Matematica Aplicada - Atividade V

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Atividade 5 
Questão 1 : 
De acordo com o que estudamos na unidade 37 sobre a regra do produto, derive a 
função e assinale a alternativa que corresponde à resposta correta. 
Acertou! A resposta correta é a opção D 
Justificativa: 
Gabarito: D 
Comentário: Podemos derivar a função da seguinte 
maneira: 
Suponha que e , 
então: . Substituindo os valores, 
temos: 
= 
 
 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
Questão 2 : 
Assinale a alternativa que corresponde à derivada da função , de acordo 
com o que estudamos na unidade 37 sobre a regra do produto. 
 
Acertou! A resposta correta é a opção C 
Justificativa: 
Gabarito: C 
Comentário: De acordo com a unidade 37, podemos derivar a 
função usando a regra do produto, pois e . 
Assim: 
Então: 
 
 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
Questão 3 : 
Na unidade 38, aprendemos a derivar uma função pela regra do quociente. Aplique a 
regra para derivar a função e assinale a alternativa que apresenta a 
resposta correta dessa derivada. 
Tente outra vez! A resposta correta é a opção D 
Justificativa: 
Gabarito: D 
Comentário: Conforme estudamos na unidade 38, podemos derivar a 
função usando a regra do 
quociente: , e, então, vamos obter como 
resposta: . 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
Questão 4 : 
Aplicando a regra do quociente (que estudamos na unidade 38), derive a 
função e assinale a alternativa que corresponde à resposta dessa 
função em sua forma derivada. 
Acertou! A resposta correta é a opção A 
Justificativa: 
Gabarito: A 
Comentário: De acordo com a regra do quociente, temos 
que: . Substituindo os valores, 
temos: = 
. 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
Questão 5 : 
 Conforme o que estudamos na unidade 37, a função pode 
ser derivada. Derive a função, determine a e assinale a alternativa correta. 
Acertou! A resposta correta é a opção D 
Justificativa: 
Gabarito: D 
Comentário: Podemos derivar a função pela 
regra do produto. Assim, podemos separar os termos da função e 
derivá-las separadamente. Assim, teremos: , 
, e . Agora, juntando os valores, vamos 
encontrar: . Para finalizarmos, basta 
substituir na função e obteremos: 
 
 
 
A 
 
25 
B 
 
19 
C 
 
9 
D 
 
5 
Questão 6 : 
De acordo com o que estudamos na unidade 40, determine a derivada da 
função utilizando a regra da cadeia. Em seguida, assinale a 
alternativa que corresponde à . 
Acertou! A resposta correta é a opção D 
Justificativa: 
Gabarito: D 
Comentário: Como , podemos reescrever essa 
função como: , onde: e . Assim, , 
então e derivando , temos e derivando , 
temos: . Então, pela definição da regra da cadeia, temos 
que: 
. Assim, substituindo os valores de , vamos 
obter: 
. Ao substituir a na 
função , teremos: 
. 
Portanto: 
 
 
A 
 
12 
B 
 
24 
C 
 
04 
D 
 
- 32 
Questão 7 : 
Aplicando a regra da cadeia, encontre a derivada da função e assinale a 
alternativa correta com relação à derivada da função . 
Acertou! A resposta correta é a opção B 
Justificativa: 
 
Gabarito: B 
Comentário: Se , podemos reescrever a função na 
forma e, de acordo com a unidade 41, podemos observar 
que a função pode ser escrita 
como onde e . 
Aplicando a regra da cadeia, temos: . Logo: 
 
Portanto: 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
Questão 8 : 
De acordo com o que foi estudado na unidade 43, dada a função , 
encontre a derivada segunda e assinale a alternativa correta. 
 
Acertou! A resposta correta é a opção A 
Justificativa: 
Gabarito: A 
Comentário: Aplicaremos aqui as sucessivas derivadas, vistas nas 
unidades 42 e 43. Logo, para encontrar a segunda derivada da função
, faremos sua derivação duas vezes consecutivas, 
conforme segue: 
Se , então: 
 
 
A derivada segunda da função é 
A 
 
10 
B 
 
2 
C 
 
5 
D 
 
3 
Questão 9 : 
Considerando os conceitos vistos na unidade 45, assinale a alternativa que apresenta 
uma análise correta do gráfico a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Acertou! A resposta correta é a opção C 
Justificativa: 
Gabarito C 
Comentário: Vimos, na unidade 45, que quando a função é crescente a 
primeira derivada é positiva. Note que a curvatura – ou concavidade – 
está para cima. Dessa forma, a segunda derivada também apresentará 
um valor positivo. 
 
