1 ANALISE DE FUNCOES E SEUS GRÁFICOS_atualizando

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CÁLCULO DIFERENCIAL
Prof. Dr. Bruno Wallacy Martins
Análise de Funções e seus Gráficos
Profº Bruno Wallacy				 brwallacy@yahoo.com.br / brunow@ufpa.br 	11
Tabelas, gráficos e equações fornecem três métodos para descrever como uma quantidade depende da outra. A importância fundamental dessa ideia foi reconhecida por Leibniz em 1673, quando cunhou o termo função para descrever a dependência de uma quantidade de outra. Os exemplos a seguir ilustram esse termo:
· A área A de um círculo depende de seu raio r pela equação A = πr2; assim dizemos que A é uma função de r: .
· A velocidade v de uma bola caindo livremente no campo gravitacional da Terra aumenta com o tempo t até que ela atinja o chão, assim dizemos que v é uma função de t: 
· Em uma cultura, o número n de bactérias presentes após 1 hora de crescimento depende do número inicial de bactérias n0, assim dizemos que n é uma função de n0.
· O crescimento de uma planta dependerá da quantidade de fertilizante aplicada ao solo.
Essa ideia é expressa na seguinte definição:
“Se uma variável y depende de uma variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x”.
As funções podem ser representadas de quatro maneiras básicas:
· Numericamente, por tabelas;
· Geometricamente, por gráficos;
· Algebricamente, por fórmulas;
· Verbalmente, como por exemplo, a Lei da Gravitação Universal enunciada por Isaac Newton:
“A força gravitacional de atração entre dois corpos no Universo é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles”.
A descrição algébrica é dada pela fórmula
no qual F é a força de atração, e são as massas, d é a distância entre eles e G é a constante de proporcionalidade.
Algumas vezes, é desejável converter uma representação de função em outra. A seguir, veremos as funções mais importantes em engenharia e exemplos que ilustram o poder de sua representação como ferramenta na solução de problemas.
Função Afim
A função afim tem a forma
Com a e b números reais. Se , ou seja, se , a função é chamada de função linear.
A função linear se caracteriza por ter um crescimento ou decrescimento constante. Qualquer mudança na variável independente causa uma mudança proporcional na variável dependente.
Os dados a seguir descrevem que, em determinada época do ano, com temperatura mínima do ar igual a 9 °C, a temperatura mínima da superfície do solo f (em °C) é predita em função do resíduo de planta e biomassa na superfície x (g/m2).
Tabela 1
	x
	10
	20
	30
	40
	50
	60
	70
	f (x)
	7,24
	7,30
	7,36
	7,42
	7,48
	7,54
	7,60
Devemos analisar a relação entre as variações das grandezas x e f (x). Faremos o seguinte,
Isso pode ser observado com quaisquer dois valores da tabela, significando que a razão entre os valores da função e da variável é uma constante chamada de taxa de variação. 
Exemplo1. Verifique o resultado da taxa de variação para outros intervalos.
A partir do gráfico referente aos dados da Tabela 1, vamos estabelecer uma equação para este problema a partir da ideia de inclinação da reta.
Figura 1.1 Gráfico construído com dados da Tabela 1.
A Inclinação de uma reta não-vertical é um número que caracteriza sua direção. Considere e dois pontos sobre uma reta não-vertical, a inclinação (ou declividade, ou coeficiente angular) da reta é o número a dado por
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Manipulando a equação (1), escrevemos uma função afim,
No caso em que a reta cruza o eixo y em algum ponto , temos a forma inclinação-intercepto. Substituindo as coordenadas de P na última equação:
De forma geral,
onde f (x) é a variável dependente de x; a é a inclinação da reta e b é o ponto em que o gráfico de f (x) intercepta o eixo y.
Exemplo 2. Por inspeção pode-se determinar a inclinação e o intercepto de uma reta.
Tabela 2. Exemplo 2
	Equação
	Inclinação
	Intercepto
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Exercício I
1. Encontre as coordenadas do quarto vértice de um retângulo, dado que os outros três vértices são (6, 1), (-4, 1) e (6, 7) e esboce o retângulo.
2. Encontre a equação correspondente aos dados da Tabela 1.
3. Ache a inclinação da reta que passa pelos dois pontos dados.
a) (-1, 2) e (3, 4)		b) (5, 3) e (7, 1)
c) (4, ) e (-3, )		d) (-2, -6) e (2,12)
4. Ache a forma inclinação-intercepto da reta satisfazendo as condições dadas.
a) A inclinação é –2, o intercepto y é 4.
b) a = 5, b = 3.
c) a reta passa por (2, 4) e (1, -7).
d) o intercepto y é 2 e o intercepto x é -4.
5. Esboce a reta que passa por (4, 2) com inclinação:
a) 	 b) 	 c) 
6. Um triângulo equilátero tem um vértice na origem, outro sobre o eixo x e um terceiro no primeiro quadrante. Ache as inclinações de seus lados.
7. (similar a questão 14 ENADE 2017) Para um fluído em repouso, a pressão p a uma profundidade h é dada por , onde é a densidade do fluído, g é a aceleração da gravidade e é a pressão atmosférica. Considerando constantes, temos então uma função afim, que a cada h associa p dado pela expressão acima.
a) Dê a inclinação da reta.
b) Imergindo um medidor de pressão em um líquido, observou-se que em um deslocamento, a variação de pressão dividida pela correspondente variação de profundidade deu 1000 g. Qual a densidade do líquido? Considerar as unidades no Sistema Internacional, no qual a densidade é dada em quilos por metro cúbico.
 Função Exponencial
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número a estão definidas por
	(1) (n fatores)
(2) 
(3) 
(4) 
	(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
Observação: Se a for negativo, então algumas das potencias fracionárias de a terão valores imaginários. Por exemplo, . Para evitar essa complicação vamos considerar daqui em diante que .
A função da forma
onde a > 0 e a ≠ 1, é chamada de função exponencial de base a. Por exemplo, as funções f, g e h são funções exponenciais.
	
