MATEMÁTICA - estatistica basica

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MATEMÁTICA
Estatística básica 
Estatística é uma área da Matemática que se ocupa da coleta, organização e análise de dados. A importância dada para a estatística durante a avaliação das provas do Enem não é à toa, pois esse conteúdo é bastante presente no dia a dia, auxiliando na tomada de decisões, desde as mais simples até as mais complexas. No Enem vale a pena estudar:
· Gráficos e tabelas
· Medidas centrais
· Medidas de dispersão
Gráficos são a representação gráfica dos dados contidos em uma tabela e ambos são muito recorrentes no Enem, na área de Matemática e suas Tecnologias. A análise de gráficos e tabelas é indispensável para uma boa nota no exame. Dessa maneira, daremos exemplos de gráficos e tabelas partindo de questões do Enem, comentando as soluções e pontuando os conhecimentos mais importantes para resolver exercícios sobre esse conteúdo.
Para tanto, observe a situação a seguir, muito conhecida por gerar tabelas e gráficos em determinado período de tempo.
Em tempo de eleições, os veículos de comunicação divulgam resultados de pesquisas de intenção de voto, que são porcentagens obtidas por meio de uma extensa coleta de dados – nesse caso, feita a partir de perguntas e respostas. Esses dados costumam ser apresentados por meio de alguma representação gráfica. A mais comum delas usa barras ou um círculo, de modo que o tamanho da barra ou o tamanho da fatia do círculo indica a porcentagem de intenções de voto que determinado candidato possui. Essa representação é chamada de gráfico e não é a única que existe. Para construí-lo, primeiramente, é necessário organizar os dados em uma tabela.
Tabelas
Existe uma complicação extrema ao falar de tabelas sem que sejam dados exemplos. Portanto, decidimos expor um exemplo e discuti-lo para facilitar a compreensão do texto. Dessa maneira, observe a tabela a seguir que representa o salário-mínimo anual no Brasil a partir do ano 2000.
As tabelas são organizadas em linhas e colunas. Em uma tabela, deve ser colocado um título que a represente sem deixar qualquer dúvida a respeito do seu foco. Logo no topo da primeira linha vão as variáveis de pesquisa. No caso da tabela acima, as variáveis são o ano e o valor do salário-mínimo em reais. Nas linhas subsequentes, seguem os pares correspondentes ano-salário. Observe, por exemplo, que, no ano de 2012, o salário-mínimo era de R$ 622,00, pois esse ano é correspondente a esse valor na tabela acima.
Existem diversos tipos de gráficos usados em Estatística e cada um desses tipos é mais indicado para uma situação específica. 
O gráfico que melhor se enquadra na representação da tabela acima é o de linha:
Mas também existem gráficos de barras:
Gráfico de colunas:
Precisamos também falar do gráfico de pizza, que não é adequado para representar os dados da tabela aqui exposta.
Os gráficos citados são os mais comuns e mais frequentes em provas de vestibular e no Enem. Entretanto, qualquer que seja o gráfico usado, sempre será possível obter as informações dele de forma rápida e segura ao analisar os dados presentes nele.
Média, Moda e Mediana
Média, Moda e Mediana são medidas de tendência central utilizadas em estatística.
Média
A média (Me) é calculada somando-se todos os valores de um conjunto de dados e dividindo-se pelo número de elementos deste conjunto.
Como a média é uma medida sensível aos valores da amostra, é mais adequada para situações em que os dados são distribuídos mais ou menos de forma uniforme, ou seja, valores sem grandes discrepâncias.
Fórmula
Sendo, 
Me: média
x1, x2, x3,..., xn: valores dos dados
n: número de elementos do conjunto de dados
Exemplo
Os jogadores de uma equipe de basquete apresentam as seguintes idades: 28, 27, 19, 23 e 21 anos. Qual a média de idade desta equipe?
Solução
Moda
A Moda (Mo) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados, sendo assim, para defini-la basta observar a frequência com que os valores aparecem.
Um conjunto de dados é chamado de bimodal quando apresenta duas modas, ou seja, dois valores são mais frequentes.
Exemplo
Em uma sapataria durante um dia foram vendidos os seguintes números de sapato: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 e 41. Qual o valor da moda desta amostra?
Solução
Observando os números vendidos notamos que o número 36 foi o que apresentou maior frequência (3 pares), portanto, a moda é igual a:
Mo = 36
Mediana
A Mediana (Md) representa o valor central de um conjunto de dados. Para encontrar o valor da mediana é necessário colocar os valores em ordem crescente ou decrescente.
