
106
Análise e Explicação
Um tipo de movimento de grande importância dentro da física é o movi-
mento circular uniforme (MCU), em que a trajetória é uma circunferência e
o módulo da velocidade linear instantânea é constante18. Esse tipo de movi-
mento está presente em vários equipamentos com que lidamos no dia-a-dia,
sendo um deles o aparelho de cd player, que será o nosso objeto de estudo.
O MCU tem características para as quais se definem grandezas físicas
próprias como o período e a frequência. O período (T ) do movimento é o
tempo necessário para dar uma volta completa (realizar um ciclo), e é definido
por:
T = 2pir
v
(1.47)
onde 2pir é o comprimento de uma volta e v a velocidade linear. A unidade
de T é o segundo (s).
Sendo que a velocidade linear (v) relaciona-se com a velocidade angular
ω e o raio r através da equação:
v = ωr (1.48)
a Eq.(1.47) pode ser escrita na forma:
T = 2pi
ω
(1.49)
A freqüência (f ) é o número de ciclos realizados por unidade de tempo,
ou o inverso do período f = 1/T , podendo ser definida por:
f = ω2pi (1.50)
A unidade de frequencia e o Hz (Hertz). Utiliza-se também como unidade
prática de medida de f o rpm (revolução por minuto), onde 1rpm = 60Hz.
O objetivo do cd é guardar dados (músicas, arquivos, vídeos, imagens,
etc.), os quais podem ser acessados por um computador, um aparelho de som,
etc. Para fazer a leitura desses dados o cd é posto a girar e um raio laser faz
18É importante notar que apenas o módulo de ~v é constante, pois a direção varia em cada
ponto da trajetória.
107
a varredura da sua superfície, passando pelas trilhas de gravação19, dispostas
no disco em forma de espiral.
Durante a reprodução do cd o leitor mantém a velocidade linear (v) cons-
tante em relação ao disco. Como o raio (r) varia, para manter v constante,
de acordo com (1.48) ocorre a variação da velocidade angular (ω), onde um
circuito eletrônico altera a rotação do motor do disco20.
O cd é um aperfeiçoamento do disco de vinil. Muitas diferenças, no en-
tanto, podem ser observadas. Sem levar em conta o formato como os dados
são gravados e lidos, em termos de movimento o disco de vinil girava a ve-
locidade angular constante de 33(1/2)RPM . Isso significa que a velocidade
linear da agulha de leitura em relação ao disco era variável, sendo menor mais
no centro do disco e maior na parte externa.
Constatou-se experimentalmente que a distância medida do centro do cd
ao início da primeira faixa (r1) foi de 2, 30cm e até a última faixa (r2),
5, 80cm. Sendov = 1, 30m/s, a partir de (1.48) encontrou-se que ω1 =
56, 52rad/s e ω2 = 22, 41rad/s. A partir de (1.49) e (1.50) vem que:
T1 = 0, 11s, f1 = 540, 0rpm, T2 = 0, 28s e f2 = 214, 3RPM . Os va-
lores técnicos para ω1 e ω2 são, respectivamente, 539rpm e 214rpm.
19Essas trilhas são muito pequenas, sendo que em um cd comum existem cerca de 20.000
delas.
20É importante lembrar que num computador, por exemplo, a velocidade linear do cd pode
variar, dependendo da atividade que ele está executando.
108
1.51 Força Centrípeta
Objetivo
Verificar a dependência entre a velocidade angular, o raio e a força cen-
trípeta necessária para mover uma esfera de sua posição.
Materiais Utilizados
1 disco de madeira fino, suporte com eixo e manivela, 3 esferas iguais
(bolinhas de gude).
Montagem e Procedimento
Faça 3 escavações no disco de madeira ao longo de um mesmo raio, e
nelas coloque as esferas. As escavações não devem ser muito rasas nem muito
profundas. Acople um eixo ao disco, de modo que ele fique bem justo. Na
outra extremidade do eixo conecte uma manivela, ou algo que possibilite
girar. O esquema deste experimento está na Fig.(1.53).
Figura 1.53: Rotação de um disco com esferas.
Apóie firmemente o eixo na mão, segurando-o na vertical, com as esferas
colocadas nos seus lugares e inicie o giro do disco. Aumente lentamente a
rotação do mesmo e perceba que, inicialmente sai do disco a bolinha 1, depois
a 2 e por último a 3.
109
Análise e Explicação
Para subir o escavado e abandonar o disco, cada esfera tem que vencer a
mesma força radial mínima. Essa força radial (~Fr) é a força centrípeta (~Fc)
em cada esfera, cuja intensidade é dada por:
Fc =
mv2
r
(1.51)
onde m é a massa da esfera, v a sua velocidade linear e r o raio da circunfe-
rência descrita ou distância do escavado ao eixo central.
Sendo que a velocidade angular (ω) relaciona-se com a velocidade linear
(v) por:
v = ωr (1.52)
levando (1.52) em (1.51) vem que:
Fc = mω2r
Sendo que a massa (m) e a força radial (Fr) de cada esfera é constante, e
que Fr = Fc, tem-se que:
ω2r = k
onde k é uma constante. Isso significa que, para cada r, há um valor de ω
para que atinja-se uma determinada Fr. Conforme vai diminuindo o valor de
r, deve-se aumentar ω para conseguir expulsar as esferas do disco. A esfera
1, que tem maior raio (r) é libertada com o menor valor de ω. Já a esfera
3, que tem menor raio (r), necessita de um maior valor de ω. Se uma esfera
estivesse sobre o centro de rotação, onde r = 0, mesmo com um valor de ω
infinito, ela não sairia do disco.
110
1.52 Força Centrípeta 2
Objetivo
Estudar a força centrípeta.
Materiais Utilizados
2 massas (diferentes), 1 cordão, 1 cilindro (cano de PVC com uns 15cm
de comprimento, por exemplo).
Montagem e Procedimento
Passe o cordão pelo tubo e amarre uma massa (massa 1) numa extremi-
dade e a outra massa (massa 2, mais pesada) na outra extremidade. Segure o
tubo na vertical e faça girar a massa 1 de forma que ela descreva um plano
horizontal, como representado na Fig.(1.54). Gire-a com velocidades dife-
rentes e observe o que ocorre com o raio da circunferência que ela descreve,
bem como a posição da massa 2.
Figura 1.54: Corpo 1 girando num plano horizontal sustenta o corpo 2 na vertical.
111
Análise e Explicação
As forças que atuam no corpo de massa m1, que está girando, estão re-
presentadas na Fig.(1.55).
Figura 1.55: Força sobre o corpo girando.
No referencial do corpo de massa m1 a resultante das forças é nula, de
modo que a força centrípeta (~Fc) e a força centrífuga (~Fcf ) são iguais em
intensidade:
|~Fc| = |~Fcf |
Considerando que neste caso a força centrípeta é exercida pelo peso do
objeto suspenso (de massa m2), tem-se que m2g = m1ω2r, donde vem:
r = m2g
m1ω2
(1.53)
Analisando (1.53) constata-se que o raio (r) da trajetória descrita pelo
corpo 1 diminui com o aumento da velocidade angular (ω) e da massa (m1),
e aumenta com o aumento da massa (m2) do bloco suspenso.
112
1.53 Força Centrípeta 3
Objetivo
Estudar a força centrípeta.
Materiais Utilizados
2 bolinhas de gude (ou semelhante), 2 copos plásticos, arame, 1 haste de
madeira, 1 parafuso (ou prego), 1 furadeira elétrica.
Montagem e Procedimento
Passe o parafuso pelo centro da haste de madeira e, utilizando arame
prenda os 2 copos num dos lados (se necessário pode-se prender algo no
outro lado para dar o contrapeso), como mostra a Fig.(1.56).
Figura 1.56: Haste com copos.
Coloque uma bolinha em cada copo, e fixe o parafuso na furadeira, ponde
em seguida o conjunto a girar. Inicialmente mantenha uma rotação (velo-
cidade angular) alta, tal que as bolinhas de ambos os copos fique em seus
respectivos lugares. Diminua a rotação e perceba que a bolinha do copo 1
113
cairá primeiro. Repita o procedimento usando as bolinhas de maior massa e
perceba a influência.
Análise e Explicação
Na posição mais alta da trajetória circular, quando o copo está virado com
a boca para baixo, as forças que agem sobre a bolinha nele contida são a força
peso (~P ) e a força normal ( ~N ), ambas orientadas para baixo.
De acordo com a segunda lei de Newton para o movimento circular tem-
se que:
N + P = Fc (1.54)
onde Fc é a força centrípeta. Sendo P = mg, Fc = mω2r e que na eminência
da bola cair N = 0, a Eq.(1.54) fica mg = mω2r, donde vem que:
ω =
√
g
r
Dessa forma, para a bola não cair do copo o sistema deve girar com uma
velocidade angular (ω) tal que ω >
√
g/r. Sendo g constante, percebe-se
que ω depende apenas de r. Quanto maior o valor de r menor é a velocidade
ω que deve-se fazer para que a bolinha não caia do copo. Por isso que, estando
o sistema a girar com ω constante, a bolinha do copo 1 cai primeiro porque
possui raio de giro menor.
114
1.54 Looping vertical com um Copo de Água
Objetivo
Realizar um looping21 e explicar as condições em que o mesmo ocorre.
Materiais Utilizados
1 pedaço de madeira ou plástico em forma de disco, 3 pedaços de fio de
náilon (ou qualquer barbante forte), 1 copo plástico, água.
Montagem e Procedimento
Amarre os 3 fios no disco, de maneira equidistante um do outro, como
mostra a Fig.(1.57).
Figura 1.57: Copo no disco.
Coloque um pouco de água no copo e posicione-o no centro do disco. Co-
mece a oscilar o conjunto num plano vertical de maneira que vá aumentando
a amplitude, até chegar ao momento em que se realiza uma volta completa.
Neste caso diz-se que o copo realizou um looping, não caindo do disco (e
21Palavra inglesa que significa algo como fazer voltas.
115
nem a água que está dentro do copo) quando estiver no ponto mais alto da
trajetória.
Análise e Explicação
Um fato interessante neste experimento é que, desde que tenha certa velo-
cidade tangencial mínima, a água não cai do copo (e o copo não cai do disco)
quando o conjunto passa pelo ponto mais alto da trajetória circular.
Vamos mostrar porque isso ocorre. No topo da trajetória de raio (r), as
forças que atuam sobre o corpo (sendo neste caso constituído pelo disco e
pelo copo com água) são o peso (~P ) deste corpo e a tração (~T ) do fio, como
mostra a Fig.(1.58).
Figura 1.58: Forças sobre o corpo no ponto mais alto da trajetória.
A segunda lei de Newton para o movimento circular afirma que a soma
das forças atuantes sobre um objeto é igual ao produto da sua massa pela
aceleração centrípeta: ∑
~F = m~ac
Sendo P = mg e ac = v2/r, no ponto mais alto da trajetória tem-se que:
T +mg = mv
2
r
(1.55)
A eminência para o corpo cair ocorre quando T = 0. Dessa forma, isolando
v em (1.55):
v = √gr
116
Esta é a velocidade tangencial mínima que o conjunto deve ter para a água
e o copo não cair do disco. Se v <
√
gr, o conjunto cai, mas não na vertical,
pois ele tem uma certa velocidade tangencial. Cairia na verticalsomente se
v = 0. Se v > √gr, além do copo não cair, existe a tração (~T ) nos fios, que
é tanto maior quanto maior for a intensidade da velocidade (~v). É a força ~T
que faz o corpo manter-se em movimento circular.
117
1.55 A Gangorra e o Torque
Objetivo
Construir uma mini-gangorra e expor o conceito de torque.
Materiais Utilizados
1 suporte, 1 régua graduada, massas conhecidas (se não forem conheci-
das, utilizar uma balança de precisão), 2 ganchos.
Montagem e Procedimento
Faça um furo no centro da régua e monte-a no suporte, como na Fig.(1.59),
de modo que ela possa girar livremente ao redor do eixo.
Figura 1.59: Esquema de uma gangorra.
Pendure diferentes massas nos ganchos, fazendo a régua ficar em equi-
líbrio somente através do ajuste da posição dos ganhos na régua. Anote os
valores dos pesos das massas e das respectivas distâncias que eles ficam do
centro de rotação numa tabela, como a da Tab.(1.7). Encontre os torques pro-
vocados por cada uma das forças e verifique as condições de equilíbrio. O
peso da régua deve ser desprezível em relação aos pesos ~P1 e ~P2.
118
Tabela 1.7: Peso, distância e torque.
P1(N) d1(m) P2(N) d2(m) τ1(Nm) τ2(Nm)
Análise e Explicação
Um corpo extenso está em equilíbrio quando o seu estado de movimento
ou de repouso não se modifica. As condições de equilíbrio são:
- A soma das forças que agem simultaneamente no corpo extenso deve
ser nula: ∑
~F = 0
de modo que não haja movimento de translação com aceleração;
- A soma dos torques que agem simultaneamente no corpo extenso, em
relação a um ponto qualquer, também deve ser nula:∑
~τ = 0
de modo que não haja rotação.
Da mesma forma que uma força é a causa do movimento de um objeto,
o torque22 é a causa da rotação, combinando força e distância de aplicação
dessa força em relação ao eixo de rotação.
Quando uma força ~F é aplicada a um corpo rígido que pode girar em
torno de um eixo ela dá origem a um torque ~τ , que tende a provocar a rotação
desse corpo. Na Fig.(1.60) temos a representação de um torque provocado
pela aplicação de uma força ~F numa barra, à uma distância d do centro de
rotação.
Sendo a força ~F aplicada perpendicularmente à barra, a intensidade do
torque é dada pelo produto de F pela distância d ao eixo de rotação em que a
força é aplicada:
τ = Fd
22A palavra torque tem origem no latim e significa torcer.
119
Figura 1.60: Torque numa barra.
A força ~F é positiva quando tende a girar a barra no sentido anti-horário,
donde vem que o torque τ é positivo; ~F é negativa quando tende a girar a
barra no sentido horário, sendo que neste caso τ também é negativo.
No experimento realizado, cujo esquema é representado na Fig.(1.59, os
pesos ~P1 e ~P2 exercem as forças ~F1 e ~F2 (neste caso ~P = ~F ). O equilíbrio
de rotação existe quando
∑
~τ = 0, ou F1d1 − F2d2 = 0, donde vem:
F1d1 = F2d2
120
1.56 Puxando um Carretel de Linha
Objetivo
Explicar sobre os diferentes comportamentos de um carretel de linha ao
ser puxado.
Materiais Utilizados
1 carretel com linha (esses de linha para costura).
Montagem e Procedimento
Com a linha ao redor do carretel, disponha algumas voltas na região cen-
tral, de modo que o carretel não atravesse quando puxado. Puxe vagarosa-
mente a linha, estando por baixo do eixo do carretel, numa direção rente à
superfície, e perceba que o carretel translada no mesmo sentido em que a
linha é puxada (Fig.1.61-a). Eleve o ângulo formado pela linha com a hori-
zontal, e perceba que agora é o carretel que começa a girar, soltando a linha
(Fig.1.61-b).
Figura 1.61: Desenrolar do carretel: a- Translação no mesmo sentido de tração; b-
rotação e soltura da linha.
Análise e Explicação
Considere o esquema da Fig.(1.62).
121
Figura 1.62: Forças que agem no carretel.
A linha é puxada com uma força de tração T , fazendo um ângulo θ com
a horizontal. Na eminência de deslizar (sem rolar), na horizontal tem-se que∑
F = 0, ou
T cos θ − fat = 0 (1.56)
Sendo fat = µN , onde µ é o coeficiente de atrito e N a força normal, a
Eq.(1.56) fica:
T cos θ = µN (1.57)
Duas forças produzem torques τ em relação ao eixo central do carretel.
A força T age sobre o raio r1 e a força fat atua sobre o raio r2. Sendo que o
carretel não gira,
∑
τ = 0, ou seja:
Tr1 − fatr2 = 0
donde vem:
Tr1 = µNr2 (1.58)
Dividindo a Eq.(1.57) pela Eq.(1.58):
T cos θ
Tr1
= µN
µNr2
encotra-se:
cos θ = r1
r2
Isso significa que o ângulo crítico que o carretel deixa de deslizar e passa a
girar depende somente dos raios r1 e r2.
122
1.57 Alavanca Interfixa
Objetivos
Apresentar o conceito de uma alavanca e descrever uma alavanca inter-
fixa.
Materiais Utilizados
1 alicate, 1 prego (ou objeto semelhante, para ser segurado pelo alicate).
Montagem e Procedimento
Pegue o alicate e com ele segure o prego na vertical. Varie a região do
cabo do alicate onde é aplicada a força pela mão. Perceba que é mais fá-
cil segurar o prego quando o alicate é segurado pela extremidade do cabo.
Pelo mesmo motivo, necessita-se fazer uma força maior quando o alicate é
segurado na região do cabo próximo ao eixo.
Análise e Explicação
Alavancas são barras (ou um par de barras) utilizadas geralmente para
ampliar a intensidade de forças ou manipular objetos. Em todos os casos
ignora-se a massa da alavanca, pois considera-se que o seu peso é sempre
bem menor que as forças envolvidas no processo.
A alavanca interfixa é um tipo de alavanca em que o ponto de apoio,
denominado fulcro, está entre os pontos de aplicação da força potente ~Fp
(força exercida na alavanca por quem a usa) e da força resistente ~Fr (a força
que se pretende fazer com a alavanca). Como exemplo de alavancas interfixas
tem-se o pé de cabra, a tesoura, a alicate, etc. Estes últimos são dispositivos
formados por duas alavancas, mas funcionam de maneira semelhante.
Considere o esquema da Fig.(1.63), onde a é o braço de ~Fp em relação
ao fulcro e b é o braço de ~Fr.
No equilíbrio o torque Fp é, em módulo, igual ao torque de Fr, de modo
que:
Fpa = Frb
123
Figura 1.63: Esquema de uma alavanca interfixa.
donde vem:
Fp = Fr
(
b
a
)
Sendo b < a, tem-se que Fp < Fr, de modo que constata-se uma multipli-
cação da força. Quanto maior o valor do braço a, menor é a força Fp que
deve-se fazer para um mesmo valor de Fr.
124
1.58 Alavanca Inter-resistente
Objetivo
Estudar uma alavanca do tipo inter-resistente.
Materiais Utilizados
2 tábuas, 1 mola (1 mola de caderno23, por exemplo), 1 pedaço de arame
rígido.
Montagem e Procedimento
Monte o experimento de acordo com a Fig.(1.64). Uma das tábuas serve
como base de apoio. O arame rígido é colocado de modo que sirva de eixo
para a tábua superior, a qual fará o papel de alavanca.
Figura 1.64: Montagem da alavanca.
Coloque a mola inicialmente na posição A, mais próxima do eixo. Faça
então uma força ~F sobre a tábua (alavanca), de modo a fazê-la abaixar. Repita
o mesmo procedimento, colocando a mola nas outras posições, em B e em
C. Compare as forças aplicadas com a mola nas diferentes posições.
Análise e Explicação
A alavanca inter-resistente é um tipo de alavanca em que a força resistente
é aplicada entre a força resistente e o fulcro, como representado no esquema
23Esta também pode ser feita enrolando-se um arama ao redor de um objeto cilíndrico.
125
da Fig.(1.65).
Figura 1.65: Alavanca inter-resistente.
Na situação de equilíbrio tem-se:
Fpa = Frb
de modo que:
Fp = Fr
(
b
a
)
Considerando o valor de Fr constante, pode-se fazer uma força Fp que equi-
libre Fr aumentando-se o valor de a ou diminuindo o valor de b.
No experimento proposto o valor de b é variado através da mudança da
posição da mola de lugar. Considerando que a (distância do eixo em que é
aplicado a força ~F ) e Fr (forçade resistência da mola) permanecem constan-
tes, constata-se que, quanto maior o valor de b, maior é o valor de ~F aplicado,
e vice-versa.
Como exemplo de alavancas inter-resistentes pode-se citar o quebra no-
zes, o carrinho de mão e o abridor de garrafas.
126
1.59 Alavanca Interpotente
Objetivo
Estudar uma alavanca do tipo interpotente.
Materiais Utilizados
1 vassoura.
Montagem e Procedimento
Com uma mão (mão 1) segure a vassoura na parte superior do cabo. Com
a outra mão (mão 2) imprima uma força no meio do cabo, de modo a executar
um movimento de varrer o chão. Varie a posição da mão (2) ao longo do cabo
e perceba como você varia a força necessária para conseguir varrer o chão.
É mais fácil executar o movimento de varrer com a mão 2 mais próxima da
base inferior o que com a mão 2 próxima da mão 1.
Análise e Explicação
A vassoura é um exemplo de alavanca interpotente. Na alavanca interpo-
tente a força potente está aplicada entre o fulcro e o ponto de aplicação da
força resistente, como mostra o esquema da Fig.(1.66).
Figura 1.66: Alavanca interpotente.
127
No equilíbrio tem-se:
Fpa = Frb
de modo que novamente:
Fp = Fr
(
b
a
)
Sendo b > a vem que Fp > Fr, o que mostra que nesse tipo de alavanca
não ocorre multiplicação da força. Apesar de não multiplicar a força, equipa-
mentos e objetos que funcionam com uma alavanca interpotente servem para
pegar e manipular objetos e substâncias.
No exemplo da vassoura, considerando que b eFr são constantes, verifica-
se que uma diminuição de Fp é conseguida com o aumento do valor de a.
Como exemplos de dispositivos formados por duas alavancas interpoten-
tes pode-se citar a pinça, o pegador de massa, o pegador de gelo e a vassoura.
128
1.60 Vantagem Mecânica de um Macaco
Objetivo
Determinar a vantagem mecânica de um macaco de automóvel.
Materiais Utilizados
1 macaco de automóvel (do tipo joelho ou do tipo sanfona), 1 régua.
Montagem e Procedimento
Assente o macaco em uma base horizontal, de modo que ele esteja pre-
parado para o uso. Neste experimento não é necessário colocá-lo em funcio-
namento, de modo que ele não precisa levantar carga alguma. Vamos apenas
retirar apenas alguns dados dele e determinar a sua vantagem mecânica, ou
seja, o quanto ele consegue multiplicar a força aplicada na sua manivela.
Considere o macaco de automóvel do tipo joelho, o qual está ilustrado na
Fig.(1.67).
Figura 1.67: Macaco tipo joelho.
Gire a manivela e perceba que o macaco vai elevando a parte M , que
ergue a carga disposta sobre ele. Determine a vantagem mecânica (VM ) do
macaco medindo-se o valor de r e h ao serem efetuadas n voltas na manivela.
129
Análise e Explicação
Uma das características mais importantes de uma máquina simples, como
um macaco, é a sua vantagem mecânica. Desconsiderando diversos fatores,
como o atrito, a vantagem mecânica (VM ) é definida como a razão entre o
módulo da força aplicada à máquina (FA) e o módulo da força exercida pela
máquina (FM ):
VM =
FM
FA
(1.59)
A atuação da força FA realizou um trabalho ao girar a manivela, o qual é
dado por:
WA = FAdA (1.60)
onde dA é a distância percorrida por essa força ao girar essa manivela. Como
o giro da manivela descreve uma circunferência, tem-se que:
dA = 2pirn (1.61)
onde r é o raio da manivela (raio da circunferência por ela descrita) e n o
número de voltas realizadas.
O trabalho realizado pela base M de elevação é:
WM = FMh (1.62)
onde FM é a força exercida pelo macaco sobre a carga e h a altura que essa
carga foi elevada ao ser dada n voltas na manivela.
Pela conservação da energia tem-se que WA = WM e, de (1.60) e (1.62)
vem que:
FAdA = FMh (1.63)
Levando (1.61) em (1.63), encontra-se:
FA2pirn = FMh (1.64)
Relacionando (1.64) com (1.59), tem-se que a vantagem mecânica (VM ) pode
ser dada por:
VM = 2pi
(
nr
h
)
Dessa forma, para aumentar a VM pode-se utilizar um eixo com roscas
mais finas (o que faz com que necessite-se dar um número maior de voltas
para provocar a mesma elevação) e/ou aumentar o raio da manivela.
130
1.61 Decomposição de Forças no Plano Inclinado
Objetivo
Demonstrar como a força paralela ao plano inclinado varia com o ângulo.
Materiais Utilizados
1 dinamômetro, 1 carrinho (de brinquedo, que seja pequeno e pesado), 1
rampa, 1 transferidor, 1 suporte.
Montagem e Procedimento
Pese o carrinho com o dinamômetro, de acordo com a Fig.(1.68-a).
Figura 1.68: a- Pesando o carrinho; b- Plano inclinado.
Monte uma rampa, fazendo um plano inclinado, como na Fig.(1.68-b).
Verifique o peso do carrinho acusado pelo dinamômetro e com o transferidor
anote o ângulo correspondente. Varie o ângulo de inclinação da rampa e
veja como varia o peso do carrinho. Compare os resultados teóricos com os
experimentais.
131
Análise e Explicação
Na Fig.(1.69) tem-se a decomposição da força peso (~P ) que age sobre o
carrinho, nas direções perpendicular e tangente ao movimento.
Figura 1.69: Decomposição de ~P no plano inclinado.
Por uma análise trigonométrica tem-se que:
Px = Psenθ
Py = Pcosθ
A força acusada pelo dinamômetro é Px, a qual é paralela à rampa. Esta
força é mínima quando θ = 0◦ (plano horizontal) e máxima quando θ = 90◦
(carrinho na vertical). Quando θ = 0◦ tem-se que Px = 0, pois sen0◦ = 0, e
quando θ = 90◦ vem que Px = P , pois sen90◦ = 1.
132
1.62 Roldana Fixa
Objetivo
Verificar as condições de equilíbrio de dois corpos interligados numa rol-
dana fixa.
Materiais Utilizados
1 suporte, 1 roldana (ou polia), 1 fio fino, 2 massas (iguais).
Montagem e Procedimento
Prenda a roldana no suporte. Passe o fio pela roldana e ligue nas suas
extremidades as massas (1 e 2), como mostra a Fig.(1.70).
Figura 1.70: Roldana fixa.
Estando a roldana livre para girar constate que a única forma do sistema
ficar em equilíbrio é quando a massa 1 (m1) é igual a massa 2 (m2).
Análise e Explicação
Uma roldana ou polia é uma roda que pode girar em torno do eixo que
passa pelo seu centro e possui um sulco no qual pode passar uma corda ou
fio.
Roldana fixa é o nome dado à roldana que tem o eixo de rotação fixo.
A vantagem de usá-la está no fato dela permitir a aplicação de forças em
133
direções e sentidos convenientes. Por exemplo, se quiser erguer uma carga
até certa altura utilizando-se de uma roldana fixa pode-se aplicar uma força
de cima para baixo, o que é mais fácil do que aplicar uma força de baixo para
cima (sem a polia).
No experimento descrito as forças que agem sobre o corpo 1 são: força
peso ~P1, orientada verticalmente para baixo e a força de tração na corda ~T ,
orientada verticalmente para cima. De maneira semelhante, no bloco 2 agem
as forças ~P2 e ~T .
Aplicando a segunda lei de Newton
∑
F = ma para cada bloco e ado-
tando um sentido arbitrário de rotação dos dois corpos ligados pela corda
(aqui foi adotado o sentido horário), tem-se:
T − P1 = m1a (1.65)
P2 − T2 = m2a (1.66)
Somando (1.65) e (1.66) obtem-se que a aceleração (a) do conjunto é:
a = P2 − P1
m1 +m2
Para o sistema estar em equilíbrio deve-se ter a = 0, donde vem que:
P1 = P2
ou
m1 = m2
já que P = mg. Numa polia fixa a vantagem mecânica (VM ) é sempre igual
a 1.
134
1.63 Associação de Roldanas
Objetivos
Verificar uma associação de roldanas fixas e roldanas móveis.
Materiais Utilizados
1 suporte, 4 roldanas (iguais), massas iguais, barbante.
Montagem e Procedimento
Realizaremos um experimento com 2 roldanas fixas e 2 roldanas móveis,
montando-o de acordo com a Fig.(1.71).
Figura 1.71: Associação de roldanas.
Coloque as massas 1 e 2 e veja em que situação ocorre o equilíbrio.
Análise e Explicação
A Fig.(1.72) representa o conjunto de forças que atuam no sistema.
Considerando os fios e as polias ideais, tem-se que, no equilíbrio:F = P4
135
Figura 1.72: Diagrama de forças.
Sendo n o número de polias móveis, pode-se relacionar F e P de maneira
generalizada como sendo:
F = P2n (1.67)
Se essa associação de roldanas for disposta de modo que as roldanas mó-
veis tenham o mesmo eixo, assim como as roldanas fixas, tem-se um disposi-
tivo chamado talha (também chamado moitão), cujo esquema está represen-
tado na Fig.(1.73).
A vantagem mecânica (VM ) de uma talha é dada por:
VM =
P
F
(1.68)
Levando (1.67) em (1.68) tem-se VM = 2nP/P , donde vem que:
VM = 2n
136
Figura 1.73: Esquema de uma talha.
1.64 Talha Exponencial
Objetivos
Estudar o conjunto de roldana móveis e a multiplicação de forças.
Materiais Utilizados
1 suporte, 3 (ou mais) roldanas, massas iguais, barbante.
Montagem e Procedimento
Prenda uma roldana ao suporte, de modo que ela fique fixa. Coloque 2
(ou mais) roldanas móveis ligadas por fios, como ilustrado na Fig.(1.74).
Disponhas as massas de modo à formar os pesos P1 e P2, fazendo com
que o sistema fique em equilíbrio. Repita o experimento com diferentes nú-
meros (n) de roldanas móveis e verifique a relação entre P1 e P2. Preencha
uma tabela como a Tab.(1.8).
137
Figura 1.74: Roldana móveis.
Tabela 1.8: Dados talha exponencial.
P1(N) P2(N) n
Análise e Explicação
Conta-se que no século III a.C o matemático grego Arquimedes construiu
um dispositivo com várias polias móveis e sozinho puxou um barco que es-
tava no mar para a beira da praia. O dispositivo construído por Arquimedes
é conhecido hoje como talha exponencial e é constituído por uma polia fixa
e várias polias móveis, e o mesmo tem a capacidade de multiplicar a força
aplicada.
Nesse dispositivo verifica-se que (substituindo P2 por P e P1 por F :
P = 2nF (1.69)
A seguir vamos explicar detalhadamente como ocorre a multiplicação da
intensidade da força na talha exponencial. Na Fig.(1.75) temos a representa-
ção de um talha exponencial com 1 polia fixa (nº4) e 3 polias móveis (nº1,
138
2 e 3). O experimento foi realizado com apenas 2 polias móveis, mas aqui
procuramos apresentar uma explicação mais completa.
Figura 1.75: Talha exponencial com 3 polias móveis.
No equilíbrio, em cada polia móvel agem sempre 3 forças. De acordo
com as forças atuantes na polia 1 tem-se:
P = 2T1 (1.70)
Na polia 2:
T1 = 2T2 (1.71)
Na polia 3:
T2 = 2T3 (1.72)
Na polia 4:
F = T3 (1.73)
Como deseja-se relacionar F com P , inicialmente isola-se T1 em (1.70)
e substitui-se em (1.71):
P = 4T2 (1.74)
139
Levando T2 de (1.74) em (1.72):
P = 8T3 (1.75)
Substituindo T3 de (1.75) em (1.73), obtem-se F = P/8, ou:
F = P23 (1.76)
Isso significa que, com 3 polias móveis consegue-se equilibrar um peso P
fazendo uma força F de intensidade 8 vezes menor. Perceba como (1.76)
relaciona-se com (1.69).