	
	
Lembrando que representa, geralmente, o número irracional 3,14139.... A função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. As funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na Fig. 1.2, dependendo se 0 < a < 1 ou a > 1.
	
(a) Crescente 
	
(b) Decrescente .
	Figura 1.2 Gráficos de funções exponenciais crescente e decrescente.
Veja os exemplos 
Se a = 1, então a função ax é dita constante.
Definição 1 (Função Exponencial). Se a > 0 e a ≠ 1, então:
a) A função está definida para todo o valor real de x, logo, o domínio é (- ∞, +∞);
b) A função é contínua no intervalo (- ∞, +∞) e a sua imagem é ]0, +∞).
Exemplo 3. Os dados da tabela 3 mostram o crescimento de uma população (em milhares) de bactérias inoculadas em um meio de cultura. Para avaliar como a população está aumentando, observa-se seu crescimento a cada geração nos dados da segunda coluna. As populações em geral crescem muito rapidamente, pois a cada geração são mais indivíduos para se reproduzir, o que justifica o fato de os valores da terceira coluna serem sempre crescentes.
Tabela 3. Número de bactérias inoculadas.
	x (gerações)
	P (x) (milhares)
	
	0
	132
	
	1
	158,4
	26,400
	2
	190,08
	31,680
	3
	228,096
	38,016
	4
	273,715
	45,619
	5
	328,46
	54,745
	6
	394,15
	65,690
Dividindo a população de cada geração pela geração anterior, obtém-se
Efetuando os mesmos cálculos para os outros dados, ter-se-á também o valor 1,2. Considere x o número de gerações, a função exponencial que descreve o crescimento da população de bactérias é dada por:
ou seja,
# x = 0, a população 
# x = 1, a população 
# x = 2, a população 
# x = 3, a população 
Esta é uma função exponencialcom base 1,2, assim chamada porque a variável x está no expoente. A base representa um fator de crescimento pelo qual a população muda a cada geração.
Considerando r uma taxa percentual, neste caso a taxa de crescimento é r = a – 1 = 20% = 0,2. Observe também que, entre P(3) e P(4) ocorre o tempo de dobra da população, isto é, o tempo (em gerações) no qual o número de bactérias será o dobro do inicial. Se a equação for válida para as próximas 10 gerações, a população será
P(x) é uma função crescente, pois os valores aumentam para valores crescentes de x. Note também que a população cresce mais rápido quanto maior é o número de gerações. Este comportamento é próprio das funções exponenciais. Para reconhecer que os dados de uma tabela descrevem uma função exponencial, basta observar se as razões são um fator constante.
Figura 1.3 Dados da tabela 3, crescimento populacional de bactérias.
Definição 2. Se 0 < a < 1 e a ≠ 1, então a função será exponencialmente decrescente.
O fenômeno seguinte descreve um decrescimento exponencial.
Exemplo 4. Quantidade de luz absorvida por um dossel. Considere uma comunidade de plantas herbáceas de folhas eretas e que a quantidade de luz que é absorvida a partir da densidade de luz (quantidade de luz sobre uma unidade de área) que incide sobre o dossel seja dada como função da área foliar , conforme tabela a seguir:
Tabela 4. Quantidade de luz absorvida por um dossel.
	