Quando o número elementos de um conjunto é par, a mediana é encontrada pela média dos dois valores centrais. Assim, esses valores são somados e divididos por dois.
Exemplos
1) Em uma escola, o professor de educação física anotou a altura de um grupo de alunos. Considerando que os valores medidos foram: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m e 1,78 m, qual o valor da mediana das alturas dos alunos?
Solução
Primeiro devemos colocar os valores em ordem. Neste caso, colocaremos em ordem crescente. Assim, o conjunto de dados ficará:
1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78
Como o conjunto é formado por 9 elementos, que é um número ímpar, então a mediana será igual ao 5º elemento, ou seja:
Md = 1,65 m
2) Calcule o valor da mediana da seguinte amostra de dados: (32, 27, 15, 44, 15, 32).
Solução
Primeiro precisamos colocar os dados em ordem, assim temos:
15, 15, 27, 32, 32, 44
Como essa amostra é formada por 6 elementos, que é um número par, a mediana será igual a média dos elementos centrais, ou seja:
Medidas de dispersão
Ao realizar a análise estatística dos dados de uma pesquisa, observamos que os valores tendem a ficar em torno das medidas centrais: média, moda e mediana. Mas, na grande maioria das situações, as medidas de tendência central não são suficientes para tirar conclusões sobre os objetos em estudo. Vamos ver um exemplo que demonstre isso.
As notas de dois alunos na disciplina de matemática estão representadas abaixo:
Aluno A: 6,0 5,0 6,0 5,0
Aluno B: 8,0 2,0 6,0 6,0
Vamos calcular a média das notas de cada um:
Observe que os dois alunos obtiveram a mesma média. Mas será que o desempenho dos dois foi igual? Qual deles obteve as notas mais homogêneas, ou seja, com menor variação? Para responder às questões que as medidas de tendência central não conseguem concluir, existem as medidas de dispersão. São elas: variância e desvio padrão.
Variância
É o somatório do quadrado dos desvios dividido pelo número de elementos da amostra.
Onde
xi → é cada dado da amostra.
X ̅→ é a média dos dados.
n → é o tamanho da amostra.
Desvio Padrão
É a raiz quadrada da variância.
Exemplo: Retornando ao caso das notas dos alunos A e B, vamos fazer o cálculo da variância e do desvio padrão de cada um.
Aluno A.
Cálculo da variância: sabemos que a média desse aluno foi 5,5. Assim, teremos:
Cálculo do desvio padrão:
Aluno B.
Cálculo da variância: a média do aluno B também foi 5,5. Logo, teremos:
Cálculo do desvio padrão:
Como a variância e o desvio padrão do Aluno A foram menor que do Aluno B, podemos afirmar que as notas do aluno A são mais homogêneas que as notas do aluno B.
Observe que a variância e o desvio padrão mostram o quanto os dados estudados estão variando em torno da média.
Questões 
1) (ENEM) O gráfico, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
a) 465
b) 493
c) 498
d) 538
e) 699
2) (Enem 2016) O cultivo de uma flor rara só é viável se, do mês do plantio para o mês subsequente, o clima da região possuir as seguintes peculiaridades:
· a variação do nível de chuvas (pluviosidade), nesses meses, não for superior a 50 mm;
· a temperatura mínima, nesses meses, for superior a 15 °C;
· ocorrer, nesse período, um leve aumento não superior a 5 °C na temperatura máxima.
Umfloricultor, pretendendo investir no plantio dessa flor em sua região, fez uma consulta a um meteorologista que lhe apresentou o gráfico com as condições previstas para os 12 meses seguintes nessa região.
Com base nas informações do gráfico, o floricultor verificou que poderia plantar essa flor rara. O mês escolhido para o plantio foi:
a) janeiro
b) fevereiro
c) agosto
d) novembro
e) dezembro
3) (ENEM – 2009) Os planos de controle e erradicação de doenças em animais envolvem ações de profilaxia e dependem em grande medida da correta utilização e interpretação de testes diagnósticos. O quadro abaixo mostra um exemplo hipotético de aplicação de um teste diagnóstico
Considerando que, no teste diagnostico, a sensibilidade é a probabilidade de um animal infectado ser classificado como positivo e a especificidade é a probabilidade de um animal não ser infectado e ter resultado negativo, a interpretação do quadro permite inferir que
a) A especificidade aponta um número de 5 falsos positivos.
b) O teste, a cada 100 indivíduos infectados, classificaria 90 como positivos.
c) O teste classificaria 96 como positivos em cada 100 indivíduos não infectados.
d) Ações de profilaxia são medidas adotadas para o tratamento de falsos positivos.
e) Testes de alta sensibilidade resultam em maior número de falsos negativos comparado a um teste de baixa sensibilidade.
