CAP II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01

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ECONOMIA DA ENGENHARIA
CAP II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Exercícios Resolvidos 01
Profº Msc, Antônio Carlos da F. Sarquis
sarquis@uva.br
Cel: 999790642
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Capitalização Composta
Exemplo 01: Quanto receberá de juros uma aplicação
financeira de US$ 50.000,00 pelo prazo de 35 dias, à taxa de
12% ao ano ?
Solução:
Admitindo um ano de 365 dias, calculamos a taxa diária 
equivalente e o rendimento auferido em 35 dias:
i dia = (1 + 0,12) 1/365 – 1 = 0,031054 % ao dia
O montante recebido será: F = 50.000.(1 + 0,00031054) 35
= 50.546,32 US$
Os juros serão: J = F – P = 546,32 US$
Capitalização Composta
Exercício 02: Calcular as taxas de juros mensal e
semestral equivalentes à taxa de 12% ao ano.
Solução:
Considerando que ocorrerão 12 capitalizações no prazo de 
um ano, a taxa mensal equivalente será: 
i mês = (1 + i ano) 1/12 – 1 = (1,12) 1/12 – 1 = 0,948879 % ao mês
A taxa semestral equivalente será: i sem = (1 + i ano) 1/2 – 1 = 
5,83 % ao semestre.
Capitalização Composta
Exercício 03: Em quanto tempo um investidor triplica seu 
capital se aplicá-lo à taxa de 3% a.m.?
Solução: 
3 . P = P . (1 + 0,03) n
ou Ln( 3 ) = n . Ln(1,03)
Daí: n = Ln( 3 ) / Ln( 1,03 ) 
Então: n = 37,167 meses ou 37 meses e 5 dias.
Exercício 04: 
Uma taxa de 80% a.a. equivalerá a qual taxa em 200 
dias? 
iq = ( 1 + it)q/t – 1 
i200 = ( 1 + 0,8)200/360 – 1 
i200 = ( 1,8)0,5556 – 1
i200 = 1,3862 – 1
i200 = 0,3862 = 38,62% 
Capitalização Composta
Capitalização Composta
Exercício 05: Ao resgatar um título, após 6 meses da
aplicação, o investidor recebeu R$ 25.083,86. Tendo sido
informado de que este montante incluía R$ 3.083,86
referentes aos juros creditados, deseja-se saber que taxa
anual de juros ganhou?
M = 25.083,86 J = 3.083,86 n = 6 meses 
ou 1 semestre ou ½ ano.
P = M - J = 25.083,86 - 3.083,86 = 22.000
25.083,86 = 22.000 (1 + i)½ ⇒ (1 + i)½ = 
(25.083,86/22.000) = 1,1401755
1 + i = (1,1401755)2 ⇒ 1 + i = 1,30 ou 
i = 30% a.a.
Capitalização Composta
Exercício 06: O preço de uma mercadoria é de R$ 2.000,00, sendo
financiada em até 3 meses, ou seja, o comprador tem 3 meses como
prazo-limite para efetuar o pagamento. Caso opte por pagar a vista, a
loja oferece um desconto de 10%. Sabendo-se que a taxa de
mercado é de 40% a.a., vale a pena comprar a prazo?
Devemos inicialmente descobrir que taxa está sendo
cobrada na operação; a seguir podemos compará-la com a
taxa de mercado.
P = 2.000 (1 - 0,10) = 1.800 ....valor à vista
M = 2.000
n = 3 meses ou 1/4 anos.
2.000= 1.800 (1 + i)1/4 ⇒ 1 + i = (2.000/1.800)4 =
1,5241579
i = 52,41 a.a.
A loja está, portanto, cobrando 52,41% ao ano, taxa
esta que é superior à de mercado (40% a.a.). Donde se
conclui que a melhor alternativa é comprar à vista.
