Introdução à Probabilidade

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Prof. Mauricio do Fanno
UNIDADE II
Estatística
 Definição de probabilidade
Tipos de problemas:
 Matemáticos.
 Aleatórios.
 Aproximadamente aleatórios.
Definições dos termos utilizados:
 Experimento aleatório.
 Espaço amostral.
 Evento.
Probabilidade – Teoria elementar
 Abordagem clássica. 
Exemplos:
 Qual a probabilidade de se obter um número primo ao se jogar um dado honesto?
 Qual a probabilidade de se ganhar na Mega Sena com um 
único jogo de seis dezenas?
Probabilidade
 O que é?
Número de combinações:
Onde: 
n = número de elementos
do Espaço amostral.
x = número de elementos
de cada agrupamento.
Análise combinatória
Quantos diferentes jogos de seis dezenas podemos fazer 
na Mega-Sena?
São 60 números (n=60) e queremos fazer jogos com seis 
números (x=6), logo:
 Abordagem clássica. 
Exemplos:
Qual a probabilidade de se obter um número primo ao se jogar um dado honesto?
S={1;2;3;4;5;6} -> n(S) = 6
A={1;2;3;5} -> n(A) = 4
𝑃 𝑎 =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
=
4
6
=
2
3
= 0,667 = 66,7%
 Qual a probabilidade de se ganhar na Mega Sena com um único 
jogo de seis dezenas?
Probabilidade
 Em um condomínio com vinte propriedades, decidiu-se nomear uma comissão com três 
membros para ir à prefeitura reclamar da iluminação urbana. Quantas diferentes comissões 
podem ser formadas?
Análise combinatória – Exemplo
 Uma moeda honesta é jogada. Qual a probabilidade de sair cara?
 Uma moeda honesta é jogada duas vezes em sequência. Qual a probabilidade de sair pelo 
menos uma cara?
Probabilidades – Eventos sucessivos
Probabilidades – Eventos sucessivos – Árvore de decisões
Lançamento 
da moeda
Cara
Coroa
Fonte: Autoria própria.
Probabilidades – Eventos sucessivos – Árvore de decisões
Lançamento 
da moeda
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
CoroaFonte: Autoria própria.
Jogou-se uma moeda honesta 
quatro vezes sucessivamente. 
Qual a probabilidade de obtermos 
pelo menos duas caras?
Probabilidades – Eventos sucessivos – Árvore de decisões
Cara
Coroa
Joga-se 
uma moeda 
honesta
sucessiva-
mente 4 
vezes
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Caminho 1
Caminho 2
Caminho 3
Caminho 4
Caminho 5
Caminho 6
Caminho 7
Caminho 8
Caminho 9
Caminho 10
Caminho 11
Caminho 12
Caminho 13
Caminho 14
Caminho 15
Caminho 16
Resultados 
da:
1ª 
moeda 
jogada
2ª 
moeda 
jogada
3ª 
moeda 
jogada
4ª 
moeda 
jogada
Fonte: Autoria própria.
Jogamos dois dados honestos simultaneamente. Eu ganho se na soma das faces sorteadas 
dos dados resultar 7. Qual a probabilidade de eu ganhar?
a) 25,0%
b) 50,0%
c) 16,7%
d) 28,0%
e) 62,5%
Interatividade
Jogamos dois dados honestos simultaneamente. Eu ganho se na soma das faces sorteadas 
dos dados resultar 7. Qual a probabilidade de eu ganhar?
a) 25,0%
b) 50,0%
c) 16,7%
d) 28,0%
e) 62,5%
Resposta
Jogou-se uma moeda honesta 
quatro vezes sucessivamente. 
Qual a probabilidade de obtermos 
exatamente duas caras?
Probabilidades – Eventos sucessivos – Árvore de decisões
Cara
Coroa
Joga-se 
uma moeda 
honesta
sucessiva-
mente 4 
vezes
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Cara
Coroa
Caminho 1
Caminho 2
Caminho 3
Caminho 4
Caminho 5
Caminho 6
Caminho 7
Caminho 8
Caminho 9
Caminho 10
Caminho 11
Caminho 12
Caminho 13
Caminho 14
Caminho 15
Caminho 16
Resultados 
da:
1ª 
moeda 
jogada
2ª 
moeda 
jogada
3ª 
moeda 
jogada
4ª 
moeda 
jogada
Fonte: Autoria própria.
 Abordagem como frequência relativa.
Exemplo: Não sabemos se a moeda que temos em mãos é honesta ou viciada, em razão 
disso, jogamos ela repetidas vezes para ver o que ocorre. Anotamos o resultado e montamos 
a tabela a seguir:
Probabilidades 
Qtd. de 
jogadas
Número 
de caras
obtidas
Número
de coroas 
obtidas
Probabilidade 
de sair cara
Probabilidade 
de sair coroa
1 0 1 0% 100%
10 4 6 40% 60%
100 59 41 59% 41%
1.000 585 415 58,5% 41,5%
10.000 5.800 4.200 58% 42%
Fonte: Autoria própria.
