equaçao segundo grau

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EQUAÇÕES 
DE 2º GRAU
Fernanda Robert
Equações de 2º grau
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar os termos de uma equação de segundo grau.
 � Reconhecer a fórmula para a resolução de uma equação de se-
gundo grau.
 � Resolver problemas envolvendo equações de segundo grau.
Introdução
A equação do 2º grau, também conhecida como equação quadráti-
ca, é um método antigo e muito usado para resolução de problemas. 
Existem registros de uso desta equação pelos babilônicos, egípcios 
e gregos. Esse método pode ser utilizado, por exemplo, para a reso-
lução de problemas das áreas de engenharia, física e administração. 
Uma equação é uma composição matemática que possui em sua es-
trutura incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. 
As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. Portanto, em uma equação de segundo grau, 
pelo menos uma das incógnitas deve possuir expoente 2. 
Cada equação matemática possui uma forma de resolução. As equa-
ções de segundo grau incompletas podem ser resolvidas apenas uti-
lizando a raiz quadrada, porém, para as equações de segundo grau 
completas, devemos utilizar o método de Bhaskara. 
A denominação Bhaskara refere-se ao nome do grande matemático 
indiano que a desenvolveu. Trata-se de uma fórmula utilizada para 
encontrar as raízes reais de uma equação do segundo grau fazendo 
uso apenas de seus coeficientes. 
Neste capítulo você vai estudar a importância e a resolução de equa-
ções de segundo grau
Equação de Segundo grau
A equação de segundo grau pode ser definida como uma sentença aberta na 
qual a variável está na segunda potência e apresenta a forma ax2 + bx + c = 0 
(Figura 1), sendo a, b e c números reais e a diferente de zero (a ≠ 0).
esaito
Retângulo
Nas equações de segundo grau de uma incógnita, os números reais a, b e c 
recebem o nome de coeficientes, sendo a o coeficiente do termo x2; b o co-
eficiente do termo x e c o coeficiente ou termo independente de x (Figura 1). 
Uma equação de segundo grau é denominada incompleta quando apre-
senta um dos coeficientes, b ou c, ou até mesmo ambos, (b e c) iguais a zero.
Exemplos
(b = 0) 
 (c = 0) 
� x2 + 16 = 0
� 3x2 - 3x = 0
� 2x2 = 0 (b = c = 0)
Uma equação de segundo grau é denominada completa quando apresenta 
os três coeficientes (a, b e c) diferentes de zero.
Exemplos:
x2 – 4x + 6 = 0
2x2 + 3x – 4 = 0
Raízes de uma equação de segundo grau 
A solução de uma equação de segundo grau está na busca das suas raízes. As 
raízes são valores que, quando substituídos nas incógnitas, tornam a sentença 
verdadeira.
Figura 1. Forma de uma equação de segundo grau.
Raízes de equações de segundo grau incompletas
As equações de segundo grau incompletas que apresentam o termo b igual a 
zero podem ser resolvidas isolando o termo independente. 
Exemplos:
x2 – 16 = 0 
x2 = 16
x = ±√16
x = ± 4
x'= 4
x'' = - 4 
Portanto, as raízes 4 e – 4 satisfazem esta equação. 
2x2 – 50 = 0 
2x2 = 50
x =
x2= 25
x = ±√25
x = ± 5
x'= 5
x'' = - 5 
Portanto, as raízes 5 e – 5 satisfazem esta equação.
As equações de segundo grau incompletas que apresentam o termo c 
igual a zero podem ser resolvidas utilizando a técnica de fatoração do termo 
comum em evidência.
50
2
Exemplos:
2x2 – x = 0 
O termo x é semelhante na equação, então deve ser colocado em evidência. 
Para colocar este termo em evidência devemos dividi-lo pelos demais termos 
da equação.
x (2x – 1) = 0 
Com isso, obtemos um produto de multiplicação de dois fatores, x e 2x – 
1, sendo que a multiplicação destes fatores é igual a zero; portanto, podemos 
afirmar que um destes fatores deve ser igual a zero. Como não sabemos qual 
destes fatores é igual a zero, devemos igualar os dois a zero, obtendo, assim, 
duas equações de primeiro grau.
x = 0 
2x – 1 = 0
Assim, podemos observar que o zero é uma das raízes desta equação 
e, para descobrirmos a outra raiz, basta resolver a equação de primeiro grau.
2x – 1 = 0
2x = 1
x = 
x' = 0 e x'' =
Portanto, as raízes 0 e 1/2 satisfazem esta equação. 
As equações de segundo grau incompletas que apresentam ambos os 
termos, b e c, iguais a zero, apresentam também raízes iguais a zero.
Exemplos: 
x2 = 0 
x = √0
x = 0 
x' = x'' = 0
1
2
1
2
1
2
Raízes de equações de segundo grau completas 
A forma mais utilizada para a resolução de equações de segundo grau 
completas é através da fórmula de Bhaskara, considerada como uma das prin-
cipais fórmulas matemáticas. 
O nome dado a esta fórmula foi uma homenagem ao matemático 
Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do sé-
culo XII.
