SLIDES - EQUAÇÃO DO 2 GRAU - PROF ARUÃ

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EQUAÇÃO DO 2º 
GRAU
Prof. Aruã Dias
1. Equação do 2º grau
• A equação é do 2º grau em x, pois o expoente da variável x é 2;
• a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau, a é o coeficiente de x², b
é o coeficiente de x e c o termo independente;
• O coeficiente a não pode ser igual a zero, pois, se o fosse, o termo ax² seria 
zero e a equação não seria expressa conforme sua definição.
Equação do 2º grau, na variável real x é toda sentença que pode ser expressa ou 
reduzida à forma 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎, em que a, b e c são números reais e 𝐚 ≠ 𝟎.
➢ Definição:
1. Equação do 2º grau
𝒂 ≠ 𝟎𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎
✓ Exemplos – Determine os coeficientes a, b e c das equações abaixo:
a) 𝟐𝐱𝟐 + 𝟓𝐱 + 𝟖 = 𝟎
b) −𝐱𝟐 +
𝐱
𝟒
= 𝟎
c) 𝟐𝐱𝟐 − 𝟒 = 𝟎
d) −𝟐𝟎𝐱𝟐 = 𝟎
➢ Definição:
Equação do 2º grau, na variável real x é toda sentença que pode ser expressa ou 
reduzida à forma 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎, em que a, b e c são números reais e 𝐚 ≠ 𝟎.
1. Equação do 2º grau
𝒂 ≠ 𝟎𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎
➢ Exemplos:
a) 𝟐𝐱𝟐 + 𝟓𝐱 + 𝟖 = 𝟎
b) −𝐱𝟐 +
𝐱
𝟒
= 𝟎
c) 𝟐𝐱𝟐 − 𝟒 = 𝟎
d) −𝟐𝟎𝐱𝟐 = 𝟎
➢ Definição:
Equação do 2º grau, na variável real x é toda sentença que pode ser expressa ou 
reduzida à forma 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎, em que a, b e c são números reais e 𝐚 ≠ 𝟎.
2. Fórmula de Bhaskara
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
✓ Exemplo 1:
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
➢Equação do 2º Grau:
❑ Fórmula de Bhaskara:
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
✓ Exemplo 1:
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
2. Fórmula de Bhaskara
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
✓ Exemplo 2:
𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟎
➢Equação do 2º Grau:
❑ Fórmula de Bhaskara:
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
✓ Exemplo 2:
𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟎
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
Exercícios – Equação do 2º grau
Encontre as raízes das equações abaixo:
Exercícios – Equação do 2º grau
Encontre as raízes das equações abaixo:
3. Estudo do Delta
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
✓ Exemplo 1:
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎
❖ Número de Raízes:
𝚫 > 𝟎 ⟹ Duas raízes reais distintas
𝚫 = 𝟎 ⟹ Duas raízes reais iguais
𝚫 < 𝟎 ⟹ Nenhuma Raiz reais
➢Equação do 2º Grau:
❑ Estudo do Delta:
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
❖ Número de Raízes:
𝚫 > 𝟎 ⟹ Duas raízes reais distintas
𝚫 = 𝟎 ⟹ Duas raízes reais iguais
𝚫 < 𝟎 ⟹ Nenhuma Raiz real
✓ Exemplo 1:
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
❖ Número de Raízes:
𝚫 > 𝟎 ⟹ Duas raízes reais distintas
𝚫 = 𝟎 ⟹ Duas raízes reais iguais
𝚫 < 𝟎 ⟹ Nenhuma Raiz reais
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
3. Estudo do Delta
✓ Exemplo 2:
𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = 𝟎
➢Equação do 2º Grau:
❑ Estudo do Delta:
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
❖ Número de Raízes:
𝚫 > 𝟎 ⟹ Duas raízes reais distintas
𝚫 = 𝟎 ⟹ Duas raízes reais iguais
𝚫 < 𝟎 ⟹ Nenhuma Raiz real
✓ Exemplo 2:
𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = 𝟎
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
❖ Número de Raízes:
𝚫 > 𝟎 ⟹ Duas raízes reais distintas
𝚫 = 𝟎 ⟹ Duas raízes reais iguais
𝚫 < 𝟎 ⟹ Nenhuma Raiz reais
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
3. Estudo do Delta
✓ Exemplo 3:
𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
➢Equação do 2º Grau:
❑ Estudo do Delta:
A resolução da equação do 2º grau na 
forma 𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎 é dada pela 
fórmula de Bhaskara:
❖ Número de Raízes:
𝚫 > 𝟎 ⟹ Duas raízes reais distintas
𝚫 = 𝟎 ⟹ Duas raízes reais iguais
𝚫 < 𝟎 ⟹ Nenhuma Raiz real
✓ Exemplo 3:
𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
; 𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
* Soma e Produto das Raízes - Demonstração
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎
Equação do 2º grau:
Fórmula de Bhaskara:
* Soma e Produto das Raízes - Demonstração
𝐱 =
−𝐛 ± 𝚫
𝟐𝒂
𝚫 = 𝐛𝟐 − 𝟒𝒂𝐜