A vantagem mecânica (VM ) de uma talha exponencial é dada por:
VM =
P
F
(1.77)
Levando (1.69) em (1.77) tem-se que VM = 2nF/P , donde vem que:
VM = 2n
onde n é o número de roldanas móveis.
140
1.65 Sustentação de um Objeto Através de Forças Ho-
rizontais
Objetivo
Verificar que não há como anular a força peso, que é uma força vertical,
através da aplicação de forças horizontais.
Materiais Utilizados
1 corda, 1 objeto pesado (qualquer coisa que se possa amarrar).
Montagem e Procedimento
Amarre o objeto no centro da corda, de modo que ela fique com as ex-
tremidades livres. Com ajuda de um colega, tente elevar o objeto na vertical
puxando a corda na horizontal, um para cada lado, como representado na
Fig.(1.76).
Figura 1.76: Sustentação de um objeto.
Perceba que, quanto maior a elevação (alinhamento com o nível das ex-
tremidades da corda) que se deseja obter, maior é a força horizontal que deve-
se aplicar. A principio parece ser impossível alinhar totalmente o corpo na
horizontal.
141
Análise e Explicação
O peso (~P ) é uma força de direção vertical e com sentido apontando para
o centro da Terra. Para anulá-lo é preciso uma força com mesma direção e
intensidade e sentido oposto. Não é possível anular o peso de outro modo.
Por exemplo, você não consegue levantar uma caixa na vertical, empurrando-
a horizontalmente.
Não importa quão pesado seja o corpo preso, a corda nunca se alinhará
por completo pela aplicação de forças horizontais. Isso fica mais evidente
quanto maior o peso utilizado.
Na Fig.(1.77) temos um esquema das forças que atuam na sustentação do
corpo por duas cordas, como no experimento realizado.
Figura 1.77: Forças atuantes sobre o corpo suspenso.
Decompondo as tensões nas extremidades da corda (~T1 e ~T2), nas dire-
ções x e y, tem-se:
T1x = T1sen
(
φ
2
)
T1y = T1cos
(
φ
2
)
T2x = T2sen
(
φ
2
)
T2y = T2cos
(
φ
2
)
Estando o sistema em equilíbrio, tem-se que:∑
Fx = 0
∑
Fy = 0
142
donde vem:
T2sen
(
φ
2
)
− T1sen
(
φ
2
)
= 0 (1.78)
T1cos
(
φ
2
)
+ T2cos
(
φ
2
)
− P = 0 (1.79)
Da Eq.(1.78), e até por questões simétricas, tem-se que:
T1 = T2
Considerando T1 = T2 = T e levando na Eq.(1.79) obtem-se:
2Tcos
(
φ
2
)
= P
ou:
T = P2cos (φ/2) (1.80)
Da Eq.(1.80) percebe-se que, quanto maior é o ângulo de abertura (φ),
maior é a tração (T ) que deve-se fazer na corda. Para um ângulo φ = 90◦,
por exemplo, tem-se T = 0, 71P . Já, para um ângulo maior, como φ = 150◦,
vem que T = 1, 93P .
Com isso, pode-se concluir que, quanto maior é o ângulo de abertura (φ)
entre as duas cordas, maior é a força de tração (T ) que elas devem sofrer
para suspender o peso (~P ). Isso porque, quanto maior a elevação, maior é
o ângulo φ, de modo que ele tende à 180◦ (φ → 180◦), fazendo com que
cos(φ/2)→ 0 e T = P/2cos(φ/2)→∞.
143
1.66 Equilíbrio e Decomposição de Forças
Objetivo
Verificar as condições de equilíbrio de um conjunto de forças.
Materiais Utilizados
1 suporte, 2 roldanas, 1 transferidor, 1 fio, massas, 1 balança de precisão.
Montagem e Procedimento
Monte o conjunto de acordo com a Fig.(1.78).
Figura 1.78: Equilíbrio de Forças.
Determine o valor das massas e coloque-as suspensas nas extremidades
do fio, as quais são numeradas como 1, 2 e 3. Meça o ângulo formado entre os
fios e a horizontal (θ1 e θ2), utilizando o transferidor. Anote os valores numa
tabela, como a representada na Fig.(1.9). Varie o valor das massas e meça os
ângulos correspondentes. Calcule os pesos referentes às massas, lembrando
que P = mg.
144
Tabela 1.9: Tabela de dados equilíbrio de forças.
m1 m2 m3 P1 P2 P3 θ1 θ2
...
...
...
...
...
...
...
...
Análise e Explicação
No equilíbrio, a junção entre as 3 cordas está em repouso sob a ação das 3
forças de tração ~T1, ~T2 e ~T3. Escolhendo os eixos x (horizontal) e y (vertical)
pode-se decompor as forças em termos de suas componentes x e y, conforme
mostrado na Fig.(1.79).
Figura 1.79: Decomposição de forças no plano xy.
Sendo a = 0, a segunda lei de Newton à junção se reduz à:∑
Fx = 0
∑
Fy = 0
Sendo que T1 = P1, T2 = P2 e T3 = P3 obtem-se que:
P2cosθ2 − P1cosθ1 = 0
P1senθ1 + P2senθ2 − P3 = 0
145
Tabela 1.10: Tabela de dados.
m1(g) m2(g) m3(g) P1(N) P2(N) P3(N) θ1 θ2
219,56 221,96 216,73 2,20 2,22 2,17 29,3º 29,5º
34,50 29,50 57,00 0,35 0,30 0,57 65,0º 61,0º
Experimentalmente obteve-se os dados que estão na Tab.(1.10).
Para a primeiro conjunto de dados tem-se que
∑
Fx = 0, 01N e
∑
Fy =
0, 00N e para o segundo conjunto ∑Fx = 0, 00N e ∑Fy = −0, 01N . As
resultantes não nulas encontradas devem-se, principalmente, as dificuldades
de se obter valores precisos dos ângulos.
146
1.67 Densidade
Objetivo
Determinar a densidade de algumas substâncias.
Materiais Utilizados
1 balança de precisão, 1 paquímetro, 1 proveta, 1 béquer, líquidos diver-
sos, sólidos(regulares).
Montagem e Procedimento
Meça com a balança de precisão a massa (m) dos sólidos e dos líquidos.
Determine o volume (V ) dos líquidos com a proveta e dos sólidos com o
paquímetro.
Com os dados obtidos preencha uma tabela como a Tab.(1.11) e calcule a
densidade de cada substância.
Tabela 1.11: Densidade de diversas substâncias.
Substância m(g) V (cm3) ρ(g/cm3)
Água
Álcool
Ferro
Alumínio
Madeira
...
Análise e Explicação
A densidade (ρ) de um corpo é definida como o quociente entre a sua
massa (m) e o seu volume (V ):
ρ = m
V
147
Pode-se dizer que a densidade mede o grau de concentração de massa em um
determinado volume.
Há uma diferença entre densidade (ρ) e massa específica (µ), também
chamada densidade absoluta. A massa específica é uma propriedade de uma
substância e não de um objeto. Um objeto oco pode ter densidade muito
diferente da massa específica do material que o compõem. A massa específica
µ é determinada por µ = m/V , de modo que ela coincide com a densidade
de um corpo maciço e homogêneo formado por essa mesma substância.
148
1.68 Conceito de Pressão 1
Objetivo
Esclarecer o conceito de pressão através de experimentos simples.
Materiais Utilizados
1 caneta, 1 bandeja grande, areia fina (ou produto semelhante, como fari-
nha, por exemplo), 1 tijolo.
Montagem e Procedimento
Retire a tampa da caneta, coloque-a entre os dedos e pressione levemente
nas suas extremidades. Você sentirá a ponta tentando lhe furar o dedo.
Uma outra forma de esclarecer o conceito de pressão é através da dispo-
sição de um tijolo sobre uma camada de areia bem fina. Despeje a areia numa
bandeja e deixe a sua superfície plana. Coloque o tijolo sobre ela de 3 manei-
ras diferentes: de pé (Fig.1.80-a), de lado (Fig.1.80-b) e deitado (Fig.1.80-c).
Observe que as impressões deixadas na areia são diferentes nas três situações.
Se necessário, pode ser colocado uma massa maior sobre o tijolo (a mesma
massa nas 3 situações) para que a marcação fique mais visível.
Figura 1.80: Tijolo disposto: a- de pé; b- de lado; c- deitado.
149
Análise e Explicação
A pressão (p) é definida como a intensidade da força (F ) por unidade de
área superficial (A):
p = F
A
(1.81)
A pressão é uma grandeza escalar e por isso não tem direção e sentido.
Da mesma forma que a densidade informa sobre a concentração de massa por
um certo volume, a pressão informa sobre a concentração de forças em uma
determinada área.
Estando pressionada entre os dedos a caneta exerce a mesma força nas
duas extremidades. No entanto, a pressão exercida sobre os dedos é maior na
ponta da caneta, que tem menor área.
O mesmo ocorre no experimento com o tijolo. A força (F ) exercida pelo
tijolo sobre a areia é igual ao peso (P ) do tijolo, que é o mesmo nas três
situações. A impressão deixada na areia depende da pressão (p) que o tijolo
exerce sobre ela. Esta é maior na situação em que o tijolo é colocado em pé
(menor A) e menor quando o tijolo é colocado deitado (maior A).
150
1.69 Conceito de Pressão 2
Objetivo
Relacionar as grandezas pressão, força e área.
Materiais Utilizados
2 balões, diversos pregos pequenos (ou alfinetes), 1 pedaço de isopor.
Montagem e Procedimento
Atravesse o isopor com pregos de modo a formar dois quadrados: um
com um pequeno número e outro com um grande número deles, como repre-
sentado na Fig.(1.81). Verifique para que as pontas dos pregos fiquem todas
com a mesma altura.
Figura 1.81: Pregos no isopor.
Encha o balão e pressione-o (com a mesma intensidade) contra cada con-
junto de pregos. Verifique que o balão estoura quando pressionado contra o
conjunto que contém poucos pregos e não estoura quando pressionado contra
o conjunto com um grande número de pregos.
Análise e Explicação
A força aplicada (F ) pelo balão sobre o conjunto de pregos é igual nas
duas situações, mas a pressão (p) exercida pelos pregos sobre o balão é maior
151
no quadrado com menor número de pregos, pois a área de contato (A) é
menor. Isso é explicado pela relação (1.81). Quando atinge um limite de
pressão o balão acaba estourando.
A explicação para o fato de pessoas conseguirem deitar-se sobre camas
de prego (ou de facas) é a mesma. Para a pessoa sair ilesa é necessário uma
grande quantidade de pregos fincados, o que aumenta a área de aplicação da
força (força P ) e leva a diminuição da pressão.
152
1.70 Estimando a Massa de um Automóvel
Objetivo
Determinar a massa de um automóvel através da medida da pressão dos
seus pneus.
Materiais Utilizados
1 carro, 1 calibrador de pneus, 1 folha de papel milimetrada, 1 barbante.
Montagem e Procedimento
Pode-se determinar a massa de um automóvel conhecendo-se a pressão
de ar contido nos seus pneus e a área de contado entre cada pneu e o solo,
num piso plano e horizontal.
Com o calibrador meça a pressão do ar em cada pneu, fazendo uma média
dos 4. Determine a área de contado do pneu com o solo contornando o pneu
com um barbante, junto ao chão. Em seguida reproduza o mesmo contorno
sobre uma folha de papel milimetrado, onde pode ser determinada a sua área.
Faça uma média das áreas dos 4 pneus. Pode ser feito apenas a medida da
área de um pneu dianteiro e outro traseiro, mas, para isso, é importante que
cada par de pneu esteja com a mesma pressão.
Utilizando o conceito de pressão e de área estime a massa do automó-
vel. Apesar de ser uma forma não muito precisa, os resultados obtidos são
satisfatórios. É importante que os pneus estejam bem cheios, pois, caso não
estejam, a contribuição que as paredes dos pneus exercem sobre a sustentação
pode diferir nos resultados.
Análise e Explicação
O produto da pressão (p) do ar em cada pneu pela sua correspondente área
de contato (A) com o solo fornece o módulo da força normal (N ) exercida
pelo ar sobre a parede interna de cada pneu, que é igual ao módulo da força de
contato (F ) de cada pneu com o chão exercido pelas suas paredes externas.
153
Os automóveis têm 4 pneus e pela lei de ação e reação pode-se concluir
que o módulo do peso do automóvel é:
P = 4F (1.82)
Sendo que a pressão é definida como p = F/A, tem-se que, em cada
pneu:
F = pA (1.83)
Relacionando (1.82) e (1.83) e sendo que P = mg, tem-se que a massa
(m) do automóvel pode ser dada por:
m = 4pA
g
Em geral os medidores de pressão fornecem a pressão em lb/pol2 (libras
por polegada quadrada). É necessário transformá-la em Pascal, sendo que
1lb/pol2 = 6891Pa. Além disso, é preciso somar a ela a pressão atmosfé-
rica local, que é da ordem de 1atm = 1, 013.105Pa. A área dos pneus do
automóvel deve ser dada em m2, de modo que o peso do automóvel vai ser
dado em N e a massa em kg.
154
1.71 Trabalho e Energia numa Mola
Objetivo
Verificar a relação entre trabalho e energia no movimento de uma mola.
Materiais Utilizados
1 mola (essas de caderno), 1 bola de papel.
Montagem e Procedimento
Prenda uma extremidade da mola numa base de madeira ou segure-a com
a própria mão, de modo que ela fique na horizontal. Coloque a bola de papel
na outra extremidade da mola e comprima o conjunto. Solte esta última ex-
tremidade da mola e observe que a bola de papel, inicialmente em repouso,
é arremessada horizontalmente com uma certa velocidade. Faça uma análise
do processo ocorrido abordando os conceitos de energia potencial, trabalho e
energia cinética.
Análise e Explicação
Quando a mola é comprimida o esforço feito para isso fica armazenado
nela sob a forma de energia potencial elástica (Epel). Quando é solta da sua
posição comprimida a extremidade (a que contém a bola de papel) da mola
se distende por uma distância (x) e realiza um trabalho (W ) sobre a bola.
O trabalhoW realizado por uma força relaciona-se a idéia de transferir ou
transformar a energia associada aos corpos. Se uma força aplicada ~F provoca
odeslocamento de um corpo por ~x (de uma posição A para uma posição B),
a intensidade do trabalho realizado por essa força é:
WAB = Fxcosθ (1.84)
onde θ é o ângulo formado entre os vetores ~F e ~x. O trabalho realizado é
positivo se a força tiver uma componente no mesmo sentido do deslocamento
e negativo se a força tiver uma componente no sentido oposto. Considerando
155
que ~F e ~x tem a mesma direção, como no experimento realizado, tem-se que
(θ = 0◦), donde vem que cosθ = 1 e a Eq.(1.84) se reduz à:
WAB = Fx (1.85)
A velocidade da bola de massa m na posição B é dada por v2B = v2A +
2ax, donde vem:
x = v
2
B − v2A
2a (1.86)
Levando (1.86) em (1.85), e sendo F = ma:
WAB = ma
(
v2B − v2A
2a
)
donde vem:
WAB =
1
2mv
2
B −
1
2mv
2
A (1.87)
Sendo que (1/2)mv2 representa a energia cinética (Ec) do corpo, pode-se
escrever (1.87) como:
WAB = EcB − EcA = ∆Ec (1.88)
que é o teorema do trabalho-energia, o qual diz que a variação de energia
cinética de um corpo é igual ao trabalho realizado sobre esse corpo.
No experimento o trabalho realizado pela mola sobre a bola é igual a
energia cinética que ela adquire ao ser lançada no ponto B. neste caso
WAB = EcB , porque EcA = 0, já que a bola tem v = 0 em A.
O teorema do trabalho-energia pode ser escrito em função da energia po-
tencial elástica da mola, tendo a forma:
WAB = EpA − EpB =
kx2
2
onde EpA e EpB são as energias potenciais da mola, respectivamente nos
pontos A e B e k é a constante elástica da mola.
156
1.72 Conservação da Energia Mecânica 1
Objetivo(s)
Verificar a conservação da energia mecânica num sistema oscilante massa-
mola.
Materiais Utilizados
1 mola helicoidal (uma mola de caderno), 1 massa (que possa ser presa
na mola), 1 suporte.
Montagem e Procedimento
Prenda a massa na extremidade da mola e pendure a mola num suporte,
de modo que a massa possa se movimentar livremente na vertical.
Inicialmente deixe o conjunto em repouso (Fig.1.82-a). Em seguida eleve
um pouco a massa na vertical e solte-a (Fig.1.82-b), observando que o sis-
tema passa a oscilar verticalmente. Observe as transformações de energia que
ocorrem nesse processo de oscilação e explique por que a massa, quando solta
acima da posição de equilíbrio, estica a mola além desta posição (Fig.1.82-c).
Análise e Explicação
Ao ser elevada acima de sua posição de equilíbrio a massa adquire ener-
gia potencial gravitacional (Epg ). Ao cair a massa ganha energia cinética
(Ec) (realiza trabalho), a qual deforma a mola e é transformada em energia
potencial elástica (Epel) pela mola.
Durante o movimento de oscilação a energia muda de uma forma para
outra, de modo que a energia mecânica (EM ) permaneça constante. Sendo
que a energia mecânica é a soma da energia cinética, da energia potencial
elástica e da energia potencial gravitacional (Epg ), vem que:
Ec + Epel + Epg = k
onde k é uma constante.
157
Figura 1.82: a- Sistema em equilíbrio; b- Massa acima da posição de equilíbrio; c-
Massa abaixo da posição de equilíbrio.
1.73 Conservação da Energia Mecânica 2
Objetivo
Realizar um experimento que demonstre a conservação da energia mecâ-
nica.
Materiais Utilizados
1 suporte de sustentação, 3 pedaços de trilhos, 3 esferas iguais24 (bolinhas
de gude ou esferas de aço), 1 mesa plana, 1 trena.
24Os trilhos e as esferas devem ter diâmetros de tal forma que as esferas possam se movi-
mentar livremente pelo interior do trilho.
158
Montagem e Procedimento
Disponha os 3 trilhos, com formatos diferentes, de acordo com a Fig.(1.83).
O trilho 1 é retilíneo, o trilho 2 tem formato cicloidal e o trilho 3 é parabólico.
Além disso eles têm comprimentos diferentes, de modo que todos tenham as
posições inicial (A) e final (B) nos mesmos níveis.
Figura 1.83: Trilhos.
A esfera solta em A vai rolar por um dos trilhos e sair em B, percorrendo
em seguida uma pequena distância sobre a mesa e sendo lançada horizontal-
mente. Soltando as 3 esferas pelos diferentes trilhos, você observará que elas
atingirão a mesma distância horizontal no solo. Solte as 3 esferas simultane-
amente e observe também que elas tem tempos de descida diferentes.
Análise e Explicação
Como as 3 esferas de mesmas massas (m) partem do mesmo nível (ponto
A), o qual está numa altura h em relação ao ponto B, elas possuem a mesma
quantidade de energia potencial gravitacional (Epg ), dada por:
Epg = mgh (1.89)
onde g é a aceleração da gravidade.
159
Ao serem abandonadas no ponto A, as esferas rolam pelos trilhos e con-
vertem suas energias potenciais gravitacionais em energias cinéticas (Ec),
sendo esta dada por:
Ec =
1
2mv
2 (1.90)
onde v é a velocidade da esfera.
Todas as esferas têm o mesmo alcance x em relação à mesa, o que signi-
fica que todas elas foram lançadas com a mesma velocidade inicial v.
Considerando que toda a energia potencial gravitacional da esfera no
ponto A é convertida em energia cinética no ponto B, igualando (1.89) e
(1.90):
mgh = 12mv
2
vem que a velocidade de lançamento é:
v =
√
2gh
Como a altura h é igual para os 3 trilhos, as velocidades que as esferas adqui-
rem ao chegar ao ponto B também são iguais.
O trajeto mais rápido é feito pela esfera no trilho com formato cicloidal
(trilho 2), seguido pelo parabólico (trilho 3) e pelo trilho retilíneo (trilho 1)25.
25Uma discussão do porque disso está um pouco além do nível deste livro.
160
1.74 Looping Vertical e Conservação da Energia
Objetivo
Verificar as condições de ocorrência de um looping vertical levando em
consideração a conservação de energia.
Materiais Utilizados
1 mangueira transparente (ou um trilho), 1 esfera de aço, 1 trena.
Montagem e Procedimento
Monte o esquema de acordo com a Fig.(1.84).
Figura 1.84: Looping numa mangueira.
Abandone a esfera a partir de uma determinada altura (extremidade A da
mangueira) de modo que ela percorra toda a trajetória, conseguindo passar
pelo ponto B. Se utilizar o trilho a esfera deve passar pelo ponto B sem
perder o contato com ele. Verifique qual deve ser o desnível mínimo entre os
pontos A e B para que isso ocorra.
Análise e Explicação
Considere o esquema da Fig.(1.85).
161
Figura 1.85: Esquema do looping.
De acordo com o principio de conservação da energia mecânica, para a
esfera realizar o looping, a energia mecânica no ponto A (EMA) deve ser
maior que à energia mecânica no ponto B (EMB ):
EMA > EMB
Sendo que a esfera parte do repouso em A e que a energia mecânica é igual a
soma das energias cinética e potencial, tem-se que:
mghA > mghB +
1
2mv
2
B (1.91)
No ponto B a esfera deve ter velocidade mínima tal que mg = mv2B/r,
donde vem:
vB =
√
rg (1.92)
Levando (1.92) em (1.91) tem-se hA > hB + r/2, donde vem:
hA − hB > r2
ou seja, a diferença de altura entre os pontos A e B deve ser maior que metade
do raio da circunferência. Se hA − hB < r/2 a esfera, solta em A, perderá o
contato com o trilho antes de atingir o ponto B ou não passará por ele; caso
for a mangueira, a esfera não realizará o looping.
162
1.75 Quantidade de Movimento Linear 1
Objetivo
Verificar a conservação da quantidade de movimento linear.
Materiais Utilizados
1 pêndulo, 1 carrinho de rodas (de brinquedo), 1 haste.
Montagem e Procedimento
Monte a haste sobre o carrinho e pendure nela o pêndulo. Disponhe o
carrinho sobre uma superfície plana e coloque o pêndulo à oscilar. Observe
que o carrinho desloca-se sempre em sentido oposto ao do movimento do
pêndulo26, como está representado na Fig.(1.86).
Figura 1.86: Conservação da quantidade de movimento linear.
Análise e Explicação
No caso de um ponto material de massa m que se movimenta com ve-
locidade ~v, representamos a quantidade de movimento ou momento linear ~p
como:
~p = m~v
26O pêndulo deve teruma massa suficiente para que isso ocorra.
163
onde ~p é uma grandeza vetorial com a mesma direção e mesmo sentido que
~v.
Considerando um sistema de pontos materiais de massas m1, m2, mn,
que em determinado instante apresentam as respectivas velocidades ~v1, ~v2,
~vn, representa-se a quantidade de movimento linear total do sistema como a
soma das quantidades de movimento pontuais:
~p = ~p1 + ~p2 + ...+ ~pn
~p = m1~v1 +m2~v2 + ...+mn~vn
que de maneira mais compacta é escrita como:
~p =
n∑
i=1
mi~vi
As forças internas podem provocar variações nas quantidades de movi-
mento de cada partícula de um sistema, mas não provocam a variação na
quantidade de movimento total do sistema. Como não há forças externas
agindo sobre o sistema (carrinho + pêndulo), quando o pêndulo adquire uma
quantidade de movimento num sentido, o carrinho adquire uma quantidade
de movimento em sentido contrário. Dessa forma, sendo que inicialmente o
sistema estava em repouso, a sua quantidade de movimento total mantém-se
nula.
Embora a conservação da quantidade de movimento seja um dos principio
fundamentais da física, é possível deduzí-la a partir das leis de Newton.
164
1.76 Quantidade de Movimento Linear 2
Objetivo
Observar a conservação da quantidade de movimento linear.
Materiais Utilizados
1 placa de madeira, 3 pregos, elástico, linha, 1 bacia grande, água, tirinhas
de papel, fósforo.
Montagem e Procedimento
Fixe 2 pregos alinhados em uma extremidade da placa e o outro na outra
extremidade. Prenda o elástico aos 2 pregos alinhados. Amarre uma linha no
meio do elástico e prenda-a ao prego na outra extremidade, de modo que o
elástico fique bem tensionado.
Coloque água na bacia e disponhe o conjunto sobre a água. Queime a
linha com um palito de fósforo aceso e perceba que a placa de madeira fica
parada sobre a água.
Repita o procedimento colocando uma tira de jornal sobre o elástico, de
modo que ela seja lançada quando queimado a linha. Observe que a placa
de madeira se desloca em sentido oposto ao que foi lançada a tira de papel.
Faça o mesmo procedimento utilizando 2 tiras de papel e perceba que a placa
se desloca mais intensamente. Um esquema da montagem e da realização do
experimento está na Fig.(1.87).
Análise e Explicação
A explicação deste experimento é a mesma que o Exp.(1.75).
165
Figura 1.87: Conservação da quantidade de movimento linear.
1.77 Quantidade de Movimento Linear 3
Objetivo
Verificar a conservação da quantidade de movimento linear.
Materiais Utilizados
2 blocos (de massas diferentes), 1 mola27, 1 superfície lisa (uma mesa,
por exemplo).
Montagem e Procedimento
Sobre a superfície lisa disponha os 2 blocos de modo que eles fique sepa-
rados pela mola, como mostra a Fig.(1.88-a). Aproxime os blocos de modo
a comprimir a mola (Fig.1.88-b) e solte-os simultaneamente. Perceba que o
bloco mais leve se afasta mais rapidamente que o mais pesado (Fig.1.88-c).
Análise e Explicação
Desprezando a ação de forças externas, como a força de atrito e a resis-
tência do ar, tem-se que, num sistema isolado, a quantidade de movimento
27Utilize uma mola forte de caderno ou construa uma mola, enrolando um arame ao redor
de um cilindro.
166
Figura 1.88: a- Blocos separados por uma mola; b- Mola comprimida; c- Blocos
afastados.
total do sistema é conservada, de modo que:∑
~p = 0
ou
∆~p = 0
Ao soltar os blocos a mola distende-se e empurra um bloco para cada
lado, de modo que:
~pA + ~pB = 0 (1.93)
onde ~pA e ~pB são as quantidades de movimento linear, respectivamente dos
blocos A e B.
A partir de (1.93) tem-se que ~pA = −~pB , donde vem que, em módulo:
|~pA| = |~pB| (1.94)
Sendo p = mv, escreve-se (1.94) como:
mAvA = mBvB (1.95)
Analisando (1.95) percebe-se que, se mA > mB , vem que vA < vB , e vice-
versa, de modo que as velocidades e as massas dos blocos são inversamente
proporcionais.
167
1.78 Quantidade de Movimento Angular 1
Objetivo
Verificar a conservação da quantidade de movimento angular.
Materiais Utilizados
1 ovo cru, 1 ovo cozido.
Montagem e Procedimento
Pegue o ovo cru e faça-o girar sobre uma mesa. Antes que ele pare seu
movimento segure-o com os dedos e em seguida solte-o. Observe que ele
volta a girar Faça o mesmo procedimento com o ovo cozido e constate que
este não volta a girar depois de parado (Fig.1.89).
Figura 1.89: Rotacionando ovos.
Análise e Explicação
Da mesma forma que a força ~F é a variação temporal da quantidade de
movimento linear ~F = ∆~p/∆t, o torque ~τ é a variação no tempo da quanti-
dade de movimento angular:
~τ = ∆
~L
∆t
168
Se o torque externo resultante agindo sobre o sistema for nulo (~τ = 0),
vem que:
∆~L
∆t = 0
o que significa que a quantidade de movimento angular (~L) do sistema não
varia com o tempo, ou seja:
L = k
onde k é uma constante.
Se o ovo está cru e você o segura brevemente enquanto estiver girando,
o fluido dentro do ovo continua girando por inércia. Quando você o liberta,
o atrito entre o fluido e a casca faz com que o ovo inteiro comece a girar
novamente. Se o ovo estiver cozido, não há nenhum fluido dentro dele, pois
toda a massa está sólida, e assim, uma vez parado, não começará a girar
novamente.
169
1.79 Quantidade de Movimento Angular 2
Objetivo
Demonstrar a conservação da quantidade de movimento angular.
Materiais Utilizados
1 suporte, 2 corpos (iguais e nos quais possam prender um fio pelos seus
eixos centrais), 2 pedaços de linha.
Montagem e Procedimento
Pendure no suporte os corpos 1 e 2 com a linha, como mostra a Fig.(1.90).
Figura 1.90: Corpos pendurados por linhas.
Mantenha preso o corpo 1 e torça um pouco a linha juntamente com o
corpo 2 e em seguida solte-os. Observe que os corpos 1 e 2 giram em sentidos
opostos.
Análise e Explicação
Os corpos 1 e 2 giram em sentidos opostos, devido à conservação da
quantidade de movimento angular (L). Sendo que a velocidade angular ini-
170
cial é nula, tem-se que: ∑
~L = 0
ou
~L1 + ~L2 = 0
onde ~L1 e ~L2 são as quantidades de movimento angular correspondentes res-
pectivamente aos corpos 1 e 2. Como os corpos 1 e 2 são iguais a intensidade
de suas quantidades de movimento angular também são iguais, mas os vetores
~L diferem no sentido de rotação.
171
1.80 Quantidade de Movimento Angular 3
Objetivo
Verificar a estabilidade de um corpo em rotação.
Materiais Utilizados
1 moeda.
Montagem e Procedimento
Coloque a moeda verticalmente. Em seguida tente tombá-la com um so-
pro. Perceba que ela cai facilmente.
Agora mantenha a moeda na vertical com o dedo e faça-a girar com um
piparote28. Tente tombá-la agora com um sopro e veja que é mais difícil.
Análise e Explicação
A rotação de um corpo proporciona uma maior estabilidade devido à sua
inércia rotacional. A inércia rotacional tende a manter o eixo de rotação numa
direção fixa.
28Pancada com a ponta do dedo médio dobrado e apoiado contra a faça interna do polegar
e solto com força.
172
1.81 Quantidade de Movimento Angular 4
Objetivo
Verificar a estabilidade de um corpo em rotação.
Materiais Utilizados
1 roda de bicicleta (eixo, raias e aro), 2 cabos.
Montagem e Procedimento
Prenda os 2 cabos no eixo da roda, um em cada lado, de modo que você
possa segurá-los e a roda gire livremente.
Coloque a roda em rotação e segure os dois cabos na horizontal. Incline
o eixo e sinta o comportamento da roda. Perceba que, ao girar a roda, você
consegue mantê-la com o eixo na horizontal, mesmo segurando por apenas
um dos cabos.
Análise e Explicação
A explicação está nos Exp.(1.78) e (1.80).
173
1.82 Dissipação de Energia por Atrito
Objetivo
Observar a dissipação de energia num movimento de rotação.
Materiais Utilizados
1 ovo cru, 1 ovo cozido.
