Apresentação do PowerPoint - Material Complementar - Matemática Financeira

Prévia do material em texto

Prof. Claudio Ditticio
Material Complementar: 
Matemática Financeira
Equivalências de taxas (juros compostos)
(1 ) 1
equivalente
conhecido
n
n
equivalente conhecidai i
i taxadejuros
n prazo
  


taxa de juros
13. Qual é a taxa equivalente, no regime de juros compostos, a:
Equivalências de taxas (juros compostos)
Taxa nominal Taxa equivalente
0,5% ao mês Trimestre
4% ao bimestre Dia
4,5% ao trimestre Ano
5% ao quadrimestre Bimestre
 0,5% ao mês = (1+0,05)3 – 1 = 0,1576trimestre
 4% ao bimestre = (1 + 0,04) – 1 = 0,0653dia
 4,5% ao trimestre = (1+0,045)4 – 1 = 19,25%ano
 5% ao quadrimestre = (1 + 0,05) – 1 = 24,70%bimestre
Equivalências de taxas (juros compostos)
1 
60
1 
2
Taxas acumuladas e médias (juros compostos)
1 2(1 )(1 )...(1 ) 1acumulada nI i i i    
1 2(1 )(1 )...(1 ) 1
n
média nI i i i    
14. Um determinado país apresentou a seguinte variação (inflação ou deflação anual), 
em determinado período:
 Calcule e informe a taxa acumulada e a média da variação 
dos preços nesse período, informando também se houve 
inflação ou deflação.
Taxas acumuladas e médias (juros compostos)
Período
Taxa de inflação (positiva) ou deflação 
(negativa) em %
Agosto 1
Setembro 0
Outubro -0,3
 Taxas acumuladas e médias (juros compostos)
Cálculo da taxa acumulada no período:
 Iacumulada = (1 + 0,01)(1 + 0,0)(1 – 0,003) – 1
 Iacumulada = (1,01)(1)(0,997) – 1
 Iacumulada = (1,007) – 1 = 0,007 = 0,7%
Cálculo da taxa média no período:
 Imédia = 
3 (1,007) – 1 = 1,002327 – 1 = 0,0023 = 0,2379%
 Como a taxa calculada foi positiva, conclui-se pela 
ocorrência de inflação, no período.
Taxas reais (juros compostos)
15. Com base na taxa de inflação obtida na questão imediatamente anterior (0,7% no 
período), informe a taxa real de uma operação financeira contratada a 10%, por todo 
esse mesmo período, por meio do regime de juros compostos:
a) 3%.
b) 0,28%.
c) 2,5%.
d) 3,5%.
e) 9,2%.
Taxas reais (juros compostos)
Taxas reais (juros compostos)
 Mais de um pagamento (periódico ou não) durante o fluxo de uma operação financeira.
Podem variar em função de:
 Tempo: temporária (número finito de pagamentos) ou infinita (número indeterminado 
de pagamentos).
 Periodicidade: periódicas (quando ocorrem em intervalos de tempo iguais) 
ou não periódicas.
Séries de pagamentos ou recebimentos
 Valor dos pagamentos: fixos/uniformes (quando os pagamentos são iguais) ou variáveis.
 Vencimento do primeiro pagamento: imediata (quando ocorre exatamente no primeiro 
período da série) e diferida.
 Momento dos pagamentos: antecipada (quando o pagamento é feito no momento 0-zero) 
ou postecipada/vencida (quando os pagamentos ocorrem no final de cada período).
Séries de pagamentos ou recebimentos
 São aquelas em que os pagamentos são constantes e ocorrem em intervalos iguais.
Antecipadas:
 Primeiro pagamento ocorre no início de cada período.
Postecipadas (vencidas):
 Primeiro pagamento ocorre no final de cada período.
Diferidas:
 Primeiro pagamento ocorre após um certo período 
denominado carência.
 Podemos, assim, representar graficamente as séries uniformes 
de pagamentos.
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos
Uso das teclas financeiras da Calculadora HP12c
 (PV): capital no instante inicial (zero) de uma série de pagamentos.
 (FV): montante no instante da última prestação – valor futuro de uma série de 
pagamentos.
 (i): taxa de juros, na forma %.
