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Soluc¸o˜es de exerc´ıcios selecionados
Soluc¸o˜es de exerc´ıcios selecionados
Aula 13 – Probabilidade Total e Teorema de Bayes
1. Eventos:
U : sair face 1 Q: sair face 4
D: sair face 2 C: sair face 5
T : sair face 3 S: sair face 6
(a) P (U) + P (D) + P (T ) + P (Q) + P (C) + P (S) = 1
P (U) + 2 · P (U) + 3 · P (U) + 4 · P (U) + 5 · P (U) + 6 · P (U) = 1
21 · P (U) = 1 ⇒ P (U) =
1
21
P (D) =
2
21
; P (T ) =
3
21
; P (Q) =
4
21
; P (C) =
5
21
; P (S) =
6
21
(b) A: sair nu´mero ı´mpar
P (A) = P (U∪T∪C) = P (U)+P (T )+P (C) =
1
21
+
3
21
+
5
21
=
9
21
(c) A: sair nu´mero ı´mpar
P (T |A) =
P (T ∩A)
P (A)
=
P (T )
P (A)
=
3
21
9
21
=
3
9
=
1
3
(d) B: sair nu´mero par
M : sair nu´mero maior que 3
P (B|M) =
P (B ∩M)
P (M)
=
P (Q ∪ S)
P (Q ∪ C ∪ S)
=
=
P (Q) + P (S)
P (Q) + P (C) + P (S)
=
4
21
+ 6
21
4
21
+ 5
21
+ 6
21
=
10
21
15
21
=
10
15
=
2
3
2. Eventos:
A: pessoa A completar o percurso
B: pessoa B completar o percurso
P (A) =
2
3
P (B) =
3
5
(a) P (A ∩ B) = P (A) · P (B) =
2
3
·
3
5
=
6
15
5
CEDERJ
Soluc¸o˜es de exerc´ıcios selecionados
(b) P (A ∪B) = 1− P
(
A ∩B
)
=
1−
[
P
(
A
)
· P
(
B
)]
=
1− [(1− P (A)) · (1− P (B))] =
1−
[(
1−
2
3
)
·
(
1−
3
5
)]
=
1−
[
1
3
·
2
5
]
= 1−
2
5
=
13
15
Obs.: A: a pessoa A na˜o completar o percurso
B: a pessoa B na˜o completar o percurso
3. Eventos:
V : valete A: copas B: rei C: rei ou valete
P (A) =
13
52
P (B) =
4
52
P (C) = P (B ∪ V ) = P (B) + P (V ) =
4
52
+
4
52
=
8
52
P (A ∩B) =
1
52
P (A∩C) = P (A ∩ (B ∪ V )) = P (A∩B)+P (A∩V ) =
1
52
+
1
52
=
2
52
P (B ∩ C) = P (B) =
4
52
P (A ∩B) = P (A) · P (B) ?
1
52
=
13
52
·
4
52
1
52
=
1
4
·
1
13
⇒
1
52
=
1
52
−→ A e B sa˜o independentes.
P (A ∩ C) = P (A) · P (C) ?
2
52
=
13
52
·
8
52
2
52
=
1
4
·
2
13
⇒
2
52
=
2
52
−→ A e C sa˜o independentes.
P (B ∩ C) = P (B) · P (C) ?
4
52
6=
4
52
·
8
52
4
52
6=
1
13
·
2
13
−→ B e C na˜o sa˜o independentes.
CEDERJ 6
Soluc¸o˜es de exerc´ıcios selecionados
4. A: azuis C: castanhos Total
L: loura 36 12 48
M : morena 9 32 41
R: ruiva 5 6 11
Total 50 50 100
(a) P (R) =
11
100
= 0, 11
(b) P (L ∩ C) =
12
100
= 0, 12
(c) P (M ∩A) =
9
100
= 0, 09
(d) P (M |A) =
P (M ∩ A)
P (A)
=
9
100
50
100
=
9
50
(e) P (M ∪A) = P (M) + P (A)− P (M ∩ A)
=
41
100
+
50
100
−
9
100
=
82
100
= 0, 82
5. A = {e1, e3, e5, e7}
B = {e3, e4, e5, e6, e7}
⇒ A ∩ B = {e3, e5, e7}
Ω = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
P (A) =
4
7
, P (A) =
3
7
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
P (A ∪B) =
4
7
+
5
7
−
3
7
=
6
7
P (B|A) =
P (A ∩ B)
P (A)
=
3
7
4
7
=
3
4
P (A ∩B) =
3
7
6= 0 −→ A e B na˜o sa˜o mutuamente exclusivos
P (A ∩B) = P (A) · P (B) ?