Montagem e ProcedimentoColoque em movimento de rotação os dois ovos sobre uma mesa hori-
zontal plana, imprimindo a mesma rotação para ambos. Observe que o ovo
cru para mais rápido que o ovo cozido.
Análise e Explicação
O ovo cru contém em seu interior uma massa fluida (clara e gema). Quando
ele é posto à girar, o fluído não acompanha de imediato a rotação da casca, de-
vido à sua inércia, que tende a permanecer em repouso. Dessa forma, ocorre
uma dissipação de energia, causada pelo atrito entre a clara e a casca do ovo.
No ovo cozido a massa interna é sólida, de modo que, quando posto em
rotação, todas as partes do ovo giram juntas, não dissipando energia por atrito
no seu interior. É importante lembrar que nos dois casos há dissipação de
energia por atrito entre o ovo e a mesa. Como essa perda é praticamente
igual para os dois ovos, e sendo que o ovo cozido dissipa menos energia
internamente que o ovo cru, o ovo cozido fica mais tempo girando que o ovo
cru.
174
1.83 Movimento de um Helicóptero
Objetivo
Apresentar e analisar o movimento de rotação das hélices de um helicóp-
tero.
Materiais Utilizados
1 suporte (1 pedaço pequeno de madeira, ou algo semelhante), 1 barbante,
2 elásticos, 2 canetas (iguais).
Montagem e Procedimento
Suspenda o suporte pelo barbante. Prenda 1 elástico no meio de cada ca-
neta e ligue-as ao suporte. Monte o experimento de acordo com a Fig.(1.91).
Figura 1.91: Canetas e elásticos.
Torça os elásticos das duas canetas de forma que, ao soltá-las, elas girem
no mesmo sentido. Você observará que o suporte começará a girar.
Agora torça os elásticos de modo que as canetas girem em sentidos opos-
tos e observe que o suporte fica estável.
Análise e Explicação
Este experimento simples serve para discutir a rotação das hélices e a
estabilidade de um helicóptero. O primeiro projeto de um veículo semelhante
175
a um helicóptero foi elaborado por Leonardo da Vinci em torno de 1500. No
entanto, foi somente no início do século XX que tal projeto saiu do papel.
O primeiro modelo de helicóptero data de 1907. Ele tinha somente a
hélice principal e voava até poucos metro de altitude. Ao aumentar a ve-
locidade de rotação da hélice, o corpo do helicóptero começava a girar em
sentido contrário. Para contornar o problema foi prolongado o corpo do heli-
cóptero na forma de uma cauda e nela colocou-se lateralmente uma segunda
hélice. A função desta hélice lateral, que gira numa direção perpendicular à
hélice principal é produzir uma força capaz de compensar o giro do corpo do
helicóptero, proporcionando a estabilidade do mesmo.
Alguns helicópteros de cargas tem 2 hélices principais, as quais giram em
sentidos opostos para impedir a rotação do corpo do helicóptero.
Uma explicação mais matemática deste experimento é dada nos Exps.(1.78)
e (1.79).
176
1.84 Cadeira Giratória
Objetivo
Verificar a conservação da quantidade de movimento angular numa ca-
deira giratória.
Materiais Utilizados
1 cadeira giratória, 1 par de halteres29 (este é opcional).
Montagem e Procedimento
Sente na cadeira giratória, erga os pés do chão, deixe os braços estendidos
(abertos para os lados) e peça para um colega girar a cadeira (Fig.1.92-a). Em
seguida feche os braços e perceba que você passa a girar mais rapidamente
(Fig.1.92-b). Abra novamente os braços e constate que a velocidade diminui
novamente. O efeito fica mais acentuado se você estiver segurando um hal-
ter em cada mão. Como é possível que ocorra essa variação da velocidade
angular?
Análise e Explicação
A variação da velocidade angular (ω) ocorre devido a variação do mo-
mento de inércia (I) do corpo da pessoa. O momento de inércia é uma gran-
deza que leva em conta a distribuição de massa de um corpo em relação a
um eixo de rotação. Estando com os braços abertos o momento de inércia da
pessoa é maior do que com os braços fechados.
Durante o movimento de rotação, quando não há nenhuma força externa
atuando sobre ele, o que permanece constante é a quantidade de movimento
angular ~L, o qual é definido como:
~L = I~ω
29Instrumento para ginástica constituído de duas esferas nas extremidades de uma haste que
serve para pegadouro. Pode ser utilizado também um outro tipo de objeto.
177
Figura 1.92: Girando na cadeira com os braços: a- abertos; b- Fechados.
O vetor ~L tem a mesma direção e sentido que ~ω. A direção de ~ω é a do eixo
de rotação e o sentido é dado pela regra da mão direita: o polegar da mão
direita fornece o sentido de ~ω e os demais dedos semidobrados são dispostos
no sentido de rotação.
Sendo que ~L é uma grandeza vetorial, ela pode ser dividida em com-
ponentes, as quais podem ser tratadas de maneiras independentes. Para um
sistema que consiste em um corpo rígido girando com ω constante em relação
à um eixo fixo (eixo z, por exemplo), tem-se que:
Lz = Iω
onde Lz é a componente da quantidade de movimento angular ao longo do
eixo de rotação. Sendo que Lz permanece constante, tem-se que:
Iω = k
onde k é uma constante. Dessa forma, se I aumenta, ω diminui e, se I dimi-
nui, ω aumenta, como constatado no experimento.
178
1.85 Inclinação de Estradas e Ruas
Objetivo
Determinar a inclinação de uma rua ou estrada e fazer uma análise teórica
das condições de tráfego de veículos.
Materiais Utilizados
1 trena, 1 mangueira (vários metros de comprimento), água, 2 estacas.
Montagem e Procedimento
Escolha uma determinada rua para medir a inclinação, de preferência uma
que tenha uma inclinação considerável para facilitar a medida. Encha uma
mangueira de vários metros de comprimento com água e, com a ajuda de um
colega, encoste cada extremidade da mangueira nas estacas dispostas vertical-
mente, separadas por uma distância de alguns metros uma da outra. Controle
as alturas das extremidades da mangueira, e marque na estaca o ponto onde a
água fica no nível30. Posteriormente meça essas alturas h1 e h2, como mostra
a Fig.(1.93).
Figura 1.93: Medindo a inclinação de uma estrada.
Através dos valores de h1 e h2, bem como da distância L entre as 2 esta-
cas, relaciona-se essas dimensões através da Fig.(1.94), onde H = h2 − h1.
30Este é um método muito simples e bastante usado por pedreiros na construção civil.
179
Figura 1.94: Relação triangular.
De acordo com a relação triangular tem-se que senθ = H/L, donde vem
que o ângulo de inclinação da rua é dado por:
θ = sen−1
(
H
L
)
Análise e Explicação
Este experimento é bastante simples de se realizar e ao mesmo tempo
muito importante porque mostra os reais graus de inclinação das ruas e estra-
das.
É comum imaginarmos que uma rua ou estrada qualquer, um pouco acen-
tuada, tenha uns 30◦ ou 40◦ de inclinação, no entanto, experimentalmente
constata-se que tal inclinação dificilmente ultrapassa os 10◦. Além do que,
como veremos adiante, se fossem muito acentuadas, seria impossível o trá-
fego de veículos automotores por ela.
A inclinação de uma rampa em relação à horizontal é dada através do ân-
gulo de inclinação ou do seno deste ângulo. Uma rampa de 5º, por exemplo,
tem uma declividade dada como tg5 = 0, 087 ou 8, 7%, sendo esta última
conhecida como inclinação percentual. Isso significa que, a cada 100m de
deslocamento sobre a rampa, há 8, 7m de deslocamento vertical31.
Em estradas de rodagem de alto fluxo de veículos o DNIT (Departamento
Nacional de Infra-Estrutura e Transportes) recomenda uma inclinação de no
máximo 3◦. Isso porque, uma maior inclinação impede que caminhões pesa-
dos trafeguem com velocidades muito maiores que 20km/h. Vamos comen-
tar isso de forma quantitativa.
31Para pequenos ângulos tem-se que tgθ ' senθ.
180
Um veículo com massa m, que se desloca com velocidade constante v,
subindo uma rampa com inclinação θ com a horizontal, necessita de uma
certa potência desenvolvida pelo motor (Pmotor). Além das forças de re-
sistência ao movimentodo veículo, há também a componente do peso do
veículo paralela à pista (mgsenθ), a qual também se opõe ao movimento.
Desprezando as forças de resistência e de atrito, tem-se que, para ocorrer o
movimento:
Fmotor > mgsenθ (1.96)
Sendo P = F.v, pode-se escrever a Eq.(1.96) de modo que:
Pmotor > mgsenθ.v
Vamos supor que um caminhão carregado, com massa total de 30000kg,
subindo uma estrada com 5◦ de inclinação a uma velocidade de 25km/h
(6, 9m/s). A potência que o motor deve desenvolver é:
Pmotor > 30000.9, 8.(sen5).6, 9 = 176804W
ou, sendo 1cv = 736W :
Pmotor > 240cv
ou seja, para que o caminhão consiga subir essa rampa com essa velocidade,
ele deve ter uma potência grande. E essa potência é somente necessária para
impulsionar o peso do veículo. Isso mostra que uma estrada que tem um
fluxo de veículos pesados mais rápido, deve ter inclinação menor que 5◦, ou
motores mais potentes.
A força ~T que traciona o veículo rampa acima é a força de atrito entre os
pneus e o solo (estrada de chão, asfalto ou calçamento), e deve ter intensidade
tal que:
T > mgsenθ (1.97)
Se os pneus de tração não deslizam sobre a pista, o atrito entre eles será
estático e a força de tração será máxima. Sendo µe o coeficiente de atrito
estático e N a intensidade da força normal exercida pela pista sobre as rodas
de tração, tem-se que:
T = µeN (1.98)
181
Sendo que a intensidade de N é dada por N = mgcosθ, a Eq.(1.98) fica:
T = µemgcosθ (1.99)
Supondo que as rodas de tração estejam sob a força normal com intensi-
dade semelhante às outras rodas, escreve-se (1.99) como32:
T = µemgcosθ2 (1.100)
Relacionando as Eqs.(1.100) e (1.97):
µemgcosθ
2 > mgsenθ
obtem-se:
tgθ <
µe
2
ou
θ < tg−1
(
µe
2
)
(1.101)
Considerando um coeficiente de atrito estático alto, µe = 1 por exemplo,
da relação (1.101) encontra-se:
θ < tg−1
(1
2
)
' 26, 6◦
que é a inclinação máxima a ser vencida por um veículo com tração simples
(tração e 2 rodas), independentemente da potência do seu motor. Como o
valor de µe é geralmente sempre menor que 1, o valor de θ também é menor.
32Num veículo de 4 rodas geralmente são 2 as rodas de tração.
182
1.86 Pêndulo de Newton
Objetivo
Demonstrar a conservação da quantidade de movimento linear e da ener-
gia no pêndulo de Newton.
Materiais Utilizados
1 dispositivo conhecido como pêndulo de Newton33.
Montagem e Procedimento
O pêndulo de Newton está representado na Fig.(1.95). Este dispositivo
é constituído por uma série de pêndulos, geralmente 5, encostados uns nos
outros. Cada pêndulo está suspenso à uma armação por duas cordas de igual
comprimento e ângulos opostos formandos entre estas, de modo que elas
fiquem equilibradas e se movimentem num mesmo plano.
Figura 1.95: Pêndulo de Newton.
Afaste a esfera 1 e solte-a, deixando-a chocar-se contra a esfera 2. Ob-
serve que apenas a esfera 5 ganha movimento e se eleva. No seu retorno a
esfera 5 choca-se na esfera 4, o que resulta na elevação da esfera 1. O que
ocorre é um processo oscilatório entre as esfera 1 e 5, o qual se repete por um
certo período de tempo.
33Este dispositivo também pode ser construído por você.
183
Repita o mesmo procedimento afastando e soltando juntas as esferas 1 e
2. Neste caso, passa a ocorrer uma troca de movimento entre as esferas 1 e 2
com as esferas de números 4 e 5.
Análise e Explicação
O pêndulo de Newton recebe este nome porque as leis de conservação da
quantidade de movimento e energia foram estudadas inicialmente por Isaac
Newton.
Deixando apenas a esfera 1 se chocar com as demais, a esfera 5 ganha
movimento, como representado na Fig.(1.96).
Figura 1.96: Pêndulo de Newton em ação.
A energia mecânica e a quantidade de movimento linear são transferidas
integralmente para a esfera 5, que obtém a mesma energia e quantidade de
movimento linear da esfera 1. Isso só é possível se apenas uma esfera se mo-
vimentar, pois caso as outras também se movessem, não haveria conservação
simultânea da duas grandezas citadas.
A energia potencial gravitacional da esfera 1 transforma-se em energia
cinética, que é transferida quase integralmente para as outras esferas (2, 3, 4
e 5) após as colisões. Na sucessão de choques, uma esfera transfere a energia
recebida e o momento linear à sua esfera vizinha, fazendo com que a esfera da
outra extremidade (esfera 5) se eleve a uma altura quase igual a da primeira.
O processo se repete diversas vezes.
Depois de um certo tempo as esferas param se oscilar. Isso ocorre de-
vido à existência de forças não conservativas, como a resistência do ar, e aos
184
choques inelásticos entre as esferas.
185
1.87 Lançador Horizontal
Objetivo
Prever o alcance de lançamento de uma esfera a partir da colisão da massa
de um pêndulo inicialmente afastado de um ângulo θ da vertical.
Materiais Utilizados
1 suporte, 1 transferidor, 1 pêndulo, 1 esfera, 1 trena, 1 base de apoio
(estreita).
Montagem e Procedimento
Monte o experimento de acordo com o esquema da Fig.(1.97).
Figura 1.97: Lançamento horizontal.
Solte a esfera 1 do pêndulo a partir de um ângulo θ com a vertical. A
esfera 1 irá colidir com a esfera 2, disposta sobre uma base de apoio, que será
lançada à uma distância xmax (pode-se colocar um pequeno recipiente para
recolher a esfera 2). Varie o ângulo θ e observe como varia o alcance xmax.
186
Através de medidas experimentais e de uma análise matemática do caso
faça uma previsão do alcance xmax da esfera 2 em função do ângulo θ, da
altura H e do comprimento L do pêndulo que sustenta a esfera 1.
Análise e Explicação
Soltando a esfera 1 da posição A, a uma altura h acima da posição B, ela
ganha energia cinética e colide com a esfera 2, arremessando-a horizontal-
mente, de forma que ela atinja uma distância xmax da sua base de apoio.
De acordo com o principio de conservação da energia mecânica, para a
esfera 1 tem-se que: EMA = EMB , ou:
0 +mgh = mv
2
2 + 0
EcA + EpA = EcB + EpB
donde vem que a velocidade da esfera 1 no ponto B é:
v =
√
2gh (1.102)
Admitindo-se que a colisão é elástica e que ocorre conservação da quan-
tidade de movimento linear, tem-se que a velocidade da esfera 1 emB é igual
à velocidade inicial da esfera 2 no lançamento vertical.
O alcance horizontal xmax da esfera 2 é dado por:
xmax = vxt (1.103)
onde vx é a velocidade da esfera 2 na direção x e t é o tempo que essa esfera
demora para atingir o solo. Sendo que na direção vertical (direção y) a esfera
2 descreve um movimento de queda livre, estando situada a uma altura H do
solo, pela relação H = (1/2)gt2 vem que:
t =
√
2H
g
(1.104)
A substituição de (1.102) e (1.104) em (1.103) resulta em:
xmax = 2
√
Hh (1.105)
187
Vamos descrever o valor de h da esfera 1 a partir de L e de θ. A partir
do esquema da Fig.(1.98), que descreve o movimento do pêndulo, tem-se
cosθ = (L− h)/L, donde vem que:
h = L(1− cosθ) (1.106)
Figura 1.98: Relação trigonométrica no pêndulo.
Substituíndo (1.106) em (1.105) obtem-se o valor de xmax em função de
H , L e θ:
xmax = 2
√
HL(1− cosθ)
188
1.88 Pregando um Prego
Objetivo
Ver qual a diferença em pregar um prego com um martelo leve e um
martelo pesado.
Materiais Utilizados
2 pregos (iguais), 1 tábua, 1 martelo leve, 1 martelo pesado.
Montagem e Procedimento
Pregue 2 pregos numa tábua, sendo um deles com o martelo leve e o outro
com o martelo pesado (Fig.1.99). Veja qual a diferença nos dois casos.
Figura 1.99: Pregando um prego.
Análise e Explicação
Ao utilizar o martelo leve há uma tendência em deformar o prego, sendo
mais difícil pregá-lo. Com o martelo pesado essa tarefa é realizada mais
facilmente.
Se a função é deformar o prego34, o melhor é utilizar um martelo leve.
Quanto mais leve o martelo, mais energia se perde em cada colisão (colisão34Isso pode ser muito útil em algumas situações.
189
inelástica). Para fincar realmente o prego, evitando a perda de energia, deve-
se usar um martelo pesado.
190
1.89 Inércia, Atrito e Quantidade de Movimento
Objetivo
Discutir um experimento que envolve os conceitos de inércia, força de
atrito e quantidade de movimento.
Materiais Utilizados
1 copo, 1 carta de baralho (ou algo semelhante), 1 moeda.
Montagem e Procedimento
Coloque a carta de baralho sobre a boca do copo e sobre a carta a moeda,
como mostra a Fig.(1.100). Em seguida puxe a carta paralelamente à boca
do copo. Inicialmente puxe a carta rapidamente e veja que a moeda cai verti-
calmente dentro do copo. Depois puxe a carta vagarosamente e perceba que
a moeda acompanha a carta e acaba caindo fora do copo (ou ficando sobre a
carta).
Figura 1.100: Moeda sobre carta colocada sobre um copo.
Por que o resultado deste experimento depende da rapidez com que desloca-
se a carta sobre a boca do copo?
Análise e Explicação
Uma possível explicação para a moeda ter caído dentro do copo é dada
pela lei da inércia, cujo experimentos semelhantes já foram realizados. Já, se
191
a moeda acompanhou o movimento da carta é porque há uma força de atrito
entre ambas. Mas isso significa que num caso existe atrito e no outro não?
A carta (B) é puxada com uma forçaF , como representada na Fig.(1.101).
A moeda (A) somente pode começar a se mover se existir uma força (~fat) en-
tre ela e a carta, cuja intensidade é:
fat = µmg
onde µ é o coeficiente de atrito entre as duas superfícies, m a massa da carta
e g a aceleração da gravidade.
Figura 1.101: Forças atuante sobre a carta e a moeda.
Aplicando a segunda lei de Newton
∑ ~F = m~a para os corpos A e B,
obtem-se as equações de movimento:
fat = maA
F − fat = MBa
A expressão F = ma pode ser escrita como:
F = m∆v∆t (1.107)
já que a = ∆v/∆t.
Sendo a quantidade de movimento ~p definida como ~p = m~v, pode-se
escrever (1.107) como:
~F = ∆~p∆t
donde vem que:
~F∆t = ∆~p
192
Definindo o impulso ~I como sendo:
~I = ~F∆t
a segunda lei de Newton pode ser escrita como:
~I = ∆~p
que é conhecida como o teorema do impulso. Isso significa que uma força ~F
atuando durante um tempo ∆t gera uma quantidade de movimento ∆~p.
Puxando rapidamente a carta, observa-se que a moeda cai dentro do copo.
Isso ocorre porque a força ~F atua durante um tempo pequeno (∆t → 0),
donde vem que I → 0 e ∆p → 0, ou seja, a força não tem tempo de gerar
movimento. Sendo que a força de atrito (fat) entre a carta e a moeda não tem
tempo de gerar movimento, a moeda fica parada e acaba caindo no copo. Se a
aplicação da força atuar sobre um tempo maior (movimento lento), a moeda
recebe uma quantidade de movimento maior e move-se na direção e sentido
da força ~F , junto com a carta.
193
1.90 Impulso e Força
Objetivo
Verificar a relação entre impulso, força e tempo de atuação.
Materiais Utilizados
2 copos de vidro35 (ou 2 xícaras, ou algo semelhante), 1 tapete macio (ou
um pedaço de lã, ou algo semelhante).
Montagem e Procedimento
De uma mesma altura solte um copo sobre o chão firme (de concreto ou
cerâmica, preferencialmente) e constate que o mesmo se quebra todo. Repita
o mesmo procedimento soltando o copo sobre o tapete macio e observe que,
neste caso, ele não quebra36.
Por que há essa diferença no resultado de queda dos corpos se eles atin-
gem o solo (chão firme ou tapete) com a mesma velocidade, já que são soltos
da mesma altura?
Análise e Explicação
Ao atingir o solo os copos podem receber forças com diferentes intensi-
dades. Isso vai depender, por exemplo, do tempo de interação com o solo.
O impulso (~I) sobre um corpo é igual à variação da quantidade de movi-
mento linear (∆~p) deste corpo, ou seja:
~I = ∆~p = ~p− ~p0 (1.108)
onde ~p e ~p0 são, respectivamente as quantidades de movimento linear final e
inicial.
35Aqui utilize, preferencialmente, objetos pequenos e que não são mais úteis.
36Não exagere na altura pois, se esta for muito grande, mesmo caindo no tapete o copo pode
quebrar.
194
Dizemos que o impulso (~I) é o efeito temporal da atuação de uma força
~F , tal que:
~I = ~F∆t (1.109)
O impulso é uma grandeza vetorial que assume a mesma direção e sentido da
força exercida sobre o corpo. Igualando as Eqs.(1.108) e (1.109), vem que:
~F∆t = ~p− ~p0
No experimento realizado o copo inicia o contato com o solo ou o tapete
com uma certa quantidade de movimento linear ~p0 e entra em repouso depois
de um certo tempo ∆t, de modo que ~p = 0. Dessa forma, em termos de
intensidade, tem-se que F∆t = −p0, ou:
|F | = 1∆tp0 (1.110)
O impulso (~I) sofrido pelos copos é igual nas duas situações, já que ~I =
~p− ~p0 é constante. No entanto, o tempo de interação (∆t) é diferente, o que
faz com que a força (~F ) trocada entre o chão e o copo ou entre o tapete e o
copo seja diferente.
O tempo de interação (∆t) entre o copo e o chão rígido é pequeno, o que
faz com que a força (~F ) seja grande (de acordo com a Eq.(1.110)). Por isso
o copo acaba quebrando.
Na colisão do copo com o tapete macio, o intervalo de tempo ∆t entre
eles é bem maior, o que faz com que a intensidade de ~F seja menor, permi-
tindo que o copo permaneça íntegro (ou pelo menos diminui a probabilidade
dele quebrar).
Essa explicação explica também porque os ginastas olímpicos e bailari-
nos executam seus movimentos em pisos de borracha ou de madeira, e não de
concreto (a madeira, apesar de rígida, é mais flexível que o concreto). Neles,
o tempo de interação entre os atletas e o solo aumenta, diminuindo as forças
trocadas. Funções semelhantes são exercidas pela rede que sustenta a queda
dos acrobatas em um circo, ou as embalagens de objetos delicados, sendo
estas compostas de papel, plástico flexível ou isopor.
195
1.91 Rapidez de um Golpe
Objetivo
Verificar a diferença em golpear lentamente ou rapidamente uma haste
suspensa por tiras de papel.
Materiais Utilizados
Papel de jornal, 1 haste fina de madeira (com cerca de uns 40cm ou 50cm
e que não seja flexível), 1 barra rígida de ferro, 2 suportes.
Montagem e Procedimento
Faça 2 alças com papel de jornal e coloque-as nos suportes, de modo que
elas sustentem a haste de madeira, como na Fig.(1.102).
Figura 1.102: Golpeando a haste suspensa pelas tiras de papel.
Com a barra de ferro golpeie a haste de madeira no seu meio. Faça isso
de duas maneiras: golpeando lentamente (pressione a barra contra a haste) e
golpeando rapidamente. Na primeira situação as alças de papel se rompem,
mas no segundo caso, a haste se quebra e as alças continuam intactas.
Neste experimento pode-se substituir as alças de papel, suspendento a
196
haste de madeira em copos plásticos, copos de vidro37 ou objetos semelhan-
tes.
Análise e Explicação
Se a intensidade da força média (~Fm) aplicada no golpe ficar abaixo da
resistência mecânica da madeira à tensão, a haste não se rompe e transmite a
força para as alças de papel e estas podem ser romper.
Se a intensidade da força ficar acima da resistência da madeira, a haste
se rompe. Se o golpe é lento, a transmissão da quantidade de movimento
linear (~p) é lenta, o que gera uma força média pequena. Se o golpe for rápido,
a transmissão da quantidade de movimento linear é rápida, o que gera uma
força média intensa. Quantitativamente isso é explicado pela segunda lei de
Newton, que em termos de intensidade é escrita como:
Fm =
∆p
∆t
37Ao se utilizar copos deve-se dispor a haste de madeira de modo que ela fique apoiada
apenas por suas extremidades.
197
1.92 Efeito Estilingue
Objetivo
Observar e analisar o efeito estilingue.
Materiais Utilizados
1 bola de futebol, 1 bola de tênis (ou semelhantes, sendo 2 bolas de tama-
nhos diferentes).
Montagem e Procedimento
Coloque a bola detênis (bola pequena) sobre a bola de futebol (bola
grande) e solte-as juntas de uma determinada altura sobre um piso duro. Per-
ceba que após bater no chão a bola de cima é lançada até uma altura bem
maior donde ela partiu. Este é o chamado efeito estilingue (Fig.1.103).
Figura 1.103: Efeito estilingue.
Análise e Explicação
No efeito estilingue um corpo transfere quantidade de movimento linear e
energia cinética para outro corpo de menor massa, fazendo com que a energia
mecânica desse último aumente bastante.
Acompanhe o esquema da Fig.(1.104). Considera-se inicialmente a des-
cida da bola de baixo, com massa M , de uma altura h até o chão. Admitindo
198
que a queda seja livre e orientando o sentido positivo para cima, pela relação
v2 = v20 + 2gh encontra-se que a velocidade v1 com a qual ela colide com o
solo é:
v1 = −
√
2gh (1.111)
onde g é a aceleração da gravidade.
Figura 1.104: Velocidade das bolas.
Ao colidir com o solo a bola sofre uma mudança de orientação e sua
velocidade v2, imediatamente após a colisão é dada por:
v2 = −e1v1 (1.112)
onde e1 é o coeficiente de restituição, em termos de intensidade definido
como e1 = v2/v1. O coeficiente de restituição não depende da massa mas
apenas dos materiais dos corpos participantes da colisão. Se a colisão é elás-
tica, e1 = e2 e |v1| = |v2|; se for inelástica, e1 < 1 e |v2| < |v1|. O
coeficiente de restituição é adimensional e possui valor compreendido entre
0 e 1: 0 ≤ e1 ≤ 1.
A bola de cima, de massa m, ainda está descendo com a velocidade v1
quando encontra a bola de baixo já subindo com a velocidade v2. Na colisão
das duas bolas, pela conservação da quantidade de movimento linear tem-se
que
∑
~p0 =
∑
~p, donde vem:
Mv2 +mv1 = MV2 +mV1 (1.113)
onde V1 e V2 são, respectivamente, as velocidades das bolas de massas m e
M após a colisão.
199
Representando por k a razão entre as massas M e m:
k = M
m
pode-se escrever (1.113) como:
kv2 + v1 = kV2 + V1 (1.114)
Sendo e2 o coeficiente de restituição para a colisão entre as duas bolas,
tem-se que:
e2 =
V1 − V2
v2 − v1 (1.115)
Isolando V1 em (1.115):
V1 = e2(v2 − v1) + V2
e substituindo em (1.114):
V2 =
kv2 + v1 − e2(v2 − v1)
k + 1 (1.116)
Levando (1.112) em (1.116), obtem-se:
V2 =
[
e2(e1 + 1)− e1k + 1
k + 1
]
v1 (1.117)
Isolando V2 em (1.115):
V2 = V1 − e2(v2 − v1)
e substituindo em (1.114):
V1 =
kv2 + v1 + e2(v2 − v1)
k + 1 (1.118)
Levando (1.112) em (1.118) tem-se que:
V1 = −
[
e2k(e1 + 1) + e1k − 1
k + 1
]
v1 (1.119)
200
Se as colisões forem elásticas38, tem-se que e1 = e2 = 1 e v1 = −|v1|,
de modo que as Eqs.(1.117) e (1.119) ficam:
V2 =
(
k − 3
k + 1
)
|v1| (1.120)
V1 =
(3k − 1
k + 1
)
|v1| (1.121)
Sendo k = M/m, escrevem-se (1.120) e (1.121) como:
V2 =
(
M − 3m
M +m
)
|v1| (1.122)
V1 =
(3M −m
M +m
)
|v1| (1.123)
Analisando (1.123) percebe-se que, sendo M > m, sempre tem-se que
V1 > |v1|, isto é, após a colisão a bola de cima, de massam, sempre sobe com
uma velocidade maior do que aquela que ela atingiu ao descer. Isso deve-se
a transferência de quantidade de movimento linear e energia cinética da bola
maior para a bola menor.
O problema do experimento é provocar uma colisão frontal (ou quase
frontal) entre as duas bolas durante a queda vertical das mesmas. Geralmente
tem-se que se fazer diversas tentativas para que a colisão frontal ocorra e o
efeito estilingue possa ser verificado.
Uma montagem alternativa é utilizar a bola de silicone (menor) e uma
de sinuca (maior). Prende-se um fio de linha com cola na bola de sinuca e
passa-se o mesmo pelo interior (folgado) da bola de silicone, sendo que nesta
é feito um furo. Dessa forma, segurando o fio de linha, suspenda o conjunto
e deixe-o cair sobre o solo. Observe a bola de silicone saltar para cima.
38Uma colisão é elástica quando a energia cinética e a quantidade de movimento linear são
conservadas, e inelástica quando apenas a quantidade de movimento linear é conservada.
201
1.93 Enclinação e Equilíbrio
Objetivo
Construir uma estrutura e verificar as condições de equilíbrio com o grau
de inclinação.
Materiais Utilizados
3 quadrados de madeira (com cerca de 15cm a 20cm de lado), 4 ripas
estreitas (de cerca de 50cm de comprimento), 12 pregos pequenos (ou para-
fusos), 1 pedaço de fio, 1 massa pequena (pode ser uma porca de parafuso,
por exemplo).
Montagem e Procedimento
Monte a estrutura de acordo com o esquema da Fig.(1.105). No quadrado
do meio faça um pequeno furo no seu centro e prenda o fio com a massa
na sua extremidade. Fixe as ripas nos quadrados de modo que a estrutura
formada, uma espécie de torre, possa permanecer na posição vertical ou ser
inclinada (por isso os pregos ou parafusos devem ficar um pouco frouxos).
Figura 1.105: Inclinação e equilíbrio da torre.
Observe que a torre permanece em equilíbrio (fica em pé) até certo grau
de inclinação. A partir de um certo ponto ela se desequilibra e cai.
202
Análise e Explicação
A estrutura fica em pé enquanto a direção do fio e a massa suspensa (este
conjunto funciona como um fio de prumo) ficar projetada sobre a base de
apoio. Quando esta projeção sair da base de apoio o sistema se desequilibra
e tomba. Pela simetria da estrutura, o seu centro de massa está localizado
no local onde foi pendurado o prumo. O prumo indica a direção vertical do
centro de massa do conjunto.