 (n): números de períodos da série de pagamentos.
 (PMT): valor de cada prestação ou pagamento.
 (BEG): indicação, no visor, de séries antecipadas.
 (END): indicação, no visor, de séries postecipadas.
Tempo Taxa
Capital ou 
Valor do 
presente
Montante 
ou Valor 
futuro
Inverte 
o sinal
Fonte: o autor
Cálculos algébricos (envolvendo VP e PMT)
 Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base de tempo.
 Antecipada
 Postecipada
 Diferida
VP VF
Antecipados
Vencidos
Alternativas de cálculos algébricos (envolvendo VP, VF e PMT)
 Permitem calcular valores futuros e presentes de um único pagamento ou de uma série de 
pagamentos uniformes, além dos valores das parcelas fixas de um financiamento.
 Por exemplo, a partir da taxa (i) e número de parcelas (n), o fator de valor presente de uma 
série uniforme de pagamentos/recebimentos, multiplicado pelo valor da parcela fixa 
resulta no valor presente (à vista) de todos os valores periódicos.
Uso de tábuas financeiras
( )VP PMT Fator
Uso de tábuas financeiras
Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME
Valor Presente de uma Série Uniforme: multiplique o valor da parcela fixa pelo fator da tabela e encontre o valor presente de todas 
as parcelas da série de pagamento
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696
2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8851 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,7125 1,6901 1,6681 1,6167 1,6257
3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4437 2,4018 2,3612 2,3216 2,2832
4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,1024 3,0373 2,9745 2,9137 2,8550
5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,1002 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6959 3,6048 3,5172 3,4331 3,3522
6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,7665 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,2305 4,1114 3,9975 3,8887 3,7845
Uso de tábuas financeiras (Cont.)
Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME
Valor Presente de uma Série Uniforme: multiplique o valor da parcela fixa pelo fator da tabela e encontre o valor presente de todas 
as parcelas da série de pagamento
n/i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,3893 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,7122 4,5638 4,4226 4,2883 4,1604
8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 5,9713 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 5,1461 4,9676 4,7988 4,6389 4,4873
9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,5152 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,5370 5,3282 5,1317 4,9464 4,7716
10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,0236 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,8892 5,6502 5,4262 5,2161 5,0188
11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,1390 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 6,2065 5,9377 5,6869 5,4527 5,2337
12 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 7,5361 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,4924 6,1944 5,9176 5,6603 5,4206
16. Calcular o valor de um financiamento (pagamento à vista) a ser quitado em seis 
pagamentos mensais de $ 1.500,00; vencendo a primeira parcela a 30 dias da 
liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.
 VP = ?
 PMT = 1.500,00
 Postecipada ou vencida
 i = 0,035 a,m.
 n = 6 meses
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos postecipados 
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos postecipados 
INTERVALO
17. Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 prestações 
mensais de $ 150,00. A loja está oferecendo uma carência de 5 meses para o primeiro 
pagamento. Determine o valor à vista dessa mercadoria, sabendo-se que a taxa de 
juros praticada é de 3% a.m. 
 PMT = 150,00
 Carência = 5 meses
 i = 0,03 a.m.
 VP = (valor à vista)?
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos – diferidas
 Série foi tratada como postecipada.
Séries uniformes de pagamentos ou recebimentos – diferidas
Na calculadora HP12c, teríamos:
 (f) (REG)
 150
 (CHS)
 (PMT)
 (g)
 (END)
Postergando o início da série de pagamentos postecipados 
Na calculadora HP12c, teríamos:
 5
 (n)
 3
 (i)
 PV
 Resultado: 686,96
Postergando o início da série de pagamentos postecipados 
 CHS)
 (FV)
 0
 (PMT)
 4
 (n)
 PV
 Resultado: 610,35
Exemplo 2 (antecipando o início da série de pagamentos antecipados)
 Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base.
 Sistema Americano (SAA);
 Sistema de Amortização Constante(SAC);
 Sistema de Amortização Francês (Price).
 Os sistemas diferem quanto aos componentes das respectivas séries e composição dos 
períodos de pagamentos ou recebimentos.
Amortizações
 Nessa hipótese, a amortização só ocorre no último período da operação.
 Os juros são calculados com base no saldo devedor do início de cada período.
