AOL 3 Cálculo Vetorial 20212 B

Prévia do material em texto

Ocultar opções de resposta 
Pergunta 1 -- /1
Campos vetoriais podem ser entendidos como funções, com regras específicas, que associam dois conjuntos 
numéricos. Um campo vetorial em R squared associa um par ordenado a outro, já um campo vetorial em 
R cubed associa um terno ordenado a outro. Porém, as representações dos elementos do domínio e 
contradomínio não são as mesmas.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais, pode-se afirmar que o 
domínio, seja ele par ou terno ordenado, é representado como um ponto, e a imagem como um vetor, porque:
o domínio e o contradomínio são subconjuntos do mesmo espaço.
a associação dos elementos do domínio é unívoca.
os campos vetoriais são objetos físicos.
Resposta correta
é inconcebível a representação do gráfico das funções em R squared e 
R cubed .
os campos vetoriais são objetos matemáticos.
Pergunta 2 -- /1
O campo gradiente de uma função dá a noção de como essa, como um todo, varia. Por isso, é importante saber 
associar a função com seu respectivo gradiente. Essa visão geral de como a função varia é pautada em uma 
associação de cada ponto do domínio com um vetor.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de gradiente e da representação gráfica de 
campos vetoriais, associe os gradientes a seguir com os seus campos escalares:
1) 
2)
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_1_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_2_v1(1).png
Ocultar opções de resposta 
Ocultar opções de resposta 
3)
4)
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x y
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x squared minus y squared
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x plus y
( ) f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x squared plus y squared
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_3_v1(1).png
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão15_4_v1(1).png
Resposta correta1, 3, 4, 2.
2, 1, 3, 4.
3, 4, 1, 2.
1, 4, 3, 2.
2, 3, 1, 4.
Pergunta 3 -- /1
As operações com o operador nabla são todas análogas às operações feitas em vetores. Isto é, os produtos 
escalar e vetorial (entre vetores) e o produto entre um escalar e um vetor. O nabla é definido como 
nabla space equals space fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end 
fraction i plus fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction j plus 
fraction numerator partial differential over denominator partial differential z end fraction k
 , ou seja, como as derivadas parciais de uma dada função.
Considerando essas informações e os estudos sobre campos vetoriais, é correto afirmar que o operador nabla 
sozinho não tem significado porque:
Ocultar opções de resposta 
a derivada de vetor tem significado diferente do de uma função.
ele é um vetor.
o número de componentes é diferente das funções em que opera.
Resposta corretaele é apenas um operador, assim, só tem significado atuando em algum campo.
é possível somar as derivadas parciais.
Pergunta 4 -- /1
Um campo divergente de uma função vetorial é definido em termos das derivadas parciais dessa função, 
respeitando suas componentes x, y e z. Existe uma maneira algébrica de efetuar o cálculo desse divergente, 
porém, é possível compreender os resultados algébricos por meio de representações imagéticas, tal como a 
figura a seguir: 
Figura – Representação de um campo divergente
Considerando essas informações e a forma imagética de se compreender um divergente, afirma-se que a figura 
apresentada tem um campo divergente positivo porque:
Cálculo Vetorial_BQ03- Questão03_v1(1).png
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume são iguais.
Resposta correta
existem mais flechas saindo do que entrando no elemento de volume representado 
pela caixa.
existem mais flechas entrando do que entrando no elemento de volume representado pela caixa.
há uma distância visível entre algumas flechas que estão dentro do elemento de volume representado 
pela caixa.
a quantidade de flechas que entram e saem do elemento de volume é irrelevante.
Ocultar opções de resposta 
Pergunta 5
--
O gradiente é um operador que relaciona o campo escalar de várias variáveis com um campo vetorial. Dada a 
função f open parentheses x comma y comma z close parentheses , o gradiente é definido como 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals 
space f subscript x open parentheses x comma y comma z close parentheses space i space plus space f 
subscript y open parentheses x comma y comma z close parentheses j plus f subscript z open parentheses x 
comma y comma z close parentheses k
 , segundo sua definição algébrica.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de gradiente e campos vetoriais, analise as 
afirmativas a seguir.
I. Cada componente do campo vetorial gradiente corresponde à derivada parcial de 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses na respectiva direção.
II. O vetor gradiente em um ponto específico open parentheses x comma y comma z close parentheses
 represente a direção de menor variação da função 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses no ponto.
III. Um campo vetorial F open parentheses x comma y comma z close parentheses é dito conservativo quando 
existe uma função f open parentheses x comma y comma z close parentheses tal que 
F open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space nabla with rightwards arrow 
on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses
.
IV. Mesmo que uma função não seja diferenciável, é possível existir o campo gradiente.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e III.
I, III e IV.
I e II.
II e IV.
Resposta corretaI e III.
