Material Complementar - MATEMATICA FINANCEIRA

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Prof. Denilson de Souza
Material Complementar 
Matemática Financeira
 A disciplina Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar ao aluno o domínio de 
seus conceitos e nomenclatura, bem como instrumentalizá-lo no uso das fórmulas e das 
calculadoras financeiras, facilitando-lhe o trânsito na área de finanças, de acordo com seu 
perfil profissional, servindo como base para outras áreas do conhecimento.
 A Matemática Financeira visa, de modo geral, o estudo do valor do dinheiro no tempo, nas 
aplicações e nos pagamentos.
 O conceito tempo é importante devido aos aspectos considerados relevantes na análise 
econômica, como inflação, taxa de juros e prazo de remuneração do capital.
Apresentação
 A Matemática Financeira possui conceitos particulares que devemos conhecer.
 Principal (P): capital inicial de uma aplicação.
 Montante (M): montante de uma aplicação 
 Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração pelo uso de um capital.
 Taxa de juros (i): é o índice referente a uma unidade de tempo, que indica o juro por 
unidade de capital vinculado à aplicação ou dívida. De maneira geral, a unidade de tempo 
da taxa de juros é indicada de forma abreviada, podendo haver alguma confusão.
Exemplos:
 20% a.a. = vinte por cento ao ano;
 3% a.m. = três por cento ao mês;
 9% a.t. = nove por cento ao trimestre;
 5% a.b. = cinco por cento ao bimestre.
 Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma 
aplicação na unidade de tempo da taxa de juros.
Conceitos básicos
 Taxas proporcionais: duas taxas de juros diferentes, que se referem a unidades de tempo 
diversas, serão proporcionais quando seus valores estiverem na mesma razão que seus 
prazos.
Exemplos de taxas proporcionais:
 2% ao mês e 24% ao ano;
 1% ao bimestre e 3% ao semestre;
 5% ao trimestre e 20% ao ano;
 2% ao dia e 60% ao mês.
Conceitos básicos
 Os conceitos de Matemática Financeira são expressos por meio de fórmulas cujos 
parâmetros são numéricos e exigem um nível preciso de cálculo. Esses cálculos demandam 
o uso de uma calculadora precisa, equipada também com teclas para o cálculo de 
logaritmos, exponenciais e inversos. 
 Especificamente para esse curso, não é necessário o uso de uma calculadora financeira, 
mas, para trabalhar em áreas de finanças, é apropriado adquirir uma calculadora financeira, 
pois ela vem com algumas funções que facilitam muito os cálculos financeiros.
 É preciso ficar atento para o aspecto “precisão dos cálculos”. 
O uso de uma precisão inadequada poderá levar a conclusões 
equivocadas.
Conceitos básicos
 Exemplo: uma empresa compra um produto por R$ 150,00 e pretende vendê-lo com o lucro 
de 15% sobre o preço de custo. Calcule o preço de venda que deverá ser praticado pela 
empresa.
 V = C + L
 C = 150
 L = 15 ÷ 100 x C
 Podemos substituir os valores, obtendo:
 V = 150 + 0,15 . 150 = R$ 172,50
 Resposta: a empresa deverá vender esse produto por R$ 172,50.
Conceitos básicos
 Custo do produto: R$ 150,00
 Taxa de juros: 15% a.m.
 Períodos: 1 mês
 J = P . i . n
 J = 150 . (15/100) . 1
 J = 150 . 0,15
 J = 22,50
 Valor de venda é custo mais os juros, portanto, esse produto será vendido por R$ 172,50.
Conceitos básicos
 Custo do produto: R$ 150,00
 Taxa de juros: 15% a.m.
 Períodos: 2 meses
 J = P . i . n
 J = 150 . (15/100) . 2
 J = 150 . 0,15 . 2
 J = 45,00
 Valor de venda é custo mais os juros, portanto, esse produto será vendido por R$ 195,00.
Conceitos básicos
Juros simples – conceito
 Segundo o critério de cálculo de juros denominados simples, o juro de todos os períodos da 
aplicação somente é adicionado ao principal para constituir o montante ao final da aplicação.
 Em todos os períodos, o juro é calculado aplicando-se a taxa sobre o principal. Como 
consequência dessa definição, esse critério também é denominado:
 juro não capitalizado;
 juro linear;
 juro proporcional.