4) (ENEM 2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda dessa distribuição, então
a) X = Y < Z.
b) Z < X = Y.
c) Y < Z < X.
d) Z < X < Y.
e) Z < Y < X.
5) (Enem 2016) O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro:
Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas:
a) I e III
b) I e IV
c) II e III
d) II e IV
e) III e IV
GABARITO
1 – c 
Observe que o crescimento do número de espécies ameaçadas de extinção é linear e está demarcado em períodos de quatro anos no gráfico. A pergunta é exatamente para o fim de mais um período de quatro anos, logo, basta descobrir o aumento do número de animais em cada período de quatro anos e somar esse acréscimo a 461.
Para tanto, usaremos conhecimentos de progressão aritmética, mais especificamente a fórmula para encontrar um termo qualquer. Se 239 for o primeiro e 461 for o último (sétimo), basta encontrar a razão para saber o aumento em um período de quatro anos. Observe:
a7 = a1 + (n – 1)r
461 = 239 + (7 – 1)r
461 – 239 = 6r
222 = 6r
r = 222
    6
r = 37
Assim, em 2011, o número de espécies ameaçadas de extinção será:
461 + 37 = 498
2 – a 
Para inferir qual é o mês ideal para o plantio, devemos analisar cada um dos três requisitos levantados.
Analisando a pluviosidade (1º requisito) representada pela barra, do mês escolhido para o plantio até o próximo, a aviação do nível de chuva não pode ser superior a 50 mm, sendo assim, vamos eliminar os meses em que ocorre uma variação superior a esse valor. São eliminados, por esse motivo: agosto, setembro, outubro dezembro e março, restando então os meses de janeiro, fevereiro, abril, maio, junho, julho e novembro.
Analisando a temperatura mínima (2º requisito) representada pelo gráfico de linhas pontilhado, a temperatura no mês escolhido não pode ser menor ou inferior a 15 ºC. Elimina-se, entre os meses restantes, aqueles em que isso ocorre, que são: maio, junho e junho. Então os meses restantes são: janeiro, fevereiro, abril e novembro.
Analisando agora a temperatura máxima (3º requisito), representada pelo gráfico de linhas contínuo, ela deve ter um leve aumento, não superior a 5 ºC. Dos meses restantes, isso ocorre somente no mês de janeiro, logo, ele é único mês favorável para plantar-se essa flor rara.
3 – b
Não existe outra maneira de solucionar esse exercício do que procurar os dados que comprovem ou refutem as alternativas na tabela e no texto ao redor dela. ATENÇÃO: o texto que o exercício traz é tão importante quanto os dados da tabela. Prova disso é a alternativa A, pois a especificidade é definida no texto, e não na tabela, como a probabilidade de um animal não ser infectado e ter um resultado negativo. Observando a tabela, a especificidade é de 912 animais. Portanto, a alternativa está incorreta.
A alternativa correta é a letra B. Para verificar isso, observe que o texto da alternativa menciona apenas o número de indivíduos infectados. Há uma coluna somente para isso na tabela. São 45 indivíduos com teste positivo para cada 50 infectados. Por regra de 3, a cada 100 infectados, 90 terão resultado positivo no teste.
4 – e
Observe primeiramente que a moda é zero, pois foi o número de gols marcado no maior número de partidas.
As quantidades de gols devem ser colocadas em ordem crescente para encontrar a mediana:
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7
Observe que existem dois valores centrais. Portanto, a mediana será:
 2 + 2 = 4 = 2 2       2
Já a média pode ser obtida pela técnica de média ponderada ou de média simples. Para tanto, basta somar os elementos da lista acima e dividir o resultado por 20 ou, como média ponderada, considerar o número de partidas como peso. Ambos os cálculos darão o mesmo resultado.
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 =
20
45 = 2,25
20           
Sabendo que a média é X = 2,25, a mediana é Y = 2 e a moda é Z = 0, teremos:
X > Y > Z ou Z < Y < X
5 – c
Para resolver essa questão, note que não é necessário calcular o desvio padrão, mas entender o que ele representa. O atleta mais regular é aquele que possui o desvio padrão menor, ou seja, o atleta III. O atleta menos regular é aquele que possui maior desvio padrão, ou seja, o atleta II. A primeira luta será entre os atletas II e III.