Pergunta 6 -- /1
Ocultar opções de resposta 
O campo divergente em R³ é definido na forma 
nabla times X with rightwards arrow on top space equals space fraction numerator partial differential A over 
denominator partial differential x end fraction plus fraction numerator partial differential B over denominator partial 
differential y end fraction plus fraction numerator partial differential C over denominator partial differential z end 
fraction
 , ou seja, é calculado a partir de um campo vetorial X with rightwards arrow on top . Desse modo, é 
necessário apenas conhecer os parâmetros desse campo vetorial X with rightwards arrow on top para que se 
efetue o cálculo do campo divergente nabla times X with rightwards arrow on top . Considere, portanto, o 
campo Vetorial 
X with rightwards arrow on top space equals space stack x i with rightwards arrow on top space plus space 
stack y j with rightwards arrow on top space plus space stack z k with rightwards arrow on top
.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campo divergente no R³, afirma-se que o campo 
divergente do vetor em questão é 3, porque:
o campo vetorial tem seu contradomínio em R³.
Resposta corretacada uma de suas derivadas parciais vale 1.
cada uma de suas derivadas parciais vale 2.
o campo é definido em R³.
o campo vetorial é ortonormal.
Pergunta 7 -- /1
O conhecimento da natureza de um objeto matemático permite uma manipulação algébrica desse objeto de 
forma mais precisa. No caso dos campos gradientes, divergentes e rotacionais, o conhecimento acerca de suas 
naturezas é fundamental para manipulá-los entre si. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca da natureza dos campos gradientes, 
divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s).
I. ( ) Um campo gradiente é um campo vetorial.
Ocultar opções de resposta 
Ocultar opções de resposta 
II. ( ) Um campo rotacional é um campo vetorial.
III. ( ) Um campo divergente é um campo vetorial.
IV. ( ) Um campo divergente em R³ é escrito naforma 
fraction numerator partial differential A over denominator partial differential x end fraction plus fraction 
numerator partial differential B over denominator partial differential y end fraction plus fraction numerator partial 
differential C over denominator partial differential z end fraction
.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, F, F.
V, F, V, F.
Resposta correta V, V, F, V.
V, V, F, F.
F, V, F, V.
Pergunta 8 -- /1
Existem inúmeras maneiras de se representar algebricamente objetos matemáticos, o que vale também para os 
campos gradientes, divergentes e rotacionais, nem sempre escritos com o operador diferencial nabla
 . Portanto, é fundamental conhecer as mais diversas formas de representação de modo a se reconhecer tais 
objetos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos gradientes, divergentes e rotacionais, 
pode-se afirmar que a expressão 
open parentheses fraction numerator partial differential over denominator partial differential x end fraction 
comma fraction numerator partial differential over denominator partial differential y end fraction comma fraction 
numerator partial differential over denominator partial differential z end fraction close parentheses times open 
parentheses A comma B comma C close parentheses
 refere-se ao cálculo de um divergente porque:
é outra forma de se representar nabla squared times X with rightwards arrow on top .
Resposta corretaé outra forma de se representar 
nabla space times space X with rightwards arrow on top .
é outra forma de se representar nabla open parentheses f close parentheses .
é outra forma de se representar open parentheses f close parentheses .
é outra forma de se representar nabla squared f .
Pergunta 9 -- /1
Para calcular o gradiente de uma função escalar, basta fazer as derivadas parciais da mesma. Esse campo 
escalar é definido a partir de um operador diferencial conhecido como operador nabla, que é escrito da seguinte 
forma:
nabla with rightwards arrow on top space equals open parentheses fraction numerator partial differential over 
denominator partial differential x end fraction comma fraction numerator partial differential over denominator 
partial differential y end fraction comma fraction numerator partial differential over denominator partial differential 
z end fraction close parentheses
 .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre gradiente, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space x squared y minus y cubed é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 2 x 
y i plus open parentheses x squared space minus space 3 y squared close parentheses j
.
II. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y close parentheses space equals space ln open parentheses x space plus 
space 2 y close parentheses
 é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y close parentheses space equals space 
fraction numerator 1 over denominator x plus 2 y end fraction i plus fraction numerator 2 over denominator x plus 
2 y end fraction
.
Ocultar opções de resposta 
III. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space x cos y over z é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals 
space cos y over z i minus x over z sin y over z j minus x over z squared sin y over z k
.
IV. ( ) O gradiente de 
f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals space square root of x squared plus 
y squared plus z squared end root
 é 
nabla with rightwards arrow on top f open parentheses x comma y comma z close parentheses space equals 
space fraction numerator 1 over denominator cube root of open parentheses x squared plus y squared plus z 
squared close parentheses squared end root end fraction open parentheses x i space plus space y j plus z k 
close parentheses
.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
V, V, F, V.
V, F, F, V.
F, F, V, F.
F, F, V, V.
Resposta corretaV, V, F, F.
Pergunta 10 -- /1
Identificar a natureza dos campos gradientes, divergentes e rotacionais é fundamental para que se estabeleçam 
relações entre eles. As naturezas desses campos podem ser escalares ou vetoriais, ou seja, depender de um 
valor numérico ou de um vetor para cada ponto de seu domínio.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de campos gradientes, divergentes e 
rotacionais, analise as afirmativas a seguir.
I. É possível o cálculo de um divergente de um campo rotacional.
II. É possível o cálculo de um rotacional de um campo divergente.
III. É possível calcular um divergente de um campo gradiente.
IV. É possível calcular um gradiente de um campo rotacional.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
I e II.
II e IV.
II, III e IV.
I, III e IV.
Resposta corretaI e III.