203
1.94 Duplo Cone Subindo a Rampa
Objetivo
Mostrar o aparente movimento de um objeto contra a ação da gravidade.
Materiais Utilizados
2 funis iguais colados pela base para fazer o cone (o mesmo pode ser
feito com papel cartolina e, se ficar muito leve pode colocar uma massa no
seu interior), 2 bastões cilíndricos para formar a rampa, apoio para os bastões.
Os 2 funis podem ser feitos cortando duas garrafas PET de 2L.
Montagem e Procedimento
Monte uma pequena rampa com os 2 bastões, deixando-os mais próximos
no menor nível e mais afastados no maior nível. Ajuste um desnível na rampa,
de modo que o duplo cone possa subir por ele, como na Fig.(1.106).
Figura 1.106: Duplo cone subindo a rampa.
Coloque o duplo cone sobre o plano inclinado e constate que ele rola e
sobe, indo ao topo da rampa, ao invés de descer. A principio, isso parece
violar a lei da gravidade.
204
Para o experimento funcionar o ângulo de inclinação do cone deve ser
grande, enquanto a inclinação da rampa deve ser pequena.
Análise e Explicação
O experimento do duplo cone subindo a rampa é extremamente popular,
estando presente na maioria dos laboratórios de física escolares do mundo.
Não há certezas quanto à sua criação, mas os indícios remontam ao século
XVII na Europa.
O mistério que envolve o seu funcionamento consiste numa aparente vi-
olação à lei da gravidade. Colocado na parte mais baixa de uma rampa incli-
nada em formato de V, o duplo cone parece subir a mesma.
Um objeto realmente alcança uma altura maior quando seu centro de
massa se desloca para uma posição mais alta. Nessa experiência, apesar de
parecer que o duplo cone está subindo a rampa, devido ao formato e ao ar-
ranjo dos bastões, o seu centro de massa vai ficando mais baixo à medida que
ele se desloca. Isso está de acordo com as leis da física.
Os corpos reagem à atração gravitacional terrestre como se toda a sua
massa se concentrasse num ponto: o seu centro de massa. Como a tendência
de todos os corpos é ficar o mais próximo possível da superfície terrestre,
para minimizar a sua energia potencial gravitacional, o centro de massa do
duplo cone desce quando ele parece subir a rampa.
Mas por que tem-se a sensação que o duplo cone está subindo? O que
atrai a nossa atenção nessa situação são os pontos de contato entre o duplo
cone e a rampa. Estes, de fato, vão se tornando mais altos à medida que o
cone avança pelarampa. Os pontos de contato não são sempre os mesmos,
pois o cone está girando e não deslizando sobre a rampa. Eles não são pontos
fixos do duplo cone, mas sim pontos que estão continuamente variando.
205
1.95 Salto em Altura e Centro de Massa
Objetivo
Verificar a posição do centro de massa de uma pessoa no salto em altura.
Materiais Utilizados
1 pessoa.
Montagem e Procedimento
Salte verticalmente de maneira a atingir a maior altura possível. Duas
pessoas de pé sobre uma cadeira podem segurar uma corda esticada, e veri-
ficar a altura que você consegue atingir. Salte erguendo um braço e depois
erguendo os 2 braços (procure dar o mesmo impulso nas duas situações).
Por que, ao saltar com um braço erguido você consegue atingir uma altura
maior do que com os dois braços erguidos? É um fato intrigante, pois o
impulso inicial é o mesmo e não ocorre alteração da massa da pessoa.
Análise e Explicação
Apesar de não haver alteração da massa da pessoa, pode ocorrer alteração
do seu centro de massa. Qualquer movimentação de braços ou pernas que
a pessoa faça durante o seu pulo vertical altera a posição do seu centro de
massa, mas não altera o seu movimento vertical nem a altura máxima que o
seu centro de massa irá atingir.
Estando com os dois braços erguidos a pessoa possui centro de massa
mais elevado do que quando está com apenas um braço erguido. Como o
centro de massa deve atingir a mesma altura máxima, considerando que o
impulso que o chão aplica na pessoa é o mesmo nos dois casos, ao saltar com
um braço erguido a pessoa atinge uma altura maior do que com os dois braços
erguidos.
206
1.96 Equilíbrio de um Corpo Extenso
Objetivo
Montar um equipamento para estudar o equilíbrio de um corpo extenso.
Materiais Utilizados
1 suporte de madeira, 1 placa de madeira (fina), 1 prego curto, 3 hastes
metálicas, 1 furadeira.
Montagem e Procedimento
Faça um furo no centro de base de madeira e nela prenda uma haste me-
tálica, de modo que ela fique na direção vertical. A extremidade superior da
haste deve ter a superfície bem plana.
Na placa de madeira introduza o prego bem no centro. Próximos às ex-
tremidades da placa faça 2 orifícios, de modo que por eles passem as outras
2 hastes, que serão hastes ajustáveis. Para prender essas hastes elas devem
ficar bem justas, ou pode-se fazer 2 pequenos orifícios, sendo um em cada
extremidade, e neles introduzir parafusos com borboletas. A montagem do
conjunto está esquematizada na Fig.(1.107).
Ajuste as barras, aumentando ou diminuindo suas alturas, de modo a al-
terar as condições de equilíbrio do conjunto.
Análise e Explicação
Quanto mais baixas estiverem as barras ajustáveis, mais estável fica o
sistema. O equilíbrio é maior quanto mais baixo for o centro de massa do
sistema.
O centro de massa deve ser entendido como o ponto em que podemos
considerar aplicada toda a massa do corpo. Quando um corpo extenso se
encontra em um campo gravitacional uniforme, seu centro de massa coincide
com o centro de gravidade desse corpo. O centro de gravidade corresponde
ao ponto de aplicação da força peso.
207
Figura 1.107: Placa com hastes em equilíbrio.
1.97 Equilíbrio Instável, Indiferente e Estável
Objetivo
Verificar as condições de equilíbrio instável, indiferente e estável de um
corpo.
Material Utilizado
1 régua.
Montagem e Procedimento
Disponha a régua na vertical e tente mantê-la nessa posição com o dedo
na sua base inferior (Fig.1.108-a). Perceba que é difícil manter a régua por
muito tempo nessa posição e a tendência dela é tombar.
Em seguida disponhe a régua na horizontal e segure-a entre os dedos pela
metade (Fig.1.108-b). Observe que a tendência dela é permanecer horizon-
talmente.
Agora segure verticalmente a régua entre os dedos, mas prendendo-a pela
parte superior (Fig.1.108-c). Observe que, ao retirar a régua de sua posição
208
Figura 1.108: Equilíbrio: a- Instável; b- Indiferente; c- Estável.
de equilíbrio ela gira ao redor do ponto de apoio, aproximando-a cada vez
mais da posição original. Qualquer perturbação na região faz com que ela
oscile em torno de sua posição de equilíbrio.
Análise e Explicação
Quando temos uma situação de equilíbrio onde o centro de gravidade está
situado acima do centro de apoio (Fig.1.108-a), classificamos o equilíbrio
como instável. Quando o ponto de apoio está sobre o centro de gravidade
(Fig.1.108-b) o equilíbrio é indiferente. Já, quando o centro de gravidade está
situado abaixo do ponto de apoio (Fig.1.108-c), o equilíbrio é dito estável.
209
1.98 Movimento do Centro de Massa 1
Objetivo
Visualizar o movimento do centro de massa de um corpo.
Materiais Utilizados
1 martelo.
Montagem e Procedimento
Lance um martelo sobre uma superfície horizontal, de modo que ele exe-
cute um movimento de rotação e de translação. Verifique e analise este mo-
vimento.
Análise e Explicação
Durante a realização de sua trajetória, executando movimentos de rotação
e translação o centro de massa do martelo descreve uma trajetória retilínea,
como mostra a Fig.(1.109). Embora suas partes descrevam um movimento
complexo, o centro de massa desloca-se como se fosse um ponto material de
massa igual à massa total do corpo e submetido ao peso total do mesmo.
Figura 1.109: Movimento do centro de massa de um martelo.
O movimento de translação de um corpo extenso pode ser analisado uti-
lizando as leis de Newton admitindo que toda a massa está concentrada no
210
centro de massa e a força aplicada seja neste ponto.
De maneira semelhante ao martelo pode-se utilizar 2 corpos de diferentes
massas, ligados por uma haste de massa desprezível, como na Fig.(1.110).
Figura 1.110: Massas ligadas por uma haste.
Considere duas partículas, 1 e 2, de massas m1 e m2, cujas respectivas
posições em relação à origem de um determinado sistema de coordenadas,
num determinado instante, são ~r1 e ~r2. A posição do centro de massa (~rcm)
nesse instante é:
~rcm =
m1~r1 +m2~r2
m1 +m2
Num plano pode-se escrever ~rcm na forma de componentes (x e y), tal que:
xcm =
m1x1 +m2x2
m1 +m2
ycm =
m1y1 +m2y2
m1 +m2
211
1.99 Movimento do Centro de Massa 2
Objetivo
Visualizar o movimento do centro de massa de um corpo.
Materiais Utilizados
1 bloco de madeira, 2 canetas (tipo canetinhas, de cores diferentes), 1
furadeira, 1 martelo, 1 folha grande de papel.
Montagem e Procedimento
Com a furadeira faça 2 furos no bloco de madeira, na vertical, sendo um
bem no seu centro e o outro um pouco mais ao lado. Esses furos devem ser de
diâmetro tal que possam ser neles colocados as canetas, de maneira que elas
fiquem bem presas, e com as pontas saindo pela parte inferior. Um esquema
da disposição das canetas no bloco está na Fig.(1.111).
Figura 1.111: Canetas dispostas no bloco.
Coloque o conjunto sobre uma grande folha de papel e com o martelo (ou
um objeto que permita realizar a mesma função) dê uma pancada numa das
faces do bloco. Você notará as trajetórias riscadas pelas canetas no papel.
Repetindo diversas vezes o experimento, variando o local da martelada,
você encontrará diferentes trajetórias seguidas pelas canetas. No entanto, a
caneta que está no centro sempre segue uma trajetória retilínea e a caneta que
está mais ao lado descreve um movimento ao redor da reta. Se o corpo não
girar (sofrer translação pura), pode-se obter também duas retas.
212
Análise e Explicação
A explicação é a mesma do Exp.(1.98).
213
1.100 Forças Internas e Centro de Massa
Objetivo
Demonstrar a estabilidade do centro de massa de um sistema sob a ação
de forças internas.
Materiais Utilizados
2 skates (de preferência de massas iguais), 1 corda, 2 pessoas voluntárias
(de massas diferentes), 1 trena, 1 giz.
Montagem e Procedimento
Coloque os 2 skates numa superfície plana e distantes alguns metros,um
de frente para o outro. Faça com que os 2 voluntários posicionem-se sobre os
skates, preferencialmente sentadas, cada qual segurando uma ponta da corda.
Conhecendo as massas das pessoas 1 e 2 e com o auxílio da trena, encon-
tre o centro de massa do sistema e marque com o giz esse ponto no chão. Um
esquema deste experimento está representado na Fig.(1.112).
Figura 1.112: Pessoas sobre skates ligadas por uma corda.
A seguir peça para um dos voluntários puxar lentamente a corda, o que
faz com que eles se aproximem um do outro. Verifique o ponto onde os skates
se encontram.
214
Análise e Explicação
Baseando-se nas medidas representadas na Fig.(1.112), tem-se que o cen-
tro de massa (CM) sobre o eixo x do sistema (xc), formado pelas duas pessoas
sobre os skates é dado por:
xc =
m1x1 +m2x2
m1 +m2
O CM de um sistema de partículas representa a posição média dessas
partículas. Seria um ponto onde pode-se supor que esteja concentrada toda a
massa do sistema.
A pessoa de menor massa está mais afastada do CM do que a pessoa de
maior massa. Ao puxar a corda, como não há forças externas na direção do
movimento, o CM não será deslocado, enquanto os skates se aproximam.
215
1.101 Equilíbrio de um Martelo
Objetivo
Estudar o equilíbrio de um martelo.
Materiais Utilizados
1 martelo.
Montagem e Procedimento
Equilibre verticalmente o martelo com o dedo, inicialmente apoiando-o
pelo cabo (Fig.1.113-a). Parece ser relativamente fácil. Agora vire o martelo
e tente equilibrá-lo pela base metálica (Fig.1.113-b). Neste último caso a
dificuldade parece maior.
Figura 1.113: Equilíbrio do martelo: a- Pelo cabo; b- Pela base.
Mas isso parece contrarir as relações de equilíbrio de um corpo com a
posição do seu centro de massa (CM). No caso do martelo, o seu CM fica
próximo da sua base metálica, como representado na Fig.(1.114). Portanto,
estando mais baixo, no caso (1.113-b), o martelo deveria estar numa posição
de equilíbrio mais estável do que no caso (1.113-a). Mas os que ocorre é
justamente o oposto.
Análise e Explicação
Conforme o centro de massa se eleva, aumenta também o torque (~τ ) cau-
sado pelo peso do martelo, que tende a girá-lo, dificultando a retomada do
216
Figura 1.114: Centro de massa de um martelo.
controle pelo equilibrista. Sendo que uma elevação no centro de massa faz
com que o momento de inércia39 aumente mais rapidamente que o torque, o
movimento de rotação que tende a levar ao tombamento é lento, e o equili-
brista tem mais tempo para retomar o equilíbrio.
Fenômeno semelhante ocorre ao tentar equilibrar verticalmente duas has-
tes de comprimentos diferentes. A haste mais comprida é mais fácil de ser
equilibrada que a haste mais curta.
39O momento de inércia nos movimentos de rotação é semelhante à massa nos movimentos
de translação.
217
1.102 Centro de Gravidade de Figuras Planas
Objetivo
Encontrar o centro de gravidade de figuras planas.
Materiais Utilizados
1 lápis (ou caneta), 1 tesoura, 1 compasso, 1 régua, papel cartão, linha.
Montagem e Procedimento
Faça algumas figuras planas num papel cartão (ou qualquer outro tipo de
papel rígido), tais como um círculo, um retângulo e um paralelogramo.
Tente equilibrar cada um deles na horizontal, apoiando-os sobre um su-
porte vertical, como na ponta de um lápis fixo na mesa. Observe que a figura
fica em equilíbrio somente quando é apoiada pelo seu centro (Fig.1.115).
Figura 1.115: Equilíbrio de figuras planas.
Construa agora uma arruela. Perceba que você não consegue equilibrá-la
na horizontal, da forma como fez com as outras figuras. Mas prenda 2 peda-
ços de linha, de modo que elas se cruzem no seu centro, como na Fig.(1.116).
Agora sim você conseguirá equilibrá-la.
Análise e Explicação
A figura plana fica em equilíbrio somente quando é apoiada pelo seu cen-
tro de gravidade (CG). Nessas figuras regulares o CG fica exatamente locali-
218
Figura 1.116: Equilíbrio de uma arruela.
zado no centro geométrico dos corpos.
No caso da arruela, o seu CG fica no centro do círculo central. Por isso
que conseguimos equilibrá-la quando apoiamos o lápis pelas linhas que aí se
cruzam. Nem sempre o CG tem que estar localizado numa porção material
do objeto. Muitas vezes o CG fica fora do corpo do objeto.
219
1.103 Equilíbrio de uma Pessoa
Objetivo
Verificar as condições de equilíbrio de uma pessoa.
Materiais Utilizados
1 pessoa voluntária (ou você mesmo).
Montagem e Procedimento
Alguns experimentos interessantes podem ser feitos relacionados ao equi-
líbrio de uma pessoa.
Solicite à uma pessoa para tocar os pés com as mãos, sem dobrar o joelho.
Não é necessário que ele toque os pés (se não conseguir), bastando aproximar
as mãos. Ele conseguirá facilmente.
Sugira agora que ele repita o mesmo procedimento, só que estando de
costas para uma parede, com os calcanhares nela encostados. Veja que ele
não consegue, pois acaba se desequilibrando, tendendo a cair para frente.
Peça para a mesma pessoa (ou outra qualquer) ficar equilibrada sobre um
dos pés, afastando lateralmente a outra perna. Após isso sugira que ela faça
o mesmo procedimento encostada de lado numa parede, com o pé e o ombro
junto dela. No primeiro momento ela consegue facilmente, mas quando está
encostada na parede, isso parece impossível.
Análise e Explicação
Uma pessoa pode variar a posição do seu centro de gravidade (CG) mo-
vimentando os braços e as pernas, bem como deslocando todo o seu corpo.
Quando ela está em pé, com os braços abaixados lateralmente, o seu CG está
aproximadamente no meio do seu peito. Ela consegue ficar equilibrada en-
quanto a projeção vertical do CG estiver dentro da região limitada pelos seus
pés. Quando os pés estão afastados (a pessoa abre as pernas), essa região
aumenta, fazendo com que a estabilidade de equilíbrio seja ampliada.
220
No experimento em que a pessoa toca os pés com as mãos, a sua cabeça
e parte do tronco e membros superiores deslocam-se para frente. Para que a
projeção do CG fique na área ocupada pelos pés, a bunda deve pender para
trás. Quando a pessoa encosta na parede, esta impede que a bunda se afaste
para trás, o que faz com que a pessoa perca o equilíbrio e não consiga alcançar
o objetivo proposto.
A explicação para o outro experimento é semelhante. A pessoa só con-
segue ficar equilibrada sobre um pé com a outra perna afastada lateralmente
se inclinar o corpo para o lado oposto, de modo que a projeção do CG fique
sobre o pé que sustenta o peso. Estando encostado na parede, há uma barreira
que impede o deslocamento do corpo para o lado oposto ao afastamento da
perna, o que faz com que a projeção vertical do CG saia fora da região do pé
de apoio, desequilibrando a pessoa.
221
1.104 O João Teimoso
Objetivo
Analisar o comportamento do João teimoso.
Materiais Utilizados
2 esferas de isopor (tamanhos diferentes), pedaços de chumbo (ou qual-
quer outro material denso), cola, 1 canetão.
Montagem e Procedimento
O João teimoso ou João bobo é um brinquedinho que sempre fica na
mesma posição. Vamos construí-lo e verificar o seu comportamento.
Corte a esfera maior pela metade. Introduza no interior de uma das cascas
1 ou mais pedaços de chumbo, retirando uma parte do isopor, se necessário,
como mostra a Fig.(1.117). Os pedaços de chumbo devem ficar bem firmes
no isopor.
Figura 1.117: Construção do João teimoso.
Cole novamente as duas partes da esfera. Com um canetão desenhe uma
face (a cara do João teimoso) na esfera de isopor menor, e cole-a sobre a es-
fera maior, de modo que os chumbos fiquem na parte inferior. Você construiu
o João Teimoso (Fig.1.118).
Movimente o João teimoso de diversas formas, para todos os lados, e
perceba que ele sempre acaba voltando para a mesma posição na vertical
(Fig.1.118).
222
Figura 1.118: Comportamento do João teimoso.Análise e Explicação
Na esfera de isopor, o centro de gravidade (CG) fica bem no seu centro.
Ao fixar chumbo no fundo de uma das cascas, o CG do conjunto passa a se
localizar entre o chumbo e o centro da esfera.
Mesmo estando as 2 esferas coladas, o centro de gravidade do conjunto
fica localizado na metade inferior da esfera maior. Dessa forma, a posição de
equilíbrio estável para o João teimoso é com o chumbo na parte inferior, rente
ao solo pois, nessa situação, o seu CG atinge a posição mais baixa possível.
Quando o João teimoso gira para um lado ou para outro, o seu centro
de gravidade acaba se elevando, ficando num estado instável, e ele acaba
voltando a posição anterior.
223
1.105 Centro de Equilíbrio
Objetivo
Verificar a ocorrência de equilíbrio num sistema.
Materiais Utilizados
2 garfos (iguais), 2 palitos de dente (ou 2 pregos), 1 rolha de garrafa, 1
garrafa.
Montagem e Procedimento
Espete os 2 garfos nas laterais da rolha (1 em cada lado) e o palito ao
longo do seu comprimento. Ajuste os garfos de modo que você possa equili-
brar o conjunto segurando-o pela ponta do palito com o dedo ou colocando-o
sobre a boca da garrafa, como mostra a Fig.(1.119).
Figura 1.119: Equilibrio do conjunto.
Para aprimorar este experimento ajuste o outro palito na boca da garrafa,
de maneira que ele não caia e apoie nele o conjunto inicial formado pelo
palito, a rolha e os 2 garfos.
224
Análise e Explicação
O equilíbrio ocorre quando o centro de gravidade (CG) do sistema está
abaixo do centro de apoio ou ponto de sustentação, que neste caso é o palito.
Inicialmente o CG situa-se na rolha. Ao espetar os garfos e o palito na
rolha, bem como apoiar o conjunto sobre o gargalo da garrafa pelo palito,
o CG do sistema fica abaixo do ponto de apoio. Para esta situação, quanto
mais baixo estiver o centro de gravidade em relação ao ponto de apoio, mais
estável é o equilíbrio.
225
1.106 Pássaro Equilibrista
Objetivo
Utilizar o conceito de equilíbrio estável para fazer um pássaro de papel
ficar de pé.
Materiais Utilizados
1 pedaço de cartolina, 1 pedaço de arame, 1 tesoura, 1 alicate, 1 lápis, fita
adesiva, 1 palito de dente.
Montagem e Procedimento
Desenhe um pássaro na cartolina e recorte-o com a tesoura. Com a fita
prenda o palito no corpo do pássaro, e este no arame. Utilize o arame em
forma de arco, com massa maior que a do pássaro de papel. Dependendo da
configuração do arco, o pássaro terá diferentes inclinações. Um esquema do
pássaro equilibrista está na Fig.(1.120).
Figura 1.120: Pássaro equilibrista.
Equilibre o conjunto colocando um dedo nas patas do pássaro.
226
Análise e Explicação
O equilíbrio do pássaro só é possível devido ao arco de arame preso a ele.
Tendo o arame massa maior que a do pássaro de papel, o centro de gravidade
do sistema é deslocado para baixo do ponto de apoio, permitindo o equilíbrio.
Em algumas apresentações de circo, uma bicicleta sem pneus, de modo
que o aro fique em contato com o cabo de aço40, faz um passeio na corda
bamba. Para evitar que a pessoa caia, uma carga de cerca de 150kg é presa à
bicicleta, abaixo do cabo de aço. Isso faz com que abaixe o centro de massa
do sistema e o equilíbrio seja estável.
40O aro faz com que a bicicleta não escorregue lateralmente.
227
1.107 Centro de Gravidade de uma Vassoura
Objetivo
Determinar o centro de gravidade de uma vassoura.
Materiais Utilizados
1 vassoura.
Montagem e Procedimento
Com os 2 dedos indicadores de suas mãos, equilibre a vassoura, como
mostra a Fig.(1.121). Vá aproximando lentamente um dedo do outro, mo-
vendo um de cada vez.
Figura 1.121: Equilíbrio da vassoura.
Note que a vassoura não desliza igualmente nos 2 dedos. As vezes ela
desliza sobre um, enquanto o outro permanece em repouso. E isso depende
de qual dos dedos você esteja forçando.
Repetindo algumas vezes o mesmo procedimento você notará que o ponto
onde os dedos se encontram sob o cabo da vassoura é sempre o mesmo. Esse
ponto é o centro de gravidade da vassoura. Colocando um dedo nesse ponto
para sustentar a vassoura você notará que ela fica em equilíbrio.
Análise e Explicação
Um fato interessante do experimento é que, quaisquer que sejam as po-
sições iniciais dos dedos e qualquer que seja o que é forçado a se mover,
228
parece ser a vassoura quem decide por qual dos dois dedos deslizar, de modo
a manter o equilíbrio.
As forças que agem na vassoura está representado na Fig.(1.122).
Figura 1.122: Forças atuantes sobre a vassoura.
Aplicando a lei de Newton para as forças e para os torques de um corpo
em equilíbrio: ∑
F = 0
∑
τ = 0
tem-se que:
F1 + F2 − P = 0
F1x1 − F2x2 = 0
Percebe-se que a soma das forças aplicadas para sustentar a vassoura na
horizontal é constante pois, depende apenas do seu peso (P ). No entanto, a
intensidade de cada uma das forças depende da distância do local de aplicação
ao centro de gravidade (CG) da vassoura. Se x1 > x2, F1 < F2 e, se x1 < x2,
F1 > F2.
A força de atrito máximo (fat) é definida matematicamente como:
fat = µN
onde µ é o coeficiente de atrito e N a força normal. No caso deste expe-
rimento, onde os movimentos se dão na horizontal, N = F . Dessa forma,
as forças de atrito entre os dedos e a vassoura, provocado pelo deslizamento
entre eles é:
f1(at) = µF1
f2(at) = µF2
229
Então, se inicialmente x1 > x2, tem-se que F1 < F2 e, portanto, f1(at) <
f2(at). Isso faz com que a vassoura deslize sobre o dedo que a sustenta em x1.
No entanto, se x1 < x2, tem-se que F1 > F2, o que implica f1(at) > f2(at),
fazendo com que a vassoura deslize sobre o dedo que aplica a força em x2.
Por isso, pode-se dizer que são as forças de atrito envolvidas no processo
que selecionam o dedo por sobre o qual a vassoura vai deslizar.
230
1.108 O Problema dos Blocos Empilhados
Objetivos
Estudar o conceito de centro de massa de um sistema de partículas (ob-
jetos) e resolver o problema dos blocos empilhados de modo a formarem um
arco.
Materiais Utilizados
Diversos livros iguais, 1 trena.
Montagem e Procedimento
Empilhe diversos livros (pode-se utilizar também tijolos, azulejos, ou ou-
tros objetos semelhantes) de modo a formar um arco, como mostra a Fig.(1.123).
Figura 1.123: Empilhamento de blocos.
O último livro deve ser deslocado o máximo possível em relação ao li-
vro mais inferior (maior valor de x), mas sem tombar a pilha. É importante
lembrar que não deve-se usar nada que provoque aderência entre eles.
Qual será o valor máximo de x, para uma pilha com n livros, de modo
que o sistema permaneça em equilíbrio?
Análise e Explicação
A pilha não cai se o centro de massa (CM) do conjunto de livros que estão
situados por cima de um dado livro ficar sobre uma reta vertical que passe por
ele.
231
No caso de 2 blocos, o bloco superior (1) não deve apresentar desloca-
mento do centro de massa (x), em relação ao bloco 2, tal que x > L, onde
L é o comprimento do bloco (Fig.1.124-a). Como o CM fica na metade do
bloco, o deslocamento ∆x1 do bloco 1 em relação ao bloco no qual se apóia
(2) deve ser:
∆x1 ≤ L2
No caso de 2 blocos da Fig.(1.124-a), o bloco 1 pode se deslocar até L/2 em
relação à 2.
Figura 1.124: Blocos Empilhados: a- 2 blocos; b- 3 blocos; c- 4 blocos.
Vamos ver agora um caso de 3 blocos, como representado na Fig.(1.124-
b). A linha vertical que passa pelo CM dos blocos 1 e 2 deve ficar sobre o
bloco 3. Um conjunto com 4 blocos está representado na Fig.(1.124-c).
De maneira geral, tem-se que o valor máximo de x é dado por:
x = 12 +
1
4 +
1
6 + ... =
1
2
(
1 + 12 +
1
3 + ...
)
= 12
∑ 1
n
232
1.109 Amplitude de Oscilação e Centro de Massa
Objetivo
Construir um experimento que demonstre o aumento da amplitude de os-
cilação de um balanço sem a ação de forças externas.
MateriaisUtilizados
1 mola, 1 eletroímã, 1 pedaço de ferro, 1 suporte de sustentação, 1 fonte
de energia elétrica (bateria de 9V , por exemplo, por exemplo), fios para cir-
cuito elétrico, 1 prego, 1 placa de madeira (ou outro material isolante).
Montagem e Procedimento
Prenda 2 pedaços de fio à placa de madeira e ao suporte, de modo a
formar um balanço. Sobre o balanço prenda o eletroímã. O eletroímã pode
ser feito com um cilindro metálico, ao redor do qual enrola-se fio esmaltado.
No interior do eletroímã coloque um bastão de ferro, envolto por uma mola
presa na base, de modo que esse bastão possa se mover ao longo do eixo
central do eletroímã.
Fixe uma das extremidades da mola na placa que forma a base. Para o
bastão sofrer e ação da mola coloque na sua extremidade superior um prego
atravessado fazendo um furo no núcleo de ferro (ou fazer alguma coisa seme-
lhante para não deixar a mola subir, o que acabaria fazendo com que não fosse
exercida qualquer força no bastão). Um esquema da constituição e montagem
do balanço está na Fig.(1.125).
Conecte os terminais do eletroímã nos próprios fios que formam o ba-
lanço, e estes na fonte de energia. Coloque em série com esse circuito um
interruptor, que vai servir para ligar e desligar o eletroímã. Quando o circuito
é fechado o eletroímã puxa o bastão de ferro para o seu interior. É importante
que o eletroímã usado consiga vencer a força de reação da mola.
O experimento, propriamente dito, começa com o balanço posto a oscilar
com uma pequena amplitude. Quando o balanço estiver no ponto mais alto do
percurso, feche o interruptor, de modo que o eletroímã atraia o núcleo (bas-
tão) de ferro para dentro do enrolamento. Ao passar pelo ponto mais baixo
233
Figura 1.125: Estrutura do Balanço.
da trajetória, abra o interruptor, de modo que o bastão de ferro seja empur-
rado total ou parcialmente para fora do eletroímã. Prossiga realizando essa
sequência de procedimentos e note que a amplitude de oscilação do balanço
vai aumentando.
Dessa forma, aqui estamos reproduzindo um procedimento semelhante
que uma pessoa, a se balançar num balanço, faz-se com o seu corpo para
ganhar amplitude de oscilação, sem encostar no chão ou se apoiar em algum
objeto externo.
Análise e Explicação
Suponhamos um pêndulo simples (esfera presa num pedaço de fio), o
qual é possível variar o seu comprimento. Pode-se fazer o pêndulo aumen-
tar a sua amplitude de oscilação variando o seu comprimento em momentos
adequados.
Quando a esfera presa ao fio passar ao ponto mais baixo da trajetória
(ponto 2), deve-se encurtar o comprimento do fio. Quando a esfera atingir o
seu ponto mais alto (pontos 1 e 3), o comprimento do fio deve ser aumentado,
como mostra a Fig.(1.126). A cada oscilação a amplitude aumenta um pouco.
Repetindo o mesmo procedimento de amplificação durante várias oscilações,
234
obtêm-se no final uma grande amplitude de oscilação.
Figura 1.126: Variação do comprimento do pêndulo.
No experimento realizado a amplitude de oscilação se faz, não através do
controle do comprimento do pêndulo, mas da elevação ou abaixamento do
seu centro de massa. No caso da pessoa no balanço, ela eleva o seu centro
de massa encolhendo as pernas ao passar pelos pontos mais altos. Ao passar
pelo ponto mais baixo ela solta as pernas, o que faz com que o centro de
gravidade se abaixe.
A alteração do centro de massa no experimento aqui desenvolvido é feita
controlando a posição do núcleo de ferro em relação ao eletroímã. Com o
eletroímã ligado e a haste de ferro no seu interior, o centro de massa está mais
baixo do que com o eletroímã desligado, quando a haste de ferro encontra-se
deslocada externamente.