 Como em todos os períodos, aplicamos a taxa de juros sobre 
o principal, que não muda; todos eles rendem o mesmo valor 
de juros, caracterizando uma variação linear.
 O juro total é diretamente proporcional à taxa de juros 
e ao número de períodos da aplicação.
Conceitos básicos
Juros simples – fórmula do montante:
 J = P . i. n (Observação: a taxa i e o prazo n deverão estar na mesma unidade de tempo).
 Montante (será a soma do principal da aplicação com o seu juro).
 M = P + J
 M = P + P . i . n
 Colocando o fator comum P em evidência, temos:
 M = P . (1 + i . n)
 O que está entre parênteses na fórmula (1 + i . n) é chamado 
de FAC = fator de acumulação de capital e significa o que se 
recebe de volta ao final de uma aplicação.
Conceitos básicos
 Exemplo 1: calcule o montante de um capital de R$ 500,00, aplicado a juros simples de 5% 
ao mês durante 15 meses.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
 P = 500
 i = 5/100 = 0,05
 n = 15
Como a taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade de tempo, aplicamos esses dados 
diretamente na fórmula do montante:
 M = P . (1 + i . n)
 M = 500 . (1 + (5 ÷ 100) . 15)
 M = 500 . (1 + 0,05 . 15)
 M = 875
 Resposta: o montante será de R$ 875,00.
Conceitos básicos
 Exemplo 2: que principal devo aplicar por dois anos para obter R$ 670,00 de montante 
à taxa de juros simples de 5% ao mês?
Para efetuar as operações de cálculo, o prazo e a taxa de juros deverão estar na mesma 
unidade de tempo. Utilizam-se 24 meses para o prazo, uma vez que a taxa de juros é mensal 
e, organizando os dados fornecidos pelo enunciado, temos:
 M = 670
 i = 5/100 = 0,05
 n = 2 anos = 24 meses
Como o problema pede o principal, temos:
 M = P . (1 + i . n)
 670 = P . (1 + 5 ÷ 100 . 24)
 670 = P . 2,20
 P = 670/2,20
 P = R$ 304,55
 Resposta: o principal será de R$ 304,55.
Conceitos básicos
 Desconto (D): é o abatimento dado no valor nominal de uma dívida como consequência 
da antecipação da sua data de pagamento. Pagando a dívida antes do vencimento há 
um desconto.
 Prazo de antecipação (n): é a medida do tempo que vai da data de pagamento efetivo até a 
data de vencimento. Ao contrário da aplicação, em que a contagem do prazo está focada na 
origem, aqui o prazo está focado na data de vencimento.
 Fique atento: o prazo do desconto é quanto tempo falta para vencer, a partir da data de 
pagamento antecipado, e o valor descontado ou líquido (VD) é o valor efetivamente pago 
ou recebido após o abatimento do desconto.
 É importante também diferenciar esse desconto daquele que 
pedimos toda vez que compramos algo à vista. O desconto 
financeiro tem fundamentação teórica e critérios de cálculo.
 Taxa de desconto: é a taxa de juros comum das aplicações, 
agora utilizada nas operações de desconto.
Conceitos básicos
Desconto comercial ou bancário – fórmula:
 Desconto (D) é o abatimento dado no valor nominal (N) de uma dívida como consequência 
da antecipação da sua data de pagamento. Pagando a dívida antes do vencimento, há um 
desconto.
 D = Nin
 VD = N – D
 Valor descontado ou líquido (VD) é o valor efetivamente pago ou recebido após o abatimento 
do desconto.
Conceitos básicos
 Exemplo 1: uma nota promissória de R$ 12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias 
antes do vencimento a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m.
a) Qual o valor do desconto?
 D = Nin
 D = 12000 . (42/30) . 0,02
 D = R$ 336,00
b)Qual o valor descontado ou valor líquido recebido pela 
empresa?
 VD = N – D
 VD = 12000 – 336
 VD = 11664
 O valor descontado do título é R$ 11.664,00
Conceitos básicos
 Exemplo 2: o Banco Super cobra 3% de taxa de serviço, justificando que precisa custear sua 
estrutura operacional e, como taxa de desconto simples comercial, emprega 23% a.a. Sendo 
o valor nominal de R$ 5.000,00 com vencimento daqui a quatro meses, calcule o desconto 
simples bancário.
