1 EE Eletromagnetismo 2 Prof. Renã Vasconcelos (Com solução)

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Universidade de Pernambuco 
Escola Politécnica de Pernambuco 
Disciplina: Eletromagnetismo 2 
Turma: HA 
Semestre: 2021.1 
Primeiro Exercício Escolar 
 
 
 
1) (2,0 pontos) Calcule a magnitude e indique a direção da corrente induzida no circuito a 
seguir. São dados �⃗� = 100𝑎 𝑧 𝑚𝑇, �⃗� = −2𝑎 𝑦 𝑚/𝑠 e 𝑅 = 8 Ω. 
 
 
 
Solução: 
 
𝑉𝑓𝑒𝑚 = ∮ (�⃗� × �⃗� )𝑑�⃗� 
Considerando o sentido horário como referência: 
 
𝑉𝑓𝑒𝑚 = ∮ (−2𝑎 𝑦 × 0,1𝑎 𝑧)𝑑𝑥𝑎 𝑥
0,04
0
= −8𝑚𝑉 
 
𝐼𝑖𝑛𝑑 =
𝑉𝑓𝑒𝑚
𝑅
=
8 × 10−3
8
= 1 𝑚𝐴 (Sentido anti-horário) 
 
2) (2,0 pontos) Uma onda plana uniforme propaga-se em um meio (𝑧 < 0) com 𝜇𝑟 = 1 e 
𝜀𝑟 = 16, sendo a o campo elétrico expresso por 
 
�⃗� = 10 cos(𝜔𝑡 − 𝛽1𝑧)𝑎 𝑥 + 20 cos(𝜔𝑡 − 𝛽1𝑧 + 𝜋/3)𝑎 𝑦 𝑉/𝑚. 
 
Essa onda incide em um meio sem perdas (𝑧 > 0), cujas características são 𝜇𝑟 = 12 e 
𝜀𝑟 = 6. Calcule as expressões instantâneas para os campos elétricos transmitido e 
refletido se a frequência da onda for 1 𝑀𝐻𝑧. 
 
Solução: 
 
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋106 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
 
�⃗� 𝑖𝑠 = 10𝑒
−𝑗𝛽1𝑧𝑎 𝑥 + 20𝑒
−𝑗𝛽1𝑧𝑒𝑗𝜋/3𝑎 𝑦 𝑉/𝑚 (campo incidente) 
 
�⃗� 𝑟𝑠 = 10Γ𝑒
𝑗𝛽1𝑧𝑎 𝑥 + 20Γ𝑒
𝑗𝛽1𝑧𝑒𝑗𝜋/3𝑎 𝑦 𝑉/𝑚 (campo refletido) 
 
�⃗� 𝑡𝑠 = 10𝜏𝑒
−𝑗𝛽2𝑧𝑎 𝑥 + 20𝜏𝑒
−𝑗𝛽2𝑧𝑒𝑗𝜋/3𝑎 𝑦 𝑉/𝑚 (campo transmitido) 
 
 
𝜂1 = √
𝜇1
𝜀1
= 𝜂0√
𝜇𝑟
𝜀𝑟
= 120𝜋√
1
16
= 30𝜋 Ω 
 
𝜂2 = √
𝜇2
𝜀2
= 𝜂0√
𝜇𝑟
𝜀𝑟
= 120𝜋√
12
6 
= 120𝜋√2 Ω 
 
Γ =
𝜂2 − 𝜂1
𝜂2 + 𝜂1
=
120𝜋√2 − 30𝜋
120𝜋√2 + 30𝜋
= 0,7 
 
𝜏 = 1 + Γ = 1 + 0,7 = 1,7 
 
𝛽1 = 𝜔√𝜇1𝜀1 = 2𝜋10
6√𝜇𝑟𝜇0𝜀𝑟𝜀0 =
2𝜋106
𝑐
√𝜇𝑟𝜀𝑟 =
2𝜋106
3 × 108
√1 × 16 
 
𝛽1 =
0,08𝜋
3
= 0,084 𝑟𝑎𝑑/𝑚 
 
𝛽2 = 𝜔√𝜇2𝜀2 = 2𝜋100 × 10
6√𝜇𝑟𝜇0𝜀𝑟𝜀0 =
2𝜋106
𝑐
√𝜇𝑟𝜀𝑟 =
2𝜋106
3 × 108
√12 × 6 
 
𝛽2 = 0,178 𝑟𝑎𝑑/𝑚 
 
 
Campo refletido: 
�⃗� 𝑟𝑠 = 10 × 0,7𝑒
𝑗0,084𝑧𝑎 𝑥 + 20 × 0,7𝑒
𝑗0,084𝑧𝑒𝑗𝜋/3𝑎 𝑦
= 7𝑒𝑗0,084𝑧𝑎 𝑥 + 14𝑒
𝑗0,084𝑧𝑒𝑗𝜋/3𝑎 𝑦 
 