235
1.110 A água que não Cai 1
Objetivo(s)
Verificar que a água não sai de um copo, quando este é posto com a boca
para baixo.
Materiais Utilizados
1 copo de vidro, 1 pedaço de papel (papel rígido), água.
Montagem e Procedimento
Encha o copo com água até a borda e coloque sobre ele um pedaço de
papel, de modo que o papel grude nas bordas do copo. Cuide para que entre o
papel e a água não fique nenhuma bolha de ar. Firme o papel com a palma da
mão e vire o copo de boca para baixo com a mão segurando o papel. Retire
vagarosamente a mão de baixo do papel e observe que a água contida no copo
não cai.
No lugar do papel você também pode usar uma carta de baralho, a tampa
de um pote de margarina, ou algo semelhante. O esquema do procedimento
está representado na Fig.(1.127)
Figura 1.127: Água que não cai do copo.
Se ao invés do copo for utilizado uma garrafa, pode-se usar um pedacinho
de plástico e até mesmo um pedaço de papel higiênico.
236
Análise e Explicação
O interessante deste experimento é que o papel não cai quando o copo é
virado, e o mesmo acaba segurando a água dentro dele (Fig.1.128). Isso é
causado devido à atuação da pressão atmosférica em todas as direções, a qual
faz com que o líquido não caia.
Figura 1.128: Papel segurando a água no copo.
Como não existe ar aprisionado, a pressão sobre o papel na parte interna
do copo é a pressão da coluna de água dentro dele. A pressão que atua na
parte externa do papel é a pressão atmosférica, maior que a pressão da água
dentro do copo. Dessa forma, estabelece-se uma diferença de pressão que
gera forças distribuídas sobre a área do papel e que atuam de fora para dentro
do copo. Estas forças empurram o papel para dentro do copo e impedem a
sua queda e a saída da água.
O papel funciona como uma espécie de película de apoio para a atuação
da pressão atmosférica. Sendo larga a boca do copo, sem a folha de papel
ocorreria a rápida penetração do ar no interior, ocasionando o escoamento da
água.
237
1.111 Água que Não Cai 2
Objetivo
Verificar a ação da pressão atmosférica.
Materiais Utilizados
1 garrafa de vidro, 1 prato, água, 1 pipeta (ou canudinho grosso).
Montagem e Procedimento
Encha a garrafa com água e emboque-a no prato. Inicialmente encoste
a boca da garrafa diretamente no fundo do prato e depois eleve-a um pouco.
Observe que a água cai um pouco, ficando o nível da água no prato pratica-
mente na mesma altura da boca da garrafa. Veja a Fig.(1.129).
Figura 1.129: Garrafa com água embocada no prato.
Uma variante dessa experiência pode ser realizada com uma pipeta ou
um canudinho grosso. Coloque a pipeta verticalmente dentro do recipiente
com água. Tampe a outra extremidade com o dedo e retire-a do recipiente.
Perceba que a água não desce da pipeta.
Mas, por que a água não cai, tanto na experiência com a garrafa como no
experimento com a pipeta?
238
Figura 1.130: Água não cai da pipeta.
Análise e Explicação
A água não cai devido a atuação da pressão atmosférica (pat). No caso
da garrafa a pat está exercida na superfície da água do prato, e esta acaba sus-
tentando a água dentro da garrafa. Na pipeta a pat está exercida diretamente
na água dentro da pipeta, e está orientada de baixo para cima.
Nos dois casos, há um equilíbrio entre a pressão atmosférica (pat), a pres-
são da água (págua) e a pressão do ar (par) aprisionado dentro da garrafa ou
da pipeta, de modo que:
pat = págua + par
Para que este experimento dê certo é importante que a garrafa ou pipeta
usada não possuam a extremidade inferior muito larga. Caso possuam, pode
ocorrer a entrada de bolhas de ar, fazendo com que a água escoe mesmo com
a parte superior fechada.
239
1.112 Segurando Água com uma Peneira
Objetivo
Segurar água em um copo com uma peneira.
Materiais Utilizados
1 copo, 1 peneira fina de plástico (semelhante aquelas usadas em janelas
para proteção contra insetos), fita adesiva, água.
Montagem e Procedimento
Encha o copo de água e prenda a peneira com fita adesiva, de modo a
deixá-la bem firme. Vire o recipiente com a peneira para baixo e perceba que
a água não cai (Fig.1.131).
Figura 1.131: Segurando a água comuma peneira.
Análise e Explicação
A explicação do porque a água não sai do copo foi dada no Exp.(1.111).
Devido à tensão superficial da água, a peneira de malha fina comporta-se da
mesma maneira que a folha de papel.
240
1.113 Capilaridade 1
Objetivo
Verificar o fenômeno da capilaridade.
Materiais Utilizados
2 copos (pequenos), 2 tubos capilares de vidro41 (com cerca de 1mm de
diâmetro), água, detergente.
Montagem e Procedimento
Coloque água nos 2 copos. Num deles pingue algumas gotas de deter-
gente. Em seguida coloque as extremidades dos tubos capilares em cada um
dos copos e observe que a água sobe por eles até uma certa altura.
Figura 1.132: Tubos capilares em copos com: a- Água; b- Água e detergente.
Verifique que, mesmo após retirar os tubos de dentro dos copos, a água
fica presa dentre deles. A altura da água pura é bem maior que a água com
41Os tubos capilares são usados, por exemplo, em laboratórios de análises clínicas para
exames de sangue.
241
detergente.
Uma forma bem mais simples de representar o fenômeno da capilaridade
é encostar a ponta de um guardanapo na superfície de um líquido. Perceba
como o líquido sobe pelo guardanapo.
Análise e Explicação
O fenômeno da capilaridade é resultado da diferença entre a intensidade
das forças de coesão de um líquido42 e a intensidade das forças de adesão43
desse líquido com as paredes do recipiente.
No caso da água pura, a intensidade das forças de adesão com as paredes
do capilar é muito maior que a intensidade das forças de coesão. O efeito é
mais intenso quando as paredes do recipiente então bastante próximas entre
sí.
Algumas substâncias, como os detergentes, quando dissolvidos na água
provocam a redução das forças de adesão do líquido. Isso ficou evidente no
experimento, onde a água com detergente subiu uma altura menor no tubo
capilar.
42Essas forças tendem a deixar o líquido unido, agrupado.
43As forças de adesão são uma espécie de atração molecular que se manifesta entre os
corpos em contato.
242
1.114 Capilaridade 2
Objetivo
Demonstrar o fenômeno da capilaridade.
Materiais Utilizados
2 lâminas de microscópio (ou 2 lâminas de vidro finas), 1 recipiente raso
com água.
Montagem e Procedimento
Una as 2 lâminas de vidro por uma de suas arestas, formando um pequeno
ângulo. Coloque o conjunto num recipiente com água. Observe que a água
vai subindo pelo vértice desse ângulo, como mostra a Fig.(1.133).
Figura 1.133: União das lâminas de vidro.
Análise e Explicação
A explicação do fenômeno da capilaridade foi dada no Exp.(1.113). A
água sobe onde a distância entre as placas é menor e essa altura vai dimi-
243
nuindo conforme o afastamento das lâminas, formando uma curva como a da
Fig.(1.133).
A rapidez com que ocorre a capilaridade depende do líquido envolvido.
Em líquidos como a água e o álcool, a velocidade é alta. Já o óleo, por
exemplo, além de subir pouco ele sobe lentamente. Isso deve-se a uma outra
propriedade denominada viscosidade, que é uma espécie de resistência que
os líquidos oferecem ao escoamento.
244
1.115 Capilaridade 3
Objetivo
Demonstrar o fenômeno da capilaridade.
Materiais Utilizados
1 pedaço de papel higiênio, 1 copo com água.
Montagem e Procedimento
Introduza a ponta do pedaço de papel na água. Observe que a água sobe
pelo papel.
Análise e Explicação
A subida da água deve-se ao fenômeno da capilaridade, cuja explicação
encontra-se no Exp.(1.113).
245
1.116 Tensão Superficial
Objetivo
Mostrar a existência da tensão superficial em líquidos.
Materiais Utilizados
1 clipe metálico (ou uma lâmina de barbear), 2 copos, água, 1 seringa
descartável com agulha.
Montagem e Procedimento
Coloque água num copo, e em seguida introduza o clipe na água, de forma
que ele plane na sua superfície, como mostra a Fig.(1.134-a). Observe que,
apesar de ser bem mais denso que a água, o clipe não afunda.
Figura 1.134: Tensão superficial: a- Clipe plana na água; b- Água não transborda.
Uma outra forma de mostrar o efeito da tensão superficial é enchendo
completamente o copo de água, fazendo-o transbordar. A seguir continue
adicionando vagarosamente água com o auxílio da seringa com agulha. Per-
246
ceba que a água não mais transborda (até um certo limite), e sua superfície
vai ficando curvada (Fig.1.134-b).
Análise e Explicação
Os líquidos apresentam volume definido e, apesar de não terem formato
próprio, tendem a minimizar a sua área superficial. Como exemplo, temos
as gotas de água que adotam geometria esferoidal, pois estas exibem menor
relação área/volume.
Uma molécula no interior do líquido experimenta forças atrativas oriun-
das de todas as direções, devindo à presença de suas moléculas vizinhas. Isso
faz com que sua energia potencial torne-se mínima. No entanto, uma molé-
cula situada na superfície fica submetida a uma força de atração não equili-
brada, dirigida para o interior do mesmo, já que elas são mais atraídas para
baixo e para os lados. Dessa forma, com uma energia potencial maior e tendo
o intuito de minimizar essa energia, as moléculas da superfície se arranjam
de modo a ter o número máximo de moléculas vizinhas. Isso provoca uma
concentração de moléculas na superfície, o que cria uma espécie de película
capaz de resistir à penetração de corpos, evitando também o escoamento do
líquido. Essa é a tensão superficial.
A tensão superficial é um fenômeno que ocorre nos líquidos, que é de-
corrente da força de coesão entre suas moléculas. É devido à existência da
tensão superficial que, por exemplo, alguns insetos conseguem caminhar na
superfície da água.
A superfície de um líquido é aparentemente plana em recipientes de grande
diâmetro. No entanto, quando o diâmetro é pequeno, a superfície se apresenta
curva. Se as forças de adesão forem maiores que as de coesão, o líquido for-
mará uma superfície côncava. Já, se as forças de adesão forem menores que
as de coesão, formará uma superfície convexa.
247
1.117 Detergente e Tensão Superficial
Objetivo
Mostrar a influência de um detergente na tensão superficial de um líquido.
Materiais Utilizados
1 clipe metálico, 2 copos, água, 1 seringa descartável com agulha, deter-
gente.
Montagem e Procedimento
Este experimento é uma continuação do Exp.(1.116). Encha a seringa
com detergente e pingue algumas gotas sobre a água dos 2 copos, como mos-
tra a Fig.(1.135). Observe, então, que o clipe afunda num dos copos e um
pouco de água acaba derramando no outro copo.
Figura 1.135: Introdução de detergente nos copos.
Análise e Explicação
O detergente age rapidamente sobre a água, reduzindo sua tensão super-
ficial. Por isso que o clipe afunda e a água escoa do copo.
248
Para limpar uma superfície, a água deve atingir as impurezas que estão
presas a ela, dissolvendo-as ou arrancando-as. No entanto, a tensão super-
ficial da água impede parcialmente sua ação, não conseguindo remover resí-
duos pequenos, por exemplo. É aqui que entra o detergente como um eficiente
agente de limpeza, reduzindo a tensão superficial da água, tornando-a mais
"fina".
A água limpa, à temperatura ambiente, por exemplo, possui γ = 0, 073N/m.
A adição de sabão à ela reduz essa tensão para γ = 0, 025N/m.
249
1.118 Redução da Tensão Superficial
Objetivo
Verificar a diminuição da tensão superficial causada por um detergente.
Materiais Utilizados
1 recipiente com água, 2 palitos de fósforo, detergente, 1 cotonete.
Montagem e Procedimento
Coloque os 2 palitos no recipiente com água, de modo que eles fiquem
bem próximos e paralelos um ao outro sobre a superfície. Molhe uma das
pontas do cotonete no detergente e coloque-a entre os 2 palitos (região B).
Observe que eles se afastam rapidamente um do outro (Fig.1.136).
Figura 1.136: Tensão superficial entre palitos.
Análise e ExplicaçãoQuando se adiciona o detergente na superfície da água entre os 2 palitos,
ocorre uma diminuição súbita da tensão superficial nessa região. Isso faz
com que os palitos sejam puxados para as regiões A e C, pois nelas a tensão
superficial é maior do que em B.
250
1.119 Forças de Coesão em um Líquido
Objetivo
Verificar a existência de forças de coesão em líquidos.
Materiais Utilizados
1 recipiente (pequeno e transparente), óleo de cozinha, álcool, água.
Montagem e Procedimento
Coloque cerca de 1 colher de óleo de cozinha no fundo de um recipiente
transparente, de modo que ele fique o mais reunido possível. Em seguida
derrame um pouco de álcool até a altura de 1cm à 2cm, aproximadamente.
Como o óleo é mais denso que o álcool, ele se mantém no fundo.
Depois disso comece a derramar lentamente água no álcool e observe
o que acontece. As partículas do óleo começam a se agregar, elevando-se
numa espécie de lombada, desprendendo-se e formando uma gota esférica,
que tende a ficar flutuando no interior da mistura.
Análise e Explicação
Quando o óleo começa a se desprender do fundo do recipiente, observa-se
uma disputa entre as forças de adesão, que tendem a manter o óleo no fundo
do recipiente, as forças de coesão, que tendem a agregar as partículas do óleo,
e a mistura de água e álcool sobre a porção de óleo.
À medida que a quantidade e água aumenta na mistura, esta fica mais
densa. Como a densidade da água é maior que a do álcool e a do óleo, o óleo
acaba subindo.
251
1.120 Entrelaçando 2 Filetes de Água
Objetivo
Entrelaçar dois filetes (dar um nó) de água.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET, água, 1 prego, fita adesiva.
Montagem e Procedimento
Com o prego, faça 2 orifícios pouco distantes um do outro (1 a 2cm) na
parte lateral inferior da garrafa PET. Feche inicialmente esses orifícios com
um pedaço de fita adesiva. Encha a garrafa com água e tire a fita. Veja como
saem os 2 filetes de água em paralelo (Fig.1.137-a). Com a mão, torça esses
filetes de modo que eles se enlacem. Perceba que eles continuam enlaçados
(Fig.1.137-b).
Figura 1.137: Filetes de água: a- Paralelos; b- Entrelaçados.
252
Análise e Explicação
O entrelaçamento da água ocorre devido à sua coesão. Depois de entrela-
çados os 2 filetes de água tendem a permanecer coesos devido à atração entre
as suas moléculas.
Na superfície da água as moléculas se ligam às moléculas vizinhas em
todas as direções. Isso se deve à tensão superficial. Quanto maior a superfície
da água em contato com o ar, maior a energia associada à tensão superficial
da água. Uma área de contato menor implica uma menor energia superficial
associada à tensão superficial. Ao juntar os dois filetes de água, produz-se um
único filete com uma área superficial menor que a soma das áreas dos dois
filetes considerados separadamente, de modo que aumenta a força de coesão.
Por exemplo, quando os seus cabelos estão molhados, eles ficam enro-
lados de modo a minimizar a área superficial da água entre eles. Com isso
ocorre uma minimização da energia superficial da água presente nos cabelos.
253
1.121 Efeito Coanda 1
Objetivo
Demonstrar o efeito Coanda.
Materiais Utilizados
1 colher, 1 torneira de água.
Montagem e Procedimento
Segure levemente a colher com a parte redonda para cima na corrente de
água de uma torneira, como na Fig.(1.138). Perceba que a colher tende a ficar
colada à corrente. Mesmo afastando a mão e deixando a colher num ângulo
de inclinação considerável, ela continua presa à água.
Figura 1.138: Efeito Coanda.
Análise e Explicação
O efeito Coanda é a tendência de um filete de fluído permanecer unido à
uma superfície curva. A camada de água em contato com a colher forma um
pequeno redemoinho onde a pressão é reduzida. Como a pressão atmosférica
254
do outro lado da colher é maior do que a pressão do lado voltado para a água,
a água é atraída para a corrente.
Esse efeito foi descoberto em 1910 pelo engenheiro aeronáutico romeno
Henro Coanda. Ele notou que um fluído tende a seguir o contorno da superfí-
cie sob a qual ele incide, se a curvatura da mesma ou o ângulo de incidência
do fluído com a superfície não for muito grande.
255
1.122 Efeito Coanda 2
Objetivo
Demonstrar o efeito Coanda.
Materiais Utilizados
1 balão cheio de ar, 1 pedaço de barbante, 1 torneira de água.
Montagem e Procedimento
Amarre uma ponta do barbante ao pescoço do balão inflado. Segure a
outra ponta do barbante e posicione o balão abaixo da torneira. Abra a tor-
neira de modo que a água atinja o balão lateralmente. Observe que o balão é
atraído em direção à corrente de água.
Análise e Explicação
Fluxos de água e ar, ao atingirem uma superfície, arrastam o ar à sua volta.
À medida que os fluxos avançam sobre a superfície é gerado um vácuo parcial
que força os fluxos a seguirem rente á superfície. A diferença de pressão
produzida pelo fluxo de água faz com que o balão se desloque lateralmente,
já que no outro lado atua a pressão atmosférica.
256
1.123 Variação da Pressão com a Profundidade
Objetivo
Verificar o aumento da pressão com o aumento da profundidade em um
líquido.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET, 1 tesoura, 1 alfinete, água, 1 mesa.
Montagem e Procedimento
Corte a parte superior da garrafa com a tesoura e, com o auxílio do alfinete
faça uns 3 ou 4 orifícios numa linha vertical da garrafa, igualmente espaçados.
Coloque a garrafa na beirada da mesa e enche-a de água. Observe a for-
mação de esguichos de água, os quais alcançam diferentes distâncias, como
mostrado na Fig.(1.139).
Figura 1.139: Esguichos de água oriúndos da garrafa.
257
Análise e Explicação
De acordo com a lei de Stevin, quanto maior a profundidade da água,
maior a pressão na sua base inferior. Isso significa que, quanto mais baixo o
orifício, maior a velocidade com a qual a água é expelida, e maior pode ser o
seu alcance.
No entanto, é importante alertar que deve haver um desnível entre o re-
cipiente com água e o local onde os jatos de água atingem a superfície. Se
os esguichos atingirem o mesmo nível em que está apoiado o recipiente, nem
sempre o esguicho que sai do orifício mais baixo atinge a maior distância.
O alcance do esguicho depende, além da velocidade inicial com que sai do
recipiente, da altura da queda.
Um detalhe importante para comparar a velocidade de saída desses jatos
de água é observar as curvaturas das parábolas por eles descritas. Quanto
maior a velocidade mais aberta é a parábola.
Se a garrafa jorrar água no mesmo nível que ela estiver apoiada, o jato
do orifício médio é aquele que alcança a maior distância horizontal.Esse re-
sultado pode ser claramente justificado utilizando cálculos de lançamentos
horizontais.
Considere as dimensões representadas na Fig.(1.140).
Figura 1.140: Jato de água.
258
O alcance (x) do jato de água é dado por:
x = vxt (1.124)
onde vx é a velocidade horizontal de saída do jato e t o tempo de sua queda
livre, ou seja, o intervalo de tempo que ele demora para percorrer a distância
l − h. l é a altura do nível da água e h a distância do nível até o orifício de
saída.
Em queda livre a distância vertical y que um objeto percorre num tempo
t é y = (1/2)gt2. Baseado na Fig.(1.140), tem-se que l − h = (1/2)gt2, ou
seja, para sair do orifício e atingir o solo demora um tempo:
t =
√
2(l − h)
g
(1.125)
Vamos determinar agora a velocidade com que o líquido sai do orifício.
Numa altura (h) acima do orifício uma quantidade de água possui energia
potencial gravitacional (Epg ) dada por:
Epg = mgh (1.126)
e energia cinética (Ec) nula, já que a velocidade (v) é zero (ponto referente à
superfície da água). Ao sair no orifício a água possui Epg nula (pois h = 0)
e energia cinética dada por:
Ec =
1
2mv
2
x (1.127)
De acordo com a conservação da energiamecânica, a energia potencial
gravitacional é totalmente convertida em energia cinética44: Epg = Ec. De
(1.126) e (1.127), vem que:
mgh = 12mv
2
x
donde encontra-se que a velocidade horizontal vx é:
vx =
√
2gh (1.128)
44Aqui não vamos considerar as perdas de energia.
259
Levando (1.128) e (1.125) em (1.124):
x =
√
2gh
√
2(l − h)
g
donde vem que o alcance do jato de água é:
x = 2
√
h(l − h) (1.129)
De acordo com a Eq.(1.129) o alcance x é nulo para h = 0 e h = l,
ou seja, respectivamente quando o orifício está no mesmo nível da água ou
quando o orifício estiver rente a superfície inferior. Fazendo um gráfico de x
em função de h (sendo l constante) obtêm-se uma curva, como a representada
na Fig.(1.141). O valor máximo de x ocorre quando h = l/2. Por isso o jato
de água que sai do orifício médio é o que alcança maior distância horizontal.
Figura 1.141: Gráfico de x× h.
260
1.124 Vasos Comunicantes e Lei de Stevin
Objetivo
Verificar o fenômeno dos vasos comunicantes e comentar sobre a Lei de
Stevin.
Materiais Utilizados
Recipientes de formatos diferentes (abertos), alguns dutos (para interligar
os diversos recipientes), água.
Montagem e Procedimento
Vasos comunicantes são formados por 2 ou mais recipientes interligados
por dutos. Com os materiais citados, monte um conjunto de acordo com a
Fig.(1.142).
Figura 1.142: Vasos comunicantes.
Despeje água nos recipientes e observe que a superfície livre da água
atinge sempre a mesma altura nos frascos abertos que se comunicam.
Análise e Explicação
De acordo com o teorema de Stevin, todos os pontos da superfície de
um líquido homogêneo, em repouso, se mantém no mesmo plano horizontal
261
porque estão submetidos à mesma pressão atmosférica, independentemente
da forma como os recipientes se comunicam.
Considere um recipiente de formato regular, com altura h e área de base
A, cheio de líquido. A pressão (p) exercida pelo líquido no fundo do recipi-
ente é dada por:
p = mg
A
(1.130)
ondemg é o peso do líquido. O volume do recipiente é V = Ah e a densidade
do líquido ρ = m/V , de forma que pode-se representar a densidade (ρ)
como:
ρ = m
Ah
(1.131)
Isolando A em (1.131) e levando em (1.130), obtem-se:
p = ρgh (1.132)
A Eq.(1.132) mostra que a pressão exercida por um líquido sobre um corpo
não depende das características do corpo, mas das características do líquido,
da aceleração da gravidade local e da profundidade.
Sendo que a pressão atmosférica (patm) atua sobre a superfície livre do
líquido em equilíbrio, a pressão total (p) exercida no interior do recipiente é
dada pela soma da pressão atmosférica com a pressão da coluna de líquido de
altura (h) (Eq.1.132):
p = patm + ρgh
A diferença de pressão (∆p) entre dois pontos no interior do líquido é
dada por:
∆p = ρg∆h
onde ∆h é a diferença de profundidade entre esses dois pontos.
Por isso, dois pontos situados num líquido homogêneo e em equilíbrio,
que se encontram num mesmo plano horizontal, estão submetidos à mesma
pressão.
262
1.125 Canudinho de Refresco
Objetivo
Demonstrar o funcionamento de um canudinho de refresco.
Materiais Utilizados
1 canudinho (ou uma seringa descartável, sem agulha), 1 copo com água.
Montagem e Procedimento
Introduza o canudinho no copo com água e sugue um pouco dela, apenas
para representar o fenômeno. Isso também pode ser feito utilizando a seringa
e enchendo-a de água através do movimento do êmbolo. Um esquema do
experimento está na Fig.(1.143).
Figura 1.143: Experimento do canudinho.
Mas como é que a água sobe pelo canudinho ou pelo tubo da seringa?
Análise e Explicação
Um fluído (líquido ou gás) movimenta-se sob ação gravitacional ou di-
ferença de pressão. No experimento realizado, para a água subir pelo ca-
nudinho ou seringa, em sentido contrário à força de gravidade, é necessário
263
uma diferença de pressão de baixo para cima. Dessa forma, a boca (no caso
do canudinho) ou o êmbolo (no caso da seringa) provocam a diminuição da
pressão, tornando a pressão (p) no ponto A menor que a pressão no ponto B.
Essa diminuição da pressão é feita pela sucção do ar, tornando-o mais
rarefeito. No ponto C, o qual corresponde à superfície do líquido, a pressão
existente é a pressão atmosférica, pois ela está em contato direto com o ar
ambiente. Sendo pC a pressão atmosférica (pressão na superfície C do lí-
quido), tem-se que a pressão na parte inferior do canudinho ou seringa (ponto
B) é dada por:
pB = pC + ρg∆hBC
onde ∆hBC é a distância entre os pontos B e C, ρ é a densidade do líquido
e g é a aceleração da gravidade local. No líquido a pressão no nível C é
transmitida para o nível B. Como a pressão em A é menor que em B, o
líquido acaba sendo empurrado para cima.
264
1.126 Pressão Atmosférica
Objetivo
Demonstrar a atuação da pressão atmosférica sobre duas placas de vidro
(ou material semelhante) em contato.
Materiais Utilizados
2 placas de vidro (quadradas, bem planas e lisas, podendo ser também
de plástico ou acrílico, com cerca de 20cm de lado), 2 cilindros de madeira
(com 2cm ou 3cm de altura e diâmetro), cola instantânea.
Montagem e Procedimento
Prenda com a cola instantânea o cilindro no centro de cada placa. Eles vão
servir para facilitar o manuseio das mesmas. Deslize as placas paralelamente
uma sobre a outra, de modo a expulsar o ar entre elas, juntando-as. Depois,
puxe as placas em sentidos opostos, na direção perpendicular aos seus pla-
nos, tentando separá-las (Fig.1.144). Perceba que você terá dificuldades para
conseguir isso.
Figura 1.144: Placas paralelas.
265
Análise e Explicação
Quando uma das placas está isolada, no seus dois lados existe ar, o qual
exerce a pressão atmosférica, deixando a placa em equilíbrio. A expulsão do
ar entre as placas gera um pequeno vácuo45, e isso produz uma diferença de
pressão.
Quanto tenta-se separar as placas, puxando-as na direção normal, nota-se
as forças de pressão, de modo que é um pouco difícil conseguir isso. Essa
tarefa é realizada facilmente se for aplicada uma força tangencial, deslizando
uma placa sobre a outra.
A pressão (p) exercida por uma força que age sobre uma superfície é
diretamente proporcional à sua intensidade (F ) e inversamente proporcional
à área da superfície (A) de contato:
p = F
A
No sistema internacional, a intensidade de medida de pressão é o N/m2
que também é denominado Pascal (Pa). Numa relação com a unidade atmos-
fera (atm), tem-se que 1atm = 1, 013.105Pa.
45O vácuo é uma região onde a densidade dos átomos e moléculas é menor que a densidade
atmosférica à pressão e temperatura ambientes. Quanto menor essa densidade, maior é o
vácuo. O vácuo total corresponderia à pressão nula.
266
1.127 Pressão e Escoamento
Objetivo
Verificar a influência da pressão no escoamento de líquidos.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET, 1 prego (pode ser qualquer outra coisa com uma ponta
fina), água.
Montagem e Procedimento
Coloque água na garrafa, não tendo necessidade de enchê-la totalmente.
Faça um furo com o prego na parte lateral inferior da mesma. Verifique que
a água escoa um pouco e para. Quando abre-se a tampa da garrafa, a água
passa a escoar normalmente pelo orifício (Fig.1.145).
Figura 1.145: Escoamento de água na garrafa.
Análise e Explicação
A água escoa um pouco e para porque a sua descida cria uma baixa pres-
são na parte superior da garrafa. A água para de escorrer quando a pressão do
267
ar interno (pint) mais a pressão da coluna de água (págua) é igual à pressão
atmosférica (patm) exercida na parte externa do orifício:
pint + págua = patm
Quando se afrouxa ou se abre a tampa, a pressão interna aumenta, igualando-
se à pressão atmosférica. Com isso, a pressão da coluna de água não é mais
equilibrada e a água escoa pelo orifício inferior.268
1.128 Funcionamento de um Sifão
Objetivo
Mostrar o funcionamento de um sifão.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET, água, 1 recipiente, 1 mangueira de plástico transparente.
Montagem e Procedimento
Coloque água na garrafa. Encha também a mangueira com água, feche
uma das extremidades com o dedo e coloque a outra ponta dentro da garrafa.
Baixe a extremidade da mangueira tampada até um nível inferior ao nível da
água na garrafa, próximo ao recipiente, como representado na Fig.(1.146).
Figura 1.146: Sifão.
Tire o dedo e veja a água sair da garrafa, subir pelo sifão e jorrar no
recipiente. Varie o desnível h entre a ponta do sifão e o nível de água na
garrafa para perceber a variação do fluxo da saída da água. Perceba que esse
fluxo aumenta conforme o aumento de h e diminui com a diminuição de h,
269
interrompendo-se quando a extremidade da mangueira fica acima do nível da
água dentro da garrafa.
Análise e Explicação
O sifão funciona devido à existência de uma diferença de pressão na água
(∆p), oriunda de um desnível entre a extremidade de saída da mangueira e o
nível da água no recipiente que a faz escoar. Essa diferença de pressão é dada
por:
∆p = ρgh
onde ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e h é o desnível
existente.
O fato de os sifões funcionarem também no vácuo contradiz a idéia de que
o líquido é empurrado para o outro lado do sifão pela pressão atmosférica. A
força que puxa o líquido para o outro lado do sifão é a sua própria força
intermolecular.
À medida que o líquido vai subindo num dos lados do sifão a sua pressão
vai diminuindo. Se o sifão for bastante alto, esta pressão é reduzida a tal
ponto que as bolhas de ar começam a formar-se no seu interior, limitando a
altura do sifão porque obriga ao rompimento das ligações intermoleculares
do líquido. No entanto, os sifões funcionam melhor sob a ação da pressão
atmosférica do que no vácuo.
270
1.129 Sifão Automático
Objetivo
Construir e explicar o funcionamento de um sifão automático.
Materiais Utilizados
1 tubo plástico flexível (mangueira), 2 tubos finos de vidro ou plástico de
tamanhos diferentes (sendo o mais longo com bico), 2 rolhas de borracha, 1
tubo grosso de vidro (ou plástico rígido), 2 recipientes, água.
Montagem e Procedimento
Passe o tubo maior pelo meio da rolha e encaixe esta na mangueira. Na
outra rolha coloque os 2 tubinhos, de modo que, quando encaixada no tubo,
o mais longo penetre um pouco dentro da extremidade da mangueira. No
entanto, neste último caso deve haver um espaço para a entrada de ar. A
montagem do experimento está representado na Fig.(1.147).
Figura 1.147: Sifão automático.
Ao mergulhar esse sistema dentro do recipiente com água, ela começa
271
a subir pela mangueira e sair na outra extremidade. O sifão funciona de
maneira automática.