	
	Analisando as razões:
	0
	3
	
	1
	2,4
	
	2
	1,92
	
	3
	1,536
	
	4
	1,229
	
	5
	0,983
	
	6
	0,786
	
A função exponencial que descreve o decrescimento da intensidade de luz é dada por 
L (0) = 
L(1) = 
L(2) = 
L(3) = 
Figura 1.4 Função Exponencial da quantidade de luz absorvida.
A função exponencial é decrescente, pois se a área foliar aumenta, a densidade de luz absorvida diminui. Isso é expresso matematicamente pelo fato da base da função ser igual a 0,8, o que significa que houve um decrescimento de 20%. Note que a taxa de decrescimento r é dada por 
e, consequentemente, o fator de decrescimento é de 0,8. Pode-se, ainda, estimar que a densidade de luz absorvida será metade da inicial quando a área foliar estiver aumentando de 3 para 4 m2.
Definição 3. f é uma função exponencial com base a se 
	
	
em que é a quantidade inicial (quando ). Um conjunto de dados constitui uma função exponencial se a razão entre quaisquer dois de seus valores pertencentes ao domínio for uma constante a.
Exercício II
1. Identifique as funções exponenciais. Para aquelas que são funções exponenciais da forma determine o valor de e o valor da base . Para aquelas que não são, explique por que não:
a) 	b)
c)	d)
e) 	f) 
2. Calcule o valor exato da função para o valor de dado:
a) 
b) 
c) 
d) 
3. Verifique se a função é de crescimento ou de decrescimento exponencial. 
a) 	b) 
c) 	d) 
4. Use as propriedades de potenciação para provar que duas das três funções exponenciais dadas são idênticas:
a) 
b) 
5. A população de Nova York pode ser modelada por
Onde é a população em milhões de pessoas e t é o número de anos desde 1800. Baseado nesse modelo:
a) Qual foi a população de Nova York em 1850?
b) Qual será a população em 2010?
c) Qual é a população máxima sustentável de Nova York (limite de crescimento)?
6. Considere uma máquina agrícola que tenha uma depreciação de 25% ao ano. Se seu valor de compra foi de R$ 80.000,00, quanto custará daqui a 4 anos? (R~25.314,00) Qual o tempo, em anos, em que seu valor irá atingir a metade do valor da compra? (saída por logaritmo – t = 2.41 anos)
7. Considerando P = f (t) uma função exponencial de t. Sendo f (5) = 8.1509 e f (5,4) = 8.6286, encontre a base, determine sua taxa de crescimento e calcule f (6).
8. Com base nos dados das tabelas, encontre a função exponencial, a taxa de crescimento ou decrescimento e esboce o gráfico. 
	t
	0,2
	0,4
	0,6
	0,8
	1
	g (t)
	4,75
	4,43
	4,12
	3,83
	3,57
9. Assumindo que o preço médio P de certo produto, que era de R$ 5,00/kg em 2003, passou a ser R$10,00 em 2005, sendo t o número de anos. 
a) Considerando o crescimento linear, encontre uma equação da reta , em que a representa a taxa de mudança de P em relação a t. Use esta equação para completar a segunda coluna da tabela a seguir.
b) Determine uma equação da forma e complete a terceira coluna da tabela abaixo.
	t
	CRESCIMENTO
	
	Linear
	Exponencial
	
	
	
	0
	5
	5
	1
	
	
	2
	10
	10
	3
	
	
	4
	
	
Funções Logarítmicas
Na secção 1.2 foi visto que o crescimento de uma população de bactérias inoculadas em um meio de cultural, considerando-se x o número de gerações, pôde ser descrito por
Sabendo que esta população é sempre crescente e que é possível combatê-la até o nível de um milhão de bactérias, pode-se perguntar em qual geração a população será tal que
Como está sendo atribuído o valor de P(x) para obter o x correspondente, tem-se o caminho de uma função inversa.
Por fixação, deve-se recordar que no caso de uma função o procedimento é atribuir valor de x para obter P(x). Uma forma razoável de verificar é por tentativa e erro. Por meio de cálculos anteriores sabe-se que
 (não atingiu o valor esperado)
 (x = 12 gerações ultrapassam um milhão)
Portanto, deve-se começar a combater as bactérias a partir da décima primeira geração. Embora seja sempre possível aproximar o valor de x correspondente, esta é uma forma exaustiva e pouco precisa. Dada uma função exponencial P(x), para obter uma fórmula que forneça x em função de P(x), define-se a função logarítmica.
Definição 4. A função logarítmica dada por
é a inversa da função exponencial .
Lembre-se que algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se a > 0 e a ≠ 1, então para valores positivos de x o logaritmo de x na base a é denotado por e é definido como aquele expoente ao qual a base a deve ser elevada para produzir x. Por exemplo,
	 
 
 
