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Cálculo numérico
Aula 3: Solução de equações transcendentes e polinomiais –
raízes de equações
Apresentação
Nesta aula, aplicaremos os métodos numéricos para a resolução de problemas em Engenharia. Resolveremos também
alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Objetivos
Identi�car os primeiros métodos numéricos.
Comparar e aplicar os métodos para solução de equações transcendentais e polinomiais.
Nesta aula, apresentaremos métodos numéricos para resolução de
equações da forma f(x) = 0, onde f(x) é uma função de uma variável real.
Resolver a equação f(x) = 0 consiste em determinar a solução (ou soluções) real ou complexa c, tal que f(c) = 0, ou seja,
consiste em “achar o zero da equação” ou achar a(s) raíz(es) da equação. 
Para determinar aproximadamente essa solução real c, são desenvolvidos métodos iterativos. Há métodos iterativos
especí�cos para determinar a solução c quando este é um número complexo.
Os métodos que veremos a seguir nos permitem obter, por processo iterativo, a solução de uma equação f(x) = 0, onde f(x): R
→ R, fornecendo uma aproximação inicial x . Dessa forma, obtém-se uma sucessão de pontos x , x ... x , tal que x → p
quando n → +∞ e f(p) = 0.
Diz-se que p é uma raiz da equação f(x) = 0, se f(p) = 0. Essa solução x, pode ser obtida através de recursos grá�cos. Assim,
podemos de�nir um intervalo onde se encontra a solução c.
o o 1 n n
Métodos de intervalo
01 método da bisseção
02 método da falsa posição
Método da bisseção
O método da bisseção baseia-se no teorema do valor intermediário estudado na disciplina de Cálculo I. Esse teorema a�rma
que se uma função contínua no intervalo [a,b] satisfaz a condição f(a) f(b) < 0, onde f(a) e f(b) possuem sinais opostos, então
existe c ∈ [a,b], tal que f(c) = 0. Isso signi�ca que existe pelo menos uma raiz no intervalo [a,b].
Ideia geral:
Este método encontra por inspeção dois pontos, a e b, tais que f(a) e f(b) tenham sinais contrários.
A partir de um intervalo [a,b] localizado inicialmente, onde se encontra a raiz c (de�nida anteriormente), determinamos uma
sequência de intervalos. Estaremos sempre dividindo o intervalo [a,b] na metade para veri�car se a raiz ainda se encontra em
uma dessas metades. Com esse procedimento, diminuiremos o intervalo e nos aproximaremos cada vez mais do valor da raiz
da equação.
Observe que, se f(a) = 0 ou f(b) =0, encontramos a raiz procurada. Caso contrário, existe pelo menos uma raiz de f(x) = 0 entre a
e b. Para parar esse procedimento, utilizaremos uma tolerância 𝜀 pré-de�nida.
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Observe, na �gura a seguir, que  f(-4) < 0, ou seja, quando x vale -4, o valor de y é negativo. Veja também que f (-2) > 0. Logo,
existe um zero da função neste intervalo.
exemplo 1 
1ª iteração: dividir o intervalo [a,b]
x = (a + b)/2
O que pode ocorrer:
f(x2) = 0 → x2 é a raiz procurada.
f(x2) e f(b) têm sinais contrários → a raiz está neste
novo intervalo.
f(x2) e f(a) têm sinais contrários → a raiz está neste
novo intervalo.
Repetindo-se o mesmo procedimento, encontra-se uma
aproximação para a raiz da equação com a precisão
desejada. Ou seja, de�ni-se 𝜀 como critério de parada e, a
cada iteração, veri�ca-se se a solução está dentro desse
limite desejado.
2
Seja a equação x² + In x = 0, com 𝜀 = 0.01.
Observe que essa equação possui duas funções: f1(x) = x² e f2(x) = -In x, pois x² = -In x. Veja que a raiz da equação original
estará na interseção das duas funções e que f (x) = 0 quando x = 0, e que f (x) = 0 quando x = 1.