Análise e Explicação
Ao introduzir o tubo dentro da água, esta começa a entra no cilindro.
Entrando no cilindro a água tenta expulsar o ar que aí existe. Enquanto isso
a água que entra pelo tubinho com bico é empurrada para dentro do tubo da
mangueira pelo ar que quer sair. Por isso, ocorre a formação de bolhas nessa
fase inicial do processo.
Quando todo o ar tiver saído do cilindro, o jorro de água que passa pelo
sifão será contínuo.
272
1.130 Chafariz
Objetivo
Construir e explicar o funcionamento de um chafariz.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET (transparente de 600ml), 1 funil, 1 tubo de vidro, 1 man-
gueira, 1 rolha de borracha (ou plástico), cola de silicone.
Montagem e Procedimento
Coloque cerca de 200ml de água na garrafa. Faça 2 furos na rolha de
borracha para encaixar a mangueira e o tubo de vidro, de acordo com a
Fig.(1.148).
Figura 1.148: Construindo um chafariz.
Para garantir a vedação, se necessário, use a cola de silicone se a rolha
for de plástico. Encaixe o funil da mangueira e eleve-o num nível superior a
tampa da garrafa. Em seguida despeje água. À medida que a água entra na
garrafa, começa a aparecer o repuxo do chafariz, o que faz com que a água
seja lançada pelo tubo de vidro.
273
Análise e Explicação
À medida que a água entra na garrafa, o volume de ar nela contido acaba
diminuindo. Essa redução de volume aumenta a pressão, a qual é transmitida
à água, que produz o repuxo do chafariz.
Uma explicação mais profunda da ocorrência do repuxo está no princípio
de Pascal, no qual a pressão transmitida à um ponto do líquido se transmite
a todos os pontos desse líquido. Para a água conseguir entrar na garrafa é
necessário que haja um desnível, que forneça uma diferença de pressão. Essa
diferença de pressão deve vencer a pressão oposta exercida pelo ar contido na
garrafa.
Para o refluxo ficar forte é necessário que o desnível (h) seja grande o
suficiente e a mangueira não seja muito fina.
274
1.131 Vaso de Tântalo
Objetivo
Construir um vaso de tântalo ou vaso mágico, e explicar o seu funciona-
mento.
Materiais Utilizados
1 mangueira de plástico (transparente), cola de silicone, 1 garrafa PET
(transparente).
Montagem e Procedimento
Corte a parte superior da garrafa e meça o comprimento da mangueira
de modo que ela se ajuste dentro da garrafa formando um laço, com a parte
superior alguns centímetros abaixo da borda da garrafa.
Faça um furo na parte lateral inferior da garrafa (há uns 5cm da base), de
modo a encaixar uma extremidade da mangueira. Se ocorrer vazamento no
encaixe, utilize a cola de silicone para vedar. Um esquema da constituição do
vaso de tântalo está na Fig.(1.149).
Figura 1.149: Vaso de tântalo.
Encha o recipiente com água e observe que, enquanto o seu nível não
275
atinge a parte superior do laço da mangueira, ela não sai. Quando o nível
atinge a parte superior, a água começa a sair pela mangueira. Nesse momento
pare de despejar água, e observe que a mesma continua saindo até o nível
baixar até a altura do orifício de saída onde está colocada a mangueira.
Análise e Explicação
O caráter mágico do vaso de tântalo está na saída não constante de água:
começa a sair quando o vaso está quase cheio, para quando o vaso está quase
vazio e somente volta a sair quando o vaso está quase cheio novamente.
A explicação para o funcionamento do vaso de tântalo é a mesma do sifão.
Para haver a saída de água deve haver um desnível entre o nível de água no
recipiente e o nível de saída de água na mangueirinha. Mas isso começa a
ocorrer quando o líquido no vaso fica no mesmo nível do laço da mangueira.
O nome vaso de tântalo é uma referência à Tântalo, deus grego muito
cruel, que foi condenado à um castigo eterno. Nesse castigo, mesmo estando
num lago com água até os joelhos ele não mataria a sua sede porque a água
escorreria da sua boca. Mesmo cercado por árvores frutíferas, Tântalo não
mataria sua fome porque as frutas escapariam de suas mãos.
276
1.132 Tempo de Esvaziamento de uma Lata
Objetivo
Medir o tempo de esvaziamento de uma lata furada com líquido, bem
como fazer uma previsão teórica do mesmo.
Materiais Utilizados
1 tesoura, 1 cronômetro, 1 paquímetro, 1 régua, 1 garrafa PET (1L), 1
recipiente, 1 mesa, água, 1 prego.
Montagem e Procedimento
Corte a parte superior da garrafa com a tesoura e com o prego faça um
furo na lateral inferior da mesma. Meça a altura da garrafa com a régua e o
diâmetro do prego com o paquímetro (o prego escolhido deve ter diâmetro
tal que a garrafa não demore um tempo muito longo, nem muito curto para
esvaziar).
Coloque a garrafa na beirada da mesa, com o orifício voltado para fora.
No chão coloque um recipiente de modo a recolher a água que sairá do orifí-
cio da garrafa. Um esquema da montagem do experimento está na Fig.(1.150).
Figura 1.150: Esvaziamento de uma garrafa.
277
Através das dimensões da garrafa e do orifício, faça uma previsão teórica
do tempo de esvaziamento damesma. Em seguida obtenha esse resultado
experimentalmente e compare os valores.
Análise e Explicação
Vamos determinar teoricamente o tempo que a garrafa demora para esva-
ziar. Inicialmente dividimos o cilindro de altura h0 e diâmetro D em peque-
nos cilindros, cada qual com um diâmetro d e uma altura ∆h, de modo a ter
um volume Vi (Fig.1.151).
Figura 1.151: Pequenos cilindros de volume.
O volume V é a soma dos volumes Vi:
V =
n∑
i=1
Vi
Se imaginarmos um volume Vi de água numa altura h, de acordo com a
equação h = (1/2)gt2 ele chega ao nível do orifício depois de um tempo:
t =
√
2h
g
(1.133)
Sendo Vi o volume de água que jorra em cada tempo t, o tempo total tT
de queda de um volume V é:
tT =
V
Vi
t (1.134)
278
O volume de um cilindro é dado por V = pir2h. Dessa forma, tem-se que
o volume Vi que sai pelo orifício de diâmetro46 d é:
Vi =
pid2
4 ∆h (1.135)
corresponde à um volume V que baixou na lata:
V = piD
2
4 ∆h (1.136)
Levando (1.135) e (1.136) em (1.134), vem que:
tT =
D2
d2
t (1.137)
De acordo com (1.133), o tempo que um elemento de volume Vi, que está
inicialmente na altura h0 (garrafa cheia) demora para chegar ao orifício é:
t =
√
2h0
g
(1.138)
Levando (1.138) em (1.137), tem-se que o tempo total para a garrafa es-
vaziar é:
tT =
(
D
d
)2√2h0
g
46Lembrando que o diâmetro d é o dobro do raio r: d = 2r.
279
1.133 Problema da Mangueira Enrolada
Objetivo
Verificar o comportamento da água no interior de uma mangueira enro-
lada.
Materiais Utilizados
1 mangueira (com alguns metros de comprimento), 1 funil, água.
Montagem e Procedimento
Enrole a mangueira de modo que ela forme um helicóide47 e coloque-a
no chão, inicialmente na forma vertical, como mostra a Fig.(1.152-a).
Figura 1.152: Helicóide na: a- Vertical; b- Horizontal.
Eleve uma extremidade da mangueira e, com o auxílio do funil despeje
água no seu interior. Perceba que a água acaba saindo pela outra extremidade.
Repita agora o mesmo procedimento, mas dispondo o helicóide na posi-
ção horizontal, como esquematizado na Fig.(1.152-b). Por que, neste caso,
a água não sai na outra extremidade da mangueira? Na verdade, pouca água
consegue entrar na mangueira.
47Que tem o formato helicoidal, espiral.
280
Análise e Explicação
Quando disposta na horizontal a água não sai na outra extremidade da
mangueira por causa das bolhas de ar que ficam no seu interior. Quando
enche-se a primeira volta da mangueira, a água passa para a segunda volta.
A segunda volta fica cheia, mas forma-se bolhas de ar na parte superior da
primeira volta, que impede parcialmente o fluxo de água.
Esse problema pode ser contornado erguendo-se a altura em que a água
é despejada. O mesmo efeito vai ocorrer nas voltas seguintes. Quanto maior
o número de voltas na mangueira, mais alto terá que ser o desnível no qual a
água é despejada para conseguir sair na outra extremidade.
281
1.134 Empuxo Exercido por um Líquido
Objetivo
Verificar a existência da força de empuxo exercida por um líquido sobre
um corpo nele mergulhado.
Materiais Utilizados
1 dinamômetro (ou uma mola), 1 recipiente com água, 1 corpo denso.
Montagem e Procedimento
Prenda o corpo denso no dinamômetro e suspenda-o livremente na verti-
cal, anotando o peso que ele mede. Em seguida mergulhe o corpo no líquido
e observe que o seu peso, marcado pelo dinamômetro, diminui. Um esquema
da realização do experimento está na Fig.(1.153).
Figura 1.153: Corpo mergulhado num líquido.
Análise e Explicação
A diminuição do peso marcado pelo dinamômetro é devido à existência
da força de empuxo exercida pelo líquido sobre o corpo. Essa força tem
282
direção vertical, sentido de baixo para cima e intensidade igual à do peso do
fluído deslocado pelo corpo. Matematicamente a intensidade do empuxo (E)
é dada por:
E = ρgV
onde ρ é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e V é o volume
do corpo submerso na água.
283
1.135 O Paradoxo do Peso do Ar
Objetivos
Mostrar e explicar um aparente paradoxo envolvendo o peso do ar.
Materiais Utilizados
Barbante, 1 haste fina, 2 balões de borracha (iguais).
Montagem e Procedimento
Suspenda a haste na horizontal, através de um pedaço de barbante amar-
rado no seu centro. Com o barbante amarre 1 balão vazio em cada extremi-
dade da haste. Você notará que o sistema ficará em equilíbrio (Fig.1.154-a).
Agora encha um dos balões que inicialmente estava vazio. Observe então que
o sistema se desequilibrará e a haste, que está suspensa e funciona como uma
balança, inclinará para o lado do balão cheio (Fig.1.154-b).
Figura 1.154: Balões em: a- Equilíbrio; b- Desequilíbrio.
Inicialmente poderia-se pensar que a balança inclinou para o lado do ba-
lão cheio simplesmente porque o ar tem peso. No entanto, seguindo alguns
conceitos físicos, poder-se-ia salientar que o ar dentro do balão deveria estar
equilibrado pelo empuxo exercido pelo ar externo. E esse empuxo deveria
ser igual ao peso do ar deslocado pelo balão. Portanto, a balança ficaria em
284
equilíbrio. Mas deve haver algo de errado nesse argumento, pois o equilíbrio
não é verificado.
Análise e Explicação
O que ocorre neste experimento é que o ar contido no balão está mais
concentrado do que o ar do lado externo. Isso acontece devido ao fato do ar
ter entrado no balão sob pressão. Portanto, a densidade do ar interno é maior
que a densidade do ar externo:
ρ(int) > ρ(ext)
Mas é importante aqui destacar que somente a diferença de densidade
ou massas específicas dos corpos não pode provocar nenhuma ação. Deve
haver um agente responsável para isso. Esse agente de ação é a aceleração da
gravidade.
285
1.136 Analisando um Iceberg
Objetivo
Analisar o comportamento, em pequena escala, de um iceberg.
Materiais Utilizados
1 recipiente transparente, água, 1 bloco (pedra) de gelo.
Montagem e Procedimento
No recipiente coloque água e na água coloque o bloco de gelo. Observe
que o gelo, quando em equilíbrio, bóia na água, apresentando a maior parte do
seu volume submersa. Por que o gelo bóia na água se ele é também formado
por água, apenas encontrando-se no estado sólido?
Análise e Explicação
Um bloco de gelo ocupa um volume maior que a sua correspondente
massa líquida. Isso faz com que ele seja menos denso que a água, podendo
nela flutuar.
A densidade da água é aproximadamente 1, 0g/cm3, enquanto a do gelo
é 0, 92g/cm3. Por essa razão, um bloco de gelo bóia na água mantendo 92%
do seu volume imerso. É isso o que ocorre com os icebergs.
286
1.137 Densidade e Empuxo
Objetivo
Determinar a densidade de sólidos utilizando o conceito de empuxo.
Materiais Utilizados
1 uma balança digital, 1 béquer (ou outro recipiente semelhante) com
água, 1 fio fino, diversos materiais sólidos (zinco, chumbo, alumínio, cobre,
latão, vidro, etc).
Montagem e Procedimento
Com a balança de precisão determine a massa do sólido utilizado. Colo-
que o béquer com água sobre a balança e nele mergulhe o sólido, suspendendo-
o pelo fio. Faça com que ele afunde totalmente, sem encostar em nenhuma
parte do recipiente. Um esquema da montagem e realização do experimento
está na Fig.(1.155).
Figura 1.155: Megulhando o corpo no líquido sobre a balança.
Estando inicialmente a balança zerada, anote a massa aparente do sólido
por ela medida (sólido mergulhado na água). Conhecendo a massa real e
aparente do sólido, bem como a densidade da água (1g/cm3), determine a
densidade do solido.
287
Uma observação importante que precisa ser aqui destacada é que o mé-
todo para a realização desse experimento somente funciona quando a densi-
dade do sólido é maior da densidade do líquido pois, caso contrário, o sólido
flutua, parcial ou totalmente.
Análise e Explicação
A densidade ou massaespecifica de uma substância, é a razão entre sua
massa pelo seu volume. Se uma substancia de massa (m) ocupa um volume
(V ), sua densidade (ρ) é dada por:
ρ = m
V
(1.139)
Cada substância apresenta uma densidade característica. Esta, porém, varia
com a pressão e temperatura, pois o volume de uma substância depende do
grau de agitação e da aproximação entre as moléculas.
De acordo com o principio de Arquimedes, sobre um corpo total ou par-
cialmente mergulhado num fluído, age uma forca vertical de baixo para cima,
chamada empuxo (E), cuja intensidade é igual ao peso do volume do líquido
deslocado pelo corpo, ou:
E = mlg (1.140)
onde g é a aceleração da gravidade e ml a massa correspondente ao volume
do líquido deslocado. Escrevendo m em função da densidade e do volume
(usando a Eq.1.139) a Eq.(1.140) fica:
E = ρlgVl (1.141)
onde ρl é a densidade do líquido e Vl o volume do líquido deslocado.
A partir do conceito de empuxo pode-se desenvolver um método que faci-
litará muito na determinação da densidade de corpos. Igualando as Eqs.(1.140)
e (1.141), vem que:
mg = ρlgV (1.142)
Se o corpo mergulhado no líquido for mais denso, ele acaba afundando to-
talmente, de modo que o volume do líquido deslocado é igual ao volume
288
do sólido: Vl = Vs. Sendo Vs = ms/ρs, escreve-se (1.143) como mlg =
ρlgms/ρs, donde vem que:
ρs = ρl
(
ms
ml
)
(1.143)
Se o corpo submerso é apoiado numa balança no fundo do recipiente, a
balança indicara uma forca atuante para cima sobre o objeto, que será igual a
intensidade P − E. Assim, os objeto submersos aparentam pesar menos do
que eles normalmente pesam. Representando ml, que é a massa aparente do
sólido (massa do líquido deslocado), por m′s, a Eq.(1.143) pode ser escrita
como:
ρs = ρl
(
ms
m′s
)
(1.144)
onde ρs é a densidade do sólido, ρl a densidade do líquido, ms a massa real
do sólido e m′s a massa aparente do sólido.
Na Tab.(1.12) temos os dados obtidos em um experimento, considerando
a densidade da água como sendo ρ = 1g/cm3, bem como o erro percentual (o
erro percentual é o módulo da diferença entre a densidade de massa tabelada
com a massa medida, dividido pela massa tabelada, vezes 100) em relação à
valores tabelados de densidade de sólidos:
Tabela 1.12: Massas e densidades de substâncias.
Substância ms m′s ρexp ρtab Erro (%)
Latão 101, 6 11, 94 8, 51 8, 4 1, 3
Alumínio 18, 3 6, 73 2, 72 2, 7 0, 7
Cobre 21, 5 2, 43 8, 85 8, 9 0, 6
Zinco 12, 68 1, 79 7, 08 7, 1 0, 3
Chumbo 24, 03 2, 12 11, 3 11, 3 0, 0
Para determinar a densidade de líquidos o procedimento é semelhante.
Neste caso basta conhecer a densidade do sólido que, a partir de (1.144) a
densidade do líquido passa a ser dada por:
ρl = ρs
(
m′s
ms
)
289
1.138 Empuxo e o Sobe e Desce de Esferas
Objetivo
Verificar a dependência do empuxo para com o volume.
Materiais Utilizados
1 recipiente (transparente), água, vinagre, bicarbonato de sódio, esferas
de naftalina.
Montagem e Procedimento
Coloque água no recipiente de modo que ele fique quase cheio. Misture
na água um pouco de vinagre e um pouco de bicarbonato de sódio. Em se-
guida coloque várias esferas de naftalina no interior da mistura. Perceba que,
no decorrer do tempo as esferas de naftalina realizam movimentos de sobe e
desce no interior do líquido.
Análise e Explicação
A reação química entre o vinagre e o bicarbonato de sódio produz gás
carbônico (CO2) e uma grande quantidade de bolhas de gás torna-se visível,
subindo no interior do líquido.
Inicialmente as esferas de naftalina afundam no líquido. Depois, no en-
tanto, várias bolhas de gás aderem às suas superfície e o empuxo da água
sobre o conjunto faz com que elas subam à superfície. Na superfície algumas
bolhas escapam para o ar e as esferas de naftalina voltam a afundar. Outras
bolhas aderem a elas e o processo volta a se repetir.
290
1.139 Construíndo um Densímetro
Objetivo
Construir um dispositivo simples para comparar e medir densidades de
líquidos.
Materiais Utilizados
1 seringa (5ml ou 10ml), 3 pedaços de mangueira fina, recipientes com
líquidos diferentes, 1 conexão tipo T , 1 régua, 1 canetão.
Montagem e Procedimento
Conecte a seringa, as mangueiras e a conexão T , de acordo com a Fig.(1.156).
Figura 1.156: Densímetro.
Depois de colocar cada uma das mangueiras (que seriam os tubos do
densímetro) nos recipientes contendo os líquidos, puxe o êmbolo da seringa,
aspirando os líquidos e marque (com o canetão ou alguma outra coisa) a
291
posição alcançada por eles. Observe que os líquidos sobem pelos tubos e
alcançam alturas diferentes.
Meça com a régua as alturas alcançadas pelos líquidos e, através dela,
determine a densidade relativa entre eles. Conhecendo a densidade de um
dos líquidos, determine a densidade do outro.
Análise e Explicação
Sendo h1 e h2 as alturas alcançadas pelos líquidos nos tubos 1 e 2 e ρ1
e ρ2 as suas respectivas densidades absolutas (massas específicas), pelo prin-
cipio de Stevin tem-se que as pressões (p) nas superfícies dos dois líquidos
dentro dos tubos são dadas por:
p1 = ρ1gh1 (1.145)
p2 = ρ2gh2 (1.146)
onde g é a aceleração da gravidade. Sendo p1 = p2, a partir de (1.145) e
(1.146) tem-se ρ1gh1 = ρ2gh2, donde vem:
ρ1
ρ2
= h2
h1
Se o valor de ρ2 é conhecido, por exemplo, a densidade do líquido 1 é encon-
trada através de:
ρ1 = ρ2
(
h2
h1
)
292
1.140 Manômetro Simples
Objetivo
Construir um pequeno manômetro e verificar o aumento da pressão em
função da profundidade em líquidos.
Materiais Utilizados
1 tampa pequena rasa (de metal ou plástico rígido, como de alguns cos-
méticos, por exemplo), 1 tubo de látex, 1 vidro em U (ou 1 manguinha trans-
parente), 1 balão de borracha, cola instantânea, 1 tubo de caneta (ou algo
semelhante), 1 prego, 1 martelo, barbante, água, 1 suporte, tesoura, 1 recipi-
ente.
Montagem e Procedimento
Faça um furo no centro da tampa, batendo o prego com o martelo. O furo
deve ter diâmetro tal que passe por ele o tubo de caneta. Encaixe o tubo e cole
bem as beiradas. Corte um pedaço de borracha e estique-o bem sobre o outro
lado da tampa, passando o barbante ao redor para deixá-lo bem firme. Essa
borracha vai se comportar como uma membrana. Chamaremos esse conjunto
de cápsula manométrica, a qual está representada na Fig.(1.157).
Figura 1.157: Cápsula manômétrica.
Prenda o tubo em U no suporte, de modo a deixá-lo na vertical e encha-o
com cerca de metade de água. A seguir conecte o tubo em látex numa das
293
extremidades do tubo em forma de U e no tubo da cápsula manométrica. Um
esquema da constituição do manômetro está na Fig.(1.158).
Figura 1.158: Manômetro.
Introduza a cápsula dentro do líquido contido no recipiente e observe o
desnível causado na água no interior do tubo em U .
Análise e Explicação
Quanto maior a profundidade num líquido, maior é a pressão que ele
exerce. Esta pressão é sentida pela cápsula manométrica, que é transmitida
para o ar contido no interior do tubo de látex e provoca o desnível no tubo U .
294
1.141 Compressão e Descompressão
Objetivo
Demonstrar como comporta-se um corpo não-rígido ao sofrer variação de
pressão.
Materiais Utilizados
2 garrafas PET (de tamanhos diferentes), 1 balão de borracha, 1 martelo,
1 prego, 1 pedaço de mangueira fina, 1 tesoura, cola rápida.
Montagem e Procedimento
Fure as tampas das garrafas com o prego e o martelo. O furo pode ser
alargado com a ponta da tesoura. Conecte a mangueira nesses furos, de modo
que ela fique bem justa e passe cola para não ocorrer vazamento de ar. Intro-
duza no interior da garrafa menor um balão pequeno, parcialmente inflado.
Conecte as tampas nas garrafas de forma que elas fiquem conectadas pela
mangueira e amasse a garrafa maior. Observe que o balão no interior da gar-
rafa menor reduz de tamanho.Se a garrafa menor for solta, o balão aumenta
de tamanho. Um esquema deste experimento está na Fig.(1.159).
Figura 1.159: Garrafas interligadas.
295
Análise e Explicação
Estando as garrafas conectadas, ocorre transferência de ar de uma para
a outra. Ao pressionar a garrafa maior, ocorre um aumento de pressão na
garrafa menor que contém o balão, o que faz com que o volume deste dimi-
nua. Ao soltar a garrafa amassada, a pressão diminui e o balão aumenta o seu
volume, voltando à situação inicial.
O balão se comporta como qualquer outro objeto não rígido, como o
corpo humano. Somente consegue-se explorar ambientes com pressões ex-
tremas, como o fundo do mar ou o espaço cósmico, utilizando equipamentos
adequados.
O mesmo experimento pode ser aperfeiçoado, utilizando-se uma bomba
de encher pneu para aumentar a pressão, e uma seringa grande para diminuir
a pressão.
296
1.142 Elevador Hidráulico
Objetivo
Demonstrar o funcionamento de um elevador hidráulico.
Materiais Utilizados
2 seringas (de diferentes capacidades), 1 base de madeira para apoio, 1
mangueirinha, água.
Montagem e Procedimento
Monte uma base de madeira para fixar as seringas. Retire os êmbolos
das seringas, conectando-as com a mangueirinha e encha o conjunto de água,
de modo que, ao colocar os êmbolos, o da seringa menor fique elevado e o
da seringa maior fique entre a metade e a parte inferior. Um esquema da
montagem do experimento está na Fig.(1.160).
Figura 1.160: Elevador hidráulico.
Pressione inicialmente o êmbolo menor e observe o comportamento do
maior. Após, pressione o maior e perceba como se comporta o êmbolo menor.
297
Análise e Explicação
O funcionamento de um elevador hidráulico é baseado no principio de
Pascal, o qual diz que a variação de pressão aplicada a um fluído contido
num recipiente fechado é transmitida integralmente a todos os pontos desse
fluído.
De acordo com o esquema da Fig.(1.161), quando se exerce uma força F1
sobre um êmbolo de área A1, o líquido sofre uma acrescimo de pressão (∆p)
dado por:
∆p = F1
A1
(1.147)
Figura 1.161: Principio de Pascal.
Esse aumento de pressão se transmite integralmente através de todo o
líquido, sendo aplicado ao êmbolo de área A2, no qual aparece uma força F2,
tal que:
∆p = F2
A2
(1.148)
Igualando (1.147) e (1.148), obtem-se a relação entre os módulas das
forças exercidas sobre ou pelos êmbolos em relação as suas respectivas áreas:
F1
A1
= F2
A2
Suponhamos uma situação em que A2 é 10 vezes maior que A1 (A2 =
10A1). Aplicando uma força F1 em A1, a força F2 resultante em A2 será 10
vezes maior (F2 = 10F1).
298
Nesse experimento a relação entre forças é difícil de ser verificada por
causa da existência do atrito entre o êmbolo e a seringa. O que não deve-
se deixar de perceber é a transmissão de forças entre os líquidos. Grande
número de máquinas, como elevadores e sistemas de freios funcionam através
desse princípio. Neles, o atrito é bastante reduzido com a utilização de peças
metálicas e óleos lubrificantes.
A princípio, o deslocamento dos êmbolos no elevador é limitado pela
quantidade de líquido disponível. No entanto, em equipamentos reais (eleva-
dores, prensas, etc.), existe um reservatório que, através de um conjunto de
dutos e válvulas, fornece o líquido necessário.
299
1.143 Macaco Hidráulico
Objetivo
Construir e explicar o funcionamento de um macaco hidráulico.
Materiais Utilizados
1 seringa grande, 1 seringa média, 2 seringas pequenas (seus volumes po-
dem ser diversos, desde que mantidas as proporções), 2 êmbolos de borracha
de seringa, 1 mangueirinha, 1 recipiente para água, 1 suporte de madeira, cola
de silicone, alfinetes.
Montagem e Procedimento
Inicialmente construa 2 válvulas utilizando 2 bases de êmbolos, 2 chum-
binhos de pesca e 2 alfinetes. Passe o alfinete pelo meio do chumbinho de
pesca, perfurando o êmbolo de borracha. Dentro das seringas a ponta do alfi-
nete vai manter a válvula na posição correta, enquanto o chumbinho vai fazer
com que ela funcione na vertical. A base dos êmbolos deve ser de diâme-
tro menor do que o diâmetro das seringas nas quais vão ser utilizadas. A
estrutura da válvula está esquematizada na Fig.(1.162).
Figura 1.162: Estrutura da válvula.
Faça um furo na lateral inferior da seringa grande e da seringa média,
cada qual para encaixar a ponta da seringa pequena. Faça um furo na lateral
da seringa pequena (no meio delas).
300
Disponha as seringas nas bases de madeira de acordo com o esquema
da Fig.(1.163). Conecte a seringa média com a grande por meio de uma
mangueirinha. A mangueirinha está conectada na saída da seringa grande e
na lateral da seringa média. A conexão nesta última seringa é feita com o
auxílio de um pedaço do corpo de uma seringa pequena.
Figura 1.163: Macaco hidráulico.
Da saída da seringa média vai uma mangueirinha até o reservatório, o
qual está cheio de água. Se necessário pode-se usar cola de silicone ou outro
tipo de cola para evitar vazamentos.
Antes de iniciar o experimento deixa-se todos os êmbolos abaixados. Mo-
vimente o êmbolo da seringa A (seringa média) para cima e para baixo, e
observe o êmbolo da seringa B subir.
Análise e Explicação
Levantando-se o êmbolo A, a válvula VA se abre e a válvula VB se fecha.
Isso ocorre porque a água puxada causa uma diminuição da pressão no inte-
rior da seringa A. Estando a seringa cheia de água, comprime-se o êmbolo
A, o que faz a válvula VA se fechar e a válvula VB se abrir, fazendo deslo-
car água para o compartimento B. Repetindo-se o processo, verifica-se que
301
a água vai sendo bombeada do reservatório para a seringa B, fazendo o êm-
bolo B subir aos poucos. Perceba que o conjunto funciona como um macaco
hidráulico, com a vantagem na relação de forças, a qual é proporcional à área
dos êmbolos. Uma pequena força aplicada no êmbolo A provoca uma grande
força em B. Pequenos deslocamentos realizados diversas vezes em A produz
um grande deslocamento em B.
Para baixar o êmbolo B, depois que este atingiu a altura máxima, basta
puxar o êmbolo da seringa C e pressionar o êmbolo B, de modo que a água
saia pelo orifício O desta seringa, voltando para o reservatório. Fechando o
orifício O, todo o ciclo pode ser recomeçado.
302
1.144 A Balança e o Empuxo
Objetivo
Relacionar a terceira lei de Newton com o empuxo.
Materiais Utilizados
1 balança digital, 1 recipiente pequeno com água, 1 massa metálica ou 1
pedra (menor que o recipiente), 1 pedaço de fio (barbante).
Montagem e Procedimento
Coloque o recipiente com água sobre a balança e faça a leitura da medida
da massa. A seguir, prenda a massa metálica (que de agora em diante cha-
maremos de esfera para facilitar) no barbante e coloque-a no recipiente com
água, mantendo-a submersa e suspensa, sem encostar nas paredes e no fundo,
como na Fig.(1.164).
Figura 1.164: Esfera mergulhada na água sobre a balança.
Observe que a medida da balança aumentou. Mas isso, a princípio parece
ilógico pois, como a esfera está suspensa, ela não deveria contribuir com a
medida da massa pela balança.
303
Análise e Explicação
Quando mergulhada na água a esfera sofre a força de empuxo (E), a qual
é dirigida verticalmente para cima, que tenta impedir que ela mergulhe no
líquido.
Pela terceira lei de Newton, a lei de ação e reação, a força que o líquido
exerce sobre a esfera faz com que esta exerça uma força de mesma intensi-
dade e sentido oposto. Dessa forma, essa força de reação é transmitida para
a base de apoio, neste caso a balança.
O empuxo sofrido pelo corpo faz com que seu peso (P ) diminua (isso
poderia ser verificado colocando um dinamômetro no fio que a sustenta). No
entanto, essa diferença de peso é transmitida para a água, fazendo aumentar
a leitura na balança. Sendo Pb o peso marcado pela balança48 e Pl+r o peso
do líquidomais o peso do recipiente, tem-se que:
Pb = Pl+r + E
48Na verdade a balança fornece o valor da massa, mas peso e massa são grandezas propor-
cionais.
304
1.145 Por que o Barco não Afunda
Objetivo
Verificar por que um barco não afunda.
Materiais Utilizados
1 recipiente com água, massa de modelar.
Montagem e Procedimento
Molde uma certa quantidade de massa de modelar em forma esférica e
outra porção de massa (com uma massa aproximadamente igual) na forma de
uma barquinho. Coloque as duas massas moldadas na água e perceba que a
esfera afunda e o barquinho flutua. Por que ocorre essa diferença?