 
 
 
 
A 
 
A primeira e a segunda derivada da função são negativas. 
B 
 
A primeira derivada da função é negativa e a segunda, positiva. 
C 
 
A primeira e a segunda derivada da função são positivas. 
D 
 
A primeira derivada da função é positiva e a segunda, negativa. 
Questão 10 : 
Usando os conceitos vistos na unidade 46, assinale a alternativa que apresenta uma 
análise correta da função , no que se refere ao conceito de 
máximos e mínimos. 
Acertou! A resposta correta é a opção C 
Justificativa: 
Gabarito: C 
Comentário: Considerando a função . 
Primeiramente, vamos identificar os candidatos encontrando a 
primeira derivada. 
De , fazendo , temos: 
. Logo: 
 
 
O candidato é o 0 (zero). Aplicando a segunda derivada, temos: 
Substituindo , temos: . Como a segunda derivada 
apresenta um valor positivo, a concavidade é para cima, 
caracterizando um ponto de mínimo (P.m.). 
Portanto, o é um ponto de mínimo (P.m.). 
 
 
A 
 A função apresenta um ponto de mínimo, representada por . 
B 
 A função apresenta um ponto de máximo, representada por . 
C 
 A função apresenta um ponto de mínimo, representada por . 
D 
 A função apresenta um ponto de máximo, representada por . 
Questão 11 : 
De acordo com a unidade 46, assinale a alternativa que apresenta uma análise 
correta da função , no que se refere ao conceito de 
máximos a mínimos. 
Tente outra vez! A resposta correta é a opção D 
Justificativa: 
Gabarito: D 
Comentário: 
Primeiramente, vamos identificar os candidatos encontrando a 
primeira derivada e fazendo , de acordo com o que segue: 
, fazendo , temos: 
 
O candidato é o , e aplicando a segunda derivada, 
obtemos: . Substituindo, temos: . Como a segunda 
derivada apresenta um valor negativo, a concavidade é para baixo, 
caracterizando um ponto de máximo (P.M.). 
Portanto, o é um ponto de máximo (P.M.). 
 
 
A 
 A função apresenta um ponto de mínimo, representada por . 
B 
 A função apresenta um ponto de máximo, representada por . 
C 
 
A função apresenta um ponto de mínimo, representada por . 
D 
 
 A função apresenta um ponto de máximo, representada por . 
Questão 12 : 
De acordo com os conceitos mostrados na unidade 47, assinale a alternativa que 
define corretamente o conceito de custo marginal. 
Acertou! A resposta correta é a opção D 
Justificativa: 
Gabarito: D 
Comentário: Vimos que uma aplicação bastante comum é a do custo 
marginal, em que a primeira derivada representa a taxa de 
variação instantânea do custo em relação à quantidade, ou seja, é o 
acréscimo dos custos totais quando se aumenta a quantidade 
produzida em uma unidade. 
 
 
A 
 
 É o custo gerado por benfeitorias realizadas nos arredores da fábrica. 
B 
 
É o custo total, considerando custos fixos e variáveis. Ele pode ser encontrado pela primeira 
derivada da função custo total. 
C 
 
 É o custo variável de uma indústria. Representa a taxa de variação instantânea do custo em 
relação ao custo variável. 
D 
 
 É o acréscimo dos custos totais quando se aumenta a quantidade produzida em uma 
unidade. 
Questão 13 : 
Uma fábrica de aquecedores tem a sua receita mensal dada pela 
função . Adotando os 
conceitos vistos nas unidades 44 e 45, assinale a alternativa que possui o valor 
de que maximiza a receita. 
Acertou! A resposta correta é a opção A 
Justificativa: 
Gabarito: A 
Comentário: Procuramos o valor de que maximiza a receita, ou seja, 
buscamos a quantidade de determinado produto que representa um 
ponto de máximo. Logo, precisamos encontrar um candidato e definir 
se ele é um ponto de máximo ou de mínimo. Para isso, usaremos o 
critério da primeira e segunda derivada. 
Inicialmente, identificaremos oscandidatos encontrando a primeira 
derivada e fazendo , considerando a 
função , conforme segue: 
 , fazendo , temos o seguinte: 
 
 
O candidato é o 1.250. Aplicando a segunda derivada, temos: 
. Substituindo, obtemos: . Como a segunda 
derivada apresenta um valor negativo, a concavidade é para baixo, 
caracterizando um ponto de máximo (P.M.). 
Portanto, a quantidade que maximiza a receita é . 
 
 
A 
 
x=1.250 
B 
 
x=2500 
C 
 
x=1.500 
D 
 
Não existe ponto de máximo. 
Questão 14 : 
Considerando os conceitos estudados nas unidades 44 e 45, assinale a alternativa 
que apresenta uma análise correta da função , no que se 
refere a máximos e mínimos. 
Acertou! A resposta correta é a opção C 
Justificativa: 
Gabarito: C 
Comentário: Primeiramente, vamos identificar os candidatos 
encontrando a primeira derivada e fazendo , do seguinte modo: 
, fazendo , temos: 
 
O candidato é o 2. Aplicando a segunda derivada, temos: 
. Substituindo, temos: . Como a segunda derivada 
apresenta um valor positivo, a concavidade é para cima, 
caracterizando um ponto de mínimo (P.m.). 
Portanto, o é um ponto de mínimo (P.m.). 
 
 
 
A 
 
Apresenta ponto de máximo em x=3. 
B 
 
Apresenta ponto de mínimo em x=3. 
C 
 
Apresenta ponto de mínimo em x=2. 
D 
 
Não apresenta ponto de máximo ou de mínimo. 
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