prova av1

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● 1
Código: 29973 - Enunciado: A construção de uma equação geral do plano pode ser
um processo tão mais direto quanto for a qualidade dos dados que coletamos sobre ele.
Se forem conhecidos um vetor normal, esse plano e um ponto deste, o processo será
mais rápido, porém há momentos em que a solicitação de um projeto é a equação na
sua forma geral de um plano, que deve passar por três pontos conhecidos, e esses são
os únicos dados disponíveis. Considere que seja necessário realizar o seccionamento
de um bloco retangular passando pelos vértices I, J e K, de modo que resulte em duas
peças em forma de rampa, conforme mostra a figura a seguir. Na elaboração do projeto
de corte, um bloco retangular foi posicionado com o centro de sua base sobre a origem
do sistema de eixos cartesianos, sendo que suas arestas medem quatro metros.
Considere os vértices do bloco I (2, 2, 0), J (–2, 2, 4) e K (–2, –2, 4). Diante disso,
marque a alternativa que apresenta uma equação geral do plano seccionador,
considerando os vetores diretores do plano com origem em I e extremidades em J e K.
○ a) 16x + 16y – 32 = 0.
○ b) –4x + 4z – 32 = 0.
○ c) 16x + 16z – 32 = 0.
○ d) –4x – 4y + 4z + 16 = 0.
○ e) 16x + 16z + 32 = 0.
●
Alternativa marcada:
○ c) 16x + 16z – 32 = 0.
● Justificativa: Resposta correta:16x + 16z – 32 = 0. são vetores do plano seccionador,
não paralelos, e o produto vetorial entre eles gera um vetor nomal ao plano , que é
necessário para construir a equação geral do plano; aplicando o ponto I na equação
obtida, 16x + 16z + d = 0, temos como resultado o valor d = –32; portanto 16x + 16z – 32
= 0. Distratores: –4x + 4z – 32 = 0. Errada. (–4, 0, 4) é vetor do plano, e não normal ao
plano, como é necessário para construir a equação geral.–4x – 4y + 4z + 16 = 0. Errada.
(–4, –4, 4) é vetor do plano, e não normal ao plano, como é necessário para construir a
equação geral.16x + 16z + 32 = 0. Errada. O valor de d é –32.16x + 16y – 32 = 0.
Errada. A ordenada do vetor normal é zero, e não a cota.
2,00/ 2,00
● 2
Código: 29477 - Enunciado: Os produtos entre vetores apresentam propriedades
importantes para aplicações práticas, como a possibilidade de determinar o ângulo entre
vetores, resultado que pode definir alguma decisão em um projeto de peça, por exemplo.
Se o produto escalar entre dois vetores é igual a zero, podemos afirmar que:
○ a) Os vetores são, obrigatoriamente, perpendiculares entre si.
○ b) Os vetores são paralelos entre si.
○ c) Os vetores são ortogonais entre si.
○ d) Os vetores são opostos entre si.
○ e) Os vetores são concorrentes entre si.
●
Alternativa marcada:
○ c) Os vetores são ortogonais entre si.
● Justificativa: Resposta correta: Os dois vetores são ortogonais entre si. Se o produto
escalar entre dois vetores for igual a zero, eles são ortogonais. Distratores: Os vetores
são paralelos entre si. Errada. São ortogonais.Os vetores são concorrentes entre si.
Errada. Não se pode afirmar que sejam concorrentes, somente ortogonais.Os vetores
são, obrigatoriamente, perpendiculares entre si. Errada. Podem ser ortogonais sem
serem concorrentes ou perpendiculares.Os vetores são opostos entre si. Errada. A
ortogonalidade tem a ver com direção, e não com sentidos opostos.
0,50/ 0,50
● 3
Código: 29474 - Enunciado: Considere o paralelepípedo a seguir. Considerando os
vetores , podemos concluir que:
○ a) são vetores paralelos, porque têm o mesmo sentido.
○ b) são vetores paralelos, porque têm a mesma direção.
○ c) são vetores iguais, porque estão sobre arestas distintas.
○ d) são vetores ortogonais, porque têm sentidos opostos.
○ e) são vetores opostos, porque estão sobre arestas distintas.
●
Alternativa marcada:
○ b) são vetores paralelos, porque têm a mesma direção.
● Justificativa: Resposta correta: são vetores paralelos, porque têm a mesma direção. Os
três vetores têm a mesma direção, pois estão sobre arestas paralelas de um
paralelepípedo. Distratores: são vetores paralelos, porque têm o mesmo sentido. Errada.