 D = Nin
 D = 5000 . (0,23/12) . 4
 D = 383,33
 Taxa de serviço  5000. 0,03 = 150
 Desconto total  R$ 383,33 + R$ 150,00 = R$ 533,33
Conceitos básicos
Juro composto – conceito:
 Segundo o critério de cálculo denominado composto, ao final de cada período, o juro é 
adicionado ao principal e o montante assim formado é reaplicado como principal no período 
seguinte. Analisando essa definição, você percebe que a diferença entre os critérios simples 
e composto é a capitalização, período a período, no juro composto. Esse tipo de cálculo 
provoca um aumento do juro calculado, pois, apesar de a taxa de juros permanecer a 
mesma, o montante vai crescendo com a adição do juro.
Algumas consequências da definição do critério composto:
 juro sobre juro;
 juro capitalizado;
 juro exponencial. 
Conceitos básicos
Juro composto – fórmula do montante:
 Relembrando o conceito de montante, faremos sua aplicação período a período, construindo 
a fórmula. Vamos indexar o montante, ao final de cada período, com o número do período.
 Primeiro período: M1 = P + P. i = P. (1 + i)
 Segundo período: M2 = M1 + M1 . i = P. (1 + i) + P. (1 + i). i = P. (1 + i)2
 Terceiro período: M3 = M2 + M2. i = P. (1 + i)2 + P. (1 + i)2 . i = P. (1 + i)3
 Seguindo essa linha de raciocínio, concluímos que, para n períodos, teremos: 
 M = P.(1 + i)n
Conceitos básicos
 Exemplo 1: calcule o montante de um principal de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos 
de 5% ao mês, durante dez meses.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = 1000
i = 5/100 = 0,05
n = 10
 Podemos aplicar diretamente a fórmula do montante composto, pois a taxa de juros e o 
prazo estão na mesma unidade de medida: M = P.(1 + i)n
Substituindo os valores, temos:
 M = 1000.(1 + 0,05)10
 M = 1000.1,0510
 M = 1000.1,628894627 ...
 M = 1628,89
 Resposta: o montante será de R$ 1.628,89.
Conceitos básicos
 Exemplo 2: uma indústria financia seu capital de giro em um banco que cobra juros 
compostos de 5% ao mês. Podemos afirmar que, para um principal de R$ 10.000,00, 
essa indústria pagará, em um prazo de seis meses, um juro de qual valor?
O juro poderá sempre ser calculado como a diferença entre o montante e o principal, 
ou diretamente, a partir da sua fórmula. Pela diferença dos valores, teremos:
 J = 10000.(1 + 0,05)6 – 10000
 J = 10000.1,056 – 10000
 J = 10000.1,340095641 ... – 10000
 J = 3400,96
 Resposta: pagará um juro no valor de R$ 3.400,96.
Conceitos básicos
Equivalência de taxas a juros compostos – conceito:
 Conceito: duas taxas de juros diferentes, relativas a unidades de tempo diversas, serão 
equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo 
montante.
 Fórmulas: para construirmos uma fórmula que relacione duas taxas equivalentes, de acordo 
com o critério do juro composto, vamos fixar as taxas anual e mensal.
 ia: taxa unitária anual;
 im: taxa unitária mensal;
 número de períodos: um ano para a taxa anual e doze meses para a taxa mensal.
Aplicando a fórmula do montante composto, teremos:
 M = P.(1 + im)12, para a taxa mensal;
 M = P.(1 + ia)1, para a taxa anual;
 (1 + im)12 = (1 + ia).
 Essa fórmula indica que a taxa anual possui 12 
capitalizações da taxa mensal equivalente.
Conceitos básicos
 Exemplo 1: calcule a taxa composta anual equivalente a 2% a.m.
Solução por aplicação direta da fórmula:
 (1 + 0,02)12 = (1 + ia)
 1,0212 = 1 + ia
 1,26824... – 1 = ia
 Ia = 0,26824
 Resposta: a taxa anual é de 26,82% a.a.
Conceitos básicos
 Exemplo 2: calcule a taxa composta mensal equivalente a 30% a.a.
Solução por aplicação direta da fórmula:
 (1 + 0,3)1 = (1 + im)12
 1,3 = (1 + im)12
 – 1 = im
 im = 0,022104451...
 Resposta: a taxa anual é de 2,21% a.m.