3
7
6=
4
7
·
5
7
−→ A e B na˜o sa˜o independentes
6. Eventos:
B: ser bom pagador
M : ser mau pagador
C: possui carta˜o de cre´dito
P (B) = 0, 80 P (C|B) = 0, 90 P (C|M) = 0, 30
7
CEDERJ
Soluc¸o˜es de exerc´ıcios selecionados
C
B %
%
e
e
0,90
0,10
C
%
%
e
e
0,80
0,20 C
M %
%
e
e
0,30
0,70
C
(a) P (C) = P (B ∩ C) + P (M ∩ C) =
P (C|B) · P (B) + P (C|M) · P (M) =
0, 90 · 0, 80 + 0, 30 · 0, 20 = 0, 78
(b) P (B|C) =
P (B ∩ C)
P (C)
=
P (C|B) · P (B)
P (C)
=
0, 90 · 0, 80
0, 78
= 0, 9231
(c) P (B|C) =
P (B ∩ C)
P (C)
=
P (C|B) · P (B)
P (C)
=
0, 10 · 0, 80
(1− 0, 78)
=
0, 10 · 0, 80
0, 28
= 0, 2857
7. Eventos:
P : o ca˜o pertencer a Paulo
R: o ca˜o pertencer a Roberto
B: o ca˜o ser de rac¸a
P (P ) = 3 · P (R)
P (B|P ) = 0, 20 P (B|R) = 0, 10
(a) P (P ) + P (R) = 1
3 · P (R) + P (R) = 1⇒ 4 · P (R) = 1⇒ P (R) =
1
4
⇒ P (P ) =
3
4
(b)
B
P %
%
e
e
0,20
0,80
B
%
%
e
e
3
4
1
4
B
R %
%
e
e
0,10
0,90
B
P (P |B) =
P (P ∩ B)
P (B)
=
P (B|P ) · P (P )
P (B|P ) · P (P ) + P (B|R) · P (R)
=
0, 20 · 3
4
0, 20 · 3
4
+ 0, 10 · 1
4
=
0, 15
0, 175
= 0, 8571
CEDERJ 8
Soluc¸o˜es de exerc´ıcios selecionados
8. Eventos:
D: a pessoa estar doente de XPTO
S: a pessoa estar sadia
O: a pessoa estar com outra doenc¸a
T : o teste dar positivo para a doenc¸a XPTO
P (T |D) = 0, 97 P (T |S) = 0, 05 P (T |O) = 0, 10
P (D) = 0, 01 P (S) = 0, 96 P (O) = 0, 03
�
�
�
�
�
T
T
T
T
T
0,01
0,03
0,96
T
D %
%
e
e
0,97
0,03
T
T
O %
%
e
e
0,10
0,90
T
T
S %
%
e
e
0,05
0,95
T
P (D|T ) =
P (D ∩ T )
P (T )
=
P (T |D) · P (D)
P (T |D) · P (D) + P (T |O) · P (O) + P (T |S) · P (S)
=
0, 97 · 0, 01
0, 97 · 0, 01 + 0, 10 · 0, 03 + 0, 05 · 0, 96
=
0, 0097
0, 0607
= 0, 1598
9. Eventos:
A: o aparelho indicar defeito
R: a va´lvula estar ruim
B: a va´lvula estar boa
P (A|B) = 0, 03 P (B) = 0, 95 P (A|R) = 1, 0
A
B %
%
e
e
0,03
0,97
A
%
%
e
e
0,95
0,05 A
R %
%
e
e
1,0
0,0
A
9
CEDERJ
Soluc¸o˜es de exerc´ıcios selecionados
P (B|A) =
P (B ∩ A)
P (A)
=
P (A|B) · P (B)
P (A|B) · P (B) + P (A|R) · P (R)
0, 03 · 0, 95
0, 03 · 0, 95 + 1 · 0, 05
=
0, 0285
0, 0785
= 0, 3631
Obs.: O enunciado deveria ter sido:
“No entanto o aparelho indica, erroneamente, defeito em 3% das pec¸as
perfeitas.”
10. Eventos:
M : ser do sexo masculino
F : ser do sexo feminino
C: o aluno ser de cieˆncias exatas
P (F ) = P (M) = 0, 50
P (C|M) =
4
5
P (C|F ) =
2
5
C
M %
%
e
e
4
5
1
5 C
%
%
e
e
0,50
0,50 C
F %
%
e
e
2
5
3
5 C
(a) P (M ∩ C) = P (C|M) · P (M) =
4
5
· 0, 50 =
4
10
= 0, 40
(b) P (C) = P (C∩M)+P (C∩F ) = P (C|M)·P (M)+P (C|F )·P (F ) =
4
5
· 0, 50 +
3
5
· 0, 50 =
7
10
= 0, 70
(c) P (M |C) =
P (M ∩ C)
P (C)
=
P (C|M) · P (M)
P (C)
=
4
5
· 0, 50
7
10
=
4
7
= 0, 5714
CEDERJ 10