Eles serem paralelos não depende do sentido, e sim da direção. são vetores ortogonais,
porque têm sentidos opostos. Errada. Não são ortogonais. são vetores opostos, porque
estão sobre arestas distintas. Errada. Esse não é o conceito de oposto. são vetores
iguais, porque estão sobre arestas distintas. Errada. Não têm as mesmas coordenadas
cartesianas.
2,00/ 2,00
● 4
Código: 29950 - Enunciado: Ponto, reta e plano são chamados de entes primitivos da
matemática. Não há definição para eles; são ideias aceitas por todos e que
representamos graficamente. Na geometria analítica, há equações diferentes para
representar uma reta, por exemplo, com intuito tanto gráfico quanto algébrico. Diante
disso, marque a alternativa que apresenta corretamente a equação vetorial da reta.
○ a) , em que A é uma reta paralela à reta r, e é o vetor
diretor da reta r.
○ b) , em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor
ortogonal à reta r.
○ c) , em que A e P são pontos sempre conhecidos da reta r, e
é o vetor diretor da reta r.
○ d) , em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor diretor
da reta r.
○ e) , em que A e P são pontos pertencentes a uma reta
paralela à r, e é o vetor diretor da reta r.
●
Alternativa marcada:
○ d) , em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor diretor
da reta r.
● Justificativa: Resposta correta:, em que A e P são pontos da reta r, e é o vetor diretor
da reta r.Essa é a definição para equação vetorial da reta r, que passa pelo ponto A e
tem direção dada pelo vetor v. Distratores:, em que A e P são pontos da reta r, e é o
vetor ortogonal à reta r. Errada. O vetor v é paralelo à reta r., em que A e P são pontos
pertencentes a uma reta paralela à r, e é o vetor diretor da reta r. Errada. A e P
pertencem à reta r., em que A e P são pontos sempre conhecidos da reta r, e é o vetor
diretor da reta r. Errada. P representa um ponto qualquer da reta r, usado para que se
possa determinar um ponto de reta pela equação., em que A é uma reta paralela à reta r
, e é o vetor diretor da reta r. Errada. A é um ponto de r.
0,50/ 0,50
● 5
Código: 35480 - Enunciado: Se um ponto pertence a um plano, suas coordenadas
devem obrigatoriamente satisfazer a equação desse plano. Nesse contexto, considere o
plano definido pela equação 3x + y + z + 5 = 0. Diante disso, marque a alternativa que
apresenta um ponto pertencente ao plano referenciado.
○ a) (3, 1, 1).
○ b) (1, –4, –4).
○ c) (0, 0, 0).
○ d) (3, –1, –1).
○ e) (1, –1, –1).
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Alternativa marcada:
○ b) (1, –4, –4).
● Justificativa: Resposta correta:(1, –4, –4). 3(1) + (–4) + (–4) + 5 é igual a zero.
Distratores:(1,-1,-1). Errada 3(1) + (-1) + (-1) + 5 é diferente de zero.(3, 1, 1). Errada. 3
(3) + (1) + (1) + 5 é diferente de zero.(3, –1, –1). Errada. 3 (3) + (–1) + (–1) + 5 é
diferente de zero.(0, 0, 0). Errada. A origem do sistema de eixos não pertence a esse
plano.
1,50/ 1,50
● 6
Código: 29982 - Enunciado: Há distintas posições relativas entre retas e planos, entre
as quais estão o paralelismo e a concorrência. Para determinar se dois planos são
concorrentes ou paralelos, é necessário verificar algumas de suas características, por
exemplo, algebricamente por meio de suas equações. Considere a reta e o plano
descritos a seguir: Diante disso, marque a alternativa que apresenta uma afirmativa
correta sobre a reta r e o plano .
○ a) r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(2, 3, –1).
○ b) r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(1, 5, 3).
○ c) r e são concorrentes, e não há nenhum ponto de intersecção entre eles.
○ d) r e são paralelos, e o ponto de intersecção é P(–3, 2, 4).
○ e) r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(–3, 2, 4).
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Alternativa marcada:
○ e) r e são concorrentes, e o ponto de intersecção entre eles é P(–3, 2, 4).