Conceitos básicos
Montante composto em um número fracionário de períodos – conceito:
 Em números fracionários de períodos da taxa de juros, desaparece a figura da capitalização, 
pois esta somente acontece ao final de cada período completo.
 Nesse caso, aparecem duas correntes de interpretação, defendendo critérios diferentes. 
Uma delas opta pela transformação da taxa de juros em uma unidade menor, que é 
capitalizada exponencialmente no número total de períodos, o que equivale a capitalizar 
diretamente para o número fracionário de períodos. Esse critério é denominado exponencial.
 A outra corrente escolheu o cálculo do número inteiro de períodos a juros compostos. 
O montante assim obtido é reaplicado a juros simples no número fracionário de períodos.
 Esse critério é denominado linear. Ambos permanecem em 
uso. Os dois critérios conduzem a resultados diferentes e o 
resultado do critério linear é sempre maior que o do critério 
exponencial.
 Vamos ver alguns exemplos:
Conceitos básicos
 Exemplo 1: calcule o montante composto de um principal de R$ 1.000,00, aplicado à taxa 
de juros de 4% ao mês, por 115 dias, pelos critérios exponencial e linear.
 Critério exponencial — fórmula do montante composto: M = P.(1 + i)n
Substituindo os valores numéricos, temos:



 M = 1000.1,162236385 ...
 M = 1162,24
 Pelo critério exponencial, o montante é R$ 1.162,24.
Conceitos básicos
Pelo critério linear, o prazo de 115 dias pode ser visto como 3 meses mais 25 dias, que não 
completam um mês inteiro. Devemos calcular os três primeiros meses a juros compostos e 
reaplicar o montante assim obtido, a juros simples, nos últimos 25 dias. Podemos fazer isso 
em uma única fórmula, calculando o montante final diretamente:
 M = 1000.(1 + 0,04)3. 
 M = 1000.1,043.1,03333333 ...
 M = 1000.1,124864. 1,03333333 ... 
 M = 1162,359466
 Pelo critério linear, o montante é R$ 1.162,36.
 Apenas para lembrar:
 Critério exponencial............................... R$ 1.162,24.
 Critério linear.......................................... R$ 1.162,36.
Conceitos básicos
 Exemplo 2: calcule, segundo os critérios exponencial e linear, o montante composto de um 
principal de R$ 5.000,00 pelo prazo de 30 meses, à taxa de juros composta de 10% a.a. 
 Critério exponencial — fórmula do montante composto: M = P.(1 + i)n



 M = 5000.1,269058706 ...
 M = 6345,293531
 Pelo critério exponencial, o montante é R$ 6.345,29.
Conceitos básicos
Pelo critério linear:
 30 meses correspondem a 2 anos mais 6 meses, então temos: 
 M = 5000.(1 + 0,1)2.
 M = 5000.1,12.1,05
 M = 5000.1,21.1,05
 M = 6352,5
 Pelo critério linear, o montante é R$ 6.352,50.
 Apenas para lembrar:
 Critério exponencial............................... R$ 6.345,29.
 Critério linear.......................................... R$ 6.352,50.
Conceitos básicos
INTERVALO
Séries de capitais – conceito:
 Qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada característica pode ser 
considerada uma série, também denominada, historicamente, anuidade. Esses capitais 
podem ser valores que saem ou entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma série de 
pagamentos, com o objetivo de quitar uma dívida ou uma série de aplicações, denominada 
série de rendas, que tem como objetivo a capitalização de um valor futuro.
 Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual na data zero, 
também denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os valores (termos) da série 
na data zero, valor esse que depende do número e do valor dos pagamentos, bem como da 
taxa de juros utilizada no cálculo do financiamento.
 Já a série de rendas, tem como parâmetro característico 
fundamental o montante, ou valor futuro, que é a soma de 
todas as aplicações na data do último depósito. Esse valor 
dependerá do número e do valor dos depósitos, bem como 
da taxa utilizada para corrigi-los.
Conceitos básicos
São exemplos de séries:
 de pagamentos: aluguéis, condomínios, mensalidades escolares, seguros, financiamentos 
em geral;
 de rendas: poupança programada, poupança imobiliária vinculada, previdência (privada 
e pública).
 O objetivodo nosso curso é aprender a aplicação operacional dos conceitos para 
produzirmos resultados úteis a nós e à coletividade.