SAA (Sistema de Amortização Americano)
18. Um investidor obteve um empréstimo de R$ 100.000,00 para o pagamento em 4 
parcelas mensais, que correspondem às amortizações do principal e dos 
pagamentos dos juros. A operação foi feita a uma taxa de 2% ao mês.
SAA (Sistema de Amortização Americano)
 Valor da amortização: 100.000,00 (apenas no último período).
Valores do período 1:
 Amortização: 0,00
 Saldo devedor no final do período anterior = 100.000,00
 Valor dos juros: 100.000,00 x 0,02 = 2.000,00
 Valor da primeira prestação: 2.000,00
 Saldo devedor no final do período: 100.000,00
 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em cada período.
SAA (Sistema de Amortização Americano)
Sistema de Amortização Americano (SAA)
MAPA FINANCEIRO – SISTEMA (SAA)
Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor
Inicial 100.000,00
1 2.000,00 0,00 2.000,00 100.000,00
2 2.000,00 0,00 2.000,00 100.000,00
3 2.000,00 0,00 2.000,00 100.000,00
4 2.000,00 100.000,00 102.000,00 0,00
Totais 8.000,00 100.000,00 108.000,00
19. Um investidor obteve um empréstimo de R$ 100.000,00 para o pagamento em 4 
parcelas mensais, que correspondem às amortizações do principal, iguais em todas 
as parcelas, e aos pagamentos dos juros. A operação foi feita a uma taxa de 2% ao 
mês.
SAC (Sistema de Amortização Constante)
 Repete-se em cada período o valor da amortização, dividido pelo número de períodos.
 Os juros são calculados a partir do saldo devedor do início de cada período.
Valores do período 1:
 Amortização: 25,000,00
 Saldo devedor no final do período anterior = 100.000,00
 Valor dos juros: 100.000,00 x 0,02 = 2.000,00
 Valor da primeira prestação: 2.000,00 + 25.000,00 = 27.000,00
 Saldo devedor no final do período: 75.000,00
 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em 
cada período.
SAC (Sistema de Amortização Constante)
SAC (Sistema de Amortização Constante)
Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor
Inicial 100.000,00
1 2.000,00 25.000,00 27.000,00 75.000,00
2 1.500,00 25.000,00 26.500,00 50.000,00
3 1.000,00 25.000,00 26.000,00 25.000,00
4 500,00 25.000,00 25.500,00 0,00
Totais 5.000,00 100.000,00 105.000,00
20. Um investidor obteve um empréstimo de R$ 100.000,00 para o pagamento em 4 
parcelas mensais iguais, que correspondem às amortizações do principal e 
pagamentos dos juros. A operação foi feita a uma taxa de 10% ao mês.
(Price) Sistema de Amortização Francês
 Repete-se em cada período o valor da prestação.
 Os juros são calculados a partir do saldo devedor do início de cada período.
Valores do período 1:
 Amortização: conforme se trata de série antecipada ou postecipada.
 Saldo devedor no final do período anterior = 100.000,00
 Valor dos juros: 100.000,00 x 0,10 = 10.000,00
 Valor da primeira prestação: 31.545,74
 Saldo devedor no final do período: 78.454,46
 O slide a seguir mostra o mapa geral com os totais em cada 
período.
(Price) Sistema de Amortização Francês
Sistema de Amortização Francês
Períodos Juros Amortização Prestação Novo saldo devedor
Inicial 100.000,00
1 10.000,00 21.545,74 31.545,74 78.454,26
2 7.845,42 23.700,32 31.545,74 54.753,94
3 5.475,39 26.070,35 31.545,74 28.683,59
4 2.868,35 28.683,59 31.551,94 0,00
Totais 26.189,16 100.000,00 126.189,16
MOITA, Flávio. Análise de Investimentos: As cinco técnicas mais utilizadas para avaliar 
investimentos. São Paulo: Amazon Kindle. 2010 (e-book).
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: 
Saraiva. 2009.
ZENTGRAF, Walter. Matemática Financeira com emprego de funções e planilhas-modelo 
do Excel. Rio de Janeiro: Campus. 2007.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!
Prof. Claudio Ditticio
Material Complementar: 
Matemática Financeira
 O valor do dinheiro no tempo e a existência de juros são elementos interligados e 
indispensáveis no estudo da Matemática Financeira.