Análise e Explicação
Quando é uma porção maciça de massa de modelar, ela afunda. Quando
modelado na forma de barco ela passa a conter uma parte interna oca, com
densidade menor que o líquido. Ao ser colocado na água o barco vai afun-
dar um pouco, deslocando uma certa quantidade de água, tal que o empuxo
exercido por ela se iguale a força peso.
Embora a densidade do aço, ou o material que constitui um barco real,
bem como a massa de modelar do experimento, seja maior que a densidade
da água, a densidade de um navio, assumindo uma estrutura fechada, é menor
que a da água49. Por isso ele não afunda. O principio de flutuação é o mesmo
para todos os barcos, desde uma simples canoa até os porta-aviões nucleares,
com massas maiores que 100.000 toneladas.
49A maior parte do seu espaço interior é preenchida com ar.
305
1.146 Barco, Carga e Nível da Água
Objetivo
Verificar a relação entre a carga num barco e o nível da água em que ele
flutua.
Materiais Utilizados
Algumas pedras (ou qualquer outro material denso), 1 caixinha de ma-
terial impermeável (base retangular), 1 recipiente transparente com água, 1
canetão.
Montagem e Procedimento
Faça da caixinha um barco. Leve o barco no recipiente com água e
carregue-o com as pedras. Coloque uma quantidade tal de modo que ele
não afunde. Quando o sistema estiver em equilíbrio anote com o canetão o
nível da água no recipiente.
Em seguida retire as pedras de dentro do barco e lance-as dentro do reci-
piente com água. Perceba o que acontece com o nível da água do recipiente:
ele sobe, desce ou continua igual?
Análise e Explicação
Quando as pedras estão dentro do barco elas obrigam a deslocar um vo-
lume de água cujo peso é igual ao peso das pedras (condição de equilíbrio).
Sendo que as pedras são mais densas que a água, quando elas estão no barco
elas obrigam a deslocar um volume de água superior ao seu próprio volume.
Quando caem na água no tanque, as pedras passam a deslocar um volume
de água igual ao seu próprio volume. Quando as pedras são atiradas para o
tanque, elas passam a deslocar menos água e o nível do tanque desce.
Considerando que as pedra são mais densas que a água, elas vão afundar
e seus pesos serão equilibrado pela resultante do novo empuxo sobre elas e
com a reação normal que ela irá receber no fundo do tanque.
306
Sendo Pba o peso do barco, Pbl o peso do bloco e Eba+bl o empuxo do
barco com o bloco, na condição inicial de equilíbrio (pedra dentro do barco),
tem-se:
Pba + Pbl = Eba+bl (1.149)
Depois de o bloco ser lançado no tanque, indo parar no fundo:
Pba + Pbl = Eba + Ebl +Nbl (1.150)
onde Eba é o empuxo do barco, Ebl é o empuxo do bloco e Nbl é a força
normal do bloco.
Relacionando (1.149) e (1.150):
Eba+bl = Eba + Ebl +Nbl
donde vem:
Eba + Ebl = Eba+bl −Nbl (1.151)
A partir da Eq.(1.151) pode-se concluir que:
Eba + Ebl < Eba+bl
Se o empuxo total diminui, o volume total de líquido deslocado também di-
minui, o que faz com que o nível da água no tanque diminua.
307
1.147 Ludião
Objetivo
Construir e verificar o funcionamento de um ludião, que seria uma espécie
de submarino.
Materiais Utilizados
1 garrafa PET transparente (2L), 1 seringa pequena, água, clipes peque-
nos.
Montagem e Procedimento
Coloque água na garrafa PET, enchendo-a completamente. Introduza a
seringa dentro da garrafa, de maneira que ela flutue na água, estando na emi-
nência de afundar. Se a seringa ocupar muito espaço corte o cabo do êmbolo,
de modo a diminuir o seu comprimento. Se necessário, coloque 1 ou 2 clipes
dentro da seringa para dar um pouco mais de peso. Seria interessante testar
bem o comportamento da seringa em um recipiente com boca maior, como
um béquer, antes de colocá-la dentro da garrafa.
Uma ilustração esquemática do ludião dentro da garrafa está na Fig.(1.165).
A introdução dos clipes é um modo para baixar o centro de gravidade do sub-
marino e dar-lhe maior estabilidade.
Figura 1.165: Ludião.
308
Feche bem a garrafa com a tampa. Ao pressionar a garrafa perceba que o
ludião afunda, e ao soltá-la, perceba que o ludião sobe.
Uma outra maneira de construir o ludião é usando uma caneta sem furos
laterais, tampando uma das extremidades e prendendo alguns clipes na outra
extremidade. Em seguida coloque a caneta dentro da garrafa de modo que ela
flutue. Se isso não ocorrer, reduza o número de clipes ou a massa deles.
Análise e Explicação
Quando aperta-se a garrafa ocorre um aumento de pressão no líquido fa-
zendo com que entre um pouco mais de água no ludião. Isso faz com que o
peso do ludião se torne maior que o empuxo que a água exerce sobre ele e o
mesmo acaba afundando. Desapertando a garrafa a pressão da água diminui
e o ar contido no ludião se expande, o que faz com que o ludião suba.
Um submarino funciona de maneira semelhante: bombas de água enchem
e esvaziam tanques em seu interior usando a água que o circunda e o ar que
preenche os tanques são acomodados em tanques de ar comprimido.
309
1.148 Fazendo um Ovo Flutuar
Objetivo
Fazer um ovo flutuar através da alteração da densidade da água.
Materiais Utilizados
1 ovo cru, 1 recipiente de vidro ou plástico, 1 colher, água, sal.
Montagem e Procedimento
Coloque água no recipiente e depois introduza o ovo na água. Observe
que inicialmente o ovo vai para o fundo. Na sequência, vá colocando sal aos
poucos na água, dissolvendo-o com o auxílio da colher. Você observará que o
ovo vai subindo, até alcançar a superfície, ficando parcialmente fora da água
(Fig.1.166).
Figura 1.166: Experimento do Ovo na Água.
Análise e Explicação
Inicialmente o ovo afunda na água porque o seu peso (P ) é maior que a
força de empuxo (E) que a água exerce sobre ele: P > E.
A força de empuxo que a água exerce sobre um objeto nela posto é dada
por:
E = ρgV
310
onde ρ é a densidade da água, g é a aceleração da gravidade e V é o volume
do líquido deslocado (volume da parte do objeto submersa no líquido).
Estando o ovo inicialmente no fundo do recipiente, o valor do empuxo
que a água exerce nele pode ser alterado variando a densidade (ρ) da água (g
e V são constantes). Dissolvendo sal na água sua densidade vai aumentando,
o que aumenta o valor do empuxo (E > P ), de modo que faz o ovo subir. O
ovo fica numa posição estável quando E = P .
311
1.149 Viscosidade de um Líquido
Objetivo
Determinar a viscosidade de um líquido.
Materiais Utilizados
1 tubo de vidro ou plástico transparente, 1 paquímetro, 1 trena, 1 cronô-
metro, líquidos diferentes (de preferências, bem viscosos, como óleo de co-
zinha, por exemplo), esferas de diferentes tamanhos (bolinhas de gude), 1
balança de precisão.
Montagem e Procedimento
No tubo transparente meça com a trena a distância do seu fundo até uma
posição (marca) um pouco abaixo da sua extremidade superior. Com o paquí-
metro determine o diâmetro de cada esfera e com a balança meça as suas
respectivas massas.
Encha o tubo com o líquido, dispondo-o na vertical e solte as esferas no
seu interior, marcando com o cronômetro o tempo que cada uma demora para
chegar ao fundo. Procure usar esferas não muito densas, pois isso faz com
que o tempo que elas demoram para chegar ao fundo do recipiente sejamaior.
Com esses dados é possível encontrar a viscosidade do líquido.
Análise e Explicação
Quando solta-se uma esfera dentro do tubo cheio de líquido, ela acelera
um pouco no início e depois passa a descer com velocidade constante até o
fundo. Essa velocidade é chamada velocidade limite e é a velocidade máxima
que a esfera adquire durante o movimento descendente.
Sobre a esfera dentro do líquido agem 3 forças: a força peso (~P ), o em-
puxo ( ~E) e a força de atrito viscoso (~fat). Estas forças estão representadas na
Fig.(1.167).
312
Figura 1.167: Forças atuantes sobre a esfera no interior do líquido.
Sendo que a esfera desce com velocidade constante (aceleração nula), de
acordo com a lei de Newton
∑ ~F = 0, tem-se que:
P − E − fat = 0 (1.152)
A intensidade da força peso (P ) da esfera é dada por:
P = mg (1.153)
onde m é sua massa e g o valor da aceleração da gravidade local. Medindo a
massa (m) com a balança e o raio (r) com o paquímetro (na verdade mede-se
o diâmetro D e acha-se o raio fazendo r = D/2), e sabendo que o volume de
uma esfera é V = (4/3)pir3, pode-se determinar a sua densidade (ρ). Se as
outras esferas são do mesmo material (mesma densidade), podemos calcular
as suas massas a partir da densidade do material e dos seus raios:
m = 43piρr
3 (1.154)
Levando (1.154) em (1.153) escreve-se P como:
P = 43pigρr
3 (1.155)
313
O empuxo, que é a força que o líquido exerce sobre a esfera, é definido
como sendo o peso do volume do líquido deslocado. Sendo que o volume do
líquido deslocado é o volume da esfera, o empuxo é dado por uma expressão
semelhante a Eq.(1.155):
E = 43pigρlr
3 (1.156)
onde ρl é a densidade do líquido.
A força de atrito viscoso é dado pela lei de Stokes:
fat = 6piηrv (1.157)
onde η é a viscosidade do líquido, r o raio da esfera e v a velocidade com que
esta movimenta-se no líquido.
Levando (1.155), (1.156) e (1.157) em (1.152), vem que:
4
3pigρr
3 − 43pigρlr
3 − 6piηrv = 0
Isolando η:
η = 2gr
2(ρ− ρl)
9v (1.158)
A velocidade (v) é determinada medindo o tempo (t) que a esfera demora
para percorrer a distância (h), através da relação:
v = h
t
(1.159)
Levando (1.159) em (1.158), vem que:
η = 2g9
(ρ− ρl)r2t
h
(1.160)
De acordo com (1.160), para determinar a viscosidade de um líquido é neces-
sário conhecer a sua densidade.
314
1.150 Principio de Bernoulli
Objetivo
Estudar o principio de Bernoulli.
Materiais Utilizados
1 canudinho (ou 1 tubo de caneta), 1 base de apoio (1 caneta, por exem-
plo), 1 régua.
Montagem e Procedimento
Coloque a régua sobre a base de apoio, de modo que ela fique em equilí-
brio na horizontal. Prenda o canudinho na boca e ejete ar sob um dos lados da
régua, como mostra a Fig.(1.168). Perceba que a régua abaixa no lado onde
foi ejetado ar.
Figura 1.168: Jato de ar sob a régua.
Um experimento semelhante é prender a parte superior de uma garrafa
PET numa mangueira. Coloque uma bolinha de tênis de mesa dentro da
garrafa e assopre na mangueira com a boca. Observe que a bolinha não é
ejetada para fora, mas sim, fica aí girando. Mesmo virando o copinho para
baixo a bolinha não cai.
315
Análise e Explicação
Inicialmente vamos abordar em detalhes o principio de Bernoulli, o qual
também servirá de base de explicação de outros experimentos.
Considere na Fig.(1.169) um líquido viscoso e incompressível que escoa
em regime permanente através de um tubo, no sentido da esquerda para a
direita.
Figura 1.169: Escoamento de um fluído num tubo.
Seja uma porção de fluído compreendida em um determinado instante
entre as seções S1 e S2, com áreas respectivamente iguais a A1 e A2. Essa
porção de líquido recebe do resto do fluído as forças ~F1 e ~F2 aplicadas em S1
e S2, onde as pressões estáticas valem p1 e p2.
Durante um certo intervalo de tempo o líquido é deslocado da região de-
limitada por S1 e S2 para outra delimitada por S′1 e S′2. Um volume V de
líquido é transferido da parte baixa para a parte alta do duto, de modo que:
V = A1d1 (1.161)
ou
V = A2d2 (1.162)
316
onde d1 e d2 são os deslocamentos da massa m de líquido.
Nesse deslocamento de líquido o trabalho (WF ) realizado pelas forças ~F1
e ~F2 é WF = WF1 +WF2 , donde vem:
WF = F1d1 − F2d2 (1.163)
Sendo que a força é o produto da pressão pela área de atuação, F = pA,
escreve-se (1.163) como:
WF = p1A1d1 − p2A2d2 (1.164)
Relacionando (1.164) com (1.161) e (1.162), obtem-se:
WF = (p1 − p2)V (1.165)
Sendo que a aceleração da gravidade ~g tem direção vertical e sentido para
baixo, o trabalho realizado por ~g nesse deslocamento de líquido é:
Wg = −mg(h2 − h1) (1.166)
onde h1 e h2 são as alturas dos centros de S1 e S2 em relação a um plano ho-
rizontal adotado como referência. Sendo a densidade do líquido (ρ) definida
por ρ = m/V , pode-se escrever (1.166) como:
Wg = −ρV g(h2 − h1) (1.167)
De acordo com o teorema da energia cinética tem-se que o trabalho total
é igual à variação da energia cinética: W = ∆K. Sendo W = WF + Wg e
K = (1/2)mv2 = (1/2)ρV v2, vem que:
(p1 − p2)V − ρV g(h2 − h1) = ρV2 (v
2
2 − v21)
Rearranjando os termos obtem-se a equação que representa o teorema ou
principio de Bernoulli, a qual foi proposta inicialmente por Daniel Bernoulli
em 1738:
p1 +
ρv21
2 + ρgh1 = p2 +
ρv22
2 + ρgh2 (1.168)
317
Outra forma de apresentar o teorema de Bernoulli é escrevendo (1.168)
como:
p+ ρv
2
2 + ρgh = k (1.169)
onde k é uma constante.
Para explicar o experimento proposto inicialmente, consideremos um tubo
horizontal (ou uma região), de modo que h1 = h2. Com isso, a Eq.(1.168) se
reduz à:
ρv2
2 + ρgh = k (1.170)
Em cada um dos lados sob a régua o ar tem uma velocidade v e exerce uma
pressão p. A partir da Eq.(1.170) constata-se que, se a velocidade (v) au-
menta, a pressão (p) diminui, e vice-versa. Por isso que, ao soprar ar sob a
régua ela se abaixa.
318
1.151 Velocidade e Pressão 1
Objetivo
Verificar a relação entre velocidade e pressão.
Materiais Utilizados
1 folha de papel.
Montagem e Procedimento
Coloque a folha de papel (ou uma tira dela) rente à sua boca e sopre
nela, de modo que o ar seja ejetado na parte superior da folha. Perceba que,
quando você assopra, a folha se eleva, tendendo a ficar alinhada com a direção
horizontal, como mostra a Fig.(1.170).
Figura 1.170: Assoprando uma folha.
Análise e Explicação
A maior intensidade da velocidade de escoamento do ar sobre a folha
faz com que a pressão nessa superfície fique menor que a pressão exercida
sobre a face de baixo, fazendo com que a folha se eleve. Matematicamente
a explicação é dada pela Eq.(1.170) e outros comentários já foram feitos no
Exp.(1.150).
319
1.152 Velocidade e Pressão 2
Objetivo
Verificar a relação entre velocidade e pressão.
Materiais Utilizados
5 tubos de vidro (sendo 1 em forma de L, 1 em forma de T e 3 retilíneos)
1 garrafa PET (2L), 1 rolha, água, 1 recipiente, tubos de látex.
Montagem e Procedimento
Monte o esquema de acordo com a Fig.(1.171). Com o estilete corte o
fundo da garrafa PET. Passe o tubo L pela rolha e encaixe o conjunto na boca
da garrafa. Conecte os outros tubos através de pedaços de tubos de látex.
Figura 1.171: Garrafa e tubo conectados.
Feche com o dedo a saída B e despeje a água dentro da garrafa. Observe
que, estando o líquido em repouso, o nível no tubo A é igual ao nível de água
na garrafa. Destampe o tubo B e deixe a água escoar. Note que o nível da
água em A abaixa.
Repita agora o mesmo procedimento, mas colocando na saída de água
um tubo longo de látex, fazendo com que a extremidade de saída fique mais
320
baixa, como na Fig.(1.172). Observe que o nível emA não só cai a zero como
também o ar é aspirado por ele.
Figura 1.172: Saída mais baixa da água.
Análise e Explicação
Em equilíbrio os pontosde uma mesma pressão hidrostática pertencem
ao mesmo plano horizontal. Quando a velocidade da água aumenta na junção
T , a pressão nessa região diminui, o que faz com que o nível da água A no
tubo abaixe. No último caso, uma maior diferença de pressão hidrostática fez
o nível A não só cair a zero como também passou a sugar o ar.
Uma explicação mais detalhada está no Exp.(1.150).
321
1.153 Velocidade e Pressão 3
Objetivo
Verificar a relação entre velocidade e pressão.
Materiais Utilizados
1 secador de cabelo, 1 copo, 1 bolinha de papel.
Montagem e Procedimento
Coloque a bolinha de papel dentro do copo. Ligue o secador de cabelo,
posicione a saída de ar do secador em frente à parede do copo e eleve-a vaga-
rosamente, como representado na Fig.(1.173). Veja o que acontece quando o
fluxo de ar começar a cruzar o topo do copo.
Figura 1.173: Fluxo de ar do secador de cabelo.
Análise e Explicação
Quando a corrente de ar incide num obstáculo, ela é freada e ocorre um
aumento local da pressão. Para contornar o obstáculo a corrente de ar inci-
dente muda de direção, e isso requer uma força com uma componente per-
pendicular à direção da corrente de ar.
322
Em torno do obstáculo a pressão fica abaixo da pressão atmosférica, de
modo que a força resultante que atua no fluxo de ar o manterá próximo à
superfície. Essa diferença de pressão em torno do obstáculo faz com que o ar
seja acelerado ao se mover em direção a pontos de menor pressão. A pressão
no topo do copo diminui para que a corrente de ar possa contorná-lo. Isso faz
com que a bolinha de papel se eleve quando o fluxo de ar do secador começa
a cruzar a parte superior do copo.
323
1.154 Aproximando Garrafas
Objetivo
Aproximar duas garrafas suspensas através da diminuição da pressão en-
tre elas.
Materiais Utilizados
2 garrafas PET, 2 pedaços de fio ou linha, 1 secador de cabelo, 1 suporte
para pendurar as garrafas.
Montagem e Procedimento
Coloque um pouco de água em cada uma das garrafas e em seguida
pendurando-as no suporte com o fio, o qual é preso na sua parte superior.
Deixe as garrafas próximas e, com o secador de cabelos, passe uma cor-
rente de ar entre elas. Observe que as garrafas de aproximam (Fig.1.174).
Figura 1.174: Aproximando 2 garrafas com um jato de ar.
O mesmo experimento pode ser realizado de maneira mais simples, so-
prando ar com a própria boca, e usando objetos mais leves, como 2 esferas
de isopor, por exemplo, no lugar das garrafas com água.
324
Você poderia se perguntar: por que as garrafas se aproximam? Elas não
deveriam se afastar, já que existe um jato de ar entre elas?
Análise e Explicação
As garrafas de aproximam porque a corrente de ar entre elas faz com que
a pressão nessa região seja menor do que o ar em repouso. Dessa forma, a
pressão entre as garrafas é menor que a pressão atmosférica, e as garrafas
são empurradas uma contra a outra. O fato do aumento da velocidade do ar
entre as garrafas provocar a diminuição da pressão deve-se ao principio de
Bernoulli.
325
1.155 Spray
Objetivos
Demonstrar e explicar o funcionamento de um spray.
Materiais Utilizados
1 copo com água, 2 canudos de refrigerante (1 grosso e 1 fino), fita ade-
siva, 1 tesoura.
Montagem e Procedimento
Com a tesoura faça um pequeno corte no canudo mais grosso, de modo
a encaixar a ponta do canudo fino. Firme os dois canudos com fita adesiva
e coloque a extremidade do canudo fino no recipiente com água. O canudo
fino deve entrar parcialmente no canudo grosso. Um esquema da montagem
do experimento está na Fig.(1.175).
Figura 1.175: Constituição do Spray.
Sopre pelo canudo grosso, disposto na horizontal, e perceba que a água
do copo é expelida pela outra extremidade.
326
Análise e Explicação
A diferença de pressão provocada pela corrente de ar faz com que a água
seja bombeada para cima. Ao atingir o topo a água forma gotículas que são
arrastadas pela corrente de ar, produzindo assim o spray.
327
1.156 Asa de Avião
Objetivos
Construir um modelo de uma asa de avião e verificar os fatores de sus-
tentação.
Materiais Utilizados
Papel, 2 pedaços de canudinho (grosso), arame, cola, fita adesiva, 1 seca-
dor de cabelo (ou ventilador), 1 tesoura.
Montagem e Procedimento
Corte o papel e cole suas extremidades de modo a formar uma asa, o cha-
mado aerofólio. Com a ponta da tesoura faça 2 furos e encaixe os canudinhos.
Introduza o arame pelos canudinhos e faça uma estrutura de suporte para a
asa que a permita deslizar na vertical, como na Fig.(1.176).
Figura 1.176: Asa de Avião.
Posicione essa estrutura na frente de um secador de cabelo (ou seme-
lhante) e observe como o aerofólio se sustenta na vertical. Varie o ângulo de
inclinação e acompanhe como a asa se comporta. Coloque a mão na frente e
interrompa várias vezes o fluxo de ar, de modo a simular uma turbulência.
328
Análise e Explicação
Para o ar poder contornar a asa é preciso que nele atue uma força perpen-
dicular à sua velocidade. Ao atingir a parte dianteira da asa o ar é desacele-
rado, gerando nesse local uma região de sobrepressão. A sustentação da asa
é devido à diferença de pressão existente entre a parede superior e inferior da
asa, sendo maior nesta última.
A inclinação da asa é fundamental para a existência da diferença de pres-
são e a consequente sustentação. O ar, ao ser forçado a contorná-la tende
a descer, sendo acelerado para baixo em ambos os lados. Por reação, a asa
tende a ser acelerada para cima, contrabalançando o peso do avião.
Quando o ângulo de inclinação da asa ultrapassar um certo valor crítico,
surge a turbulência e o ar que contorna a parte superior da asa se descola dela,
formando volumes de ar turbulento que gera instabilidade e menor sustenta-
ção.
Existem diversos formatos de asas, mas todos tem o estilo semelhante ao
deste experimento. A parte da frente do aerofólio é chamada de bordo de
ataque e a parte traseira de bordo de fuga. A posição do nariz do aerofólio,
para cima ou para baixo da asa, é o chamado ângulo de ataque, que é o ângulo
entre a linha reta que liga as partes da frente e de trás do aerofólio, e a direção
do movimento do ar relativa ao aerofólio.
A seguir mostraremos que é mais fácil explicar a sustentação se partirmos
das leis de Newton ao invés do princípio de Bernoulli. Mostraremos também
que a explicação que mais comumente nos é ensinada é, no mínimo enganosa,
e que a sustentação é devido ao fato que a asa desvia o ar para baixo. A maior
parte deste ar desviado é puxada da parte de cima da asa.
A terceira lei de Newton afirma que para cada ação há uma reação igual
em magnitude, mas no sentido contrário. A fim de criar sustentação, a asa
precisa fazer algo com o ar. Aquilo que a asa faz com o ar é a ação, enquanto
a sustentação representa a reação.
A Fig.(1.177) mostra as linhas de corrente em torno de uma asa, da ma-
neira correta como elas realmente devem ser desenhadas.
O ar passa pela asa e é encurvado para baixo. A primeira lei de Newton
diz que deve haver uma força sobre o ar para encurvá-lo (a ação). A terceira
lei de Newton diz que deve haver uma força igual, mas em sentido contrário
329
Figura 1.177: Linhas de corrente em torno da asa.
(para cima) sobre a asa (reação). Para poder criar uma sustentação, a asa
precisa desviar uma grande quantidade de ar para baixo.
Uma outra maneira de expressar a lei de Newton é dizendo que a susten-
tação de uma asa é proporcional à quantidade de ar que está sendo desviada
para baixo multiplicado pela velocidade vertical da mesma. Portanto, para
conseguir um empuxo maior a asa, ou tem que deslocar mais ar para baixo
ou aumentar a velocidade vertical. Quanto maior o ângulo de ataque50 da asa
maior a velocidade vertical do ar. Do mesmo modo, para um ângulo de ata-
que fixo, quando maior a velocidade da aeronave maiora velocidade vertical
do ar. Tanto o aumento do ângulo de ataque quanto o aumento da velocidade
do avião fazem aumentar a intensidade da componente vertical para baixo da
velocidade. É esta velocidade vertical que dá à asa sua sustentação.
Como, então, a asa desvia tanto ar? Quando o ar se curva ao redor do
topo da asa, ele puxa o ar acima dele acelerando-o para baixo (caso contrário
haveria lacunas no ar acima da asa). Isto faz com que a pressão do ar acima
da asa se torne menor. A aceleração do ar acima da asa para baixo é que cria
a sustentação.
Esta tendência dos fluidos de acompanharem uma superfície curva é co-
nhecida como efeito Coanda. Então, por que o fluido acompanha o perfil da
superfície? Isso ocorre devido à viscosidade, que é a resistência ao escoa-
mento que também faz com que o ar tenha certa aderência. A viscosidade do
ar é pequena, mas o suficiente para fazê-lo se grudar na superfície.
50A sustentação diminui tipicamente a partir de um ângulo crítico de 15°. As forças neces-
sárias para encurvar o fluxo de ar em ângulos tão íngremes são maiores que a viscosidade do
ar pode suportar, e o ar começa a se desprender da asa. Esta separação entre o fluxo de ar e a
parte superior da asa é o chamado estol.
330
E como explicar a sustentação de um avião que faz um vôo invertido
(avião virado para baixo)? Não há qualquer problema nisso. O avião simples-
mente ajusta o ângulo de ataque da asa invertida para conseguir a sustentação
necessária.
331
1.157 Estreitamento de um Filete de Água
Objetivo
Verificar o estreitamento de um jato de água e apresentar a equação da
continuidade.
Materiais Utilizados
1 torneira de água (em funcionamento).
Montagem e Procedimento
Abra uma torneira de água é observe o formato do jato formado. Por que
o jato corrente de água (solta lentamente) de uma torneira vai se estreitando
à medida que cai, como na Fig.(1.178)?
Figura 1.178: Estreitamento de um filete de água.
332
Análise e Explicação
Considere um tubo cilindrico de área de seção transversal (A), pelo qual
passa um fluído. Define-se a vazão do fluído ou fluxo (Φ), o volume de fluído
∆V que passa pela seção A num intervalo de tempo ∆t:
Φ = ∆V∆t
Supondo que a área A permanece constante, o volume ∆V pode ser dado
como a quantidade de fluído que percorre uma distância ∆x no condutor no
intervalo de tempo ∆t. Pode-se escrever Φ como:
Φ = A∆x∆t
Sendo que ∆x/∆t = v, vem que:
Φ = Av (1.171)
O fluxo (Φ) é proporcional à área de seção transversal (A) do condutor e a
velocidade (v) de escoamento do fluído.
Imagine agora um condutor no qual a área da seção transversal não é
constante. Suponha duas áreas de seção transversal, A1 e A2, de modo que
A1 > A2. Sendo que o volume do fluído que passa por A1 é o mesmo que
passa por A2, bem como pelas demais seções do tubo, tem-se que:
Φ1 = Φ2 (1.172)
Relacionando (1.171) e (1.172) obtem-se a equação da continuidade:
A1v1 = A2v2
a qual também pode ser escrita como:
Av = k
onde k é uma constante.
A equação da continuidade mostra que a área de seção transversal do
condutor é inversamente proporcional à velocidade de escoamento do fluído,
333
de modo que o produto das duas deve permanecer constante. No caso da água
caindo, sua velocidade aumenta durante a queda e isso faz com que sua área
diminua, estreitando o jato.
Caso semelhante ocorre quando tem-se uma mangueira que está jorrando
água. Ao tapar com o dedo parcialmente a sua saída, a velocidade da água
aumenta.
334
1.158 Líquido em Rotação
Objetivo
Examinar o formato de um líquido contido num recipiente em movimento
de rotação.
Materiais Utilizados
1 cilindro transparente (1 garrafa PET, por exemplo), um sistema que
provoque rotação51, água.
Montagem e Procedimento
Despeje água no cilindro e coloque o conjunto em rotação. Observe a
curva formada pelo nível da água, como representado na Fig.(1.179).
Figura 1.179: Líquido em rotação.
51Aqui pode-se usar um sistema acoplado a qualquer motor elétrico, ou simplesmente pen-
durar a garrafa PET por 2 cordinhas e torcê-las, de modo que ela gire por um certo tempo
depois de solta.
335
Análise e Explicação
Quando um recipiente cilíndrico contendo um líquido é posto em rota-
ção ao redor do seu eixo, a superfície de um líquido adquire a forma de um
parabolóide.
A equação de descreve a curvatura do líquido vem da equação de Ber-
noulli:
p+ 12ρv
2 + ρgh = k (1.173)
onde p é a pressão, ρ a densidade, v a velocidade, g a aceleração da gravidade,
h a altura e k uma constante. Sendo v = ωr e considerando que h está
orientada para cima, bem como que g age verticalmente para baixo, pode-se
escrever (1.173) como:
p+ 12ρω
2r2 − ρgh = k (1.174)
Tomando a origem no ponto da superfície livre situado sobre o eixo de
rotação, pode-se fazer r = 0, h = 0 e p = p0, onde p0 é a pressão atmos-
férica. Levando esses dados em (1.174) encontra-se o valor da constante k
como sendo:
p0 = k (1.175)
Relacionando (1.175) com (1.174) tem-se:
p− p0 + 12ρω
2r2 − ρgh = 0 (1.176)
Sendo que em toda a superfície livre do líquido, a qual define a curva, p = p0,
a partir de (1.176) vem que:
h = ω
2
2g r
2
que é uma função de segundo grau (variável r). Posta a girar em torno do
seu eixo vertical uma parábola origina o chamado parabolóide de revolução.
Quanto maior o valor de ω, mais acentuada é a concavidade do líquido.
336
1.159 Efeito Magnus
Objetivo
Verificar e analisar o efeito Magnus.
Materiais Utilizados
1 bola de futebol.
Montagem e Procedimento
Chute uma bola com o lado de fora do pé. Verifique que a mesma não
segue simplesmente uma trajetória retilínea (no plano vertical), mas acaba
sofrendo um desvio para um dos lados. Por que isso ocorre?
Análise e Explicação
O que ocorre neste experimento é o efeito Magnus, nome dado em home-
nagem ao alemão Heinrich Magnus, que analisou e descreveu o comporta-
mento de um corpo dotado de movimento de rotação e translação no interior
de um fluido.
Se uma esfera é lançada ao ar, de modo a possuir apenas movimento
de translação, ela descreve uma trajetória retilínea. No entanto, se a esfera
possuir movimento de translação e de rotação, ela descreve uma trajetória
curvilínea. Isso ocorre devido as alterações das linhas de corrente de ar ao
redor da esfera. Num dos lados da esfera as velocidades de escoamento do
ar relativa á rotação e a translação têm o mesmo sentido, e no outro lado,
sentidos opostos, o que faz com que as velocidades resultantes nos dois lados
sejam diferentes. Onde a velocidade é menor, a pressão é maior, e a bola
desvia sua trajetória para esse lado, no mesmo sentido da força resultante,
originada pela diferença de pressão.