Capitalização Composta
Exercício 07: Uma pessoa deve 3 prestações de R$ 3.500,00 a vencer
daqui a 1 mês, 2 meses e 3 meses, respectivamente. Se resolvesse
pagar a dívida com um único pagamento para 60 dias, qual seria o
valor desse pagamento considerando uma taxa de juros composta
de 12% a.m.?
0 1 2 3
RRR
X
R = $ 3.500
X = 3500 (1,12) + 3500 + 3500 => X = $ 10.545,00
(1,12)
Capitalização Composta
Exercício 08: 
Uma empresa prevê o pagamento de $ 2.000,00 daqui a um mês, $
3.000,00 daqui a dois meses e $ 5.000,00 daqui a três meses. Quanto
deverá aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% a.m., para
fazer frente a essas despesas, sobrando saldo nulo após o último
pagamento?
0 1 2 3
2000 3000 5000 O Valor a ser aplicado hoje 
é, por definição, o valor 
atual desse conjunto, ou 
seja:
01,9664
)015,1(
5000
)015,1(
3000
)015,1(
2000
32 =++=V
Capitalização Composta
Exercício 09: 
Uma importadora de máquinas pesadas para fábrica de tecidos vende
uma máquina nas seguintes condições: entrada de $ 1.000,00 mais
uma parcela de $ 1.200,00 após um mês. Uma fábrica de tecidos
propões pagar entrada de $ 600,00 mais duas prestações mensais e
iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja financia
a uma taxa de juros de 3% a.m., qual o valor de cada parcela, de modo
que as duas formas de pagamento sejam equivalentes?
0 1
1000 1200
0 1 2
600 Y Y
1ª forma de pagamento 2ª forma de pagamento
)03,1(
120010001 +=V )03,1()03,1(600 22
YYV ++=
Capitalização Composta
Como V1 = V2 teremos: 
)03,1(03,1
60005,11651000
2
YY
++=+
91,817$=Y
Capitalização Composta
Uma loja vende de 2 formas: à vista ou a prazo. Nesta 2ª opção, o
valor da compra tem um acréscimo de 40%, devendo o comprador
pagar uma entrada que representa 20% deste valor majorado, mais 2
prestações mensais iguais. Se o valor da compra for de R$ 20.000,00
e o valor das prestações R$ 10.580,00, qual será o juro cobrado pela
loja?
Exercício 10: 
Valor a vista = $ 20.000
A prazo = $ 28.000
VP = 28.000 – 5.600 = 22.400
28000 = 5600 + 10580 + 10.580
(1+i) (1+i)2
i = 30% a.m.
0 1 2
5600,00 10.580,00 10.580,00
28.000,00
Capitalização Composta
Exercício 11: 
Uma loja vende um equipamento por R$ 6.000,00 à vista, ou a
prazo em 3 pagamentos mensais de R$ 2.000,00 mais uma
entrada paga no ato. Se a taxa de juros composta cobrada pela
loja for de 7% a.m., qual deverá ser o valor da entrada
A vista = 6.000
I = 7%
VP = R + 2.000 + 2.000 + 2.000
(1 + i) (1 +i)2 (1 + i)3
R = 6.000 – ( 1867,16 + 1746,88 + 1632,60) 
R = $751,36
Capitalização Composta
Exercício 12: 
Uma loja permite pagamento em três prestações iguais.
Considerando-se que cada prestação é igual a um terço do valor à
vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada),
calcular a taxa de juros cobrada.