 
	102 = 100 
24 = 16	
a0 = 1 
a1 = a
10-3 = 1/1000 
1.3.1. Gráfico da função logarítmica
Podemos representar graficamente uma função logarítmica escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os respectivos valores de f (x). Em seguida localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos o gráfico.
Vamos representar graficamente a função e como estamos trabalhando com um logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências de 10, dados na tabela 5.
Tabela 5. Dados para o gráfico da função logarítmica.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
A Fig.1.5 mostra a função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva: .
Figura 1.5 Função Logarítmica.
Veja que para valores de os pontos estão quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, se passarmos de para , a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque:
1.3.2. Crescimento e decrescimento da função logarítmica
O crescimento e decrescimento da função logarítmica se dará em função da base estar no intervalo ou 
Figura 1.6 Função Logarítmica crescente
Se a função logarítmica é dita crescente, para qualquer valor real positivo de x. No gráfico da função crescente, à medida que x aumenta, também aumenta . Podemos observar que, para dois valores de x (por exemplo x1 e x2):
Agora vamos analisar o gráfico da função logarítmica decrescente.
Figura 1.7 Função Logarítmica decrescente
Se temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Nesse caso podemos observar na Fig.1.7 que à medida que x aumenta, y diminui. Logo a curva da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2),
Independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre cruza o eixo das abscissas no ponto .
Exemplo 5. Considerando a função
calcule a geração de dobra da população, isto é, quando a população irá atingir o dobro de P0.
O que se quer encontrar é o valor de x tal que 
Isso quer dizerque . Usando log em ambos os lados, tem-se
Ou seja, durante a terceira geração a população de bactérias será o dobro da inicial. Da mesma forma é possível saber quando a população irá triplicar, quadriplicar, etc. 
1.3.3. Propriedades da função logarítmica
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
Exercício III
1. Calcule, a partir da definição, os valores de (a) log (1000); (b) log (0,1); (c) log (1).
2. Encontre x tal que 3x = 15. R: 2,46
3. Resolva as seguintes equações em t utilizando log:
	a) R: 2,318
	b) R: 18,97
	b) a = bt
	d) 
4. Resolva a seguinte equação: 
5. Simplifique as expressões, utilizando as propriedades dos logaritmos:
a) 
b) R: x+3
c) (pesquisar!!!!)
d) 
6. Em geral, se uma substância tem uma meia-vida de h unidades de tempo (anos, horas, etc.), a quantidade Q da substância depois de t unidades de tempo (a mesma de h), considerando Q0 a quantidade inicial, é
Em um método de marcação utiliza-se como indicador o isótopo do potássio K42, cuja meia-vida é de 12,5 h. Se houver 10,32 g inicialmente, em quantas horas essa substância atingirá 1 g?
7. A equação que descreve juros compostos é definida de forma semelhante à da meia-vida. Sendo r taxa de capitalização em h unidades de tempo (dias, meses, etc.), o fator de capitalização será a = 1 + r. A quantidade P de capital depois de t unidades de tempo (a mesma de h), sendo P0 a quantidade inicial, será
considerando um empréstimo de R$ 2.500,00 a uma taxa percentual de 6,2%, determine quanto deverá ser pago depois de 1 mês e 20 dias e quando este empréstimo alcançará o valor de R$ 3.200,00.
8. Considerando que o preço do adubo supersimples vem sofrendo um reajuste mensal de 5% desde o início do ano e que no primeiro dia de julho estava em R$ 20,00, escreva o preço em função do tempo e calcule o valor cobrado no início do ano.
Funções Racionais
Uma função f cuja variável x está no denominador é definida como função racional.
Por exemplo, a quantidade de sementes, f (x), de uma espécie de soja a ser plantada em três alqueires é dada como função do poder germinativo (x) destas, o qual varia em termos percentuais. É de se esperar que quanto maior o poder germinativo menos sementes serão necessárias para atingir a produção. Assim a produção e o poder germinativo são grandezas inversa-mentes proporcionais, ou seja, a equação deve ser:
Para encontrar o valor de k, considerando f (x) ≠ 0 para todo x, utiliza-se a relação
em que . Isso significa estabelecer uma relação linear entre x e . Os dados da tabela 6 ilustram essa relação para o exemplo citado anteriormente.
Tabela 6. Elementos para análise da função racional.
	x (%)
	f (x)
	