 Fórmula do valor presente ou à vista (A): como a definição de valor à vista da série 
configura-o como a soma de todos os pagamentos trazidos para a data zero (sem juros).
 Adotando R para representar o valor das prestações, n para 
o número de prestações e i para a taxa de financiamento, e 
aplicando a definição de valor atual na data zero a cada um 
dos termos da série, teremos:

Conceitos básicos
 Exemplo 1: qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma dívida 
com valor à vista de R$ 5.000,00, a juros compostos de 5% ao mês, em 15 pagamentos 
mensais iguais, sem entrada?


 5000 = R.10,37965804 ...

 R = 481,7114380
 O valor da prestação será R$ 481,71.
Conceitos básicos
Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos – conceito:
 Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de 
empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos 
do valor principal e encargos financeiros.
 Sistema Financeiro da Habitação (SFH): criado em 1964 com o objetivo de viabilizar a 
concessão de financiamentos de longo prazo para aquisição da casa própria, o Sistema 
Financeiro da Habitação é composto por um complexo conjunto de leis e regras próprias 
que definem as condições da concessão do financiamento em cada época.
 A concessão de um financiamento habitacional inicia-se 
com a procura, pelos interessados, de um agente financeiro.
 Uma característica fundamental dos sistemas de amortização 
é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, 
incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor 
(montante) apurado em período imediatamente anterior.
Conceitos básicos
 Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam da forma pela qual 
o valor principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor. Antes de estudá-los, 
é importante definirmos os principais termos empregados nas operações de empréstimos 
e financiamentos.
 Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo 
para o devedor e retorno para o credor. Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. O que 
distingue essas duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em função de uma 
expectativa (prefixação) ou verificação posterior (pós-fixação) do comportamento de 
determinado indexador.
Conceitos básicos
Alguns termos são muito importantes dentro do estudo da capitalização. São eles:
 Amortização: fração do capital paga ou recebida em um determinado período. 
É representada pela variável A.
 Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos, sendo composto de 
uma parcela de capital chamada amortização e uma parcela de juros. É representada por 
PMT (abreviatura de payment, que significa pagamento), nomenclatura aqui utilizada em 
função de ser a representação mais comum na maioria das calculadoras financeiras.
Matematicamente, podemos agora descrever:
 Prestação = Amortização + Juros.
PMT = A + i
Conceitos básicos
 Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira que relaciona, dentro 
de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.
Os sistemas de amortização mais usados no mercado são:
 SAC – Sistema de Amortização Constante;
 SAF – Sistema de Amortização Francês (Price);
 SAM – Sistema de Amortização Misto;
 SAA – Sistema de Amortização Americano;
 SACRE – Sistema de Amortização Crescente.
Conceitos básicos
Sistema de Amortização Constante (SAC) – conceito:
 O Sistema de Amortização Constante tem como característica básica as amortizações 
sempre iguais do valor principal, em todo o prazo da operação. O valor da amortização é 
facilmente obtido mediante a divisão do capital (quantia emprestada) pelo número de 
prestações. Nessa modalidade, os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante 
decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos 
períodos. Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações 
periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética.
 Para sua melhor compreensão, exploremos agora um 
exemplo: um capital de R$ 100.000,00 será financiado, 
em 5 anos, com taxa de juros de 30% ao ano pelo SAC. 
Devemos desenvolver uma planilha que mostre o desenrolar 
das prestações e dos juros.
Conceitos básicos
O SAC determina que a restituição do valor principal (capital emprestado) seja efetuada em 
parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização devida semestralmente é calculado pela 
simples divisão do valor principal pelo número fixado de prestações, ou seja:
 30% a.a. = 14,0175% a.s.
 100 000 00 / 10 = 10.000,00
 Amortização: 10.000,00 ao sem.
Conceitos básicos
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1 90.000,00 10.000,00 14017,5 24.017,50
2 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75
3 70.000,00 10.000,00 11214 21.214,00
4 60.000,00 10.000,00 9812,25 19.812,25
5 50.000,00 10.000,00 8410,5 18.410,50
6 40.000,00 10.000,00 7008,75 17.008,75
7 30.000,00 10.000,00 5607 15.607,00
8 20.000,00 10.000,00 4205,225 14.205,25
9 10.000,00 10.000,00 2803,5 12.803,50
10 10.000,00 1401,75 11.401,75
Total 100.000,00 77.096,25 177,096,25
Fonte: adaptado do livro-texto.