Capitalização Composta
Exercício 13: 
Um capital de $ 400,00 foi aplicado a juros simples por três meses,
a taxa de 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicação foi
aplicado a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, por um
bimestre.. Determine o total dos juros obtidos nessas duas
operações.
mesesn
aai
P
3
..%36
00,400$
=
=
=
Aplicação a juros simples:
mesesn
mai
P
3
..%3
00,400$
=
=
=
Convertendo as unidades de 
tempo para meses:
( )
55,6200,40055,462
55,462
003,0100,436
)1(2
%3
00,436
00,43600,3600,400
00,36$3003,000,400
2
=−→
=
+=
=
=
=
=+=
=××==
Juros
Mjc
Mjc
bimestremesesn
i
P
JC
Mjs
PinJ
Capitalização Composta
Capitalização Composta
Exercício 14: 
Uma pessoa aplicou 60% do seu capital na Financeira “X”, a 16% a.a.,
com capitalização trimestral. O restante aplicou na Financeira “Y”, a
18% a.a., com capitalização semestral. Depois de 3 anos, recebeu R$
20.177,58 de juros compostos da Financeira “Y”. Nessas condições,
determine o valor do juros que recebeu da Financeira “X”.
Financeira X Financeira Y
0,6 P 0,4P
I = 16% a.a. cap. trimestral I = 18% a.a. cap. semestral
I = 4% a.t. I = 9% a.s.
n = 12 trimestres n = 6 semestres
J = ? J = R$ 20.177,58
J = M - P
Capitalização Composta
Pede-se que seja calculado o juro produzido na Financeira “X”. Para
tanto, necessita-se saber o capital aplicado, e o caminho é encontrar
o capital a partir do juro produzido pela Financeira “Y”.
Considerando-se que J = M – P:
00,500.74$
4,067084,058,177.20
4,0)677100,1(4,058,177.20
4,0)09,01(4,058,177.20 6
RP
PP
PP
PP
=
−=
−=
−+=
Assim, o capital total que essa pessoa aplicou foi de R$ 74.500,00.
A partir desse valor, pode-se calcular o juro de 60% desse capital
aplicado na Financeira “X”.
Capitalização Composta
( )
14,866.26$
00,700.4414,566.71
14,566.71
04,0100,700.44
00,700.44$
00,500.746,06,0
12
RJx
Jx
PxMxJx
Mx
Mx
RPx
P
=
−=
−=
=
+=
=
×=
Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui
a quatro anos com o montante de uma aplicação financeira.
Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros
efetivas ganhas forem as seguintes:
a) 13% a.t. (ao trimestre)
b) 18% a.a. (ao ano)
c) 14% a.s. (ao semestre)
Exercício 15: 
Capitalização Composta
Capitalização Composta
Capitalização Composta
Exercício 16: 
Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de20% mais
dois pagamentos mensais consecutivos. Considerando-se que o
valor do primeiro pagamento é $180.000 e a taxa de juros efetiva
aplicada é de 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento
Capitalização Composta
Exercício 17: 
Uma empresa contraiu uma dívida, comprometendo-se a
saldá-la em dois pagamentos. Em primeiro de março de
2001, deveria ser paga a primeira parcela no valor de R$
3500,00. A segunda parcela, no valor de R$ 4500,00,
deveria ser paga seis meses após o pagamento da
primeira, ou seja, em primeiro de setembro de 2001.
Contudo, no vencimento da primeira parcela, não
dispondo de recursos, a empresa propôs uma
repactuação da dívida, com um novo esquema de
pagamentos. O esquema apresentado foi o de efetuar um
pagamento de R$ 5000,00 em primeiro de junho de 2001,
e pagar o restante em primeiro de dezembro de 2001. Se
a dívida foi contratada a uma taxa de juros compostos de
5% ao mês, determine o valor a ser pago em primeiro de
dezembro de 2001.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
R$ 4.500,00
DATA 
FOCAL
3500,00 X (1 + 0,05)6 + 4500,00 = 5000,00 X (1+ 0,05)3 + R/ (1 + 0,05)3
R = R$ 3.938,48
R$ 3.500,00
R$ 5.000,00
R
01/03
01/06
01/09
01/12
A data focal não altera a equivalência; assim, optamos pela data 
focal 6.
CÁLCULO DA EQUIVALÊNCIA DOS DOIS PLANOS DE PAGAMENTO NA DATA FOCAL 6
Capitalização Composta
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