 Exemplo: Jogamos a moeda mencionada anteriormente, três vezes em sequência. Lembrar 
que essa moeda é viciada com 58% de probabilidade de sair cara e 42% de probabilidade de 
sair coroa. Qual é a probabilidade que obtenhamos pelo menos duas caras?
Probabilidades
Cara
Coroa
Joga-se 
uma moeda 
honesta
sucessiva-
mente 4 
vezes
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Cara
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Coroa
Resultados 
da:
1ª moeda 
jogada
2ª moeda 
jogada
3ª 
moeda 
jogada
Probabilidades de cada caminho:
0,58
0,42
0,42
0,42
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
0,42
0,42
0,42
Caminho 1 → 
0,58x0,58x0,58=0,58³=0.1951
Caminho 2 → 
0,58x0,58x0,42=0,58²x0,42=0.1413
Caminho 3 → 
0,58x0,42x0,58=0,58²x0,42=0.1413
Caminho 4 → 
0,58x0,42x0,42=0,58x0,42=0.1023
Caminho 5 → 
0,42x0,58x0,58=0,58²x0,42=0.1413
Caminho 6 → 
0,42x0,58x0,42=0,58x0,42²=0.1023
Caminho 7 → 
0,42x0,42x0,58=0,58x0,42²=0.1023
Caminho 8 → 
0,42x0,42x0,42=0,42³=0.0741
Somatório = 1 ou 100%.
Fonte: Autoria própria.
 Eventos Soma: Alternativa. Caracterizado pela palavra “ou”
 Evento Produto: Obrigação. Caracterizado pela palavra “e”
Eventos soma e eventos produto
Exemplo: Dois alpinistas estão escalando uma mesma montanha, mas por trilhas diferentes. 
O alpinista A tem 62% de probabilidade de chegar ao cume, já o alpinista B, que está na trilha 
mais difícil, tem só 35% de chances de alcançar o cume. Nessas condições, pede-se:
a) Qual a probabilidade do cume ser alcançado?
b) Qual a probabilidade dos dois alcançarem o cume?
c) Qual a probabilidade do cume não ser alcançado?
d) Qual a probabilidade de um e apenas um alcançar o cume?
Eventos soma e eventos produto
Exemplo: Dois alpinistas estão escalando uma mesma montanha, mas por trilhas diferentes. 
O alpinista A tem 62% de probabilidade de chegar ao cume, já o alpinista B, que está na trilha 
mais difícil, tem só 35% de chances de alcançar o cume. Nessas condições, pede-se:
Eventos soma e eventos produto
Uma empresa de telemarketing vende determinado produto por telefone e verificou que nas 
últimas 230 ligações conseguiu efetivar venda em 31 delas. Qual a probabilidade (aproximada) 
de que nas próximas cinco ligações ela venda uma e apenas uma das vezes?
a) 35 %
b) 40 %
c) 38 %
d) 44 %
e) 13 %
Interatividade
Uma empresa de telemarketing vende determinado produto por telefone e verificou que nas 
últimas 230 ligações conseguiu efetivar venda em 31 delas. Qual a probabilidade (aproximada) 
de que nas próximas cinco ligações ela venda uma e apenas uma das vezes?
a) 35 %
b) 40 %
c) 38 %
d) 44 %
e) 13 %
Resposta
 Eventos independentes: a probabilidade da ocorrência de um dos eventos não interfere
na probabilidade de ocorrência do outro (ou outros).
 Eventos dependentes ou vinculador: a probabilidade da ocorrência de um dos eventos 
interfere na probabilidade de ocorrência do outro (ou outros).
Exemplo: temos uma caixa com bolinhas idênticas que diferem apenas na cor. Vinte das 
bolinhas são amarelas e 15 são verdes. Nessas condições, pede-se:
a) A probabilidade de se obter a combinação verde-amarelo retirando-se uma bolinha, 
anotando-se a cor, repondo a bolinha na caixa e aí retirando-se uma segunda bolinha.
Probabilidade – Vinculação de eventos
Exemplo: temos uma caixa com bolinhas idênticas que diferem apenas na cor. Vinte das 
bolinhas são amarelas e 15 são verdes. Nessas condições, pede-se:
 b) A probabilidade de se obter a combinação verde-amarelo retirando-se uma bolinha, 
colocando ela de lado e aí retirando-se uma segunda bolinha.
Probabilidade – Vinculação de eventos
No almoxarifado de uma empresa estão armazenadas, misturadas e não identificadas,peças 
de determinado tipo, advindas de dois fornecedores diferentes. Sabemos que 650 delas são do 
fornecedor A e 460 do fornecedor B. Sabemos também que 12% das peças do fornecedor A 
são defeituosas, enquanto que apenas 5% das do fornecedor B apresentam defeitos. Pegou-se 
uma peça ao acaso e verificou-se que era defeituosa, qual a probabilidade que seja do 
fornecedor B?