Vamos fazer uma análise mais detalhada disso. Seja uma bola chutada
de forma a girar no sentido horário, de modo que ela descreva uma trajetória
desviada para a direita. Na Fig.(1.180) temos a representação dos vetores
velocidades nos dois lados da bola.
337
Figura 1.180: Componentes de velocidades numa bola em rotação em sentido ho-
rário.
Seja −~v0 a velocidade de translação da bola em relação ao ar. Pode-se
considerar a bola em repouso e o ar passando por ela com velocidade ~v0. Em
relação a um referencial ligado ao centro da bola as velocidades das partícu-
las do ar nas proximidades dos pontos A e B são, respectivamente, −~v1 e
~v1. Estas velocidades são impostas às partículas do ar vizinhas á bola devido
ao arrastamento provocado por seu movimento de rotação, e podem ser cal-
culadas pela relação v = ωr, onde ω e r são, respectivamente, a velocidade
angular e o raio da bola.
Considerando v0 > v1 tem-se que na vizinhança dos pontos A e B o ar
tem, em relação à bola, velocidades dadas por:
vA = v0 − v1 (1.177)
vB = v0 + v1 (1.178)
donde conclui-se que:
vB > vA
Dessa forma, de acordo com o teoremade Bernoulli:
pA +
ρv2A
2 = pB +
ρv2B
2
se vB > vA, vem que pB < pA. Por isso, a bola recebe na região do ponto
A forças de pressão mais intensas do que no ponto B, o que faz com que sua
338
trajetória seja desviada para a direita. Esse desvio se acentua mais quando
aumenta-se a velocidade angular ω. De acordo com a relação v1 = ωr, sendo
r constante, aumentando-se ω aumenta-se v1, o que contribui para a diferença
nos valores de vA e vB , de acordo com as relações (1.177) e (1.178).
339
340
REFERÊNCIAS
1. AGUIAR, C. E.; PEREIRA, M. M.. O Computador como Cronômetro.
Revista Brasileira de Ensino de Física. v.34, n.3, 2012.
2. ANDERSON, David; EBERHARDT, Scott. Como os Aviões Voam:
uma Descrição Física do Vôo. Física na Escola. v.7, n.2, p.43-51,
2006.
3. ARAÚJO, Mauro S. T. de; ABIB, Maria L. dos S.. Atividades Expe-
rimentais no Ensino de Física: Diferentes Enfoques, Diferentes Fina-
lidades. Revista Brasileira de Ensino de Física. v.27, n.2, p.176-194,
julho de 2003.
4. ASSIS, André K. T.. Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da
Alavanca. Quebec H2W 2B2, Canadá: Apeiron Montreal, 2008.
5. AXT, Rolando; BONADIMAN, Helio; SILVEIRA, Fernando L. da. O
Uso de Espirais de Encadernação como Molas. Revista Brasileira de
Ensino de Física. v.27, n.4, p.593-597, 2005.
6. BARBOSA, Luis H.; MORA, Cesar E.; TALERO, Paco H.; ORGA-
NISTA, José O.. El Soprador Mágico: un experimento discrepante en
ele aprendizaje de la ley de presión hidrodinámica de Bernoulli. Re-
vista Brasileira de Ensino de Física. v.33, n.4, 2011.
7. BERKES, Istvan. A Física do Quotidiano. Tradução de Florbela Fer-
nandes. 1ª ed. Lisboa: Gradiva, 1992.
341
8. BISCUOLA, Gualter J.; BÔAS, Newton V.; DOCA, Ricardo H.. Fí-
sica. v.1. 1ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
9. BORESI, Arthur P.; SCHMIDT, Richard J.. Dinâmica. Tradução de
Joaquim P. N. da Silva. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
10. BORESI, Arthur P.; SCHMIDT, Richard J.. Estática. Tradução de Luis
F. de C. Paiva. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
11. BORGES, A. Tarciso. Novos Rumos para o Laboratório Escolar de
Ciências. Caderno Brasileiro de Ensino de Física. v.19, n.3, p.291-
313, dezembro de 2002.
12. BRUNETTI, Franco. Mecânica dos Fluídos. São Paulo: Pearson Pren-
tice Hall, 2005.
13. CAMPOS, Agostinho A. G.; ALVES, Elmo S.; SPEZIALI, Nivaldo L..
Física Experimental Básica na Universidade. 2ª ed. Belo Horizonte:
Editora UFMG, 2008.
14. CARDOSO, Henrique B; MENDES FILHO, Josué. Improvisando den-
tro da Sala de Aula. Física na Escola. v.3, n.2, p.05-06, 2002.
15. CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. Física. v.único. 2ª ed.
São Paulo: Moderna, 2003.
16. CATELLI, Francisco; KOLTZ, Alex. Constante Elástica de uma Mola
Submetida ao Próprio Peso. Física na Escola. v.9, n.1, p.33-36, 2008.
17. CERQUEIRA, Francklin E. M.. Ensino Interativo de Física: ativida-
des experimentais para ensinar física. 2004. Disponível em: www.
leduc.com.br/gratis/docs/livro_fisica.pdf. Acesso
em 10/10/2011.
18. CHESMAN, C.; SALVADOR, C.; DE SOUSA, E.; ALBINO JR., A..
Colisão Elástica: um experimento didático e lúdico. Física na Escola.
v.6, n.2, p.23-25, 2005.
342
19. CIVIDINI, Cleison C. Centro de Gravidade. Disciplina de Instrumen-
talização para o Ensino de Física I. Curso de Licenciatura em Física.
Centro Universitário Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR,
2006.
20. CIVIDINI, Cleison C. Efeito de Pressão Menor que a Atmosférica.
Disciplina de Instrumentalização para o Ensino de Física I. Curso de
Licenciatura em Física. Centro Universitário Diocesano do Sudoeste
do Paraná, Palmas, PR, 2006.
21. CORRADI, W.; VIEIRA, S. L. A.; TÁRSIA, R. D.; BALZUWEIT,
K.; FONSECA, L.; OLIVEIRA, W. S. de. Física Experimental. Belo
Horizonte: Editora UFMG, 2008.
22. COUTO, Francisco P.. Atividades Experimentais em Aulas de Física:
repercussões na motivação dos estudantes, na dialogia e nos proces-
sos de modelagem. Dissertação (Mestrado em Educação). Faculdade
de Educação, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Belo
Horizonte, 2009.
23. CRUZ, Roque; LEITE, Sergio; CARVALHO, Cassiano de. Experi-
mento de Física em Microescala. v.1. São Paulo: Scipione, 1997.
24. DELIZOICOV, Demétrio; ANGOTTI, José A.; PERNAMBUCO, Marta
M.. Ensino de Ciências: Fundamentos e Métodos. 3ª ed. São Paulo:
Cortez, 2009.
25. DIAS, Marco; AMORIM, Helio de; BARROS, Susana. Produção de
Fotografias Estroboscópicas sem Lâmpada Estroboscópica. Caderno
Brasileiro de Ensino de Física. v.26, n.3, p.492-513, dezembro de
2009.
26. EASTLAKE, Charles N.. A Visão de um Engenheiro Aeronáutico acerca
da Sustentação, Bernoulli e Newton. Física na Escola. v.7, n.2, p.52-
57, 2006.
27. FELTRE, Ricardo. Química. v.1 e v.2. 6ª ed. São Paulo: Moderna,
2004.
343
28. FERNANDES, Bruno; SANTOS, Wilma; DIAS, Penha. Onde está o
Atrito? Discussão de dois Experimentos que Exemplificam a Lei de
Inércia. Física na Escola. v.6, n.2, p.17-19, 2005.
29. FERREIRA, Raphael; SANTOS, Wilma; DIAS, Penha. Construção
do Conceito de Momento de uma Força a partir de Experimentos Re-
lacionados ao Cotidiano. Física na Escola. v.9, n.1, p.37-39, 2008.
30. FIGUEROA, D.; GUTIERREZ, G. Demostraciones de Física: ele-
mento motivador en la formación del docente. Revista Brasileira de
Ensino de Física. v.14, n.4, p.253-256, 1992.
31. GASPAR, Alberto. Física. v. único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2008.
32. GASPAR, Alberto. Experiências de Ciências para o Ensino Funda-
mental. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2009.
33. GASPAR, Alberto. Compreendendo a Física. v.1. São Paulo: Ática,
2010.
34. GIORDAN, M. O Papel da Experimentação no Ensino de Ciências.
Química Nova na Escola. n°10, Novembro de 1999.
35. GONÇALVES FILHO, Aurélio; TOSCANO, Carlos. Física e Reali-
dade. v.1. 1ª ed. São Paulo: Scipione, 2011.
36. GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física. Leituras de Fí-
sica. v.1. São Paulo: Edusp, 1998.
37. GUIMARÃES, Luciana R.. Atividades para Aulas de Ciências: ensino
fundamental, 6º ao 9º ano. 1ª ed. São Paulo: Nova Espiral, 2009.
38. JESUS, V. L. B. de; MACEDO JUNIOR, M. A. V.. Uma Discussão
sobre Hidrodinâmica Utilizando Garrafas PET. Revista Brasileira de
Ensino de Física. v.33, n.1, 2011.
39. JURAITIS, Klememsas R.; DOMICIANO, João B.. Introdução ao
Laboratório de Física Experimental: métodos de obtenção, registro
e análise de dados experimentais. Londrina: EDUEL, 2009.
344
40. LABURÚ, Carlos E.; SILVA, Osmar da. Determinação da Pressão
Interna de Lâmpada Fluorescentes (um Experimento de Baixo Custo).
Caderno Brasileiro de Ensino de Física. v.21, p.249-257, Agosto de
2004.
41. LABURÚ, Carlos E.; TREVISAN, Fabrícia. Fumaça Sobe ou Desce?
Física na Escola. v.4, n.2, 2003.
42. LABURÚ, Carlos E.. Seleção de Experimentos de Física no Ensino
Médio: uma Investigação a partir da Fala de Professores. Investigação
em Ensino de Ciências. v.10(2), p. 161-178, 2005.
43. LOPES, Wilson. Velocidade de Escoamento Horizontal de Água por
um Condutor. Caderno Brasileiro de Ensino de Física. v.27, n.2, p.385-
393, agosto de 2010.
44. LUNAZZI, José. Corpos no Interior de um Recipiente Fechado e
Transparente em Queda Livre. Caderno Brasileiro de Ensino de Fí-
sica. v.24, n.3, p.319-325, dezembro de 2007.
45. MANUAL de Atividades Práticas. Física e Ciências. 4ª ed. Autolabor
Soluções Inteligentes, 2006.
46. MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Física - Ensino Médio.
v.1. São Paulo: Scipione, 2008.
47. MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. v.1.
São Paulo: Scipione, 2010.
48. MEDEIROS, Alexandre; MEDEIROS, Cleide F. de. Desvendando o
Mistério do Duplo Cone. Revista Brasileira de Ensino de Física. v.25,
n.3, 2003.
49. MENDES, Paulo. Física Experimental: como realizar experiências
em física. Coimbra: Universidade de Coimbra, 1998.
50. MOSSMANN, V. L. da F.; CATELI, K. B.; LIBARDI,H.; DAMO,
I. S.. Determinação dos Coeficientes de Atrito Estático e Cinético
345
Utilizando-se a Aquisição Automática de Dados. Revista Brasileira
de Ensino de Física. v.24, n.2, p.146-149, 2002.
51. PARÂMETROS Curriculares Nacionais (PCNs). Ensino Médio. Bra-
sília: Ministério da Educação, 1999.
52. PENTEADO, Paulo C. M.; TORRES, Carlos M. A.. Física - Ciência
e Tecnologia. v.1. São Paulo: Moderna, 2005.
53. PERUZZO, Francisco; CANTO, Eduardo do. Química na Abordagem
do Cotidiano. v.1 e v.2. 4ª ed. São Paulo: Moderna, 2010.
54. PERUZZO, Jucimar. Densidade de Líquidos com Base na Densidade
da Água. Disciplina de Instrumentalização para o Ensino de Física I.
Curso de Licenciatura em Física. Centro Universitário Diocesano do
Sudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2006.
55. PERUZZO, Jucimar; CIVIDINI, Cleison C.. Composição e Decom-
posição de Forças. Disciplina de Introdução à Física Experimental.
Curso de Licenciatura em Física. Centro Universitário Diocesano do
Sudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2004.
56. PERUZZO, Jucimar; CIVIDINI, Cleison C.. Movimento Bidimensi-
onal: Lançamento de Projéteis na Horizontal. Disciplina de Física
Experimental I. Curso de Licenciatura em Física. Centro Universitário
Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2004.
57. PERUZZO, Jucimar; CIVIDINI, Cleison C.. Trabalho de uma Mola.
Disciplina de Física Experimental I. Curso de Licenciatura em Física.
Centro Universitário Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR,
2004.
58. PERUZZO, Jucimar; SANTOS, Muriel C. dos; CENCI, Rejane; CI-
VIDINI, Cleison C.. Densidade de Sólidos e Líquidos. Disciplina de
Física Experimental II. Curso de Licenciatura em Física. Centro Uni-
versitário Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2005.
346
59. PERUZZO, Jucimar. Determinação de g Através da Captação do Som
de Impacto de Corpos com o Solo. Caderno Brasileiro de Ensino de
Física. v.27, n.1, p.159-166, abril de 2010.
60. PIACENTINI, João J.. Introdução ao Laboratório de Física. Floria-
nópolis, SC: Editora da UFSC, 1998.
61. PIMENTEL, Jorge. Bic: Um Ludião que Funciona. Física na Escola.
v.7, n.1, p.34, 2006.
62. RAMALHO JR., Francisco; FERRARO, Nicolau G.; SOARES, Paulo
A. de T.. Os Fundamentos da Física. v.1. São Paulo: Moderna, 2003.
63. RESNICK, Robert; HALLIDAY, David; KRANE, Kenneth. Física.
v.1. Tradução de P. M. C. L. Pacheco, L. de S. Xavier, P. P Kenedi e
M. A. Savi. 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
64. RICETTI, Rodrigo. Construindo um Densímetro. Revista Brasileira de
Ensino de Física. v.24, n.3, p.371-373, 2002.
65. SAMPAIO, José L.; CALÇADA, Caio S.. Universo da Física. v.1.
2ªed. São Paulo: Atual, 2005.
66. SANT’ANNA, Blaidi; MARTINI, Gloria; REIS, Hugo C.; SPINELLI,
Walter. Conexões com a Física. v.1. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2010.
67. SANTOS, Muriel C. dos. Demonstração da Primeira Lei de Newton e
da Força de Atrito Estático e Dinâmico. Disciplina de Instrumentaliza-
ção para o Ensino de Física I. Curso de Licenciatura em Física. Centro
Universitário Diocesano do Sudoeste do Paraná, Palmas, PR, 2006.
68. SEBASTIANY, Ana; DIEHL, Nan; HARRES, João; PIZZATO, Mi-
chelle. Construção de Três Dispositovos de Baixo Custo para o Es-
tudo do Movimento Circular Através da Transferência de Movimento.
Física na Escola. v.10, n.2, p.25-28, 2009.
69. SERWAY, Raymond. Física Para Cientistas e Engenheiros. v.1. 3ªed.
Rio de Janeiro: LTC, 1996.
347
70. SILVA, Claudio X. da; BARRETO FILHO, Benigno. Física: Aula por
Aula. v.1. São Paulo: FTD, 2010.
71. SILVEIRA, Fernando L. da; LEVIN, Yan. Pressão e Volume em Balões
de Festas: podemos confiar em nossa intuição. Caderno Brasileiro de
Ensino de Física. v.21, n.3, dezembro de 2004.
72. SILVEIRA, Fernando L. da; AXT, Rolando. Podem Molas em Queda
Livre ter Aceleração Maior do que a da Gravidade. Física na Escola.
v.6, n.2, p.05-07, 2005.
73. SILVEIRA, Fernando L. da. Inclinação das Ruas e das Estradas. Fí-
sica na Escola. v.8, n.2, p.16-18, 2007.
74. SILVEIRA, Fernando L. da; MEDEIROS, Alexandre. O Paradoxo Hi-
drostático de Galileu e a Lei de Arquimedes. Caderno Brasileiro de
Ensino de Física. v.26, n.2, p.273-294, agosto de 2009.
75. SILVEIRA, Fernando L. da; BRAUN, Luci F. M.; BRAUN, Thomas.
Colisão com o "Efeito Estilingue". Revista Brasileira de Ensino de
Física. v.32, n.3, 2010.
76. SISMANOGLU, B. N.; GERMANO, J. S. E.; CAETANO, R.. A Utili-
zação da Filmadora Digital para o Estudo do Movimento dos Corpos.
Revista Brasileira de Ensino de Física. v.31, n.1, 2009.
77. STUCHI, Adriano. Sugestão de Experimento para a Verificação da
Troca de Calor por Convecção. Física na Escola. v.4, n.1, p.15-16,
2003.
78. SOUZA, J. A. de. Um Foguete de Garrafa PET. Física na Escola. v.8,
n.2, 2007.
79. TORRES, Carlos M. A.; FERRARO, Nicolau G.; SOARES, Paulo A.
de T.. Física: Ciência e Tecnologia. v.1. 1ª ed. São Paulo: Moderna,
2010.
80. UENO, Paulo. Física. v.único. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2005.
348
81. VALADARES, Eduardo de C.; MATEUS, Alfredo L.. Aerodescober-
tas. Física na Escola. v.7, n.2, p.61-65, 2006.
82. VALADARES, Eduardo de C.. Física Mais que Divertida: inventos
eletrizantes baseados em materiais reciclados e de baixo custo. 3ª ed.
Belo Horizonte: Editora UFMG, 2012.
83. VERTCHENKO, Lev; DICKMAN, Adriana; FERREIRA, José. Trans-
ferência de Fluído por meio de um Sifão vs. Aplicação da Equação de
Bernoulli. Revista Brasileira de Ensino de Física. v.31, n.3, 2009.
84. VIOLIN, A. G. Atividades Experimentais no Ensino de Física de 1º
e 2º graus. Revista Brasileira de Ensino de Física. v.1, n.12, p.1-24,
1979.
85. WALKER, Jearl. O Grande Circo da Física. Tradução de Jorge A.
Valadares. 2ª ed. Lisboa: Gradiva, 2001.
86. WHITE, Franck M.. Fluid Mechanics. 4ª ed. Boston: McGraw-Hill,
1998.
87. YAMAMOTO, Kazuhito; FUKE, Luiz F.. Física para o Ensino Médio.
v.1. 1ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
88. Baú de Ciências. www.fsc.ufsc.br/baudeciencias. Acesso
entre 01/03/2012 e 10/03/2012.
89. Ciência à Mão - Portal de Ensino de Ciências. www.cienciamao.
usp.br. Acesso entre 01/06/2011 e 15/06/2011.
90. Experimentoteca-Ludoteca. www.ludoteca.if.usp.br. Acesso
entre 10/11/2010 e 15/12/2010.
91. Experimentos de Física. www.fc.unesp.br/experimentosdefisica/.
Acesso entre 10/11/2010 e 15/12/2010.
92. Feira de Ciências. www.feiradeciencias.com.br. Acesso en-
tre 10/11/2010 e 15/12/2010.
349
93. Mago da Física. www.magodafisica.com. Acesso entre 01/06/2011
e 15/06/2011.
94. Sala de Física. www.saladefisica.cjb.net. Acesso entre 10/11/2010
e 15/12/2010.
95. Seara da Ciência. www.seara.ufc.br. Acesso entre 10/11/2010 e
15/12/2010.
350
Índice Remissivo
água que não cai, 236
área, 6, 149, 151, 266
área de contato, 92
ângulo de lançamento, 49
iceberg, 286
looping vertical, 115, 161
spray, 326
ação e reação, 60, 62, 63
aceleração, 18, 32, 78
aceleração centrípeta, 74
aceleração da gravidade, 35, 37
aceleração relativa, 27
aceleração vertical, 65
alavanca inter-resistente, 125
alavanca interfixa, 123
alavanca interpotente, 127
alavancas, 123
alcance horizontal, 44, 187
algarismos significativos, 3, 6, 8
Aristóteles, 23, 52
Arquimedes, 138
asa de avião, 328
associação de molas, 70
associação de roldanas, 135
atrito, 80, 94, 174, 191
atrito dinâmico, 80, 82, 95
atrito e peso, 84
atrito estático, 80, 82, 86
atrito viscoso, 314
barco, 305, 306
Bernoulli, 315
blocos empilhados, 231
cadeira giratória, 177
canudinho de refresco, 263
capilaridade, 241, 243, 245
carretel, 121
centrífuga, 58
centro de equilíbrio, 224
centro de gravidade, 218
centro de massa, 206, 207, 214, 233
chafariz, 273
coeficiente de atrito, 80, 95, 229
coeficiente de restituição, 199
colisão elástica, 201
colisão inelástica, 201
colisões, 195
colisões de bolas, 198
compressão, 295
conservação da energia, 130, 157, 158,
161, 183351
conservação da quantidade de movi-
mento, 163, 168, 177, 183
constante elástica, 67, 72
corpo extenso, 207
Coulomb, 81
da Vinci, 81, 93, 176
decomposição de forças, 131, 144
decomposição de velocidades, 50
densímetro, 291
densidade, 6, 8, 147, 285, 310
densidade e empuxo, 287
descompressão, 295
direção tangente, 74
dissipação de energia, 174
duplo cone, 204
efeito Coanda, 254, 256
efeito estilingue, 198
efeito Magnus, 337
elevador hidráulico, 297
empuxo, 282, 303
energia cinética, 96, 156, 157, 160
energia de uma mola, 155
energia mecânica, 157, 184
energia potencial elástica, 155, 157
energia potencial gravitacional, 157,
160
equação da continuidade, 332
equilíbrio, 144, 208
equilíbrio de um martelo, 216
equilíbrio de uma pessoa, 220
equilíbrio de uma vassoura, 228
escoamento, 267
esvaziamento de uma lata, 277
figuras planas, 218
filete de água, 332
filetes de água, 252
flutuação de um ovo, 310
fluxo, 333
força, 78, 149, 151, 266
força centrífuga, 59
força centrípeta, 74, 109, 111, 113
força de adesão, 242
força de atrito, 80, 84, 89, 92, 229
força de coesão, 242, 251, 253
força de inércia, 59
força normal, 65, 80, 89, 229
força radial, 110
forças horizontais, 141
forças internas, 164, 214
frequência, 101
função horária, 18
funcionamento de um cd, 106
Galileu, 17, 20, 26, 32, 52
gangorra, 118
gelo, 286
grandezas físicas, 1
helicóptero, 175
imponderabilidade, 29
impulso, 193
impulso e força, 194
inércia, 52, 54, 56, 57, 191
inclinação de estradas, 179
inclinação e equilíbrio, 202
independência das massas, 21, 22
independência das trajetórias, 25
352
João bobo, 222
João teimoso, 222
líquido em rotação, 335
lançador de projéteis, 49
lançador horizontal, 186
lançamento horizontal, 44, 46
lançamento oblíquo, 45, 50
lei da inércia, 52, 54, 56, 57, 74
lei de ação e reação, 60, 62, 63
lei de Hook, 67, 72
lei de Stevin, 258, 261
lei de Stokes, 314
leis de Newton, 229
ludião, 308
macaco de automóvel, 129
macaco hidráulico, 300
Magnus, 337
manômetro, 293
mangueira enrolada, 280
massa, 65, 78, 147
massa de um automóvel, 153
massa específica, 148
MCU, 107
medidas físicas, 1
mola, 67, 70, 155
momento angular, 177
momento de inércia, 177, 217
movimento circular, 73, 100, 107
movimento de rotação, 174
movimento de translação, 210
movimento de um helicóptero, 175
movimento do centro de massa, 210
movimento retilíneo, 11, 16
movimento uniforme, 11
movimento uniformemente variado, 16
MRU, 11, 14
MRUV, 16
multiplicação da força de atrito, 94
Newton, 184
oscilação do balanço, 233
pássaro equilibrista, 226
pêndulo de Newton, 183
parábola, 17
paradoxo, 284
período, 101
peso, 65, 142
peso aparente, 65
peso do ar, 284
peso do fluído deslocado, 283
plano inclinado, 131
posição, 11
pregando um prego, 189
pressão, 149, 151, 266
pressão atmosférica, 237, 262, 265
pressão dos pneus, 153
pressão e profundidade, 257
principio de Bernoulli, 315, 329
principio de independência de movi-
mento, 26
principio de Pascal, 298
principio fundamental da dinâmica, 78
quantidade de movimento angular, 168,
170, 172, 173, 177
quantidade de movimento linear, 163,
166, 191
353
queda livre, 19, 21, 22, 25, 31
rapidez de um golpe, 196
reação normal, 65
redução da tensão superficial, 250
relatividade das trajetórias, 42
resistência do ar, 23
rodas acopladas, 103
rodas dentadas, 103
roldana fixa, 133
roldanas móveis, 135
salto em altura, 206
seguindo pela tangente, 76
segunda lei de Newton, 192
segurando água, 240
sifão, 269
sifão automático, 271
sistema massa-mola, 157
submarino, 308
sustentação de um avião, 328
talha exponencial, 137
tempo de interação, 195
tempo de queda, 40
tensão superficial, 246
tensão superficial e detergente, 248
teorema da energia cinética, 96
teorema de Bernoulli, 318, 338
teorema do trabalho-energia, 156
terceira lei de Newton, 62, 64, 303,
329
torque, 118, 216
trabalho, 96, 130, 155
trabalho de uma mola, 155
vácuo, 32, 266
vantagem mecânica, 129
vaso de tântalo, 275
vaso mágico, 275
vasos comunicantes, 261
vassoura, 228
vazão, 333
velocidade, 10
velocidade angular, 100, 106, 177
velocidade e pressão, 319, 320, 322
velocidade linear, 100, 106
velocidade média, 10
viscosidade, 312
volume, 6, 147
354
	MECÂNICA
	Introdução às Medidas Físicas
	Algarismos Significativos 1
	Algarismos Significativos 2
	Algarismos Significativos 3
	Velocidade Média
	MRU 1
	MRU 2
	MRUV
	Queda Livre 1
	Queda Livre 2
	Queda Livre 3
	Queda Livre e Resistência do Ar
	Independência das Trajetórias
	Aceleração Relativa
	Imponderabilidade da Queda Livre
	Espaço em Função do Tempo em Queda Livre
	Determinando a Aceleração da Gravidade
	Velocidade Inicial de uma Bola
	Tempo de Queda
	Relatividade das Trajetórias
	Lançamento Horizontal 1
	Lançamento Horizontal 2
	Lançador de Projéteis, Ângulo e Alcance
	Lei da Inércia 1
	Lei da Inércia 2
	Lei da Inércia 3
	Lei da Inércia 4
	Centrífuga
	Ação e Reação 1
	Ação e Reação 2
	Skate Movido à Ar
	Aceleração Vertical e Peso Aparente
	Lei de Hook
	Associação de Molas
	Forças no Movimento Circular
	Seguindo pela Tangente
	Principio Fundamental da Dinâmica
	Atrito e Movimento
	Atrito Estático e Dinâmico
	Força de Atrito e Peso
	Atrito Estático
	Força Normal e Força de Atrito
	Alterando a Força de Atrito
	Força de Atrito e Área de Contato
	Atrito entre Folhas
	Coeficiente de Atrito Dinâmico
	Coeficiente de Atrito de um Calçado
	Estudo do Movimento Circular
	Rodas Dentadas
	Funcionamento de um CD
	Força Centrípeta
	Força Centrípeta 2
	Força Centrípeta 3
	Looping vertical com um Copo de Água
	A Gangorra e o Torque
	Puxando um Carretel de Linha
	Alavanca Interfixa
	Alavanca Inter-resistente
	Alavanca Interpotente
	Vantagem Mecânica de um Macaco
	Decomposição de Forças
	Roldana Fixa
	Associação de Roldanas
	Talha Exponencial
	Sustentação Através de Forças Horizontais
	Equilíbrio e Decomposição de Forças
	Densidade
	Conceito de Pressão 1
	Conceito de Pressão 2
	Estimando a Massa de um Automóvel
	Trabalho e Energia numa Mola
	Conservação da Energia Mecânica 1
	Conservação da Energia Mecânica 2
	Looping Vertical e Conservação da Energia
	Quantidade de Movimento Linear 1
	Quantidade de Movimento Linear 2
	Quantidade de Movimento Linear 3
	Quantidade de Movimento Angular 1
	Quantidade de Movimento Angular 2
	Quantidade de Movimento Angular 3
	Quantidade de Movimento Angular 4
	Dissipação de Energia por Atrito
	Movimento de um Helicóptero
	Cadeira Giratória
	Inclinação de Estradas e Ruas
	Pêndulo de Newton
	Lançador Horizontal
	Pregando um Prego
	Inércia, Atrito e Quantidade de Movimento
	Impulso e Força
	Rapidez de um Golpe
	Efeito Estilingue
	Enclinação e Equilíbrio
	Duplo Cone Subindo a Rampa
	Salto em Altura e Centro de Massa
	Equilíbrio de um Corpo Extenso
	Equilíbrio Instável, Indiferente e Estável
	Movimento do Centro de Massa 1
	Movimento do Centro de Massa 2
	Forças Internas e Centro de Massa
	Equilíbrio de um Martelo
	Centro de Gravidade de Figuras Planas
	Equilíbrio de uma Pessoa
	O João Teimoso
	Centro de Equilíbrio
	Pássaro Equilibrista
	Centro de Gravidade de uma Vassoura
	O Problema dos Blocos Empilhados
	Amplitude de Oscilação e Centro de Massa
	A água que não Cai 1
	Água que Não Cai 2
	Segurando Água com uma Peneira
	Capilaridade 1
	Capilaridade 2
	Capilaridade 3
	Tensão Superficial
	Detergente e Tensão Superficial
	Redução da Tensão Superficial
	Forças de Coesão em um Líquido
	Entrelaçando 2 Filetes de Água
	Efeito Coanda 1
	Efeito Coanda 2
	Variação da Pressão com a Profundidade
	Vasos Comunicantes e Lei de Stevin
	Canudinho de Refresco
	Pressão Atmosférica
	Pressão e Escoamento
	Funcionamento de um Sifão
	Sifão Automático
	Chafariz
	Vaso de Tântalo
	Tempo de Esvaziamento de uma Lata
	Problema da Mangueira Enrolada
	Empuxo Exercidopor um Líquido
	O Paradoxo do Peso do Ar
	Analisando um Iceberg
	Densidade e Empuxo
	Empuxo e o Sobe e Desce de Esferas
	Construíndo um Densímetro
	Manômetro Simples
	Compressão e Descompressão
	Elevador Hidráulico
	Macaco Hidráulico
	A Balança e o Empuxo
	Por que o Barco não Afunda
	Barco, Carga e Nível da Água
	Ludião
	Fazendo um Ovo Flutuar
	Viscosidade de um Líquido
	Principio de Bernoulli
	Velocidade e Pressão 1
	Velocidade e Pressão 2
	Velocidade e Pressão 3
	Aproximando Garrafas
	Spray
	Asa de Avião
	Estreitamento de um Filete de Água
	Líquido em Rotação
	Efeito Magnus