 100,00 hoje valem mais do que 100,00 no futuro!
Exercícios – Matemática Financeira
 Saber resolver problemas de matemática, como, por exemplo, com juros compostos, é 
determinante para nossa vida acadêmica, pessoal e profissional.
Como argumenta MOITA (2010):
 Os juros compostos são estudados em disciplinas de matemática financeira, em cursos de 
graduação e pós-graduação, como também no ensino fundamental. Esse conteúdo também 
é cobrado em concursos, seleções, testes profissionais e vestibulares.
Por que é importante o conhecimento de Matemática Financeira?
 Conceitos fundamentais de Matemática Financeira;
 Operações com mercadorias;
 Juros e descontos simples;
 Equivalências de taxas em juros simples;
 Juros compostos;
 Equivalências de taxas em juros compostos;
 Séries de pagamentos ou recebimentos;
 Amortizações de empréstimos.
 Soluções com o emprego de método algébrico e com uso de 
calculadoras e softwares financeiros.
Exercícios – Matemática Financeira – Tópicos a serem revistos
 Quando um problema é apresentado, ele deve ser interpretado para que seus dados 
sejam extraídos e trabalhados de forma correta.
 É sabido que aqui repousa a grande dificuldade para a solução de problemas de 
Matemática Financeira.
Método de resolução de exercícios
 Coleta de dados: separação dos elementos centrais do problema.
 Terminologia relacionada com as nomenclaturas específicas da Matemática Financeira.
Cálculo, cuja importância é complementar, de vez que se o problema estiver devidamente 
interpretado, o resultado encontrado concluirá o processo:
 fórmulas algébricas;
 tábuas financeiras;
 calculadora, como a HP12c;
 Softwares, como o Excel.
Método de resolução de exercícios
Uso da Calculadora HP12c
Fonte: https://www.educalc.net/324080.page
 Estudo e operações de Matemática Financeira.
 Característica básica: lógica RPN ao invés da algébrica.
 RPN: operadores matemáticos digitados após os números.
 não é usado = 2 + 3 = 5 visor: 5
 E sim = 2 (enter) 3 + visor: 5
 Podem ser digitados dois números seguidos – até três – com (ENTER), após cada um e, a 
seguir, retrocedendo, os sinais das operações algébricas pretendidas com os números.
Uso da Calculadora HP12c
 Muitas teclas da HP12c executam mais de uma função.
 Teclas de prefixos/funções:
 (f) laranja
 (g) azul
 (Cfo): valor de caixa no instante 0.
 5 (g) (Cfo).
 (Cfj): valor de caixa que ocorre a cada período
 0 (g) (Cfj) -0: quando não há qualquer valor de entrada ou 
saída.
 Usadas para fluxos de caixa de financiamentos e empréstimos.
Uso da Calculadora HP12c
 (PV): capital no instante inicial (zero) de uma série de pagamentos.
 (FV): montante no instante da última prestação – valor futuro de uma série de pagamentos.
 (i): taxa de juros, na forma %.
 (n): números de períodos da série de pagamentos.
 (PMT): valor de cada prestação ou pagamento.
 (BEG): indicação, no visor, de séries antecipadas.
 (END): indicação, no visor, de séries postecipadas
Funções das teclas financeiras da HP12c
Tempo Taxa
Montante
ou
valor 
futuro
Capital 
ou
valor do 
presente
Inverte 
o sinal
Fonte: o autor.
1. Desenhe o diagrama de caixa de uma aplicação inicial de R$ 10.000,00, que rende R$ 
2.000,00 em cada um dos três próximos meses e permite um resgate, no final do período, 
de R$ 4.000,00. 
 Fluxos negativos (saídas de caixa): 10.000,00 (momento 0).
 Fluxos positivos (entradas de caixa): 2.000,00 (em cada um dos meses 1, 2 e 3) e 4.000,00 
no final do período.
Diagrama de fluxo de caixa
Diagrama de fluxo de caixa
2.000,00 2.000,00
10.000,00
4.000,00
2.000,00
0 1 2 3
MESES
2. Calculeos valores decimais, relativos aos percentuais: 
a) 0,5% ao dia;
b) 15% ao quadrimestre;
c) 0,01% ao dia;
d) 160% ao ano.
