VOD-matemática-Função Quadrática Estudo do sinal e problemas de máximo e mínimo-2020-61ed1ada87616cd3aee2084ec8ee7982

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Matemática 
 
Função Quadrática: Estudo do sinal e problemas de máximo e 
mínimo 
 
Resumo 
 
Vértice da parábola 
Como já vimos, toda função do 2º grau, dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, tem seu gráfico 
no plano cartesiano dado por uma parábola. Toda parábola tem um ponto chamado de 
vértice, que determina a mudança de cresciPara encontrar as coordenadas do vértice, 
temos: 
mento para decrescimento ou vice-versa. Por essa razão, determina ainda o eixo de simetria da parábola. 
Devemos encontrar as coordenadas do vértice da parábola, representadas na imagem seguinte por V (xv, Yv), 
em que x1 e X2 são as raízes da função quadrática. 
 
→ Determinando o : 
Modo 1: 
 
Modo 2: 
 
 
→ Determinando o : 
 
 
Máximos e mínimos de uma função quadrática 
Podemos classificar o vértice a partir da concavidade da parábola. 
→ Se a > 0, o vértice V é chamado de ponto mínimo da função. 
→ Se a < 0, o vértice V é chamado de ponto máximo da função. 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Este conceito de ponto máximo ou mínimo de uma parábola pode ser aplicado em situações onde o objetivo 
é saber o valor máximo ou mínimo de uma grandeza. É importante ressaltar que uma parábola não pode ter 
ponto máximo e mínimo ao mesmo tempo. Se ela possui ponto máximo, então, certamente não terá ponto 
mínimo. Da mesma maneira que, se tiver ponto mínimo, não terá, então, ponto máximo. 
 
Estudo do sinal 
Podemos determinar vários tipos de parábola associados à função quadrática da forma f (x) = ax2 + bx + c, 
com a ≠ 0, a partir dos valores de ∆ e do coeficiente a. A variação do sinal desse tipo de função 
depende da parábola determinada. Vejamos: 
→ Se a > 0 e ∆ > 0 
 
 
 
→ Se a < 0 e ∆ > 0 
 
 
→ Se a > 0 e ∆ > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
→ Se a < 0 e ∆ = 0 
 
 
 
→ Se a > 0 e ∆ < 0 
 
 
→ Se a < 0 e ∆ < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios 
 
1. Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas 
reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a 
corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros 
lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais. 
 
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima? 
a) 1 e 49 
b) 1 e 99 
c) 10 e 10 
d) 25 e 25 
e) 50 e 50 
 
 
2. Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é 
diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente 
proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a 
rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = 
kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima 
descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá 
quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: 
a) 11000 
b) 22000 
c) 33000 
d) 38000 
e) 44000 
 
 
3. Examine a função real f(x)=2x-3x2 quanto à existência de valores e pontos de máximos e mínimos. 
Analise o problema e assinale a alternativa CORRETA. 
a) A função atinge o valor máximo de 2/3, no ponto x =1/3. 
b) A função atinge o valor mínimo de 1/3, no ponto x =1/3. 
c) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x =2/3. 
d) A função atinge o valor mínimo de 2/3, no ponto x =1/3. 
e) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x =1/3. 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
4. Na figura, está representado o gráfico de uma função quadrática g de domínio R. Das expressões a 
seguir, aquela que pode definir a função g é: 
 
a) g(x) = x2+2x+3 
b) g(x) = x2-x-3 
c) g(x) = -x2+x+3 
d) g(x) = -x2-2x+3 
e) g(x) = x2-2x+3 
 
 
5. Seja f: 𝑅 → 𝑅 a função quadrática definida por f(x) = x2+bx+c. Se f assume o menor valor para x = -1 e 
se 2 é um razi da equação f(x) = 0, então, a soma b + c é igual a: 
a) – 4 
b) 4 
c) – 3 
d) – 6 
e) 6 
 
 
6. Em um jogo de futebol, um jogador chuta uma bola parada, que descreve uma parábola até cair 
novamente no gramado. Sabendo-se que a parábola é descrita pela função y = 20x – x2, a altura 
máxima atingida pela bola é: 
a) 100 m 
b) 80 m 
c) 60 m 
d) 40 m 
e) 20 m 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
7. Suponha que um gato persegue um rato, ambos se movendo sobre uma mesma trajetória retilínea, e 
que as posições, em metros, ocupadas pelo gato (xG) e pelo rato (xR) variam no tempo (t), em segundos, 
de acordo com as funções xG = 12 + 4t - t² e xR = 20 + 2t, válidas para o intervalo 0 ≤ t ≤ 2s, sendo t 
= 0 o instante em que o gato, esperançoso, inicia a perseguição e t = 2s o instante em que o gato, ainda 
com fome, desiste. Na situação descrita acima, a distância mínima entre o gato e o rato ocorre no 
instante de tempo 
a) t = 0,5 s. 
b) t = 0,3 s. 
c) t = 1,2 s. 
d) t = 1,5 s. 
e) t = 1,0 s. 
 
8. Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele 
utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus 
Celsius, é dada pela expressão T(h) = – h² + 22h – 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se 
que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse 
momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, 
com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa 
está classificada como 
a) muito baixa. 
b) baixa. 
c) média. 
d) alta. 
e) muito alta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
9. O apresentador de um programa de auditório propôs aos participantes de uma competição a seguinte 
tarefa: cada participante teria 10 minutos para recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente 
em um terreno destinado à realização da competição. A pontuação dos competidores seria calculada 
ao final do tempo destinado a cada um dos participantes, no qual as moedas coletadas por eles seriam 
contadas e a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo do número de moedas coletadas uma 
porcentagem de valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa forma, um participante que 
coletasse 60 moedas teria sua pontuação calculada da seguinte forma: pontuação = 60 – 36 (60% de 
60) = 24. O vencedor da prova seria o participante que alcançasse a maior pontuação. Qual será o 
limite máximo de pontos que um competidor pode alcançar nessa prova? 
a) 0 
b) 25 
c) 50 
d) 75 
e) 100 
 
10. Uma aluna do 3º ano da EFOMM, responsável pelas vendas dos produtos da SAMM ( Sociedade 
Acadêmica da Marinha Mercante), percebeu que, com a venda de uma caneca a R$ 9,00, em média 
300 pessoas compravam, quando colocadas as canecas à venda em um grande evento. Para cada 
redução de R$ 1,00 no preço da caneca, a venda aumentava em 100 unidades. Assim, o preço da 
caneca, para que a receita seja máxima, será de 
a) R$ 8,00 
b) R$ 7,00 
c) R$6,00 
d) R$5,00 
e) R$ 4,00 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Gabarito 
 
1. D 
 
 
2. B 
 
 
3. E 
 
 
4. E 
 
 
5. D 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
6. A 
Escrevendo a equação da parábola sob a forma canônica, temos canônica, temos y = 100 – (x – 10)2 . 
Portanto, segue que para x = 10m a bola atinge sua altura máxima, qual seja, 100m. 
 
7. E 
 
 
8. D 
 
 
9. B 
 
 
10. C