 SAC com carência – conceito
 Carência: significa a postergação do valor principal, excluídos os juros. Os encargos 
financeiros podem, dependendo das condições contratuais, ser pagos ou não durante essa 
etapa. No primeiro caso, eles são capitalizados e pagos junto à primeira parcela de 
amortização do valor principal ou distribuídos por várias datas pactuadas de pagamento. 
Contudo, é mais comum o segundo caso: serem pagos no período de carência.
Conceitos básicos
 O mesmo exemplo anterior: um capital de R$ 100.000,00 será financiado em 5 anos, com 
taxa de juros de 30% ao ano pelo SAC. Devemos desenvolver uma planilha que mostre o 
desenrolar das prestações e dos juros. Considere uma carência de 2 anos.
 Ao final dos 4 primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos 
financeiros, atinge R$ 14.017,50, ou seja, 14,0175% x R$ 100.000,00. A partir do 5º 
semestre, tendo sido encerrada a carência de 2 anos, inicia-se a amortização do valor 
principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, desse momento em diante, idêntico 
ao desenvolvido anteriormente:
Conceitos básicos
 Tabela demonstrando o 
fluxo, incluindo a carência 
de 2 anos.
Conceitos básicos
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1 100.000,00 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75
7 70.000,00 10.000,00 11214 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9812,25 19.812,25
9 50.000,00 10.000,00 8410,5 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7008,75 17.008,75
11 30.000,00 10.000,00 5607 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4205,225 14.205,25
13 10.000,00 10.000,00 2803,5 12.803,50
14 - 10.000,00 1401,75 11.401,75
Total 100.000,00 133.166,25 233.166,25
Fonte: adaptado do livro-texto.
 Vejamos agora como fica a 
tabela, com relação ao mesmo 
exemplo, para o caso de 
carência e capitalização de juros.
Conceitos básicos
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1 114.017,50 -
2 129.999,90 -
3 148.222,64 -
4 168.999,75 -
5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51
6 135.199,77 16.899,97 21320,5857 38.220,56
7 118.199,80 16.899,97 18951,63174 35.851,61
8 101.399,85 16.899,97 16582,67777 33.482,65
9 84.499,87 16.899,97 14213,7238 31.113,70
10 67.599,90 16.899,97 11844,76984 28.744,74
11 50.699,92 16.899,97 9475,815868 26.375,79
12 33.799,95 16.899,97 7106,861901 24.006,84
13 16.899,97 16.899,97 4737,90793421.637,88
14 - 16.899,97 2368,953967 19.268,93
Total 168.999,75 130.292,47 299.292,22
Fonte: adaptado do livro-texto.
Sistema de Amortização Francês – conceito:
 O Sistema de Amortização Francês (SAF), desenvolvido originalmente pelo inglês Richard 
Price, assumiu essa denominação pelo seu uso amplamente generalizado na França no 
século passado. Amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula que as 
prestações sejam iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao modelo 
de fluxos de caixa. Os juros incidem sobre o saldo devedor, são decrescentes e as parcelas 
de amortização assumem valores crescentes. No SAF, os juros decrescem e as 
amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece 
sempre igual ao valor da prestação. 
 A principal diferença entre o SAC e o SAF é que os valores 
pagos ao final do período de cada um deles são diferentes.
 A planilha financeira do SAF é mais elaborada, partindo-se da 
última coluna para a primeira, isto é, calculam-se inicialmente 
as prestações e, posteriormente, para cada período, os juros, 
as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor.
Conceitos básicos
 Da mesma forma que ocorre com o SAC, o SAF pode ser realizado com ou sem 
carência, capitalizando ou não os juros durante a carência.
 Exemplo 1: SAF sem carência. Consideremos a mesma situação de exemplos já citados:
financiamento de R$ 100.000,00, com prazo de pagamento de 10 semestres, com taxas de
14,01755% ao semestre.
 A fórmula utilizada para calcular o valor de cada uma das prestações é mesma utilizada 
na Unidade II para séries de pagamentos e financiamentos


 100000 = PMT.5,212555174 ...
 PMT = 19184,44921 ...