	
	0.1
	232.56
	0.0043
	0.043
	0.2
	116.28
	0.0086
	0.043
	0.3
	77.52
	0.0129
	0.043
	0.4
	58.14
	0.0172
	0.043
	0.5
	46.51
	0.0215
	0.043
	0.6
	38.76
	0.0258
	0.043
	0.7
	33.22
	0.0301
	0.043
	0.8
	29.07
	0.0344
	0.043
	0.9
	25.84
	0.0387
	0.043
Como a = 0,043 e , logo k = 23,256. Portanto,
O domínio da função será D = {x / 0 < x < 100%}. 
O conjunto imagem - Sabe-se que esta é uma função decrescente, no entanto deve-se saber também até quais valores de x isso acontecerá. O comportamento da função quando x está muito próximo de 1, ou seja, x tendendo a 1 (x→ : a anotação indica que a tendência dár-se por valores menores que 1) pode ser analisado utilizando uma tabela numérica. 
Tabela 7. Análise numérica da função racional.
	x→ 
	f (x)
	0.95
	24.480
	0.98
	23.731
	0.99
	23.491
	0.995
	23.373
	0.999
	23.279
	0.9999
	23.258
Continuando, verifica-se que f (x) → 23,256. Para traduzir isso matematicamente, utiliza-se a notação de limite.
Lê-se “Limite de f quando x tende a 1 por valores menores que 1 é igual a 23,256”.
Conclui-se que a função não irá diminuir deste valor no domínio, tampouco irá atingi-lo, pois, na prática, não exista semente com poder germinativo de 100%.
Analisando o que acontece com o valor da função quando x (anotação indica que x tende a zero por valores maiores que 0, ou seja, a direita de zero).
Tabela 8. Valores da função racional próximos de zero.
	x→ 
	f (x)
	0.05
	465.12
	0.03
	775.2
	0.01
	2,325.6
	0.001
	23,256.0
	0.0001
	232,560.0
	0.00001
	2,325,600.0
Continuando, tem-se que f (x) → + ∞. Ou seja, na prática não existe semente que não germine.
Utilizando a notação de Limite, tem – se
Lê-se: “Limite de f (x) quando x tende a 0 por valores maiores que 0 é igual a + infinito”. Desta forma o gráfico será dado por
Figura 1.8 Gráfico da função racional.
Assim o conjunto imagem de f é
As expressões (1) e (2) são denominadas limites laterais e a partir delas se definira limites.
1.4.1 Definição de limite
O limite de uma sequência existe se os limites laterais existem e coincidem.
Exemplo 4.1 Considere . Descreva os conjuntos domínio e imagem da função, calcule os limites abaixo e esboce o gráfico:
a) O domínio será dado por 
Cálculo do limite lateral .
	
	f (x)
	100
	0.01 k
	1.000
	0.001 k
	10.000
	0.0001 k
	100.000
	0.00001 k
Portanto, . De modo análogo (exercício) acha-se . Como os limites laterais são iguais, então
Logo, o conjunto imagem é dado por . 
Para encontrar a assíntota horizontal, faz-se x tender aos extremos do domínio em questão, e a assíntota vertical é obtida fazendo o limite tender aos pontos de indefinição. O eixo x é a assíntota horizontal ao gráfico e o eixo y é uma assíntota vertical ao gráfico.
b) 
Cálculo dos limites laterais
	
	f (x)
	0.1
	10 k
	0.01
	100 k
	0.001
	1000 k
	0.0001
	10000 k
Assim, 
De modo análogo (exercício) obtém-se
Como os limites laterais são diferentes, então o
Deve se enfatizar que o limite de uma função f significa avaliar o comportamento desta quando x aproxima-se de algum valor, sem necessariamente assumi-lo. Talvez, a notação (infinito) cause estranheza ao leitor, entretanto deve-se enfatizar que o infinito na prática é um número indefinido, significando algo que extrapole a realidade. 
1.4.1 O número de Euler ou de Neper
O número e é uma constante matemática que é a base dos logaritmos naturais. Por vezes é chamado número de Euler (ou constante de Euler) em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, ou número de Napier, em homenagem a John Napier, número de Neper, constante de Néper, número neperiano, número exponencial e outros. 
A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
Essa constante, cujo valor até seis casas decimais, é
Surge como assíntota horizontal ao gráfico da função
Veja, na tabela abaixo que os valores da função aproximam-se de e:
	
	
	1
10
100
1000
10.000
100.000
1.000.000
	2
2,593742
2,704814
2,716924
2,718146
2,718268
2,718280
Perceba que é uma assíntota horizontal de y quando x → + ∞ e quando x→ -∞.
Figura 1.9 Número exponencial como assíntotas da função f(x).
1.4.2 Limites no infinito
Analisaremos o comportamento de uma função quando a variável x cresce indefinidamente ou quando ela decresce indefinidamente . Em algumas situações, a função se aproxima de um valor numérico, em outras pode crescer ou decrescer indefinidamente. Veja alguns casos.
i. 
ii. 
iii. 
iv. 
Tabela Operações de soma e produto de infinitos.
	