 Percentagem é um número dividido por 100.
Porcentagens
3. Por quanto deverá ser vendido um equipamento adquirido por R$ 500,00, admitindo que o 
comerciante deseja obter um lucro de 20% sobre o preço/custo de aquisição? 
 PV = PC + L
 PC = 500,00
 L = 0,20(PC)
 PV = 500,00 + 0,20(500,00)
 PV = 600,00
 PV = Preço de venda;
 PC = preço de compra;
 L/P = Lucro/Prejuízo
Porcentagens
4. Por quanto deverá ser vendido um equipamento adquirido por R$ 500,00; admitindo que o 
vendedor deseja obter um lucro de 20% sobre o preço de venda?
 PV = PC + L PV = 500,00 + 0,20(PV)
 PC = 500,00 PV – 0,20(PV) = 500,00
 L = 0,20(PV) PV = 500,00/0,8
PV = 625,00
 PV = Preço de venda;
 PC = preço de compra;
 L/P = Lucro/Prejuízo
Operações com mercadorias
 Tanto a taxa quanto o prazo DEVEM ESTAR EXPRESSOS NA MESMA BASE de tempo.
 M = C(1 + i.n)
 J = C.i.n
 M = C + J
 M = montante/valor futuro
 C = capital/valor presente/principal
 i = taxa de juros
 J = valor dos juros
Juros Simples
5. João Falastrão efetuou uma aplicação no banco no qual mantém sua conta corrente, 
remunerada a juros simples, desejando dobrar o capital que possui atualmente.
 O banco informou-lhe que a taxa da operação é de 10% ao bimestre. 
Em quanto tempo João conseguirá dobrar o atual capital? 
 M = C (1+i.n) 
 C = C (pode ser 
qualquer valor)
 i = 10% ao bimestre 
 n = ? 
Juros Simples
6. Qual é taxa devida por um empréstimo que libera ao tomador R$ 10.000,00, para ser 
resgatado por R$ 13.000,00 em um período de 5 meses, no regime de juros simples?
Juros Simples
INTERVALO
7. Um empresário tem uma conta de cheque especial em um banco que permite saques a 
descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias 
que a conta ficar descoberta. Calcule o montante dos juros cobrados no mês de abril, 
assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que, em abril, são emitidos os 
seguintes cheques (PUCCINI, 2009, p. 29)
Juros Simples
Data Valor do cheque (R$)
1º de abril 2.000,00
11 de abril 1.000,00
22 de abril 2.000,00
 Convertendo a taxa em diária:
 Juros de 1º a 10 de abril: 
 Juros de 11 a 20 de abril: 
 Juros de 21 a 30 de abril:
 Total dos juros: 10,00 + 
15,00 + 20,00 = 45,00
Juros Simples
Alternativamente: 
 Cálculo do saldo médio devedor:
 Juros de Abril: 
Juros Simples
 Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base.
 DRS = desconto racional simples
 DBS = desconto bancário (ou comercial) simples
 VN = valor de face/nominal
 VL = valor líquido, após a operação de descontos
Descontos simples
8. Uma duplicata, no valor de 25.000,00, é descontada em um banco 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra também 1% sobre o 
valor nominal do título, como despesas administrativas, e que a alíquota do IOF (Imposto 
sobre Operações Financeiras) devida pela operação é 0,0041% ao dia sobre o líquido 
descontado, após os valores do desconto e das despesas administrativas, calcule o 
montante final recebido pelo portador do título.
 O cliente tem como outra opção a tomada de um empréstimo com a taxa líquida final de 
2,8% ao mês.
 Qual é a melhor opção para o tomador do empréstimo?
Descontos simples
 VN: 25.000,00
 Prazo: 2 meses.
 Taxa: 2,5% a.m.
 Taxa de administração: 1% s/ VN.
 Alíquota do IOF: 0,0041% ao dia – calculado sobre a respectiva base de cálculo do imposto 
(valor líquido descontado, já deduzido também da taxa de administração).
 i = ?
 VL (final):?
 D(iof) = ?