�⃗� 𝑟 = 𝑅𝑒[7𝑒
𝑗0,084𝑧𝑎 𝑥 + 14𝑒
𝑗0,084𝑧𝑒
𝑗𝜋
3 𝑎 𝑦𝑒
𝑗𝜔𝑡] 
 
�⃗� 𝑟 = 7 cos(2𝜋10
6 + 0,084𝑧) 𝑎 𝑥 + 14 cos(2𝜋10
6 + 0,084𝑧 + 𝜋/3) 𝑎 𝑦 𝑉/𝑚 
 
Campo transmitido: 
�⃗� 𝑡𝑠 = 10 × 1,7𝑒
−𝑗0,178𝑧𝑎 𝑥 + 20 × 1,7𝑒
−𝑗0,178𝑧𝑒𝑗𝜋/3𝑎 𝑦
= 17𝑒−𝑗0,178𝑧𝑎 𝑥 + 34𝑒
−𝑗0,178𝑧𝑒𝑗𝜋/3𝑎 𝑦 
 
�⃗� 𝑡 = 𝑅𝑒[17𝑒
−𝑗0,178𝑧𝑎 𝑥 + 34𝑒
−𝑗0,178𝑧𝑒𝑗𝜋/3𝑎 𝑦] 
 
 
�⃗� 𝑡 = 17 cos(2𝜋10
6 − 0,178𝑧) 𝑎 𝑥 + 14 cos(2𝜋10
6 − 0,178𝑧 + 𝜋/3) 𝑎 𝑦 𝑉/𝑚 
 
3) (2,5 pontos) Uma linha de transmissão de 1,5 𝑚 de comprimento é utilizada para 
transmitir um sinal de 2,4 𝐺𝐻𝑧. Em 6,25 𝑛𝑠, esse sinal atinge a carga e sofre verifica-se 
uma perda total de 1,2 𝑑𝐵. Determine a constante de propagação da linha sabendo que 
ela está casada com a carga. 
 
Solução: 
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 
 
𝛼 =
1,2
1,5
= 0,8 𝑑𝐵/𝑚 
 
1𝑁𝑝 = 8,686 𝑑𝐵 
Logo, 
𝛼 =
0,8
8,686
= 0,092 𝑁𝑝/𝑚 
 
𝛽 =
𝜔
𝑢
=
2𝜋2,4 × 109
1,5
6,25 × 10−9
= 20𝜋 = 68,2 𝑟𝑎𝑑/𝑚 
 
𝛾 = 0,092 + 𝑗68,2 𝑚−1 
 
4) (2,5 pontos) A impedância de entrada de uma linha de transmissão de 100 Ω que possui 
30 𝑐𝑚 de comprimento e opera em 2 𝐺𝐻𝑧 é 92,3 − 𝑗67,5 Ω. Calcule a impedância da 
carga sabendo que a velocidade de propagação é 0,7𝑐 e que a linha é sem perdas. 
 
Solução: 
 
𝑍𝑒𝑛𝑡 = 𝑍0 [
𝑍𝑐+𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙
𝑍0 + 𝑗𝑍𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙
] 
 
𝛽 =
𝜔
𝑢
=
2𝜋2 × 109
0,7 × 3 × 108
= 59,84 𝑟𝑎𝑑/𝑚 
 
Resolvendo a expressão de 𝑍𝑒𝑛𝑡 para 𝑍𝑐, tem-se 
 
𝑍𝑐 = 𝑍0 [
𝑍𝑒𝑛𝑡 − 𝑗𝑍0 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙
𝑍0 − 𝑗𝑍𝑒𝑛𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝛽𝑙
] 
 
𝑍𝑐 = 100 [
92,3 − 𝑗67,5 − 𝑗100 𝑡𝑎𝑛(59,84 × 0,3)
100 − 𝑗92,3 − 𝑗67,5 𝑡𝑎𝑛(59,84 × 0,3)
]
= 100 [
92,3 − 𝑗67,5 − 𝑗100 𝑡𝑎𝑛(1028,57°)
100 − 𝑗92,3 − 𝑗67,5 𝑡𝑎𝑛(1028,57°)
] 
 
 
𝑍𝑐 = 100 [
92,3 − 𝑗67,5 + 𝑗100 × 1,25
100 + 𝑗(92,3 − 𝑗67,5) × 1,25
] = 100 [
92,3 + 𝑗57,5
184,37 + 𝑗115,37
] 
 
𝑍𝑐 = 50 − 0,1𝑗 Ω