	
Exemplo 4.2 Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta (metro) pode ser dada por:
Em que (g/m²) é a quantidade de fertilizante adicionada, esboce o gráfico desta função.
Solução: Para esboçar o gráfico deve-se analisar o que acontece com a altura da planta f (x) quando a quantidade de fertilizante adicionada for suficientemente grande (isto se traduz, fazendo ). Para calcular o constrói-se uma tabela, tomando x. 
Tabela 9. Análise da função racional.
	x
	
	10
	13.333
	100
	19.048
	1000
	19.9
	1000019.99
	100000
	19.999
Portanto, . O limite quando não faz sentido para o problema. Assim, é a assíntota horizontal representando a altura máxima possível a ser atingida pela planta. Como não se explicou a quantidade máxima nem mínima de fertilizante, para que a função esteja definida em x deve ser diferente de , mas este valor não pertence ao domínio. Assim, o gráfico da função não tem assíntota vertical.
No exemplo 4.2, o valor máximo não é atingido, porém é um limite dado quando , significando que a planta não “diminui de tamanho” quando for adicionado fertilizante indefinidamente.
Figura 1.9 Gráfico do exemplo 4.2, crescimento de planta.
Embora as equações quadráticas sejam estatisticamente convenientes para a análise desse tipo de fenômeno, biologicamente não é a forma mais adequada, segundo Colwell [?], que desenvolveu uma metodologia de análise baseada em equações racionais. De modo geral, os modelos da forma pertencem a uma classe de funções denominadas inversas polinomiais pelo fato de essas poderem ser invertidas para obter uma forma linear. Desde que para todo x, tem-se
No caso do exemplo 4.2, a forma linear y = ax + b é dada por
Em que e .
Exemplo 4.3 Esboce o gráfico de .
Solução: Reescrevendo na forma,
Têm-se que são os pontos de indefinição da função ou as assíntotas verticais do gráfico. Para saber o comportamento da curva próxima às assíntotas verticais, fazem-se os seguintes limites laterais:
pois
	
	
	2.1
	8.3171
	2.01
	75.813
	2.001
	750.8125
	2.0001
	7500.8152
e
pois 
	
	
	1.9
	-6.6923
	1.99
	-74.188
	1.999
	-749.188
	1.9999
	-7499.1875
Os limites laterais
são deixados como exercício para o leitor. 
A assíntota horizontal é encontrada fazendo , observando que, neste caso, os valores positivos e negativos são iguais.
	x
	
	
	1.031250
	
	1.000300
	
	1.000003
Claramente, f (x) tende a 1 quando x se aproxima de , pois, para valores grandes de x, os valores 1 do numerador e 4 do denominador são insignificantes, comparados com x². Assim:
Além disso, se f (x) = 0, então
ou são as intersecções do eixo x e, fazendo , tem-se , sendo esta a intersecção com eixo f (x).
Figura 1.10 Gráfico do exemplo 4.3.
1.4.3 Principais propriedades dos limites
Se e existem, e k é um número real qualquer, então:
a) 
b) 
c) 
d) , com 
e) 
Exercício 4
1. A partir dos dados a seguir encontre a equação racional correspondente:
	(a)
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
	f (x)
	0.4
	0.2
	0.133
	0.1
	0.08
	0.066
	(b)
	y
	2
	4
	6
	8
	10
	12
	
	f (y)
	-0.625
	-0.3125
	-0.20833
	-0.15625
	-0.125
	-0.10417
2. Considerando a função para , calcule os limites quando x e os limites laterais para x esboce o gráfico correspondente.
3. Para cada função racional apresentada encontre as assíntotas horizontais e verticais. Use essas informações para traçar o gráfico.
a) 		b) 
c) 		d) 
4. Para cada função dada a seguir encontre o domínio, as assíntotas e o seu comportamento através dos limites para a variável tendendo às assíntotas ao infinito, esboce o gráfico e descreva seu conjunto imagem:
a) A resposta de uma folha ativa fotossinteticamente à densidade da luz x > 0 (J/m²), sobre sua superfície, é dada pela seguinte equação:
b) Em uma reação bioquímica, a qual é controlada por uma única enzima, a velocidade v, de conversão de uma substância para uma quantidade fixada de enzimas, é dada por:
em que S é a concentração da substância a ser convertida. Atribua valores a e k.
5. A partir da equação dada no item (a) da questão anterior, atribua valores a , construa uma tabela e obtenha a sua forma linear.
6. Calcule o limite usando as propriedades.
	a) 
	b) 
7. Calcule os limites abaixo:
a) , (R=4)		b) (R= - ¾)
c) (R= ½)		d) 
e) 			f) 
1.4.4 Tipos de indeterminação
São expressões de indeterminação matemática:
Vamos analisar alguns desses casos. O limite de funções com indeterminação do tipo é resolvido através da análise da tabela, verificando os limites laterais. 
Para indeterminação do tipo devemos fatorar a função racional. Veja os exemplos.
Exemplo 4.4 Calcule os limites abaixo.
a) 
b) 
c) 
Para indeterminação do tipo procedemos conforme o Exemplo 4.5.
Exemplo 4.5 Calcule os limites:
	a) 
	b) 
1.4.4 Limite fundamental exponencial
Exercício V
1. Calcule os limites abaixo.
	a) 
b) 
	c) 
d) 
2. Calcule os limites abaixo.
	a) 
	b) 
3. Calcule os limites abaixo.
	a) 
	b) 
010203040506070
7.2
7.25
7.3
7.35
7.4
7.45
7.5
7.55
7.6
7.65
x [Resíduo de Planta]
y [Temperatura]
012345678910
100
200
300
400
500
600
700
800
Gerações [x]
População de Bactérias [P(x)]
 