Conceitos básicos
 PMT = 19184,44
Primeira amortização:
 100000.14,0175% = 14017,50
 19.184,44 – 14.017,50 = 5166,94
 100000 – 5166,94 = 94833,06
 Saldo devedor: 94833,06
 94833,06.14,0175% = 13293,22
 19.184,44 – 13292,22 = 5891,22
Conceitos básicos
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1 94.833,06 R$5.166,94 14.017,50 R$19.184,44
2 88.941,84 R$5.891,22 13.293,22 R$19.184,44
3 82.224,83 R$6.717,02 12.467,42 R$19.184,44
4 74.566,25 R$7.658,57 11.525,87 R$19.184,44
5 65.834,14 R$8.732,12 10.452,32 R$19.184,44
6 55.878,00 R$9.956,14 9.228,30 R$19.184,44
7 44.526,26 R$11.351,74 7.832,70 R$19.184,44
8 31.583,28 R$12.942,97 6.241,47 R$19.184,44
9 16.826,03 R$14.757,25 4.427,19 R$19.184,44
10 0,18 R$16.825,85 2.358,59 R$19.184,44
R$99.999,82 91.844,58 R$191.844,40
Fonte: adaptado do livro-texto.
Sistema de Amortização Misto – conceito:
 O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de
financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Trata-se simplesmente de uma mescla 
do Sistema de Amortização Francês (SAF) e do Sistema de Amortização Constante (SAC), 
por meio de uma média aritmética. Por ser uma mescla entre dois sistemas, recebeu a 
denominação de sistema misto. Para cada um dos valores do seu plano de pagamentos, 
devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC e dividir o resultado por dois. Ao 
se adotar o SAM para o empréstimo contraído, têm-se, para o primeiro período (semestre), 
os seguintes valores:
Conceitos básicos
Sistema de Amortização Misto – conceito:
Conceitos básicos
Tabela SAC
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1 90.000,00 10.000,00 14017,5 24.017,50
2 80.000,00 10.000,00 12215,75 22.615,75
Tabela SAF
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1 90.000,00 R$5.166,94 14.017,50 R$19.184,44
2 80.000,00 R$5.891,22 13.293,22 R$19.184,44
Fonte: adaptado do livro-texto.
Fonte: adaptado do livro-texto.
Para os demais semestres, 
segue-se o mesmo raciocínio, 
conforme a tabela: 
Conceitos básicos
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1 92.416,53 R$7.583,47 R$14.017,50 R$21.600,97
2 84.470,92 R$7.945,61 R$12.954,49 R$20.900,10
3 76.112,41 R$8.358,51 R$11.840,71 R$20.199,22
4 67.283,13 R$8.829,29 R$10.669,06 R$19.498,35
5 57.917,07 R$9.366,06 R$9.431,41 R$18.797,47
6 47.939,00 R$9.978,07 R$8.118,53 R$18.096,60
7 37.263,13 R$10.675,87 R$6.719,85 R$17.395,72
8 25.791,64 R$11.471,49 R$5.223,36 R$16.694,85
9 13.413,01 R$12.378,63 R$3.615,34 R$15.993,97
10 0,09 R$13.412,92 R$1.880,17 R$15.293,10
R$99.999,91 84.470,41 R$184.470,33
Fonte: adaptado do livro-texto.
 Gráfico de comparação 
entre SAC, SAF e SAM. 
Conceitos básicos
Fonte: livro-texto.
Sistema de Amortização Americano – conceito:
 O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado 
seja efetuada ao final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. De 
acordo com essa característica básica do SAA, não estão previstas amortizações 
intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos 
periodicamente.
Conceitos básicos
Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação
0 100.000,00
1 100.000,00 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
Total 100.000,00 84.105,00 184.105,00
Fonte: adaptado do livro-texto.
Sistema de Amortização Crescente (Sacre) – conceito:
 O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica 
Federal. Nele utiliza-se a metodologia de amortização constante (SAC anual), mas sem 
adicionar o valor da TR (Taxa Referencial).
 Dessa forma, o Sacre proporciona uma amortização variável. Apesar do nome, amortização
“crescente”, ele pode resultar em amortizações decrescentes, caso a TR esteja com valor 
baixo.
 A intenção desse sistema misto é proporcionar maior amortização do valor emprestado, 
reduzindo, ao mesmo tempo, a parcela de juros sobre o saldo devedor.
 O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price
as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de 
um momento, as prestações começam a diminuir.
Conceitos básicos
ATÉ A PRÓXIMA!