Desconto bancário, comercial ou “por fora”
Considerando-se o valor líquido final, recebido pelo tomador do empréstimo:
PV = 23.442,19 e que FV (ou N) = 25.000,00, a taxa global – mensal – líquida – da operação 
de descontos será:
 Portanto, a operação alternativa melhor para o tomador é a operação de empréstimo com a 
taxa de 2,8% ao mês.
Desconto bancário, comercial ou “por fora”
9. Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para serem descontadas em 
banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês.
Qual é o valor líquido recebido pela empresa, considerando que o banco trabalhará com 
conjunto/total do borderô e não título a título?
Operações com um conjunto de títulos descontados
Duplicata R$
Prazo/vencimento 
(dias)
A 2.500,00 25
B 3.500,00 57
C 6.500,00 72
 Precisamos, inicialmente, obter o prazo médio desse conjunto de títulos, que será utilizado 
no cálculo do desconto do valor total do borderô.
 Esse prazo será obtido com base na média aritmética dos títulos, ponderados pelo seus 
respectivos valores.
Operações com um conjunto de títulos descontados
 VL = 12.500,00 – 730,00 = 11.770,00
Operações com um conjunto de títulos descontados
10. Qual é a taxa equivalente, no regime de juros simples, a:
Taxas equivalentes – Juros e descontos simples
Taxa nominal Taxa equivalente
0,5% ao mês Trimestre
4% ao bimestre Dia
4,5% ao trimestre Ano
5% ao quadrimestre bimestre
 0,5% ao mês: itrim = 0,5(3) = 1,5%trim
 4% ao bimestre: idia = 4/60 = 0,67%dia
 4,5% ao trimestre: iano = 4,5(4) = 18%ano
 5% ao quadrimestre: ibim = = 2,5%bim
Taxas equivalentes – Juros e descontos simples
5
2
 Cálculo de juros.
 Equivalência de taxas.
 Taxas acumuladas.
 Taxas médias.
 Taxas reais.
Juros compostos
 Tanto a taxa quanto o prazo devem estar expressos na mesma base de tempo.
 M = montante/valor futuro
 C = capital/valor presente/principal
 i = taxa de juros
 J = valor dos juros
Juros compostos
 O fluxo pode ser mostrado tanto sob a ótica do tomador como de quem concedeu o 
empréstimo.
 Ou, então, tanto sob a ótica de quem fez a aplicação quanto de quem vendeu o título 
financeiro.
 Fluxo de Caixa (visão do tomador).
$1.000
a
Fluxo de caixa (visão do tomador de empréstimo)
$1.100
b
1 2 3 4 5
c
11. Qual é o montante de uma aplicação de 13.500,00, à taxa de 25% a.a., para 92 dias, pelo 
regime de juros compostos?
 M = ?
 C = 13.500
 i = 25% a.a.
 n = 92 dias
 Usualmente, trabalhamos com mês (30 dias) e ano 
comercial (360 dias).
Juros compostos
Na calculadora HP12c, executaríamos os procedimentos:
 (f) (FIN)
 13.500 (ENTER)
 1,25 (ENTER)
 92 (ENTER)
 360 (/)
 (x)
 Resultado: 14.292,22
Juros compostos
Fonte: https://www.educalc.net/324080.page
12. Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em determinado momento produz, à taxa 
composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$ 26.596,40 em uma certa data 
futura. Calcular o prazo da operação.
 (Nos cálculos, trabalhe com 2 casas decimais, arredondando a segunda posição após a 
vírgula. Considere que o log de 1,21 é 0,08 e o de 1,02 é 0,009. Arredonde o número inteiro, 
correspondente ao resultado final).
 C = 22.000,00
 i = 2,4% a.m.
 M = 26.596,40
Juros compostos
 M = C(1+i){n
 26.596,40 = 22.000,00(1+0,024)^n
 26.596,40 = 22.000,00 (1,024)^n
 26.596,40/22.000,00 = 1,024^n Uso Logarítimos neperianos – basen
 1,2089 = 1,024^n
 1,21= 1,02^n
 Log (1,21) = Log (1,02)^n
 0,08 = 0,09^n
 n = 0,08/0,009
 n = 8,88 meses = 8 meses e 26 dias
 Usualmente, trabalhamos com mês e ano comercial.
Juros compostos
ATÉ A PRÓXIMA!