 
P=Po*(1,2)
x
012345678910
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Área Foliar [m
2
]
Densidade de Luz [W/m
2
]
 
 
L(x)=L
0
 * (0.8)
x
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
500
1000
1500
2000
2500
Poder germinativo da semente
Quantidade de sementes
 
 
0.40.50.60.70.80.91
25
30
35
40
45
50
55
60
f(x) = 23,256/x
Profº Bruno Wallacy
 
 
 
 
 
 
brwallacy@yahoo.com.br
 
/
 
brunow@ufpa.br
 
 
1
 
 
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
 
CÁLCULO DIFERENCIAL
 
 
Prof.
 
Dr.
 
Bruno Wallacy Martins
 
1.
 
A
NÁLISE DE FUNÇÕES E 
SEUS GRÁFICOS
Tabelas, gráficos e equações fornecem três 
métodos para descrever como uma 
quantidade 
depende da outra
. A importância fundamental dessa 
ideia foi reconhecida por Leibniz em 1673, quando 
cunhou o termo 
função
 
para descrever a 
dependência de uma quantidade d
e outra. Os 
exemplos a seguir ilustram esse termo:
 
·
 
A 
área
 
A
 
de um círculo depende d
e seu 
raio
 
r
 
pela equação 
A = πr
2
; assim dizemos que 
A
 
ι 
uma função de 
r
: 
??
(
??
)
.
 
·
 
A 
velocidade
 
v
 
de uma bola caindo livremente 
no campo gravitacional da Terra aumenta com o 
tempo
 
t
 
até que ela atinja o chão
, assim dizemos 
que 
v
 
é uma função de 
t: 
??
(
??
)
 
·
 
Em uma cultura, o número 
n
 
de bactérias
 
presentes após 1 hora de crescimento depende do 
número ini
cial de bactérias 
n
0
, assim dizemos 
que 
n
 
é uma função de 
n
0
.
 
·
 
O 
crescimento
 
de uma planta dependerá da 
quantidade de 
fertilizante
 
aplicada ao solo.
 
Essa ideia é expressa na seguinte definição:
 
“Se uma variável 
y
 
depende de uma variável 
x
, 
de tal forma que 
cada valor de x determina 
exatamente um valor de y
, então dizemos que y é 
uma função de 
x
”.
 
As funções podem ser representadas de quatro 
maneiras básicas:
 
·
 
Numericamente, por tabelas;
 
·
 
Geometricamente, 
por gráfico
s;
 
·
 
Algebricamente, por fórmulas;
 
·
 
Verbalmente
, como por exemplo, a Lei da 
Gravitação Universal enunciada por Isaac 
Newton:
 
“A força gravitacional de atração entre dois corpos 
no Universo é diretamente proporcional ao produto 
de suas massas e 
inversamente proporcional ao 
quadrado da distância entre eles
”
.
 
A
 
descrição 
algébrica é dada pela
 
fórmula
 
??
=
??
??
1
??
2
??
2
 
n
o qual 
F
 
é a força de atração, 
??
1
 
e 
??
2
 
são as 
massas, 
d 
é a distância entre eles e 
G
 
é a constante 
de proporcionalidade.
 
Algumas vezes, é desejável converter uma 
representação de função em outra.
 
A seguir, 
veremos as funções mais importantes em 
engenharia e 
exemplo
s
 
que ilustra
m
 
o poder 
de sua 
representação
 
como ferramenta na solução de 
p
roblemas.
 
1.1.
 
Função 
A
fim
 
A função afim tem a forma
 
??
(
??
)
=
????
+
??
 
Com 
a
 
e 
b
 
números reais. Se 
??
=
0
, ou seja, se 
??
?
??
?
=
????
, a função é chamada de função linear.
 