A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equa-
ções do segundo grau completas da forma ax2 + bx + c + 0. 
Fórmula de Bhaskara
A fórmula geral de Bhaskara está apresentada na Figura 2. A fórmula 
permite determinar as raízes de uma equação de segundo grau a partir de seus 
coeficientes, substituindo os valores correspondentes e realizando as opera-
ções matemáticas propostas pela fórmula, a fim de determinar os valores de x 
que satisfaçam a equação. 
Figura 2. Fórmula de Bhaskara
A letra grega delta (Δ) pode ser chamada de discriminante, pois por meio 
dela é possível obter algumas informações que discriminam ou classificam as 
equações de segundo grau. Dependendo do sinal de Δ, temos:
Δ = 0 A equação tem duas raízes iguais.
Δ > 0 A equação tem duas raízes diferentes.
Δ < 0 A equação não tem raízes reais.
Para determinar o valor de Δ basta substituir os coeficientes da equação na 
fórmula do discriminante e realizar as operações matemáticas subsequentes. 
Exemplo: 
Vamos determinar as raízes que satisfazem a seguinte equação de segundo 
grau.
x2 – 4x – 5 = 0
1º passo – identificar os coeficientes da equação 
a = 1
b = - 4
c = - 5
2º passo – determinar o valor de Δ substituindo os valores dos coeficientes 
na formula discriminante 
Δ = b2 – 4 a.c
Δ = (-4)2 – 4 .1 .(- 5) 
Δ = 16 + 20
Δ = 36
3º passo – substituir o valor de Δ encontrado e os valores dos coeficientes 
na fórmula de Bhaskara
x = 
x = 
x = =
Portanto, as raízes que satisfazem esta equação são 5 e -1.
-b±√Δ
2a
- (- 4)±√36
2
 4 ± 6
2 {x' = = 5 4 + 62x'' = = - 1 4 - 62
Representação gráfica de uma função de segundo grau
Uma função de segundo grau é representada por meio de uma parábola, con-
forme representada nas Figuras 3, 4 e 5. Quando a função é positiva (a > 0), a 
concavidade da parábola é voltada para cima e quando a função é negativa (a 
< 0), a concavidade da parábola é voltada para baixo. 
O gráfico da função de segundo grau deve ser construído no plano de 
coordenadas cartesianas, atribuindo valores a x e encontrando os valores cor-
respondentes a y. Os números encontrados são denominados pares ordenados 
(x,y) e a união destes pares ordenados formam a parábola que representa a 
função de segundo grau. Os pontos da parábola que tocam o eixo das abcissas 
correspondem aos valores das raízes desta função, que devem ser calculados 
por meio da fórmula de Bhaskara. 
Contudo, o comportamento dessas parábolas também sofre influ-
ência do discriminante delta, conforme exemplificado nas Figuras 3, 4 e 5. 
Se o valor de delta for nulo (Δ = 0), uma das raízes da função apresenta o 
valor nulo e a outra raiz um valor real; portanto, a parábola intercepta o eixo 
das abcissas somente em um ponto, conforme apresentado na Figura 3.
Se o valor de delta for positivo (Δ > 0), a função apresenta duas raízes 
distintas e a parábola intercepta o eixo das abcissas em dois pontos, conforme 
apresentado na Figura 4. 
Figura 3. Representação gráfica de uma função de segundo grau com Δ = 0
Se o valor de delta for negativo (Δ < 0), a função não apresenta raízes e a 
parábola não intercepta o eixo das abcissas, conforme apresentado na Figura 5.
Figura 4. Representação gráfica de uma função de segundo grau com Δ > 0
Figura 5. Representaçãográfica de uma função de segundo grau com Δ < 0
Referência
ANDRINI, A.; VASCONCELOS, M.J. Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Bra-
sil, 2002. 
BALLEW, P. Solving Quadratic Equations by analytic and graphic methods; Including 
several methods you may never have seen. 2007. Disponivel em: http://www.pballew.
net/quadsol.pdf Acesso em: 21 ago. 2017
CENTURION, M. Nova Matemática na medida certa, 8ª série. Centurión Jakubovic, 
Lellis. São Paulo: Scipione, 2003. 
DANTE, L. R. Tudo é Matemática: ensino fundamental: livro do professor/ Luiz Ro-
berto Dante; São Paulo: Ática, 2005. 
PEDROSO, H.A. Uma breve história da equação de 2º grau. Revista eletrônica de mate-
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TOSATTO, C.M.; PERACCHI, E.P.; ESTEPHAN, V.M. Ideias e relações. Curitiba: Positivo, 
2002. 
Leituras recomendadas
ALVES, E. F.;MACHADO, B.B.L. Uma abordagem histórica da equação de segundo grau. 
XII Encontro Nacional de Educação Matemática, 2016. Disponível em: <http://www.
sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/7485_3724_ID.pdf>. Acesso em: 21 ago. 
KHAN ACADEMY. A fórmula de Bhaskara. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/
math/algebra/quadratics/solving-quadratics-using-the-quadratic-formula/v/using-
-the-quadratic-formula. Acesso em 21 ago. 2017