● Justificativa: Resposta correta:r e são concorrentes, e o ponto de intersecção é P(–3,
2, 4). Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z) = (–1 + 2t, 5 + 3t, 3 – t). Se um deles é
comum com o plano , suas coordenadas verificam aequação de 2(–1 + 2t) – (5 + 3t) +
3(3 – t) – 4 = 0; daí resulta t = –1. Substituindo esse valor nas equações de r, obtém-se
X = –1 + 2(–1) = –3 y = 5 + 3(–1) = 2z = 3 – (–1) = 4. Logo, a interseção de r e é o ponto
(–3, 2, 4). Distratores: r e são paralelos, e o ponto de intersecção entre eles é P(–3, 2,
4). Errada. Se fossem paralelos, não haveria ponto de intersecção.r e são concorrentes,
e não há nenhum ponto de intersecção entre eles. Errada. Sendo concorrentes,
obrigatoriamente haveria ponto de intersecção.r e são concorrentes, e o ponto de
intersecção entre eles é P(1, 5, 3). Errada. Esse P é um dos pontos da reta, e não
necessariamente o ponto de intersecção com o plano.r e são concorrentes, e o ponto de
intersecção entre eles é P(2, 3, –1). Errada. Esse P é um vetor diretor da reta, não é
nem mesmo ponto.
1,50/ 1,50
● 7
Código: 29969 - Enunciado: Se para realizar um estudo sobre a estrutura de uma
peça for requerida a equação do plano que suporta sua base, pode-se utilizar a equação
vetorial do plano para tal. Assim, a equação vetorial do plano que passa por A(2, 1, 0) e
tem como vetores diretores é:
○ a) P = (2, 1, 0) + (–1, 1, –1)t.
○ b) P = (–1, 1, 0) + (–1, 1, –1)t.
○ c) P = (2, 1, 0) + (–1, 1, –1)t + (2, 1, 2)h.
○ d) P = (–1, 1, –1) + (–1, 1, –1)t + (2, 1, 2)h.
○ e) P = (–1, 1, –1) + (–1, 1, –1) + (2, 1, 2).
●
Alternativa marcada:
○ c) P = (2, 1, 0) + (–1, 1, –1)t + (2, 1, 2)h.
● Justificativa: Resposta correta:P = (2, 1, 0) + (–1, 1, –1)t + (2, 1, 2)h. Há um ponto dado
do plano e dois vetores diretores multiplicados por parâmetros, o que configura a
equação vetorial do plano. Distratores:P = (–1, 1, –1) + (–1, 1, –1) + (2, 1, 2). Errada.
Não referencia os parâmetros que podem ser chamados de t e h.P = (–1, 1, –1) + (–1, 1,
–1)t + (2, 1, 2)h. Errada. O ponto (–1, 1, –1) não pertence ao plano.P = (–1, 1, 0) + (–1,
1, –1)t. Errada. Essa é uma equação vetorial de reta.P = (2, 1, 0) + (–1, 1, –1)t. Errada.
Essa é uma equação vetorial de reta.
0,50/ 0,50
● 8
Código: 29015 - Enunciado: Por meio do cálculo vetorial e da geometria analítica, é
possível determinar a posição de um vetor a partir das coordenadas de outros dois
vetores, operando sobre essas coordenadas algebricamente. Dados os vetores = (2, –3)
e = (–1, 4), pode-se inferir que o vetor = 3 – 2 é representado por:
○ a) (8, –1).
○ b) (8, 17).
○ c) (8, –17).
○ d) (–8, –17).
○ e) (6, –17).
●
Alternativa marcada:
○ c) (8, –17).
● Justificativa: Resposta correta:(8, –17).3ü – 2v = 3(2, –3) – 2(–1, 4) = (6, –9) + (2, –8) =
(6 + 2, –9 – 8) = (8, –17). Distratores:(8 e 17). Errada. Pode ter trocado o último sinal de
3ü – 2v = 3(2, –3) – 2(–1, 4) = (6, –9) + (2, –8) = (6 + 2, –9 – 8) = (8, 17).(–8 e –17).
Errada. Pode ter trocado o penúltimo sinal de 3ü – 2v = 3(2, –3) – 2(–1, 4) = (6, –9) + (2,
–8) = (6 + 2, –9 – 8) = (-8, -17).(6 e –17). Errada. Pode ter trocado o último sinal de 3ü –
2v = 3(2, -3) – 2(-1, 4) = (6, -9) + (-2, -8) = (6 – 2, -9 – 8) = (6, -17).(8 e –1). Errada. Pode
ter trocado a última conta e seu sinal de 3ü – 2v = 3(2, –3) – 2(–1, 4) = (6, –9) + (2, –8) =
(6 + 2, –9 – 8) = (8, –1).