𝒂𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝟎
Equação do 2º grau:
Fórmula de Bhaskara:
4. Soma e Produto das Raízes - Aplicação
Dada a equação do 2º grau na forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝒂 ≠ 𝟎
Temos as seguintes relações para a 
soma e o produto das raízes da equação 
(relações de Girard):
✓ Exemplo 1:
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎
𝒙′ + 𝒙′′ = −
𝐛
𝒂
𝒙′ ∙ 𝐱′′ =
𝐜
𝒂
Dada a equação do 2º grau na forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝒂 ≠ 𝟎
Temos as seguintes relações para a 
soma e o produto das raízes da equação 
(relações de Girard):
4. Soma e Produto das Raízes - Aplicação
✓ Exemplo 1:
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎
𝒙′ + 𝒙′′ = −
𝐛
𝒂
𝒙′ ∙ 𝐱′′ =
𝐜
𝒂
✓ Exemplo 2:
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎
Dada a equação do 2º grau na forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝒂 ≠ 𝟎
Temos as seguintes relações para a 
soma e o produto das raízes da equação 
(relações de Girard):
𝒙′ + 𝒙′′ = −
𝐛
𝒂
𝒙′ ∙ 𝐱′′ =
𝐜
𝒂
4. Soma e Produto das Raízes - Aplicação
✓ Exemplo 2:
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎
Dada a equação do 2º grau na forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝒂 ≠ 𝟎
Temos as seguintes relações para a 
soma e o produto das raízes da equação 
(relações de Girard):
𝒙′ + 𝒙′′ = −
𝐛
𝒂
𝒙′ ∙ 𝐱′′ =
𝐜
𝒂
4. Soma e Produto das Raízes - Aplicação
✓ Exemplo 3:
𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎
Dada a equação do 2º grau na forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝒂 ≠ 𝟎
Temos as seguintes relações para a 
soma e o produto das raízes da equação 
(relações de Girard):
𝒙′ + 𝒙′′ = −
𝐛
𝒂
𝒙′ ∙ 𝐱′′ =
𝐜
𝒂
4. Soma e Produto das Raízes - Aplicação
✓ Exemplo 3:
𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎
Dada a equação do 2º grau na forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝒂 ≠ 𝟎
Temos as seguintes relações para a 
soma e o produto das raízes da equação 
(relações de Girard):
𝒙′ + 𝒙′′ = −
𝐛
𝒂
𝒙′ ∙ 𝐱′′ =
𝐜
𝒂
4. Soma e Produto das Raízes - Aplicação
Na equação 𝐱𝟐 − 𝐦+ 𝟒 𝐱 + 𝟒𝐦+ 𝟏 = 𝟎, as raízes são números reais e opostos.
Uma dessas raízes é:
a) 𝟐
b) 𝟑
c) 𝟓
d) 𝟕
e) 𝟏𝟓
Resp.: E
Exercício 1:
Na equação 𝐱𝟐 − 𝐦+ 𝟒 𝐱 + 𝟒𝐦+ 𝟏 = 𝟎, as raízes são números reais e opostos.
Uma dessas raízes é:
a) 𝟐
b) 𝟑
c) 𝟓
d) 𝟕
e) 𝟏𝟓
Resp.: E
Exercício 1:
Determine k a fim de que uma das raízes da equação 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝒌 + 𝟑 = 𝟎 seja igual ao
quádruplo da outra:
Exercício 2:
Determine k a fim de que uma das raízes da equação 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝒌 + 𝟑 = 𝟎 seja igual ao
quádruplo da outra:
Exercício 2:
* Forma Fatorada da equação do 2º grau
Sendo 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 as raízes da eq. do 2º grau 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝒂 ≠ 𝟎, podemos 
escrevê-la na forma fatorada, como:
𝒂 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎
✓ Exemplos:
a) 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎
b) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎
➢Equação do 2º Grau:
❑ Forma Fatorada:
Sendo 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐 as raízes da eq. do 2º grau 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝒂 ≠ 𝟎, podemos 
escrevê-la na forma fatorada, como:
𝒂 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎
✓ Exemplo:
a) 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎
b) 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎
Q.1) 
3 e -4
5. Problemas envolvendo Equação do 2º Grau
Q.2) 
1
5. Problemas envolvendo Equação do 2º Grau
Q.3) 
10 e -8
5. Problemas envolvendo Equação do 2º Grau
Q.4) 
5. Problemas envolvendo Equação do 2º Grau
Q.5). 
5. Problemas envolvendo Equação do 2º GrauQ.6) Em uma doceria, comprei dois tipos de doce. Do primeiro tipo, 6 unidades de
determinado valor unitário. Do segundo tipo, cujo valor unitário é R$ 3,00 mais caro que o
primeiro tipo, comprei uma quantidade que equivale ao dobro do valor unitário do primeiro
tipo. Entreguei seis notas de R$ 50,00 para pagar tal compra e recebi R$ 30,00 de troco.
Dos dois tipos de doce que comprei, gastei com o mais caro, em reais, um valor a mais que o
primeiro tipo:
a) 146
b) 162
c) 198
d) 216
e) 270 
b
5. Problemas envolvendo Equação do 2º Grau