Suponha que x = 0.1 e x = 1, ou seja, intervalo inicial [0.1,1]. Podemos veri�car que f(0.1).f(1) < 0. Logo, temos uma raiz
neste intervalo (condição do teorema do valor intermediário).
No próximo passo, devemos calcular: x = (1 + 0.1)/2 = 0.5500. E, em seguida, fazer o teste para veri�car se estamos no
intervalo correto.
Veri�camos que f(x ). f(x ) > 0 e f(x ).f(x ) < 0. Logo, o novo intervalo será [x ,x ] = [0.5500, 1]. Passamos então a calcular
x = 0.7750.
Agora, devemos testar se já dividimos o bastante para estar dentro da precisão desejada, isto é, x − x / x = 0.2903 > 𝜀
Como ainda não alcançamos 𝜀 = 0.01, deveremos continuar com as iterações.
exemplo 2 
1 2
0 n
1
1 0 1 n 1 n
2
1 0 1
Atenção
Quando dizemos f(x ) onde x = 0.5500, signi�ca que devemos colocar na função f(x ) = x² = (0.5500)². E, ao fazermos f(x ). f(x )
> 0, estamos fazendo o produto do resultado de f(x ) por f(x ) e veri�cando se o mesmo é positivo ou negativo para podermos
aplicar o teorema do valor intermediário.
1 1 1 1 0
1 0
Método da falsa posição
Seja f(x) contínua no intervalo [a,b], tal que f(a).f(b) < 0, o teorema do valor intermediário continuará sendo utilizado. Suponha
que o intervalo contenha uma única raiz da equação f(x) =0.
Temos como objetivo encontrar uma raiz aproximada usando as informações sobre os valores de f(x) a cada iteração. Ao invés
de tomarmos a média aritmética, como no método da bisseção, para dividir o intervalo em busca da raiz aproximada ou
mesmo a exata, no método da Falsa Posição, tomamos a média aritmética ponderada entre a e b com pesos | f(b) | e | f(a) |
respectivamente.
Visto que f(a) e f(b) têm sinais opostos, então:
Este valor de x é o ponto de interseção entre o eixo ox e a
reta r(x) que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)) conforme o grá�co.
Para provar esta conclusão basta usar semelhança de
triângulos.
x = =
a|f(b)+b|f(a)
|f(b)|+|f(a)|
af(b)−bf(a)
f(b)−f(a)
Exemplo
Seja a função: x log x - 1 em [a , b ] = [2,3], temos:0 0
1° passo
Veri�car as condições do teorema do
valor intermediário:
f(a ) = -0.3979 < 0
f(b ) = 0.4314 > 0
Logo existe pelo menos uma raiz neste
intervalo.
0
0 
2° Passo
af(b)−bf(a)
f(b)−f(a)
=
af(b)−bf(a)
f(b)−f(a)
2x 0.4314−3x(
0.4314−(−0
Ao voltar ao passo 1, testando f(x ) e comparando com f(a ) e f(b ), veri�ca-se que f(x ) = -0.0219 < 0.
Logo, para que sejam satisfeitas as condições do teorema do valor intermediário, o novo intervalo será [x , b ].
Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] com f(a).f(b) < 0, então o método da falsa posição converge. O critério de parada será o
mesmo utilizado no método da bisseção, ou seja, um valor 𝜀 dado.
0 0 0 0
0 0
Atividades
Questão 1
Desenvolva o método da bisseção para a função x² + ln x = 0, com 𝜀 = 0.01.
Questão 2
Desenvolva o método da falsa posição para a função f(x) = x³ - 9x + 3, no intervalo [0,1] para três iterações e de�na qual é o
valor aproximado da raiz encontrada ao �nal das iterações.
iteração x f(x)
1
2
3
NotasReferências
ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São
Paulo: Thomson Learning, 2008. 
BARROSO, Leônidas Conceição et. al. Cálculo numérico: com aplicações. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1987.
RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São
Paulo: Pearson, 2006.
Próxima aula
Outros métodos para solução de equações transcendentes e polinomiais – raízes de equações.
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