Eventos vinculados
Eventos vinculados
Certo tipo de motor pode apresentar dois tipos de falhas: mancais presos e queima do 
induzido. Sabendo-se que as probabilidades de ocorrência dos defeitos são 0,2 e 0,03, 
respectivamente, determinar a probabilidade de que num motor daquele tipo, selecionado 
ao acaso, não ocorra, simultaneamente, as duas falhas.
a) 67,6 %
b) 99,4 %
c) 87,6 %
d) 78,6 %
e) 57,6 %
Interatividade
Certo tipo de motor pode apresentar dois tipos de falhas: mancais presos e queima do 
induzido. Sabendo-se que as probabilidades de ocorrência dos defeitos são 0,2 e 0,03, 
respectivamente, determinar a probabilidade de que num motor daquele tipo, selecionado 
ao acaso, não ocorra, simultaneamente, as duas falhas.
a) 67,6 %
b) 99,4 %
c) 87,6 %
d) 78,6 %
e) 57,6 %
Resposta
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) Ser doutor.
b) Ser mulher.
c) Ser mulher, sabendo que o docente sorteado é doutor.
d) Ser mestre, sabendo que foi sorteado um homem.
e) Ser mestre e mulher.
f) Ser doutor ou homem.
Aplicações
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte: Autoria própria.
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) Ser doutor.
b) Ser mulher.
c) Ser mulher sabendo que o docente sorteado é doutor.
d) Ser mestre sabendo que foi sorteado um homem.
e) Ser mestre e mulher
f) Ser doutor ou homem
Aplicações
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte: Autoria própria.
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) Ser doutor.
b) Ser mulher.
c) Ser mulher, sabendo que o docente sorteado é doutor.
d) Ser mestre sabendo que foi sorteado um homem.
e) Ser mestre e mulher
f) Ser doutor ou homem
Aplicações
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte: Autoria própria.
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) Ser doutor.
b) Ser mulher.
c) Ser mulher sabendo que o docente sorteado é doutor.
d) Ser mestre, sabendo que foi sorteado um homem.
e) Ser mestre e mulher
f) Ser doutor ou homem
Aplicações
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte: Autoria própria.
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) Ser doutor.
b) Ser mulher.
c) Ser mulher sabendo que o docente sorteado é doutor.
d) Ser mestre sabendo que foi sorteado um homem.
e) Ser mestre e mulher.
f) Ser doutor ou homem
Aplicações
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte: Autoria própria.
O quadro apresentado mostra como os docentes de determinada instituição de ensino se 
distribuem de acordo com o gênero e a titulação acadêmica. Digamos que sorteemos um 
docente aleatoriamente, qual a probabilidade de:
a) Ser doutor.
b) Ser mulher.
c) Ser mulher sabendo que o docente sorteado é doutor.
d) Ser mestre sabendo que foi sorteado um homem.
e) Ser mestre e mulher
f) Ser doutor ou homem.
Aplicações
Fonte Homens Mulheres Total
Mestres 35 48 83
Doutores 15 18 33
Total 50 66 116
Fonte: Autoria própria.
Uma fábrica de cerveja se abastece de água de três diferentes fontes, em quantidades de 
acordo com a tabela abaixo. A tabela mostra também o índice de contaminação da água de 
cada uma das fontes, levantado pelo controle de qualidade da cervejaria. A água é 
armazenada em tanques sem identificação da fonte. Foi testada água de um dos tanques 
para verificar possível contaminação. 
a) Qual a probabilidade de que á água esteja contaminada?
b) Sabendo que a água está contaminada, qual a probabilidade que ela tenha vindo 
da fonte A?
Aplicações
Fonte
Porcentagem de 
utilização na 
cervejaria
Índice de 
contaminação
A 20% 20%
B 30% 5%
C 50% 2%
Fonte: Autoria própria.
Aplicações
Suponha que em determinada cidade 40% do eleitores estejam dispostos a votar em 
determinado candidato. Qual seria a probabilidade de que, em uma amostra de 10 eleitores 
entrevistados ao acaso, pelo menos um seja eleitor do tal candidato?
Aplicações
O quadro mostra os resultados da avaliação final de uma amostra de alunos numa 
universidade. Considerando-se que essa amostra é representativa da universidade como um 
todo, qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente seja aprovado?
a) 65,4%
b) 70,0%
c) 80,5%
d) 47,5%
e) 75,5%
Interatividade
Resultado Número de alunos amostrados
Aprovados antes do exame 46
Aprovados no exame 62
Reprovados no exame 35
Fonte: Autoria própria.
O quadro mostra os resultados da avaliação final de uma amostra de alunos numa 
universidade. Considerando-se que essa amostra é representativa da universidade como um 
todo, qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente seja aprovado?
a) 65,4%
b) 70,0%
c) 80,5%
d) 47,5%
e) 75,5%
Resposta
Resultado Número de alunos amostrados
Aprovados antes do exame 46
Aprovados no exame 62
Reprovados no exame 35
Fonte: Autoria própria.
ATÉ A PRÓXIMA!