A função linea
r se caracteriza por ter
 
um 
crescimento ou decrescimento constante. 
Q
ualquer 
mudança na variável independente causa uma 
mudança
 
proporcional
 
na variável dependente.
 
Os dados a seguir descrevem que, em 
determinada época do ano
,
 
com temperatura 
mínima do ar igual a 9 °C, 
a
 
temperat
ura mínima 
dasuperfície do solo
 
f
 
(
em °C
)
 
é predita em função 
do 
resíduo de planta e biomassa na superfície
 
x
 
(
g
/
m
2
).
 
Tabela 1
 
x
 
10
 
20
 
30
 
40
 
50
 
60
 
70
 
f 
(
x
)
 
7,24
 
7,30
 
7,36
 
7,42
 
7,48
 
7,54
 
7,60
 
Devemos analisar a relação entre as variações 
das grandezas 
x
 
e 
f 
(
x
).
 
Faremos o seguinte,
 
??????
.
??????
çã
??
??????
.
????????
á
??????
=
?
??
?
??
=
7
,
30
-
7
,
24
20
-
10
=
0
,
006
 
°
??
.
??
2
/
??
 
Isso pode ser observado com quaisquer dois 
valores da tabela, significando que 
a razão entre os 
valores da função e da variável é uma constante
 
chamada de 
taxa de variação
. 
 
Profº Bruno Wallacy brwallacy@yahoo.com.br / brunow@ufpa.br 1 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
 
Prof. Dr. Bruno Wallacy Martins 
1. ANÁLISE DE FUNÇÕES E SEUS GRÁFICOS
Tabelas, gráficos e equações fornecem três 
métodos para descrever como uma quantidade 
depende da outra. A importância fundamental dessa 
ideia foi reconhecida por Leibniz em 1673, quando 
cunhou o termo função para descrever a 
dependência de uma quantidade de outra. Os 
exemplos a seguir ilustram esse termo: 
 A área A de um círculo depende de seu raio r 
pela equação A = πr
2
; assim dizemos que A é 
uma função de r: ??(??). 
 A velocidade v de uma bola caindo livremente 
no campo gravitacional da Terra aumenta com o 
tempo t até que ela atinja o chão, assim dizemos 
que v é uma função de t: ??(??) 
 Em uma cultura, o número n de bactérias 
presentes após 1 hora de crescimento depende do 
número inicial de bactérias n
0
, assim dizemos 
que n é uma função de n
0
. 
 O crescimento de uma planta dependerá da 
quantidade de fertilizante aplicada ao solo. 
Essa ideia é expressa na seguinte definição: 
“Se uma variável y depende de uma variável x, 
de tal forma que cada valor de x determina 
exatamente um valor de y, então dizemos que y é 
uma função de x”. 
As funções podem ser representadas de quatro 
maneiras básicas: 
 Numericamente, por tabelas; 
 Geometricamente, por gráficos; 
 Algebricamente, por fórmulas; 
 Verbalmente, como por exemplo, a Lei da 
Gravitação Universal enunciada por Isaac 
Newton: 
“A força gravitacional de atração entre dois corpos 
no Universo é diretamente proporcional ao produto 
de suas massas e inversamente proporcional ao 
quadrado da distância entre eles”. 
A descrição algébrica é dada pela fórmula 
??=??
??
1
??
2
??
2
 
no qual F é a força de atração, ??
1
 e ??
2
 são as 
massas, d é a distância entre eles e G é a constante 
de proporcionalidade. 
Algumas vezes, é desejável converter uma 
representação de função em outra. A seguir, 
veremos as funções mais importantes em 
engenharia e exemplos que ilustram o poder de sua 
representação como ferramenta na solução de 
problemas. 
1.1. Função Afim 
A função afim tem a forma 
??(??)=????+?? 
Com a e b números reais. Se ??=0, ou seja, se 
????=????, a função é chamada de função linear. 
A função linear se caracteriza por ter um 
crescimento ou decrescimento constante. Qualquer 
mudança na variável independente causa uma 
mudança proporcional na variável dependente. 
Os dados a seguir descrevem que, em 
determinada época do ano, com temperatura 
mínima do ar igual a 9 °C, a temperatura mínima 
da superfície do solo f (em °C) é predita em função 
do resíduo de planta e biomassa na superfície x 
(g/m
2
). 
Tabela 1 
x 10 20 30 40 50 60 70 
f (x) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 
Devemos analisar a relação entre as variações 
das grandezas x e f (x). Faremos o seguinte, 
??????.??????çã??
??????.????????á??????
=
???
???
=
7,30-7,24
20-10
=0,006 °??.??
2
/?? 
Isso pode ser observado com quaisquer dois 
valores da tabela, significando que a razão entre os 
valores da função e da variável é uma constante 
chamada de taxa de variação.